Math. Ann. 252, 165-173 (1980) N © by Springer-Verlag 1980

Un th~or~me de prolongement pour des fonctions analytiques

S. Bosch ~, B. Dwork 2 et P. Robba 3

i Mathematisches Institut der Universit~it, Roxeler Strasse 64, D-4400 Mtinster, Federal Republic of Germany 2 Fine Hall, Princeton, NJ 08540, USA 3 Universit6 Paris XI, D6partement de Math6matiques, F-91405 Orsay C6dex, France

1. Introduction

1.1.

Soit K un corps complet pour une valuation ultram~trique non triviale. Pour R r6el >0, notons T R l'anneau des s6ries enti6res /t n variables, /t

coefficients dans K, convergeant dans la boule circonf6renci6e de rayon R, c'est-/t- dire des s6ries ~ acY~= ~ avX~ . . .X~ ~ telles que [aJRl~l~0 quand

yen n v~N ~ Iv[ = vx + . . . + v , - - , + oo.

Nous nous proposons de d6montrer le r6sultat de prolongement suivant

Th6or6me I. Soit ue T~ algdbrique sur T R pour un R > 1. Alors il existe R', avec 1 < R' ~ R, tel que u appartienne d T~,.

1.2.

Ce r6sultat peut ~tre interpr6t6 comme le cas particulier d'un th6or6me plus g6n6ral sur le prolongement de fonctions affinoides.

Notons IK~*I le groupe des valeurs de la cl6ture algbbrique K, de K. Soit A une alg~bre affinoide r6duite sur K, et soit Z : = SpA l'espace affinoide

associ6. Consid6rons n fonctions f l . - . f , de A. Pour se tg*l nous noterons Z, le sous-domaine affinoide de Z form6 des points z de Z tels que If~(z)l__<~ pour i = l , . . . , n . Soit A, ralg6bre affinoide correspondant ~t Z~, autrement dit Z~: = Sp A,.

Th/[or~me 2. Soit u e A1 une fonction analytique sur Z 1 qui satisfait une dquation non

triviale ~. ciu i =0, olz c o . . . . , cse A. Alors, si cs n' est pas un diviseur de zdro dans A, il i=0

existe s~ IK*I, s > 1, tel que u s e prolonge en une fonction analytique sur Z, , c' est-d- dire en un dWment de A~.

Le th6or6me 1 s'obtient en prenant A : = T R pour un Re [K*[, R > 1 et f~ :=X i pour i= 1, ..., n. En effet alors A~= T~ pour tout s~lK*l tel que e ~R .

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166 S, Bosch et al.

Le th6or6me 2, qui a 6t6 6nonc6 pour les sous-domaines de Weierstrass de Z, se g6n6ralise de fa~on imm6diate au cas des domaines rationnels et de Laurent.

1.3.

Au section 3 nous donnons la d6monstration du th6or6me 2 en termes d'espaces analytiques rigides ah la Taters. La d6monstration utilise une propri6t6 d'extension de sous-domaines affinoides, propri6t6 qui est elle-m6me une cons6quence directe du principe du maximum pour les fonctions affinoides, cf. [B], section 1.

Dans le cas oO K est de caract6ristique 0, nous donnerons au section 2 une autre d6monstration du th6orSme 1 utilisant le prolongement analytique ~ h la Krasner~. Bien que cette d6monstration ne nous donne pas un r6sultat aussi g6n6ral que la m6thode analytique rigide, nous avons jugs utile de la donner car d'une part elle n'utilise que des techniques relativement 61Smentaires, d'autre part c'est une m6thode constructive et elle permet d'estimer le rayon R' de la boule dans laquelle u converge.

Cette m6thode est une adaptation au cas de n variables de la m6thode utilis6e dans le th6orSme 3.1.6 de [D-R].

1.4.

Les th6orSmes 1 et 2 rSpondent h une question pos6e par S. Lang qui nous a 6galement encourag6 ~t pr6senter les d6monstrations de cet article. Nous allons indiquer rapidement l'application qu'avait en vue Lang dans le cas de la dimension 1 (pour plus de d6tails cf. [L2], chapitre 15).

Notons o K l'anneau de valuation de K et k son corps r6siduel. On suppose K de caract6ristique 0 et k de caractSristique p. Pour donner une interpr6tation cohomologique des travaux de Dwork sur la fonction Z6ta, Monsky et Washnitzer ont introduit l 'anneau or(X} des s6ries enti6res (/t une variable) coefficients dans o x ayant un rayon de convergence > 1, o K {X} = OK[I-X]] c~ U TR.

R > I Son complSt6 p-adique oK(X) = ox[[X] ] c~ T 1 est l 'anneau des s6ries enti6res dont les coefficients tendent vers 0. Alors le th6orSme 1 exprime que or{X } est int6gralement clos dans oK(X ). On en d6duit que oK{X} est int6gralement clos dans son corps des fractions Q.

Dans l'Stude des sommes de Gauss on est amens ~t 6tudier la courbe d'Artin- Schreier d'6quation YP- y - - x N = o (avec N entier premier ~ p). Soit y une solution de cette 6quation en caract&istique 0 (c'est-~t-dire au-dessus de Q) et soit Yo une solution en caract6ristique p [c'est-~t-dire au-dessus de k(X)]. Utilisant le th6orSme ! Lang montre que oK{X } I'y] est int6gralement clos dans aK(X)[y] et 6galement dans son corps des fractions. (Ceci est 6galement une cons6quence facile de notre th6orSme 2.) I1 utilise 6galement le r6sultat pr6c6dent pour montrer que Q(y) est une extension galoisienne de Q et que son groupe de Galois G sur Q est isomorphe au groupe de Galois G O de k(X, Yo) sur k(X), donc est isomorphe ~. 7Z/pTL

2. D6monstration du th6ori~me 1 (n~thode du prolongement analytique)

2.1.

Dans ce paragraphe nous supposons que K est de caract6ristique 0.

Un thtortme de prolongement pour des fonctions analytiques 167

De plus il est clair que si le t h to r tme 1 est vrai pour un surcorps complet de K, il est 6galement vrai pour K. On ne restreint donc pas la gtntralit6 en supposant que K est algtbriquement clos. En particulier le corps rtsiduel k de K est donc infini.

2.2. Notations

Pour x=(xi)eK" on pose Ixl = max [xi[.

Si a~K" et R e N + on pose

n(a, R +)= {x~ K"; Ixl < R}

B(a, R - ) = {x~ K" ; Ixl < R}.

Si Bes t un sous-ensemble de K ~ et f une fonction dtfinie sur B h valeurs dans K on pose

Ilfll~-- sup lf(x)l • xc-B

On note H(B) l 'anneau des 616ments analytiques sur B, c'est-/L-dire des limites uniformes sur B de fractions rationnetles sans ptles dans B.

Si f = ~ aCY~TR on pose pour r<__R V ~ N n

I f I, = sup lav[rN.

Cette fonction est une fonction continue et croissante de r. On sait que H(B(O,R+)) s'identifie avec T R et l 'on a (intgalitts de Cauchy)

tlfllBt0.R+) = If l~ .

Darts le cas R = 1 nous 6crirons Ifl au lieu de If11-

2.3.

Soit f = ~ c~YieTR[Y-], avec R > I et f ~ 0 , tel que f (u )=0 . i = O

On va dans une premitre 6tape montrer que use prolonge analytiquement en dehors de B(0, 1 +), c'est-~t-dire qu'il existe un ensemble (analytique) B non contenu dans B(0,1 +) avec B~B(0,1+)4=0 et un 616ment analytique v sur B tel que v coincide avec u sur BnB(O, 1+).

Dans une troisi~me 6tape, utilisant les propri t t ts de fonctions dtveloppables en strie entitre, nous montrerons que le domaine de convergence de u est suffisamment grand.

(La deuxi~me 6tape consiste/t rendre la dtfinition de B plus agrtable.)

2.4. Premidre dtape

Rappelons la mt thode d 'approximation de Newton en analyse ultram6trique.

Lemme 1 iL l ] . Soit K un corps comptet pour une valuation ultram~trique. Soit # une fonction analytique dans le disque unitd D(O, 1 +) de K, dont les coefficients de Taylor

168 S. Bosch et at.

sont des entiers de K. Soit a o un entier de K tel que ~ = )~ < 1. Alors la suite g (ao)

g(a,) ai+ t =ai g'(a~)

converge vers une racine a de f . De plus, on a pour tout i

]a-- ai[ ~ ,~ 2'

Rappelons 6galement le r6sultat classique suivant:

L e m m e 2. Soient K et g comme dans le temme 1. Soit a un entier de K. Supposons que g'(a)~eO. Alors g a au plus une racine dans le disque D(a, Ig'(a)[-).

Ces rappels &ant faits, remarquons d'abord (car K est de caract6ristique 0) que l'on peut toujours se ramener au cas o~t f ' (u)4:0. (C'est le seul moment oh l'on utilise l'hypoth6se que K est de caract6ristique 0.) De plus, quitte h multiplier u par une constante (en modifiant convenablement f) , on peut supposer que lul < 1. De mSme, en multipliant f par une constante, on peut supposer que ses coefficients ct(x ) vdrifient Ic,IR_-< 1 pour tout i.

Nous posons [if(u)[ = to. (On a to ~ 1.) Par troncature de u on voit qu'il existe un polyn<3me r/e K [ X ] tel que

lu -~ / l<~/2

If(r/)l < coa/9

[if(r/)[ = If'(u)l = co.

Pour a e , ~ nous posons

B--{x~g~; Ixl__<R et If'(~)(x)l>~}.

Pour r<-R on pose B,=Bc~B(O,r÷). (Notons que B d6pend de a; nous ne l'indiquons pas pour ne pas alourdir

l'~criture.) Choisissons alors R ' s ] I , R] tel que

lf(~)tR' < c°3/8.

Pour tout x e B R, on a alors

f(rl)(x) 1<; [f(r/)lR, to (f,(~lXx)) 2 [ _ ~ = 2 < -2 < 1.

D'apr6s le lemme 1, il en r6sulte que la suite de fonctions d6finies sur B R, par la formule

ao(X)-----~l(x)

f (atXx) a~+ l(x)=ai(x) f ,(atXx)

Un th6or6me de prolongement pour des fonctions analytiques 169

converge pour tout x e B R, vers une limite v(x) et de plus cette convergence est uniforme sur BR,. De plus il est clair que les a~ sont des 616ments analyt iques sur B R, donc leur limite v e s t aussi un 616ment analyt ique sur BR..

Mais pour xeBR.c~B(O, 1 ÷), on a

lu(x) - ~/(x)l < 09/2 < tr N If'(~)(x)l

et

fv (x ) - ~/(x)l =< 2 < 09/2 = If'(rt)(x)l

donc, d 'apr6s le lemme 2, on a v(x)= u(x).

En r6sum6 nous avons mont r6 que, quel que soit le choix de a dans 12 , o9[, il

existe un 616ment analytique v sur B R, (pour R' convenable > 1) tel que v coincide avec u sur BR, c~B(O, 1 +). [Nous verrons ult6rieurement que BR, c~B(O, 1 +) n'est pas vide.]

2.5. Deuxi~me ~tape

La d6finition de B R, fait intervenir la s6rie enti~re f '0/) . Nous allons d ' abord mont re r que, quitte h diminuer R', on peut simplifier cette d6finition en ne faisant intervenir qu 'un polyn6me. Nous verrons aussi que, moyennan t une rota t ion des axes, ce po lyn6me aura une forme canonique que nous pr6ciserons plus loin.

Consid6rons le d6veloppement de Taylor de f'(r/), f ' (~/)= Z aCYL

Posons m = sup {Ivl; laJ = If'(r/)l = co}. Posons e(x)= ~ a,X ~ et g = f ' ( r / ) - P .

Ivl __6m On a alors Igl<co. I1 existe donc R " e ] I , R ' ] tel que I#IR°<~. Alors si I#IR,,

<i t<co , on a pour tout xeB(O,R "+) [g(x)l<lglR,,<a et donc IP(x)l_~a si et seulement si If'(~/)(X)l > a. Pa r cons6quent

BR,,= {xeKn; IP(x)l>cr et lxt<R"}.

Dor6navan t on suppose que le tr de la premi6re &ape v6rifie la condit ion ci- dessus et que BR,, est d6fini par la condit ion ci-dessus. De plus pour all6ger l '6criture on 6crira B au lieu de BR,, et R au lieu de R".

Soit U une n x n matr ice inversible ayant ses coefficients entiers de K ainsi que son inverse. Consid6rons le changement de variables y = U - i x . Alors pour tout r e R + on a lyl<r si et seulement si Ix l<r .

No tons Q te po lyn6me d6fini par Q( Y)= P( U Y). On a

Q(Y)= Z by Y~"

Nous allons mont re r qu'il est possible de choisir U de telle sorte que l 'on ait

Ibvl = oJ(= IPI = [QI)

lorsque v i = m e t vj = 0 p o u r j 4 ~ i et ce pour i = 1, . . . , n. (Ceci est la forme canonique ment ionn6e au d6but de ce paragraphe.)

170 S. Bosch et aL

Pou r dbmontrer cette propri6t6 on peut, en multipliant P par une constante se ramener au cas oh 09 = t. Pa r passage au corps r6siduel, on obtient un polyn6me F'~ k[X], non nul, de degr6 m. Soit U = (u~t) une n x n matrice ~t coefficients dans /~=k .

Le coefficient de Y" dans (~(y j= /3(~y) , pour v i=m et v~=O si j#:i, est un polyn6me qt(fia) en les us~ h coefficients dans k, non nul. Comme k est infini il existe ~t~k , 1 < s < n , l<=t<n, tel que l 'on ait det(U)4=O et q~(~t) 4: 0, l<<_i<n.

I1 est alors clair que tout rel6vement U de [~ est solution du probl6me.

2.6. Troisibne ~tape

Nous nous sommes finatement ramen& ~ la situation suivante. Nous avons un polyn6me Q(IO= ~ bvY ~ satisfaisant

Ifl_~m

IQI = sup Ib~f = ¢9

et, pour 1 <_i<n, Ib~(01=co ot~ v(i)=(m,~o) 1 ~_~,. Le sous-ensemble B e s t d6fini par

B = { y ~ K " ; IQ(y) l~r et lYl<R}

o/~ ~" convenabtement choisi satisfait l'in6galit6 a < co. Nous avons une fonction fi d6finie sur B(0, t + )uB dont la restriction ~t B(0, 1 +)

est analyt ique et la restriction ~ B e s t un 616ment analytique. [On a ~(y)=u(Uy) pour yeB(0,1 +) et ft(y)=v(Uy) pour y ~ B et ces d6finitions coincident sur BomB(O, 1 +) d'apr~s la premiere &ape.]

Nous allons mont rer que ces hypoth6ses entraSnent que ~ est en fait analytique dans une boule B(0,R '+) avec R ' > I ce qui ach6vera la d6monstrat ion du th6or6me.

Nous allons d 'abord mont re r que pour l<_i<_n, darts les polydisques A t = (y~ K", tY~I < R et lyjt < 1 p o u r j ~= i}, la fonction fi est s6par6ment d6veIoppable en s6rie enti~re et donc globalement d6veloppable en s6rie enti6re. Utilisant alors les propri&6s de convexit6 du domain de convergence d 'une s6rie enti6re nous en d6duirons la propri6t6 annonc6e.

Fixons un indice i, 1 -< i--- n. Si lY~I > 1 et lYjl < 1 p o u r j =~ i, d'apr6s les hypoth6ses faites sur Q on a IQ(y)l=colytlm>co>a et donc y=(y~)eB. La polycouronne D t = {y~K~; 1 < lYtl < R et [Y~I < 1 pour j~= i} est donc contenue dans B.

Pou r j + i , t<=j<n, soit a j eK , !%1<1. Posons

q(z)=Q(al, . . . ,at_ 1, z, at+ I . . . . , a , ) = ~ c~z ~. S=J,

D'apr6s nos hypotheses sur Q, on a Ic~[ ~ co pour tout s e t [c.,I = [b~(01 = co. On a donc d'apr~s les in~galit6s de Cauchy sup Iq(z)l = Jq[1 = co. I1 existe donc z, avec [zl < 1 tel

I~1_-<1 que Iq(z)l > ~. On vient de voir que ron a dgalement Iq(z)l > cr pour [zl > 1,

No tons C l 'ensemble {z~ K ; Iq(z)l > a e t Izl ~ R} (C est l ' intersection de B avec la droite d'~quations y: = aj pour j 4: i). Posons

(O(Z) = a(al, . . . , a t_ l, z, ai+ 1 . . . . , an)"

Un throrrme de prolongement pour des fonctions analytiques 171

Alors tp est analytique sur le disque D(0, 1 +) et est un 616ment analytique sur C. On vient de montrer que CnD(0, 1 ÷) n'est pas vide. I1 en r6sulte ([R1], th6orrme 8.3) que ~p est un 616ment analytique sur CuD(O, 1 +)= D(0, R +), donc se drveloppe en srrie entirre sur D(O,R+). Ceci montre que dans le polydisque Ai, ~ est drveloppable en srrie entirre par rapport ~t la variable Yi.

Comme fi est drveloppable en srrie enti~re dans B(0, 1 +), il y est srparrment drvetoppable en srrie entirre par rapport ~t chaque variable yj pour j ~ i. On a vu que B contenait la polycouronne D i = {ye K"; t < lYll < R et lYjl < 1 pour j 4~ i}. Comme fi est un 616ment analytique sur D~, il est d6veloppable en srrie de Laurent dans D~ (seute ta variable y~ peut avoir des exposants n6gatifs) done fi est, dans D~, srparrment drveloppable en srrie entirre par rapport tt chaque variable Yi, J ~ i. Au total ~ est drveloppable en srrie entidre par rapport h y~,j~-i, dans A~.

Choisissons r~, 1 < j < n, appartenant au groupe des valeurs de K avec 1 < r i < R et 0 < r ~ < l pour j#:i. D'aprrs ce qu'on vient de voir, fi est srparrment drvetoppable en srrie entirre dans le polydisque A = {ye K ~ ; IYjl < r~, 1 < j < n}. Par ailleurs la frontirre distingure de ce polydisque dA = {ye K"; ly~l = r~} est contenue dans B, donc fi est un 616ment analytique sur ~A. I1 en rrsulte ([R2], corollaire 7.4) que fi est globalement dbveloppable en srrie entirre dans le polydisque A. Autrement dit le drveloppement en srrie entirre de fi pr6s de 0, qui coincide avec celui de u(U 10, converge pour lyjl ~ r j, 1 < j ~ n. Comme la valuation de K est dense (puisque K est algrbriquement clos) on peut choisir les rj de sorte que

z R < r i < R et z < r j < l pour j # i avec R - ~ / " < z < l .

Le raisonnement prrcrdent appliqu6 ~t chaque indice i nous montre qu'il existe rj, i, l < j<n , l < i<n , tel que

zR<ri , i<=R et z<=rj, t<l pour j # i

et que, pour 1 < i < n, le drveloppement en srrie enti6re de fi autour de 0 converge pour lYjl < rj, i, 1 <j < n.

D'aprrs une propri6t6 de convexit6 facile ~t vrrifier du domaine de convergence d'une srrie entirre ([R2], section 2.6) il en rrsulte que pour 0 <k t i ~ l , l ~ i ~ n , vrrifiant ~.#~= 1, le drveloppement de fi converge pour

i

lyjI = (-I • u, 1 <j < n r , i, --_ = • i=1

1 Appliqu6 ~ #i = - ceci donne une convergence pour

r/

ly l= Iq l__<j___.. i=1

Done le drveloppement en srrie enti~re de fi atttour de 0 (et done aussi celui de u) converge dans B(0, R1/"v +) ce qui ach~ve la d~monstration.

172 S, Bosch et aL

3. D~monstration du th6or~me 2 (m~thode analytique rigide)

Le papier fondamental de Tate [T] peut ~tre utilis6 comme r6f6rence g6n~rale pour les espaces affinoides. Par ailleurs nous utilisons implicitement la caract6risation locale des espaces affinoides normaux de [K] ainsi que la caract6risation correspondante des espaces affinoides r6duits (of. [G] et le th6or~me 36.4 de [N]).

Dans tout ce paragraphe on suppose que les nombres e, e ' . . . sont choisis darts tK~*t. Les notations sont celles du paragraphe 1.2.

Nous allons nous ramener au cas oil Z est normal et ofJ u~ A, est entier sur A.

3.1,

Ii suffit de montrer que use prolonge en une fonction m6romorphe. En effet, supposons que use prolonge en une fonction m6romorphe u' sur Z c

pour un e '> 1. L'ensemble P des points de Z c, oil u n'est pas analytique, est ferm6 darts Z~, pour la topologie de Zariski et est disjoint de Z~. I1 en r6sulte, grace au Korollar 1,2 de [B] qu'il existe un ~ ] 1 , ~ ' ] tel que Pc~Z~ =0. Par cons6quent, U'lz ~ est un prolongement anatytique de u.

3.2,

On peut supposer que u~ A, est entier sur A. En effet la fonction c~u est un entier sur A. Si on peut montrer que c~u se

prolonge en une fonction analytique sur Z~ pour un ~> 1, alors use prolonge en une fonction m6romorphe sur Z~. Cette derni~re assertion est vraie parce que c~ nes t pas un diviseur de z6ro dans A, (utiliser le fair que A est plat sur A~). I1 suffit alors d'appliquer 3.1.

3.3.

On peut supposer que Z e s t normal. En effet notons A' la cl6ture int6grale de A dans son anneau total des fractions.

Alors il r6sulte de [G] que A' est une alg~bre affinoide normale qui est finie sur A ; on appelle SpA' la normalisation de Z = SpA. On volt que SpA'~, le sous-domaine affinoide de SpA' oil toutes les fonctions f l , .--, f , prennent des valeurs absolues <~, est prbcis6ment la normalisation de SPA,. Par cons6quent, si on peut montrer que u, rue comme une fonction clans A'I, se prolonge en une fonction dans A'~ pour nn e> 1, alors, en particulier, use prolonge en une fonction m6romorphe sur SPA,. I1 suffit/t nouveau d'appliquer 3.1.

3.4.

I1 reste ~ d6montrer le th6or~me dans le cas ofJ Z e s t normal et 06 u~ A t est entier sur A, En appliquant le Korollar 1.3 de [B] on se ram6ne au cas oil Z 1 n'est pas vide et est irr6ductible. De plus, en consid6rant seulement les composantes irr&tuctibles contenant Zx, on peut supposer que Z~ est irr6ductible pour tout e_>- 1. Raisonnons par l'absurde. Supposons que, quel que soit e > t, l'616ment u ne peut pas &re prolong6 en un 6t6ment de A~. On peut choisir ~ > 1 suffisamment petit pour que le polyn6me minimal p(Y)eA~[Y] de u sur A~ soit du degr6 le plus

Un th6or6me de prolongement pour des fonctions analytiques 173

pet i t possible. Alors degp(Y)> 2 et W~, : = SpA,,I-Y]/(p(IO) est un espace affinoide r6dui t i r r6duct ible pour tout e 'e] l ,e-1. Le sous-domaine affinoide I411:= SpA l [ Y-J/(p(I0) est donc aussi r6duit, mais n 'est pas i rr6ductible puisque, sur A1, le po lyn6me p(Y) a l e facteur Y - u . Pa r consgquent W 1 cont ient au moins deux composan tes irr6ductibles. App l iquan t ~t nouveau le K o r o l l a r 1.3 de [B] ~ la normal i sa t ion de W~, on voit que les composan tes de W l peuvent ~tre prolong6es en diff6rentes composan tes de W~, pour e ' > 1 suff isamment petit. Mais ceci cont red i t l ' i rr6ductibil i t6 de l/V,,.

Bibliographie [B] Bosch, S. : Multiplikative Untergruppen in abeloiden Mannigfaltigkeiten. Math. Ann. 219,

165-183 (1979) [D-R] Dwork, B., Robba, P. : On ordinary linear p-adic differential equations. Trans. A.M.S. 231, 1-46

(1977) I-G] Gerritzen, L. : Erweiterungsendliche Ringe in der nichtarchimedischen Funktionentheorie.

Invent. Math. 2, 178-190 (1967) [K] Kiehl, R. : Die anatytische Normalitiit affinoider Ringe. Arch. Math. 18, 479-484 (1967) ILl] Lang, S.: On quasi algebraic closure. Ann. Math. 55, 373-390 (1952) I-L2] /bang, S. : Cyclotomic fields. II. Berlin, Heidelberg, New York: Springer 1980 IN] Nagata, M. : Local rings. New York, London: Interscience 1962 [R1] Robba, P. : Fonctions analytiques sur les corps values complets. Ast6risque n ° 10 (1973) [R2] Robba, P. : Prolongement analytique pour les fonctions de plusieurs variables sur un corps

valu~ complet. Bull. S.M.F. 101, 193-217 (1973) IT] Tare, J. : Rigid analytic spaces. Invent. Math. 12, 257-289 (1971)

Requ le 12 Juin 1980