trabajo monografico viga conjugada

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERÍA ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE ING. CIVIL 1 RESISTENCIA DE MATERIALES II METODO DE LA VIGA CONJUGADA I.- INTRODUCCIÓN El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada. En este trabajo daremos a conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la definición, explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa, que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero, por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También, aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios. La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real. Por último, después de haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios, procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría para llevarlos a la práctica La Viga Conjugada es siempre una viga estáticamente determinada. Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un conjunto de Métodos en este caso el Método de la Viga Conjugada. A su vez el desarrollo operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos.: Principio -> Teorema -> Método -> Procedimiento

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I.- INTRODUCCIÓN

El presente trabajo se basa en la investigación para conocer un poco más sobre otro

de los métodos que permite encontrar giros y desplazamiento en cualquier punto de la

elástica en una viga; me refiero al método de la viga conjugada. En este trabajo daremos a

conocer sobre la definición de este método, para qué nos sirve, como es su proceso

aplicativo, en qué tipo de estructura es aplicable este método, qué es una viga ficticia y

qué relaciones guarda con una viga real, la diferencia de este método con el que ya

estudiamos anteriormente (área de momentos), y por último procederemos a resolver los

problemas dados conociendo los aspectos más básicos de la teoría. En la definición,

explicaremos a qué se le llama “viga conjugada”, en qué fundamentos teóricos se basa,

que tiene la ventaja de que no necesita conocer previamente un punto de tangente cero,

por lo cual se puede averiguar directamente la pendiente y deflexión en cualquier punto

de la elástica y que se utiliza en vigas y columnas estáticamente determinadas. También,

aprenderemos a través de un gráfico que una viga ficticia es aquella que se carga con el

diagrama de momentos reducidos de la viga real, y por consiguiente guardan relación de

donde se obtiene las analogías que se utilizan para resolver los ejercicios.

La convención de signos en este método se fundamenta en el resultado de haber

encontrado el momento o la fuerza cortante de la viga ficticia, pues según sea el signo de

la respuesta, se sabrá el signo de la flecha o del giro en la viga real. Por último, después de

haber conocido todos estos conceptos básicos para poder resolver los ejercicios,

procederemos a desarrollar dichos problemas, aplicando todo lo aprendido de la teoría

para llevarlos a la práctica La Viga Conjugada es siempre una viga estáticamente

determinada.

Utilizando los Principios se establece un conjunto de Teoremas que dan soporte a un

conjunto de Métodos en este caso el Método de la Viga Conjugada. A su vez el desarrollo

operativo de los Métodos se concreta en una serie de Procedimientos.: Principio ->

Teorema -> Método -> Procedimiento

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El conocimiento de las deformaciones resulta también sumamente importante

desde el punto de vista constructivo. Para dichos cálculos se hará uso del método de la

viga conjugada que consiste en hallar el momento en la viga real y cargarlo a la viga

conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte de mejor conveniencia, se

obtiene el cortarte que será el giro de la viga real y el momento en la viga conjugada será

el desplazamiento en la misma.

La deflexión que presentan las vigas por acción de las cargas que soportan, han

motivado la existencia de numerosos métodos de cálculo aplicables a cualquier tipo de

estructuras. A continuación analizaremos el método de la viga conjugada.

Este método contaremos con vigas que puede ser isostática o hiperestática

(tenemos que hacer que la viga sea como isostática) ya que esta siempre es una viga

estáticamente determinada, a partir de este punto, calculamos el diagrama de momento

(M y M/EI), obtendremos dos ecuaciones, una indica el giro θ (x) de la viga en cualquier

punto y la segunda el valor de la flecha δ(x) de la viga deformada en cualquier punto de

ésta.

Se resume que la viga conjugada es una ficticia de longitud igual a la de una viga real

y cuya carga es el diagrama de momentos flectores reducidos.

LOS ALUMNOS.

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II.- OBJETIVOS

OBJETIVOS GENERALES:

El objetivo principal de este trabajo es el mostrar el comportamiento de una

estructura a través de este método.

Cálculo de giros y flechas en vigas.

Aprender a calcular desplazamientos y giros en cualquier punto de la viga

real utilizando una viga ficticia para ello.

Graficar correctamente el diagrama de momentos reducidos de la viga real

para poder crear así nuestra viga ficticia.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS:

Utilizar el método de LA VIGA CONJUGADA o método de la viga imaginaria,

para el cálculo de deflexiones en vigas.

Entender el concepto del método de la viga conjugada.

Analizar la viga estáticamente determinada.

Resolver los ejercicios dados a través de las relaciones estudiadas entre una

viga real y ficticia.

III.- MARCO TEORICO

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3.1.- METODO DE LA VIGA CONJUGADA

3.1.1.- DEFINICION.- Es una viga ficticia de longitud igual a la de la viga real

y cuya carga es el diagrama de momento flector reducido aplicado del lado

de la compresión. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente

determinada. Este método consiste en hallar el momento en la viga real y

cargarlo a la viga conjugada. Luego dando corte y aislando unas de las parte

de mejor conveniencia, se obtiene el cortarte que será el giro de la viga real

y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma y

también se le denomina viga conjugada a una barra en la que las cargas son

los diagramas de momentos de las cargas reales dadas. Este método al igual

que el de eje elástico y área de momentos, nos permite calcular los giros y

fechas de los elementos horizontales denominados vigas o de los verticales

llamados columnas. La fig. 1 muestra un ejemplo de este tipo de vigas.

3.1.2.-MARCO HISTORICO.- El método de la " viga conjugada " se debe a

Otto Mohr quien lo presentó en 1868. Es de gran importancia para la

determinación de deformaciones, por la operatividad que introduce este

método.

3.1.2.1.-CHRISTIAN OTTO MOHR.-

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Christian Otto Mohr (Wesselburen, 8 de octubre de

1835 - Dresde, 2 de octubre de 1918) fue un ingeniero civil alemán,

uno de los más celebrados del siglo XIX.

3.1.2.2.-VIDA.-

Mohr perteneció a una familia terrateniente de Wesselburen en la

región de Holstein y estudió en la Escuela Politécnica de Hanóver. En

los inicios de 1855, durante su vida laboral temprana estuvo

trabajando en el diseño de vías de ferrocarriles para las vías de los

estados de Hanóver y Oldenburg, diseñando algunos puentes

famosos y creando algunas de las primeras armaduras de acero. Aún

en sus primeros años construyendo vías de tren, Mohr se sentía muy

interesado por las teorías de mecánica y la resistencia de materiales

y en 1867, se hizo profesor de mecánica en el Politécnico de

Stuttgart y en 1873 en el Politécnico de Dresde. Mohr tenía un estilo

directo y sencillo que era muy popular entre sus estudiantes.

3.1.2.3.-LOGROS CIENTIFICOS.-

En 1874, Mohr formalizó, la hasta entonces solo intuitiva, idea de

una estructura estáticamente indeterminada. Mohr fue un

entusiasta de las herramientas gráficas y desarrolló un método para

representar visualmente tensiones en tres dimensiones,

previamente propuesto por Carl Culmann. En1882, desarrolló el

método gráfico en dos dimensiones para el análisis de tensión

conocido como círculo de Mohr y lo usó para proponer la nueva

teoría de resistencia de materiales, basada en el esfuerzo cortante.

También desarrolló el diagrama Williot-Mohr para el

desplazamiento de armaduras y la teoría de Maxwell-Mohr para el

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análisis de estructuras estáticamente indeterminadas.

Se retiró en 1900 y murió en Dresde en 1918.

3.2.- PROCEDIMIENTO.-

El método de la viga conjugada consiste en hallar el momento en la viga

real y cargarlo a la viga conjugada. Luego, aplicando la estática se hallan las

cortantes y momentos en la viga ficticia. Donde el cortarte será el giro de la viga

real y el momento en la viga conjugada será el desplazamiento en la misma. Este

método es útil cuando es fácil determinar la ley de momentos flectores de la

principal. Si no se utiliza otro método. En la viga conjugada las cargas están

dirigidas hacia abajo cuando el momento flector de la viga principal es positivo.

NOTA: Existe una relación entre el cortante obtenido en la viga conjugada y el

ángulo girado en la misma sección en la viga principal; y una relación entre el momento

flector en la viga conjugada y el desplazamiento producido en esa misma sección en la

viga principal.

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En la viga conjugada.

Aplicando el primer teorema de Mohr,

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3.3.-POSTULADOS.-

1. El giro en cualquier sección de la viga real, es igual al cortante en la

sección correspondiente de la viga conjugada.

2. La flecha en cualquier sección de la viga real, es igual al momento flector

en la viga conjugada en la sección correspondiente. Los apoyos de la viga

real, para la viga conjugada se transforman a las indicadas en la figura.

Estas transformaciones se han hecho teniendo en cuenta que la viga

conjugada debe ser estáticamente determinada.

3.4.- CONVENCION DE SIGNOS:

Si el cortante es (+): el giro es (-)

Si el cortante es (-): el giro es (+)

Si el momento es (+): el desplazamiento es hacia abajo.

Si el momento es negativo: el desplazamiento es hacia arriba.

3.5.- CONDICIONES DE CONTORNO:

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3.6.-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA

a.- La longitud de la viga real y de la conjugada es la misma.

b.- La carga en la viga conjugada es el diagrama de momentos de la viga real.

c.- La fuerza cortante en un punto de la viga conjugada es la pendiente en el

mismo punto de la viga real.

d.- El momento flexionante en un punto de la viga conjugada es la flecha en el

mismo punto de la viga real.

e.- Un apoyo simple real equivale a un apoyo simple en la viga conjugada.

f.- Un apoyo empotrado real equivale a un extremo libre o voladizo de la viga

conjugada.

g.- Un extremo libre (voladizo) real equivale a un empotramiento conjugado.

h.- Un apoyo interior en una viga continua equivale a un pasador o articulación

en la viga conjugada.

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3.7.- TABLAS DE CONVERSION:

Esquema VIGA REAL Esquema VIGA CONJUGADA (Giros, desplazamientos)

(Corte, momento)

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En algunos casos, en especial cuando las estructuras son estáticamente

indeterminadas, la viga conjugada puede resultar inestable. Este inconveniente

queda resuelto cuando se carga a la misma, ya que el propio estado de cargas le

confiere estabilidad.

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IV.- EJERCICIOS RESUELTOS

Ejemplo 01: Calcular la flecha en C y el giro en B.

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Ejemplo 02: En la viga mostrada en la figura, calcular el giro de la sección A y la flecha máxima.

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EJEMPLO 03.- En la viga mostrada en la figura, calcular el

giro de la sección B y el desplazamiento de la sección A.

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EJEMPLO 04.- Encuentre La Deflexión En El Extremo Del

Voladizo

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EJEMPLO 05: En el siguiente ejercicio encontrar la

deflexión máxima. (Desprecie el peso de la viga)

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EJEMPLO 06: resuelva la siguiente viga mostrada, Rb

redundante.

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EJEMPLO 07: Resuelva el pórtico. Se descompone como se

muestra a continuación:

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V.- CONCLUSIONES.-

1. El cortante en cualquier sección de la viga conjugada es el giro en la viga real en

dicha sección. El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha en

la viga real en dicha sección.

2. La viga conjugada es siempre una viga estáticamente determinada.

3. La viga conjugada se carga siempre con el DMF en dirección de la comprensión.

4. Analizar una estructura es fundamental para conocer el comportamiento de esta

frente a las diferentes solicitaciones tanto estáticas como dinámicas.

5. Frente a estas solicitaciones las estructuras sufren pequeñas deformaciones

internas, tanto en los nudos como en la viga misma, siempre que los apoyos o la viga

misma permita alguna deformación. El conocer estos comportamientos permite

saber si la deformación será resistida por la estructura y así no falle.

6. El conocimiento de métodos como la viga conjugada nos permite ver el

comportamiento de una viga con respecto a la rotación de sus apoyos y la

deformación en su punto más crítico y así poder predecir si esta deformación está

dentro del rango permitido, y por lo tanto saber si resiste la estructura o no.

7. Para el análisis de la viga conjugada es importante tener en cuenta que el cortante

en cualquier sección de la viga conjugada es el giro (θ) en la viga real en dicha

sección. El momento flector en una sección de la viga conjugada es la flecha (Δ) en la

viga real en dicha sección.

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VI.- BIBLIOGRAFIA:

Resistencia de Materiales:

Pytel - Singer 4ta Edición (Pág. 212)

Problemas Resueltos y propuestos de Resistencia de Materiales Universidad

Nacional de Ingeniería

http://www.politecnicovirtual.edu.co/ana-estru/analis-estruc-1.htm

http://estructuras.eia.edu.co/estructurasI/deflexiones/metodos%20geometricos/d

eflexiones%20geometricas.htm

www.ing.una.py/.../APOYO/Mecanica%20de%20Materiales%20I/Clase%2012%20-

%20Viga%20Conjugada%20V250505.pdf

Análisis Estructural:

GENARO DELGADO CONTRERAS

Págs. 21 – 37

1º Edición.

Mecánica de Materiales:

FERDINAND P. BEER, E. RUSSEL JOHNSTON, JR.

Págs. 528 – 537

2º Edición

Resistencia de Materiales:

I – II ARTEAGA N., P. IBERICO C., P. IBERICO C., C. GONZALES, A. MEGO C.

Págs. 137 – 152

3º Edición.

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VII.- ANEXOS.-

Los puentes de elevación vertical utilizan cables, poleas, motores y

contrapesos para levantar una sola sección del puente en forma vertical como si

fuera un elevador. Cuando el puente está arriba pueden pasar por debajo barcos

con la altura máxima de la parte inferior de su estructura. Constan de dos torres en

los extremos construidas generalmente con piezas de acero.

Utilizando todo lo aprendido acerca del método de la viga conjugada,

podremos encontrar las flechas y giros en cualquier punto de la estructura

mostrada, a través de un cálculo más práctico, porque sólo nos basta graficar

correctamente el diagrama de momentos reducidos de la estructura para trabajar

con esta como una nueva viga (ficticia) y, encontrar lo solicitado. Aplicando

correctamente la relación que existe entre esta viga ficticia con la real.

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Como podemos apreciar en la imagen toda estructura sufre

desplazamientos en sus vigas por la acción de cargas que soporta. Si bien es cierto

la deflexión de las vigas o flechas no se pueden apreciar a simple vista, pero que es

fácil de hacer sus cálculos, en este caso por el método de la viga conjugada.

Ensayo realizado en una viga. El aumento de presión hará que la viga se

flexione hasta la rotura.

Apoyo de una viga de puente que permite el giro pero no permite

desplazamientos.

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INDICE

I. INTRODUCCION 1

II. OBJETIVOS 3

III. MARCO TEORICO 4

3.1.- METODO DE LA VIGA CONJUGADA

3.2.- PROCEDIMIENTO

3.3.-POSTULADOS

3.4.-CONVENCION DE SIGNOS

3.5.- CONDICIONES DE CONTORNO

3.6.-RELACIONES VIGA REAL Y VIGA CONJUGADA

3.7.- TABLAS DE CONVERSION

IV. EJERCICIOS RESUELTOS 13

V. CONCLUCIONES 25

VI. BIBLIOGRAFIA 26

VII. ANEXOS 27