transfer fonksiyonu elektriksel sistemlerin transfer...

DÜZCE ÜNİVERSİTESİ TEKNOLOJİ FAKÜLTESİ ELEKTRİK-ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

EET305 OTOMATİK KONTROL I

Dr. Uğur HASIRCI

1

• “Kontrol” Kavramı • Laplace Dönüşümü • Transfer Fonksiyonu Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu • Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma



Dr. Uğur HASIRCI

2

KONTROL SİSTEMLERİ Bir sistemi otomatik olarak “kontrol ” etmek, herhangi bir insan müdahalesi olmaksızın, o sistemin çevresel şartlar ne olursa olsun önceden belirlenmiş bir takım performans kriterlerini yerine getirecek şekilde çalışmasını sağlamak demektir.

Örneğin şekildeki gibi vinç motoru olarak kullanılan bir elektrik motorunun hızının kontrol edildiğini düşünelim. Bu motorun hızının kontrol edilmesi demek, kaldırdığı cismin çok hafif olması durumunda da, çok ağır olması durumunda da cismi aynı hızla kaldırması demektir.

KONTROL SİSTEMLERİ



Dr. Uğur HASIRCI

3

Herhangi bir anda motorun milinde çok büyük bir yük olabilir. Bu da motorun hızında bir düşüşe neden olabilir. Böyle anlarda kontrol sistemi, motora uygulanan gerilimi artırarak motorun hızını artırır ve yeniden arzu edilen değere (örneğin 1500 devir/dakika) getirir. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Motor Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Gerilim Kontrol Çıkış Değişkeni : Motorun Hızıdır. Esasen bu tanım ve örnek, doğrudan “Otomatik Kontrol” kavramının tanımıdır. Yani kontrol sistemi, motorun hızını (insan etkisi olmadan) otomatik olarak ayarlar. KONTROL SİSTEMLERİ



Dr. Uğur HASIRCI

4

Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiğini düşünelim. Uzaya fırlatılan bir uydunun, yerdeki bir referans noktası ile belirli bir açı yapacak konumda olması istenir (örneğin θ=45°). Eğer herhangi bir harici etki sebebiyle uydu hareket eder ve açı 45 dereceden farklı bir değer alırsa, kontrol sistemi uyduya uygulanan momenti (tork - T) ayarlayarak, uydunun yeniden referans noktası ile aynı açıyı yapmasını sağlar. Bu örnekte; Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon.




Dr. Uğur HASIRCI

5

Bu örneklerden de anlayacağımız üzere, bir kontrol sisteminde en temel ögeler, şu şekilde ifade edilebilir.


• Kontrol Edilen Sistem • Kontrol Girişi (Giriş Değişkeni) • Kontrol Çıkışı (Çıkış Değişkeni)

Bu ögeler, blok diyagram şeklinde aşağıdaki gibi gösterilebilir:



Dr. Uğur HASIRCI

6

Kontrol sistemlerine örnekler vermeye devam edelim. Yeni nesil otomobillerdeki “Cruise Control – Hız Sabitleme” fonksiyonu, kontrol sistemlerine ilişkin çok iyi bir örnektir. Sürücü, otomobil belirli bir hızda iken (örneğin 90 km/saat) hız sabitleme düğmesine basar ve bu andan itibaren otomobil yokuş da çıksa, düz yolda da gitse, yokuş da inse, aşırı rüzgara da maruz kalsa (yani çevresel şartlar ne olursa olsun), sürekli 90 km/saat hızla gider. Sürücü ise hız ayarlamaya ilişkin hiçbir şey yapmaz, otomobildeki hız kontrol sistemi, otomobilin hızını sürücünün istediği değerde otomatik olarak tutar.




Dr. Uğur HASIRCI

7

Oda sıcaklığını ayarladığımız değerde sabit tutan klimalar da kontrol sistemleri açıklamak için oldukça kullanışlı bir örnektir. Oda sıcaklığı kullanıcı tarafından kumanda ile örneğin 22 dereceye sabitlenir ve bu andan itibaren dışarıdaki hava soğuk da olsa sıcak da olsa, temiz hava gelmesi için cam da açılsa her türlü çevresel şartlarda klimanın içindeki kontrol sistemi, oda sıcaklığını 22 derecede tutar.




Dr. Uğur HASIRCI

8

Esasen tabiatta çok sayıda “doğal” kontrol sistemi de vardır. Örneğin insan vücudundaki pankreas bir doğal kontrol sistemidir. Zira insan kanındaki şeker konsantrasyonu artınca pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerjiye dönüştürür ve kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getirir. Kandaki şeker azalınca da bunu tekrar normal değerine getirir. Bütün bunları otomatik olarak yapar.




Dr. Uğur HASIRCI

9

Bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerekir. Tabiattaki tüm dinamik sistemler Diferansiyel Denklemler ile modellenir. Daha sonra bu diferansiyel denklem modeli, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürülür. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, “Laplace Dönüşümü” yoluyla frekans domeninde ifade edilir.

2. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, “Durum-Uzay Dönüşümü” yoluyla zaman domeninde ifade edilir.

Şimdi sırasıyla Diferansiyel Denklemler, Laplace Dönüşümü ve

Durum Uzay Dönüşümünden bahsedelim.




Dr. Uğur HASIRCI

10

Diferansiyel Denklemler Tanım: y=f(x) şeklinde bilinmeyen bir fonksiyon ve onun çeşitli mertebelerden türevlerini içeren denklemlere Diferansiyel Denklemler denir. Diferansiyel denklemler genel olarak,


2 3

2 3, , , , ,............., 0

n

n

dy d y d y d yF x y

dx dx dx dx

Burada y değişkeni, x’e bağlı olarak değerler aldığı için “bağımlı değişken” olarak adlandırılır. x değişkeni ise rastgele değer alabildiği için “bağımsız değişken” olarak adlandırılır.



Dr. Uğur HASIRCI

11

Mertebe: Bir diferansiyel denklemin mertebesi, o denklemdeki en yüksek türevin mertebesidir. Örneğin diferansiyel denkleminde; Bağımsız değişken: x

Bağımlı değişken: y

Denklemin mertebesi: 2. Örneğin diferansiyel denkleminde; Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: x

Denklemin mertebesi: 1.


2

2

d y dyx

dx dx

5dx

xtdt



Dr. Uğur HASIRCI

12

Derece: Bir diferansiyel denklemin derecesi, o denklemdeki en yüksek mertebeden türevin üssüdür. Örneğin diferansiyel denkleminde;

Bağımsız değişken: x


Denklemin mertebesi: 4 Denklemin derecesi: 3.


3 54 2

4 24 0

2

d y d y dy x

dx dx dx



Dr. Uğur HASIRCI

13

Bir Diferansiyel Denklemin Çözümü: Bir diferansiyel denklemin çözümü, o denklemi sağlayan bir fonksiyondur. Örne ğin fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım (burada c1 ve c2 sabit sayılardır);


1 2( ) sin3 cos3y x c x c x 9 0y y

1 2 1 2

1 2

( ) sin3 cos3 ( ) 3 cos3 3 sin3

( ) 9 sin3 9 cos3

y x c x c x y x c x c x

y x c x c x

için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

( )y x

1 2 1 29 0 9 sin3 9 cos3 9 sin3 cos3 0y y c x c x c x c x

Denklem sağlandığı için, fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir çözümüdür denir.

1 2( ) sin3 cos3y x c x c x



Dr. Uğur HASIRCI

14

Örneğin fonksiyonunun, diferansiyel denkleminin bir çözümü olup olmadığına bakalım;


2( ) 1y x x 4 2 1y y

2( ) -1 ( ) 2y x x y x x

için elde ettiğimiz bu ifadeyi ve y(x) ifadesini, verilen diferansiyel denklemde yerine koyup, denklemin sağlanıp sağlanmadığına bakalım:

( )y x

?24 42 2

4 4 2 4 2

1 2 1 1

16 2 1 17 2 1 1

y y x x

x x x x x

Denklem sağlanmadığı için, fonksiyonu, verilen diferansiyel denklemin bir çözümü değildir denir.

2( ) 1y x x



Dr. Uğur HASIRCI

15

Not: Bir diferansiyel denklemi çözmek demek, o denklemi sağlayan fonksiyonu bulmak demektir. Bazı diferansiyel denklemlerin çözümü olmayabilir. Eğer bir çözüm varsa bile, bütün diferansiyel denklemlerin çözümünü bulmak için genel bir yöntem/algoritma henüz geliştirilememiştir. Belli bazı tür denklemler için, o denklem türüne özgü çözüm yöntemleri geliştirilmiştir ve halen de geliştirilmektedir.




Dr. Uğur HASIRCI

16

Doğrusallık (Lineerlik): Eğer bir diferansiyel denklemde, 1. Bağımlı değişken ve onun tüm türevlerinin üssü 1 ise, 2. Herhangi bir terimde bağımlı değişken ve onun türevlerinin çarpımı yoksa, 3. Herhangi bir terimde, bağımlı değişkenin sinüs fonksiyonu, üstel fonksiyon gibi doğrusal olmayan fonksiyonları yoksa, bu diferansiyel denklem lineerdir (doğrusaldır) denir. Bu şartlardan herhangi biri sağlanmıyorsa, o diferansiyel denklem nonlineer (doğrusal olmayan) denklemdir.




Dr. Uğur HASIRCI

17

Ör: Aşağıda verilen diferansiyel denklemlerin bağımsız değişkenini, bağımlı değişkenini, mertebesini, derecesini ve doğrusal olup olmadığını belirtiniz. 1.


2

2

d y dyx

dx dx



Mertebesi: 2 Derecesi: 1 Doğrusallık: 3 şartı da sağlıyor, doğrusal (lineer).

2

0y y x Bağımsız değişken: x


Mertebesi: 1 Derecesi: 2

2.

Doğrusallık: İlk terimde bağımlı değişkenin karesi var. Nonlineer.



Dr. Uğur HASIRCI

18 KONTROL SİSTEMLERİ

Bağımsız değişken: t Bağımlı değişken: z


1sin( )y y

x Bağımsız değişken: x



4.

Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin doğrusal olmayan bir fonksiyonu var. Nonlineer.

3. 0z zz t

Doğrusallık: İkinci terimde bağımlı değişkenin ile türevinin çarpımı var. Nonlineer.



Dr. Uğur HASIRCI





3x dye y x

dx Bağımsız değişken: x



6.

Doğrusallık: Doğrusal

5.

Doğrusallık: Bağımsız değişkenin nonlineer terimleri, denklemi nonlineer yapmaz. Bu nedenle bu denklem lineerdir.

1sin( )y x

x



Dr. Uğur HASIRCI

20

Şimdi sistemlerin diferansiyel denklem modellerine örnekler verelim. Önce şekilde görülen seri RL devresine bakalım. Bu devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Şimdi Kirchhoff’un Gerilimler Yasasını kullanarak devre denklemini yazalım:


( )( ) ( )

di tL Ri t v t

dt

v Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni i, mertebesi ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir.

i



Dr. Uğur HASIRCI

21

Başka bir örnek olarak, şekildeki gibi Kütle-Yay-Damper sistemini ele alalım. Esasen bu sistem, otomobillerdeki süspansiyon sisteminin bir modelidir. m kütleli bir otomobil, herhangi bir çukurdan/tümsekten geçtiğinde belli bir F kuvvetine maruz kalır. Bu kuvveti otomobilin içindeki yolcuların daha az hissetmesi için gerilme katsayısı k olan bir yay ve sönümlüme katsayısı c olan bir damper, bu kuvveti söndürmeye çalışırlar. Araba ise düşey eksende x kadar yer değiştirir. Bu sistemde Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan Kuvvet (F) Sistem Çıkış Değişkeni: Yer değiştirme (x)


F



Dr. Uğur HASIRCI

22

Bu sistemin diferansiyel denklem modelini oluşturalım. Newton’un ikinci kanununa göre;


F

2

2

2

2

F ma

dx d xF c kx m

dt dt

d x dxm c kx F

dt dt

Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemin bağımsız değişkeni t, bağımlı değişkeni x, mertebesi 2 ve derecesi 1 dir. Denklem lineer olduğu için, bu denklem ile modellenen sistem de lineer bir sistemdir.



Dr. Uğur HASIRCI

23

Aslında burada elde ettiğimiz model, belirli kabullerle (varsayımlarla) elde edilen bir modeldir. Yani modeli oluştururken, analizi ve tasarımı zorlaştıracak bir takım unsurlar ihmal edilir. Somut örnek vermek gerekirse, bu Kütle-Yay-Damper sisteminde, hem damperin hem de yayın daha gerçekçi kuvvet denklemleri kullanılırsa, bu sistemin dinamik modeli


F

3

0 1mx cx x k x k x F

şeklinde olur. Görüldüğü gibi bu sistemi modelleyen daha gerçekçi diferansiyel denklem lineer değil nonlineerdir. Dolayısıyla bu sistem bir doğrusal olmayan (nonlineer) sistemdir.



Dr. Uğur HASIRCI

24

Daha önce aslında tabiatta lineer sistem olmadığını, her sistemin belli bir ölçüden sonra nonlineer davranış gösterdiğini, ancak belirli yaklaşım ve ihmallerle doğrusal olmayan bazı sistemlerin, doğrusal bir sistem gibi modellenebileceğini ve böylelikle sistemin analizinin kolaylaşacağını söylemiştik. Şimdi bir sistemin doğrusal olup olmadığını nasıl test ettiğimizi hatırlayalım:



Dr. Uğur HASIRCI

25

Süperpozisyon Prensibi Süperpozisyon prensibi, bir sistemin lineer (doğrusal) olup olmadığını test etmek için kullanılır. Öncelikle süperpozisyon prensibinden başlayalım: Herhangi bir sisteme x1 girişi uygulandığında sistemin tepkisi (çıkış) y1, farklı bir x2 girişi uygulandığında ise sistem çıkışı y2 olsun. olmak üzere, sisteme ax1 girişi uygulandığında sistem çıkışı ay1, ve sisteme x1+x2 girişi uygulandığında sistem çıkışı y1+y2 oluyorsa, bu sistem lineerdir denir.

,a b

Sistem x1 y1

Sistem x2 y2

Sistem ax1

Sistem x1+ x2

ay1

y1+ y2

Toplamsallık ilkesi

Çarpımsallık ilkesi



Dr. Uğur HASIRCI

26

Süperpozisyon prensibine uyan sistemler lineer sistemlerdir. Ancak pratikte tabiatta lineer sistem yoktur! Mekanik, elektriksel, biyolojik, sosyal, kültürel vs. bütün sistemler gerçekte lineer olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Lineer sistemler, tabiattaki gerçek sistemlerin analizinin daha kolay yapılabilmesi için üretilmiş teorik modellerdir. Zira lineer sistemlerin analizi oldukça basittir ve günümüze kadar lineer sistemlerin analizi ve tasarımı için çok sayıda güçlü ve kullanışlı yöntem geliştirilmiştir. Lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı ise görece daha zordur. Günümüzde hala lineer olmayan sistemlerin analizi ve tasarımı için güçlü, kullanışlı, sihirli yöntemler geliştirilememiştir. Herhangi bir sistemin lineer ya da lineer olmayan modellerden hangisi seçilerek ele alınacağı, tasarımcının vermesi gereken önemli bir karardır. Kimi basit sistemlerde, sistem modelinin lineer olmayan kısmının ihmal edilmesi çok fazla bir hataya sebep olmaz. Ancak daha karmaşık sistemlerde (örneğin bir hava taşıtı) sistem modelinin doğrusal olmayan kısımlarının ihmal edilmesi ya da analitik/nümerik/istatistik yöntemlerle sistem modelinin lineerleştirilmesi, uçağın okyanusa çakılmasına neden olur. Bütün bu açıklamalardan, lineer sistem modellerinin ve lineer analiz yöntemlerinin işe yaramaz olduğu sonucu çıkmaz!



Dr. Uğur HASIRCI

27

Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusudur: 1. Frekans Domeni Yaklaşımı (Klasik Yaklaşım): Sistemi modelleyen

diferansiyel denklem, “Laplace Dönüşümü” yoluyla frekans domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım sadece doğrusal sistemlere uygulanabilir.

2. Zaman Domeni Yaklaşımı (Modern Yaklaşım): Sistemi modelleyen diferansiyel denklem, “Durum-Uzay Dönüşümü” yoluyla zaman domeninde ifade edilir. Bu yaklaşım hem doğrusal, hem de doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir.

Şimdi sırasıyla Laplace Dönüşümü ve Durum Uzay Dönüşümünden

bahsedelim.




Dr. Uğur HASIRCI

28




Dr. Uğur HASIRCI

29

Laplace Dönüşümü Matematiksel açıdan, bir sistemi kontrol etmek demek, o sistemi modelleyen diferansiyel denklemin çözümünü belli bir değere/bölgeye zorlamak demektir. Örneğin otomobillerin Kütle-Yay-Damper ile modellenen süspansiyon sisteminde, araba bir çukur ya da tümsekten geçtiğinde x yerdeğiştirmesinin mümkün olduğunca az (hatta sıfır) olması istenir. Benzer şekilde RL devresinde de akımın, istenilen belli bir değeri alması istenir. Ancak diferansiyel denklemlerden bahsederken de vurgulandığı gibi, bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak, her zaman çok kolay olmamaktadır.


F

i



Dr. Uğur HASIRCI

30

Fransız matematikçi ve astronom Pierre Simon Laplace, 1809 yılında daha sonra kendi adıyla anılacak olan Laplace Dönüşümü yöntemini önermiştir. Bu yöntem, diferansiyel denklemlerin çözümüne alternatif bir yöntem önermekte ve türev/integral içeren diferansiyel denklemleri, birer cebirsel denkleme dönüştürmektedir. Böylece denklemin çözümü çok daha kolay olmaktadır.


Laplace dönüşümü sadece lineer diferansiyel denklemlere uygulanabilir. Dolayısıyla, tabiattaki sistemlerin sadece lineer olanları bu dönüşüm yoluyla analiz edilebilir.



Dr. Uğur HASIRCI

31

Laplace Dönüşümü: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü F(s) ile gösterilir ve şu şekilde hesaplanır:


Burada Laplace dönüşüm operatörü, s ise s=ϭ+jω şeklinde ϭ reel bileşenine ve ω imajiner (frekans) bileşenine sahip bir kompleks sayıdır. Şimdi kontrol sistemlerinde test sinyali olarak kullanılan bazı temel fonksiyonları tanıtıp, daha sonra bu fonksiyonların ve diğer bazı fonksiyonların Laplace dönüşümünü hesaplayalım.

0

( ) ( ) ( ) stf t F s f t e dt



Dr. Uğur HASIRCI

32

Darbe Fonksiyonu:

Adım Fonksiyonu:

Rampa Fonksiyonu:

Parabol:

Sinüsoid:



Dr. Uğur HASIRCI

33

Ör: f (t)=C (C sabit)


Yani C gibi bir sabitin Laplace Dönüşümü C/s dir.

0 0

00

( ) ( ) ( )

1

st st

st st

t

f t C F s f t e dt Ce dt

CC e dt C e

s s

C

Cs



Dr. Uğur HASIRCI

34

Ör: f (t)=t


Yani f (t)=t fonksiyonunun Laplace Dönüşümü

0 0

2

0 0

( ) ( ) ( )

1 1

st st

st st

t

f t t F s f t e dt te dt

t e e dts s

2

1t

s

1 stst

dt dut u

e Ve dt dVs



Dr. Uğur HASIRCI

35

Kontrol sistemlerinde yaygın olarak karşılaşılan bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümü, “Laplace Dönüşüm Tablosu” adı verilen tablolarda özetlenmiştir.




Dr. Uğur HASIRCI

36

Laplace Dönüşümü Teoremleri: 1. Türev Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun zamana göre türevini almak, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s’in çarpımına eşittir.


Burada f(0), f(t) fonksiyonunun t=0 anındaki değeridir.

( ) ( ) (0)d

f t sF s fdt

2. İntegral Teoremi:

0

1( ) ( )

t

f t F ss



Dr. Uğur HASIRCI

37

3. Son Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sonsuza giderken alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sıfıra giderken limitine eşittir.


0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s

4. Başlangıç Değer Teoremi: Zaman domenindeki (yani bağımsız değişkeni zaman olan) bir f(t) fonksiyonunun, zaman sıfıra giderken (yani başlangıçta) alacağı değer, o fonksiyonun Laplace Dönüşümü olan F(s) ile s ile çarpımının, s sonsuza giderken limitine eşittir.

0

lim ( ) lim ( )t s

f t sF s



Dr. Uğur HASIRCI

38

Laplace Dönüşümünün Özellikleri:


1 2 1 2

1 2 3

( ) ( ) ( sabit)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) (0) (0) (0) ......

( ) ( )

nn n n n

n

at

Af t AF s A

f t f t F s F s

df t s F s s f s f s f

dt

e f t F s a



Dr. Uğur HASIRCI


Yandaki tabloda Laplace Dönüşümünün özellikleri ve teoremleri toplu olarak görülmektedir.



Dr. Uğur HASIRCI

40

Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü,


1

( ) ( )( 1)

f t F ss s

olarak veriliyor. Buna göre f(t) fonksiyonunun zaman sonsuza giderken alacağı değeri bulunuz. C: Son Değer Teoremine göre;

0 0

1lim ( ) lim ( ) lim 1

( 1)t s sf t sF s s

s s

Bu sonucun sağlaması kolaylıkla yapılabilir. Zira soruda verilen F(s), zaman domenindeki f(t)=1-e-t fonksiyonunun Laplace dönüşümüdür ve zaman sonsuza giderken bu fonksiyonun alacağı değer 1 dir.



Dr. Uğur HASIRCI

41

Ör: Bir f(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümü,


2( ) ( )

1

sf t F s

s

olarak veriliyor. Buna göre e-3tf(t) fonksiyonunun Laplace Dönüşümünü bulunuz. C: Laplace dönüşümünün özelliklerinden sonuncusuna göre;

Bu sonucun sağlamasını yapabilir misiniz?

3

2

( ) ( )

3( ) ( 3)

3 1

at

t

e f t F s a

se f t F s

s



Dr. Uğur HASIRCI

42

Ör: Daha önce kütle-yay- damper sisteminin diferansiyel denklemini


F

( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F t

olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz.

C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ms X s csX s kX s F s

ms cs k X s F s



Dr. Uğur HASIRCI

43

Ör: Daha önce şekildeki RL devresinin diferansiyel denklemini


( )( ) ( )

di tL Ri t v t

dt

v

i

olarak elde etmiştik. Bu sistemi modelleyen diferansiyel denklemi kullanarak, sistem modelini frekans domeninde yazınız. Tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ediniz.

C: Her iki tarafın Laplace Dönüşümü alınırsa

( ) ( ) ( )

( ) ( )

LsI s RI s V s

Ls R I s V s



Dr. Uğur HASIRCI

44




Dr. Uğur HASIRCI

45

Transfer Fonksiyonu ve Blok Diyagramlar: Daha önce bir sistemi kontrol etmek için, önce o sistemin matematiksel modelinin ortaya konulması gerektiğini, tabiattaki tüm dinamik sistemlerin Diferansiyel Denklemler ile modellendiğini, sonra bu diferansiyel denklem modelinin, kontrolör tasarımı için çok daha kullanışlı bir forma dönüştürüldüğünü söylemiştik. Bu dönüşüm için iki yaklaşım söz konusuydu: Frekans Domeni Yaklaşımı ve Zaman Domeni Yaklaşımı. Frekans domeni yaklaşımında, sistemi modelleyen diferansiyel denklem, Laplace Dönüşümü yoluyla frekans domeninde ifade edilir ve sistem giriş ile çıkışı arasında bir “Transfer Fonksiyonu” tanımlanır. Daha sonra bu Transfer Fonskiyonu; kontrolör tasarımı, kararlılık ve performans analizleri gibi çeşitli amaçlar için kullanılır. Transfer Fonksiyonu, lineer bir sistemde, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilmek şartıyla, sistem girişi ile sistem çıkışı arasındaki matematiksel ilişkinin Laplace dönüşümüdür. Yani frekans domeninde sistem çıkışının sistem girişine oranıdır.




Dr. Uğur HASIRCI

46

Örnek olarak, tekrar şekilde görülen seri RL devresine bakalım. Bu devreyi sistem yaklaşımı içinde incelersek, Sistem Giriş Değişkeni: Uygulanan gerilim (v) Sistem Çıkış Değişkeni: Devrede dolaşan akım (i) olacaktır. Devre denklemi;

( )( ) ( )

di tL Ri t v t

dt

v

Bu denklemin Laplace dönüşümü: i

( ) ( )Ls R I s V s

Bu durumda transfer fonksiyonu:

( ) 1

( )

I s

V s Ls R



Dr. Uğur HASIRCI

47

Ör: Kütle-yay- damper sisteminin transfer fonksiyonunu elde edelim:


F

( ) ( ) ( ) ( )mx t cx t kx t F t

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ms X s csX s kX s F s

ms cs k X s F s

2

( ) 1

( )

X s

F s ms cs k



Dr. Uğur HASIRCI

48

Şimdi de şekildeki gibi bir uydunun pozisyonunun kontrol edildiği sistemin transfer fonksiyonunu elde edelim.

Kontrol Edilen Sistem : Uydu Kontrol Giriş Değişkeni : Uygulanan Tork

Kontrol Çıkış Değişkeni Pozisyon. Newton’un ikinci yasası dairesel olarak hareket eden sistemlere uygulanırsa


2

2

2

2

( )( )

( ) ( )

( ) 1

( )

T J

d tT t J

dt

T s Js s

s

T s Js

J : Eylemsizlik T : Uygulanan Tork



Dr. Uğur HASIRCI

49

Elde edilen bu transfer fonksiyonu, blok diyagram formunda şu şekilde gösterilebilir:


2

( ) 1

( )

s

T s Js

2

1

Js

( )T s ( )s

Giriş Transfer Fonksiyonu

Çıkış



Dr. Uğur HASIRCI

50

Blok diyagramlar, bir sistemdeki bileşenlerin her birinin işlevinin şekilsel olarak gösterimidir. Kontrol sistemleri genellikle çok sayıda bileşenden oluşur. Blok diyagramlar, karmaşık kontrol sistemlerinde her bir bileşenin işlevini göstermek açısından çok kullanışlıdır. Yukarıda oldukça basit bir sistemin blok diyagramı gösterilmektedir. Bu sistemde uygulanan tork Giriş, uydunun pozisyonu ise çıkış değişkenidir. Okların yönüne dikkat edilirse, blok diyagramların sadece bir şekilsel gösterim olmadığı ve kendi içinde bir cebir barındırdığı anlaşılabilir.


2

( ) 1

( )

T s

s Js

2

1

Js

( )T s ( )s

2

1( ) ( )s T s

Js



Dr. Uğur HASIRCI

51

Örneğin aşağıdaki gibi kaskat bağlı iki bloktan oluşan bir blok diyagramda;


1 2( ) ( ) ( ) ( )C s T s T s U s

( )C s1( )T s

2 ( )T s( )U s



Dr. Uğur HASIRCI

52

Kütle-yay- damper sisteminin blok diyagramını oluşturalım:


F

2

( ) 1

( )

X s

F s ms cs k

2

1

ms cs k

( )F s ( )X s



Dr. Uğur HASIRCI

53

v

i

( ) 1

( )

I s

V s Ls R

1

Ls R

( )V s ( )I s

Aslında yukarıdaki blok diyagram, bir Açık Çevrim Kontrol Sistemi’ne ilişkin blok diyagramdır. Açık çevrim kontrol sistemlerinde, sistem çıkışının gerçekten istenen değerde (referans değerde) olup olmadığını teşhis etmek için sistem çıkışı ile referans değer karşılaştırılmaz. Yukarıda elde edilen dinamik model kullanılarak, sistem çıkışının (akımın) istenen bir değerde olmasını sağlayacak giriş (gerilim) değeri belirlenerek sisteme uygulanır. Ancak bu sistem dinamik bir sistemdir ve çeşitli sebeplerden akım, istenen değerden sapabilir. Böyle bir durumda kontrol amacı hassas bir şekilde gerçekleştirilemeyebilir.

RL devresinin transfer fonksiyonu:



Dr. Uğur HASIRCI


v(t)

i

( ) 1

( )

I s

V s Ls R

Örnek bir tasarım yapalım. Bu devreden dolaşacak akımın, t zaman değişkeni olmak üzere, i(t)=te-t şeklinde değişmesini istiyoruz. Yani kontrol amacımız akımı i(t)=te-t değerine sürmek. Yukarıdaki devrede L=1 H ve R=1 Ω alalım. Bu durumda transfer fonksiyonu;

( ) 1

( ) 1

I s

V s s

olur.



Dr. Uğur HASIRCI


Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te-t şeklinde değişmesini istiyorsak, akımın Laplace Dönüşümü

2

1

1( ) 1 1 1 ( )

( ) 1 ( ) 1 1

sI sV s

V s s V s s s

olur. Elde ettiğimiz transfer fonksiyonunda bu değeri yerine yazarsak

2

1( )

1I s

s

Yani elde ettiğimiz transfer fonksiyonuna göre: Eğer sistem çıkışının, yani akımın, zaman domeninde, i(t)=te-t şeklinde değişmesini istiyorsak, sistem girişinin, yani uygulanacak gerilimin, frekans domenindeki ifadesi V(s)=1/(s+1) olmalıdır. O halde gerilimin zaman domenindeki ifadesi ne olmalıdır?



Dr. Uğur HASIRCI


Laplace Dönüşümü V(s)=1/(s+1) şeklinde olan fonksiyon:

Özetle, belirtilen kontrol amacını (yani devreden i(t)=te-t şeklinde bir akım dolaştırma amacını) yerine getirecek olan bu açık çevrim kontrol sisteminin blok diyagramı şekildeki gibidir:

Açık çevrim kontrol sistemlerinde, yukarıda bir örneğini yaptığımız şekilde, transfer fonksiyonunu kullanarak sistem çıkışının arzu edilen bir değeri alması için sistem girişinin değeri hesaplanır ve bu giriş sisteme uygulanır. Ancak zaman geçtikçe akımın gerçekten i(t)=te-t şeklinde değişip değişmediği ölçüm yoluyla belirlenmez. Sair sebeplerle akım bu değerden saparsa, bu durumda arzu edilen değerle gerçek değer arasında, umulmadık bir “hata” oluşabilir.

( ) tv t e

1

1s

1( )

1V s

s

2

1( )

1I s

s



Dr. Uğur HASIRCI


Bu şekilde bir olası problemin çözüm yolu, bir Kapalı Çevrim (Geribeslemeli) Kontrol Sistemi kullanmaktır. Kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı sürekli olarak referans değerle (yani istenen değerle) karşılaştırılıp, aradaki farkın (yani hatanın) sıfır olup olmadığı belirlenir. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra çekmek için tasarlanır. Kapalı Çevrim Kontrol Sistemlerinin blok diyagramı aşağıdaki gibidir.

ÇIKIŞ GİRİŞ (REFERANS) HATA

KONTROL EDİLEN SİSTEM KONTROLÖR

Şekilde görüldüğü gibi kapalı çevrim kontrol sistemlerinde, sistemin çıkışı bir sensör kullanılarak ölçülmekte ve bir geribesleme yolu üzerinden giriş (referans) değeriyle karşılaştırılmakta ve hata hesaplanmaktadır. Kontrolör, bu hata değerini sıfıra sürecek şekilde tasarlanır.

C(s) R(s) E(s) U(s)



Dr. Uğur HASIRCI


Hatırlanacağı üzere transfer fonksiyonunu, bir sistemin çıkışı ile girişi arasındaki matematiksel ifadenin Laplace dönüşümü olarak tanımlamıştık. Bir açık çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonunu belirlemek gayet basit olacaktır:

Peki bir kapalı çevrim kontrol sisteminin transfer fonksiyonu nasıl elde edilir? Hesaplamalarda kolaylık sağlaması açısından, kontrolör ve kontrol edilecek sistemin transfer fonksiyonlarını tek bir blok olarak ifade edelim:

( )T s( )R s ( )C s ( )

( )( )

C sT s

R s

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) 1 ( )

C s G s E s

E s R s C s

C s G s R s C s

C s G s G s R s

C s G s

R s G s



Dr. Uğur HASIRCI

59

( ) ( )

( ) 1 ( )

C s G s

R s G s

Yukarıda görülen sistem, birim geribeslemeli kapalı çevrim kontrol sistemi olarak adlandırılır. Çünkü sistem çıkışı herhangi bir ek işleme tabi tutulmaksızın referans değerle karşılaştırılmaktadır, yani geribesleme yolunda herhangi bir kazanç yoktur. Aşağıdaki sistemde ise çıkış değişkeni bir H(s) bloğundan geçirilerek giriş sinyal ile karşılaştırılabilir. H(s) bazen bir sensörün kazancı olabileceği gibi, bazen de doğrudan kontrolör olabilir.

G(s)

H(s)

Bu durumda ise kapalı çevrim transfer fonksiyonu:

( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )

C s G s

R s G s H s

E(s)



Dr. Uğur HASIRCI

Ör: Şekildeki birim geribeslemeli sistemde, G(s) transfer fonksiyonu,

2

2( )

3 4

sG s

s s

a.

2

3 2

2 0.5 0.9( )

3 2 4

s sG s

s s s

b.

olarak verildiğinde kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: a. 22

2 2 2

2

2

( ) ( ) 2 3 4 23 42( ) 1 ( ) 3 4 4 6 4 6

13 4

s

C s G s s s s ss ssR s G s s s s s s s

s s

b. 2

3 2

( ) ( ) 2 0.5 0.9

( ) 1 ( ) 5 2.5 3.1

C s G s s s

R s G s s s s



Dr. Uğur HASIRCI

Ör: Daha önce, pankreasın insan vücudunda bir doğal kontrol sistemi gibi çalıştığını söylemiştik. Eğer kandaki şeker konsantrasyonu belli bir değerin üstüne çıkarsa, pankreas insulin salgılayarak bu fazla şekeri ısı ve enerji yoluyla vücuttan atıp, kandaki şeker konsantrasyonunu normal değerine getiriyordu. Ancak sair sebeplerle pankreas hastalıklarının baş göstermesi, hastanın fazla şekeri vücuttan atamamasına sebep olur ve bu aşırı şeker konsantrasyonu çok sayıda sağlık problemini beraberinde getirir. Bu problemlerin oluşumunu önlemek için, Biyomühendislik uzmanları, “Yapay Pankreas” üretmişlerdir.

Yapay pankreas, en basit haliyle şekilde görüldüğü gibi, bir insulin pompası ve bir glikoz sensörü içerir. Sensör, kandaki glikoz (şeker) miktarını ölçer ve kablosuz haberleşme yoluyla bu bilgiyi, insulin pompasının içindeki kontrol sistemine gönderir. Kontrol sistemi , ölçülen glikoz değeri ile referans glikoz değerini karşılaştırıp, uygun miktarda insulini bir kateter yoluyla vücuda pompalar.



Dr. Uğur HASIRCI

Aslında bu sistemin dinamik modeli nonlineerdir ancak çeşitli yaklaşım ve kabullerle, bu sistemi temsil eden lineer bir model de üretilebilir ve bu modelin blok diyagramı şekildeki gibi gösterilebilir. Geribesleme yolu üzerinde, kazancı 100 olan blok, kandaki glikoz miktarını ölçen sensörün çıkışındaki sinyalin çok zayıf olması nedeniyle bir op-amp yardımıyla 100 kat yükseltilmesini temsil eder. Şimdi bu sistemin kapalı çevrim transfer fonksiyonunu bulalım.

E(s)

100

2

0.0267 0.0033

0.00278

s

s



Dr. Uğur HASIRCI

E(s)

100

2

0.0267 0.0033

0.00278

s

s

2 2

0.0267 0.0033 0.0267 0.0033( )

0.00556 0.00000770.00278

( ) 100

( ) ( )...........

( ) 1 ( ) ( )

s sG s

s ss

H s

C s G s

R s G s H s



Dr. Uğur HASIRCI


Kutuplar ve Sıfırlar: Bir sistemin transfer fonksiyonunun paydasını sıfır yapan değerlere o sistemin “kutupları”, payını sıfır yapan değerlere ise o sistemin “sıfırları” denir. Kutupların ve sıfırların s-düzlemindeki lokasyonu, o sistemin performansını tayin eder. Örnek olarak aşağıdaki basit transfer fonksiyonunu ele alalım:

( 2)( 5)( )

( 3)( 4)( 9)

s sT s

s s s

Bu sistemin sıfırları; 1

2

2

5

z

z

ve kutupları; 1

2

3

3

4

9

p

p

p



Dr. Uğur HASIRCI


Kutuplar s-düzleminde birer “×” işareti ile, Sıfırlar ise s-düzleminde birer “Ο” ile gösterilir. Bu örnekte verilen sistemin, s-düzleminin sağ yarı düzleminde 1 adet kutbu (3 noktasında) ve s-düzleminin sol yarı düzleminde ise iki adet kutbu (-4 ve -9 noktalarında) vardır. Sıfırların ise her ikisi de s-düzleminin sol yarı düzlemindedir.

1

2

2

5

z

z

1

2

3

3

4

9

p

p

p

Ϭ

jω

-9 -5 -4 -3 3



Dr. Uğur HASIRCI


Ör: Transfer fonksiyonu aşağıda verilen sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz.

1 5z

1

2

3

0

1 2

1 2

p

p j

p j

Ϭ

jω

j2

2

5( )

2 5

sT s

s s s

-j2

0 -1 -5



Dr. Uğur HASIRCI


Ör: Blok diyagramı aşağıda verilen birim geribeslemeli sistemin kutuplarını ve sıfırlarını bularak s-düzleminde gösteriniz.

100

( )2

G ss s



Dr. Uğur HASIRCI


Ters Laplace Dönüşümü: Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü f(t),

1 ( ) ( )F s f t

şeklinde gösterilir ve

1 1( ) ( ) ( )

2

j

st

j

F s f t F s e dsj

formülü ile hesaplanır. Ancak pratikte yukarıdaki integral hemen hemen hiç kullanılmaz. Bunun yerine, genellikle transfer fonksiyonu gibi rasyonel formda olan F(s) fonksiyonu kısmi kesirlere ayrılarak Laplace dönüşüm tablolarında verilen ve aşina olunan bazı formlara zorlanır. Böylece zaman domenindeki f(t) fonksiyonu kolaylıkla bulunabilir.



Dr. Uğur HASIRCI

Frekans domenindeki bir F(s) fonksiyonu genellikle formundadır. ( )

( )( )

N sF s

D s

Bu fonksiyon kısmi kesirlerine ayrılırken, paydadaki D(s) polinomu için 3 temel alternatif söz konusudur: 1) D(s)’in katlı olmayan reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu

1 2

( ) ( )( )

( ) ......... n

N s N sF s

D s s p s p s p

formunda ise, bu durumda bu fonksiyon

1 2

1 2 1 2

( )( ) .......

.........

n

n n

N s A A AF s

s p s p s p s p s p s p

şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir Ai katsayısı ( )

( )i

i i

s p

N sA s p

D s

formülüyle hesaplanır. Böylece her bir terimin Ters Laplace Dönüşümü ip t

iAe

olarak bulunur.



Dr. Uğur HASIRCI


Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz.

2( )

( 1)( 2)F s

s s

C: 1 22

( )( 1)( 2) ( 1) ( 2)

A AF s

s s s s

1 2

1 2

2 2( 1) 2 ( 2) 2

( 1)( 2) ( 1)( 2)s s

A s A ss s s s

1 2

2 2 2( )

( 1)( 2) ( 1) ( 2)

( ) ( ) 2 2t t

F ss s s s

f t F s e e



Dr. Uğur HASIRCI


Alıştırma: Aşağıdaki diferansiyel denklemi, tüm başlangıç koşullarını sıfır kabul ederek, Laplace Dönüşümü Yöntemiyle çözünüz.

2

2

( ) ( )12 32 ( ) 32 ( )

d y t dy ty t u t

dt dt



Dr. Uğur HASIRCI

2) D(s)’in katlı reel köklere sahip olması: Eğer F(s) fonksiyonu

2

3

( ) 2 3( )

( ) 1

N s s sF s

D s s

örneğinde olduğu gibi katlı reel kutuplar içeriyorsa, bu durumda bu fonksiyon

1 2 3

2 3( )

1 1 1

B B BF s

s s s

şeklinde kısmi kesirlerine ayrılır ve her bir Bi katsayısı

2

3 3 3

3 2 1 2

1 1 1

( ) ( ) 1 ( )1 1 1

( ) ( ) 2! ( )s s s

N s d N s d N sB s B s B s

D s ds D s ds D s

formülüyle hesaplanır. Böylece fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümü 2

1 2 3( ) t t tf t B e B te B t e

olarak bulunur.



Dr. Uğur HASIRCI


Eğer bu formülasyon n katlı kökü olan bir polinom için tümevarım ile genelleştirilirse herbir Bi terimi

1 ( )( )

( )! ( )

n in

i n i

s p

d N sB s p

n i ds D s

ifadesi ile hesaplanır. Ör: Aşağıdaki fonksiyonun Ters Laplace Dönüşümünü bulunuz.

2

2( )

( 1)( 2)F s

s s

C: 2 2( ) 2 2 2t t tf t e te e



Dr. Uğur HASIRCI

3) D(s)’in kompleks köklere sahip olması: Öğrenciye bırakılmıştır. (Not:

Tabiattaki sistemlerin önemli bir kısmında, özellikle elektromekanik sistemlerde,

eğer sistemin kompleks bir kutbu varsa onun eşleniğini de sistemin bir

kutbudur. Ancak yine de kutupların eşlenik olmadığı durumu da incelemeniz

önerilir.) Ör:

2

3( )

2 5

1( ) 0.6 0.6 cos2 sin 2 0.6 0.671 cos 2 26.57

2

t t

F ss s s

f t e t t e t



Dr. Uğur HASIRCI


Ters Laplace Dönüşümünü kullanılarak, transfer fonksiyonu ve/veya blok diyagramı verilmiş bir sistemin çıkışının zamana göre değişiminin ifadesi bulunabilir. Aşağıdaki basit sistemi göz önünde bulunduralım:

1

( )2

G ss

( )R s ( )C s

Bu sistemin transfer fonksiyonu: ( ) 1

( ) 2

C s

R s s

Eğer bu sisteme giriş sinyali olarak birim adım girişi, r(t)=u(t), uygulanırsa, bu durumda R(s)=1/s ve dolayısıyla

1( ) ( ) ( )

( 2)C s R s G s

s s

olur. Eğer bu ifade kısmi kesirlerine ayrılarak Ters Laplace Dönüşümü hesaplanırsa, çıkışın zamana göre değişiminin ifadesi bulunur ve herhangi bir t anında sistem çıkışının alacağı değer hesaplanabilir. 2( ) 0.5 0.5 tc t e



Dr. Uğur HASIRCI

76




Dr. Uğur HASIRCI


Elektrik devrelerinde kullanılan üç temel pasif devre elemanına ilişkin denklemler, aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Komponent

Gerilim-Akım

Akım-Gerilim

Empedans

Kirchhoff’un akımlar ve gerilimler yasası kullanılarak, ayrıca çevre akımları – düğüm gerilimleri gibi klasik devre analiz yöntemleri de kullanılarak, bir elektrik devresini modelleyen diferansiyel denklemler yazılır ve Laplace dönüşümü yöntemiyle bu denklemler frekans domeninde ifade edilir. Daha sonra da giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu elde edilir. Böylece bu transfer fonksiyonu kullanılarak devrenin dinamik davranışı incelenebilir.

Admitans



Dr. Uğur HASIRCI

78

Aşağıdaki örnekte, oldukça basit bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede a) Devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I(s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz. b) Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim VC(s) çıkış değişkeni olarak seçilirse, bu durumda devreye uygulanan gerilim ile kondansatör uçlarındaki gerilim arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz.

C: Devreyi modelleyen denklem,

( ) 1( ) ( ) ( )

di tL Ri t i t dt v t

dt C

Denklemin Laplace dönüşümü alınırsa

1( ) ( ) ( ) ( )LsI s RI s I s V s

Cs



Dr. Uğur HASIRCI

79

Bu durumda çıkış değişkeni I(s) ile giriş değişkeni V(s) arasındaki transfer fonksiyonu şu şekilde elde edilir:

1( ) ( )Ls R I s V s

Cs

( ) 1

1( )

I s

V sLs R

Cs

Analizlerde çok daha kullanışlı olması sebebiyle transfer fonksiyonu genellikle s’in azalan üstlerine göre yazılır. Bu nedenle yukarıdaki transfer fonksiyonu daha kullanışlı bir formda aşağıdaki gibi yazılabilir:

Bu denklemin, [Empedansların Toplamı]I(s)=[Uygulanan Gerilimlerin Toplamı] formunda olduğuna dikkat ediniz.

2

1( )

1( )

sI s L

RV ss s

L LC



Dr. Uğur HASIRCI

80

Eğer kondansatör uçlarındaki gerilim VC(s) çıkış değişkeni olarak seçilirse,

1( ) ( )CV s I s

Cs

olduğu için transfer fonksiyonu şu şekilde olur:

2

( ) 1 /

1( )

I s LC

RV ss s

L LC



Dr. Uğur HASIRCI

81

Metodolojik olarak, çevre akımları yöntemi kullanılması durumunda elektrik devrelerinin Laplace Dönüşümü yoluyla analizi ve transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin aşağıdaki adımlar takip edilebilir:

• Devredeki pasif elemanların her birinin empedansı frekans domeninde ifade edilip, her bir akım ve gerilim değişkenleri de frekans domeninde yazılır. • Kirchhoff’un Gerilimler Kanunu kullanılarak her bir çevre için denklemler yazılır. • Bu denklemler, çıkış değişkeni için çözülerek giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu türetilir.



Dr. Uğur HASIRCI

82

Aşağıdaki örnekte ise, iki göz (çevre) içeren bir devrenin çevre akımları yöntemiyle analizi ve transfer fonksiyonunun türetilmesi açıklanmaktadır. Ör: Aşağıdaki devrede devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım I2(s) arasındaki transfer fonksiyonunu elde ediniz.

C: Öncelikle devre değişkenlerini aşağıdaki gibi frekans domeninde ifade edelim:



Dr. Uğur HASIRCI

83

Herbir çevreye ilişkin denklemler:

1 1 2

1 2 2

( ) ( ) ( )

1( ) ( ) 0

R Ls I s LsI s V s

LsI s Ls R I sCs

Bu iki denklem, I2(s) için çözülürse (Cramer kuralı ya da başka herhangi bir metod ile), aşağıdaki ifade elde edilir:

1

2

2

( )

( ) ( ) 1

R Ls LsLs

I s V sLs Ls R

Cs

Bu durumda I2(s) ile V(s) transfer fonksiyonu da aşağıdaki gibi elde edilir:

2

2

2

1 2 1 2 1

( )

( )

I s LCs

V s R R LCs R R C L s R



Dr. Uğur HASIRCI

84

Yine metodolojik olarak, çevre denklemlerinin yazılmasına ilişkin aşağıdaki yapı takip edilebilir ve bu yapı n tane çevre içeren bir devreye genellenebilir.

1 2

1 nolu çevreye ilişkin Her iki çevre için ortak 1 nolu çevreye ilişkin ( ) ( )

empedansların toplamı empedansların toplamı gerilimlerin toplamı

Her iki çevre için ortak

empeda

I s I s

1 2

2 nolu çevreye ilişkin 2 nolu çevreye ilişkin( ) ( )

nsların toplamı empedansların toplamı gerilimlerin toplamıI s I s



Dr. Uğur HASIRCI

85

Şu ana kadar devrelerin analizini çevre akımları yöntemiyle yaptık. Bununla beraber, özellikle daha karmaşık (3 veya daha fazla çevre içeren) devrelerde, düğüm gerilimleri yöntemini kullanmak daha verimli olabilir. Ancak metodoloji tamamen aynıdır. Sadece Kirchhoff’un Gerilimler Kanunu yerine Kirchhoff’un Akımlar Kanunu, empedansların yerine de admitanslar kullanılır.

1( )

( )Y s

Z s



Dr. Uğur HASIRCI

86

Metodolojik olarak, düğüm gerilimleri yöntemi kullanılması durumunda elektrik devrelerinin Laplace Dönüşümü yoluyla analizi ve transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin aşağıdaki adımlar takip edilebilir:

• Devredeki pasif elemanların her birinin admitansı frekans domeninde ifade edilip, her bir akım ve gerilim değişkenleri de frekans domeninde yazılır. • Kirchhoff’un Akımlar Kanunu kullanılarak her bir düğüm için denklemler yazılır. • Bu denklemler, çıkış değişkeni için çözülerek giriş ve çıkış değişkenleri arasındaki transfer fonksiyonu türetilir.



Dr. Uğur HASIRCI

87

Örneğin daha önce çevre akımları yöntemiyle çözdüğümüz aşağıdaki devreyi şimdi düğüm gerilimleri yöntemiyle analiz edip transfer fonksiyonun türetelim. Ör: Aşağıdaki devrede devreye uygulanan gerilim V(s) ile devreden akan akım VC(s) arasındaki transfer fonksiyonunu düğüm gerilimleri yöntemiyle türetiniz.

C: Yukarıda VL(s) ve VC(s) olarak işaretlenen düğümlere ilişkin denklemler:

1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

( ) ( )( ) 0

L L L C

C LC

V s V s V s V s V s

R Ls R

V s V sCsV s

R



Dr. Uğur HASIRCI

88

Yukarıdaki denklemlerde empedans bileşenlerinin yerine admitans karşılıkları yazılarak ve benzer yöntemler kullanılarak bu denklemler VC(s) için çözülür ve transfer fonksiyonu yazılır. Denklemlerin oluşturulmasındaki metodoloji yine çevre yöntemlerindeki gibidir.

1 2

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0

( ) ( )( ) 0

L L L C

C LC

V s V s V s V s V s

R Ls R

V s V sCsV s

R

1 nolu düğüme ilişkin Her iki düğüm için ortak 1 nolu düğüme ilişkin ( ) ( )

admitansların toplamı admitansların toplamı akımların toplamı

Her iki düğüm için ortak

admitansla

L CV s V s

2 nolu düğüme ilişkin 2 nolu düğüme ilişkin

( ) ( ) rın toplamı admitansların toplamı akımların toplamı

L CV s V s

Üç düğümlü bir devre için bu ifadeleri yazabilir misiniz?



Dr. Uğur HASIRCI

89

Elektrik devrelerinin transfer fonksiyonunun elde edilmesine ilişkin, şu ana kadar sadece pasif devre elemanlarından oluşan devreleri gördük. Şimdi ise bir aktif devre elemanının, op-amp’ın, transfer fonksiyonunun elde edilmesini inceleyelim. Öncelikle op-amp’lara ilişkin edindiğiniz bilginin tozunu alalım:

Bir op-amp, yükseltme işlemine ek olarak bir takım matematiksel operasyonları da analog olarak gerçeklenebilen, özel bir fark yükseltecidir. Temel karakteristik özellikleri:

• Fark girişi, v2(t) – v1(t) • Yüksek giriş empedansı, Zi=∞ (ideal) • Düşük çıkış empedansı, Zo=0 (ideal) • Yüksek kazanç, A=∞ (ideal)

Çıkış, vo(t), aşağıdaki denklemle hesaplanır:

0 2 1( ) ( ) ( )v t A v t v t



Dr. Uğur HASIRCI

90

Eğer v2(t) topraklanırsa, soldaki şekilde görüldüğü gibi bir “Eviren Op-amp” elde edilir. Bu durumda çıkış sinyali, vo(t)=-Av1(t) olur. Eğer bu op-amp’a sağdaki şekilde görüldüğü gibi iki empedans bileşeni bağlanırsa, klasik devre analiz yöntemleri kullanılarak, çıkış sinyali ile giriş sinyali arasında

0 2

1

( ) ( )

( ) ( )i

V s Z s

V s Z s

bağıntısı elde edilir. Dikkat edilirse bu denklem aynı zamanda eviren op-amp’ın transfer fonksiyonudur.



Dr. Uğur HASIRCI

91

Ör: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimi Vo(s) ile giriş gerilimi Vi(s) arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz.

C: Empedansları hesaplayalım:

1 1

1 1

1

1

1

1

2 2

2

1 1 1

1( )

1( )

1

1( )

C RZ s R

C s

Z s

C sR

Z s RC s

Değerler yerine yazılırsa: 2

0 2

1

( ) ( ) 45.95 22.551.232

( ) ( )i

V s Z s s s

V s Z s s

Bu transfer fonksiyonunda ilginç bir ayrıntı dikkatinizi çekiyor mu?



Dr. Uğur HASIRCI

92

Aşağıdaki devre ise bir “Evirmeyen Op-amp” devresidir ve giriş ile çıkış arasındaki transfer fonksiyonu şu şekildedir:

0 1 2

1

( ) ( ) ( )

( ) ( )i

V s Z s Z s

V s Z s



Dr. Uğur HASIRCI

93

Alıştırma: Aşağıdaki devrede çıkış gerilimi Vo(s) ile giriş gerilimi Vi(s) arasındaki transfer fonksiyonunu türetiniz.



Dr. Uğur HASIRCI

94

• “Kontrol” Kavramı • Laplace Dönüşümü • Transfer Fonksiyonu

Elektriksel Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Mekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu Elektromekanik Sistemlerin Transfer Fonksiyonu • Doğrusalsızlıklar ve Doğrusallaştırma



Dr. Uğur HASIRCI

95

Tıpkı elektriksel sistemler gibi mekanik sistemlerin de girişiyle çıkışı arasında, yani sisteme uygulanan etki ile sistemin buna tepkisi arasında bir transfer fonksiyonu türetilebilir ve bu yolla çeşitli etkiler için sistemin dinamik davranışı (tepkisi) analiz edilebilir. Hatta bu alt bölümün sonunda vurgulanacağı gibi elektriksel sistemlerle mekanik sistemlerin modellenmesi ve dinamik davranışı arasında bir analoji (benzerlik) de kurulabilir. Mekanik sistemleri,

• Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler • Dönen mekanik sistemler

olarak iki alt başlıkta inceleyeceğiz. Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemler: Hatırlanacağı üzere elektrik devlerinde üç temel pasif devre elemanı vardır. Bunlardan kapasitör ve bobin enerji depolayan elemanlar iken, direnç enerji tüketen devre elemanıydı. Benzer bir durum mekanik sistemler için de söz konusudur.



Dr. Uğur HASIRCI

96

Doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerde üç temel devre elemanı vardır. Bunlardan kütle ve yay enerji depolayan elemanlar iken, viskoz damper enerji tüketen elemandır. Bu elemanların her birinin sembolleri, kuvvet-hız ve kuvvet-konum denklemleri aşağıdaki tabloda görüldüğü gibidir. Tabloda K, fv ve M sırasıyla yay sabiti, viskoz sürtünme katsayısı ve kütle olarak adlandırılır.

Bu tabloya bakarak mekanik sistemlerdeki büyüklükler ile elektriksel sistemlerdeki büyüklükler arasında kolaylıkla analoji kurulabilir. Mekanik kuvvet gerilime, kuvvetin oluşturduğu hız ise akıma benzemektedir. Ayrıca yay kapasitöre, viskoz damper dirence ve kütle indüktöre (bobine) benzemekte, yani benzer bir dinamik davranış göstermektedir.



Dr. Uğur HASIRCI

97

Şimdi doğrusal olarak hareket eden mekanik sistemlerin transfer fonksiyonunu türetebiliriz. Örnek olarak aşağıdaki sistemi göz önünde bulunduralım. Bu mekanik sistem, tıpkı bir RLC devresi gibidir. Sisteme bir f(t) kuvveti (giriş) uygulanmakta ve bu kuvvet kütleyi x(t) (çıkış) kadar yer değiştirmektedir. Mekanik sistemlerin analizini basitleştirmek için, kütleye etki eden kuvvetler şekildeki diyagramda görüldüğü gibi çizilir ve tıpkı elektrik devrelerinde Kirchhoff kanunlarının kullanıldığı gibi mekanik sistemlerde de Newton Kanunları kullanılarak devreyi modelleyen diferansiyel denklem türetilir. Ortadaki şekilde kütleye etki eden kuvvetler zaman domeninde, sağdaki şekilde ise frekans domeninde yazılmıştır.



Dr. Uğur HASIRCI

98

Eylemsizlik yasasına göre, cisme etkiyen kuvvetlerin vektörel toplamı 2

2

( ) ( )( ) ( )v

d x t dx tM f Kx t f t

dt dt

diferansiyel denklemini verir. Tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edildiğinde bu diferansiyel denklemin Laplace dönüşümü şu şekilde olur:

2

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

v

v

Ms X s f sX s KX s F s

Ms f s K X s F s



Dr. Uğur HASIRCI

Elde edilen bu denklemin, elektrik devrelerindekine benzer şekilde, [Empedansların Toplamı]X(s)=[Uygulanan Kuvvetlerin Toplamı]

formunda olduğuna dikkat ediniz. Bu denklem kullanılarak, artık transfer fonksiyonu yazılabilir:

2 ( ) ( )vMs f s K X s F s

2

( ) 1

( ) v

X s

F s Ms f s K



Dr. Uğur HASIRCI

100

Şekildeki gibi “İki Serbestlik Dereceli – Two Degrees of Freedom” bir mekanik sistemde, yani serbest olarak hareket eden iki cismin bulunduğu sistemde, sistemi modelleyen diferansiyel denklem sayısı iki olacaktır (tıpkı iki gözlü bir elektrik devresi gibi). Bu durumda her bir cisme etki eden kuvvetlerin diyagramı çizilir ve bu yolla denklemler elde edilir.



Dr. Uğur HASIRCI

101

2

1 1 3 1 2 1 3 2 2

2

3 2 1 2 2 3 2 3 2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

v v v

v v v

M s f f s K K X s f s K X s F s

f s K X s M s f f s K K X s

X1(s) ve X2(s) değişkenlerinden hangisi çıkış değişkeni olarak seçilirse bu denklemler o değişken için çözülerek transfer fonksiyonu elde edilir.



Dr. Uğur HASIRCI

102

Hareket denklemlerinin oluşturulmasındaki metodoloji, elektrik devrelerindekine oldukça benzerdir.

1 2

1 nolu cisme ilişkin Her iki cisim için ortak 1 nolu cisme uygulanan ( ) ( )

empedansların toplamı empedansların toplamı kuvvetlerin toplamı

Her iki cisim için ortak

empedansl

X s X s

1 2

2 nolu cisme ilişkin 2 nolu cisme uygulanan( ) ( )

arın toplamı empedansların toplamı kuvvetlerin toplamıX s X s

?



Dr. Uğur HASIRCI

103

Dönen mekanik sistemler: Dönen mekanik sistemlerin transfer fonksiyonunun türetilmesi tıpkı doğrusal olarak hareket eden sistemlerdekine benzer. Fizik dersinden hatırlanacağı üzere, düzlemsel hareketteki kuvvetin yerini rotasyonel harekette tork (moment) ve doğrusal konumun (yerdeğiştirme) yerini açısal konum alır. analizinde aşağıdaki büyüklükler söz konusudur. Doğrusal hareketteki 3 temel pasif komponent dairesel harekette de mevcuttur, sadece analizde kütle yerine cismin eylemsizliği hesaba katılır. Aşağıdaki tabloda dairesel harekette herbir

komponent için tork-açısal hız, tork-açısal yerdeğiştirme ilişkisi ve herbir komponentin empedansı gösterilmektedir. K, D ve J katsayıları sırasıyla yay sabiti, viskoz sürtünme katsayısı ve eylemsizlik

momenti olarak adlandırılır. Empedans değerleri, tork-açısal yerdeğiştirme denklemlerinin, tüm başlangıç koşulları sıfır kabul edilerek Laplace dönüşümünün alınması yoluyla elde edilmiştir. “Serbestlik Derecesi” konsepti, dönen sistemler için de kullanılır. Sistemde serbest olarak hareket eden cisim sayısı kadar denklem söz konusudur.



Dr. Uğur HASIRCI

104

Dönen mekanik sistemlerin analizini yaparken de benzer şekilde, hareket eden herbir cisme etki eden torkları gösteren diyagram çizilerek Newton Kanunları vasıtasıyla giriş ile çıkış arasındaki transfer fonksiyonu türetilir. Ör: Aşağıdaki dönen mekanik sistemde θ2(s)/T(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: Her bir cisme etkiyen tork diyagramını çizelim. Birinci cisme T(s) torku uygulanmıştır. Damper, yay ve cismin kendi eyllemsizliği bu torka ters yönde 3 tork üretmektedir (Şekil a). Ayrıca ikinci cisim de birinci cisme uygulanan torku destekler yönde etkir (Şekil b). Sonuç olarak birinci cisme etkiyen tüm tork büyüklükleri Şekil c’deki gibidir.



Dr. Uğur HASIRCI

105

Aynı durum ikinci cisim için de geçerlidir. Ancak tork birinci cisme uygulandığı için, ikinci cisimde bir T(s) söz konusu değildir.

Sonuç olarak hareket denklemleri şu şekilde olacaktır:

2

1 1 1 2

2

1 2 2 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

J s D s K s K s T s

K s J s D s K s

Transfer fonksiyonu:

2( )

( )

s K

T s

2

1 1

2

2 2

J s D s K K

K J s D s K



Dr. Uğur HASIRCI

106

Hareket denklemlerinin oluşturulmasındaki metodoloji, elektrik devrelerindekine oldukça benzerdir.

1 2

1 nolu cisme ilişkin Her iki cisim için ortak 1 nolu cisme uygulanan ( ) ( )

empedansların toplamı empedansların toplamı torkların toplamı

Her iki cisim için ortak

empedanslar

s s

1 2

2 nolu cisme ilişkin 2 nolu cisme uygulanan( ) ( )

ın toplamı empedansların toplamı torkların toplamıs s

?



Dr. Uğur HASIRCI

107

Dişli Sistemlerin Transfer Fonksiyonu: Dişliler, mekanik sistemlerde önemli avantajlar sağlarlar. Örneğin vitesli bisikletleri hatırlayın: Yokuş yukarı çıkarı çıkarken daha yüksek tork için kol ileri itilir ve bu da hızın daha düşük olmasına sebep olur. Yokuş aşağı inerken ise dişliler daha yüksek hız ve dolayısıyla daha düşük tork sağlamak amacıyla kullanılabilir. Bu örnekten de anlaşılacağı üzere dişliler, dönen mekanik sistemlerde tork-hız ayarı için kullanılırlar. Kayıpları, eylemsizliği, sürtünmesi vs. ihmal edilen ideal bir dişli sistemi aşağıdaki şekilde görülmektedir. Yarıçapı r1 ve diş sayısı N1 olan

1 nolu giriş dişlisine T1(t) torku uygulanmıştır ve bu dişlinin açısal konumu θ1(t)

dir. 2 nolu çıkış dişlisinin ise yarıçapı r2, diş sayısı N2, bu dişliden alınan tork T2(t) ve açısal konumu θ2(t) dir.



Dr. Uğur HASIRCI

108

Dişliler dönmeye başladığında belirli bir zaman diliminde her bir dişlinin kat edeceği çevresel yol aynı olacağı için, r1θ1=r2θ2 olacaktır. Buradan,

olur. Yani her bir dişlinin torku, diş sayısı ile doğru, açısal konum ile ile ters orantılıdır. Bu iki denklem blok diyagram şekilde aşağıdaki gibi gösterilebilir.

2 1 1

1 2 2

r N

r N

elde edilir. Yani açısal yerdeğiştirme miktarı, dişlilerin yarıçapı ve diş sayısı ile ters orantılıdır. Peki iki dişlinin torkları arasındaki ilişki nasıldır? Dişliler ideal dişli olarak kabul edildiği için güç (ve dolayısıyla enerji) değerleri aynı olacaktır. Yani , T1θ1=T2θ2 ve

2 1 2

1 2 1

T N

T N



Dr. Uğur HASIRCI

109

Peki bir mekanik sistemde dişli kullanılması durumunda mekanik empedanslar nasıl değişecek? Bunu incelemek için aşağıdaki basit mekanik sistemi gözönünde bulunduralım ve dişlinin herhangi bir tarafındaki empedansların ve diğer büyüklüklerin, dişlinin diğer tarafına nasıl aktarılacağını hesaplayalım. Burada amaç, bu mekanik sistemi analiz ederken dişlileri elimine edip bir eşdeğer mekanik sistem türetmektir.

Öncelikle dişlinin 1 numaralı tarafındaki torku, dişlinin tarafına aktarmak suretiyle eşdeğer sistemi oluşturalım. Dişlinin bir tarafındaki torkun, diğer tarafında nasıl görüleceğini önceki slaytta açıklamıştık. Bu nedenle eşdeğer sistem ve hareket denklemi aşağıdaki gibi olacaktır.

2 22 1

1

( ) ( )N

Js Ds K s T sN



Dr. Uğur HASIRCI

110

Şimdi dişlinin 2 numaralı tarafındaki büyüklükleri 1 numaralı tarafına aktaralım:

2 1 21 1

2 1

( ) ( )N N

Js Ds K s T sN N

2 2 2

21 1 11 1

2 2 2

( ) ( )N N N

J s D s K s T sN N N



Dr. Uğur HASIRCI

111

Elde ettiğimiz sonuçları genellersek, şu ifadeyi çıkarabiliriz: Dişli içeren dönen mekanik sistemlerde empedanslar, dişlinin bir tarafından diğer tarafına aşağıdaki dönüştürme oranıyla çarpılarak aktarılır:

2

Hedef taraftaki dişli sayısı

Kaynak taraftaki dişli sayısı

Ör: Aşağıdaki mekanik sistemde J1 eylemsizliğine sahip cisme T1(t) torku uygulanmıştır. Buna göre θ2(s)/T1(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.



Dr. Uğur HASIRCI

112

C: Serbest olarak hareket eden iki cismin bulunması, iki tane hareket denklemi olması gerektiğini düşündürse de, bu iki cisim dişli vasıtasıyla birbirine bağlanmıştır ve hareket denklemi, büyüklüklerin bir tarafa aktarılması suretiyle tek denklem olarak yazılır. Eşdeğer J, D ve K değerleri şekildeki gibidir.

Bu durumda hareket denklemi:

2 22 1

1

( ) ( )e e e

NJ s D s K s T s

N

ve transfer fonksiyonu:

2 2 1

21

( ) /

( )e e e

s N N

T s J s D s K



Dr. Uğur HASIRCI

113

Dişli sistemlerde çok daha yüksek dönüştürme oranı istendiğinde, pratik olarak çok da uygulanabilir olmayan yarıçap ve diş sayısı değerleri söz konusu olur. Bu nedenle bu tür uygulamalar için tek bir dişli kullanmak yerine ard arda bağlanmış birden fazla dişli kullanılır. Bu durumda eşdeğer dönüştürme oranı aşağıdaki gibi bulunur:

1 3 54 1

2 4 6

N N N

N N N



Dr. Uğur HASIRCI

114

Alıştırma: Aşağıdaki mekanik sistemde J1 eylemsizliğine sahip cisme T1(t) torku uygulanmıştır. Buna göre θ1(s)/T1(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.



Dr. Uğur HASIRCI

115





Dr. Uğur HASIRCI

116

Elektromekanik sistemler, elektrik enerjisini mekanik enerjiye, mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çeviren sistemlerdir. Bir generatör, mekanik enerjiyi elektrik enerjisine çevirirken, bir motor ise elektrik enerjisini mekanik enerjiye çevirir. Aşağıdaki fotoğrafta elektromekanik sistemler (bir robot kolu) içeren, NASA Uçuş Simülatörü görülmektedir.



Dr. Uğur HASIRCI

117

Bu bölümde, kontrol sistemlerinde aktüator (eyleyici) olarak yaygın bir şekilde kullanılan özel bir elektromekanik sistemin, Kalıcı Mıknatıslı DC Servomotorun transfer fonksiyonunu türeteceğiz. Bu motorlarda manyetik alan, sabit pozisyonlu kalıcı mıknatıslar tarafından sağlanır. ia(t) akımını taşıyan ve Armatür (endüvi) devresi olarak adlandırılan dönen devre ise bu manyetik alana maruz kalacak şekilde döndüğü için, Lorentz Kanunu’na göre F=Blia ile hesaplanan bir kuvvete maruz kalır ve makinanın dönen kısmı (rotor) dönmeye başlar Böylece, makinaya uygulanan elektrik enerjisi, mekanik enerjiye dönüştürülmüş olur. Burada B, armatürün maruz kaldığı manyetik alan, ve l ise bu manyetik alana maruz kalan iletken uzunluğudur.



Dr. Uğur HASIRCI

118

Bu ön bilgilerden sonra, motorun aşağıdaki blok diyagramda görülen transfer fonksiyonunu türetelim. Şekilden de görüleceği üzere armatür devresine ilişkin denklemin Laplace Dönüşümü

( ) ( ) ( ) ( )a a a a b aR I s L sI s V s E s

olacaktır. Motorun ürettiği tork ise armatür akımı ile orantılıdır ve

( ) ( )m t aT s K I s

formülüyle hesaplanır. Burada Kt Tork Sabiti olarak adlandırılır. Genellikle bu değer Kb değerine eşit alınır. Eğer bu denklemden Ia akımının değeri bulunup yukarıdaki denklemde hem Ia’nın değeri, hem de bir önceki slaytta Vb(s) için verilen formül yerine yazılırsa şu denklem elde edilir:

( )( ) ( )

a a m

b m a

t

R L s T sK s s E s

K



Dr. Uğur HASIRCI

119

Blok diyagramda görülen θm(s)/Ea(s) transfer fonksiyonunu elde etmemiz için tek bir adım kaldı: Motorun ürettiği tork Tm(s)’i, motorun açısal konumu θm(s) cinsinden ifade etmek. Bunun için yapılması gereken şey ise gayet basit: Motorun mekanik denklemini yazmak! Şu ana kadar bu elektromekanik sistemin hep elektriksel denklemlerini yazdık. Şimdi ise, daha önce gördüğümüz dönen mekanik sistemlerin denklemlerinin türetilmesine ilişkin bilgilerimizi kullanarak mekanik denklemi yazalım.

( )( ) ( )

a a m

b m a

t

R L s T sK s s E s

K



Dr. Uğur HASIRCI

120

Burada Ja ve Da sırasıyla motorun armatürünün eylemsizliği ve viskoz sürtünme katsayısı, JL ve DL ise yükün eylemsizliği ve viskoz sürtünme katsayısıdır. Eğer yük tarafındaki mekanik empedanslar motor tarafına aktarılırsa aşağıdaki eşdeğer devre elde edilir. Bu eşdeğer devrede, Jm ve Dm sırasıyla eşdeğer eylemsizlik ve eşdeğer viskoz sürtünme katsayısıdır. Dişli sistemlerden bahsederken açıklandığı üzere bu değerler aşağıdaki gibi hesaplanır:

Mekanik denklemin türetilmesini açıklamak için yandaki şekli gözönünde bulunduralım. Bu şekil, bir motor ile motorun miline bir dişli vasıtasıyla bağlanmış yükü göstermektedir. Eğer dişli kullanılmaz ve yük motor miline doğrudan bağlanırsa dişlinin dönüştürme oranı 1 olarak alınır.

2

1

2

2

1

2

m a L

m a L

NJ J J

N

ND D D

N



Dr. Uğur HASIRCI

121

Buna göre mekanik denklem; 2( ) ( )m m m mT s J s D s s

Eğer bu mekanik denklem daha önce elde ettiğimiz ( )

( ) ( )a a m

b m a

t

R L s T sK s s E s

K

denkleminde yerine yazılırsa; 2 ( )

( )a a m m m

b a

t

R L s J s D s sK s E s

K

Armatür indüktansı La’nın, Ra’ya göre çok çok küçük olduğu göz önünde bulundurulursa,

( ) ( )am m b m a

t

RJ s D K s s E s

K

Artık bu denklem kullanılarak transfer fonksiyonu yazılabilir:

/( )

( ) 1

t a mm

a t bm

m a

K R Js

E s K Ks s D

J R



Dr. Uğur HASIRCI

122

Bu denklem literatürde genellikle daha kompakt formda

şeklinde ifade edilir. K ve α sabitlerinin neye karşılık geldiği iki denklem karşılaştırılarak kolayca görülebilir. Yukarıdaki transfer fonksiyonunun belli bir motor için yazılması, o motora ve sürdüğü yüke ilişkin mekanik ve elektriksel parametrelerin rakamsal değerlerinin bulunmasını gerektirir. Mekanik parametreler Jm ve Dm’yi ölçmenin herhangi bir yolu yoktur. Bu parametrelerin hesaplanması ise transfer fonksiyonu çıkarılırken anlatıldığı gibi yapılır. Elektriksel parametreler Ra , Kt ve Kb ise ilgili motorun tork-hız eğrisi kullanılarak bulunur. Şimdi bu elektriksel parametrelerin tork-hız eğrisi yardımıyla nasıl bulunacağına bakalım.

/( )

( ) 1

t a mm

a t bm

m a

K R Js

E s K Ks s D

J R

( )

( )

m

a

s K

E s s s



Dr. Uğur HASIRCI

123

Kalıcı mıknatıslı DC servo motorun, farklı voltaj değerleri için tork-hız eğrisi şekildeki gibidir. Verilen bir tork-hız eğrisi için bu elektriksel parametreler aşağıdaki gibi hesaplanır:

t stall

a a

K T

R e

ab

no load

eK



Dr. Uğur HASIRCI

124

Ör: Tork-hız eğrisi aşağıda verilen bir kalıcı mıknatıslı DC servo motor, şekildeki gibi bir yükü sürmektedir. Buna göre θL(s)/Ea(s) transfer fonksiyonunu bulunuz.

C: Önce mekanik ve elektriksel parametrelerin değerlerini bulalım: 2 22 2

1 1

2 2

1 15 700 12 2 800 10

10 10

500 1005 2

100 50

m a L m a L

t stall ab

a a no load

N NJ J J D D D

N N

K T eK

R e



Dr. Uğur HASIRCI

125

Bulunan bu parametre değerlerini daha önce bu tür motorlar için elde ettiğimiz

/( )

( ) 1

t a mm

a t bm

m a

K R Js

E s K Ks s D

J R

transfer fonksiyonunda yerine koyarsak,

( ) 5 /12 0.417

1( ) ( 1.667)10 (5)(2)

12

m

a

s

E s s ss s

bulunur. Ancak dikkat edilirse bu transfer fonksiyonu θm(s) ile Ea(s) arasındaki transfer fonksiyonudur. Bulunması istenen transfer fonksiyonu ise θL(s)/Ea(s) dir. Bu nedenle, yukarıda elde edilen transfer fonksiyonu, dişlinin dönüştürme oranı olan N1/N2=1/10 ile çarpılmalıdır.

( ) 0.0417

( ) ( 1.667)

L

a

s

E s s s



Dr. Uğur HASIRCI

126

Alıştırma: Tork-hız ilişkisi denklemiyle verilen bir kalıcı mıknatıslı DC servo motor, şekildeki gibi bir yükü sürmektedir. Buna göre θL(s)/Ea(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. (Giriş gerilimi 100 V dur.)

C:

8 200m mT

( ) 1 / 20

( ) (15 / 2)

m

a

s

E s s s



Dr. Uğur HASIRCI

127





Dr. Uğur HASIRCI

128

DOĞRUSALSIZLIKLAR Şu ana kadar bir şekilde uğraştığımız diferansiyel denklemlerin tamamı doğrusal zamanla değişmeyen (Linear Time Invariant – LTI) diferansiyel denklemlerdi. Burada “zamanla değişmeyen” kavramından kasıt, az önceki DC motor örneğinde Jm, Dm, Ra vs. gibi mekanik ve elektriksel parametrelerin birer sabit olup, zamana göre değişmemesini temsil eder. Daha önce de ısrarla vurgulandığı üzere aslında tabiatta lineer sistem yoktur. Bütün sistemler belirli bir ölçünün ötesinde doğrusal olmayan (nonlinear) sistemlerdir. Şu ana kadar kullandığımız doğrusal (lineer) diferansiyel denklem modelleri ise aslında gerçek modelin birer “lineer yaklaşımı”dır. Tüm bunlardan lineer modellerin gerçek sistemi temsil etmediği anlamı çıkmaz. Kontrol edilecek sisteme göre değişmekle beraber, lineer modeller birçok sistem için yeterli temsil yeteneğine sahiptir. Bu altbölümde önce “doğrusal” ve “doğrusal olmayan” kavramlarını hatırlatıp, daha sonra doğrusal olmayan bir sistemin nasıl doğrusallaştırılacağını göstereceğiz. Dersin son haftasında ise, “doğrusal olmayan bir sistemi hiç doğrusallaştırmadan nasıl kontrol edebiliriz, yani doğrusal olmayan diferansiyel denklemi kullanarak nasıl kontrol edebiliriz” sorusunu cevaplayacağız.



Dr. Uğur HASIRCI

129

Daha önce vurgulandığı gibi doğrusal bir sistem iki önemli özelliğe sahiptir: Toplamsallık ve çarpımsallık. Toplamsallık, bir sistemin birden fazla girişin toplamına verdiği cevabın, o girişlerin her biri için ayrı ayrı ürettiği cevapların toplamına eşit olmasıdır. Yani bir sistem r1(t) girişi için c1(t) çıkışını ve r2(t) girişi için c2(t) çıkışını ürettiğinde, r1(t)+r2(t) girişi için c1(t)+ c2(t) çıkışını üretiyorsa toplamsallık ilkesini sağlıyordur. Çarpımsallık, sistem girişinin bir sabitle çarpılması durumunda çıkışında aynı sabitle çarpılmış değerde olmasını tanımlar. Yani bir sistem r1(t) girişi için c1(t) çıkışını ürettiğinde, A bir sabit olmak üzere Ar1(t) girişi için Ac1(t) çıkışını üretiyorsa çarpımsallık ilkesini sağlıyordur.

Örneğin yandaki grafiklerden biri bu ilkeleri sağlarken, diğeri sağlamamaktadır.



Dr. Uğur HASIRCI

130

Aşağıdaki şekillerde bazı fiziksel doğrusalsızlıklar görülmektedir. Soldaki şekilde Elektronik I ve II derslerinde gördüğünüz yükselteçlerin çıkış eğrisi verilmiştir. Bir yükselteç en fazla besleme sinyali kadar (pratikte bunun birkaç volt azı kadar) çıkış verebilir. Belirli bir değerden sonra giriş ne kadar artarsa artsın çıkış değişmez. Bu tür doğrusalsızlıklar Doyum – Saturation olarak adlandırılır. Ortadaki şekilde bir elektrik motorunun düşük voltajlara tepki vermeyip, belirli bir voltaj değerinden sonra hareket etmeye başlamasını temsil eden grafik görülmektedir. Bu tür doğrusalsızlıklar Ölü Bölge – Dead Zone olarak adlandırılır. Soldaki şekilde ise, daha önce gördüğümüz dişlilerin dönüştürme karakteristiğine ilişkin daha gerçekçi bir eğri görülmektedir. Küçük bir aralıkta giriş değişmesine rağmen çıkış hiçbir tepki vermemekte, yani küçük dişli dönmeye başlamasına rağmen büyük dişli bir süre hareket etmemektedir. Bu tür doğrusalsızlıklar ise Boşluk – Backlash olarak adlandırılır.



Dr. Uğur HASIRCI

131

Şu ana kadar “doğrusalsızlık – nonlinearity” kavramının ne olduğunu açıklamaya çalıştık. Şimdi doğrusal olmayan bir sistemin / cebirsel denklemin / diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağından bahsedelim. Çoğu zaman tasarımcılar doğrusal olmayan bir sistemin doğrusal yaklaşımını kullanırlar. Böyle bir tercih modeli basitleştirir ve tasarımı kolaylaştırır. Zira doğrusal sistemlerin tasarımı, üzerinde yüzyıllardır çalışılan bir konudur ve tasarım için çok sayıda kullanışlı yöntem mevcuttur. Doğrusal olmayan sistemler ise uzay araştırmaları ile daha belirgin hale gelmiştir ve halen bu tür sistemlerin tasarımı üzerine araştırmalar yapılmaktadır. Ancak her doğrusal olmayan sistemin doğrusal yaklaşımı, gerçek sistemi üstün performansla temsil etmeyebilir. Bu nedenle doğrusallaştırma sihirli bir yöntem değildir ve her sisteme uygulanamaz.



Dr. Uğur HASIRCI

132

DOĞRUSALLAŞTIRMA Hatırlanacağı üzere frekans domeni yaklaşımının sadece doğrusal sistemlere uygulanabileceğini söylemiştik. Eğer bir sistem herhangi bir doğrusal olmayan komponent içeriyorsa, bu sistemin transfer fonksiyonunun yazılabilmesi için önce sistem modelinin doğrusallaştırılması gerekir. Bir cebirsel ya da diferansiyel denklemin doğrusallaştırılması, bir denge noktası etrafında yapılır. Bu nedenle öncelikle denge noktası kavramını tanımlayalım. Herhangi bir sistemin denge noktası, fiziksel olarak harici bir uyartım olmadığında sistemin yerleşeceği noktadır. Dolayısıyla eğer matematiksel anlamda denge noktasını tanımlarsak, ilgili sistemi modelleyen denklemin çözümünün, giriş sıfıra eşit olduğunda yakınsayacağı noktadır. Şimdi hem bu fiziksel tanıma, hem de matematiksel tanıma örnekler verelim. Örneğin aşağıdaki bilyeye herhangi bir harici etki uygulanmazsa bilyenin gideceği yer, şekilde görülen noktadır ve bu nokta denge noktası olarak adlandırılır. Doğrusallaştırma işte bu denge noktası etrafında yapılır. Bunun nedeni de oldukça açıktır: Bu denge noktası etrafında küçük etkiler, küçük tepkiler doğurur. Yani bilye denge noktasındayken çok hafif bir kuvvet (etki, giriş) uygulanırsa, bilye de çok az yerdeğiştirme (çıkış, tepki) meydana getirecektir. Dolayısıyla bu fiziksel sistemi, denge noktasının küçük bir komşuluğunda sanki doğrusal bir sistemmiş gibi analiz edebiliriz.



Dr. Uğur HASIRCI

133

Denge noktasına diğer bir fiziksel örnek ise, aşağıdaki sarkaçtır. Eğer bu sarkaca herhangi bir harici etki uygulanmazsa, sarkacın varacağı nokta şekildeki noktadır ve bu nokta bir denge noktasıdır.

Bu sarkacın bir denge noktası daha vardır !!!



Dr. Uğur HASIRCI

134

Esas soruya gelelim: Bu doğrusal olmayan modelin, A noktası etrafında doğrusallaştırılmış formu nasıl elde edilir? Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi A noktasına teğet çizelim ve orjini bu teğet noktası olan yeni bir eksen takımı oluşturalım. Matematiksel notasyonda δ (ya da Δ) küçük değişimleri temsil ettiği için bu yeni eksen takımını δx ve δf(x) olarak etiketlendirelim. Çizilen teğetin eğimini ma ile gösterelim. Yeni eksen takımında bu teğet doğrusunun denklemi

şeklindedir. Buradan

0 0( ) ( ) af x f x m x x

( ) af x m x

ve dolayısıyla

0 0( ) ( ) af x f x m x x

0( ) ( ) af x f x m x

Elde ettiğimiz bu denklem, doğrusal olmayan fonksiyon f(x)’in, koordinatları [x0, f(x0)] olan A noktasında doğrusallaştırılmış denklemidir. ma , A

noktasındaki teğetin eğimini, δx ise bu noktanın etrafındaki küçük değişimleri temsil eder. Takip eden slayttaki örnek bu anlatımı somutlaştırır.



Dr. Uğur HASIRCI

135

Ör: f(x)=5cosx denklemini x=π/2 noktası etrafında doğrusallaştırınız. C: Doğrusallaştırma denklemi şeklindeydi. Buna göre soruda verilen doğrusal olmayan denklemin, x=π/2 noktasındaki değerini, yani f(x0) değerini, ve yine x=π/2 noktasındaki teğetinin eğimini, yani ma değerini, bulmamız gerekiyor.

Bu noktadaki teğetin eğimi ise, fonksiyonunu türevi alınıp, elde edilen ifadenin x=π/2 için değerinin bulunmasıyla elde edilir.

0 / 2 5cos / 2 0f x f

/ 2/2

5sin 5a xx

dfm x

dx

0( ) ( ) af x f x m x

Böylece bu doğrusal olmayan fonksiyonun, x=π/2 etrafındaki doğrusallaştırılmış denklemi,

( ) 5f x x

olur. Bu doğrusallaştırılmış denklemin, x=π/2 noktasının küçük komşuluklarında geçerli olduğunu unutmayınız!



Dr. Uğur HASIRCI

136

Şu ana kadar “doğrusalsızlık” ve “doğrusallaştırma” kavramlarının tanımını yaptık ve bir cebirsel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını gördük. Daha önce vurgulandığı gibi tabiattaki dinamik sistemler diferansiyel denklemlerle modellenir ve daha sonra bu diferansiyel denklem transfer fonksiyonu formunda ya da durum-uzay formunda ifade edilir. Bu nedenle sadece cebirsel denklemlerin değil, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin de nasıl doğrusallaştırılacağının açıklanması gerekir. Doğrusal olamayan bir diferansiyel denklem, bir denge noktası etrafında doğrusallaştırılarak, elde edilen doğrusal diferansiyel denklemin Laplace Dönüşümü alınır ve giriş ile çıkış değişkenleri arasında bir transfer fonksiyonu yazılır. Dolayısıyla, önce doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağı açıklanmalıdır. Esasen daha önce cebirsel denklemin doğrusallaştırılmasında kullanılan yöntem, Taylor tarafından daha genel bir formda sunulmuştur. Taylor, doğrusal olamayan bir f(x) fonksiyonunun x=x0 noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunun, kendi adıyla anılan aşağıdaki gibi sonsuz sayıda terimin toplamı şeklindeki bir seri ile ifade edilebileceğini ortaya koymuştur:

0 0

2200

0 2( ) .......

1! 2!x x x x

x xdf x x d ff x f x

dx dx

Bu denklemde f(x0), az önceki örnekte olduğu gibi, doğrusal olmayan f(x) fonksiyonunun x=x0

noktasındaki değeridir.



Dr. Uğur HASIRCI

137

Eğer Taylor Serisinin yüksek mertebeden terimleri ihmal edilirse,

0 0

2200

0 2( ) .......

1! 2!x x x x

x xdf x x d ff x f x

dx dx

denklemi elde edilir. Bu denklem, tıpkı az önceki örnekte olduğu gibi, δx ile δf(x) değerlerini x0‘ın küçük komşulukları için ilişkilendirir ve doğrusal olmayan f(x) fonksiyonunun x0 noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunu verir. Takip eden iki örnekten ilki, doğrusal olmayan bir diferansiyel denklemin nasıl doğrusallaştırılacağını, ikincisi ise doğrusal olmayan bir sistemin doğrusallaştırılıp transfer fonksiyonunun nasıl elde edileceğini göstermektedir.

0

0 0( )x x

dff x f x x x

dx

ya da diğer bir ifadeyle,

0

( )x x

dff x x

dx

0

0( )x x

dff x f x x

dx



Dr. Uğur HASIRCI

138

Ör: Aşağıdaki diferansiyel denklemi x=π/4 noktası etrafında doğrusallaştırınız. C: cosx terimi bu diferansiyel denklemi doğrusal olmayan bir denklem yapmaktadır. Denklemi doğrusallaştırmak için, bağımlı değişken x yerine, onun x=π/4 noktası etrafındaki küçük değişimlerini temsil eden x = δx + π/4 değerini yazalım. Bu durumda denklem;

2

22 cos 0

d x dxx

dt dt

2

2

4 42 cos 0

4

d x d x

xdt dt

halini alır. Açıkça görüleceği üzere,

2

2

2 2

4d x

d x

dt dt

ve 4

d xd x

dt dt

dir. Bu iki terim zaten doğrusal terimlerdir. Şimdi doğrusal olmayan cosx terimini Taylor serisi yardımıyla doğrusallaştıralım. Yani doğrusallaştırılacak olan ifade, f(x)=cos(δx+(π/4)) ifadesidir.



Dr. Uğur HASIRCI

139

Bunun için daha önce elde ettiğimiz denkleminde değerleri yerine koyalım:

elde edilir. Böylece herbir terimin noktası etrafında doğrusallaştırılmış formunu elde ettik (çerçeve içine alınmış üç terim). Doğrusallaştırılmış bu üç terim, soruda verilen diferansiyel denklemde yerine yazılırsa, x=π/4 noktası etrafında doğrusallaştırılmış diferansiyel denklem aşağıdaki gibi elde edilir:

Bu durumda,

0

0( )x x

dff x f x x

dx

4

(cos )cos cos cos cos sin

4 4 4 4 4x

d xx x x x

dx

2 2cos cos sin cos

4 4 4 4 2 2x x x x

2

2

2 22

2 2

d x d xx

dt dt



Dr. Uğur HASIRCI

140

Ör: Aşağıdaki şekilde görülen elektrik devresinde direnç doğrusal olmayan ve denklemi ile verilen bir akım-gerilim karakteristiğine sahiptir. Burada ir direncin uçlarından akan akım, vr ise direncin uçlarındaki gerilimdir. Buna göre VL(s)/V(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. (Devredeki kaynağın bir küçük-sinyal üreteci olduğunu kabul ediniz).

0.12 rv

ri e

C: Öncelikle Kirchhoff’un Gerilimler Yasasını kullanarak devreyi modelleyen diferansiyel denklemi yazalım. Bunun için, doğrusal olmayan dirence ilişkin soruda verilen denklemden vr geriliminin ifadesini bulmamız gerekir. Eğer her iki tarafın e tabanına göre logaritması alınırsa, direncin uçlarındaki gerilim ifadesinin

110ln

2r rv i

olduğu görülür. Bu devre bir seri devre olduğu için, direncin uçlarından akan akım, aynı zamanda diğer komponentlerin de uçlarından akan akımdır. Bu nedenle akımı genel olarak i şeklinde etiketleyelim. Bu durumda devreyi modelleyen diferansiyel denklem şu şekilde olacaktır:

110ln 20 ( )

2

diL i v t

dt



Dr. Uğur HASIRCI

141

Peki doğrusallaştırma hangi noktanın etrafında yapılacak? Şu ana kadar bütün örneklerde doğrusallaştırmanın yapılacağı nokta peşinen söylenmişti. Şimdi doğrusallaştırmanın yapılacaağı o “denge noktası”nın nasıl bulunacağından bahsedelim ve bunun için tanımı hatırlayalım:

Eğer yukarıdaki denklemde giriş v(t)=0 alınırsa, devrede sadece 20 V’luk DC kaynak kalacaktır. Ayrıca kalıcı durumda di/dt, yani akımdaki değişim de sıfır olacağından, bobinin uçlarındaki gerilim de sıfıra eşit olacaktır, yani bobin kısa devre gibi davranacaktır. Böylece sadece direncin uçlarında 20 V’luk bir gerilim kalacaktır. Direncin, soruda verilen akım-gerilim ilişkisi kullanılırsa, 20 V için direnç uçlarından 14.78 A akım akacağı görülür. İşte bu nokta denge noktasıdır, yani doğrusallaştırma i0=14.78 noktasının etrafında yapılır.

110ln 20 ( )

2

diL i v t

dt

Herhangi bir sistemin denge noktası, fiziksel olarak harici bir uyartım olmadığında sistemin yerleşeceği noktadır. Dolayısıyla eğer matematiksel anlamda denge noktasını tanımlarsak, ilgili sistemi modelleyen denklemin çözümünün, giriş sıfıra eşit olduğunda yakınsayacağı noktadır.



Dr. Uğur HASIRCI

142

Artık bundan sonra, daha önce öğrendiğimiz şekilde, devreyi modelleyen diferansiyel denklemi doğrusallaştırabiliriz.

0

0 0

1 10ln 20 ( )

2

d i ii i i L i i v t

dt

Doğrusal olmayan terim

0

0

0 0

0 0

0 0

0

1ln

1 1 2ln ln

2 2

1 1 1ln ln

2 2

1 1 1ln ln

2 2

i i

i i

d i

i i i idt

i i i ii

i i i ii



Dr. Uğur HASIRCI

143

Bu durumda, i0=14.78 noktası etrafında doğrusallaştırılmış denklem:

0

0

1 110 ln 20 ( )

2

d iL i i v t

dt i

L=1 H ve i0=14.78 A değerleri yerine yazılırsa;

0.667 ( )d i

i v tdt

Bulmamız istenen transfer fonksiyonu VL(s)/V(s) olduğu için VL(s)‘nin ifadesini de bulmamız gerekir. Bunun için vL(t)’nin ifadesini yazıp Laplace dönüşümünü alalım:

0( ) ( ) ( ) ( )L L

d d iv t L i i L V s Ls i s s i s

dt dt

Bulmamız istenen transfer fonksiyonu VL(s)/V(s) aşağıdaki gibi olacaktır. Bu transfer fonksiyonunun, akımın değerinin küçük komşuluklarında geçerli olduğunu unutmayınız. Akım 2 A ise, bu transfer fonksiyonu, devrenin dinamik davranışını modelleyemez.

( ) ( )( )

0.667 ( ) 0.667

LL

V s V s sV s s

s V s s



Dr. Uğur HASIRCI

144

Alıştırma: Aşağıdaki şekilde görülen elektrik devresinde direnç doğrusal olmayan ve denklemi ile verilen bir akım-gerilim karakteristiğine sahiptir. Burada ir direncin uçlarından akan akım, vr ise direncin uçlarındaki gerilimdir. Buna göre V(s)/I(s) transfer fonksiyonunu bulunuz. (Devredeki kaynağın bir küçük-sinyal üreteci olduğunu kabul ediniz).

rv

ri e

( ) 1

( ) 2

V s

I s s

transfer fonksiyonu elektriksel sistemlerin transfer...

Documents