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Tópicos Especiais em Otimização

Ivo Chaves da Silva Junior

Juiz de Fora, 05 de Maio de 2016

Colônia de Formigas

[email protected]

Ivo Chaves da Silva Junior Ivo Chaves da Silva Junior

Introdução

2

Qual a diferença entre inteligência:

ARTIFICIAL E COMPUTACIONAL?

ARTIFICIAL: É a ciência que tenta compreender e emular a inteligência humana.

COMPUTACIONAL: É a ciência que procura desenvolver sistemas que tenham comportamento similares a certos aspectos do comportamento inteligente.


Introdução

3

INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL

FOCO

QUAL A GRANDE FONTE INSPIRADORA

OBSERVAÇÃO COMPORTAMENTAL


Introdução

4

FONTE DE IDÉIAS E OBSERVAÇÕES

COMPUTAÇÃO BIOINSPIRADA

Sistemas Imunológicos


Ecolocalização Genética


Introdução

5

ALGORITMOS BIOINSPIRADOS (Inteligência Computacional)

Resolução de Problemas INTRATÁVEIS

•  (Problemas com tempos de resolução inaceitáveis)

•  (Problemas multimodais de grande porte)


Introdução

6

Problemas INTRATÁVEIS

Tempo de execução é da ordem de uma função exponencial ou fatorial

EXEMPLO 1: PROBLEMA DO CAIXEIRO VIAJANTE

•  Suponha que um caixeiro viajante tenha de visitar n cidades diferentes, iniciando e encerrando sua viagem na cidade de origem.

•  Suponha, também, que não importa a ordem com que as cidades são visitadas e que de cada uma delas pode-se ir diretamente a qualquer outra.

•  O problema do caixeiro viajante consiste em descobrir a rota que torna mínima o tempo de viagem total.


Introdução

7 ILUSTRAÇÃO DO PROBLEMA: CAIXEIRO VIAJANTE


Introdução

8

SOLUÇÃO DO CAIXEIRO VIAJANTE (calcular todas as rotas e escolher a de menor tempo)

Testando 1 bilhão de soluções por segundo:


Introdução

9

EXEMPLO 2: PROBLEMA MULTIMODAL


10

Métodos Clássicos Métodos Bioinspirados

Fazem uso de derivadas (determinístico)

-  Programação Quadrática -  Pontos Interiores -  Gradiente Reduzido

Forte dependência da solução inicial

Única solução

Pouco esforço computacional

Não fazem uso de derivadas (probabilidade)

Pouca dependência da solução inicial

Conjunto de soluções

Maior esforço computacional

-  Algoritmo Genético -  Enxame de Partículas

Introdução


11

Métodos Clássicos

Métodos Bioinspirados

Introdução


Introdução

12

CONCLUSÃO: Ao encontrar problemas intratáveis você deve optar uma técnica de busca por aproximação (heurística/Metaheurística), tal como os processos de otimização baseados em inteligência computacional.


13

Relembrando Definição:

Introdução


14

•  A inteligência coletiva é um conceito que descreve um tipo de inteligência compartilhada que surge da colaboração de muitos indivíduos em suas diversidades.

•  É uma inteligência distribuída por toda parte, na qual todo o saber está no coletivo, já que, ninguém sabe tudo, porém todos sabem alguma coisa.

DEFINIÇÕES:

Motivação: Inteligência Coletiva


Inteligência Coletiva

15

Organismo único (Defesa) Cooperação (Objetivo comum)


16 Publicado em 06/05/2012 – Propaganda -https://www.youtube.com/watch?v=TWew0EqM7e4



17

EXMPLO 1:

ENCONTRE O VALOR DE X QUE FAÇA COM QUE UMA DETERMINADA FUNÇÃO (DESCONHECIDA A PRIORI) SEJA NULA

F(X)=0

F(X)= X-17 = 0



18

EXEMPLO 2:

ENCONTRE O VALOR DE X QUE FAÇA COM QUE UMA DETERMINADA FUNÇÃO (DESCONHECIDA A PRIORI) SEJA NULA

F(X)=0

F(X)= X-2 = 0

Dicas das soluções :



19

EXEMPLO 2:

EXEMPLO 1: •  Não há informação nenhuma; •  Busca completamente aleatória; •  Otimalidade muito difícil.

•  Há informação do coletivo; •  Busca Direcionada; •  Otimalidade possível.



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Busca pela solução Busca por alimento

CRITÉRIO DE BUSCA

INTELIGÊNCIA COLETIVA INFORMAÇÕES DO COLETIVO


21


Publicado em 28/09/2012 – Documentário -https://www.youtube.com/watch?v=YxdhD5HIFL8


22



23



24



25


PRIMEIRO EXPERIMENTO DA PONTE BINÁRIA

Objetivo: Estudar o comportamento das formigas


26


Resultado Final:

Inicialmente:


27

E para pontes com tamanhos diferentes ???

Como a colônia irá se comportar ?


SEGUNDO EXPERIMENTO DA PONTE BINÁRIA


28


Caminho de menor distância

Resultado Final:


29


Como as formigas se orientam?

Resultados dos testes


30


Comunicação entre as formigas é feita por um processo chamado de ESTIGMERGIA.

ESTIGMERGIA? Interações indiretas entre os indivíduos da colônia. Um indivíduo altera o ambiente e outro indivíduo responde a essa alteração um tempo depois.

Alteração do ambiente via FEROMÔNIO

Como é feita esta alteração?


31


Comportamento Real de Busca por Alimento


32


Fonte de Alimento

Fonte de Alimento

Colônia

EXEMPLO (Vídeo)


33


Maior quantidade de alimento

Menor Quantidade de alimento

Rastro de Feromônio (RF)

RF à 0

Evaporação


34

Otimização por


Marco Dorigo

The first ACO system was introduced by Marco Dorigo in his Ph.D. thesis (1992), and was called Ant System (AS). AS is the result of a research on computational intelligence approaches to combinatorial optimization that Dorigo conducted at Politecnico di Milano. AS was initially applied to the travelling salesman problem.

http://iridia.ulb.ac.be/~mdorigo/HomePageDorigo/


35


36

Otimização por


Modelou computacionalmente a capacidade de busca das formigas por alimentos e suas estratégias adaptativas para resolução de problemas de otimização.

Marco Dorigo:

FORMIGAS ARTIFICIAIS


37

Otimização por


EXEMPLO: MAXIMIZAÇÃO DE F(X1,X2)


38

MÁXIMO GLOBAL

MÁXIMO LOCAL

Colônia Artificial

(soluções iniciais)

ANÁLOGIA

Otimização por



39

Otimização por


Ótimo Global Ótimo Local

Rastro Artificial de Feromônio


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Otimização por


FORMIGAS ARTIFICIAIS – Observações:

As formigas artificiais representam possíveis soluções do problema.

As formigas artificiais constroem soluções de forma aleatória ou probabilística utilizando duas informações: ü  Informação heurística especifica do problema em análise;

ü  Trilha de Feromônio Artificial que muda dinamicamente durante o processo de busca refletindo a experiência coletivas.


41

Otimização por


FEROMÔNIO ARTIFICIAL

τ ih+1 = τ i

h + ( τ ik )

k=1

m

∑

Depósito Artificial da Colônia na Solução-i / Iteração h

Feromônio atualizado referente a Solução i

Iteração h+1

Feromônio já existente referente a Solução i Iteração h


42

Otimização por


FEROMÔNIO ARTIFICIAL

τ ih+1 = (1− ρ).τ i

h+1

Evaporação Artificial

TAXA DE EVAPORAÇÃO


43

Otimização por


PROBLEMA DE MINIMIZAÇÃO

Feromônio à Inversamente proporcional ao valor da Função Objetivo

FOB1

∝τ

PROBLEMA DE MAXIMIZAÇÃO

Feromônio à Diretamente proporcional ao valor da Função Objetivo

FOB∝τ

Artificial

Artificial


Otimização por Colônia de Formigas

PENALIZAÇÃO EM PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO

τ × k k→∞

PENALIZAÇÃO DO RASTRO DE FEROMÔNIO

Deve ocorrer quando soluções inviáveis são geradas/encontradas

PENALIZAÇÃO EM PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO

τ ×1k

k→∞


45

Otimização por


CRITÉRIO DE PARADA

ü  Número máximo de iterações; ü  Tempo computacional; ü  Estagnação - Situação onde grande parte da colônia segue na mesma direção (forte concentração de FEROMÔNIO)


46

Otimização por


PARÂMETROS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO

TAMANHO DA COLÔNIA

VALOR DA TAXA DE EVAPORAÇÃO

CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA


47

Otimização por


SENSIBILIDADE DOS PARÂMETROS DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO

TAMANHO DA COLÔNIA

Qualidade da Solução &

Tempo Computacional

Qualidade da Solução &

Tempo Computacional


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Otimização por



TAXA DE EVAPORAÇÃO

Redução do rastro de bons caminhos

Permanência do rastro de caminhos ruíns

Uma estratégia é a utilização de taxas de evaporação diferenciadas

ρ→ 0

ρ→1


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Otimização por



CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA

ITERAÇÕES Controle do tempo computacional

Não há controle do tempo computacional

ESTAGNAÇÃO


50

FLUXOGRAMA DO PROCESSO DE OTIMIZAÇÃO: MINIMIZAÇÃO


51

Otimização por


EXEMPLO NUMÉRICO DO PROCESSO DE BUSCA


52


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Fonte de Alimento

Qual fonte contém mais alimento?

Solução Evaporação desconsiderada

min f (x) = x − 4,1 x = 0 :1: 9


53

Solução Inicial Aleatória – Não há depósitos de FEROMÔNIO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FOB1(7) = 2,9

τ (7) = 12,9

FOB2 (1) = 2,9

τ (1) = 12,9

FOB3(9) = 4,9

τ (9) = 14,9

Valor de f(x)

Feromônio


54

Depósitos de FEROMÔNIO – ATUALIZAÇÃO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

τ (7) = 12,9

τ (1) = 12,9

τ (9) = 14,9

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO


55 Feromônio Total

Geração de Soluções – FEROMÔNIO

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Onde ir?

Pk =τ j

τ kk=1

3

∑×100

Probabilidade (%) de uma formiga seguir para a solução-j

Feromônio da solução- j

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO


56


Onde ir?

τ T =12,9

+12,9

+14,9

≅ 0,87

Feromônio Total

%3910087,034,0

7,1 ≅×=P %2210087,020,0

9 ≅×=P

Probabilidade

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO


57

Escolha do Caminho – Probabilidade (FEROMÔNIO)

E os demais caminhos ainda não percorridos? As soluções ficam amarradas as iniciais?

Sim ou Não?

Sim ou Não?

Sim ou Não?

39%

39%

22%

Uma opção: 80% (Sim) / 20% (Não)

1 7

9 Pergunta !!!!


58

Escolha do Caminho – Probabilidade (%)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FOB1(9) = 4,9

τ (9) = 14,9

FOB2 (3) = 0,9

τ (3) = 10,9

FOB3(1) = 2,9

τ (1) = 12,9

Valor de f(x)

Feromônio


59


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

τ (7) = 12,9

τ (1) = 12,9

+12,9 τ (9) = 1

4,9+14,9

τ (3) = + 10,9

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO



τ T = 2, 4

Feromônio Total %281004,267,0

1 ≅×=P %421004,21

3 ≅×=P

%161004,240,0

9 ≅×=P%141004,234,0

7 ≅×=P

Onde ir?

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

60


61


Sim ou Não?

Sim ou Não?

Sim ou Não?

1

3

9

7

Uma opção: 80% (Sim) / 20% (Não)


62


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

FOB1(4) = 0,1

τ (4) = 10,1

FOB2 (3) = 0,9

τ (3) = 10,9

Valor de f(x)

Feromônio

FOB3(3) = 0,9

τ (3) = 10,9


63


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

9,21)7( =F

9,21

9,21)1( +=F

9,41

9,41)9( +=F

9,02

9,01)3( +=F

1,01)4( =F

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO


64


?

77,14=TF

Feromônio Total %6,41 ≅P %223 ≅P%684 ≅P %3,27 ≅P %7,29 ≅P

Probabilidades

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO

TR

ILH

A F

ER

OM

ÔN

IO


65

Otimização por


Solução Final

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Colônia Maioria das formigas seguirão esta trilha

fontes de alimento

%68 Probabilidade Significativa

Ivo Chaves da Silva Junior Ivo Chaves da Silva Junior Simulação Computacional

EXEMPLOS

min f (x) = x − 20,1 x = 0 :1:100

min f (x) = x − 40,1 x = 0 :1:100

min f (x) = x −100,1 x = 0 :1:100

"

#$

%$

min f (x) = x − 4,1 x = 0 :1: 9

1-400

401-800

801-1200


Simulação Computacional


Programação Linear – Resolução Gráfica

Min Z = 3 xa + 2 xbs.a :R1: 2xa +1xb ≥ 8R2 : 6xa +1xb ≥12R3 :1xa +3xb ≥ 9xa, xb ≥ 0


69

Otimização por


Observações Importantes: Existência de poucos parâmetros de calibragem; Tempo computacional elevado para problemas de grande porte; Soluções iniciais são importantes ao processo de busca; Boa probabilidade de obtenção da solução ótima global; Modelagem das formigas artificiais.


70

Otimização por


Livros: ANT COLONY OPTIMIZATION


Aplicações IEEE: ANT COLONY OPTIMIZATION

Otimização por



74

TRABALHO

COMPUTACIONAL

Um robô localizado na célula (1) deve chegar a célula (35) sem colidir com nenhum objeto em sua trajetória (objetos representados pelas células em tom de cinza).

Determine a melhor trajetória (menor deslocamento)entre (1) e (35) via ANT COLONY

O robô pode se deslocar nos seguintes sentidos:


75

TRABALHO

COMPUTACIONAL

Observações: •  Trabalho deve ser elaborado em dupla

•  Trabalho entregue na forma de artigo junto com o programa desenvolvido.

•  Trabalho deve ser genérico. Ou seja, deve funcionar para qualquer alteração prévia na localização dos objetos/alvo no ambiente estabelecido.

•  Entrega até o dia 19/05/2016 (quinta-feira).

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