título do slide 1 prof.ª elisete quintaneiro experimentos fatoriais fracionÁrios (ii)

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1Prof.ª Elisete Quintaneiro

EXPERIMENTOS FATORIAIS FRACIONÁRIOS (II)

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Delineamento fatorial 2k-1

Exemplo: Micróbios

Delineamento fracionário 24-1 com gerador de confundimento I = ABCD, que produziu o esquema de confundimento

resultando que os tratamentos que devem ser realizados são:

1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16

AB = CDAC = BDAD = BCA = BCDB = ACDC = ABDD = ABC

volta

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

D0(1) (3) (2) (4)

D1(5) (7) (6) (8)

C1

D0(9) (11) (10) (12)

D1(13) (15) (14) (16)

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3


Observação:

Para este delineamento 24-1 podemos ainda realizar os tratamentos 2, 3, 5, 8, 9, 12, 14, 15, que são resultantes da relação de definição I = -ABCD, produzindo o esquema de confundimento AB = - CD

AC = - BDAD = - BCA = - BCDB = - ACDC = - ABDD = - ABC

volta

A0 A1

B0 B1 B0 B1

C0

D0(1) (3) (2) (4)

D1(5) (7) (6) (8)

C1

D0(9) (11) (10) (12)

D1(13) (15) (14) (16)

ou seja, é o mesmo esquema obtido anteriormente, porém com sinal contrário, e estas experiências são a outra fração ½ do delineamento fatorial completo.

Obs.: Os dois planos fornecem informações similares e qualquer um pode ser usado. No entanto, se o pesquisador tem interesse em checar o tratamento com todos os níveis baixos e todos altos, o anterior deve ser escolhido.

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Delineamento fatorial fracionário 2k-1

Rebatimento de delineamentos fatoriais fracionários

Exemplo: Em um processo químico, suspeita-se que quatro fatores possam influir no rendimento da operação:temperatura (A), pressão (B), concentração (C) e quantidade de catalisadores (D).

Foram considerados dois níveis para cada fator e a indústria optou, então, por um experimento fatorial. Como o custo com tal tipo de experiência é alto, decidiu-se, inicialmente, executar somente metade do total de experiências possíveis.

Utilizando a relação de definição, I = ABCD, já sabemos que os tratamentos a serem realizados são : 1, 4, 6, 7, 10, 11, 13, 16.

O experimento foi realizado e os valores de rendimento sob esses tratamentos foram obtidos.

Estimar os efeitos envolvidos no estudo.

Trata-se de um experimento 24-1 cujas observações encontram-se a seguir.

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Trat Y Rend A B C D AB AC AD BC BD CD ABC ABD ACD BCD

1 y0000 71 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 4 y1100 82 1 1 -1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 6 y1010 61 1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 7 y0110 87 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 1 -110 y1001 50 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 111 y0101 89 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -113 y0011 59 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -116 y1111 78 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Para estimar os efeitos, expandimos a tabela de contrastes com as interações :

Efeitos -8,75 23,75 -1,75 -6,25 0,75 5,25 -1,25 -1,25 5,25 0,75 -6,25 -1,75 23,75 -8,75

AB = CDAC = BDAD = BCA = BCDB = ACDC = ABDD = ABC

Þ Esquema de confundimento

Exp. A B C D Rendim

1 -1 -1 -1 -1 71

2 1 -1 -1 1 50

3 -1 1 -1 1 89

4 1 1 -1 -1 825

-1 -1 1 1 59

6 1 -1 1 -1 61

7 -1 1 1 -1 87

8 1 1 1 1 78

(1)(10)(11)(4)

(13)(6)(7)

(16)

Dados: lembrar que D = ABC

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Resumindo:

Para resolver este tipo de dúvida (se a interação tripla não pode ser assumida desprezivel!) poderia ser utilizado o experimento rebatido deste, ou seja, repetir o experimento considerando o confundimento I = -ABCD, que implica B = - ACD. Então a coluna do fator B terá sinais trocados e, consequentemente, todas as colunas em que B aparece, também.

Þ O efeito do fator B (pressão) produziu a maior estimativa, no entanto, este fator está confundindo com a interação tripla ACD. Surge, então, a dúvida, se a significância estatística é devido ao fator B ou à interação entre os outros fatores (temperatura, concentração e quantidade de catalisador).

Efeitos e Inter. Confund. Estimativas

A = BCD -8,75

B = ACD 23,75

C = ABD -1,75

D = ABC -6,25

AB = CD 0,75

AC = BD 5,25

AD = BC -1,25

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Com a tabela de contrastes expandida a partir da tabela acima (multiplicando as colunas dos efeitos principais para obter as colunas de todas as interações) encontramos as estimativas dos efeitos da mesma forma que antes.

AB = - CDAC = - BDAD = - BCA = - BCDB = - ACDC = - ABDD = - ABC

Þ Esquema de confundimento

Exp. A B C D Rendim

1 -1 1 -1 -1 91

2 1 1 -1 1 83

3 -1 -1 -1 1 61

4 1 -1 -1 -1 615

-1 1 1 1 85

6 1 1 1 -1 80

7 -1 -1 1 -1 68

8 1 -1 1 1 51

(3)(12)(9)(2)

(15)(8)(5)

(14)

Novos dados:

23 completo (A, B, C), com D=ABC e, depois, B trocado por -B.

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O efeito de B é, então, estimado por

½ (23,75+24,50) = 24,125

e a significância estatística, se for observada, será atribuída ao fator B, exclusivamente.

Efeitos e Inter. Confund. Estimativas

A = -BCD -7,50

B = -ACD 24,50

C = -ABD -3,00

D = -ABC -5,00

AB = -CD 1,00

AC = -BD -3,50

AD = -BC -1,500

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Planejamentos com fração ¼ ou frações menores

Resolução de um delineamento fatorial fracionário

Vimos que, para a fração 24-1 = ½ 24 = 23 de um delineamento fatorial

completo 24, o gerador de confundimento é D = ABC ou I = ABCD, ou seja,

efeitos principais confundidos com interações triplas. Neste caso, dizemos

que o planejamento fracionário tem resolução IV.

Há outros tipos de resolução em planejamentos fatoriais, que se diferenciam

de acordo com a quantidade de fatores envolvidos e da fração de interesse.

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Os delineamentos fatoriais fracionados são planejados segundo algum dos seguintes tipos de resolução:

Resolução Confundimentos

III efeitos principais confundidos com interações duplas (I = ABC)

IVefeitos principais confundidos com interações triplas e

interações duplas com duplas(I = ABCD)

Vefeitos principais confundidos com interações quádruplas e

interações duplas com triplas(I = ABCDE)

VIefeitos principais confundidos com interações quíntuplas, duplas

com quádruplas e triplas com triplas(I = ABCDEF)

etc .... etc ...

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Alguns autores utilizam uma notação, que especifica o tipo de resolução do experimento fracionário, como, por exemplo,

significando, delineamento fatorial fracionário dois níveis quatro fatores fração de ½ do fatorial completo correspondente resolução IV (em algarismo romano)

142 IV

Obs.: Na literatura estatística, existem alguns livros que apresentam sugestões para os geradores de confundimento em planos fatoriais fracionários, variando o número de fatores e a fração utilizada, por exemplo, “Design and analysis of experiments”, Montgomery, D.C., 3 ed., New York, John Wiley, 1991.

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Planejamentos com fração ¼

DELINEAMENTO ¼ 25

O delineamento ¼ 25 é, em verdade, um delineamento 25-2. Neste situação, somente ¼ do total de experiências do fatorial completo serão realizadas (¼ 32 = 8) .

Como antes, temos as seguintes etapas:

a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo 1/4 25 = 23, sem incluir os dois últimos fatores (D e E):

Experiência Tratamento A B C

1 A0B0C0 -1 -1 -1

2 A1B0C0 1 -1 -1

3 A0B1C0 -1 1 -1

4 A1B1C0 1 1 -1

5 A0B0C1 -1 -1 1

6 A1B0C1 1 -1 1

7 A0B1C1 -1 1 1

8 A1B1C1 1 1 1

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DELINEAMENTO ¼ 25

b) Completar a tabela com os dois últimos fatores, usando os geradores propostos na Tabela “Sugestões de Geradores de Confundimento” (anexa):

D = AB e E = AC (ou I = ABD e I = ACE)

I = ABD = ACE = BCDE

em que o último termo do gerador foi obtido como produto dos anteriores.

Exp A B C D = AB E = AC1 -1 -1 -1 1 12 1 -1 -1 -1 -13 -1 1 -1 -1 14 1 1 -1 1 -15 -1 -1 1 1 -16 1 -1 1 -1 17 -1 1 1 -1 -18 1 1 1 1 1

anexo

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DELINEAMENTO ¼ 25

c) Determinar o esquema de confundimento, utilizando produto módulo 2, a partir da relação de definição

I = ABD = ACE = BCDE

Obtem-se, então, A = B = C = D = E =

ou seja, basta estimar os efeitos principais A, B, C, D, E e as interações duplas BC e BE, que as demais interações estarão confundidas com estas (não é necessário construir toda tabela de contrastes de um experimento completo 25 para estimar todos os efeitos).

BD = CE = ABCDE BD = ABCE = CDE ABCD = AE = BDE AB = ACDE = BCE ABDE = AC = BCD BC = ACD = ABE = DE BE = ACDE = ABC = CD

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DELINEAMENTO ¼ 25

Exemplo: Um posto de triagem de correspondência está fazendo um estudo de produtividade, visando aumentá-la mediante a redução de erros na separação de cartas. Suspeita-se que a produtividade possa ser afetada pelos seguintes fatores, considerados em dois níveis:

Fator Nível (-) Nível (+)iluminação (A) 150 lux 250 luxtemperatura (B) 18 oC 25 oCruído (C) 45 dB 30 dBlayout (D) atual novohora (E) 9 hs 15 hs

Como o experimento completo demandaria um tempo que foi considerado excessivo pela Diretoria, optou-se por um fatorial fracionado do tipo 25-2. Os resultados, em termos de erros por 10.000 cartas estão a seguir:

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Exp. A B C D E Erros/1000012345678

-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1

+1-1-1+1+1-1-1+1

+1 -1+1-1-1+1-1+1

5056405748594359

1. Expandir a tabela para encontrar as estimativas dos efeitos principais e interações

Dados:

Exp. Erros/103 A B C D E BC BE12345678

5056405748594359

-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1

+1-1-1+1+1-1-1+1

+1 -1+1-1-1+1-1+1

+1+1-1-1-1-1+1+1

-1+1+1-1+1-1-1+1

S “-”/4 45,25 53,25 50,75 49,50 51,00 51,00 52,25 S “+”/4 57,75 49,75 52,25 53,50 52,00 52,00 50,75

Estimativa dos efeitos 12,50 -3,50 1,50 4,00 1,00 1,00 -1,50

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2. Inspeção dos efeitos e interações ativos

z

PR

OB

AB

ILID

AD

E

0,01

0,05

0,15

0,25

0,35 0,45 0,55 0,65

0,75

0,85

-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0

0,5

1,0

1,5

-15 -10 -5 0 5 10 15

B

BE

E e BC

C

D

A


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PROCEDIMENTO GERAL PARA CONSTRUÇÃO DE UMDELINEAMENTO FRACIONÁRIO 2k-p

Para construir um experimento fatorial fracionado 2k-p, as seguintes etapas podem ser adotadas:

1) Escrever a tabela de contrastes para o fatorial completo 2c, onde c = k-p;

2) Completar a tabela com os fatores faltantes, usando os confundimentos propostos por Montgomery (Anexo);

3) Obter o gerador de confundimentos (I);

4) Determinar o esquema de confundimentos, obtido pelo produto de efeitos principais e algumas interações de baixa ordem na relação de definição.

Delineamento fatorial fracionário 2k-p

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Exemplo: DELINEAMENTO 27-4

Trata-se de um delineamento (1/16)27, em que corresponde a realização de 8 experiências, das 128 possíveis.

a) Escrever a tabela de contrastes do fatorial completo (1/16)27 = 23, sem incluir os quatro últimos fatores (D, E, F e G):

Experiência A B C

1 -1 -1 -1

2 1 -1 -1

3 -1 1 -1

4 1 1 -1

5 -1 -1 16 1 -1 17 -1 1 1

8 1 1 1


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b) Completar a tabela usando os geradores do ANEXO.

Geradores são: D = AB, E = AC, F = BC e G = ABC, que equivale ao gerador de confundimentos

I =

Experiência A B C D =AB E=AC F=BC G=ABC1 -1 -1 -1 1 1 1 -1

2 1 -1 -1 -1 -1 1 1

3 -1 1 -1 -1 1 -1 1

4 1 1 -1 1 -1 -1 -1

5 -1 -1 1 1 -1 -1 16 1 -1 1 -1 1 -1 -17 -1 1 1 -1 -1 1 -1

8 1 1 1 1 1 1 1


anexo

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c) Determinar os confundimentos para efeitos principais, a partir do gerador de confundimento:


anexo

I = ABD = ACE = BCF = ABCG = BCDE = ACDF = ABEF = CDG = BEG = AFG = DEF = ADEG = BDFG = CEFG = ABCDEFG

Observar que, para este delineamento, a relação de definição tem 16 = 24 termos iguais.

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22

Regra geral para determinar os termos na relação de definição num delineamento 2k-p

Num planejamento 2k-p , a relação de definição (gerador de confundimento) terá 2p termos. São eles:

1. O termo de intercepto I; 2. p termos de interação obtidos a partir dos geradores sugeridos na tabela de

confundimentos (anexo), utilizando produto módulo 2 para obter a relação com I;

3. os restantes (2p - p – 1) termos são construídos pela multiplicação módulo 2 entre os termos do passo 2. Logo, cada efeito principal será confundido com 2p – 1 outros efeitos.

4. Estabelecida a relação de definição, obter o esquema de confundimento, totalizando, portanto, 2p relações de confundimento.

5. Os tratamentos escolhidos para formar o planejamento devem obedecer à relação de definição.


anexo

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23

Exemplo: Considere um 25. Obter ¼ (25).

Devemos realizar 25-2 = 23 = 8 tratamentos.Þ Relação de definição terá 22 = 4 termos.


anexo

Na tabela de confundimentos (anexo), os confundimentos sugeridos para este planejamentos são:

que produz I = e I =

Então o gerador de confundimento, com 4 termos é:

I = sendo o último termo obtido por produto módulo 2 entre ____ e ____;

O esquema de confundimento é dado pelas seguintes relações:

Tratamentos incluídos serão aqueles em se tem ABD=1, ACE=-1 e ACDE=-1, simultaneamente.

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24

Exemplo: Joãozinho decidiu fazer uma nova experiência com sua nova bicicleta, testando sete fatores (ou variáveis):

(A) posição do assento: alto ou baixo (B) farolete: ligado ou desligado (C) posição do guidão: alto ou baixo (D) marcha utilizada: alta ou baixa (E) tipo de roupa: justa ou folgada (F) comida: sim ou não (G) pressão dos pneus: alta ou baixa

em que irá observar o tempo (em seg) para percorrer um dado trecho.


anexo

Responda:a) Quem é a variável resposta?

b) Quantas experiências seriam feitas (sem repetição) no caso de um delineamento fatorial completo ?

c) E no caso de um fatorial fracionado do tipo 27-4 ?

d) Como ficaria a tabela de contrates neste último caso ?

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25

Admitindo-se um delineamento fatorial fracionado 27-4, com os resultados na tabela a seguir, calcular os efeitos principais


anexo

Estimativas de efeitos principaisA = B = C = D = E =F =G =

Exp A B C D E F G Resp.12345678

-1+1-1+1-1+1-1+1

-1-1+1+1-1-1+1+1

-1-1-1-1+1+1+1+1

+1-1-1+1+1-1-1+1

+1-1+1-1-1+1-1+1

+1+1-1-1-1-1+1+1

-1+1+1-1+1-1-1+1

6952608371505988

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26

Interações:

• todas interações duplas estão confundidas com efeitos principais (resolução III);• existem ainda outras interações, de ordem superior, não confundidas com efeitos principais, mas não vamos nos preocupar com estas.


anexo

Como o experimento foi feito sem repetição, então pode-se analisar os resultados através do PPN. , utilizando a expressão P = (i – 0,5) x 100% 7

i Confund. Estimativa P

12345678

Fazer o gráfico de Estimativas versus P. O que se pode concluir?

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27

ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO

No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores

3 4 (1/2) C = AB

4 8 (1/2) D = ABC

516 (1/2) E= ABCD

8 (1/4)D = ABE = AC

6

32 (1/2) F = ABCDE

16 (1/4)E = ABCF = BCD

8 (1/8)D = ABE = ACF = BC

7

64 (1/2) G= ABCDEF

32 (1/4)F = ABCDG = ABDE

16 (1/8)E = ABC F = BCDG = ACD

8 (1/16)D = AB E = ACF = BC G= ABC

13III2

14IV2

15V2

25III2

16VI2

26IV2

36III2

17VII2

27IV2

37IV2

47III2

volta

volta

anexo

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28

No. de Fatores no. Exp (fração) Delineamento Geradores

8

64 (1/4)G = ABCDH = ABEF

32 (1/8)F = ABCG = ABD

H = BCDE

16 (1/16)E = BCD F = ACDG = ABC H= ABD

9

128 (1/4)H= ACDFGJ = BCEFG

64 (1/8)G = ABCDH = ACEFJ= CDEF

32 (1/16)F= BCDE G = ACDEH= ABDE J = ABCE

16 (1/32)E = ABC F = BCDG= ACD H = ABD

J= ABCD

28V2

38IV2

482 IV

29VI2

39IV2

49IV2

59IV2

Fonte: MONTGOMERY, D.C. Design and analysis of experiments. 3 ed. New York, John Wiley, 1991.

ANEXO: SUGESTÕES DE GERADORES DE CONFUNDIMENTO (cont)

título do slide 1 prof.ª elisete quintaneiro experimentos fatoriais fracionÁrios (ii)

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