unidad 4 integral definida. aplicaciones 1. Área bajo una curva. integral … · 2018-12-11 ·...
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IES Padre Poveda (Guadix) Matemáticas II
Departamento de Matemáticas Bloque I: Análisis de Funciones Profesor: Ramón Lorente Navarro Unidad 4: Integral Definida. Aplicaciones
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UNIDAD 4 INTEGRAL DEFINIDA. APLICACIONES
1. ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES Sea f continua en [ ]ba, con ( ) 0≥xf (Positiva en [ ]ba, ).
Partición de [ ]ba, : Conjunto finito de puntos { }nnn xxxxP ,,,, 110 −= K con bxxxxa n =<<<<= K210
bxxxxxxa nn == −13210
Diámetro de la partición nP : Mayor de los valores 11201 ,,, −−−− nn xxxxxx K
Tenemos dos aproximaciones al área bajo la curva, una por defecto y otra por exceso:
[ ] [ ] [ ][ ]⎩
⎨⎧
==
⇒⇒−
−−
iii
iiisWeierstras
Teorema
ii xxenfdeabsolutooMínimmxxenfdeabsolutooMáximM
Existenxxencontinuafbaencontinuaf,,
,,1
11
Área “por defecto”: ( ) ( ) ( )1122011 −−++−+−= nnnn xxmxxmxxmS K
Área “por exceso”: ( ) ( ) ( )1122011 −−++−+−= nnnn xxMxxMxxMS K
Siendo: →nS Suma inferior.
→nS Suma superior. ( ) nn SAÁreaS ≤≤
Si añadimos más puntos en la partición⇒Más rectángulos⎩⎨⎧
⇒superiores sumas lasDecrecen
inferiores sumas lasCrecen
Es claro, por tanto, que: ⇒≤≤≤≤ ++ nnnn SSASS 11 nnnn
SlímASlím+∞→+∞→
== A este límite se le llama integral definida de f entre a y b :
( )∫ =b
aAdxxf baf yentrededefinidaIntegral←
siendo a y b son los límites de integración inferior y superior respectivamente.
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Observa: La integral definida coincide con el área bajo la curva.
• Áreas “negativas”: Si f es negativa en [ ]ba, ( )( )0≤xf Haciendo el mismo proceso anterior se llega a:
( ) ( )∫∫ −=⇒−=b
a
b
adxxfAAdxxf
• Si f cambia de signo en [ ]ba, : O también:
Propiedades:
a) ( )∫ =a
adxxf 0
b) ( ) ( ) ( )∫∫∫ +=<<b
c
c
a
b
adxxfdxxfdxxfbcaSi ,
c) ( ) ( )∫∫ =b
a
b
adxxfkdxxfk
d) ( ) ( )[ ] ( ) ( )∫∫∫ ±=±b
a
b
a
b
adxxgdxxfdxxgxf
e) ( ) ( ) [ ] ( ) ( )∫ ∫≤≤b
a
b
adxxgdxxfbaenxgxfSi ,,
f) ( ) ( )∫∫ −=a
b
b
adxxfdxxf
2. TEOREMAS DE INTEGRACIÓN
2.1. TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL (DE LA MEDIA) Si f es continua en [ ]ba, entonces existe [ ]bac ,∈ tal que:
( ) ( ) ( )∫ −⋅=b
aabcfdxxf
Interpretación geométrica:
Existe [ ]bac ,∈ de modo que el área del rectángulo de base
ab − y altura ( )cf , coincide con el área bajo la curva entre [ ]ba, .
( )∫ +−=b
aAAAdxxf 321
( ) ( ) ( )∫∫∫ +−=++b
x
x
x
x
adxxfdxxfdxxfAAA
2
2
1
1
321
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2.2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en [ ]ba, y definimos:
( ) ( ) [ ]∫ ∈=x
abaxcondttfxF , (Función área)
Entonces F es derivable en [ ]ba, y ( ) ( )xfxF =′ . ( F es una primitiva de f )
Observación: Se ha producido un “enlace” entre el cálculo de áreas y la integral indefinida y, consecuentemente, con la derivación.
Ejemplo 1: Halla la derivada de ( ) ∫ −=x tdtexF
2.
Solución:
Como ( ) tetf −= es continua ( ) xlFundamentaT
CálculodelexF −=′⇒
.
Ejemplo 2: Halla la derivada de ( ) ∫=3
1
2xdttxF .
Solución:
Sea ( ) ∫=x
dttxG1
2 y ( ) ( )( )xhGxFxxh o=⇒= )(3
El integrando es una función continua GlFundamentaT
Cálculodel
.
⇒ es derivable y ( ) 2xxG =′
Por tanto, hGF o= es derivable al ser composición de funciones derivables y
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 822323 333 xxxxxGxhxhGxhGxF ==′=′⋅′=′=′ o
2.3. REGLA DE BARROW Si f es continua en [ ]ba, y G es una primitiva de f entonces:
( ) ( ) ( )∫ −=b
aaGbGdxxf
También se expresa: ( ) ( )[ ]∫ =b
a
baxGdxxf
En el siguiente punto se van a ver múltiples aplicaciones de la Regla de Barrow.
3. CÁLCULO DE ÁREAS
3.1. Si ( ) 0xf ≥ en [ ]ba,
( )∫=b
adxxfA
Ejemplo: Calcular el área encerrada por la curva ( ) [ ]π,0, ∈= xxsenxf y el eje de
abscisas.
[ ]∫ =−==π π
0 0cos xdxxsenA
( ) 22110coscos u=+=−−−= π
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3.2. Si ( ) 0xf ≤ en [ ]ba,
( )∫−=b
adxxfA
Ejemplo: Calcular el área encerrada por la curva ( ) [ ]ππ 2,, ∈= xxsenxf y el eje de abscisas.
[ ] ( )[ ] [ ]∫ =−−−=−−−−=−−=−=π
π
ππ ππ
2 22 211cos2coscos uxdxxsenA
3.3. Si f toma valores positivos y negativos en [ ]ba,
( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫ −+−=e
d
b
e
d
c
c
adxxfdxxfdxxfdxxfA
O bien:
( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +++=b
e
e
d
d
c
c
adxxfdxxfdxxfdxxfA
↑ Muy útil si No disponemos de la gráfica de f, pero SÍ de sus puntos de corte con OX.
Ejemplo: Calcular el área limitada por ( ) xsenxf = y el eje de abscisas en [ ].2,0 π
[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫ =+=+−=−−−=−=
π ππ
πππ
ππ
π0
220
20
2422coscoscoscos uxxxxdxxsendxxsenA
3.4. Área limitada por la gráfica de dos funciones con ( ) ( )xfxg ≤ en [ ]ba,
( ) ( )[ ]∫ −=b
adxxgxfA
Válida incluso si f ó g no son necesariamente positivas (Ver ejemplo 2).
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Ejemplo 1: Calcular el área limitada por las gráficas de ( ) xxf 4= y ( ) .2xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g: ( ) ( ) ⇒=−⇒=⇒= 044 22 xxxxxgxf
( ) ( )( )⎩
⎨⎧
⇒==⇒=−16,4
0,04;004
2
121 C
Cxxxx
Como ( ) ( ),xgxf ≥ entonces:
( )∫ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
4
0
24
0
322
332
324 uxxdxxxA
Ejemplo 2: Calcular el área limitada por las gráficas de ( ) 42 −= xxf y ( ) .3xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g:
( ) ( ) 04334 22 =−−⇒=−⇒= xxxxxgxf ( )( )⎩
⎨⎧ −−
⇒=−=⇒12,4
3,14;1
2
121 C
Cxx
Como ( ) ( ),xfxg ≥ entonces:
( )( )∫−−++−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−=−−=
4
1
24
1
23
43
2
61254
23
343
2
uxxxdxxxAxx4434421
3.5. Área limitada por dos funciones que se cortan
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫ ∫∫∫ −+−+−+−=e
d
b
e
d
c
c
adxxfxgdxxgxfdxxfxgdxxgxfA
O bien:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )∫∫∫∫ −+−+−+−=b
e
e
d
d
c
c
adxxgxfdxxgxfdxxgxfdxxgxfA
↑ Muy útil si No disponemos de las gráficas de f y g, pero SÍ de sus puntos de corte.
Ejemplo: Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones ( ) 3xxf = y ( ) .xxg = Puntos de corte de las gráficas de f y g:
( ) ( ) ( ) 010 233 =−⇒=−⇒=⇒= xxxxxxxgxf ( ) ( ) ( )1,1;1,1;0,01;1;0 321321 −−⇒−=== CCCxxx
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−+−=
=−+−=
−−
−
∫∫
∫∫1
0
420
1
241
0
30
1
3
1
0
0
1
4224xxxxdxxxdxxx
dxxfxgdxxgxfA
2
21
41
21
21
41 u=−++−=
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4. OTRAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 4.1. VOLUMEN Y ÁREA DE UN CUERPO DE REVOLUCIÓN
El volumen y el área lateral de un cuerpo de revolución engendrado al girar la curva ( )xfy = continua en [ ]ba, en torno al eje OX vienen dados, respectivamente, por:
( )[ ]∫=b
adxxfV 2π
( ) ( )[ ]∫ ′+=b
adxxfxfA 212π
Ejemplo: Hallar el volumen de una esfera de radio r y el área de su superficie esférica. Circunferencia de radio r: 222 ryx =+
( )[ ] ( ) ( ) 333
2222
222
34
3urxxrdxxrdxxrdxxfV
r
r
r
r
r
r
b
a
πππππ =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=−==
−−− ∫∫∫
( ) ( )[ ] =−
+−=′+= ∫∫ −
r
r
b
adx
xrxxrdxxfxfA 22
2222 1212 ππ
[ ] 22
22
22 4222 urxrdxrdxxr
rxr rr
r
r
r
rππππ ===
−−= −−− ∫∫
Ejemplo: Hallar el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje
OX el arco de gráfica de ( ) 2xxf = entre 1 y .3
( ) 33
1
53
1
43
1
22
5242
51
5243
5uxdxxdxxV πππππ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫
Ejercicio: Hallar el volumen y el área lateral del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje OX el arco de gráfica de ( ) xxf = entre 0 y .4
Solución: 38 uV π= ; ( ) 2117176
uA −=π
En el próximo apartado se verá como se calcula el volumen de este cuerpo por otro procedimiento.
4.2. VOLUMEN DE UN CUERPO DE SECCIÓN CONOCIDA El volumen de un cuerpo de sección conocida viene dado por:
( )∫=b
adxxSV
Siendo ( )xS la superficie de la sección obtenida al cortar el cuerpo por un plano xP perpendicular al eje de abscisas a una distancia
[ ]., bax∈
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x
Ejemplo: Obtén la fórmula del volumen de un cono de radio de la base r y altura h a través del cálculo del área de una sección arbitraria.
r r´
Ejercicio: Hallar, por secciones, el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar en torno al eje OX el arco de gráfica de ( ) xxf = entre 0 y .4 Solución: 38 uV π= ;
4.3. LONGITUD DEL ARCO DE UNA CURVA La longitud del arco de una curva ( )xf en un intervalo [ ]ba, viene dada por:
( )[ ]∫ ′+=b
adxxfL 21
siempre que tanto ( )xf como ( )xf ′ sean continuas en [ ]ba. .
Ejemplo: Hallar la longitud del arco de curva 3xy = en el intervalo [ ]1,0 .
u
x
dxx
dxxdxxL
27813131
81313
278
1491
278
491
278
491
49
23
94
32
491
231
31
0
23
1
0
21
1
0
21
1
0
2
21
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅⋅=
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
∫
∫∫
Observación: Si ( )xf viene dada por sus ecuaciones paramétricas y(t)y x(t);x == la longitud del arco de la curva ( )xf en [ ]ba, viene dada por:
( ) ( )∫ ′+′= 1
0
22t
tdttytxL con ( ) ,0 atx = ( ) .1 btx =
Ejemplo: Hallar la longitud del arco de curva definida por sus ecuaciones paramétricas
,senttx −= ty cos1−= entre 0=t y π=t .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )ttsentttsenttytx cos12cos2cos1cos1 222222 −=+−+=+−=′+′
( )
utdttsen
dttsendttdttL
42
cos222
2
22
2cos14cos12
00
0
2
00
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−==
==−
=−=
∫
∫∫∫π
π
πππ
h
Por semejanza de triángulos:
hrxr
xr
hr
=′⇒′
= ( ) 2
22
hxrxS π
=⇒
( ) 32
0
3
0 2
2
2
22
33uhrx
hrdx
hxrdxxSV
hhb
a
πππ=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=== ∫∫
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5. ANEXOS 5.1. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DEL VALOR MEDIO DEL CÁLCULO INTEGRAL
f es continua en [ ]ba,Teorema
sWeierstras⇒
[ ]( )[ ]( )⎩
⎨⎧
=∃
=∃
bafMbafm
, Máximo , Mínimo
tal que ( ) [ ]baxMxfm ,∈∀≤≤ .
Además:
( ) ( ) ( )∫ −≤≤−b
aabMdxxfabm ⇒ ( )∫ ≤
−≤
b
aMdxxf
abm 1
⇒ ( ) [ ]( )∫ ∈−
b
abafdxxf
ab,1
Por tanto, por el Teorema de los valores intermedios (Darboux):
[ ]bac ,∈∃ tal que ( ) ( )∫−=
b
adxxf
abcf 1
⇒ ( ) ( ) ( )abcfdxxfb
a−⋅=∫ .
5.2. DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
−+=
−=
−+ ∫ ∫∫∫ ∫+
→
+
→→ h
dttfdttfdttflím
h
dttfdttflím
hxFhxFlím
x
a
x
a
hx
x
h
hx
a
x
a
hh 000
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )xfcflímh
hcflím
h
dttflím hh
h
hMediaT
hx
x
h
∗∗
→→
∗+
→==
//⋅
== ∫00.0
F⇒ es derivable y ( ) ( )xfxF =′
Es decir, F es una primitiva de f en [ ]., ba
( ) f∗ es continua en [ ]hxx +,Teorema
Medialade⇒ [ ]hxxch +∈∃ , tal que ( ) ( ) ( )⇒/−+/⋅=∫
+xhxcfdttf h
hx
x
( ) ( ) hcfdttf h
hx
x⋅=⇒ ∫
+
( )∗∗ Si xch h →⇒→ 0 .
x ch x+h 5.3. DEMOSTRACIÓN DE LA REGLA DE BARROW
Por el Teorema Fundamental del Cálculo ( ) ( )∫=x
adttfxF es una primitiva de f.
Sea G otra primitiva cualquiera de f ( ) ( ) ,KxFxG +=⇒ es decir: ( ) ( ) KdttfxGx
a+= ∫ .
( ) ( ) ( )aGKKKKdttfaGa
a=⇒=+=+= ∫ 0 ( ) ( ) ( )aGdttfxG
x
a+=⇒ ∫ .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aGbGdttfaGdttfbGb
a
b
a−=⇒+= ∫∫ .