COMO SE HACEN LAS CARICATURAS.

LILLY MENDOZAGINA VALLE

Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una funcion que asigna a cada vectro v Є V un vector unico Tv Є W y que satisface , para cada u y v en V y cada escalar α,

T ( u + v ) = Tu + Tv y

T(αv) = αTv

Las transformaciones lineales tambien se denominan operadores lineales.

Ahora mostraremos algunas transformaciones matriciales geometricas que son muy interesantes

( R2 R2 ) : REFELEXIONES: Se define respecto a cualquier recta

en el plano, sobre todo las que atraviesan el origen y se definen con las fórmulas :

RY ( x, y ) = ( -x, y ) Rx (x,y) = (x.-y) x -1 0 -x x 1 0

x y 0 1 y y 0 -1

-y

Rd (x, y) = (y, x)

x 0 1 x y 1 0 y

(-x,y)

(x,-y)

(y,x)

Además existe la reflexión básica respecto al origen, cuya fórmula y matriz son:

Ro (x, y ) = (-x, -y ) -1 0 Esto también se

considera 0 -1 una rotación

180º en torno al origen.

COMPRESIONES-EXPANSIONES: Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con más precisión: para c>0, la transformación Cx (x, y) = ( cx, y ) escala las coordenadas x en factor de c; dejando inalteradas a las coordenadas de y. Si 0 <x< 1 se trata de una compresión en dirección del eje positivo. Si c>1, se refiere a una expansión. También se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por Cy ( x, y ) = ( x, cy ) para c>0 .

compresión ejemplo expansión

Otros tipos son los escalamientos simúltaneos a lo largo de los ejes X y Y, como Cxy (x, y ) = (cx, dy) con factores de escala c> o y d> 0 a lo largo de las direcciones X y Y.

CORTES: Un corte o deslizamiento a lo largo del eje x es una transformación de la forma Sx (x, y) = (x+cy, y ), en otras palabras , cada punto se mueve a lo largo de la direccióon x, una cantidad proporcional a la distancia al eje x. También hay cortes a lo largo del eje y

Sy (x, y) = ( x, cx + y ).

Deslizamiento a lo largo del eje x.

La constante c ,en la fórmula puede ser negativa y si tomaramos c= -2 tenemos ( x, -2x + y )

Deslizamiento a lo largo de la dirección negativa de y

Quienes trabajan gráficas en computadora, aplican transformaciones matriciales de corte y de otros tipos para modificar las imágenes. Estás operaciones se adaptan bien a los cálculos en computadora, porque se implementan con facilidad a los productos Ax.

ROTACIONES: Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en torno al origen y se definen por

RΘ x cos Θ -sen Θ x

y sen Θ cos Θ y

Y hace girar cada vector Θ rad. En sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen.

Por ejemplo calcularemos la imagen ( 1, 1 ) para Θ = П/2

Un caricaturista moderno emplea computadoras y algebra lineal para transformar las imágenes que dibuja. Supongamos que se trata de dar la sensación de movimiento a la imagen a inclinándola y estirándola ( horizontalmente ) en forma gradual para llegar a la figura b . Si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo, a lo largo del eje x es 50% ¿cómo puedo modelarlo matemáticamente ?. El método deberá ser independiente de la imagen inicial para poder aplicarlo a otros cuadros. Como veremos en la respuesta interviene una sencilla multiplicación de matriz por vector.

a b

Obteniendo las imágenes de los puntos (0,2) ,(0,1) , (0.5, 0.5), (0,0), (1,0), (1,1), (-1,1 ), (-1,0 ) con

SX (x, y ) = ( x + 0.5y , y)

Sx x 1 0.5 x

y 0 1 y

1 0.5 0 0 0.5 0 1 1 -1 -1 0 1 2 1 0.5 0 0 1 1 0 1 0.5 0.75 0 1 1.5 -o.5 -1 2 1 0.5 0 0 1 1 0

Algebra Lineal con aplicaciones de George Nakos y David Joyner.

http://www.youtube.com/watch?v=XQgVix4vC64

http://www.youtube.com/watch?v=qSeYivHZpB8