unidad 1. ecuaciones diferenciales de primer orden (investigaciÓn) derivadas, integrales, (con...

8/20/2019 UNIDAD 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN (INVESTIGACIÓN) DERIVADAS, INTEGRALES, (CON EJE…

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ÍNDICE

Unidad 1. Ecuaciones diferenciales de primer orden

¿Qué es la derivada?......................................................................................................... 1

¿Cuáles son las propiedades de la derivada? ................................................................... 1

¿Qué es y cómo se aplica la regla de la cadena? ............................................................. 2

¿Cómo se usan las fórmulas de derivación? (Ejemplos) ................................................... 3

¿Qué es un máximo y un mínimo? .................................................................................... 4

Aplicación de la derivada ................................................................................................... 5

¿Qué son las derivadas de orden superior? (Ejemplos) .................................................... 6

Características de la derivada implícita ............................................................................. 7

¿Cuál es el problema de estudio de la integral? ................................................................ 8

¿Qué es la integral? .......................................................................................................... 8

¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo? ................................................................ 8

¿Cómo se usan las fórmulas de integración? .................................................................... 8

¿Cuáles son los métodos de integración? (Ejemplos) ....................................................... 9

¿Qué es la integral definida? (Ejemplos) ........................................................................... 12

3 aplicaciones de la integral ............................................................................................... 13

¿Qué es una integral múltiple? .......................................................................................... 14

¿Qué son las derivadas parciales? .................................................................................... 14

Conclusión ....................................................................................................................... 15

Referencias ...................................................................................................................... 16


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¿Qué es la derivada?

Es una aproximación por medio de una recta tangente a una curva.

¿Cuáles son las propiedades de la derivada?

Función identidad. La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad

es igual a la unidad.

Derivada de una función constante. La derivada de una función constante es cero.

Derivada de una suma. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las

derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumando, ya

sean positivos o negativos.

Derivada de un producto. La derivada del producto de dos funciones, f y k , viene dada por

la fórmula.

Derivada de un cociente. La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del

numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el

cuadrado del denominador.

Derivada de una potencia. La derivada de una potencia o función potencial , es igual al

exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base


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Derivada de una raíz enésima. La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la

derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada

a n menos uno.

Derivada de una raíz cuadrada. La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la

derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

¿Qué es y cómo se aplica la regla de la cadena?

La regla de la cadena es la fórmula resultante de la derivada de la composición de funciones.

Si = () es una función derivable de u.Y = () es una función derivable de xEntonces:

= (()) es una función derivable de x y

O su equivalente

Procedimiento para derivar utilizando la regla de la cadena


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1. Identificar = () 2. Obtener la derivada de () 3. Obtener la derivada de ()

4. Obtener el producto de las derivadas, es decir, ′()′() 5. Sustituir por ().

¿Cómo se usan las fórmulas de derivación? (Ejemplos)

Derivada de una suma

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Derivada de una potencia


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Derivada exponencial

1)

Derivada logarítmica

1)

Derivadas Trigonométricas

¿Qué es un máximo y un mínimo?

Un valor de una función es un máximo si es mayor que cualquiera de los valores que la

anteceden o le siguen inmediatamente. Mientras que, un valor de una función es un mínimo

si es menor que uno cualquiera de los valores que le anteceden o le siguen inmediatamente.


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Un máximo, no es, necesariamente, el mayor valor posible de una función, ni un mínimo

tiene que ser el menor de todos.

Aplicación de la derivada

El conocimiento de una función se completa perfectamente dibujando su gráfica, los

siguientes resultados dan una idea aproximada de ésta:

Estudio de f

1. Dominio de f.

2. Puntos de corte con los ejes.

3. Signo de la función (regiones en las que varía el signo).

4. Simetrías.

Si f(-x) = f(x), función par, simétricas respecto del eje de ordenadas.

Si f(-x) =-f(x), función impar, simétrica respecto del origen.

5. Asíntotas

Verticales. Si existe a tal que , x =a es la ecuación de una asíntota

vertical.

Horizontales. Si , y =b es una asíntota horizontal.

Oblicuas. Si y , y =m x +n es una asíntota oblicua.

Estudio de f’

1. Crecimiento y decrecimiento. Si f ’(x)>0 , f es creciente. Si f ’(x)


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1. Concavidad y convexidad, f ’’>0 convexa È, f ’’


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3)

Obteniendo la primera derivada de la función (línea recta) obtenemos:

Al sacar la derivada a esta línea paralela al eje x, obtenemos

Características de la derivada implícita

Cuando se da una relación entre y por medio de una ecuación no resuelta para ,entonces se llama función implícita de .

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro

a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.


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¿Cuál es el problema de estudio de la integral?

El proceso inverso de la derivación, el cual se utiliza generalmente para el cálculo de áreas y

volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

¿Qué es la integral?

Proceso que permite devolver una función que ha sido previamente derivada. Es decir, la

operación opuesta de la derivada, así como la suma es a la resta.

Dada una función f(x), busca aquellas funciones F(x) que al ser derivadas conducen a f(x).

¿Qué dice el teorema fundamental del cálculo?

Establece que la derivación y la integración (definida) son operaciones inversas, en el mismo

sentido que lo son la división y la multiplicación.

Si una función es continua en el intervalo cerrado [,] y es una antiderivada de en elintervalo [,], entonces:

∫ () =

() − ()

¿Cómo se usan las fórmulas de integración?

La integral de una constante es igual a la constante por x.

Integrales de potencias


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Integral logarítmica

Integral exponencial

Integral del seno

Integral del coseno

¿Cuáles son los métodos de integración?

Integración por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos

funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trigonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

En este caso aplicamos la fórmula directamente, tomando la x como u.


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Integración por sustitución

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la

función compuesta.

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una

nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de var iable

1. Se hace el cambio de variable y se diferencia en los dos términos:

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral:

2. Si la integral resultante es más sencilla, integramos:

3. Se vuelve a la variable inicial:


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Integrales Racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que del

denominador, si no fuera así se dividiría.

Una vez que sabemos que el denominador tiene mayor grado que numerador,

descomponemos el denominador en factores.

Dependiendo de las raíces del denominador nos encontramos con los siguientes tipos de

integrales racionales:

Integrales racionales con raíces reales simples

La fracción puede escribirse así:

Los coeficientes A, B y C son números que se obtienen efectuando la suma e identificando

coeficientes o dando valores a x.

Integrales racionales con raíces reales múltiples


Integrales racionales con raíces complejas simples


Esta integral se descompone en una de tipo logarítmico y otra de tipo arcotangente.


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¿Qué es la integral definida? (Ejemplos)

Dada una función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la

gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.

La integral definida se representa por .

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b: límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Ejemplos:

1)

2)

3)


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3 aplicaciones de la integral

La función es positiva

Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por

encima del eje de abscisas. El área de la función viene dada por:

Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:

1. Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la

ecuación.

2. El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de

integración los puntos de corte.

Área comprendida entre dos funciones

El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por

encima menos el área de la función que está situada por debajo.

Volumen de una función


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El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y

limitado por x = a y x = b, viene dado por:

¿Qué es una integral múltiple?

Teniendo una expresión diferencial que contiene dos o más variables independientes, la

integramos considerando en primer lugar que una sola de ellas varía, y que todas las otras

son constantes. Entonces, integramos el resultado dejado variar alguna otra de las variables

y manteniendo las otras como constantes, y así sucesivamente.

Se trata de ir calculando integrales de una variable en el orden especificado. El diferencial

nos informa acerca del nombre de la variable con respecto a la que debemos integrar y su

posición indica el orden de integración, correspondiendo los diferenciales más interiores a las

integrales que hay que calcular primero.

¿Qué son las derivadas parciales?

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable independiente

al siguiente límite, si existe y es finito:

Calculado suponiendo constante.

Se llama derivada parcial de una función con respecto a la variable

independiente al siguiente límite, si existe y es finito:

Calculado suponiendo constante.


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Conclusiones

Al realizar este trabajo tuve la oportunidad de reforzar mis conocimientos y aclarar algunas

dudas que durante mi proceso de aprendizaje no fueron completamente aclaradas.

En esta ocasión me di la tarea de investigar en diferentes fuentes de consulta como libros,

apuntes de cursos anteriores e internet, en donde logré obtener muchísima y muy diversa

información.

Desde conceptos básicos, como son la derivada y la integral, hasta su forma de aplicación y

casos especiales, donde, con la ayuda de diferentes medios, como videos tutoriales,

imágenes animadas y páginas interactivas pude obtener un mayor entendimiento en ciertos

temas que antes no había prestado la atención que requería.

En mi punto de vista, esto, no es tan complicado. Ni siquiera lo sería si se mostrará mejor

interés en tener un buen desempeño en esta área de las matemáticas. Ya que es algo que

siempre vamos a utilizar a lo largo de nuestra vida personal y sobre todo en el ámbito

profesional.

Creo que el objetivo al desarrollar este trabajo de investigación en mi persona fue cumplido.

Ahora espero que todos los conocimientos adquiridos durante mis cursos anteriores y que,

ahora con esta investigación logré reforzar, pueda aplicarlos en clase y en un futuro, en mi

ámbito profesional.


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Referencias

Granville, William Anthony. (2013). Cálculo diferencial e integral . México:

Limusa.

Larson, R., Hostetler, R., & Edwards, B.. (2009). Cálculo Integral . México:

McGraw-Hill.

Dervor (2015). Derivada. febrero 20, 2016, de Dervor Sitio web:

http://www.dervor.com/derivadas/derivada.html

Vitutor. (2014). Cálculo integral. febrero 20, 2016, de Vitutor Sitio web:

http://www.vitutor.com/integrales/metodos/calculo_integral.html

http://www.dervor.com/derivadas/derivada.htmlhttp://www.dervor.com/derivadas/derivada.htmlhttp://www.vitutor.com/integrales/metodos/calculo_integral.htmlhttp://www.vitutor.com/integrales/metodos/calculo_integral.htmlhttp://www.vitutor.com/integrales/metodos/calculo_integral.htmlhttp://www.dervor.com/derivadas/derivada.html

unidad 1. ecuaciones diferenciales de primer orden (investigaciÓn) derivadas, integrales, (con...

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