trabajo integrador calculo vectorial

4Universidad Politcnica Salesiana. Caldas, Cornejo, Cuzco, Tapia, Torres .Trabajo integrador.

[footnoteRef:1] [1: ]

Visualizacin de la DERIVADA DIRECCIONAL

Caldas WilsonCristian CornejoCuzco JorgeTapia JorgeTorres LuisNombre Institucin

Resumen En el siguiente proyecto exploraremos el concepto de derivada direccional

INTRODUCCINEste documento es una plantilla para Microsoft Word versiones 6.0 o mayores. Si usted est leyendo la versin paper de este documento, por favor descargue el archivo electrnico

MARCO TEORICODerivadas direccionalesLas derivada direccionales permiten calcular la razn de cambio de una funcin de dos o ms variables en cualquier direccin.

Recuerde q si , entonces las derivadas parciales se definen como

Y representan las razones de cambio de z en las direcciones x y y; es decir, en las direcciones de los vectores unitarios i y jSupongamos que ahora queremos encontrar la razn de cambio de z en en la direccin de un vector unitario arbitrario u=(a,b). (Figura 1) Para hacer esto consideremos la superficie S cuya ecuacin es , y sea , entonces el punto queda sobre S, el plano vertical que pasa por P en la direccin de u interseca a S en una curva C (figura 2). La pendiente de la recta tangente T a C en el punto P es la razn de cambio de z en la direccin u

Figura 1

Figura 2

DESARROLLO Ejercicio 1.

Calcule directamente la derivada direccional de

En el punto (1,-1)

a) b)c) d) e) f) g) jh) i) j)

Solucin aCalculamos el vector gradiente

Por lo tanto tenemos

Solucin bCalculamos el vector gradiente


Solucin cCalculamos el vector gradiente


Solucin dCalculamos el vector gradiente


Solucin eCalculamos el vector gradiente


Solucin fCalculamos el vector gradiente


Solucin gCalculamos el vector gradiente


Solucin hCalculamos el vector gradiente


Solucin iCalculamos el vector gradiente


Solucin jCalculamos el vector gradiente


Ejercicio 2.

Repita el ejercicio 1 para la funcin

Solucin aCalculamos el vector gradiente


Solucin bCalculamos el vector gradiente


Solucin cCalculamos el vector gradiente


Solucin dCalculamos el vector gradiente


Solucin eCalculamos el vector gradiente


Solucin fCalculamos el vector gradiente


Solucin gCalculamos el vector gradiente


Solucin hCalculamos el vector gradiente


Solucin iCalculamos el vector gradiente


Solucin jCalculamos el vector gradiente


Ejercicio 3.a) Construya una grafica tridimensional y una grafica de contorno para el dominio . Ahora imagine que es un escarabajo posado sobre la superficie en el punto . Si usted da un paso (el paso mide 0.2 unidades) en la direccin , subir o bajara? Antes de dar el paso, su altitud (es decir, su coordenada z) era ; despus de dar el paso, Cul es su altitud?cual es la pendiente al dar el paso?

b) repita la parte (a) para la direccin

c) repita la parte (a) para la direccin

d) Coinciden las pendientes halladas en las (a), (b) y (c) con los resultados obtenidos directamente en el ejercicio 1?}

Ejercicio 4.

Sean , , y. Para t en el intervalo [0,2], defina

a) Construya la grafica . Explique lo que representa esta grafica.

b) trace la grafica de . Explique lo que significa lo siguiente, y la forma en que esto se relaciona con una parte del ejercicio3: a(0), a(/2), a(5/4) y a(t).

Ejercicio 5.

a) parece quela grafica de a(t) tiene alguna relacin con las funciones trigonomtricas? Sin hacer el clculo, podra hacerse una idea del valor de ?

b) haga un acercamiento a la grafica a(t) para aproximar con dos cifras decimales, el valor de t q maximiza a(t). de nuevo suponga que es un escarabajo sobre la superficie de

En el punto (1,-1,3). Qu direccin debe seguir para ir lo ms rpido posible en un paso?c) deduzca la frmula para a(t) y use su tecnologa para evaluar

Ejercicio 6. Ahora sean , y. Repita el ejercicio 3 para esta funcin y compare sus resultados del ejercicio 2

Ejercicio 7. Repita el ejercicio 3 para , y. Luego cambie e por e=0.002 y repita el ejercicio 4.

a) Construya una grafica tridimensional y una grafica de contorno para el dominio . Ahora imagine que es un escarabajo posado sobre la superficie en el punto . Si usted da un paso (el paso mide 0.2 unidades) en la direccin , subir o bajara? Antes de dar el paso, su altitud (es decir, su coordenada z) era ; despus de dar el paso, Cul es su altitud?cual es la pendiente al dar el paso?

b) repita la parte (a) para la direccin

c) repita la parte (a) para la direccin

d) Coinciden las pendientes halladas en las (a), (b) y (c) con los resultados obtenidos directamente en el ejercicio 1?}

Sean , , y. Para t en el intervalo [0,2], defina

a) Construya la grafica . Explique lo que representa esta grafica.

b) trace la grafica de . Explique lo que significa lo siguiente, y la forma en que esto se relaciona con una parte del ejercicio3: a(0), a(/2), a(5/4) y a(t).

Ejercicio 8.

La funcin a(t) depende de la eleccin de e; por tanto la integral definida depende de e. Use su tecnologa para aproximar para e= 0.2, 0.02, 0.0002 y 0.00002. haga una conjetura en cuanto a

CONCLUSIONES REFERENCIAS

[1] PURCELL E., calculo, editorial Pearson education; Octava edicion; 2001pp. 1564.[2] STEWART J., calculo de varias variables: trascendentes tempranas editorial Cengage Learning, sptima edicin, 2012.[3] H. Poor, An Introduction to Signal Detection and Calculo Vectorial UPS

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