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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

t m i , tmz, . tmn h 1 , smz, ., ban ) ,..., K ( aml, amz,. . - 3 atnu * * *, tx(I

Ein Untergraph von Gt wird abgeschlossen genannt, wenn er in der ersten Spalte mit einem Koeffizienten 0

beginnt und eine Mengevon (ri;! i ) -Koeffizienten exi-

stiert, die alle links einer Diagonalen von M liegen, so daD das aus diesen gewogenen Koeffizienten gebil- dete Polynom identisch verschwindet. Diese Bedin- gung ist automatisch erfiillt, wenn der Grad der Uber- bestimmung der Gleichungen im Sinne von LANCZOS gleich 1 ist.

Dieses Verfahren wurde vom Autor fur einen Com- puter programmiert und benutzt, um Polynomliisun- gen zu finden, bevor wie in [4] eine niiherungsweise Lijsungsmethode auf (1) angewandt wurde.

Prof. W. K. HAYMAN (London) und Dr. G. RASCHE (Ziirich) mochte ich fur Diskuseionen Dank ausspre- chen.

*=1

L i t e r a t u r 1 C. BERQE, Thborie des Graphs et ees Applications, Paris 1968,

Dunod. 2 1. KAYKE, Differentialgleichungen: Ltisunpmethoden und L8-

sungen, Leipzig 1943, Akademische Verlagsgeaellschaft. 3 C. LANCZO~, Applied Analysis, Englewood Cllffu, N.J., 1966,

Prentice-Hall, Inc. 4 E. I,. OETIZ, On the Generation of the Canonical Polynomiala

Associated with Certain Linear Operators, Msthematics Reeearch Report, Imperial College, London, 1964.

Man uberlegt sich leicht, daB der Konvergenzradius der Reihe (1.3) gr6Der als lAll, aber sicher kleiner ale lLzl ist. Diese Tatsache geatattet es, &, aber nicht mehr L oder einen hoheren Eigenwert als Wurzel der Glei- ctung

zu finden. Das Endresultat der Arbeit von MYSOVSKICH, das

im wesentlichen auf dem Auffinden der kleinsten Wur- zel von (1.4) beruht, ist die Beniitzung der rechten Seite der folgenden Ungleichung als Niiherung fur 1::

(1.4) /(A) = a, + u,A + aSRz + . . . = 0

Es wird bewiesen, daB diese obere Schrctnke fur nur im Falle eines einfachen Eigenwertes giiltig, aber besser als die obere Schranke der Formel (1.1) ist, was sich aus der Ausnutzung der Beziehung (1.6) a k . - a$+1 > 0 (k 2 2) ergibt. Mit Hilfe der Tatsache, daB die Ungleichung (1.6) sowohl bei positiv als auch bei negativ definiten Ker- nen erfullt ist, kann man beweisen, daB die Formel (1.6) auch fur negativ definite Kerne gilt.

Anschrift: Prof. Dr. E . L. ORTIZ, Pueyrred6n 1626 2. Die Ausdehnung des Verfahrens auf hahere Eigenwer te du rch Anwendung

auf d i e assoziierten Kerne Man kann nun das MYsovsKIcHsche Verfahren auf

(60.), Buenos Aires, Argentina.

0. SCHULER hohere Eigenwerte ausdehnen, indem man es auf die ersten Eigenwerte der aesoziierten Kerne anwendet und dabei einen zum GRAEsFE-Verfahren analogen Weg einschliigt. Die Grundlage dafiir bildet der von SCHUR r61 bewieaene

[Iber die Berechnung der symmetrischer Kerne m't Hafe der *uren der iterierten und assoziierten Kerne

enwerte definiter

1. Das Verfahren von MYSOVSEICH zur Bestimmung des e rs ten Eigenwerts

posit iv def in i te r Kerne mi t Hilfe de r Spuren

Bekanntlich kann der erste Eigenwert eines reellen, symmetrischen, definiten, stetigen Kerns so abge- schiitzt werden:

.

(Uk . . . Spur des k-ten iterierten Kerns, pl . , . Vielfachheit des Eigenwertes 1,; die Eigen.

werte sind nach wachsendem absolutem Be- trag geordnet: %, &, . . . , [ & I 5 I&l fiir m < a).

Es zeigt sich, daB die obere Schranke in (1.1) unge- nauer ist ale die untere. Fur positiv definite Kerne wird im folgenden eine von MYSOVSKICH gewonnene Verbesserung dieser oberen Schranke angegeben [3].

Das Verfahren kniipft an folgende bekannte Bezie- hung an, der die FREDHOLMBChe Determinante o(n) geniigt:

_ - Satz: Hind

Ai,Azr&, *

die Eigenwerte des Kerns K(s , t ) , wobei jeder Eigenwert 80 oft geschrieben ist, wie seine Ordnung angibt, so erhalt mun in den Produkten

die Gesamthit der Eigenwerte p(n) des zu K(a, t ) aasozi- ierten Kerns n-ten Uradea. Hierbei Mt die Ordnung eines Eigenwertee p(n) genuu gleich der Anzahl der obigen Produkte, die den Wert p(*) huben.

Es kommt damuf an, diesen Satz fur n = 2,3, . . . anzuwenden und die Beziehung (1.2) auf die assozi- ierten Kerne zu iibertragen. Im folgenden wird der grundsiitzliche Gedankengang dieser Ubertragung bzw. der Konstruktion einer ,,FREDHOLMschen Deter- minante" fur eine Integralgleichung mit assoziiertem Kern

A a , . A a , . I . . V i l a . ( a , < a , < . . . < a n )

h h

26*

396 Kleine Mitteilungen

Dabei ersetzen die Variablen 8, und Tp reinformell dievariablenschar apt, a@, . . . , s,,bzw. t,,, tpa,. . . , tpn.

Nun bildet man mit ilfe von

gewisse Funktionen

x as,, . . . ds in as,, . . . da, ,& . . . aaml , . . as,, und Zahlen

h h

a a

Mit Hilfe von (2.4) und (2.5) konstruiert man die Reihe

und die Reihe

AuDerdem ergibt sich aus (2.4) und (2.6) unmittelbar die Beziehung

b b

(2.8) Dmn = s. . . Dm-1 ?' ' ' " ds, . . . ds,. 81, - - an

a a

Unter der vorliiufigen Voraussetzung der Konvergenz der Reihen (2.6) und (2.7) fuhrt man jetzt folgende Funktion ein:

Aus (2.6) bis (2.9) erhllt man schliel3lich (2.10)

b b

a n

Mit Hilfe der Operatorschreibweise kann man die In- tegralgleichung (2.1) folgendermaden schreiben:

(a) (2.1 a) ( I - p(n) K * ) Q, = 0 .

Dem Kern K (::: '' ") entspricht also der Integral- (n) . $ tn

operator K*. Jetzt fuhrt man einen zu (2.9) gehorigen Integraloperator

ein, der fur D ( @ ) + 0 definiert ist. Dann gilt, wenn man Integraloperatoren

(2.11) r*(lc(n)) = D(p(n))-l . D*(p(n))

(a) (*) einfiihrt und G, = 1, Ci = 0 fur i 2 1 setzt, die Dar- stellung

m (n) (2.13) F*(p(n)) = 2 K * m . (p(n))m-1 ;

nZ=O

aus dieser Beziehung folgt aber mit b b

a a

(Spur des m-ten assoziierten Kerns vom Grad n) : h h

a a

Man sieht bereits jetzt, dad diese Gleichung der Gleichung (1.2) entspricht, auf der das MYSOVSRICH- sche Verfahren beruht (sie unterscheidet sich von (1.2) nur dadurch, dad an Stelle von Urn jetzt Ug) und an Stelle von I jetzt p(n) steht).

Um die Mvsovsmcmche Formel jetzt endgultig iibertragen zu konnen, ist folgendes nachzuweisen:

2.1. Die Konvergenz der Reihe (2.7) gegen D(p(n) ) und die Konvergenz der Reihe (2.6) gegen

2.2 Die Funktion r (S : : : 1 t } pW) ist eine Resol-

vente der Integralgleichung (2.1) bzw. (2.1 a). a d 2.1. Z u r Konvergenz de r Reihen (2.7) und

Durch eine Abschltzung des allgemeinen Gliedes der Reihe D(l) mit Hilfe des Hadamardschen Deter- minantensatzes und durch Anwendung des Quotien- ten- und Vergleichskriteriums llDt sich zuniichst zeigen, daD D(p(n) ) eine bestiindig konvergente Potenz- reihe in p(n) ist.

(2.6)

Dann betrachtet man die Reihe

+ K Z ( t l , 81,. ..., . ., 8, t " ) +

und beweist ihre Konvergenz, indem man eine konver- gente Majorante mit konstanten Gliedern angibt, Die Reihe (2.15) ist damit normal konvergent.

Schliedlich bildet man das Produkt - k "' * ' * ' sn

x D(l) und erhllt eine Reihe, die man so in Glieder- gruppen zusammenfassen kann, daB dies genau die Koeffizienten der Reihe (2.6) sind. Als Produkt zweier absolut konvergenter Reihen ist diese Reihe aber auoh absolut konvergent. a d 2.2. Beweis, dad D(p(W) bezuglich de r I n t e - gralgleichung (2.1) eine ,,FREDHOLMsche" De te rminan te ist .

Dieser Beweis gelingt durch Anwendung eines Gedankenganges von KOWALEWSKI [l] : man zerlegt die Grundintervalle a,. . . b,, a 2 . . . b,, . . ., a,. . . b , in in Teilintervalle ( S l , iil + AS,), (S2, Ss f.dii?), . . ., . . . , (Zn, + A&), und ersetzt (2.1) durch em lineares Gleichungssystem, das natiirlich nur niherungsweise erfullt ist. Man berechnet dann die Determinanto dieses Systems. Der Grenzwert, dem diese Determi- nante bei unendlicher Verfeinerung der Intervalltei- lung zustrebt, mud dann eine FREDHoLMsche Deter- minante eines zu K(a, t ) assoziierten Kerns vom Grad n sein. Es ergibt sich genau die Reihe D(p(n)).

Die Nullstellen von D(pW) sind daher tatsiichlich die Eigenwerte des assoziierten Kerns, weil nur fur D ( p ( n ) ) = 0 nichttriviale Eigenlosungen zur Inte- gralgleichung (2.1) existieren. Damit ergibt sich aber die Behauptung.

(ti, . . a , t n ) x

Kleine Mitteilungen 397

Damit ist aber die Beziehung (2.14) tatsiichlich gerechtfertigt. Das Analogon zur Formel (1.5) lautet dann : (2.16)

Die Verallgemeinerung ist damit geleistet, die An- wendung der Formel (2.17) erfolgt folgendermaBen: Mit n = 1 erhiilt man eine untere und eine obere

Schranke fur I,. Setzt man n = 2 , erhiilt man eine untere (pia&,) und eine obere (p:l0)) Schranke fur das Produkt pia) = 4 .A,. Durch Division von pi:il durch I , (o) bzw. von pcC;a&) durch A, (,,) erhiilt man dann eine untere und eine obere Schranke fur A,. Dann setzt man n = 3, usw.

3. u b e r d ie prak t i sche Berechnung der Spuren

Die Anwendung von (2.17) setzt die Kenntnis der Urn und Ug) voraus. Falls die Integration bei der Berechnung der Spuren der iterierten Kerne nicht exakt durchfuhrbar ist, kann man zur praktischen Berechnung der Spuren von der Tatsache Gebrauch machen, daD einem linearen, beschriinkten Integral- operator K* eine unendliche Matrix A entspricht [2], wenn diese beschriinkt ist. Die Elemente a ik dieser Matrix berechnet man nach der Formel

(3.1) aik = ( K * Yk, vi) t wobei die

(3.2) ein vollstiindiges Orthonormalsystem von Funktionen sind.

Fur die praktische Berechnung wird die dem Inte- graloperator K* entsprechende Matrix A ermittelt, diese aber nach endlich vielen (n) Zeilen bzw. Spalten abgebrochen. Die Spuren der Potenzen dieser Matrix sind dann Niiherungswerte fur die Spuren der iterier- ten Kerne. Es ist klar, daB die Genauigkeit des Ver- fahrens um so groBer ist, je groDer man n wiihlt, und daD das Ergebnis auch von der Wahl des Orthonor- malsystems abhiingt.

Das Potenzieren der Matrix A, kann am einfach- sten mit Hilfe einer elektronischen Digitalrechenan- lage durchgefiihrt 'werden.

SchlieDlich kann man mit Hilfe der Formel

(3.3)

Y19 w2, * * * t wit * *

n ug) = u(fl-1). urn - ug-2). UBrn + . . . m + (-1)n-l . Unm

die Ug) sukzessive BUS den U m berechnen.

4. Ein Beispiel Es werden der erste und der aweite Eigenwert des

Kerns K(8, t ) = 8 (1 - t ) :

K(8, t ) = t (1 - 8 ) :

0 5 8 5 t 5 1 O 5 t 5 8 5 1

bzw. .

berechnet. Die siimtlichen positiven und einfachen Eigenwerte iauten :

I , = n,n,, n 1 , 2 ,... . Bei der Berechnung der Spuren nach der Methode von Kapitel 3 wurde das vollstiindige Orthonormal- system der Winkelfunktionen verwendet. Es er- gaben sich fur eine Approximation rnit n = 25 (25-reihige Matrix) folgende Werte fiir die Spuren:

(4.1) U4 = 1,058 (1279) lo-', U, = 1,110 (6765) * lo -* ,

U,, = 1,233 (3426) . 10-lS,

Fur die Berechnung der Schranken wurden die ge- nauen Werte zugrundegelegt :

U, = 1,0582101 * 10-4, U , = 1,1107304.10-8 U,, = 1,2336844 . 10-l' . (4.2) {

Die Ergebnisse (4.1) lieBen sich durch VergroDern von n verbessern. Aus (3.3) und (4.2) folgt:

Mit (1.1) erhiilt man: 4.3) Via)= 0,452952.1O-lO ; U p ) = 0,188534 3 10-'0

I 0,9869596 < A, < 0,9879612 Fehler: F, O,l%

39,470 < A, < 39,89 (4.4) { I Fehler: F, 1,06y0

(2.17) liefert dagegen: 0,9869596 < A, < 0,9869647

Fehler: F ; = 0,0005%

Fehler: F i 0,07y0 39,47 < A, < 39,49 (4.5)

Mit (2.17) erzielt man also wesentliche Verbesserun- gen gegenuber (7.1), wobei der Arbeitsaufwand nahezu derselbe ist.

Die fiir das Beispiel notwendigen Rechnungen wur- den mit Hilfe der elektronischen Rechenmaschine IBM 7040 des Mathematischen Labors der TH Wien (Vorstand: Prof. Dr. RUDOLF INZINQER) durchgefiihrt.

L i te ra turverze ichnis 1 0. KOWALEWSKI, Integralgleichnngen, Berlin und Leiprig 1930. 2 A. LICHNEBOWICZ, Ltneare Algebra und liueare Analysis, Berlin

1966 3 I. P. MYBOVSKICH, Computation of the eigenvalues of integral

equations by means of iterated kernels, Doklady Akad. Nauk SSSR116 45-48 (1957).

4 0. SCHUL&, uber die Berechnung der Rigenwerte definiter sym- metrischer Kerne mit Hilfe der Spuren der Iterierten und asso- riierten Kerne, Dissertation, TH Wien, 1966.

5 I. SOHUR, Zur Theorie der linearen homogenen Integralgleiohun- gen, Math. Ann. 67, 8. 306-339 (1909).

Anachrift: Dr. 0. SCHULER, Brown, Boveri & Cie. AG, 5401 Baden, Schweiz

R. ANSORQE Tsc h e b y sc h ef f -A proximation der Lbsungen von Dkferentlalgleichungen bei Benutrung von Differenzenverfahren

In [l] fragen MEINARDUS und STRAUER nach guten Approximationen fiir eine auf einem abgeschlossenen Interval1 [a, b ] stetige Funktion y(z) durch Funktio- nen aus einem gewissen Raum V c C [a, b ] , wobei y als (nicht notwendig bekannte) Losung einer linearen Differential- (oder Integral-)-gleichung gegeben ist. Es sei y 6 V. Sie schlagen vor, zuniichst eine stetige Niiherung u(z) an y(z) zu bestimmen und anschlieDend diese Niiherung im TSCHEBYSCHEFFSChen Sinne durch Funktionen aus V zu approximieren in der Hoffnung, damit zugleich eine gute Approximation fur y be- zuglich V zu erhalten.

Unter gewissen Voraussetzungen, z. B. der Existenz von Minimallijsungen fur y und u beziiglich V , gelangt man zu der Abschiitzung

Dabei ist e,(f) = inf I/f--gl/, M eine obere Schranke

fur IIy - u/I, g*(z) eine Minimallosung fur u bezuglich

Die erzielte Approxirnationsgute kann offensicht- lich nur im Falle M < e,(u) beurteilt werden, da andercnfalls die linke Seite von (1) nichts aussagt. Eine gute Approximation liegt vor, wenn

(1) e,W - M 5 e,(y) 5 IIY - g*ll 5 e,W + M .

8sv

v, 11. . .I1 TSCHEBYSCHEEF-Norm.

M e,(u)<l

ist.