Mtodo de las imgenes

Es un mtodo potente que permite resolver algunos problemas complicados. Adems es un mtodo fsico basado en las propiedades matemticas del teorema de unicidad del potencial. En ciertos casos es posible sustituir un conductor por una o ms cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales. Consiste en modificar el problema, ampliando el recinto, de forma que: Resulte ms sencillo. Se sigan cumpliendo las condiciones del problema original. Normalmente ser necesario aadir cargas fuera del recinto original.

Esfera cargada prxima a un plano conductor a potencial ceroPara obtener el campo elctrico de una esfera cargada prxima a un plano conductor a potencial cero por el mtodo de las imgenes mediante aproximaciones sucesivas.Sustituiremos la esfera y el plano por una sucesin de cargas puntuales de signos contrarios que converge a cero rpidamente, y que hacen que las dos superficies (esfera y plano) sean equipotenciales.Supongamos que la esfera de radior, est a un potencialV, y su centro distad>rdel plano a potencial cero.

Los pasos para aplicar el mtodo de las imgenes son los siguientes:1. Colocamos una cargaq0en el centro de la esfera. Esto hace que la superficie esfrica de radiorest a un potencialV.

2. Colocamos una carga q0a una distancia 2ddel centro de la esfera. Esto hace que el plano sea una superficie equipotencial, pero ya no lo es la esfera.

3. Colocamos una cargaq1en el interior de la esfera. Calculamos el valor deq1y su posicinx1para que la esfera sea una superficie equipotencial, aunque deje de serlo el plano

El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas q0yq1lo hacemos cero

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas q0yq1lo hacemos cero

Despejamosq1yx1de este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

4. Colocamos una carga q1simtrica aq1para el plano sea equipotencial, pero deja de serlo la superficie esfrica

5. Colocamos una cargaq2en el interior de la esfera, para que esta sea equipotencial, aunque el plano deje de serlo

El potencial en A (-r, 0) debido a las cargas q1yq2lo hacemos cero

El potencial en B (r, 0) debido a las cargas q1yq2lo hacemos cero

Despejamosq2yx2en este sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas

Continuamos el proceso que converge rpidamente hasta que tenemos la precisin deseadaRelaciones recursivasPodemos calcular la sucesin de cargasqiy sus posicionesximediante las relaciones recursivas

Ejemplo:Tomamosd=3r,q0=1, yr=1PasoiPosicinxiCargaqi

001

10.1666670.16667

20.1714290.02857

30.1715690.00490

40.1715730.00084

50.1715730.00014

Podemos sustituir la distribucin de carga formada por una esfera de radiory un plano a potencial cero situado a una distanciad>rdel centro de la esfera, por una sucesin de cargas puntuales positivas situadas en la esfera y sus correspondientes cargas negativas situadas simtricamente respecto del plano. Esta sucesin tiende a cero rpidamente.As la cargaqiest en la posicinxiy su simtricaqiest en la posicin 2d-xiLa carga total de la esfera es

Solamenteq1contribuye al potencial de la esfera, las cargas -q1,q2anulan el potencial de la esfera, y lo mismo ocurre con todos los restantes pares de cargas. El potencial de la esfera es, por tanto,V=q1/(40)Campo y potencial producido por el conjunto de cargas puntualesCalculamos el campo y el potencial producido en el punto P (x,y) por el par de cargasqisituada en el puntoxiy su simtrica qien la posicin 2d-xi

El mdulo del campoE1producido por la cargaqies

El mdulo del campoE2producido por la carga simtrica -qies

Las componentes del campo totalEisonEix=E1cos1+E2cos2Eiy=E1sen1-E2sen2

El potencialVien el punto P debido a las dos cargas es

El campo y el potencial total es la suma de todos los campos y potenciales producidos por los pares de cargas dispuestas simtricamente al plano

Mtodos y ConsecuenciasEl Mtodo de las imgenes, basado en elTeorema de unicidad del potencialnos indica que, dada una distribucin de cargas o densidades de carga iniciales, si podemos encontrar una distribucin alternativa en todo el espacio de ms sencilla resolucin en la regin de inters que verifique la igualdad de laecuacin de Poisson/Laplace en dicha regin para ambas distribuciones, y que verifique tambin la igualdad del valor del potencial en las superficies de contorno para ellas; el valor general del potencial de ambas para la regin es el mismo, y por tanto puede reducirse la distribucin inicial a la planteada de ms sencilla resolucin.Matemticamente, para una regindada, una distribucin originaly la alternativa: (Caso general sin densidad de carga).Ensi:yAplicacionesLas aplicaciones del mtodo son mltiples. La ms clara es la posibilidad de sustitucin de un conductor por una distribucin de carga que es posible en algunos casos gracias al mismo. Tambin es til en la resolucin de otros estudios electrostticos tales como conductores a tierra frente a cargas puntuales, conductores a potencialfrente a cargas puntuales.

Argumentos del mtodo de imgenes

Dado que la solucin a la ecuacin de Poisson es nica, si obtenemos una solucin V() por cualquier medio, este potencial ser el que buscamos. Si la densidad superficial de carga inducida en la superficie del conductor es y el potencial surgido de la densidad de carga que se sita cerca del conductor (y que indujo la densidad en l) es V1(), entonces el potencial en el exterior del conductor (puesto que en el interior es constante) es:Entonces, el mtodo de imgenes no es otra cosa que adivinar en forma inteligente la forma que adopta la integral. Para hacerlo usamos el hecho de que el potencial V1() satisface la ecuacin de Poisson y propondremos que la integral tendra la misma forma que la funcin V1. Esto equivale a agregar distribuciones de carga imaginarias al problema. Estas cargas imaginarias tendran, en general, la forma de la carga real fuera del conductor, es decir, si la carga real es una carga puntual ser razonable poner cargas "imgenes" puntuales, si la carga real es lineal ser ms razonable poner cargas lineales, etc. Es importante que las cargas imagen estn colocadas en una regin del espacio diferente de aquella en la que calculamos el potencial o campo electrosttico, puesto que si estuvieran all.

IntroduccinEl mtodo de las imgenes implica la conversin de un campo elctrico en otro equivalente ms fcil de calcular. En ciertos casos es posible sustituir un conductor por una o ms cargas puntuales, de modo que las superficies conductoras se sustituyen por superficies equipotenciales a los mismos potenciales.La teora de las imgenes establece que una configuracin de carga dada sobre un plano conductor perfecto e infinito conectado a tierra puede reemplazarse por la propia configuracin de carga, su imagen y una superficie.

ConclusinTeniendo en consideracin que el mtodo de las imgenes simplifica la resolucin de ciertos problemas, nos permite sustituir superficies por cargas limitadoras, es importante saber que antes de realizar el mtodo de las imgenes es importante conocer la ecuacin de Poisson que la misma satisface un conjunto de condiciones en la frontera. Adems podemos decir que el mtodo de las imgenes es una aplicacin del teorema de la unicidad.Adems de ello la aplicacin de imgenes nos exige que las cargas de las imgenes deban situarse de tal forma que en la superficie conductora el potencial sea de cero o constante y las cargas de imgenes deben situarse en la regin conductora, esta es necesaria para satisfacer la ecuacin de Poisson y garantizar la satisfaccin de las condiciones de la frontera

REPBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSAUNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALPOLITCNICA DE LAS FUERZAS ARMADASUNEFA NCLEO ARAGUANUCLEO ARAGUA SEDE MARACAY

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