thomas calculo varias variables 12 edicion

THOMAS

VARIAS VARIABLESCLCULO

TH

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VA

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AR

IAB

LE

SC

L

CU

LO

Decim

osegun

daedicin

Decimosegunda edicin

WEIRHASS

ISBN 978-607-32-0209-1

Vistenos en:www.pearsoneducacion.net

En la nueva ediicin del reconocido libro de Thomas se ha conservado la estructura bsica de la edicin anterior. Tambin se han atendido las peticiones y sugerencias de los usuarios y los revisores, al colocar la introduccin de ecuaciones paramtri-cas despus de explicar las coordenadas polares, y al presentar el tema de la regla LHpital despus de las funciones trascendentes.

Cada nuevo tema se plantea mediante ejemplos claros y sencillos; adems, los temas se refuerzan mediante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Una caracterstica distintiva del libro son las apli-caciones a la ciencia y la ingeniera.

Por su importancia en el aprendizaje del clculo, se continuaron mejorando las figuras de este texto y se incluy un nmero significativo de figuras nuevas.

La tecnologa puede incorporarse de acuerdo con el criterio de cada profesor, ya que cada seccin contiene ejercicios que requieren su uso.

El dominio de un tema con aplicaciones prcticas al mundo ser una recompensa para el estudiante, pero el verdadero regalo ser la habilidad para pensar y gene-ralizar. Estamos seguros de que este libro brindar respaldo y apoyo para ambas cuestiones.

La pgina Web www.pearsoneducacion.net/thomaswww.pearsoneducacion.net/thomasofrece apoyos importantes al profesor

Addison-Wesleyes una marca de

Addison-Wesley

www.elsolucionario.net


FRMULAS BSICAS DE LGEBRA

Operaciones aritmticas

Leyes de los signos

Cero La divisin entre cero no est definida.

Si

Para cualquier nmero a:

Leyes de los exponentes

Si

El teorema del binomio Para cualquier entero positivo n,

Por ejemplo,

Factorizacin de una diferencia de potencias iguales de enteros,

Por ejemplo,

Cmo completar un cuadrado Si

La frmula cuadrtica Si y entonces

x = -b ; 2b2 - 4ac

2a.

ax2 + bx + c = 0,a Z 0

ax2 + bx + c = au2 + C au = x + sb>2ad, C = c - b24ab

a Z 0,

a4 - b4 = sa - bdsa3 + a2b + ab2 + b3d .

a3 - b3 = sa - bdsa2 + ab + b2d,

a2 - b2 = sa - bdsa + bd,

an - bn = sa - bdsan-1 + an-2b + an-3b2 + + abn-2 + bn-1d

n>1

sa + bd3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, sa - bd3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3. sa + bd2 = a2 + 2ab + b2, sa - bd2 = a2 - 2ab + b2

+nsn - 1dsn - 2d

1 # 2 # 3 an-3b3 + + nabn-1 + bn .

sa + bdn = an + nan-1b +nsn - 1d

1 # 2 an-2b2

am

an= am-n, a0 = 1, a-m = 1

am.

a Z 0,

am>n = 2n am = A2n a Bmaman = am+n, sabdm = ambm, samdn = amn,

a # 0 = 0 # a = 0

0a = 0, a

0 = 1, 0a = 0a Z 0:

- s-ad = a, -ab

= - ab

= a-b

ab

+ cd

= ad + bcbd

, a>bc>d =

ab# dc

asb + cd = ab + ac, ab# cd

= acbd

Teorema fundamental del clculo

Parte 1 Si es continua en [a, b], entonces es continua en[a, b] y derivable en (a, b) y su derivada es (x);

Parte 2 Si es continua en cada punto de [a, b] y F es cualquier antiderivadade en [a, b], entonces

Lb

asxd dx = Fsbd - Fsad.

F(x) = ddxL

x

astd dt = sxd.

Fsxd = 1xa std dt

Frmulas generales

Cero:

Orden de la integracin:

Mltiplos constantes:

Sumas y diferencias:

Aditividad:

Desigualdad mx-mn: Si mx f y mn f son los valores mximo y mnimo de f en [a, b], entonces

Dominancia:

sxd 0 en [a, b] implica Lb

asxd dx 0

sxd gsxd en [a, b] implica Lb

asxd dx L

b

agsxd dx

mn # sb - ad Lb

asxd dx mx # sb - ad .

Lb

asxd dx + L

c

bsxd dx = L

c

asxd dx

Lb

assxd ; gsxdd dx = L

b

asxd dx ; L

b

agsxd dx

Lb

a-sxd dx = -L

b

asxd dx sk = -1d

Lb

aksxd dx = kL

b

asxd dx scualquier nmero kd

La

bsxd dx = -L

b

asxd dx

La

asxd dx = 0

Sustitucin en integrales definidas

Lb

asgsxdd # gsxd dx = L

gsbd

gsadsud du

Integracin por partes

Lb

asxdgsxd dx = sxdgsxd Dab - L

b

asxdgsxd dx

REGLAS DE INTEGRACIN



George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisada por

Maurice D. WeirNaval Postgraduate School

Joel Hass University of California, Davis

Traduccin

Antonio P. Enrquez BritoTraductor especialista

en matemticas

Revisin tcnica

Carlos Bosch GiralCsar Luis Garca Garca

Claudia Gmez WulschnerDepartamento de Matemticas

Instituto Tecnolgico Autnomo de Mxico

Manuel Robles BernalInstituto Politcnico Nacional

THOMAS

CLCULODecimosegunda edicinVARIAS VARIABLES



Datos de catalogacin bibliogrficaTHOMAS, GEORGE B.

Clculo, varias variablesDecimosegunda edicin

PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2010

ISBN: 978-607-32-0209-1 rea: Matemticas

Formato: 21.5 3 27.5 cm Pginas: 472

Authorizeded translation from the English language editions, entitled THOMAS CALCULUS, MULTIVARIABLE, 12th Edition by GEORGE THOMAS;MAURICE WEIR; JOEL HASS, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley, Copyright 2010. All rights reserved.ISBN 9780321643698

Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, THOMAS CALCULUS, MULTIVARIABLE, 12 ed. Por GEORGE THOMAS; MAURICE WEIR;JOEL HASS, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison-Wesley, Copyright 2010. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en inglsEditor-in-Chief: Deirdre Lynch Software Development: Mary Durnwald and Bob CarrollSenior Acquisitions Editor: William Hoffman Executive Marketing Manager: Jeff WeidenaarSenior Project Editor: Rachel S. Reeve Marketing Assistant: Kendra BassiAssociate Editor: Caroline Celano Senior Author Support/Technology Specialist: Joe VetereAssociate Project Editor: Leah Goldberg Senior Prepress Supervisor: Caroline FellSenior Managing Editor: Karen Wernholm Manufacturing Manager: Evelyn BeatonSenior Production Supervisor: Sheila Spinney Production Coordinator: Kathy DiamondSenior Design Supervisor: Andrea Nix Composition: Nesbitt Graphics, Inc.Digital Assets Manager: Marianne Groth Illustrations: Karen Heyt, IllustraTechMedia Producer: Lin Mahoney Cover Design: Rokusek Design

Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Rivera

e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

DECIMOSEGUNDA EDICIN, 2010

D.R. 2010 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519, Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. nm. 1031.

Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqu-mico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN VERSIN IMPRESA: 978-607-32-0209-1ISBN E-BOOK: 978-607-32-0210-7ISBN E-CHAPTER: 978-607-32-0211-4

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

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REVISIN TCNICA

Adelia CopasEnrique SantillnESIME, Zacatenco-Instituto Politcnico Nacional

Gabriel Martnez ChvezGabriel Nez RomnJulio Csar Ansaldo LeyvaInstituto Tecnolgico de Sonora

Mara Guadalupe Lomel PlascenciaInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Guadalajara

Enrique Garibay RuizInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey-Campus Len

Mario MesinoUniversidad Autnoma de Guadalajara

Francisco Javier Gonzlez PiaUniversidad de Guadalajara



AGRADECIMIENTOS

ArgentinaEmilio SurezInstituto Tecnolgico de Buenos Aires

Haydee CastellettiSilvia Adriana MamoneUniversidad de Belgrano

Viviana Niselman Universidad de Buenos Aires

Gladis Beatriz AstargoHoracio DayUniversidad Nacional de Cuyo

Isabel WeinbergUniversidad Nacional de la Matanza

ngela MaldonadoAugusto MelgarejoDelicia TiseraDiego VallejoJos SurezLaura LangoniMara Ins OteguiMara Teresa GuardarucciMariel LavaaMercedes TrpoliMiguel SanservinoNstor BucariUniversidad Nacional de la Plata

Anglica ArnulfoBeatriz IntrocasoEmilio SastreJos BottoMara Susana MontelarMnica CaseroUniversidad Nacional de Rosario

Elena ArlauskasGabriela RighettiUniversidad Tecnolgica Nacional Regional Avellaneda

ColombiaBernardo Aldana GmezNstor Ral PachnEscuela Colombiana de Ingeniera-Bogot

Elas CardonaICESI

Antonio MerchnFernando NovoaGerardo ToleHctor LinaresIrina ReyesIsmael GarcaJaime GmezJuan Carlos QuinteroLiliana BarretoMoiss ArandaNazly Esmeralda SalasRafael CastroPontificia Universidad Javeriana

Laureano ValenciaOswaldo Rodrguez DazUniversidad Autnoma de Occidente-Cali

Mario BravoUniversidad de San Buenaventura-Cali

Jos VilladaUniversidad Distrital Francisco Jos de Caldas

ChileJuan DuarteUniversidad de Antofagasta

Pearson Educacin agradece a los centros de estudio y profesores usuarios de esta obra por su apoyo y retroalimentacin, elemento fundamental para esta nueva edicin de Clculo, una variable.



Clarita BalbontnUniversidad de los Andes

Julio Hugo RamrezUniversidad de Via del Mar

EcuadorEduardo AlbaUniversidad San Francisco de Quito

EspaaPatricia Barral RodioUniversidad de Santiago de Compostela

MxicoFernando Arenas GarcaJulio Ernesto Hoyos OchoaSalvador Hoyos OchoaInstituto Tecnolgico de Boca del Ro

Alicia Ordez SeguraCelerino Federico Navarrete CruzFernando Arenas GarcaIsidro Rodrguez MontoroJess Solano RoanoJorge Almanza PrezJos Luis Almanza PrezJulio Ernesto Hoyos OchoaSalvador Hoyos OchoaInstituto Tecnolgico de Estudios Superiores de Xalapa

Miguel Hernndez de la TorreOmar Olmos LpezInstituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey - Campus Toluca

Mauricio Cirilo Mndez CansecaRal ChvezUniversidad Anhuac - Mxico Sur

Anglica Tovar GmezBertha Alicia Arellano SilvaElvia Loera HernndezJavier Cant RodrguezKarla Guajardo CosoUniversidad Autnoma de Nuevo Len

Ramiro Garza MolinaUniversidad Autnoma de Tamaulipas

David Elizarraraz MartnezJaime Grabinsky SteiderJos Ventura Becerril EspinosaJudith Omaa PulidoMarina Salazar AntunezUniversidad Autnoma Metropolitana - Unidad Azcapotzalco

Mauro Ernesto Espinoza GarcaUniversidad Cristbal Coln - Veracruz

Ana Mara Gonzlez PiaJavier Barrn Karla Violeta Martnez FacundoMaribel Fuentes DvilaPatricia GonzlezUniversidad de Monterrey

Alma Rosa Griselda Zetina VlezMartn Cruz CuevasMiriam LemusRoberto Bautista AtengenesSandra Chimal GarmaUniversidad La Salle

Dolores Vera DectorFelipe Hernndez HernndezRicardo Victoria CarreraUniversidad Veracruzana

PerLuis Daz BazurcoWilber Ramos LovnUniversidad Catlica de Santa Mara-Arequipa

Jos Cuevas GonzlezUniversidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Venezuela Elvira SabalMilagros BosquettiUniversidad Catlica Andrs Bello

Jess HernndezJos Luis QuinterosMara de ArmasMara Luisa VonnaMarienma SnchezUniversidad Central de Venezuela



vii

Prefacio xiii

1 Funciones 11.1 Las funciones y sus grficas 11.2 Combinacin de funciones; traslacin y cambio de tamao de funciones 141.3 Funciones trigonomtricas 221.4 Graficacin por medio de calculadoras y computadora 30

PREGUNTAS DE REPASO 34EJERCICIOS DE PRCTICA 35EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 37

2 Lmites y continuidad 392.1 Tasas de cambio y tangentes a curvas 392.2 Lmite de una funcin y leyes de los lmites 462.3 La definicin formal de lmite 572.4 Lmites laterales 662.5 Continuidad 732.6 Lmites que incluyen al infinito; asntotas de grficas 84


3 Derivadas 1023.1 Tangentes y la derivada en un punto 1023.2 La derivada como una funcin 1063.3 Reglas de derivacin 1153.4 La derivada como una tasa de cambio 1243.5 Derivadas de funciones trigonomtricas 1353.6 La regla de la cadena 142

CONTENIDO

VOLUMEN I



3.7 Derivacin implcita 1493.8 Tasas relacionadas 1553.9 Linealizacin y diferenciales 164


4 Aplicaciones de las derivadas 1844.1 Valores extremos de funciones 1844.2 El teorema del valor medio 1924.3 Funciones montonas y el criterio de la primera derivada 1984.4 Concavidad y trazado de curvas 2034.5 Optimizacin aplicada 2144.6 Mtodo de Newton 2254.7 Antiderivadas 230


5 Integracin 2465.1 rea y su estimacin mediante sumas finitas 2465.2 Notacin sigma y lmites de sumas finitas 2565.3 La integral definida 2625.4 El teorema fundamental del clculo 2745.5 Integrales indefinidas y el mtodo de sustitucin 2845.6 Sustitucin y rea entre curvas 291


6 Aplicaciones de las integrales definidas 3086.1 Clculo de volmenes por medio de secciones transversales 3086.2 Clculo de volmenes por medio de cascarones cilndricos 3196.3 Longitud de arco 3266.4 reas de superficies de revolucin 3326.5 Trabajo y fuerza de fluidos 3376.6 Momentos y centros de masa 346


viii Contenido



7 Funciones trascendentes 3617.1 Funciones inversas y sus derivadas 3617.2 Logaritmos naturales 3697.3 Funciones exponenciales 3777.4 Cambio exponencial y ecuaciones diferenciales con variables separables 3877.5 Formas indeterminadas y la regla de LHpital 396 7.6 Funciones trigonomtricas inversas 4047.7 Funciones hiperblicas 4167.8 Razones relativas de crecimiento 424


8 Tcnicas de integracin 4358.1 Integracin por partes 4368.2 Integrales trigonomtricas 4448.3 Sustituciones trigonomtricas 4498.4 Integracin de funciones racionales por medio de fracciones parciales 4538.5 Tablas de integrales y sistemas de lgebra por computadora (SAC) 4638.6 Integracin numrica 4688.7 Integrales impropias 478


9 Ecuaciones diferenciales de primer orden 4969.1 Soluciones, campos direccionales y el mtodo de Euler 4969.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 5049.3 Aplicaciones 5109.4 Soluciones grficas de ecuaciones diferenciales autnomas 5169.5 Sistemas de ecuaciones y planos fase 523


10 Sucesiones y series infinitas 53210.1 Sucesiones 53210.2 Series infinitas 54410.3 Criterio de la integral 55310.4 Criterios de comparacin 55810.5 Criterios de la raz y de la razn 563

Contenido ix



10.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 56810.7 Series de potencias 57510.8 Series de Taylor y de Maclaurin 58410.9 Convergencia de series de Taylor 58910.10 La serie binomial y aplicaciones de las series de Taylor 596


11 Ecuaciones paramtricas y coordenadas polares 61011.1 Parametrizacin de curvas planas 61011.2 Clculo con curvas paramtricas 61811.3 Coordenadas polares 62711.4 Grficas en coordenadas polares 63111.5 reas y longitudes en coordenadas polares 63511.6 Secciones cnicas 63911.7 Secciones cnicas en coordenadas polares 648


12 Los vectores y la geometra del espacio 66012.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 66012.2 Vectores 66512.3 El producto punto 67412.4 El producto cruz 68212.5 Rectas y planos en el espacio 68812.6 Cilindros y superficies cudricas 696


13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 70713.1 Curvas en el espacio y sus tangentes 70713.2 Integrales de funciones vectoriales; movimiento de proyectiles 71513.3 Longitud de arco en el espacio 72413.4 Curvatura y vectores normales de una curva 72813.5 Componentes tangencial y normal de la aceleracin 73413.6 Velocidad y aceleracin en coordenadas polares 739


x Contenido

VOLUMEN II



14 Derivadas parciales 74714.1 Funciones de varias variables 74714.2 Lmites y continuidad en dimensiones superiores 75514.3 Derivadas parciales 76414.4 Regla de la cadena 77514.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 78414.6 Planos tangentes y diferenciales 79114.7 Valores extremos y puntos de silla 80214.8 Multiplicadores de Lagrange 81114.9 Frmula de Taylor para dos variables 82014.10 Derivadas parciales con variables restringidas 824


15 Integrales mltiples 83615.1 Integrales dobles e iteradas sobre rectngulos 83615.2 Integrales dobles sobre regiones generales 84115.3 reas por doble integracin 85015.4 Integrales dobles en forma polar 85315.5 Integrales triples en coordenadas rectangulares 85915.6 Momentos y centros de masa 86815.7 Integrales triples en coordenadas cilndricas y esfricas 87515.8 Sustitucin en integrales mltiples 887


16 Integracin en campos vectoriales 90116.1 Integrales de lnea 90116.2 Campos vectoriales e integrales de lnea: Trabajo, circulacin y flujo 90716.3 Independencia de la trayectoria, campos conservativos y funciones

potenciales 92016.4 Teorema de Green en el plano 93116.5 Superficies y reas 94316.6 Integrales de superficie 95316.7 Teorema de Stokes 96216.8 El teorema de la divergencia y una teora unificada 972


Contenido xi



17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden 98917.1 Ecuaciones lineales de segundo orden 98917.2 Ecuaciones lineales no homogneas 99617.3 Aplicaciones 100517.4 Ecuaciones de Euler 101117.5 Soluciones en series de potencias 1014

Apndices AP-1

A.1 Los nmeros reales y las rectas reales AP-1A.2 Induccin matemtica AP-6A.3 Rectas, circunferencias y parbolas AP-10A.4 Demostraciones de los teoremas de lmites AP-18A.5 Lmites que aparecen con frecuencia AP-21A.6 Teora de los nmeros reales AP-23A.7 Nmeros complejos AP-25A.8 La ley distributiva para el producto vectorial cruz AP-35A.9 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-36

Respuestas a los ejercicios con nmero impar A-1

ndice I-1

Crditos C-1

Breve tabla de integrales T-1

xii Contenido



Revisamos exhaustivamente esta edicin de Clculo de Thomas con la finalidad de cubrir lasnecesidades de los profesores y los estudiantes actuales. El resultado es un libro con ms ejem-plos, ms ejercicios de nivel medio, mayor cantidad de figuras y mejor flujo conceptual, ademsde mayores claridad y precisin. Al igual que las ediciones anteriores, esta nueva edicin ofreceuna introduccin moderna al clculo que apoya la comprensin conceptual, pero conserva los elementos esenciales de un curso tradicional. Tales mejoras se relacionan estrechamente con unaversin ampliada del texto de MyMathLab (al que nos referiremos ms adelante), el cual brin-da apoyo adicional a los estudiantes y flexibilidad a los profesores.

Muchos de nuestros alumnos estuvieron expuestos a la terminologa y los aspectos compu-tacionales del clculo durante el bachillerato. A pesar de la familiaridad con el lgebra y la tri-gonometra, sus habilidades en estas materias con frecuencia son insuficientes para alcanzar elxito en el clculo universitario. Con este texto buscamos equilibrar la escasa experiencia delos estudiantes con el clculo y el desarrollo de habilidades algebraicas que podran necesitar,todo sin socavar o minar su confianza. Adems, hemos tenido cuidado de presentar suficientematerial, soluciones detalladas paso a paso y ejercicios que apoyen una comprensin completapara alumnos de todos los niveles.

Animamos a los estudiantes a ir ms all de la memorizacin de las frmulas para genera-lizar conceptos conforme stos se presenten. Nuestro deseo es que despus de cursar clculo,ellos tengan confianza en sus habilidades para razonar y resolver problemas. El dominio de untema maravilloso con aplicaciones prcticas al mundo ser su recompensa, pero el verdaderoregalo ser la habilidad para pensar y generalizar. Creemos que este libro brindar respaldo yapoyo para ambas cosas.

Cambios en la decimosegunda edicin

CONTENIDO En la preparacin de esta edicin hemos conservado la estructura bsica de la ta-bla de contenido de la edicin anterior. Hemos puesto atencin a las peticiones de los usuariosy los revisores de posponer la introduccin de ecuaciones paramtricas hasta despus de expli-car las coordenadas polares, y de presentar el tema de la regla de LHpital despus de las fun-ciones trascendentes. Realizamos numerosas revisiones a la mayora de los captulos, como sedetalla a continuacin.

Funciones Condensamos este captulo an ms para centrarnos en la revisin de los con-ceptos sobre funciones. El material de requisito que cubre nmeros reales, intervalos, incre-mentos, lneas rectas, distancias, circunferencias y parbolas se presenta en los apndices 1 a 3.

Lmites Para mejorar la continuidad en este captulo, combinamos las ideas de lmites queincluyen infinito y su relacin con las asntotas en las grficas de las funciones, colocn-dolas juntas al final de la ltima seccin del captulo.

Derivadas Aunque utilizamos tasas de cambio y tangentes a curvas como motivacin para elestudio del concepto de lmite, ahora presentamos el concepto de derivada en un solo cap-tulo. Reorganizamos e incrementamos el nmero de ejemplos de tasas relacionadas y agre-gamos nuevos ejemplos y ejercicios sobre graficacin de funciones racionales.

xiii

PREFACIO



Antiderivadas e integracin Conservamos la organizacin de la decimoprimera edicin alcolocar las antiderivadas como el ltimo tema referente a las aplicaciones de las derivadas.Nuestro objetivo es exponer la forma de recuperar una funcin a partir de su derivada,como la solucin del tipo ms sencillo de una ecuacin diferencial de primer orden. Las integrales, como lmites de sumas de Riemann, estudiadas sobre todo a la luz del pro-blema de determinar reas de regiones generales con fronteras curvas, son un nuevo temaque forma la parte sustancial del captulo 5. Despus de un cuidadoso desarrollo del con-cepto de integral, pusimos nuestra atencin en su evaluacin y su relacin con las anti-derivadas, relacin que se plasma en el teorema fundamental del clculo. Las aplicacionescorrespondientes definen diversas ideas geomtricas de rea, volumen, longitudes de tra-yectorias y centroides, todas como lmites de sumas de Riemann que dan lugar a integralesdefinidas que pueden evaluarse determinando una antiderivada del integrando. Posterior-mente, regresamos al tema de resolver ecuaciones diferenciales de primer orden ms com-plicadas; despus de ello, definimos y establecemos las funciones trascendentes y suspropiedades.

Ecuaciones diferenciales Algunas universidades prefieren que este tema se incluya en uncurso aparte de clculo. Aunque nosotros tratamos las soluciones de ecuaciones diferencia-les con variables separables, cuando tratamos las aplicaciones de crecimiento y decaimientoexponenciales en el captulo de funciones trascendentes, organizamos todo nuestro materialen dos captulos (que pueden omitirse para seguir la secuencia de clculo). En el captulo 9damos un tratamiento introductorio a las ecuaciones diferenciales de primer orden. El cap-tulo incluye una nueva seccin sobre sistemas y planos fase, con aplicaciones a modelos que incluyen presas y depredadores. En el captulo 17 presentamos una introduccin a ecua-ciones diferenciales de segundo orden, que se incluye en MyMathLab, as como en el sitioWeb del texto, www.pearsoneducacion.net/thomas.

Series Conservamos la estructura organizacional de la decimoprimera edicin para los temasde sucesiones y series. Agregamos nuevas figuras y nuevos ejercicios a diversas secciones,pero adems revisamos algunas de las demostraciones relacionadas con la convergencia deseries de potencia para mejorar la accesibilidad del material a los estudiantes. Uno de losusuarios del texto nos dijo que cualquier modificacin que hiciramos para que este ma-terial resultara ms sencillo para los estudiantes sera bienvenida en su facultad; ese co-mentario nos gui para hacer las revisiones de este captulo.

Ecuaciones paramtricas Varios usuarios pidieron incluir este tema en el captulo 11, don-de tambin se tratan coordenadas polares y secciones cnicas. Lo hicimos luego de com-prender que muchos departamentos eligen cubrir tales temas al inicio de Clculo III, comopreparacin para tratar el clculo con vectores y de varias variables.

Funciones de variables vectoriales Redujimos los temas de este captulo para dar mayornfasis a los conceptos que fundamentan el material sobre derivadas parciales, el vector gra-diente y las integrales de lnea. Compactamos el anlisis del marco de Frenet y las tres leyesde Kepler acerca del movimiento de los planetas.

Clculo de varias variables En estos tres captulos resaltamos el diseo, adems de aadirmuchas figuras, ejemplos y ejercicios nuevos. Reorganizamos el material inicial sobre inte-grales dobles. Combinamos en una sola seccin las aplicaciones de integrales dobles y tri-ples a masas y momentos; se presentan casos tanto de dos como de tres dimensiones. Dichareorganizacin permite una mejor exposicin de los conceptos clave, junto con sus propie-dades y sus aspectos computacionales. Al igual que en la edicin anterior, en sta conti-nuamos haciendo las conexiones de las ideas de varias variables con sus anlogos de unavariable que se estudian antes en el texto.

Campos vectoriales Dedicamos un considerable esfuerzo para mejorar la claridad y pre-cisin matemtica de nuestro estudio de clculo integral vectorial, incluyendo ejemplos,figuras y ejercicios adicionales. Los teoremas y los resultados importantes se enuncian conmayor claridad y en forma completa; se incluyen explicaciones amplias de sus hiptesis y consecuencias matemticas. El rea de una superficie ahora se organiza en una sola sec-cin, mientras las superficies definidas, explcita o implcitamente, se tratan como casos especiales de la representacin paramtrica ms general. Las integrales de superficie y susaplicaciones se estudian en una seccin separada. El teorema de Stokes y el teorema de la divergencia se siguen presentando como generalizaciones del teorema de Green a tres dimensiones.

xiv Prefacio



EJERCICIOS Y EJEMPLOS Sabemos que los ejercicios y los ejemplos son componentes funda-mentales en el aprendizaje del clculo. En virtud de tal importancia, actualizamos, mejoramosy ampliamos el nmero de ejercicios en casi todas las secciones del libro. En la presente edicinincluimos ms de 700 nuevos ejercicios. Continuamos nuestra organizacin y la agrupacin deejercicios por tema, como en las ediciones anteriores, pasando de problemas computacionales aproblemas aplicados y tericos. Los ejercicios que requieren del uso de sistemas de cmputo(como Maple o Mathematica) se colocaron al final de cada seccin de ejercicios con el t-tulo Exploraciones con computadora. La mayora de los ejercicios aplicados tienen un sub-ttulo para indicar la clase de aplicacin adecuada del problema.

Muchas secciones incluyen ejemplos nuevos para clarificar y profundizar en el significadodel tema que se estudia, as como para ayudar a los estudiantes a comprender las consecuenciasmatemticas o las aplicaciones a la ciencia y la ingeniera. Al mismo tiempo, eliminamos ejem-plos que repetan material presentado con anterioridad.

DISEO Por su importancia en el aprendizaje del clculo, continuamos con la mejora de figurasexistentes en este texto e incluimos un nmero significativo de nuevas figuras. Continuamoscon el uso del color de manera consistente y pedaggica para resaltar la idea conceptual que se ilustra. Tambin revisamos todas las leyendas de las figuras, poniendo mucha atencin a laclaridad y precisin en los enunciados cortos.

Prefacio xv

MYMATHLAB Y MATHXL El aumento en el uso y la demanda de sistemas de tareas en lnea ha llevado a cambios en MyMathLab y MathXL para el texto. El curso MyMathLab ahoraincluye muchos ms ejercicios de todo tipo. Los nuevos applets JavaTM se agregan a la ya sig-nificativa coleccin, para ayudar a los estudiantes a visualizar los conceptos y generalizar elmaterial.

Otras caractersticas destacadas

RIGOR El nivel de formalidad es consistente con el de las ediciones anteriores. Seguimos dis-tinguiendo entre anlisis formal e informal, y sealamos sus diferencias. Consideramos queiniciar con una idea ms intuitiva y menos formal ayuda a los estudiantes a comprender un con-cepto nuevo y difcil, de manera que luego ellos puedan apreciar cabalmente su precisinmatemtica y los resultados. Ponemos atencin en definir las ideas de una manera detallada

x

yNo importa qu nmero positivo sea , la grfica se encuentra en esta banda en x y ah permanece.

1

y

M 1

N 1

y 0

Sin importar qu nmero positivo sea , la grfica se encuentra en esta banda en x y ah permanece.

1

y 1x

FIGURA 2.50 La geometra dentro delargumento del ejemplo 1.

z

x

y

FIGURA 16.9 Una superficie, como unared o un paracadas, en un campo vectorialque representa los vectores velocidad delflujo de agua o aire. Las flechas muestran ladireccin y sus longitudes indican la rapidez.



y en probar los teoremas adecuados para estudiantes de clculo, aunque mencionamos temasms profundos o sutiles que ellos estudiarn en un curso ms avanzado. Nuestra organizacin y las distinciones entre tratamiento informal y formal dan al profesor un considerable grado deflexibilidad en la cantidad y la profundidad de cobertura de los diferentes temas. Por ejemplo,no demostramos el teorema del valor intermedio ni el teorema del valor extremo para funcionescontinuas en a # x # b, pero enunciamos dichos teoremas de manera muy precisa, ilustramossu significado en numerosos ejemplos y los utilizamos para demostrar otros resultados impor-tantes. Adems, para aquellos profesores que deseen una mayor profundidad, en el apndice 6estudiamos la validez de tales teoremas con base en la completez de los nmeros reales.

EJERCICIOS DE ESCRITURA Los ejercicios de escritura colocados en todo el texto piden a losestudiantes explicar una variedad de conceptos y variaciones del clculo. Adems, al final decada captulo se incluye una lista de preguntas para que revisen y sinteticen lo que aprendieron.Muchos de estos ejercicios son buenas tareas de redaccin.

REPASO Y PROYECTOS DE FINAL DE CAPTULO Adems de los problemas que aparecen encada seccin, cada captulo termina con preguntas de repaso, ejercicios de prctica que cubrentodo el captulo, y una serie de ejercicios adicionales y avanzados que sirven para incluir pro-blemas ms desafiantes o que sintetizan el conocimiento. La mayora de los captulos tambinincluyen descripciones de varios Proyectos de aplicacin tecnolgica, que pueden desarro-llarse de manera individual o por grupos en un periodo ms prolongado. Dichos proyectos re-quieren el uso de una computadora con Mathematica o Maple, y de material adicional, el cualest disponible en Internet en www.pearsoneducacion.net/thomas y en MyMathLab.

ESCRITURA Y APLICACIONES Como siempre, este texto contina siendo fcil de leer, puestiene un estilo conversacional al tiempo que es rico matemticamente. Cada nuevo tema seplantea mediante ejemplos claros y fciles de comprender; adems, el tema se refuerza me-diante aplicaciones a problemas del mundo real y de inters inmediato para los estudiantes. Unsello distintivo del libro han sido sus aplicaciones del clculo a la ciencia y la ingeniera. Estosproblemas aplicados se han actualizado, mejorado y ampliado de manera continua durante lasltimas ediciones.

TECNOLOGA En un curso que utilice el texto, la tecnologa puede incorporarse de acuer-do con el criterio de cada profesor. Cada seccin contiene ejercicios que requieren el uso detecnologa; si es pertinente el uso de una calculadora o una computadora, se incluye un sm-bolo en los ejercicios, o bien, stos se agrupan bajo el ttulo Exploraciones con compu-tadora si se requiere del uso de un sistema algebraico computacional (SAC, como Maple oMathematica).

Complementos multimedia y apoyo en lnea

MANUALES DE RECURSOS TECNOLGICOSMaple Manual de James Stapleton, North Carolina State University Mathematica Manual de Marie Vanisko, Carroll CollegeTI-Graphing Calculator Manual de Elaine McDonald-Newman, Sonoma State UniversityEstos manuales cubren Maple 13, Mathematica 7 y las TI-83 Plus/TI-84 Plus y TI-89, respec-tivamente. Cada manual ofrece una gua detallada para integrar un paquete especfico o unacalculadora graficadora a lo largo de todo el curso, incluyendo sintaxis y comandos. Los ma-nuales estn disponibles para profesores calificados a travs del Centro de Recursos para elProfesor de Pearson, www.pearsonhighered/irc y MyMathLab.

SITIO WEB www.pearsoneducacion.net/thomas El sitio Web de Clculo de Thomas contiene el captulo sobre ecuaciones de segundo orden, incluyendo las respuestas a problemas de nmero impar; adems, presenta las biografas his-tricas ampliadas y los ensayos a que hace referencia el texto. Tambin est disponible unacoleccin de mdulos en Maple y Mathematica, as como los Proyectos de aplicacin tecno-lgica, que pueden usarse como proyectos para los alumnos, ya sea que trabajen de manera in-dividual o por grupos.

T

xvi Prefacio



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Prefacio xvii



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Diapositivas de clases en PowerPointEstas diapositivas de presentaciones de clases fueron diseadas especficamente para la secuen-cia y filosofa de la serie de Clculo de Thomas. Se incluyen grficas clave del libro para ayudara hacer vvidos los conceptos en el saln de clases.

Manual de soluciones para el profesorEl Manual de soluciones para el profesor, de William Ardis, Collin County Community College,contiene soluciones completamente desarrolladas de todos los ejercicios del texto.

Agradecimientos

Queremos expresar nuestro agradecimiento a las personas que hicieron muchas e invaluablescontribuciones a esta edicin conforme se desarrollaba en sus diferentes etapas:

RevisoresBlaise DeSesaPaul LorczakKathleen PellissierLauri SemarneSarah StreettHolly Zullo

Revisores de la decimosegunda edicinMeighan Dillon, Southern Polytechnic State UniversityAnne Dougherty, University of ColoradoSaid Fariabi, San Antonio CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityTim Flood, Pittsburg State UniversityRick Ford, California State University, ChicoRobert Gardner, East Tennessee State UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyJoshua Brandon Holden, Rose-Hulman Institute of TechnologyAlexander Hulpke, Colorado State UniversityJacqueline Jensen, Sam Houston State University

xviii Prefacio



Jennifer M. Johnson, Princeton UniversityHideaki Kaneko, Old Dominion UniversityPrzemo Kranz, University of MississippiXin Li, University of Central FloridaMaura Mast, University of Massachusetts, BostonVal Mohanakumar, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusAaron Montgomery, Central Washington UniversityCynthia Piez, University of IdahoBrooke Quinlan, Hillsborough Community College, Dale Mabry CampusRebecca A. Segal, Virginia Commonwealth UniversityAndrew V. Sills, Georgia Southern UniversityAlex Smith, University of Wisconsin, Eau ClaireMark A. Smith, Miami UniversityDonald Solomon, University of Wisconsin, MilwaukeeBlake Thornton, Washington University in St. LouisDavid Walnut, George Mason UniversityAdrian Wilson, University of MontevalloBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts, Boston

Prefacio xix



660

INTRODUCCIN Para aplicar el clculo a muchas situaciones reales y en matemticas avan-zadas, necesitamos una descripcin matemtica del espacio tridimensional. En este captulopresentaremos los sistemas de coordenadas y los vectores tridimensionales. Con base en nues-tros conocimientos acerca de las coordenadas en el plano xy, estableceremos coordenadas en elespacio agregando un tercer eje que mide la distancia hacia arriba y hacia abajo del plano xy.Los vectores se usan para estudiar la geometra analtica del espacio, donde ofrecen manerassimples de describir lneas, planos, superficies y curvas en el espacio. Usaremos estas ideas geomtricas ms adelante para estudiar el movimiento en el espacio y el clculo de funcionesde varias variables, con diversas aplicaciones importantes en ciencias, ingeniera, economa ymatemticas avanzadas.

12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionalesPara localizar un punto en el espacio, utilizamos tres ejes coordenados mutuamente perpendicu-lares, dispuestos como en la figura 12.1. Los ejes all mostrados forman un sistema coordena-do diestro o de mano derecha. Cuando se sostiene la mano derecha de tal manera que los dedosmeique a ndice se curven del eje x positivo hacia al eje y positivo, el dedo pulgar apunta en la direccin del eje z positivo. As, cuando se mira hacia abajo al plano xy desde la direccinpositiva del eje z, los ngulos positivos en el plano se miden en el sentido contrario al de lasmanecillas del reloj, a partir del eje x positivo y alrededor del eje z positivo. (En un sistema decoordenadas de mano izquierda, el eje z positivo apuntara hacia abajo en la figura 12.1 y losngulos en el plano son positivos cuando se miden en el sentido de las manecillas del reloj apartir del eje x positivo. Los sistemas de coordenadas de mano derecha y mano izquierda noson equivalentes).

Las coordenadas cartesianas (x, y, z) de un punto P en el espacio son los valores en loscuales los planos que pasan por P, perpendiculares a los ejes, cortan los ejes. Las coordenadascartesianas del espacio tambin se llaman coordenadas rectangulares, porque los ejes que lasdefinen se cortan en ngulos rectos. Los puntos sobre el eje x tienen las coordenadas y y z iguala cero. Es decir, tienen coordenadas de la forma (x, 0, 0). De manera anloga, los puntos sobreel eje y tienen coordenadas de la forma (0, y, 0), y los puntos sobre el eje z tienen coordenadasde la forma (0, 0, z).

Los planos determinados por los ejes coordenados son el plano xy, cuya ecuacin estn-dar es z 5 0; el plano yz, cuya ecuacin estndar es x 5 0; y el plano xz, cuya ecuacin habi-tual es y 5 0. Estos planos se cortan en el origen (0, 0, 0) (figura 12.2). El origen tambin seidentifica simplemente como 0 o algunas veces por la letra O.

Los tres planos coordenados x 5 0, y 5 0 y z 5 0 dividen al espacio en ocho celdas lla-madas octantes. El octante en el cual todas las coordenadas de un punto son positivas se llamaprimer octante; no hay una numeracin convencional para la de los otros siete octantes.

Los puntos en un plano perpendicular al eje x tienen todos la misma coordenada x, que es el nmero correspondiente al punto donde el plano corta al eje x. Las coordenadas y y zpueden ser nmeros cualesquiera. De manera anloga, los puntos en un plano perpendicular al eje y tienen la misma coordenada y, y los puntos en un plano perpendicular al eje z tienenuna coordenada z comn. Para escribir las ecuaciones de estos planos, utilizamos el valor de la coordenada comn. El plano x 5 2 es el plano perpendicular al eje x en x 5 2. El plano

12LOS VECTORES Y LA GEOMETRADEL ESPACIO

z

x

(x, 0, 0)

(x, y, 0)

(x, 0, z)

(0, 0, z)

(0, y, z)

(0, y, 0)

x = constante

y = constante

z = constante

y

P(x, y, z)0

FIGURA 12.1 El sistema coordenadocartesiano sigue la convencin de la mano derecha.



12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 661

y 5 3 es el plano perpendicular al eje y en y 5 3. El plano z 5 5 es el plano perpendicular al eje z en z 5 5. La figura 12.3 muestra los planos x 5 2, y 5 3, y z 5 5, junto con su punto deinterseccin (2, 3, 5).

Los planos x 5 2 y y 5 3 de la figura 12.3 se intersecan en una recta paralela al eje z. Estarecta queda descrita por el par de ecuaciones x 5 2, y 5 3. Un punto (x, y, z) est en la recta siy slo si x 5 2 y y 5 3. De igual manera, la lnea de interseccin de los planos y 5 3, y z 5 5queda descrita por el par de ecuaciones y 5 3, z 5 5. Esta recta corre paralela al eje x. La rectade interseccin de los planos x 5 2 y z 5 5, paralela al eje y, queda descrita por el par de ecua-ciones x 5 2, z 5 5.

En los siguientes ejemplos relacionamos ecuaciones y desigualdades de coordenadas conlos conjuntos de puntos que definen en el espacio.

EJEMPLO 1 Interpretacin geomtrica de ecuaciones y desigualdades.

(a) El semiespacio que consta de los puntos que estn en y arriba del plano xy.

(b) El plano perpendicular al eje x en x 5 23. Este plano esparalelo al plano yz y est tres unidades atrs de l.

(c) El segundo cuadrante del plano xy.

(d) El primer octante.

(e) El bloque entre los planos y 5 21 y y 5 1 (con estosplanos incluidos).

(f) La recta donde se intersecan los planos y 5 22 y z 5 2. O bien, la recta paralela al eje x que pasa por el punto (0, 22, 2).

EJEMPLO 2 Qu puntos P(x, y, z) satisfacen la ecuacin

Solucin Los puntos estn en el plano horizontal z 5 3 y, en este plano, forman la cir-cunferencia x2 1 y2 5 4. A este conjunto de puntos lo llamamos la circunferencia x2 1y2 5 4 en el plano z 5 3 o, ms simplemente, la circunferencia x2 1 y2 5 4, z 5 3 (figura 12.4).

x2 + y2 = 4 y z = 3?

y = -2, z = 2

-1 y 1x 0, y 0, z 0z = 0, x 0, y 0

x = -3

z 0

FIGURA 12.2 Los planos x 5 0, y 5 0 y z 5 0 dividen alespacio en ocho octantes.

FIGURA 12.3 Los planos x 5 2, y 5 3 y z 5 5 deter-minan tres rectas que pasan por el punto (2, 3, 5).

z

plano yz: x 0

plano xz: y 0

plano xy: z 0

y

x

(0, 0, 0)

Origen

y

z

x

(0, 0, 5) (2, 3, 5)

(0, 3, 0)(2, 0, 0)

0

Recta y 3, z 5

Recta x 2, z 5

Plano y 3

Recta x 2, y 3

Plano z 5

Plano x 2

x

z

(0, 2, 0)

y(2, 0, 0)

(0, 2, 3)

La circunferenciax2 y2 4, z 3

El planoz 3

x2 y2 4, z 0

(2, 0, 3)

FIGURA 12.4 La circunferencia x2 1 y2 5 4en el plano z 5 3 (ejemplo 2).



Distancia y esferas en el espacio

La frmula para la distancia entre dos puntos en el plano xy se extiende a puntos en el espacio.

662 Captulo 12: Los vectores y la geometra del espacio

La distancia entre P1(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es

P1 P2 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 + sz2 - z1d2

Demostracin Construimos una caja rectangular con caras paralelas a los planos coorde-nados y los puntos P1 y P2 en esquinas opuestas de la caja (figura 12.5). Si A(x2, y1, z1) y B(x2, y2, z1) son los vrtices de la caja, como se indica en la figura, entonces las tres aristas de la caja P1A, AB, BP2 tienen longitudes

Como los tringulos P1BP2 y P1AB son tringulos rectngulos, dos aplicaciones del teorema de Pitgoras implican que

(vase figura 12.5).De manera que

Por lo tanto,

EJEMPLO 3 La distancia entre P1(2, 1, 5) y P2(22, 3, 0) es

Podemos usar la frmula de la distancia para escribir ecuaciones de esferas en el espacio(figura 12.6). Un punto P(x, y, z) est en la esfera de radio a con centro en P0(x0, y0, z0) exac-tamente cuando uP0P u 5 a, es decir,

sx - x0d2 + sy - y0d2 + sz - z0d2 = a2 .

= 245 L 6.708. = 216 + 4 + 25

P1 P2 = 2s-2 - 2d2 + s3 - 1d2 + s0 - 5d2

P1 P2 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 + sz2 - z1d2 = sx2 - x1d2 + sy2 - y1d2 + sz2 - z1d2 = x2 - x1 2 + y2 - y1 2 + z2 - z1 2 = P1 A 2 + AB 2 + BP2 2

P1 P2 2 = P1 B 2 + BP2 2

P1 P2 2 = P1 B 2 + BP2 2 y P1 B 2 = P1 A 2 + AB 2 P1 A = x2 - x1 , AB = y2 - y1 , BP2 = z2 - z1 .

Ecuacin en forma estndar de la esfera de radio a y centro en (x0, y0, z0)

sx - x0d2 + sy - y0d2 + sz - z0d2 = a2

EJEMPLO 4 Encuentre el centro y el radio de la esfera

Solucin Obtenemos el centro y el radio de una esfera del mismo modo en que encontramosel centro y radio de una circunferencia: si es necesario se completan los cuadrados de los tr-minos en x, y y z y se escribe cada expresin cuadrtica como el cuadrado de una expresin li-

x2 + y2 + z2 + 3x - 4z + 1 = 0.

FIGURA 12.5 Calculamos la distancia entreP1 y P2 aplicando el teorema de Pitgoras alos tringulos rectngulos P1AB y P1BP2.

x

z

y

0

P1(x1, y1, z1)

A(x2, y1, z1)

P2(x2, y2, z2)

B(x2, y2, z1)

Se sustituye P1 B 2 = P1 A 2 + AB 2 .

FIGURA 12.6 La esfera de radio a concentro en el punto (x0, y0, z0).

P0(x0, y0, z0) P(x, y, z)

a

y

z

0

x



12.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 663

neal. Luego, a partir de la forma estndar de la ecuacin, localizamos el centro y el radio. Paraesta esfera tenemos

A partir de la forma estndar de la ecuacin, vemos que x0 5 23y2, y0 5 0, z0 5 2 y a 5 y2. El centro es (23y2, 0, 2). El radio es y2.

EJEMPLO 5 He aqu algunas interpretaciones geomtricas de desigualdades y ecuacionesque implican esferas.

(a) El interior de la esfera x2 1 y2 1 z2 5 4.

(b) La bola slida acotada por la esfera x2 1 y2 1 z2 5 4.O bien, la esfera x2 1 y2 1 z2 5 4 junto con su in-terior.

(c) El exterior de la esfera x2 1 y2 1 z2 5 4.

(d) El hemisferio inferior obtenido al cortar la esfera x2 1 y2 1 z2 5 4 con el plano xy (el plano z 5 0).

As como las coordenadas polares nos ofrecen otra manera de localizar puntos en el pla-no xy (seccin 11.3), existen otros sistemas coordenados para espacios tridimensionales, di-ferentes de los sistemas cartesianos aqu desarrollados. Estudiaremos dos de estos sistemas coordenados en la seccin 15.7.

x2 + y2 + z2 = 4, z 0x2 + y2 + z2 7 4

x2 + y2 + z2 4x2 + y2 + z2 6 4

221221

ax + 32b2 + y2 + sz - 2d2 = -1 + 9

4+ 4 = 21

4.

ax2 + 3x + a32b2b + y2 + az2 - 4z + a-4

2b2b = -1 + a3

2b2 + a-4

2b2

sx2 + 3xd + y2 + sz2 - 4zd = -1 x2 + y2 + z2 + 3x - 4z + 1 = 0

Ejercicios 12.1

Interpretacin geomtrica de ecuacionesEn los ejercicios 1 a 16, proporcione descripciones geomtricas del con-junto de puntos en el espacio cuyas coordenadas satisfacen los pares deecuaciones que se indican.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16. z = y2, x = 1

y = x2, z = 0

x2 + y2 + z2 = 4, y = x

x2 + y2 = 4, z = y

x2 + s y - 1d2 + z2 = 4, y = 0

x2 + y2 + sz + 3d2 = 25, z = 0

x2 + y2 + z2 = 25, y = -4

x2 + y2 + z2 = 1, x = 0

y2 + z2 = 1, x = 0x2 + z2 = 4, y = 0

x2 + y2 = 4, z = -2x2 + y2 = 4, z = 0

x = 1, y = 0y = 0, z = 0

x = -1, z = 0x = 2, y = 3

Interpretacin geomtrica de ecuaciones y desigualdadesEn los ejercicios 17 a 24, describa el conjunto de puntos en el espaciocuyas coordenadas satisfacen las desigualdades o combinaciones de ecua-ciones y desigualdades que se indican.

17. a. b.

18. a. b.

c.

19. a. b.

20. a. b.

c.

21. a.

b.

22. a. b.

23. a. b.

24. a.

b. z = y3, x = 2

z = 1 - y, sin restriccin para x

x y2, 0 z 2y x2, z 0

x = y, sin restriccin para zx = y, z = 0

x2 + y2 + z2 1, z 0

1 x2 + y2 + z2 4

x2 + y2 1, sin restriccin para z

x2 + y2 1, z = 3x2 + y2 1, z = 0

x2 + y2 + z2 7 1x2 + y2 + z2 1

0 x 1, 0 y 1, 0 z 1

0 x 1, 0 y 10 x 1

x 0, y 0, z = 0x 0, y 0, z = 0



En los ejercicios 25 a 34 describa el conjunto dado con una ecuacin o con un par de ecuaciones.

25. El plano perpendicular a

a. el eje x en (3, 0, 0) b. el eje y en (0, 21, 0)

c. el eje z en (0, 0, 22)

26. El plano que pasa por el punto (3, 21, 2) perpendicular a

a. el eje x b. el eje y c. el eje z

27. El plano que pasa por el punto (3, 21, 1) paralelo a

a. el plano xy b. el plano yz c. el plano xz

28. La circunferencia de radio 2 con centro en (0, 0, 0) y que est en


29. La circunferencia de radio 2 con centro en (0, 2, 0) y que est en

a. el plano xy b. el plano yz c. el plano

30. La circunferencia de radio 1 con centro en (23, 4, 1) y que est en un plano paralelo a


31. La recta que pasa por el punto (1, 3, 21) paralela a

a. el eje x b. el eje y c. el eje z

32. El conjunto de puntos en el espacio equidistantes del origen y delpunto (0, 2, 0)

33. La circunferencia donde el plano perpendicular al eje z y que pasa porel punto (1, 1, 3) corta a la esfera de radio 5 con centro en el origen

34. El conjunto de puntos en el espacio que estn a 2 unidades del punto(0, 0, 1) y, al mismo tiempo, a 2 unidades del punto (0, 0, 21)

Desigualdades para describir conjuntos de puntosEscriba las desigualdades que determinan a los conjuntos de puntos dadosen los ejercicios 35 a 40.

35. El bloque limitado por los planos z 5 0 y z 5 1 (incluidos los planos)

36. El cubo slido en el primer octante, limitado por los planos coordena-dos y los planos x 5 2, y 5 2 y z 5 2

37. El semiespacio que consiste en los puntos que se encuentran en ydebajo del plano xy

38. El hemisferio superior de la esfera de radio 1 con centro en el origen

39. (a) El interior y (b) el exterior de una esfera de radio 1 con centro enel punto (1, 1, 1)

40. La regin cerrada acotada por las esferas de radio 1 y 2 con centro en el origen. (Cerrada significa que las esferas estn incluidas. Siquisiramos no incluir a las esferas, habramos pedido la reginabierta acotada por las esferas. Esto es similar a la manera en que usamos cerrado y abierto para describir intervalos: cerrado significaque se incluyen los extremos y abierto indica que no se incluyen los extremos. Los conjuntos cerrados incluyen a sus fronteras y losabiertos las excluyen).

DistanciaEn los ejercicios 41 a 46, calcule la distancia entre los puntos P1 y P2.

41.

42.

43. P2s4, -2, 7dP1s1, 4, 5d,

P2s2, 5, 0dP1s-1, 1, 5d,

P2s3, 3, 0dP1s1, 1, 1d,

y = 2


44.

45.

46.

EsferasDetermine los centros y los radios de las esferas en los ejercicios 47 a 50.

47.

48.

49.

50.

Obtenga las ecuaciones de las esferas cuyos centros y radios se indican en los ejercicios 51 a 54.

Centro Radio

51. (1, 2, 3)

52. 2

53.

54. 7

Determine los centros y los radios de las esferas en los ejercicios 55 a 58.

55.

56.

57.

58.

Teora y ejemplos

59. Determine una frmula para la distancia del punto P(x, y, z) al

a. eje x b. eje y c. eje z

60. Determine una frmula para la distancia del punto P(x, y, z) al

a. plano xy b. plano yz c. plano xz

61. Obtenga el permetro del tringulo con vrtices A(21, 2, 1), B(1, 21, 3), y C(3, 4, 5).

62. Demuestre que el punto P(3, 1, 2) es equidistante de los puntos A(2, 21, 3) y B(4, 3, 1).

63. Obtenga una ecuacin para el conjunto de todos los puntos equidis-tantes de los planos y 5 3 y y 521.

64. Determine una ecuacin para el conjunto de todos los puntos equi-distantes del punto (0, 0, 2) y del plano xy.

65. Encuentre el punto en la esfera x2 1 (y 2 3)2 1 (z 1 5)2 5 4 ms cercano

a. al plano xy b. al punto (0, 7, 25).

66. Encuentre un punto equidistante de los puntos (0, 0, 0), (0, 4, 0), (3, 0, 0), y (2, 2, 23).

3x2 + 3y2 + 3z2 + 2y - 2z = 9

2x2 + 2y2 + 2z2 + x + y + z = 9

x2 + y2 + z2 - 6y + 8z = 0

x2 + y2 + z2 + 4x - 4z = 0

s0, -7, 0d

49

a-1, 12

, - 23b

s0, -1, 5d214

x2 + ay + 13b2 + az - 1

3b2 = 16

9

Ax - 22 B2 + Ay - 22 B2 + Az + 22 B2 = 2sx - 1d2 + ay + 1

2b2 + sz + 3d2 = 25

sx + 2d2 + y2 + sz - 2d2 = 8

P2s0, 0, 0dP1s5, 3, -2d,

P2s2, -2, -2dP1s0, 0, 0d,

P2s2, 3, 4dP1s3, 4, 5d,



12.2 Vectores 665

12.2 VectoresAlgunos de los factores que medimos estn determinados simplemente por sus magnitudes. Porejemplo, para registrar la masa, la longitud o el tiempo slo necesitamos escribir un nmero yel nombre de la unidad de medida apropiada. Para describir una fuerza, un desplazamiento ouna velocidad necesitamos ms informacin. En el caso de una fuerza, necesitamos registrar ladireccin en la cual acta, as como su magnitud. Para describir el desplazamiento de uncuerpo, tenemos que decir en qu direccin se movi y qu tan lejos. Para describir la veloci-dad de un cuerpo debemos saber hacia dnde se dirige el cuerpo, as como la rapidez con queest viajando. En esta seccin mostraremos cmo representar, en el plano o en el espacio, ele-mentos que tienen tanto magnitud como direccin.

Componentes

Una cantidad como una fuerza, un desplazamiento o una velocidad se llama vector y se repre-senta por medio de un segmento de recta dirigido (figura 12.7). La flecha apunta en la direc-cin de la accin, y su longitud representa la magnitud de la accin en trminos de una unidadapropiada. Por ejemplo, el vector de fuerza apunta en la direccin en la cual acta la fuerza, ysu longitud es una medida de la intensidad de la fuerza; un vector de velocidad apunta en la di-reccin del movimiento y su longitud es la rapidez del objeto mvil. La figura 12.8 muestra elvector de velocidad v en una posicin especfica para una partcula que se desplaza a lo largode una trayectoria en el plano o en el espacio. (Esta aplicacin de los vectores se estudia en elcaptulo 13).

Las flechas que usamos para trazar vectores representan al mismo vector si tienen lamisma longitud, son paralelas y apuntan en la misma direccin (figura 12.9) sin importar supunto inicial.

En los libros de texto, los vectores se denotan normalmente con letras minsculas ennegritas, por ejemplo, u, v y w. Algunas veces usamos letras maysculas en negritas, como F,para representar un vector de fuerza. Cuando se usan cursivas, se acostumbra escribir pequeasflechas encima de las letras, por ejemplo y

Necesitamos una manera para representar algebraicamente los vectores, de manera quepodamos precisar su direccin. Sea Existe un segmento de recta dirigido igual a cuyo punto inicial es el origen (figura 12.10). sta es la representacin de v en posicin estn-dar y es el vector que normalmente usamos para representar a v. Podemos especificar a v escri-

PQ1v = PQ1 .

Fs .ws,ys,us,

DEFINICIONES Un vector es un segmento de recta dirigido. El segmento de rectadirigido tiene un punto inicial A y un punto final B, y su longitud o magnitud serepresenta por Dos vectores son iguales cuando tienen la misma longitud ydireccin.

AB1 .AB1

FIGURA 12.7 El segmento de recta dirigidose llama vector.

Punto inicial

Punto final

A

B

AB

x

y

O

A

P

D

C

F

E

B

FIGURA 12.9 Las cuatro flechas en el plano(segmentos de recta dirigidos) mostradas aqutienen la misma longitud y direccin. Por lotanto, representan al mismo vector, por lo que escribimos AB

1 = CD1 = OP1 = EF1 .

x

z

y

0

P(x1, y1, z1)

Q(x2, y2, z2)

(v1, v2, v3)Posicin del vectorde PQ

v v1, v2, v3 v3

v1v2

FIGURA 12.10 Un vector en posicinestndar tiene su punto inicial en el origen.Los segmentos de recta dirigidos y vson paralelos y tienen la misma longitud.

PQ1

PQ1

x

y

y

z

00

x

v v

(a) Dos dimensiones (b) Tres dimensionesFIGURA 12.8 El vector de velocidad de una partcula que se desplaza a lolargo de una trayectoria (a) en el plano (b) en el espacio. La punta de la flechasobre la trayectoria indica la direccin del movimiento de la partcula.



biendo las coordenadas de su punto final (v1, v2, v3) cuando v est en posicin estndar. Si v esun vector en el plano, su punto final (v1, v2) tiene dos coordenadas.


DEFINICIN

Si v es un vector bidimensional en el plano igual al vector con punto inicial en elorigen y punto final (v1, v2), entonces la expresin de v en componentes es

Si v es un vector tridimensional igual al vector con punto inicial en el origen ypunto final (v1, v2, v3), entonces la expresin de v en componentes es

v = 8v1, v2 , v39 .

v = 8v1, v29 .

Por lo tanto, un vector bidimensional es un par ordenado v 5 8v1, v29 de nmeros reales, yun vector tridimensional es una terna ordenada v 5 8v1, v2, v39 de nmeros reales. Los nmerosv1, v2 y v3 son los componentes de v.

Si v 5 8v1, v2, v39, se representa por el segmento de recta dirigido donde el punto ini-cial es P(x1, y1, z1) y el punto final es Q 5 (x2, y2, z2), entonces x1 1 v1 5 x2, y1 1 v2 5 y2, y z11 v35 z2, (vase la figura 12.10). Por lo tanto, v15 x22 x1, v25 y22 y1 y v35 z22 z1 sonlos componentes de

En resumen, dados los puntos P(x1, y1, z1) y Q5 (x2, y2, z2), el vector en posicin estndarv 5 (v1, v2, v3) igual a es

Si v es el vector bidimensional con P(x1, y1) y Q 5 (x2, y2) como puntos en el plano, entonces v 5 (x2 2 x1, y2 2 y1). No hay un tercer componente para vectores en el plano. Con esto enmente desarrollaremos el lgebra de los vectores tridimensionales y simplemente eliminaremosel tercer componente cuando se trate de vectores bidimensionales (un vector en el plano).

Dos vectores son iguales si y slo si sus vectores en posicin estndar son idnticos. Demanera que 8u1, u2, u39 y 8v1, v2, v39 son iguales si y slo si u1 5 v1, u2 5 v2 y u3 5 v3.

La magnitud o longitud del vector es la longitud de cualquiera de sus representacionescomo segmento de recta dirigido. En particular, si v 5 8x2 2 x1, y2 2 y1, z2 2 z19 es el vector en posicin estndar para entonces la frmula para la distancia proporciona la magnitud

o longitud de v, representada por el smbolo uvu o v .PQ1

,

PQ1

v = 8x2 - x1, y2 - y1, z2 - z19 .PQ1

PQ1

.

PQ1

,

La magnitud o longitud del vector es el nmero no negativo

(vase la figura 12.10).

v = 2v12 + v22 + v32 = 2sx2 - x1d2 + s y2 - y1d2 + sz2 - z1d2v = PQ1

El nico vector con longitud 0 es el vector cero 0 5 80, 09 o 0 5 80, 0, 09. Este vector tambin es el nico sin direccin especfica.

EJEMPLO 1 Determine (a) los componentes y (b) la longitud del vector con punto inicial enP(23, 4, 1) y punto terminal Q(25, 2, 2).

Solucin

(a) El vector en posicin cannica v que representa a tiene componentes

v1 = x2 - x1 = -5 - s-3d = -2, v2 = y2 - y1 = 2 - 4 = -2,PQ1



12.2 Vectores 667

y

La expresin en componentes es

(b) La longitud o magnitud de es

EJEMPLO 2 Se tira de un carrito a lo largo de un suelo liso horizontal con una fuerza F de 20 libras que forma un ngulo de 45 con el suelo (figura 12.11). Cul es la fuerza efectivaque mueve el carrito hacia delante?

Solucin La fuerza efectiva es el componente horizontal de F 5 8a, b9, dado por

Note que F es un vector bidimensional.

Operaciones algebraicas con vectores

Dos operaciones fundamentales que pueden realizarse con vectores son la suma de vectoresy la multiplicacin por un escalar. Un escalar es simplemente un nmero real y se llama ascuando queremos resaltar su diferencia en relacin con los vectores. Los escalares pueden serpositivos, negativos o cero y se usan para escalar un vector multiplicndolo.

a = F cos 45 = s20d a222 b L 14.14 lb .

v = 2s-2d2 + s-2d2 + s1d2 = 29 = 3.v = PQ1

v = 8-2, -2, 19 .PQ1

v3 = z2 - z1 = 2 - 1 = 1.

DEFINICIONES Sean u 5 8u1, u2, u39 y v 5 8v1, v2, v39 vectores y k un escalar.

Multiplicacin escalar: ku = 8ku1, ku2 , ku39Suma: u + v = 8u1 + v1, u2 + v2 , u3 + v39

La suma de vectores se realiza sumando los componentes correspondientes de los vec-tores. Multiplicamos un vector por un escalar haciendo el producto de cada componente por elescalar. Las definiciones se aplican de manera similar a los vectores en el plano, slo que stostienen nicamente dos componentes 8u1, u29 y 8v1, v29.

La definicin de la suma de vectores en el plano se ilustra geomtricamente en la figura12.12a, donde el punto inicial de un vector se coloca en el punto final del otro. Otra inter-pretacin se muestra en la figura 12.12b (llamada la ley del paralelogramo de la suma), donde

u1 v1, u2 v2

v2

v1

u2

u1

u

vu + v

x

y

(a)

u

v

u + v

x

y

(b)0 0

FIGURA 12.12 (a) Interpretacin geomtrica de la suma de vectores. (b) La ley del paralelogramopara la suma de vectores.

x

y

45

F = a, b

FIGURA 12.11 La fuerza que tira delcarrito hacia delante se representa por elvector F cuyo componente horizontal es la fuerza efectiva (ejemplo 2).



la suma, llamada el vector resultante, es la diagonal del paralelogramo. En fsica, las fuerzasse suman vectorialmente, al igual que las velocidades, las aceleraciones, etctera. As, la fuerzaque acta sobre una partcula sujeta a fuerzas elctricas y gravitacionales se obtiene sumandolos dos vectores de fuerza.

En la figura 12.13 se muestra la interpretacin geomtrica del producto ku del escalar kpor el vector u. Si k . 0, entonces ku tiene la misma direccin que u; si k , 0, entonces la di-reccin de ku es opuesta a la direccin de u. Comparando las longitudes de u y ku, vemos que

La longitud de ku es igual al producto del valor absoluto del escalar k por la longitud de u. Elvector (21)u 52u tiene la misma longitud de u, pero apunta en la direccin opuesta.

La diferencia u 2 v de dos vectores est definida por

Si u 5 8u1, u2, u39 y v 5 8v1, v2, v39, entonces

.

Observe que (u 2 v) 1 v 5 u, de manera que sumando el vector (u 2 v) a v se obtiene u(figura 12.14a). La figura 12.14b muestra la diferencia u2 v como la suma u 1 (2v).

EJEMPLO 3 Sean u 5 821, 3, 19 y v 5 84, 7, 09. Obtenga los componentes de

(a) (b) (c)

Solucin

(a)

(b)

(c)

Las operaciones vectoriales tienen muchas de las propiedades de la aritmtica ordinaria.

= 12

211. ` 12

u ` = ` h- 12

, 32

, 12i ` = C a-

12b2 + a3

2b2 + a1

2b2

= 8-1 - 4, 3 - 7, 1 - 09 = 8-5, -4, 19u - v = 8-1, 3, 19 - 84, 7, 09= 8-2, 6, 29 + 812, 21, 09 = 810, 27, 29 2u + 3v = 28-1, 3, 19 + 384, 7, 09

` 12

u ` .u - v2u + 3v

u - v = 8u1 - v1, u2 - v2, u3 - v39

u - v = u + s-vd .

= 2k22u12 + u22 + u32 = k u . ku = 2sku1d2 + sku2d2 + sku3d2 = 2k2su12 + u22 + u32d


Propiedades de las operaciones con vectoresSean u, v, y w vectores, y a y b escalares.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. sa + bdu = au + buasu + vd = au + avasbud = sabdu1u = u0u = 0u + s-ud = 0u + 0 = usu + vd + w = u + sv + wdu + v = v + u

Estas propiedades se verifican fcilmente usando las definiciones de suma de vectores ymultiplicacin por un escalar. Por ejemplo, para establecer la propiedad 1, tenemos

= v + u. = 8v1, v2, v39 + 8u1, u2, u39 = 8v1 + u1, v2 + u2, v3 + u39 = 8u1 + v1, u2 + v2, u3 + v39

u + v = 8u1, u2, u39 + 8v1, v2, v39

u

1.5u

2u 2u

FIGURA 12.13 Mltiplos escalares de u.

u

v

u v

(a)

u

v

v

u (v)

(b)FIGURA 12.14 (a) El vector u2 v,sumando a v, da u. (b) u2 v 5 u 1 (2v).



12.2 Vectores 669

Cuando tres o ms vectores en el espacio se encuentran en el mismo plano, decimos queson vectores coplanares. Por ejemplo, los vectores u, v y u 1 v siempre son coplanares.

Vectores unitarios

Un vector v de longitud 1 se llama vector unitario. Los vectores unitarios estndar (o can-nicos) son

Cualquier vector v 5 8v1, v2, v39 se puede escribir como una combinacin lineal de los vectoresunitarios estndar de la siguiente manera:

Llamamos al escalar (o nmero) v1 el componente en i del vector v, a v2 el componente en j, y a v3 el componente en k. La expresin en componentes del vector de P1(x1, y1, z1) aP2(x2, y2, z2) es

P1P2

(figura 12.15).Siempre que v Z 0, su longitud uvu no es cero y

Es decir, vyuvu es un vector unitario en la direccin de v, llamado la direccin del vector nonulo v.

EJEMPLO 4 Obtenga el vector unitario u en la direccin del vector de P1(1, 0, 1) a P2(3, 2, 0).

Solucin Dividimos entre su longitud:

El vector unitario u es la direccin de

EJEMPLO 5 Si v 5 3i 2 4j es un vector de velocidad, exprese v como el producto de su rapidez por un vector unitario en la direccin del movimiento.

Solucin La rapidez es la magnitud (longitud) de v:

El vector unitario vyuvu tiene la misma direccin de v:

v

v =

3i - 4j5

= 35

i - 45

j .

v = 2s3d2 + s-4d2 = 29 + 16 = 5.

P1P21

.

u =P1P21

P1P21

=2i + 2j - k

3= 2

3 i + 2

3 j - 1

3 k .

P1P21 = 2s2d2 + s2d2 + s-1d2 = 24 + 4 + 1 = 29 = 3 P1P21 = s3 - 1di + s2 - 0dj + s0 - 1dk = 2i + 2j - k

P1P21

` 1 v

v ` = 1 v

v = 1.

1 = sx2 - x1di + s y2 - y1dj + sz2 - z1dk

= v1 i + v2 j + v3 k .

= v181, 0, 09 + v280, 1, 09 + v380, 0, 19 v = 8v1, v2, v39 = 8v1, 0, 09 + 80, v2, 09 + 80, 0, v39

i = 81, 0, 09, j = 80, 1, 09, y k = 80, 0, 19 .

BIOGRAFA HISTRICA

Hermann Grassmann(18091877)

y

z

O

k

x

ij

P2(x2, y2, z2)

OP2 x2i y2j z2k

P1P2

P1(x1, y1, z1)OP1 x1i y1j z1k

FIGURA 12.15 El vector de P1 a P2 es

sz2 - z1dk.s y2 - y1dj +P1P2

1 = sx2 - x1di +



Entonces

En resumen, podemos expresar cualquier vector no nulo v en trminos del producto de sus dos

caractersticas fundamentales, longitud y direccin, escribiendo v = v v v

.

v = 3i - 4j = 5 a35

i - 45

jb(')'*

.


Longitud(rapidez)

Direccin del movimiento

Si v Z 0, entonces

1. es un vector unitario en la direccin de v;

2. La ecuacin expresa a v en trminos de su longitud y direccin.v = v v v

v v

EJEMPLO 6 Se aplica una fuerza de 6 newtons en la direccin del vector v 5 2i 1 2j 2 k.Exprese la fuerza F como el producto de su magnitud y direccin.

Solucin El vector de fuerza tiene magnitud 6 y direccin entonces

Punto medio de un segmento de recta

Los vectores a menudo son tiles en geometra. Por ejemplo, las coordenadas del punto mediode un segmento de recta se determinan promediando.

= 6 a23

i + 23

j - 13

kb .

F = 6 v v

= 6 2i + 2j - k

222 + 22 + s-1d2 = 6 2i + 2j - k

3

v

v ,

El punto medio M del segmento de recta que une los puntos P(x1, y1, z1) y P2(x2, y2, z2) es el punto

ax1 + x22

, y1 + y2

2,

z1 + z22

b .

Para comprender por qu, observe la figura 12.16, donde

EJEMPLO 7 El punto medio del segmento que une P1(3, 22, 0) y P2(7, 4, 4) es

a3 + 72

, -2 + 4

2,

0 + 42b = s5, 1, 2d .

=x1 + x2

2 i +

y1 + y22

j +z1 + z2

2 k .

= 12

sOP1 1 + OP1 2d OM1 = OP1 1 + 12 sP1P2

1 d = OP1 1 + 12 sOP1

2 - OP1

1d

O

P1(x1, y1, z1)

P2(x2, y2, z2)

Mx1 x2

2z1 z2

2y1 y2

2, ,

FIGURA 12.16 Las coordenadas del puntomedio son los promedios de las coordenadasde P1 y P2.



12.2 Vectores 671

Aplicaciones

Una aplicacin importante de los vectores se da en la navegacin.

EJEMPLO 8 Un avin comercial, que vuela hacia el este a 500 millas por hora con cielo despejado, encuentra un viento de cola de 70 millas por hora soplando en direccin 60 alnoreste. El avin mantiene el rumbo hacia el este, pero, debido al viento, adquiere una nuevarapidez y direccin con respecto al suelo. Cules son la rapidez y direccin?

Solucin Si u 5 la velocidad del avin solamente y v 5 la velocidad del viento de cola, entonces uuu 5 500 y uvu 5 70 (figura 12.17). La velocidad del avin con respecto al suelo est dada por la magnitud y direccin del vector resultante u 1 v. Si el eje x positivo represen-ta la direccin este y el eje y positivo representa la direccin norte, entonces los componentesde u y v son

Por lo tanto,

y

Figura 12.17

La nueva rapidez del avin con respecto al suelo es de alrededor de 538.4 millas por hora, y su nueva direccin es de aproximadamente 6.5 al noreste.

Otra aplicacin importante se da en fsica e ingeniera, cuando varias fuerzas actan sobreun objeto simple.

EJEMPLO 9 Un peso de 75 newtons (N) est suspendido por dos alambres, como se muestraen la figura 12.18a. Obtenga las fuerzas F1 y F2 que actan en ambos alambres.

Solucin Los vectores de fuerza F1 y F2 tienen magnitudes uF1u y uF2u y componentes que se miden en newtons. La fuerza resultante es la suma F1 1 F2 y debe ser igual en magnitud y actuar en direccin opuesta (hacia arriba) al vector de peso w (figura 12.18b). A partir de la figura se deduce que

y

Puesto que F1 1 F2 5 80, 759, el vector resultante lleva al sistema de ecuaciones

Al despejar uF2u en la primera ecuacin y sustituir el resultado en la segunda, tenemos

y

Por lo tanto,

F1 =75

sen 55 + cos 55 tan 40 L 57.67 N,

F1 sen 55 + F1 cos 55

cos 40 sen 40 = 75. F2 =

F1 cos 55cos 40

F1 sen 55 + F2 sen 40 = 75.

- F1 cos 55 + F2 cos 40 = 0

F2 = 8 F2 cos 40, F2 sen 409.F1 = 8- F1 cos 55, F1 sen 559

u = tan-1 3523535

L 6.5.

u + v = 25352 + s3513d2 L 538.4 u + v = 8535, 35239 = 535i + 3523 j

u = 8500, 09 y v = 870 cos 60, 70 sen 609 = 835, 35239 .

F1F240

75

40

55

55

(a)

(b)

F1F2 F2

F1

4055

F F1 F2 80, 759

w 80, 759

FIGURA 12.18 El peso suspendido delejemplo 9.

E

N

u

v

u v3070

500

NO EST A ESCALA

FIGURA 12.17 Los vectores que repre-sentan las velocidades del avin u y el viento de cola v del ejemplo 8.



yLos vectores de fuerza son F1 5 8233.08, 47.249 y F2 5 833.08, 27.769.

= 75 cos 55sens55 + 40d

L 43.18 N.

F2 =75 cos 55

sen 55 cos 40 + cos 55 sen 40


Ejercicios 12.2

Vectores en el planoEn los ejercicios 1 a 8, u 5 83, 229 y v 5 822, 59. Determine (a) los com-ponentes y (b) la magnitud (longitud) del vector indicado.

1. 3u 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 a 16, obtenga los componentes del vector.

9. El vector donde P 5 (1, 3) y Q 5 (2, 21)

10. El vector donde O es el origen y P es el punto medio del seg-mento RS, donde R 5 (2, 21) y S 5 (24, 3)

11. El vector del punto A 5 (2, 3) al origen

12. La suma de y donde A 5 (1, 21), B 5 (2, 0), C 5 (21, 3), y D 5 (22, 2)

13. El vector unitario que forma un ngulo u 5 2py3 con el eje x positivo

14. El vector unitario que forma un ngulo u 5 23py4 con el eje x positivo

15. El vector unitario obtenido al girar el vector 80, 19 120 en sentidocontrario a las manecillas del reloj en torno al origen

16. El vector unitario obtenido al girar el vector 81, 09 135 en sentidocontrario a las manecillas del reloj en torno al origen

Vectores en el espacioEn los ejercicios 17 a 22, exprese cada vector en la forma

v 5 v1i 1 v2j 1 v3k.

17. si P1 es el punto (5, 7, 21) y P2 es el punto (2, 9, 22)

18. si P1 es el punto (1, 2, 0) y P2 es el punto (23, 0, 5)

19. si A es el punto (27, 28, 1) y B es el punto (210, 8, 1)

20. si A es el punto (1, 0, 3) y B es el punto (21, 4, 5)

21. 5u 2 v si u 5 81, 1, 219 y v 5 82, 0, 39

22. 22u 1 3v si u 5 821, 0, 29 y v 5 81, 1, 19

AB1AB1P1P21

P1P21

CD1

,AB1

OP1PQ1

,

- 513

u + 1213

v35

u + 45

v

-2u + 5v2u - 3vu - vu + v-2v

Representaciones geomtricasEn los ejercicios 23 y 24, copie los vectores u, v y w con punto inicial y final conforme se requiera para dibujar el vector indicado.

23.

a. b.

c. d.

24.

a. b.

c. d.

Longitud y direccinEn los ejercicios 25 a 30, exprese cada vector como producto de su lon-gitud y direccin.

25. 26.

27. 5k 28.

29. 30.i

23 +j

23 +k

231

26 i -1

26 j -1

26 k

35

i + 45

k

9i - 2j + 6k2i + j - 2k

u + v + w2u - vu - v + wu - v

u

w

v

u - wu - vu + v + wu + v

v

w

u



12.2 Vectores 673

31. Determine los vectores con las longitudes y direcciones dadas. In-tente hacer los clculos mentalmente.

Longitud Direccin

a. 2 i

b.

c.

d. 7

32. Obtenga los vectores con las longitudes y direcciones dadas. Intentehacer los clculos mentalmente.

Longitud Direccin

a. 7

b.

c.

d.

33. Determine un vector de magnitud 7 en la direccin de v 5 12i 2 5k.

34. Obtenga un vector de magnitud 3 en direccin opuesta a la direccinde v 5 (1y2)i 2 (1y2)j 2 (1y2)k.

Direccin y puntos mediosEn los ejercicios 35 a 38, determine

a. La direccin de y

b. El punto medio del segmento de recta P1P2.

35.

36.

37.

38.

39. Si 5 i 1 4j 2k y B es el punto (5, 1, 3), obtenga A.

40. Si 527i 1 3j 1 8k y A es el punto (22, 23, 6), obtenga B.

Teora y aplicaciones41. Combinacin lineal Si u5 2i1 j, v5 i1 j, y w5 i2 j, obtenga

los escalares a y b tales que u 5 av 1 bw.

42. Combinacin lineal Si u 5 i 2 2j, v 5 2i 1 3j, y w 5 i 1 j, es-criba u 5 u1 1 u2, donde u1 sea paralelo a v y u2 sea paralelo a w.(Vase el ejercicio 41).

43. Velocidad Un avin vuela en direccin 25 al oeste del norte a 800 kmyh. Determine la forma en componentes de la velocidad del avin, suponiendo que el eje x positivo representa el rumbo este y el eje y positivo representa el rumbo norte.

44. (Continuacin del ejemplo 8) Qu rapidez y direccin debe tener el avin del ejemplo 8 para que el vector resultante sea de 500 millaspor hora hacia el este?

45. Considere un peso de 100 N suspendido de dos alambres como semuestra en la siguiente figura. Obtenga las magnitudes y los com-ponentes de los vectores de fuerza F1 y F2.

AB1AB1

P2s2, -2, -2dP1s0, 0, 0d

P2s2, 3, 4dP1s3, 4, 5d

P2s4, -2, 7dP1s1, 4, 5d

P2s2, 5, 0dP1s-1, 1, 5d

P1P21

1

22 i +1

23 j -1

26 ka 7 0

313

i - 413

j - 1213

k1312

- 35

i - 45

k22- j

67

i - 27

j + 37

k

35

j + 45

k12

-k2346. Considere un peso de 50 N suspendido de dos alambres, como se

muestra en la figura. Si la magnitud del vector F1 es de 35 N, obten-ga el ngulo a y la magnitud del vector F2.

47. Considere un peso de w-N suspendido de dos alambres, como semuestra en la figura. Si la magnitud del vector F2 es 100 N, de-termine w y la magnitud del vector F1.

48. Considere un peso de 25 N suspendido de dos alambres, como seilustra en la figura. Si las magnitudes de los vectores F1 y F2 son ambas de 75 N, entonces los ngulos a y b son iguales. Obtenga a.

49. Ubicacin Un pjaro vuela desde su nido 5 km en direccin de 60 al noreste, donde se detiene a descansar en un rbol. Luego vuela10 km en direccin hacia el suroeste y se detiene en un poste tele-fnico. Utilice un sistema de coordenadas xy de manera que el ori-gen est en el nido del pjaro, el eje x apunte hacia el este y el eje yapunte hacia el norte.

a. En qu punto se ubica el rbol?

b. En qu punto se localiza el poste de telfono?

50. Use tringulos semejantes para obtener las coordenadas del punto Qque divide al segmento de P1(x1, y1, z1) a P2(x2, y2, z2) en dos tramos,cuya razn es pyq 5 r.

51. Medianas de un tringulo Suponga que A, B y C son las esquinasde una delgada placa triangular de densidad constante como se mues-tra en la figura.

a. Obtenga el vector que va desde C al punto medio de M del lado AB.

b. Determine el vector que va desde C al punto que est sobre lamediana CM, a dos tercios de la distancia de C a M.

F1 F2

25

a b

F1 F2

35

w

40

F1F2

60a

50

F1 F2

45

100

30



c. Obtenga las coordenadas del punto donde se cortan las medianasdel DABC. De acuerdo con el ejercicio 17 de la seccin 6.6, estepunto es el centro de masa de la placa.

52. Determine el vector del origen al punto de interseccin de las media-nas del tringulo cuyos vrtices son

As1, -1, 2d, Bs2, 1, 3d, y Cs-1, 2, -1d .

z

y

x

c.m.

M

C(1, 1, 3)

B(1, 3, 0)

A(4, 2, 0)


53. Sea ABCD un cuadriltero en el espacio (no neces

thomas calculo varias variables 12 edicion

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