TU DRESDENInstitut für Verfahrenstechnik & Umwelttechnik Professur für VerfahrensautomatisierungProf. Dr.-Ing. habil. Klöden

Arbeitsblätter zum Fach

Sicherheitstechnik

Abschnitt: Zuverlässigkeit technischer Systeme

1. Einführung1.1 Grundbegriffe

Die Untersuchung der Zuverlässigkeit technischer Systeme ist für die Beurteilung der Sicherheiteine wichtige Komponente. Dabei ist aber festzuhalten, dass sich die Beurteilung der Sicherheiteines technischen Systems nicht auf eine Zuverlässigkeitsbetrachtung reduzieren lässt. So kannein Systemausfall zwar mit wirtschaftlichen Verlusten verbunden sein, muss aber nicht notwen-dig zur Gefährdung von Mensch, Technik und Umwelt führen. Umgekehrt kann man aber davonausgehen, dass eine sicherheitsrelevante Situation auch stets eine Verletzung der Zuverlässigkeitdarstellt.

Grundsätzlich kann man davon ausgehen, dass es die folgenden Gründe gibt sich mit derZuverlässigkeit technischer Systeme zu befassen:S Das Zuverlässigkeitsverhalten beeinflusst die Wirtschaftlichkeit eines Prozesses bzw.

Verfahrens. Ein unvorhergesehener Systemausfall ist in der Regel mit wirtschaftlichenVerlusten verbunden. Wenn man durch systematische Analysen des Zuverlässigkeits-verhaltens die Systemverfügbarkeit erhöhen kann, hat das im Allgemeinen positiveAuswirkungen.

S Das Zuverlässigkeitsverhalten hat auch Auswirkungen auf die Produktqualität. Da dasSystem im Ausfallzustand in der Regel seine Funktion verliert, fallen Produkte an, dienicht den Qualitätsforderungen entsprechen. Das bedeutet, dass neben dem Systemstill-stand zusätzliche wirtschaftliche Verluste auftreten werden.

S Eine Systemausfall bedeutet in der Regel eine Gefährdung der Sicherheit von Mensch,Ausrüstungen und Umwelt. Dieser Aspekt ist im Folgenden das entscheidende Motiv,die Untersuchung der Zuverlässigkeit technischer Systeme in die Sicherheitstechnik zuintegrieren.

In guter Näherung kann man die unterschiedlichen Definitionen des Begriffs der Zuverlässigkeitwie folgt zusammenfassen:

Zuverlässigkeit ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Prozesseinheit oderein System von Prozesseinheiten während eines definierten Zeitintervallsihre/seine Funktion bei vorgegebenen Leistungsparametern im Rahmen einerfestgelegten Toleranz erfüllt

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Aus der Definition folgt:S Die Zuverlässigkeit muss durch Kenngrößen beschrieben werden, die ihrem Wesen nach

Zufallsgrößen sind. Deren Verteilungen kennzeichnen das Zuverlässigkeitsverhalten.S Die äußeren Bedingungen (hier die geforderten Leistungsparameter), unter denen das

Zuverlässigkeitsverhalten betrachtet werden soll, müssen festgelegt werden.S Die Systemfunktion, deren Ausfall das Ende des zuverlässigen Funktionierens bedeutet,

muss ebenfalls definiert werden.S Es muss ein sinnvoller Toleranzbereich definiert werden, innerhalb dessen die System-

funktion von ihrem Sollwert abweichen darf, ohne dass das bereits als Systemausfallgewertet würde.

1.2 Ursachen für Ausfälle technischer Systeme

Wenn man das Ausfallverhalten bzw. die Zuverlässigkeit eines Systems beurteilen will, mussman dafür das Ausfallverhalten bzw. die Zuverlässigkeit der Systemelemente sowie die System-struktur kennen (s Abschnitt 3.). Im Folgenden wird zunächst die Zuverlässigkeit der System-elemente untersucht und beschrieben.Der Ausfall von Systemelementen lässt sich auf die folgenden Ursachenkomplexe, die in derRegel nicht isoliert sondern überlagert wirken, zurückführen:

! Fehler in der Auslegung und Projektierung! Fehler in der Fertigung der Ausrüstungen ! Fehler bei der Montage

! Fehler bei Bedienung und Wartung

! Alterung und Verschleiß

1.3 Vorbeugung gegen Ausfälle / Erhöhung der Zuverlässigkeit

Die Erhöhung der Zuverlässigkeit ist vor allem aus Sicht der Sicherheit von Bedeutung. Dabeibestehen die folgenden prinzipiellen Möglichkeiten:

! Die Zuverlässigkeit der Systemelemente wird erhöht, indemS durch eine systematische Test- und Einfahrstrategie Frühausfälle vermieden

werden,S die vorbeugende Instandhaltung auf der Basis statistischer Analysen und von

Verfahren der technischen Diagnostik zur Vermeidung von Spätausfällen einge-setzt wird,

S das Personal durch eine ständige Aus- und Weiterbildung optimal für einesichere, zuverlässige Bedienung qualifiziert wird.

! Die Zuverlässigkeit des Systems kann durch strukturelle Maßnahmen erhöht werden.

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2. Kenngrößen für das Zuverlässigkeitsverhalten von Systemelementen ( Prozessein-heiten)

2.1 Grundbegriffe aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung

� Verteilungsfunktion einer Zufallsgröße

Unter einer Zufallsgröße X wird eine Variable verstanden, die je nach dem Eintreffen eineszufälligen Ereignisses einen bestimmten, diesem Ereignis entsprechenden reellen Wert auseinem vorgegebenen Wertebereich annimmt.

Die folgende Funktion heißt die Verteilungsfunktion der Zufallsgröße X

P bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X < x gilt (-4 < x < +4). Die Verteilungs-funktion besitzt folgende Eigenschaften:

Für die Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. Verteilungsdichte gilt:

� Erwartungswert , Varianz, Quantile

Der Erwartungswert einer Zufallsgröße ist der verallgemeinerte Mittelwert dieser Größe. Allemöglichen Werte werden bei dieser Mittelwertbildung mit den Wahrscheinlichkeiten ihresAuftretens gewichtet. Es folgt dann:

Die Varianz einer Zufallsgröße bewertet die mittlere quadratische Abweichung um den Erwar-tungswert der Zufallsgröße. Es gilt dann:

q q qDie Zahl x , für die F(x ) = P ( X < x ) = q gilt, heißt Quantil der Ordnung q.

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� Beispiel: Die Normalverteilung

Die Normalverteilung ist aus der Sicht technischer Anwendungen eine der wichtigsten Vertei-lungen. Zufallsgrößen, die der Normalverteilung gehorchen, sind:- Beobachtungs- und Messfehler,- Abweichungen vom Nennmaß bei der Fertigung,- Brownsche Molekularbewegung

Für Verteilungsfunktion und Verteilungsdichte gelten folgende Beziehungen:

Für Erwartungswert und Varianz einer normalverteilten Zufallsgröße ergibt sich:

Im folgenden Bild sind zwei Funktionsverläufe für die Verteilungsdichte dargestellt:

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Für die praktische Arbeit liegt die Normalverteilung in Tabellenform vor. Dabei wird aberimmer die standardisierte Form für ì=0 und ó=1 vorausgesetzt. Diese Form lässt sich durch diefolgende Transformation

erreichen.

� Statistischer Test

Auf der Basis einer Stichprobe (z.B. eine endliche Anzahl von Wiederholungsmessungen), dieeiner Grundgesamtheit entnommen wurden, lassen sich Schätzungen für die Kennwerte er-mitteln. Diese lassen sich anwenden, um bestimmte Annahmen (Hypothesen) über die Grund-gesamtheit zu testen. Statistische Tests verfolgen das Ziel, Hypothesen über die Grundgesamt-heit zu testen. Das Testergebnis ist wegen der Zufälligkeit der Stichprobe stets mit einembestimmten Risiko der Fehlentscheidung behaftet. Wird dieses Risiko durch die Irrtumswahr-scheinlichkeit bewertet, die die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass eine Hypothese abgelehntwird, obwohl sie richtig ist (Fehler 1. Art), so spricht man von Signifikanztests.

1. Formulierung der “Nullhypothese”.2. Vorgabe der Irrtumswahrscheinlichkeit á.3. Konstruktion bzw. Auswahl einer Teststatistik, deren Verteilung für den Fall, dass die

Nullhypothese richtig ist, bekannt ist.4. Bestimmung des kritischen Bereichs aus dem Quantil der Testverteilung.5. Bestimmung einer Realisierung u der Stichprobenfunktion aus einer konkreten Stich-

probe.6. Liegt der Wert der Stichprobenfunktion im kritischen Bereich, so ist die Nullhypothese

abzulehnen; liegt er außerhalb des kritischen Bereichs, so ist gegen die Hypothese nichtseinzuwenden.

� Beispiel: Test der Verteilungsfunktion der Grundgesamtheit (Anpassungstest)

1. Postulieren der Verteilungsfunktion (z.B. Normalverteilung).2. Wahl der Irrtumswahrscheinlichkeit (üblich ist á=0.05).3. Es wird die folgende Stichprobenfunktion gewählt:

Diese Stichprobenfunktion ist, falls die Nullhypothese zutrifft, ÷ -verteilt.2

4. Bestimmung des Quantils der ÷ -Verteilung zur Irrtumswahrscheinlichkeit á2

und zu den Freiheitsgraden k-p-1. p bezeichnet die Anzahl der geschätzten Verteilungs-

6

parameter.5. Ausführung der Berechnung der Realisierung der Stichprobenfunktion ÷ .2

6. Gilt , so ist die Hypothese über die Verteilungsfunktion abzulehnen.

f , 1-áFreiheitsgrade f ÷ 2

á=0.05

1 3.8

2 6.0

3 7.8

4 9.5

5 11.1

6 12.6

7 14.1

8 15.5

9 16.9

10 18.3

11 19.7

12 21.0

13 22.4

14 23.7

15 25.0

16 26.3

17 27.6

18 28.9

19 30.1

20 31.4

30 43.8

40 55.8

50 67.5

60 79.1

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2.2 Wichtige Kenngrößen für die Zuverlässigkeit von Systemelementen2.2.1 Die Ausfallwahrscheinlichkeit („Unzuverlässigkeit“)

Es werde ein Systemelement betrachtet, das zum Zeitpunkt t=0 seine Funktion aufnimmt undzum Zeitpunkt T ausfällt. T heißt die Lebensdauer des Systemelements. Die Lebensdauer ist dieZufallsgröße, deren Verteilung im folgenden untersucht wird. Als Ausfallwahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich dann die folgende Verteilungsfunktion:

Es gilt offenbar: .Für die Ausfallwahrscheinlichkeitsdichte gilt:

2.2.2 Die Überlebenswahrscheinlichkeit (Zuverlässigkeit im engeren Sinne)

Es werde ein Systemelement betrachtet, das zum Zeitpunkt t=0 seine Funktion aufnimmt undzum Zeitpunkt t noch nicht ausgefallen ist. Als Überlebenswahrscheinlichkeitsverteilung ergibtsich dann die folgende Verteilungsfunktion:

Es gilt offenbar: .Zur Dichte der Ausfallwahrscheinlichkeit besteht der folgende Zusammenhang:

Da die Lebensdauer eine Zufallsgröße ist, kann man ihren Erwartungswert ermitteln. Dieserstellt die mittlere Lebensdauer dar. Es gilt:

2.2.3 Die Ausfallrate

Es werde ein Systemelement betrachtet, das zum Zeitpunkt t=0 seine Funktion aufnimmt und

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zum Zeitpunkt t noch nicht ausgefallen ist. Gefragt ist nun nach der Wahrscheinlichkeit dafür,dass das Element im Zeitintervall (t , t + Ät ) ausfällt. Für diese Wahrscheinlichkeit lässt sich diefolgende Dichtefunktion angeben:

Die Ausfallrate ë(t) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element mit dem Alter t imunmittelbar folgenden, hinreichend kleinen Zeitintervall Ät ausfällt. Die Ausfallrate erlaubtdamit die Beurteilung der „Anfälligkeit“ eines Systemelements mit dem Alter t.Die Ausfallrate bringt im Verhältnis zu den bereits eingeführten Zuverlässigkeitsmaßen keineneue Information (s. Definition); sie ist aber für eine Reihe von Fragestellungen besser zu nutzenals die Ausfallwahrscheinlichkeitsverteilung oder die Überlebenswahrscheinlichkeitsverteilung.Aus der Definition lässt sich unmittelbar herleiten:

1 2Mit Hilfe dieser Beziehung lässt sich die Zuverlässigkeit eines Elementes im Zeitintervall [t ,t ]finden:

1 2 1R( t , t ) ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element, das bis t nicht ausgefallen ist,

2auch zum Zeitpunkt t noch funktionsfähig ist.

Ein realistischer Verlauf der Ausfallrate über der Zeit ist (qualitativ) im nebenstehenden Bilddargestellt.

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Diese sogenannte „Wannenkurve“ lässt drei Abschnitte deutlich erkennen:

� Frühausfälle Diese Ausfälle sind überwiegend auf Fertigungs-, Material- und Bedienfehler zurückzuführen.Mit dem „Einfahren“ des Elements reduziert sich die Ausfallrate.

� NormalausfälleDie Ausfallrate bleibt im „Normalbetrieb“ annähernd konstant. Die Ursachen der Ausfälle sindzufälliger Natur.

� SpätausfälleDie Ausfallrate wächst nach Überschreiten einer bestimmten Betriebsdauer wieder an. Ursachenfür diese Zunahme sind Verschleiß- und Ermüdungserscheinungen.

Aus diesem Verlauf folgt, dass die im Abschnitt 1.3 bereits erwähnten Maßnahmen! Test und Einfahren der Elemente zur Vermeidung von Frühausfällen ! vorbeugende Instandhaltung zur Vermeidung von Spätausfällenoffensichtlich der gezeigten Entwicklung der Ausfallrate entgegenwirken.

2.3 Theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilungen2.3.1 Die Exponentialverteilung

Diese Verteilung ergibt sich, wenn man für die Ausfallrate einen konstanten Wert annimmt. Esfolgt dann:

Die Konstanz der Ausfallrate ist eine problematische Annahme, da daraus folgt, dass dasAusfallverhalten unabhängig vom Alter ist. Dennoch hat die Exponentialverteilung eine gewissepraktische Bedeutung, da sich viele Berechnungen besonders einfach gestalten und die Aus-wertung empirischer Daten ebenfalls mit geringem Aufwand möglich ist. Es muss eigentlich nurder Erwartungswert der Lebensdauer geschätzt werden.

In den folgenden Bildern sind die Dichtefunktion und die Ausfallwahrscheinlichkeitsverteilungfür unterschiedliche Werte des Parameters ë dargestellt:

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2.3.2 Die Ã-Verteilung

Die Ã-Verteilung ist als Verallgemeinerung der Exponentialverteilung anzusehen. Die Ã-Funktion ist zunächst wie folgt definiert:

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Für die Ã-Verteilung ergeben sich die folgenden Beziehungen:

Es ist leicht einzusehen,dass die Ã-Verteilungfür á = 1 in die Expo-nentialverteilung über-geht. Da die Ã-Vertei-lung zwei Parameterbesitzt, ist sie flexiblerin der Anpassung anreale Verhältnisse; al-lerdings ist sie auchkomplizierter in derHandhabung. Die fol-genden Bilder zeigenden Verlauf der Funk-tionen für unterschiedli-che Parameter á.

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2.3.3 Die WEIBULL-Verteilung

Die WEIBULL-Verteilung wurde ursprünglich zur Beschreibung von Ermüdungserscheinungenvon Werkstoffen vorgeschlagen. Es hat sich herausgestellt, dass diese Verteilungsfunktion füralle die Probleme herangezogen werden kann, bei denen die Ausfälle auf Ermüdungserscheinun-gen zurückzuführen sind. Es gelten folgende Beziehungen:

Auch die WEIBULL-Verteilung erweist sich als Verallgemeinerung der Exponentialverteilung,die sich für den Fall á = 1 ergibt.Die folgenden Bilder zeigen den Verlauf der Funktionen für unterschiedliche Parameter á.

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2.4 Bestimmung empirischer Zuverlässigkeitskenngrößen aus experimentellen Daten

Für die Bestimmung empirischer Zuverlässigkeitskenngrößen muss das Ausfallverhaltenexperimentell untersucht werden. Dazu wird der Untersuchungszeitraum in Zeitintervalleaufgeteilt; dabei werde angenommen, dass diese Zeitintervalle gleich groß sind. Es werden nundie Ausfallereignisse in jedem Zeitintervall gezählt. Die experimentellen Daten lassen sich somitin folgender Tabelle anordnen:

Zeitintervall k 0 1 2 ........ m-2 m-1

kZeit t = k Ät 0 Ät 2 Ät ........ (m-2) Ät (m-1) Ät

k 0 1 2 m - 2 m-1Anzahl der Ausfälle n n n n ........ n n

Die kumulativen Summen über die Ausfallereignisse ergeben sich zu:

.

Die Anzahl aller Ausfallereignisse ergibt sich zu:

Für die empirischen Kenngrößen ergeben sich die folgenden Beziehungen:

� Empirische Ausfall- und Überlebens-Wahrscheinlichkeitsverteilung

� Empirische Dichtefunktion

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� Empirische Ausfallrate

� Empirischer Erwartungswert - empirische mittlere Lebensdauer

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1 Dieser Satz lässt sich wie folgt allgemein formulieren:

3. Zuverlässigkeit von Systemen3.1. Einführung

Das Zuverlässigkeitsverhalten eines Systems hängt nicht nur von den Verhaltensweisen seinerElemente ab, sondern auch von seiner Struktur. Im Folgenden werden zunächst gewisse Grund-schaltungen untersucht:� Reihenschaltung� Parallelschaltung� ausgewählte gemischte SchaltungenAuf diese Grundschaltungen lassen sich kompliziertere Strukturen im Allgemeinen zurückfüh-ren, bzw. komplizierte Strukturen setzen sich aus diesen Grundschaltungen zusammen.Die zuverlässigkeitstheoretische Struktur eines Systems muss nicht notwendig mit seinertechnologischen Struktur übereinstimmen. In einer Reihe wichtiger Fälle stimmen aber techno-logische und zuverlässigkeitstheoretische Struktur überein. Die Entscheidung über die zuwählende sicherheitstheoretische Struktur hängt von den konkreten Funktionen der einzelnenElemente ab.

3.2 Reihenschaltung

Eine Reihenschaltung aus der Sicht der Zuverlässigkeit liegt vor, wenn der Ausfall einesElements den Ausfall des gesamten Systems bewirkt. Oder anders formuliert: Das System ist nurfunktionsfähig, wenn alle seine Elemente funktionsfähig sind.

Für die dargestellte Reihenschaltung gilt damit nach dem Satz über die Wahrscheinlichkeit einesEreignisses, das an das Auftreten von n unabhängigen Ereignissen gebunden ist :1

Damit ergeben sich die folgenden Beziehungen für Überlebenswahrscheinlichkeit und Ausfall-wahrscheinlichkeit:

Die Überlebenswahrscheinlichkeit einer Reihenschaltung von un-abhängigen Elementen ist gleich dem Produkt der Überlebenswahrschein-lichkeit der Elemente.

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< BeispielEs werde die Reihenschaltung von n Elementen betrachtet, deren Überlebenswahrscheinlichkeiteiner Exponentialverteilung folgt. Es ergibt sich dann zunächst für die Elemente:

Mit den oben angegebenen Grundbeziehungen und den in Abschnitt 2.3.1 eingeführten De-finitionen für die Exponentialverteilung folgt dann für die Schaltung:

Aus diesem Beispiel lassen sich anschaulich die folgenden Sachverhalte bezüglich der Zu-verlässigkeit einer Reihenschaltung feststellen:S Die Zuverlässigkeit der Schaltung der Elemente nimmt mit zunehmender Elemente-

anzahl exponentiell ab. Die mittlere Lebensdauer sinkt ebenfalls mit zunehmenderAnzahl der Elemente.

S Die Zuverlässigkeit der Reihenschaltung ist nicht größer als die Zuverlässigkeit desElements mit der geringsten Zuverlässigkeit.

Außerdem gilt für den konkreten Fall der Exponentialverteilung, dass auch die Überlebenswahr-scheinlichkeit der Schaltung der Exponentialverteilung gehorcht.

3.3. Parallelschaltung

Eine Parallelschaltung aus der Sicht der Zuverlässigkeit liegt vor, wenn der Ausfall allerElemente den Ausfall des gesamten Systems bewirkt. Oder anders formuliert: Das System istfunktionsfähig, wenn wenigstens ein Element funktionsfähig ist.

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Aus dem oben bereits eingeführten Satz über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das andas gleichzeitige Auftreten von n unabhängigen Ereignissen gebunden ist folgt damit:

Damit ergeben sich die folgenden Beziehungen für Ausfallwahrscheinlichkeit und Überlebens-wahrscheinlichkeit:

< BeispielEs werde die Parallelschaltung von n Elementen betrachtet, deren Überlebenswahrscheinlichkeiteiner Exponentialverteilung folgt. Es ergibt sich dann zunächst für die Elemente:

Vereinfachend werde nun angenommen, dass alle Elemente der gleichen Verteilung folgen, dassalso gelte . Damit ergibt sich:

Die Ausfallwahrscheinlichkeit einer Parallelschaltung von unabhängi-gen Elementen ist gleich dem Produkt der Ausfallwahrscheinlichkeit derElemente.

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Die Überlebenswahrscheinlichkeitsverteilung sowie alle anderen die Zuverlässigkeit derSchaltung betreffenden Kennfunktionen folgen nicht mehr den Beziehungen für die Exponenti-alverteilung.

Es lassen sich die folgenden wichtigen allgemeinen Sachverhalte bezüglich der Zuverlässigkeiteiner Parallelschaltung festhalten:

� Durch Parallelschaltung steigt die Zuverlässigkeit mit wachsender Anzahl der Elemente.Ebenso wächst die mittlere Lebensdauer.

� Damit lässt sich auch aus relativ unzuverlässigen Elementen ein zuverlässiges Systemrealisieren.

Die Parallelschaltung gleichartiger Elemente stellt eine wichtige strukturelle Reserve für dieErhöhung der Zuverlässigkeit eines Systems dar. Dabei ist aber darauf zu achten, dass mit derParallelschaltung gleichartiger Systemelemente auch die Kosten steigen. Es muss darum in derRegel ein optimaler Kompromiss gefunden werden, der die Formulierung einer Kostenfunktionvoraussetzt, die auch die Kosten enthält, die durch das Ausfall- und Stillstandsverhalten desSystems verursacht werden.

3.4 Gemischte Schaltungen

Bedingt durch die technologischen Verbindungen der Elemente in einem technischen Systemlässt sich die sicherheitstheoretische Struktur nur in wenigen Ausnahmefällen auf eine reineReihen- oder eine reine Parallelschaltung zurückführen.Für die folgenden Betrachtungen werde vereinfachend angenommen, dass das Zuverlässigkeits-

0verhalten für das feste Zeitintervall [ 0 , t ] untersucht werden soll. Es werden folgende Be-zeichnungen eingeführt:

0 iAusfallwahrscheinlichkeit des i-ten Elements bis t : p

0 i iÜberlebenswahrscheinlichkeit des i-ten Elements bis t : r = 1 - p

S S 0 S S 0Für eine Schaltung gelte: F = F ( t ) R = R ( t )

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Sollen kompliziertere Systemstrukturen bezüglich ihrer Zuverlässigkeit untersucht werden, sowird man versuchen, sie in Elementarzweige zu zerlegen, die als Reihen- oder Parallelschaltun-gen behandelt werden können.Die Vorgehensweise soll an zwei wichtigen Beispielen erläutert werden:

� Reihen-/Parallelschaltung

Die Schaltung stellt sich als Reihenschaltung paralleler Zweige dar. Im folgenden Beispiel istein solcher Fall dargestellt:

Die drei erkennbaren Parallelschaltungen kann man zu folgender Reihenschaltung umformen:

Für die neuen Elemente werden zunächst die Überlebenswahrscheinlichkeiten bzw. die Ausfall-wahrscheinlichkeiten nach der Regel für die Parallelschaltung berechnet; anschließend kann mandie Überlebenswahrscheinlichkeit und die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Reihenschaltungbestimmen. Man erhält:

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Diese Beziehungen lassen sich unschwer verallgemeinern:Es seien m Teilzweige, in denen k(l) [l = 1 ... m ] Elemente parallelgeschaltet sind, in Reihegeschaltet. Dann gilt für die Überlebenswahrscheinlichkeit bzw. die Ausfallwahrscheinlichkeitder Schaltung:

� Parallel-/Reihenschaltung

Die Schaltung stelltsich als Parallelschal-tung von Zweigen dar,deren Elemente in Rei-he geschaltet sind. Imnebenstehenden Bei-spiel ist ein solcher Falldargestellt.Die drei erkennbarenZweige, die jeweils fürsich als Reihenschaltun-gen zu betrachten sind,können nun wie folgt zueiner Parallelschaltungumgeformt werden:

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Für die neuen Elemente werden zunächst die Überlebenswahrscheinlichkeiten bzw. die Ausfall-wahrscheinlichkeiten nach der Regel für die Reihenschaltung berechnet; anschließend kann mandie Überlebenswahrscheinlichkeit und die Ausfallwahrscheinlichkeit für die Parallelschaltungbestimmen. Man erhält:

Auch diese Beziehungen lassen sich unschwer verallgemeinern:Es seien m Teilzweige, in denen k(l) [l = 1 ... m ] Elemente in Reihe geschaltet sind, parallelgeschaltet. Dann gilt für die Überlebenswahrscheinlichkeit bzw. die Ausfallwahrscheinlichkeitder Schaltung:

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� Analyse beliebiger Strukturen (ohne Brückenschaltung)

Es werden im Folgenden sogenannte Brückenschaltungen (dabei sind Elemente als „Brücken“zwischen den Zweigen angeordnet) ausgeschlossen. Unter dieser Voraussetzung lassen sich auchkomplizierte Schaltungen auf Parallel-/Reihenschaltungen bzw. Reihen-/Parallelschaltungenzurückführen. Dabei geht man so vor, dass man mit kleinen Teilschaltungen beginnt und diesezu „Superblöcken“ zusammenfasst. Dieser Prozess wird systematisch fortgesetzt, bis man einereine Reihen- oder Parallelschaltung von „Superblöcken“ erhält. Jede Zusammenfassungbedeutet, dass die entsprechenden Überlebens- bzw. Ausfallwahrscheinlichkeiten für einenSuperblock nach den jeweils zutreffenden Regeln berechnet werden. Damit können die Super-blöcke im Folgenden wie Elemente behandelt werden, deren Zuverlässigkeit bekannt ist.

3.5 Die Systemfunktion

Neben der Bestimmung von Kenngrößen für die Zuverlässigkeit eines Systems ist es auchmitunter von Interesse, wie die Funktionsfähigkeit eines Systems von der Funktionsfähigkeitseiner Elemente abhängt. Die Funktion, die die Funktionsfähigkeit des Systems mit den Funk-tionsfähigkeiten der Elemente (gemäß der Systemstruktur) verknüpft, heißt Systemfunktion. Die Funktionsfähigkeit eines Elementes lässt sich durch eine BOOLEsche Variable beschreiben:

Die Systemfunktion S ist eine BOOLEsche Funktion, die von den Funktionsfähigkeiten derElemente abhängt: .

Für die Reihen- bzw. Parallelschaltung gilt offensichtlich:

Mit diesen Grundbeziehungen lassen sich Beziehungen für die Systemfunktionen der Reihen-/Parallel sowie der Parallel-/Reihenschaltung herleiten.

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Aufgaben im Fach

Sicherheitstechnik

Abschnitt: Zuverlässigkeit technischer Systeme

1. Aufgabe

Es werden n Elemente in Reihe geschaltet, für die angenommen werden kann, dass ihre Über-lebenswahrscheinlichkeitsverteilungen der WEIBULL-Verteilung folgen.

Folgende Aufgaben sind zu lösen1.1 Bestimmen Sie die Überlebenwahrscheinlichkeitsverteilung der Schaltung in allgemei-

ner Form.1.2 Unter welcher Bedingung ergibt sich auch für die Überlebenswahrscheinlichkeitsver-

teilung der Schaltung die Form der WEIBULL-Verteilung? 2. Aufgabe

Für eine bestimmte Sorte von Pumpen-Dichtungen wurde eine Lebensdaueruntersuchungrealisiert. Dabei ergeben sich folgende empirische Werte für das Ausfallverhalten:

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

kn 70 65 50 45 45 30 25 25 20 18

k 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

kn 18 17 17 15 15 14 14 14 15 15

k 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

kn 19 19 20 20 22 25 26 28 39 50

Das Zeitintervall bei diesen Untersuchungen betrug Ät = 500 h.Folgende Aufgaben sind zu lösen:2.1 Die empirischen Verläufe der Ausfall- sowie der Überlebenswahrscheinlichkeitsver-

teilungsfunktion sind zu bestimmen und darzustellen. 2.2 Der Verlauf der empirischen Ausfallrate ist darzustellen und zu diskutieren.2.3 Die mittlere Lebendauer ist zu bestimmen.

3. Aufgabe

Für das im folgenden technologischen Schema (das einen Teil einer Äthylengewinnungs-Anlagebeschreibt) dargestellte System ist die Zuverlässigkeit innerhalb eines vorgegebenen Zeit-intervalls zu bestimmen.

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Für die Elemente werde angenommen, dass ihre Überlebenswahrscheinlichkeiten Exponential-verteilungen gehorchen. Die Ausfallraten sind folgender Tabelle zu entnehmen:

Element Ausfallrate ë in 10 /h-6

Folgende Aufgaben sind zu lö-sen:3.1 Das Zuverlässigkeits-

schema des Systems istzu zeichnen.

3.2 Die Wahrscheinlichkeitfür den Systemausfallinnerhalb von zweiJahren (17520 h) ist zubestimmen.

Kolonne 62.5

Kondensatoren WÜ1,2 15.0

Kondensatorbehälter VB 3 15.0

Methanolbehälter VB1 , VB2 0.15

Umlaufverdampfer UV1, UV2 16.0

Pumpen P1 , P2 8.7