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UNIDAD Nro I: Números Reales
Números Naturales
Los Números Naturales son aquellos números “exactos” y además son sólo positivos. Pueden incluir o no al Cero.
1;2;3;4;5;6;7;8;9;...
Números Enteros
Los Números Enteros es una ampliación del conjunto anterior ya que comprende también los números “exactos” negativos.
9; 7; 4; 2; 1;0;2;3;6;8;9;− − − − − …
Números Racionales
Los Números Racionales se forman de una “parte entera” y una “parte no entera” a la que se llama fracción o decimal. Los números Racionales son todos aquellos números con o sin “parte no entera”, siempre y cuando se puedan expresar como una fracción.
3 1 1 7 13; ; 2; ;0; ; ;1;2 ;4;
4 2 4 8 2− − − − …
Números Irracionales
Los Números Irracionales se conforman por números con infinitos decimales no periódicos y NO se los puede expresar como fracción.
32; ; 5;π …
Números Reales
Los Números Reales incluyen TODOS los conjuntos mencionados anteriormente.
3 1 1 73; ; 2; 2; ;0; ; ;1; 2;
4 2 4 8− − − − −
12 ; ;4;
2π …
Todos estos conjuntos pueden ser representados sobre una recta numérica.
Números Racionales
Expresiones Decimales:
Exactas: número finito de cifras decimales 0,55; 11,6; 2,5; 0,0001;…
Periódicas
Puras: a continuación de la coma presenta una o varias cifras decimales que se repiten periódicamente (período)
0,5;12,1;3,9;...) ))
Impuras o Mixtas: entre la coma y el período presenta una o varias cifras que no se repiten (constituyen el anteperíodo)
0, 25;1,125;9,541;…)) )
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Pasaje de Expresiones Decimales a Fracciones:
Expresiones Decimales Exactas
1,5 1510
12,15 1215100
Expresiones Decimales Periódicas Puras
0,5)
59
0,33))
33 199 3=
Expresiones Decimales Periódicas Mixtas
0,314))
314 3 311
990 990
−=
1,157))
1157 11 1146 573
990 990 495−
= =
Numerador: se coloca la expresión decimal sin la coma. Denominador: se coloca un “1” por la parte entera y un “0” por cada parte decimal.
Numerador: se coloca la expresión decimal sin la coma. Denominador: se coloca un “9” por cada cifra dentro del período
Numerador: se genera una resta entre la expresión decimal sin la coma y el anteperíodo (si posee parte entera, esta también se resta). Denominador: se coloca un “9” por cada cifra dentro del período y un “0” por cada cifra del anteperíodo (siempre hablando de cifras decimales).
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Operaciones básicas en Racionales:
Suma y Resta
1° Averiguar el Mínimo Común Múltiplo (MCM), ese será el denominador. 2° Para el numerador dividimos el MCM por el denominador de cada término y lo multiplicamos por su numerador.
1 43 5−
... ...15−
15.1 15.43 5
15
−
5 1215−
7
15−
4 15 3+
... ...15+
15.4 15.15 3
15
+
12 515+
1715
La mecánica para sumar y restar fracciones es la misma, lo que cambia es el signo.
Multiplicación y División
La multiplicación es directa (numerador con numerador y denominador con denominador) 7 5
.2 3
7.52.3
356
La División es “cruzada” o una multiplicación indirecta 6 7
:5 11
6.115.7
6635
6 11
.5 7
6.115.7
6635
- Regla de Signos
Al multiplicar o dividir números positivos y negativos se debe recordar:
+ Por o dividido + Es + + Por o dividido - Es - - Por o dividido - Es + - Por o dividido + Es -
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Potencia
Cuando un número racional es elevado a una potencia, esta potencia afecta tanto al numerador como el denominador.
23
7
2
2
3
7
9
49
3
1
2
3
3
1
2
18
Lo mismo pasa con la radicación de números racionales.
25
9
25
9
53
31
27
3
3
1
27
13
- Propiedades
Distributiva ( )2 2 2. .a b a b= ( )2 2 2: :a b a b=
Producto de potencias de igual base 2 3 2 (2 3 2). .a a a a + += Cociente de potencias de igual base 3 2 (3 2):a a a −=
Potencia de potencia ( )32 (2.3)a a=
- Potenciación: Regla de Signos
Base Exponente Potencia positiva par positiva positiva impar positiva negativa par positiva negativa impar negativa
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Radicación
- Propiedades
Distributiva . .a b a b= : :a b a b=
Raíz de raíz (3.2)3 a a= - Radicación: Regla de Signos
Operaciones complejas en Racionales: paréntesis, corchetes y llaves
Separación en términos
La separación en términos está dada por los signo “+” y “-”
Luego se resuelve término por término:
Índice Radicando Raíz impar positivo un solo resultado (positivo) impar negativo un solo resultado (negativo)
par positivo dos resultados de igual valor y
diferente signo (positivo y negativo)
par negativo no tiene solución en Números
Reales
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Por último, se puede trabajar de dos maneras diferentes: Sumar y restar según el orden
Agrupando positivos y negativos
Paréntesis, corchetes y llaves: regla se signos
Por lo general, se “sacan” primero los paréntesis, luego corchetes y por último llaves. Para ello se debe tener en cuenta: Si delante se encuentra un signo “+”, los signos se mantienen. Si delante se encuentra un signo “ - ”, los signos se invierten. De esta manera podemos ver el siguiente ejercicio:
Donde primero “sacamos los paréntesis”:
Luego “sacamos los corchetes”:
Y “sacamos las llaves”:
Por último se resuelven los cálculos agrupando positivos y negativos:
O bien puede escribirse así:
Obteniendo:
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Nota: Otra manera de hacer estos cálculos, es ir resolviendo las operaciones dentro de los paréntesis, y lo mismo con corchetes y llaves.
o Propiedad Distributiva Dentro de operaciones complejas con “paréntesis, corchetes y llaves” podemos encontrarnos una multiplicación delante o detrás de los mismos.
En este caso se aplica la “Propiedad Distributiva”, multiplicando cada término dentro del paréntesis, de la siguiente manera:
UNIDAD Nro I: EJERCITACIÓN
1) Resolver y clasificar según el conjunto numérico al que pertenecen:
a. 3.3 ( 4).5 2 : ( 2)− + − + − =
b. 3.( 2) ( 12) : 3 4.0− + − − =
c. [ ]10 2 (4 2) : 2 8− − − + =
d. ( )2 32 8 : ( 2)− + − − =
e. 3 2 2 0 210 6 ( 28) . 9 4− − − + =
f. 2 3
0,75 0,3 23 4
− − + − =
)
g. 2 1
33 27 1 3
: .( 5)2 8 2 4
− − − + + − =
h. ( )1
32 3 3 42 : 64 .
4 27
− + =
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2) Calcular el valor de las potencias:
a.
131
8 =
b.
124
25 =
c.
321
4
− =
d. ( )238−
− =
3) Pasar de decimal a fracción:
a. 5,75 =
b. 8,042 =
c. 64,3 =)
d. 28,03 =)
e. 0,76 =))
f. 41,4 =)
UNIDAD Nro II: Ecuaciones
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o “datos”, desconocidos o “incógnitas”, relacionados mediante operaciones matemáticas.
Ecuaciones de Primer Grado
Se dice que una ecuación algebraica es de primer grado cuando la incógnita está elevada a la potencia 1, es decir que su exponente es 1 (x¹ = x). De esta manera, al resolver la ecuación obtendremos un solo resultado.
La manera de resolver una ecuación de primer grado es despejar. Despejar significa “dejar a la X sola” de un lado del igual y “pasar” todo dato para el otro lado.
Si dentro de la ecuación hubiera dos o más términos que incluyeran “X”, primero se deben unificar en uno solo. Lo mismo ocurre con los “datos” (si hubiera operaciones disponibles siempre es recomendable realizarlas primero).
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o Reglas básicas para pasar términos.
- Lo que está sumando pasa restando
- Lo que está restando pasa sumando
- Lo que está multiplicando pasa dividiendo
- Lo que está dividiendo pasa multiplicando
- Las potencias pasan como raíces
- Las raíces pasan como potencias
Nota: es importante en las ecuaciones recordar la “separación en términos” y el respetar el uso de “paréntesis, corchetes y llaves”.
Ya teniendo esto en cuenta, se procede a resolver la ecuación:
Separando en términos
Resolviendo las operaciones posibles
Unificando datos e incógnitas
Y despejando según corresponda
Para así, lograr el resultado
Ecuaciones de Segundo Grado
Se dice que una ecuación algebraica es de segundo grado cuando la incógnita está elevada a la potencia 2, es decir que su exponente es 2 (x²). De esta manera, al resolver la ecuación obtendremos dos resultados.
A diferencia de la Ecuación de Primer Grado, sólo despejando no obtendremos los resultados.
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La manera de resolver este tipo de ecuación es “agrupar” los datos y cada incógnita por su grado (X¹ y X² de forma separada). Una vez logrado esto, se debe “igualar” a cero, para obtener:
Siendo “a”, “b” y “c” los números que acompañarán dichos términos.
Por último, para obtener los valores de X1 y X2 se debe aplicar la siguiente fórmula:
Utilizaremos el siguiente ejemplo:
De esta manera determinamos que: a= -2 b = 14 c = -24
Reemplazamos en la fórmula:
Y resolvemos
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Sistema de Ecuaciones
Se denomina así a un conjunto de una o más Ecuaciones. Una característica es que poseen la misma cantidad de ecuaciones que de incógnitas.
Para poder resolver el sistema existen cinco métodos de resolución, nosotros utilizaremos solo dos: Sustitución e Igualación.
Método de Sustitución
- “Despejar” una incógnita (X óY) en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos). - Sustituir la incógnita dentro de la otra ecuación. - Resolver la ecuación de primer grado obtenida. - Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos).
A modo de Ejemplo:
Despejamos “x” en la primera ecuación
Sustituimos la “x” en la segunda ecuación Resolvemos
7 35. 9
2 2y y
− − =
35 159
2 2y y− − =
35 159
2 2y y− = +
17 172 2
y=
1y = Reemplazamos el valor obtenido de “y” en la segunda ecuación
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Método de Igualación
- “Despejar” una incógnita (X óY) en las DOS ecuaciones. - Igualar las dos incógnitas despejadas. - Resolver la ecuación de primer grado obtenida. - Reemplazar el valor obtenido en una de las ecuaciones (cualquiera de las dos).
A modo de Ejemplo:
Despejamos “y” en ambas ecuaciones Igualamos las incógnitas Resolvemos
Reemplazamos el valor obtenido de “x” en la primera ecuación
UNIDAD Nro II: EJERCITACIÓN
1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:
a. 2 3 25 2 7
x + = −
b. 3.(2 1) 5 : ( 5) 22x x− + − − = − −
c. 1 1
53 3
x += −
d. 4 6.( 2) 4.( 2)x x x+ + = − +
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2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:
a. 2 5 6 0x x− + =
b. 2x x= −
c. 24 12 9 9x x+ − = −
d. ( ) ( )6 . 6 8 1 4x x x+ − − = −
3) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Sustitución:
a. 2 5 9
4 2
x y
x y
− = −
+ = b.
4 3 10
7 2 3
x y
x y
+ =
− =
4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Igualación:
a. 4 6
6 3 0
x y
x y
− = −
+ = b.
5 2 11
2 5 13
x y
x y
− =
− − =
UNIDAD Nro III: Números Irracionales
El conjunto de números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas, siendo esto un gran inconveniente para poder operar. Sin embargo, existe la opción de trabajar con los radicales utilizando las propiedades de la potenciación y de la radicación.
Simplificación de radicales
Los índices de las raíces se pueden simplificar con los exponentes de los radicandos, siempre y cuando sean divisibles por el mismo número.
Extracción de factores fuera del radical
Para extraer factores de la raíz se debe “dividir” el exponente del radicando por el índice de la raíz, de la siguiente manera:
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Operaciones básicas en Irracionales (Suma, Resta, Multiplicación y
División)
Suma y Resta
Para sumar o restar radicales, éstos deben ser semejantes (mismo índice y radicando)
2 5 5 5 3 5+ − ( )2 5 3 5+ − 4 5
o Multiplicación y División
Cuando los radicales tienen el mismo índice se procede a multiplicar o dividir solo sus radicandos.
33 8. 2 3 8.2 3 16
9 54 4.a a 9 54 .a a 44 a a En caso de no poseer el mismo índice se debe calcular el mínimo común índice entre ambos radicales. Una vez obtenido el mínimo común índice, se procede a dividirlo por los índices de los radicales originales y ese valor multiplicarlo por la potencia de cada uno de sus radicandos.
UNIDAD Nro III: EJERCITACIÓN
1) Simplificar radicales:
a. 9
116+ =
b. 6 425
9x y =
c. 15 10
1520
32x y
z=
d. 4 16 1220 x y z =
2) Extraer factores fuera de las raíces:
a. 4 225b m =
b. 3 4 6 532a b c = c.
11 10 6
32
512z y x
x=
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UNIDAD Nro IV: Expresiones Algebraicas Llamamos así a toda expresión en la que se incluyen y combinan de cualquier forma: Operaciones matemáticas, números y variables o partes literales. Ejemplos: 2x + 1 5 (x + 3) + 3²
Monomio: Es una expresión algebraica “entera” que consta de UN solo término (mono: uno; nomio: término). Ejemplos: x² 6 -3m³n
Polinomio: Son sumatorias indefinidas de al menos un monomio (sumas y restas).
Cantidad de términos de un polinomio:
P(x) X + 3 P (x) es un polinomio de 2 términos o monomios. Se lo llama Binomio
Q(x) 4x³ - 5x² + x – 3 Q(x) es un polinomio de 4 términos o monomios. Se lo llama Cuatrinomio.
Grado de un polinomio y polinomios incompletos: el grado de un polinomio de una variable es el exponente más alto al que está elevada la variable. Un polinomio está incompleto cuando no están todos los exponentes (desde el 0 hasta el más alto).
P(x) X – 5 Grado 1 Completo
Q(x) x³ + 4 Grado 3 Incompleto
S(x) 5x³ - 3x² + x + 9 Grado 3 Completo
Factoreo de Polinomios: 5 Casos
Factorizar un polinomio significa expresar al polinomio como el PRODUCTO de dos o varios monomios, binomios, trinomios, etc.
¿Cómo factorizar un polinomio? Hay SEIS maneras básicas de factorizar un polinomio. En esta guía sólo trabajaremos las siguientes cinco:
1° Caso: Factor Común
Debe haber “algo” en común en TODOS los términos del polinomio. Este “algo” en común puede ser un dato (número) o variable (letra).
P(x)= 16x³ + 8x² - 2x +4 Cada término del polinomio tiene en común un dato (múltiplos de 2)
P(x)= 2 . (8x³ + 4x² - 1 + 2) De esta manera queda el polinomio factorizado.
Q(x)= 3x³ + x² - x Cada término del polinomio tiene en común una variable (letra “x”)
Q(x)= x . (3x² + x – 1) De esta manera queda el polinomio factorizado.
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Nota: tendremos casos donde el factor común esté dado por variables y datos en conjunto.
2° Caso: Factor Común en Grupos
Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener un número par de términos (con un mínimo de 4 términos).
El método es similar al 1° Caso, en verdad es como separar el polinomio en dos partes y luego aplicar en cada una de ellas el factor común. Para “partir” el polinomio en dos se debe tener en cuenta que en cada parte se debe poder aplicar factor común.
Por último, se deben “unir” estas dos partes, para ello se vuelve a realizar Factor Común.
3° Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto
En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cuadrado de un Binomio:
(a + b)² = a² + 2.a.b + b²
Este caso de factorización consiste en asegurar que un polinomio de 3 términos sea equivalente a un binomio elevado al cuadrado, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cuadrado.
Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener tres términos (ni más ni menos). Y dos de esos términos deben ser el cuadrado de “algo”.
Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:
√ √
3x 5 bases del Binomio (“a” y “b”)
Habiendo corroborado esos dos términos, nos queda un tercero. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dicho término se da de la multiplicación de las bases:
2.a.b 2.3x.5 30x
Al verificarse, entonces decimos que:
R(X)= 9x² + 30x + 25 = (3x + 5)²
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4° Caso: Cuatrinomio Cubo Perfecto
En primer lugar se debe recordar la fórmula del Cubo de un Binomio:
(a + b)³ = a³ + 3.a².b + 3.a.b² +b³
Este caso consiste en asegurar que un polinomio de 4 términos sea equivalente a un binomio elevado al cubo, y luego escribir el polinomio como un Binomio al Cubo.
Como primera medida a tener en cuenta, el polinomio debe tener cuatro términos (ni más ni menos). Y dos de esos términos deben ser el cubo de “algo”.
Para entenderlo mejor usaremos un ejemplo:
³√ ³√
x 2 bases del Binomio (“a” y “b”)
Habiendo corroborado esos dos términos, nos quedan dos más. Volviendo a la fórmula, podemos ver que dichos términos se dan de la multiplicación de las bases:
3.a².b 3.x².2 6x²
3.a.b² 3.x.2² 12x
Al verificarse, entonces decimos que:
Q(x)= x³ + 6x² + 12x + 8 = (x + 2)³
5° Caso: Diferencia de Cuadrados
Este caso es el más fácil de reconocer, ya que las condiciones son que el polinomio tenga dos términos, que cada término esté elevado al cuadrado; y que ambos términos estén separados por una resta.
Para resolver este tipo de casos se debe encontrar las bases de cada término. Luego se debe escribir el polinomio como la suma de las bases, multiplicado por la resta de las mismas.
Bases: √4x² = 2x √9 = 3
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UNIDAD Nro IV: EJERCITACIÓN
1) Factor Común. Resolver:
a. 4 212 8 4x x− − =
b. 3 25 3 7x x x− − =
c. 2 3 2 414 16 4m n mn n+ − =
d. 3 3 2 48 5x y x y− =
2) Factor común en grupos. Resolver:
a. 2 2 2 2a x b x a b+ + + =
b. 2 27 7x xy xz y z− + − + − =
c. 6 4 22 2x x x+ − − =
d. 6 4 23 6 4 8x x x− − + =
3) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver
a. 24 4 1x x− + =
b. 29 24 16x x+ + =
c. 24 12 9x x− + =
d. 10 52 1x x− + =
4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver
a. 3 23 3 1x x x− + − =
b. 3 227 54 36 8x x x− + − + =
c. 3 29 27 27x x x− + − =
d. 3 26 12 8x x x− + − =
5) 5° Caso de Factoreo: Resolver
a. 2 4x − =
b. 416 m− + =
c. 464 1x − =
d. 2 24a b− + =
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6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda:
a. 2 23 6 5 10ax ay x y+ + + =
b. 4 1a − =
c. 2 2 49 12 4m mn n+ + =
d. 2 4 2 32 4 6ab b a b+ + =
e. 3 2 2 4 6125 225 135 27m m n mn n− + − =
UNIDAD Nro V: Número Real
Conjuntos Numéricos
Conjunto: es una agrupación de objetos; personas; animales; o, en el caso de Matemática; números que comparten una propiedad en común. Existen dos maneras de definir un conjunto:
- Por extensión: Nombrando, uno por uno, a todos los elementos del conjunto.
- Por comprensión: Diciendo las propiedades, “pautas” o “condiciones” que deben cumplir dichos elementos.
Entonces, si tenemos un conjunto formado por los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Y llamamos a este conjunto “A”. Se define:
- Por extensión: A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
- Por comprensión: A = {x/x Є N, x < 10}
Para entender qué significan estos símbolos, debemos tener en cuenta el siguiente cuadro:
/x x : “Todos los valores de x tal que…” ∪ : Unión
N: Es el “Conjunto de los números naturales” ∩ : Intersección
∈: “Pertenece a…” ⊂ : “Está incluido en …”
⟩ : “Es mayor que…” ⟨ : “Es menor que…”
≥ : “Es mayor o igual que …” ≤ : “Es menor o igual que …”
∧ : y ∨ : o
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Para graficar un conjunto la manera más utilizada es el Diagrama de Venn. Se dibuja una curva cerrada con los números dentro, cada número acompañado de un pequeño punto.
Inclusión e Intersección de Conjuntos
Entre dos o más conjuntos se puede dar que compartan algunos o todos los números, a esto lo llamamos inclusión e intersección de conjuntos, diferenciándolos de la siguiente forma:
- Inclusión: , donde el conjunto B está incluido dentro del conjunto A
A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
B = {1; 2; 3}
- Intersección: , donde el conjunto B y el conjunto A compartan números. En otras
palabras, que se dé la condición: = {x/x ЄA ˄ xЄB}
A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {5; 6; 7; 8; 9}
= {5; 6}
Unión de Conjuntos
La unión de conjuntos es el resultado de “juntar” dos o más conjuntos. Por ejemplo:
, donde:
A= {1; 2; 3; 4; 5; 6}
B = {5; 6; 7; 8; 9}
= {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}
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Intervalos
Los intervalos numéricos están dados por inecuaciones. donde se utilizan los siguientes símbolos mencionados anteriormente:
Existen tres maneras de mostrar un intervalo:
- Gráfico: se dibuja una recta numérica y se delimita el intervalo
- Lenguaje simbólico: utilizando los símbolos < > ≤ ≥
-2 < x < 1
- Intervalo: Utilizando paréntesis () o corchetes [] según corresponda
(-2 ; 1)
Nota: Debemos tener en cuenta que para los signos “> <” corresponde utilizar los paréntesis () ya que no se “incluye” al número; mientras que para “≥ ≤”corresponden los corchetes [] ya que el número se encuentra “incluido” dentro del intervalo.
De esta manera podemos mencionar la clasificación de intervalos en:
o Abierto: valores de los extremos no están incluidos dentro del intervalo.
o Cerrado: valores de los extremos están incluidos dentro del intervalo.
o Semi-abierto: un valor de los extremos está incluido dentro del intervalo y el otro no.
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o Finito: intervalos con principio y fin.
o Infinito: intervalos donde solo se conoce el principio o el fin.
Módulo, valor absoluto.
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). De esta manera podemos decir:
x si x ≥ 0 |x| =
-x si x < 0
A modo de ejemplo podemos dar: |3| = 3 | -3| = - (-3) = 3
o Propiedades
- |x| ≤ k - k ≤ x ≤ k |x| ≤ 3 -3 ≤ x ≤ 3
- |x| ≥ k x ≥ k y x ≤ -k |x| ≥ 5 x ≥ 5 y x ≤ -5
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UNIDAD Nro V: EJERCITACIÓN
1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. (-1;5)∪ (3;10) =
b. (-5;8)∪ [3;9] =
c. (-8;0]∪ (3;12]
d. (3;6)∩ [5;20)
e. [-6;2)∩ [0;+∞ )
f. (7;25]∩ [-1;10)
2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.
3) Clasificarlos.
UNIDAD Nro VI: Funciones
Ejes Cartesianos
Par de rectas numéricas perpendiculares que se cruzan en un punto 0 de ambas rectas. Este punto se llama “de origen” y se simboliza con el “0”.
La recta horizontal se llama “eje x” mientras que la vertical, “eje y”. Los ejes dividen el plano en cuatro partes o “cuadrantes”.
Si queremos graficar un punto P en el plano cartesiano, debemos tener en cuenta que dicho punto es un par ordenado, donde la primera parte corresponde al “eje x” y la segunda al “eje y”.
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P= (2 ; -3) P= (-5 ; 6)
Estudio de Funciones
Teniendo dos conjuntos A y B, distintos de cero y donde para cada elemento x Є A existe un único elemento de y Є B, podemos decir que f(x) = y; donde f(x) es “función”.
Definición de función
“f” es una función de A en B si, y sólo si, es un subconjunto de A X B que satisface las siguientes condiciones de existencia y unicidad:
• ,3 / ( )a A b B a b f∀ ∈ ∈ ∧ ∈ (existencia)
• ( ) ( )a b f A a c f b c∧ ∈ ∧ ∈ ⇒ = (unicidad)
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Presentación de funciones principales
Función Lineal:
f(x) = y = mx + b
ejemplo: y = 2x - 1
Función Exponencial:
Cuadrática f(x) = y = ax² + bx + c
ejemplos: y = x² + 2 ; y = x² ; y = x² + 2x -1
Cúbica f(x)= y = x³
Función Racional:
f(x) = y = n/x
ejemplo: y = 1/x ; y = 2 / (x + 3)
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Función Radical:
Cuadrada f(x) = y = √x
ejemplos: y = √x ; y = √(2 – x)
Cúbica f(x) = y = ³√x
Ejemplos: y = ³√x ; y = ³√(x + 2)
Función Logarítmica:
f(x) = y = log x
ejemplo: y = log x
Función Exponencial:
f(x) = y = n ˄
ejemplo: y = 2˄
Función Módulo:
f(x) = y = |x|
ejemplo: y = |x|
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Dominio e Imagen
o Dominio: El conjunto de los valores de x del conjunto A para los que corresponde algún valor de y del conjunto B se llama dominio de la función.
o Codominio: El conjunto de los valores del conjunto B (que provienen o no de algún valor x) que puede o no pertenecer al dominio de la función. En el caso que pertenezca al dominio de la función se lo llama imagen de la función.
No siempre el Dominio de una función son todos los Reales. No siempre la imagen f (x) = Codominio Por tal motivo, debe definirse previamente el Dominio y el Codiminio para luego evaluar cómo se comporta una función (o relación)
f(x) = y = x Dom f(x)= R Codominio= Im(fx)
Nota: no todas las funciones tienen Dominio e Imagen en todos los Reales, existen excepciones (funciones racionales, funciones radicales (índice par), funciones logarítmicas, entre otras).
Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva
o Función Inyectiva: Una función f(x) es inyectiva siempre que y Є A y ≠ ; dando así f( ) ≠ f( ). Por lo tanto, si en un gráfico trazamos una línea horizontal y el mismo se corta en dos puntos, la función no es inyectiva.
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o Función Sobreyectiva: Una función f(x) es sobreyectiva si toda y Є B tiene al menos un elemento x del conjunto A. En otras palabras, cuando el Codominio = Im f(x). Si todo elemento del codominio es imagen de algún elemento del dominio, entonces la función es sobreyectiva.
o Función Biyectiva: Una función f(x) es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez.
Función Inversa
Toda función biyectiva tiene función inversa.
Si tomamos, por ejemplo la siguiente función: f(x) = y = 2x – 3
Su tabla de valores será Mientras que la función inversa tiene los valores invertidos
La fórmula de la función inversa se obtiene despejando la variable “x”.
X Y
2 1
1 -1
0 -3
-1 -5
-2 -7
X Y
1 2
-1 1
-3 0
-5 -1
-7 -2
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y = 2x – 3 y + 3 = 2x - (y + 3) : 2 = x
Una vez despejada “x” pasamos a renombrar las variables (la “x” pasa a llamarse “y” y viceversa).
y = (x + 3) : 2 f ¯¹(x) = y = (x + 3) : 2
Al reemplazar los valores de “x” por la tabla verificamos que coinciden, por lo tanto es la función inversa.
Al graficarse veremos como se cortan en algún punto ambas funciones.
Función Lineal
f(x) = mx + b
Toda función lineal tiene como gráfica una recta.
“m” indica la pendiente y “b” la ordenada al origen.
Ejemplo: f(x) = y = 2x +3
Para poder graficar una función lineal se debe colocar primero la ordenada al origen (sobre el eje y) y luego desplazarse tantos espacios como indique la pendiente, teniendo en cuenta:
m = 2/1 el numerador “2” indica desplazamiento vertical (+ hacia arriba y – hacia abajo)
el denominador “1” indica desplazamiento horizontal (siempre hacia la derecha)
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Otra manera de graficar es realizando una tabla de valores y luego graficarlos.
Para calcular una función f(x) que pasa por dos puntos P1 y P2 se utiliza la siguiente fórmula:
Donde P1 ( ; ) y P2 ( ; )
Entonces si tenemos que calcular la función f(x) que pasa por los puntos P1= (1;4) y P2= (-5;0)
Primero se debe reemplazar los valores de los puntos dados en la fórmula:
Y luego resolver despejando “y” de manera que quede la función f(x) = y = mx + b
-6 (y – 4) = -4 (x – 1)
-6y + 24 = -4x + 4
-6y = -4x + 4 – 24
y = (-4x – 20) : (-6)
y = 4/6x + 20/6 y = 2/3x + 10/3
X Y
1 5
0 3
-1 1
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UNIDAD Nro VI: EJERCITACIÓN
1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):
a. (-2;5)
b. (2;-3)
c. (-1;-4)
d. (2;3)
2) Graficar las siguientes funciones:
a. ( ) 2xf x= −
b. 2( ) 2xf x= +
c. ( ) 2x
xf =
d. ( )
1
4xf
x=
−
e. 3 2( )xf x=
f. ( )xf x=
g. ( ) | |xf x=
h. 2( ) 2xf x= −
i. ( )
12x
xf
−=
j. 3( )xf x=
3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).
4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.
5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.
6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:
a. 1 (1;4)P = 2 ( 5;0)P = −
b. 1 (4;0)P = 2 (6; 8)P = −
c. 1 (4;2)P = 2 ( 1;3)P = −
d. 1 (3;5)P = 2 (2;8)P =
7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:
a. ( ) 2 1xf x= − +
b. ( )
13
2xf x= −
c. ( ) 3 1xf x= +
d. ( )
21
3xf x= − +
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UNIDAD Nro VII: Logaritmos
Se llama logaritmo en base “b” de un número positivo “a”, a aquel valor “c” que hay que exponenciar “b” para que nos devuelva el valor “a”.
Así es como ya que
Propiedades de los logaritmos
o El logaritmo de un producto: es la suma de los logaritmos
log (5.2) = log 5 + log 2
o El logaritmo de un cociente: es la resta de los logaritmos
log (5/2) = log 5 – log 2
o El logaritmo de una potencia: la potencia pasa a multiplicar como constante al logaritmo
log 10³ = 3. log 10
En este caso debemos recordar que la radicación es una forma indirecta de la potencia ya que √x = x¹˄². Entonces
log √2 = log 2¹˄² = 1/2 . log 2
Cambio de base
Si quiero pasar un logaritmo de una base a otra, genero una división entre el logaritmo original (con la
nueva base “c”) y un segundo logaritmo donde coloco la base anterior.
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UNIDAD Nro VII: EJERCITACIÓN
1) Aplicando propiedades, resolver:
a. 5 5log 45 log 9− =
b. 2 4
1 1log
8 2 .8
=
c. 32log 9 =
d. 43
9log
1 81=
2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades
a. 10 10 10
12log 4 2log 5 log 16
2+ − =
b. 10 10 10 10 10
1log 7 log 3log log 5 log
2a b c+ + + + =
c. ( )2 2 2
1 1log log log
3 2a b c+ − =
d. 3 3 3 3
1log 5 3log log 4 log
2x y+ − + =
3) Utilizando cambio de base, resolver los siguientes ejercicios sabiendo que: log 2 3≅
a. 2log 10 =
b. 15
log 32 =
c. 5log 2 = 1
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1) APÉNDICE: GUÍA ADICIONAL
Unidad Nro I
1) Resolver:
a. ( )3 1 5 2 3 1 14 .5 . . . 4
4 2 8 15 2 2 2 − + − + − − − + − =
b. ( )31 1
2 1 3 1: 8 : : 2 1
3 2 4 2
−− − − + − − − =
2) Calcular el valor de las potencias:
a.
531
2 =
b.
1264
81
− =
c.
329
4 =
d. ( )2327− =
3) Pasar de decimal a fracción:
a. 6,05 =
b. 3,018− =
c. 2,5 =)
d. 1,21 =) )
Unidad Nro II
1) Ecuaciones de Primer Grado. Hallar el valor de la incógnita:
a. 24 30 6 12 81 9 54x x x− − + = − − b. ( ) 3 6
3 1 92
xx
−− − =
2) Ecuaciones de Segundo Grado. Hallar el valor de las incógnitas:
a. 2 2 1 0x x− + = b. 2 21 15 6
2 2x x x x x+ − = +
3) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Sustitución:
a. 4 3 1
8 3 2,5
x y
x y
− = −
+ = b.
3 3 3
3 3 1
y x
x y
+ =
− = −
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4) Sistemas de Ecuaciones. Hallar el valor de “x” e “y” utilizando el Método de Igualación:
a. 4 3 0
6 2 5
x y
y x
+ =
− = b.
2 7
7 2 3
x y
x y
+ =
− = −
Unidad Nro III
1) Simplificar radicales y extraer factores fuera de las raíces cuando sea posible:
a. 2 475a b =
b. 6 84 32x y = c.
3
34
81
16
ba c
x=
d. 3 516a x =
Unidad Nro IV
1) Factor Común. Resolver:
a. 3 2 2 355 10
2x y x y xy+ + = b. 5 3 228 7
15 15m n m n+ =
2) Factor común en grupos. Resolver:
a. 2 5 2 5ax ay a bx by b− + + − + = b. 16 8 2amx amy x y− + − =
3) Trinomio, cuadrado perfecto: Resolver
a. 2 24 4a ab b− + = b. 29 24 16x x− + =
4) Cuatrinomio, cubo perfecto: Resolver
a. 3 26 12 8x x x+ + + = b. 3 23 3 1x x x− + − =
5) 5° Caso de Factoreo: Resolver
a. 2 49m n− = b. 481 16x− + =
6) Factorear los siguientes polinomios aplicando el caso que corresponda:
a. 3 2 2 39 27 27a a c ac c+ + + =
b. 2 3 3 2 21 5 7
3 9 12ab c b c a b− + =
c. 2 393 9
4p p p− + =
d. 6 4 28 60 150 125x x x+ + + =
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Unidad Nro V
1) Representar los siguientes intervalos en la recta numérica.
a. (-1;5) ∩ (3;10) =
b. (-5;8) ∩ [3;9] =
c. (-8;0] ∩ (3;12]
d. (3;6) ∪ [5;20)
e. [-6;2) ∪ [0;+∞ )
f. (7;25] ∪ [-1;10)
2) Demostrar los intervalos del punto 1) en lenguaje simbólico.
3) Clasificarlos.
Unidad Nro VI
1) Graficar los siguientes puntos en el mismo par de ejes cartesianos (x;y):
a. (6;-3)
b. (5;-2)
c. (-1;0)
d. (2;-4)
2) Graficar las siguientes funciones:
a. ( )
2
3x
xf
−=
b. ( ) 2 1xf x= +
c. ( ) 3x
xf =
d. ( )
1
4xfx
=−
e. ( )
2
1xfx
=−
f. 2( ) 2xf x= +
g. 2( ) 3xf x=
h. 3( )
1
2xf x=
3) Determinar Dominio e Imagen de las funciones del punto 2).
4) Clasificar las funciones del punto 2) en Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva.
5) Encontrar la función inversa de las funciones del punto 2) (en el caso de no ser Biyectivas, acotar dominio e imagen). Graficar las funciones inversas que sean Biyectivas.
6) Función lineal: Determinar la recta que pasa por los siguientes puntos:
a. 1 (4;1)P = 2 ( 5;2)P = −
b. 1 (4;0)P = 2 (3; 4)P = −
c. 1 (2;1)P = 2 (1; 3)P = −
d. 1 (3;3)P = 2 (2;6)P =
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7) Graficar las siguientes funciones y determine pendiente y ordenada:
a. ( ) 2 1xf x= −
b. ( )
25
3xf x= +
c. ( ) 5 3xf x= +
d. ( )
11
4xf x= − −
Unidad Nro VII
1) Aplicando propiedades, resolver:
a. 2
10 4
100.log
a
b
=
b.
2
loga
x
y
=
2) Reducir a un solo logaritmo aplicando propiedades
a. 10 10 10 10
13log 2 log 5 log log 4
25+ + − =
b. 2 2log 30 log 15− =
c. 3 3log 5 log 6+ =