TORSION

Ing. Hebert Vizconde Poémape

FACULTAD DE INGENIERIAEscuela de Ingeniería Civil

Asumimos: La barra esta en torsión pura. Pequeñas rotaciones ( la longitud y radio no cambiaran)Como es que se deforma la barra?La sección transversal de la barra conserva su forma , la barra simplemente rota.

Sección transversal permanece perpendicular al eje del cilindro (el cilindro nose deforma)

ANGULO DE GIRO

La deformación de un eje sometido a torsión pura. Fijar el extremo izquierdo del eje. Movemos A a A’ Ø= ángulo de giro (en radianes)

Cuales son las condiciones de frontera respecto a Ø Ø(x) = 0 si x=0 Ø(x) = 0 si x=L

Para torsión pura, θ es lineal

θ(x)=∅𝑥

𝐿

ESFUERZO CORTANTE

Calcular el esfuerzo cortante superficial en el cilindro.Considerando un elemento de longitud dx.

Recordar, asumimos un pequeño Ø y pequeño 𝛾

𝛾=𝐶𝐶

𝑑𝑥𝐶𝐶 = 𝜌𝑑∅ 𝛾 = 𝜌

𝑑∅

𝑑𝑥

𝑑∅

𝑑𝑥= 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑖𝑟𝑜 𝑎 𝑙𝑜 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎.

Esta ecuacion aplica a cualquier funcion θ(x).Para torsion pura θ(x)=ØdX/L, asi:

𝛾 =𝜌∅

𝐿

La deformacion cortante sobre la superficie de el cillindroocurre cuando 𝜌 = 𝑐.

𝛾𝑚𝑎𝑥 =𝑐∅

𝐿

Podemos expresar la deformación cortante a cualquierdistancia desde el eje hacia

𝛾 =𝜌

𝑐𝛾𝑚𝑎𝑥

Podemos también aplicar la ecuación de la deformación cortante máximosuperficial en un tubo circular hueco.

𝛾𝑚𝑖𝑛 =𝑐1∅

𝐿𝛾𝑚𝑎𝑥 =

𝑐2∅

𝐿

Esto aplica para todo tipo de materiales: elásticos, lineales, no lineales, plásticos, etc.

Calculando el esfuerzo cortante en la barra hecha de un materiallinealmente elástico.

Recordamos la ley de Hooke para esfuerzo cortante: 𝜏 = 𝐺𝛾

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝐺𝛾𝑚𝑎𝑥 =𝐺𝑐∅

𝐿⇒ 𝜏 =

𝜌

𝑐𝜏𝑚𝑎𝑥

Aun necesitamos relacionar 𝜏 a la aplicación del torque T, el cual esgeneralmente conocido la carga aplicada.

Primero, encontramos la resultante del momento que actúa sobre la seccióntransversal e igualamos esto a T

𝜏 =𝜌

𝑐𝜏𝑚𝑎𝑥

𝑑𝑀 = 𝜏𝜌𝑑𝐴 =𝜌2

𝑐𝜏𝑚𝑎𝑥𝑑𝐴

𝑇 = 𝐴

𝜌2

𝑐𝜏𝑚𝑎𝑥𝑑𝐴 =

𝜏𝑚𝑎𝑥𝑐 𝐴

𝜌2𝑑𝐴

Continuamos de la diapositiva anterior:

𝑇 =𝜏𝑚𝑎𝑥𝑐 𝐴

𝜌2

𝑐𝑑𝐴 =

𝜏𝑚𝑎𝑥𝑐𝐽 ⇒ 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑇𝑐

𝐽, 𝜏 =

𝑇𝜌

𝐽

Donde J es el momento polar o inercia de las sección transversal de la barra.

Relacionamos esto en la ecuación para 𝜏𝑚𝑎𝑥

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝐺𝑐𝜃

𝐿→𝐺𝑐𝜃

𝐿=𝑇𝑐

𝐽⇒ 𝜃 =

𝑇𝐿

𝐺𝐽

Una varilla de cobre de L= 18 pulg de longitud se va a someter a los pares de torsión T(véase figura) hasta que el ángulo de rotación entre sus extremos sea 3.0°.Si la deformación cortante admisible en el cobre es 0.0006 rad. ¿Cuál es el diámetropermisible de la varilla?

Un tubo circular de aluminio esta sometido a torsión por pares T aplicados en losextremos (según figura). La barra tiene 20 pulg de longitud y los diámetros interior yexterior son de 1.2 y 1.6 pulg. Respectivamente. Se determina por medición que elangulo de torsión es de 3.63° cuando el par es de 5800 lb-pulg.Calcule el esfuerzo cortante máximo 𝜏max en el tubo, el modulo de elasticidad G y ladeformación unitaria cortante máxima 𝛾𝑚𝑎𝑥 (en radianes)