tria semblable

المثلثات المتشابهة الثالثة ثانوي إعداديالمستوى :الرياضياتالمادة :

1

الرياضيات : المادة

الثالثة ثانوي إعدادي : المستوى

المثلثات المتشابهةمفهوم التشابه

1نشاط تمهيدي :

) AB)//(EF(نعتبر الشكل التالي حيث:

OABبين أن كل زاوية من المثلث

OEF.تقايس زاوية من المثلث

متقايسة. OEF و OABالزوايا المتناظرة في المثلثين

متشابهانOEF و OABنقول إن المثلثين

2

O

E

F

A B



:الحل

إذن الزوايا المتناظرة في كل من المثلثين متقايسة

لدينا:

)متناظرتان(و

)متناظرتان(

.ان متشابهOEF وOAB نقول إن المثلثين


3

O

E

F

A BAOB = EOF^^

OEF = OAB^^

OFE = OBA^^



متقايسان ؟ OEF و OABهل المثلثان

ل لن اللضل ع المتناظرة ليست متقايسة.

:1سؤال

:1جواب

متى نقول عن مثلثين أنهما متشابهان؟

إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة.

:2سؤال

:2جواب


4

O

E

F

A B



ملظحظة

مثلثان متقايسان هما مثلثان متشابهان

5


تعريف

يكون مثلثان متشابهين إذا كانت زواياهما المتناظرة متقايسة



1تمرين تطبيقي

:جانبهفي الشكل

6

A

B C

M N

E

F G

ABC و EFG مثلثان متشابهان

= =EF EG FG

AB AC BC

M نقطة من القطعة ]AB[ بحيث:

N في النقطة[AC] والمار من يقطع ) BC(الموازي للمستقيم

متقايسان EFG و AMN أ- بين أن المثلثين

ب- إستنتج ان :

AM = EF




:الحل

إذن

لدينا:أ-

و

محددتان بمتوازيين و قاطع)متناظرتان(

.متقايسان EFG وAMN فإن:


7

A

B C

M N

E

F G

AMN = ABC^^

ABC = EFG^^

AMN = EFG^ ^

^^MAN = FEGو AM = EFوحيث إن :



ABCفي المثلث ب-

لدينا

( ألضل ع متناظرة في مثلثين متقايسن )


8

A

B C

M N

E

F G

MN = FG و AN = EGو AM = EFوحيث إن :

= =AM AN MN

AB AC BC

=:فإن =EF EG FG

AB AC BC



أي :

9


1خاصية

مثلثان متشابهين فإن أطوال ألضلعهما EFG وABCإذا كان

= يسمى نسبة التشابه kالعدد = =EF EG FGk

AB AC BC

.المتناظرة متناسبة



أ- حالة التشابه اللولى

. مثلثينEFGو ABC ليكن

10

ماذا يمكن ان نقول عن هذين المثلثين ؟

المثلثات المتشابهةحالت التشابه


ACB = EGF و ABC = EFG بحيث^^^ ^

لدينا:

إذن:

و



11

جواب:ال

أي:

: وبالتالي

متشابهانEFG و ABC ومنه فإن المثلثين


BAC + ABC + ACB = 180°^ ^^

FEG + EFG + EGF = 180°^ ^^

BAC = 180° - (ABC + ACB( ^ ^^

BAC = 180° - (EFG + EGF( ^ ^^

BAC = FEG^^



12

2خاصية

إذا قايست زاويتان من مثلث زاويتين من مثلث آخر

.فإن هذين المثلثين متشابهان




ب- حالة التشابه الثانية

مثلثين.'A'B'C و ABCليكن

13

، ÁM = A´B بحيث: ]AB[ نقطة من القطعةMلتكن



A 'B' B'C'ووووووووو

AB BC=

. N في ]AC[ يقطع القطعة M) المار من BCللمستقيم ) الموازي

. متقايسان Á´BĆ و AMNبين أن - 1

. متشابهان ABC و A´BĆإستنتج أن ´- 2

’ABC = A'B'Cبحيث: ^^

متقايسان' A'B'C وAMN- لنبين أن المثلثين 1



جواب:ال


و من جهة اخرى:A 'B' B'C'

AB BC=

AMحسب المعطيات إذن : B'C'

AB BC=

لدينا :ABCوفي المثلث AM MN

AB BCB'C' = MN )3)إذن :=

متقايسان' A'B'C و AMN) نستنتج أن المثلثين3) و )2) و )1من )

B'

A' C'

B

A C

M

N

14

)AM = A'B'(2) و B'A'C' = BAC(1 لدينا : من جهة : ^^

. متشابهانABC و A´B´Cستنتج أن ´- لن2




من خلل السؤال السابق نستنتج أن :

)الزوايا المتناظرة في مثلثين متقايسين)

)AB) والقاطع )BC) و )MN)وباعتبار المتوازيين

)AC) والقاطع )BC) و )MN)وباعتبار المتوازيين

B'

A' C'

B

A C

M

N

15

A'C'B' = ANM^^

A'B'C' = AMN^^

C'A'B' = NAM^^

)زاويتان متناظرتان)AMN = ABCلدينا ^^

^^ )زاويتان متناظرتان)ANM = ACBلدينا

وحسب المعطيات لدينا :




. متشابهان ABC و A´B´Cن ´ومنه فإ

إذن:B'

A' C'

B

A C

M

N

16

B'A'C' = BAC^^

A'C'B' = ACB^^

A'B'C' = ABC^^

C'A'B' = CAB^^



17

3خاصية

إذا قايست زاوية من مثلث زاوية من مثلث آخر وكانت أطوال

.فإن هذين المثلثين متشابهان


اللضل ع المحادية لهاتين الزاويتين متناسبة



.ا مثلثABCليكن

18



بحيث :EFG- أنشئ مثلث ًا 1

متشابهان. EFGو ABC - بين أن المثلثين2

= = =EF EG FGk

AB AC BC



جواب:ال


B

A

C

MN

F

G

E

- الشكل1

19




متشابهان. EFGو ABC - لنبين أن المثلثين2

بما أن التماثل المركزي يحافظ على قياس الزوايا فإن :

)AB( والقاطع )BC( و )MN(وباعتبار المتوازيين

)AC( والقاطع )BC( و )MN(وباعتبار المتوازيين

متشابهان لن زواياهما متقايسان. EFG وABCومنه فإن

باستعمال حالة التشابه الولى والثانية EFG وABCبرهن عن تشابه

تمرين

20

A'C'B' = ANM^^

A'B'C' = AMN^^

C'A'B' = NAM^^

^^ (زاويتان متناظرتان)AMN = ABCلدينا

^^ (زاويتان متناظرتان)ANM = ACBلدينا




باستعمال حالة التشابه EFG وABCبرهن عن تشابه

تمريــن

الولى والثانية

21



22

4خاصية

إذا كانت أطوال أضل�ع مثلث متناسبة مع أطوال أضل�ع


مثلث آخر ، فإن هذين المثلثين متشابهان



3تمرين تطبيقي

]AB[ نقطة من F و ]BC [ نقطة من E مثلثا و ABCليكن

23

BF=7 و BE=6 و AB=10,5 و AC=4,5 و BC=9 بحيث:

متشابهان FBE و ABCبين أن المثلثين - 1


EFأحسب - 2



:الحل

ABC ومثلث (EF) // (AC)

المعطيات:


24

BC = 9 ; AC = 4,5 ; AB = 10,5

; BE = 6 ; BF = 7

BC9,00

A

4,5010,50

E

F

7,00



و

لدينا:


25

7

10 5

BF

BA ,=

70

105=

10

15= 2

3=

6

9

BE

BC= 2

3=

ولدينا:

متشابهان FBE و ABCبين أن المثلثين - لن1

متشابهان FBE و ABC نستنتج أن 2إذن ، حسب حالة التشابه

BC9,00

A

4,5010,50

E

F

7,00

ABE = FBE^^



إذن

لدينا:


26

2

3

EF

AC=

2

3EF AC=

EF = 3أي

EFحسب - لن2

( نسبة التشابه)

24 5

3,= × 3=

BC9,00

A

4,5010,50

E

F

7,00



27

1تمريـــن

متشابهان، فاكتب مختلفEFG و ABCإذا علمت أن المثلثين

.الحالت الممكنة

المثلثات المتشابهة

المتساويات بين الطوال و الزوايا التي تعبر عن ذلك حسب



28

ونكتبE, F, G هي على التوالي متناظرة مع A , B, C) إذا كانت النقط 1


A → E

B → F

C → G

فإن:AB AC BC

EF EG FG= و=

A → E

B → F

C → G

) إذا كانت2A → F

B → E

C → G

فإن:AB AC BC

FE FG EG= و=

A → F

B → E

C → G



29


) إذا كانت3A → E

B → G

C → F

فإن:AB AC BC

EG EF GF= و=

A → E

B → G

C → F

) إذا كانت4A → F

B → G

C → E

فإن:AB AC BC

FG FE GE= و=

A → F

B → G

C → E



30

2تمريـــن

EFG و RST مثلثان متشابهان بحيث ]EF[ و ]EG[ متناظران


[ RS] و [RT]على التوالي مع

أذكر الزوايا المتناظرة في هذين المثلثين.- 1

إذا علمت أن: RS و RTأحسب - 2

. EF = 20 و EG = 24 و FG = 32 و ST = 16



31


R

T

SF

G

E

- الزوايا المتناظرة هي : 1

EFلدينا: EG FG

RT RS TS= =

RS و RTب احس- 2

=2إذن:20 24 32

16RT RS= =

ومنه:20

2RT

=10RT = وأي:24

2RS

=12RS = أي:

EFG ≡ RTS^^

GEF ≡ SRT^^

EGF ≡ RST^^



32

3تمريـــن مثلثا.ABCليكن


متشابهان. BAH و BCKبين أن المثلثين - 1

متشابهان.MAH و MCKبين أن المثلثين - 2

K هي المسقط العمودي للنقطة C على (BM(.

H المسقط العمودي للنقطة A على (BM(.

.BK × MH = BH × MK بين أن:- 3

. M في ACيقطع ABC المنصف الداخلي للزاوية ^



33


B

A

C

HM

K

متشابهان. BAH و BCKبين أن المثلثين - لن1

متشابهانBAH و BCK: إذن

متشابهان. MAH و MCK) لنبين أن المثلثين - 2

متشابهانMAH و MCK: إذن

^ABCمنصف الزاوية ) BK )لدينا :

^^ ABH = KBCإذن :

^^ BKC = AHB = 90°ولدينا :

^ لنهما قائمتان MAH = CKMو ^ لنهما متقابلتان بالرأس AMH=KMCلدينا :

^^



34


B

A

C

HM

K

. BK × MH = BH × MK- لنستنتج العلقة : 3

B → B

C → A

K → H

و

BCإذن: BH

CK AH1ومنه:=

BH AH( (

CK CK=

C → Aو

M → M

K → H

2إذن:AC MH

( ( CK MK

=

BH) نستنتج : 2) و )1من العلقتين ) MH BK MK

. BK × MH = BH × MKوبالتالي: =

^^BCK ≈ BAHلدينا:

^^MCK ≈ MAHلدينا:

tria semblable

Documents