trigonometria no triângulo retângulo

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Trigonometria no Triângulo Retângulo

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Contexto historico

Surgimento da Trigonomia

Qual ferramenta utilizada na Trigonometria?

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Relacionando lados e ângulos A trigonometria tem sua origem, portanto, na

necessidade de relacionar lados e ângulos de um triângulo.

a hipotenusa BC = a

A

B

C

a

b

c o cateto AC = b o cateto AB = c

A = 90º B + C = 90º

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Relacionando lados e ângulos

A

B

C

a

b

c a2 = b2 + c2

⍺

cateto oposto a ⍺hipotenusa =sen ⍺ = c

a

cateto adjacente a ⍺hipotenusa =cos ⍺ = b

a

Razões trigonométricas

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Relacionando lados e ângulos

A

B

C

a

b

c a2 = b2 + c2

⍺

cateto oposto a ⍺ =tg ⍺ = cbcateto adjacente a ⍺

os números sen ⍺, cos ⍺ e tg ⍺ são chamadas de razões trigonométricas do ângulo ⍺.

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Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas do ângulo B.

12 16

A

BC

Teorema de Pitágoras

BC2 = AB2 + AC2

x2 = 162 + 122

x2 = 256 + 144x2 = 400x = 20

20

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Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.

cateto oposto a Bhipotenusa

sen B = = 1220

= 35

= 0,6

cateto adjac. a Bhipotenusa

cos B = = 1620

= 45

= 0,8

12 16

A

BC20

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Exemplos

O triângulo ABC da figura é retângulo em A. Obter as razões trigonométricas de B.

cateto oposto a Bcateto adjac. a B

tg B = = 1216

= 34

= 0,75

12 16

A

BC20

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Exemplos

Calcular os ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos lados medem 5 cm e 6 cm.

5 cm16

6 cmx

y

tg y = 65

= 1,2 ⇒ y ≈ 50º

x + y = 90º

⇒ x ≈ 40º

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Outras razões trigonométricas

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A

B

C

a

b

c

⍺

cateto oposto a ⍺hipotenusa =cosec ⍺ = a

c

cateto adjacente a ⍺hipotenusa

=sec ⍺ = ab

= 1sen ⍺

= 1cos ⍺

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A

B

C

a

b

c

⍺

cateto oposto a ⍺ =cotg ⍺ = bc

cateto adjacente a ⍺= 1

tg ⍺

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Seno, co-seno e tangente de ângulos complementares

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Ângulos complementares

A

B

C

5

4

3

⍺ + = 90º

⍺

tg ⍺ = 34

⇒Os ângulos ⍺ e são complementares

sen ⍺ = 35 cos ⍺ = 4

5

tg = 43sen = 4

5 cos = 35

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Ângulos complementares

A

B

C

a

b

c

⍺ + = 90º

⍺

tg ⍺ = 1tg

⇒Os ângulos ⍺ e são complementares

sen ⍺ = cos cos ⍺ = sen

sec ⍺ = cosec cosec ⍺ = sec cotg ⍺ = tg

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1 cm

2 cmt

Exemplo

No triângulo retângulo da figura, temos:

I. sen t = ½ II. sec t = √52

III. tg t = 2

A(s) afirmativa(s) verdadeira(s) é(são):

a) I b) II c) III d) II e III e) I, II e III

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Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

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Seno, co-seno e tangente de 30º, 45º e 60º.

1tg

½ cos

½ sen

60º 45º 30º

√2/2

√2/2

√3/2

√3/2

√3/3 √3

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Exemplos

A partir dos dados apresentados na figura, determinar as medidas indicadas por x e y.

x16

y30º

sen 30º = x12

12 cm

⇒ x = 12 . 1/2 ⇒ x = 6 cm

cos 30º = y12

⇒ x = 12 . √3/2 ⇒ x = 6 √3 cm

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Exemplos

Os triângulos ABC e BCD da figura são retângulos em B, sendo conhecidos os ângulos BAC = 30º e BDC = 60º, além de AD = 2 cm. Calcular os valores de x, y e z.

30ºAB

C

D

xy

z 2 cm60º

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Identidades trigonométricas

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Ferramentas de grande aplicabilidade sendo utilizadas para:

Obter uma razão trigonométrica, para um dado ângulo, a partir de outra razão cujo valor seja conhecido.

Simplificar expressões extensas envolvendo várias relações trigonométricas para um mesmo ângulo.

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A partir do triângulo retângulo abaixo vamos deduzir algumas dessas relações.

A

C

B

a

c

b

⍺

b2 + c2 = a2 (: a2)

b2

a2+ c2

a2= a2

a2

ba

+ ca = 1

2 2

sen ⍺

+ cos ⍺ = 12 2 ⇒ sen2 x + cos2 x = 1

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b/ac/a



A

C

B

a

c

b

⍺

sen ⍺cos ⍺

= = ba

. ac

= bc

= tg ⍺

tg x = sen xcos x

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c/ab/a



A

C

B

a

c

b

⍺

cos ⍺sen ⍺

= = ca

. ab

= cb

= cotg ⍺

cotg x = cos xsen x

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Identidades trigonométricas - Resumo

1) sen2 x + cos2 x = 1 Relação fundamental

2) tg x = sen xcos x

3) cotg x = cos xsen x

(cos x ≠ 0)

(sen x ≠ 0)= 1tg x

4) sec x = 1cos x

5) cosec x = 1sen x

(cos x ≠ 0)

(sen x ≠ 0)

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Exemplos

Demonstre que sec2 x = 1 + tg2 x.

sec x = 1cos x

⇒ sec2 x = 1cos2 x

⇒ sec2 x = sen2 x + cos2 xcos2 x

⇒ sec2 x = sen2 xcos2 x

+ cos2 xcos2 x

⇒ sec2 x = tg2 x + 1

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Exemplos

Demonstre que cosec2 x = 1 + cotg2 x.

cosec x = 1sen x

⇒ cosec2 x = 1sen2 x

⇒ cosec2 x = sen2 x + cos2 xsen2 x

⇒ cosec2 x = sen2 xsen2 x

+ cos2 xsen2 x

⇒ sec2 x = 1 + cotg2 x

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Exemplos

Sabendo-se que o seno de um ângulo agudo é igual a 3/5, determine o co-seno, tangente, co-tangente, secante e a co-secante desse ângulo.

sen2 x + cos2 x

⇒ 35

+2

cos2 x = 1

⇒ 925

+ cos2 x = 1

⇒ 925–cos2 x = 1 = 25 – 9

25⇒ cos x =

= 1625

± 4/5 ⇒ cos x = 4/5

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Exemplos


tg x = sen xcos x

=

3545

= 34

cotg x = 1tg x

= 134

= 43

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Exemplos


sec x = 1cos x

= 145

= 54

cosec x = 1sen x

= 135

= 53

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Exemplos

Simplificar as expressões:

a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x

b) E2 =cotg x . sec x

cosec2 x

E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x

E1 =sen xcos x + cos x

sen x –1

cos x1

sen x.

E1 =sen2 x

sen x . cos x+ cos2 x – 1 = sen x . cos x

1 – 1 = 0

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cos xsen x

1cos x

1sen2 x

Exemplos

Simplificar as expressões:

a) E1 = tg x + cotg x – sec x . cosec x

b) E2 =cotg x . sec x

cosec2 x

E2 =cotg x . sec x

cosec2 x =.

=

1sen x

1sen2 x

E2 =1

sen x. sen2 x

1= sen x

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Ângulos e arcos na circunferência

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O

Circunferência

AB

C

DE

Pr

r

r

rr

r

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Elementos

B

A

BAO O

Corda AB Diâmetro AB

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Elementos

A

B

Arco AB

Arco BA

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Arcos e ângulos

A ≡ B A ≡ B

arco completo arco nulo

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Arcos e ângulos

AB

Arco de meia volta

O

Arco AB

Arco BA

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Arco e ângulo central

A

B

O

C

D

E F

m(AB) = ⍺ m(CD) = m(EF) =

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0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

70o80o90o100o

110o

120o

130o

140o

150o

160o

170o

180o

190o

200o

210o

220o

230o

240o

250o

260o 270o 280o 290o300o

310o

320o

330o

340o

350o

O grau como unidade de medida

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0o

10o

20o

30o

40o

50o

60o

70o80o90o100o

110o

120o

130o

140o

150o

160o

170o

180o

190o

200o

210o

220o

230o

240o

250o

260o 270o 280o 290o300o

310o

320o

330o

340o

350o

1o

1º = 360 1

O grau como unidade de medida

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Exemplos Na figura, os pontos A, B, C, D, E e F dividem a

circunferência em seis arcos congruentes. Calcular, em graus, as medidas dos arcos AB e CE e dos ângulos centrais correspondentes.

A

B

O

C

D

E F

AB = 360º6

= 60º

CE = 2 . 60º = 120º

⍺ = 60º e = 120º

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Exemplos A circunferência da figura tem 12 m de raio.

Supondo que o arco AB mede 2 m, calcular em graus, a medida do arco e do ângulo central correspondente.

A

BO 2 m

12 m

Arco(em graus)

2 m

⍺ = 360 . 2

24

Arco(em metros)

360º 24 m⍺

= 30º C = 2rC = 2..12C = 24

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O radiano como unidade de medida

A

R

O R

RB

Comprimento do arco (AB) = R

⇓m(AB) = 1 radiano

⇓ = m(AB) = 1 rad

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Exemplo

A

R

O R

1,5RBComprimento do arco (AB) = 1,5 R

⇓m(AB) = 1,5 rad

⇓ = m(AB) = 1,5 rad

= m(AB) = comprimentoR

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Arco completo

=comprimento

R

=2RR

RA ≡ B

O

= 2 rad

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9 cm

Exemplos

B

10,8 cm

A circunferência da figura tem raio igual a 9 cm e o comprimento do arco AB assinalado é 10,8 cm. Calcular, em radianos, a medida de AB.

O

A =

comprimentoR

= 10,8 cm9 cm = 1,2 rad

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4 cm

Exemplos

B

30º

O arco AB da figura tem medida de 30º e o raio da circunferência é de 4 cm. Calcular, em cm, o comprimento do arco AB.

O

Aângulo

x

x = 2 .4.30360

comprimento

360º 2 R30º

2 3= ≈ 2, 1 cm

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R

Exemplos

B

40 cm

Numa circunferência, o comprimento de um arco é de 40 cm. Esse mesmo arco mede 5 rad. Calcular a medida do raio da circunferência.

O

A

R

= comprimentoR

5 = 40 cmR

5R = 40

⇒ R = 8 cm

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Arcos especiais

00oArco nulo

/290ºArco de ¼ de volta

180ºArco de meia-volta

2360ºArco completo

Medida em radianos

Medida em graus

Represen-tação

O

O

O

O

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Transformando unidades

As medidas de um arco em graus e radianos são proporcionais. Por isso podemos transformar uma unidade em outra por uma regra de três.

180º correspondem a rad

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25

Exemplos

Transformar 72º em radianos.

180º rad

72º x

x = 72 . 180

= rad

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5.180

Exemplos

Exprimir rad em graus.

rad equivale a 180º.

x = 4

=

5

4

225º5.4

=

trigonometria no triângulo retângulo

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