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    UNIDAD Nro I: Nmeros Reales

    Nmeros Naturales

    Los Nmeros Naturales son aquellos nmeros exactos y adems son slo positivos. Pueden incluir o no al Cero.

    1;2;3;4;5;6;7;8;9;...

    Nmeros Enteros

    Los Nmeros Enteros es una ampliacin del conjunto anterior ya que comprende tambin los nmeros exactos negativos.

    9; 7; 4; 2; 1;0;2;3;6;8;9;

    Nmeros Racionales

    Los Nmeros Racionales se forman de una parte entera y una parte no entera a la que se llama fraccin o decimal. Los nmeros Racionales son todos aquellos nmeros con o sin parte no entera, siempre y cuando se puedan expresar como una fraccin.

    3 1 1 7 13; ; 2; ;0; ; ;1;2 ;4;

    4 2 4 8 2

    Nmeros Irracionales

    Los Nmeros Irracionales se conforman por nmeros con infinitos decimales no peridicos y NO se los puede expresar como fraccin.

    32; ; 5;

    Nmeros Reales

    Los Nmeros Reales incluyen TODOS los conjuntos mencionados anteriormente.

    3 1 1 73; ; 2; 2; ;0; ; ;1; 2;

    4 2 4 8

    12 ; ;4;

    2

    Todos estos conjuntos pueden ser representados sobre una recta numrica.

    Nmeros Racionales

    Expresiones Decimales:

    Exactas: nmero finito de cifras decimales 0,55; 11,6; 2,5; 0,0001;

    Peridicas

    Puras: a continuacin de la coma presenta una o varias cifras decimales que se repiten peridicamente (perodo)

    0,5;12,1;3,9;...) ))

    Impuras o Mixtas: entre la coma y el perodo presenta una o varias cifras que no se repiten (constituyen el anteperodo)

    0, 25;1,125;9,541;)) )

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    Pasaje de Expresiones Decimales a Fracciones:

    Expresiones Decimales Exactas

    1,5 1510

    12,15 1215100

    Expresiones Decimales Peridicas Puras

    0,5)

    59

    0,33))

    33 199 3=

    Expresiones Decimales Peridicas Mixtas

    0,314))

    314 3 311

    990 990

    =

    1,157))

    1157 11 1146 573

    990 990 495

    = =

    Numerador: se coloca la expresin decimal sin la coma. Denominador: se coloca un 1 por la parte entera y un 0 por cada parte decimal.

    Numerador: se coloca la expresin decimal sin la coma. Denominador: se coloca un 9 por cada cifra dentro del perodo

    Numerador: se genera una resta entre la expresin decimal sin la coma y el anteperodo (si posee parte entera, esta tambin se resta). Denominador: se coloca un 9 por cada cifra dentro del perodo y un 0 por cada cifra del anteperodo (siempre hablando de cifras decimales).

  • Pgina 3 de 37

    Operaciones bsicas en Racionales:

    Suma y Resta

    1 Averiguar el Mnimo Comn Mltiplo (MCM), ese ser el denominador. 2 Para el numerador dividimos el MCM por el denominador de cada trmino y lo multiplicamos por su numerador.

    1 43 5

    ... ...15

    15.1 15.43 5

    15

    5 1215

    7

    15

    4 15 3+

    ... ...15+

    15.4 15.15 3

    15

    +

    12 515+

    1715

    La mecnica para sumar y restar fracciones es la misma, lo que cambia es el signo.

    Multiplicacin y Divisin

    La multiplicacin es directa (numerador con numerador y denominador con denominador) 7 5

    .2 3

    7.52.3

    356

    La Divisin es cruzada o una multiplicacin indirecta 6 7

    :5 11

    6.115.7

    6635

    6 11

    .5 7

    6.115.7

    6635

    - Regla de Signos

    Al multiplicar o dividir nmeros positivos y negativos se debe recordar:

    + Por o dividido + Es + + Por o dividido - Es - - Por o dividido - Es + - Por o dividido + Es -

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    Potencia

    Cuando un nmero racional es elevado a una potencia, esta potencia afecta tanto al numerador como el denominador.

    23

    7

    2

    2

    3

    7

    9

    49

    3

    1

    2

    3

    3

    1

    2

    18

    Lo mismo pasa con la radicacin de nmeros racionales.

    25

    9

    25

    9

    53

    31

    27

    3

    3

    1

    27

    13

    - Propiedades

    Distributiva ( )2 2 2. .a b a b= ( )2 2 2: :a b a b= Producto de potencias de igual base 2 3 2 (2 3 2). .a a a a + += Cociente de potencias de igual base 3 2 (3 2):a a a =

    Potencia de potencia ( )32 (2.3)a a= - Potenciacin: Regla de Signos

    Base Exponente Potencia positiva par positiva positiva impar positiva negativa par positiva negativa impar negativa

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    Radicacin

    - Propiedades

    Distributiva . .a b a b= : :a b a b=

    Raz de raz (3.2)3 a a= - Radicacin: Regla de Signos

    Operaciones complejas en Racionales: parntesis, corchetes y llaves

    Separacin en trminos

    La separacin en trminos est dada por los signo + y -

    Luego se resuelve trmino por trmino:

    ndice Radicando Raz impar positivo un solo resultado (positivo) impar negativo un solo resultado (negativo)

    par positivo dos resultados de igual valor y

    diferente signo (positivo y negativo)

    par negativo no tiene solucin en Nmeros

    Reales

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    Por ltimo, se puede trabajar de dos maneras diferentes: Sumar y restar segn el orden

    Agrupando positivos y negativos

    Parntesis, corchetes y llaves: regla se signos

    Por lo general, se sacan primero los parntesis, luego corchetes y por ltimo llaves. Para ello se debe tener en cuenta: Si delante se encuentra un signo +, los signos se mantienen. Si delante se encuentra un signo - , los signos se invierten. De esta manera podemos ver el siguiente ejercicio:

    Donde primero sacamos los parntesis:

    Luego sacamos los corchetes:

    Y sacamos las llaves:

    Por ltimo se resuelven los clculos agrupando positivos y negativos:

    O bien puede escribirse as:

    Obteniendo:

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    Nota: Otra manera de hacer estos clculos, es ir resolviendo las operaciones dentro de los parntesis, y lo mismo con corchetes y llaves.

    o Propiedad Distributiva Dentro de operaciones complejas con parntesis, corchetes y llaves podemos encontrarnos una multiplicacin delante o detrs de los mismos.

    En este caso se aplica la Propiedad Distributiva, multiplicando cada trmino dentro del parntesis, de la siguiente manera:

    UNIDAD Nro I: EJERCITACIN

    1) Resolver y clasificar segn el conjunto numrico al que pertenecen:

    a. 3.3 ( 4).5 2 : ( 2) + + =

    b. 3.( 2) ( 12) : 3 4.0 + =

    c. [ ]10 2 (4 2) : 2 8 + =

    d. ( )2 32 8 : ( 2) + =

    e. 3 2 2 0 210 6 ( 28) . 9 4 + =

    f. 2 3

    0,75 0,3 23 4

    + =

    )

    g. 2 1

    33 27 1 3

    : .( 5)2 8 2 4

    + + =

    h. ( )1

    32 3 3 42 : 64 .4 27

    + =

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    2) Calcular el valor de las potencias:

    a.

    131

    8 =

    b.

    124

    25 =

    c.

    321

    4

    =

    d. ( )238

    =

    3) Pasar de decimal a fraccin:

    a. 5,75 =

    b. 8,042 =

    c. 64,3 =)

    d. 28,03 =)

    e. 0,76 =))

    f. 41,4 =)

    UNIDAD Nro II: Ecuaciones

    Una ecuacin es una igualdad matemtica entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros y separadas por el signo igual, en las que aparecen elementos conocidos o datos, desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas.

    Ecuaciones de Primer Grado

    Se dice que una ecuacin algebraica es de primer grado cuando la incgnita est elevada a la potencia 1, es decir que su exponente es 1 (x = x). De esta manera, al resolver la ecuacin obtendremos un solo resultado.

    La manera de resolver una ecuacin de primer grado es despejar. Despejar significa dejar a la X sola de un lado del igual y pasar todo dato para el otro lado.

    Si dentro de la ecuacin hubiera dos o ms trminos que incluyeran X, primero se deben unificar en uno solo. Lo mismo ocurre con los datos (si hubiera operaciones disponibles siempre es recomendable realizarlas primero).

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    o Reglas bsicas para pasar trminos.

    - Lo que est sumando pasa restando

    - Lo que est restando pasa sumando

    - Lo que est multiplicando pasa dividiendo

    - Lo que est dividiendo pasa multiplicando

    - Las potencias pasan como races

    - Las races pasan como potencias

    Nota: es importante en las ecuaciones recordar la separacin en trminos y el respetar el uso de parntesis, corchetes y llaves.

    Ya teniendo esto en cuenta, se procede a resolver la ecuacin:

    Separando en trminos

    Resolviendo las operaciones posibles

    Unificando datos e incgnitas

    Y despejando segn corresponda

    Para as, lograr el resultado

    Ecuaciones de Segundo Grado

    Se dice que una ecuacin algebraica es de segundo grado cuando la incgnita est elevada a la potencia 2, es decir que su exponente es 2 (x). De esta manera, al resolver la ecuacin obtendremos dos resultados.

    A diferencia de la Ecuacin de Primer Grado, slo despejando no obtendremos los resultados.

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    La manera de resolver este tipo de ecuacin es agrupar los datos y cada incgnita por su grado (X y X de forma separada). Una vez logrado esto, se debe igualar a cero, para obtener:

    Siendo a, b y c los nmeros que acompaarn dichos trminos.

    Por ltimo, para obtener los valores de X1 y X2 se debe aplicar la siguiente frmula:

    Utilizaremos el siguiente ejemplo:

    De esta manera determinamos que: a= -2 b = 14 c = -24

    Reemplazamos en la frmula:

    Y resolvemos

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    Sistema de Ecua