theory of structures sample problems

Dr. Qais Abdul Mageed Theory of Structures (2008-2009)

Text Book: Elementary Theory of Structures, 2nd Edition, by: YUAN-YU HSIEH References:

1. Elementary Structural Analysis, by: NORRIS, WILBAR UTKU. 2. Statically Indeterminate Structures, by: CHU-KIA WONG. 3. Indeterminate Structural Analysis, by: KINNEY

First Semester:

4. Stability and Determinacy of Structures: 4.2. Stability and Determinacy of Beams. 4.3. Stability and Determinacy of Trusses. 4.4. Stability and Determinacy of Frames. 4.5. Stability and Determinacy of Composite Structures.

5. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams: 5.2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Frames. 5.3. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Arched

Frames. 5.4. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Composite

Structures.

6. Statically Determinate Trusses: 6.2. Types of Trusses. 6.3. Stability and Determinacy of Complex Trusses. 6.4. Examples on Solving and Analyzing Trusses.

7. Influence Lines for Statically Determinate Structures: 7.2. Influence Lines for Statically Determinate Beams. 7.3. Maximum Effect of a Function due to external loading: 4.2.1. Due to Concentrated loading. 4.2.2. Due to Distributed loading.

• Distributed Dead Load. • Distributed Live Load (occupying any length of the structure). • Distributed Live Load (of a specific length).

4.3. Influence Lines for Girders with Floor Systems. 4.4. Influence Lines for Statically Determinate Frames. 4.5. Influence Lines for Girders in Trusses. 4.6. Influence Lines for Statically Determinate Composite Structures. 4.7. Maximum Effect of a Function due to Multiple External Moving Loads.

5. Absolute Maximum Moment for Simply Supported Beams.


6. Elastic Deformation of Structures (Deflection & Rotation). 6.1. Conjugate Beam Method. 6.2. Deflection of Beams and Frames. 6.2.1. Unit-Load Method (Virtual Work Method). 6.3. Deflection and Rotation of Trusses. 6.4. Deflection and Rotation of Composite Structures.

Second Semester:

1. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Structures: 1.1. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Trusses.

• Trusses with Double Diagonal System. • Trusses with Multiple Systems.

1.2. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Portals. 1.3. Approximate Analysis of Statically Indeterminate Frames.

• Frames Subjected to Vertical Loads Only. • Frames Subjected to Lateral Loads Only.

2. Symmetry and Anti-Symmetry of Structures. 3. Analysis of Statically Indeterminate Structures by the Method of

Consistent Deformations.

4. Fixed End Moments of some Important Beams with Constant EI.

5. Analysis of Statically Indeterminate Beams and Rigid Frames by the Slope-Deflection Method.

5.1. Analysis of Statically Indeterminate Beams by the Slope-Deflection Method.

5.2. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames without joint translation by the Slope-Deflection Method.

5.3. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames with One Degree of Freedom of joint translation by the Slope-Deflection Method.

6. Analysis of Statically Indeterminate Beams and Rigid Frames by the

Moment Distributed Method. 6.1. Fixed-End Moments. 6.2. Stiffness, Distribution Factor and distribution of External Moment Applied

to a Joint. 6.3. Distributed Moment and Carry-Over Moment 6.4. Analysis of Statically Indeterminate Rigid Frames with One Degree of

Freedom of joint translation by the Moment Distributed Method.


R R R90o

R2R1

F.B.D Link 1

Link 2

Ry

Rx

θ R

θ R

M Rx

M

Ry

Review:

1) Roller: One unknown element.

رد الفعل يكون عموديا على السطح(2 Degree of Freedom)

2) Link or strut: One unknown element.

(Two Degree of Freedom) 3) Hinge: Two unknown elements.

(One Degree of Freedom)

4) Fixed: Three unknown elements.

(Zero Degree of Freedom)


1. Stability and Determinacy of Structures: 1.1. Stability and Determinacy of Beams.

(r) = no. of reactions (c) = The total no. of equations of conditions. (Where: c=1 for an internal hinge, c=2 for an internal roller and c=0 for beams without internal connection) (c + 3) = The total no. of the equilibrium equations. The beam is set to be:

3cr +<Unstable

R2

R1

R1 R2

R2

R1

R3 R1 R3 R2

0c,3r ==But Unstable

0c,3r ==Stable & Determinate

R2

R1

R5 R7R4 R6

R3

2m,575323c7

2c,7r

=>=+=+>

==

Stable & Indeterminate to the 2nd degree

• if ( )

3cr +=Determinate if Stable• if ( )

3cr +>Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( )3crm +−=


1.2. Stability and Determinacy of Trusses.

(b) = no. of bar elements of truss (r) = no. of reactions (j) = no. of joints. The truss is set to be:

j2rb <+Unstable

87

8j2,7rb

4j,5b,2r

<

==+

===

(Unstable)

12j2,12rb

6j,9b,3r

==+

===

Stable & Determinate

3m

14j2,17rb

7j,13b,4r

=

==+

===

Stable & Indeterminate to the 3rd degree

• if ( )

j2rb =+Determinate if Stable• if ( )

j2rb >+Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( ) ( )j2rbm −+=


1.3. Stability and Determinacy of Frames.

(b) = no. of frame members (r) = no. of reactions (j) = no. of joints. (c) = The total no. of equations of conditions. (Where: c=1 for an internal hinge, c=2 for an internal roller and c=0 for beams without internal connection) (c = no. of members connected at joint – 1) The frame is set to be:

cj3rb3 +<+Unstable

• if ( )

cj3rb3 +=+Determinate if Stable• if ( )

cj3rb3 +>+Indeterminate if Stable• if ( )

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: ( ) ( )cj3rb3m +−+=

Frame b r j c 3b+r 3j+c Classification

10 9 9 0 39 27

Indeterminate to the 12th

degree

10 9 9 6 39 33

Indeterminate to the 6th degree

Unstable


1.4. Stability and Determinacy of Composite Structures.

(E) = no. of equilibrium equations (U) = no. of unknowns The structure is set to be:

EU <Unstable

• if ( )

EU =Determinate if Stable• if ( )

• Indeterminate if Stable if ( ) EU >

The degree of indeterminacy (m) can be obtained by: EUm −=

Composite Structure U E Classification

10 10 Determinate

11 9 Indeterminate to the 2nd degree

2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams: Sign convention:

• N: Axial Force (tension +ve, compression –ve) • V: Shear Force (turning structure clockwise +ve, counter clockwise –ve) • M: Bending Moment (compression outside of structure and tension inside

+ve, otherwise –ve)

2.1. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Frames.


2.2. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Arched Frames.


2.3. Axial Force, shear Force and Bending Moment Diagrams for Composite

Structures.


١

2

3

4

5

Link

Link

Link

Hinge

Link

3. Statically Determinate Trusses: 3.1. Types of Trusses.

A truss may be defined as a plane structure composed of a number of

members joined together at their ends by smooth pins so as to form a rigid

framework. Each member in a truss is a two-force member and is subjected

only to direct axial forces (tension or compression).

A rigid plane truss can always be formed by beginning with three bars

pinned together at their ends in the form of a triangle.

Common trusses may be classified according to their formation as simple,

compound and complex.

• Simple Truss: ( المسنم البسيط )

A simple truss is formed by a basic triangle; each new joint is connected to

the basic triangle by two new bars.

• Compound Truss: ( المسنم المرآب )

A compound truss is formed from two or more simple trusses connected

together as one rigid framework either by three links neither parallel nor

concurrent, or by a link and a hinge.


• Complex Truss: ( المسنم المعقد )

The truss which is neither simple nor compound is called a complex truss.

h1

h2

g

3.2. Stability and Determinacy of Complex Trusses.

h1

h2

g

For the shown complex truss there are two cases:

1. If h1=h2=h, then the truss is unstable. 2. If h1≠h2, then the truss is stable.

3.3. Examples on Solving and Analyzing Trusses.


4. Influence Lines for Statically Determinate Structures:


4.1. Influence Lines for Statically Determinate Beams.


4.2. Maximum Effect of a Function due to external loading:


4.3. Influence Lines for Girders with Floor Systems.


4.4. Influence Lines for Statically Determinate Frames.


4.5. Influence Lines for Girders in Trusses.


4.6. Influence Lines for Statically Determinate Composite Structures.


4.7. Maximum Effect of a Function due to Multiple External Moving Loads.


5. Absolute Maximum Moment for Simply Supported Beams.


)Conjugate Beam Method(المشتقة أو المرتفقةطريقة العارضة ة ذه الطريق تخدام ه ن اس ذه الغرض م ستخدم ه شائية ت وارض اإلن ي الع دوران ف و لحساب الهطول وال ه

:ريقة لالسباب التاليةالط

ة المسلطة نتيجة الحقيقي الدوران والهطول للمنشأ التعامل مع تحويل )١ ال الحقيقي ه األحم ى علي إل

وى ه و القص والعز التعامل مع ق شأ األصلي مسلط علي شأ مشتق من المن ة م لمن ال المرن األحم

. الناتجة من التغيرات الحاصلة للمنشأ الحقيقي

.ائي مع قوى القص والعزوم أسهل من تعامله مع التكامالت الرياضيةتعامل المهندس اإلنش )٢

ة )٣ ه في عملي الطرق األخرى تجد تغير واحد من التغيرات الحاصلة للمنشأ ولمقطع واحد معين من

ر من مقطع شأ والآث واحدة ، بينما باستخدام هذه الطريقة يمكن ايجاد التغيرات الحاصلة في المن

.في عملية واحدة

ة ) ١(ذنا على سبيل المثال العارضة المبينة في الشكل فلو أخ في أدناه و المسلط عليها حمل مرآز في النهاي

ى ) (الحرة ساويا إل ة الحرة م EI8(والتي سبق أن حسبنا الهطول في النهايwl 4

P ( ة ا بطريق نقوم بتحليله س

).( Conjugate Method

dxx

x

y

w

A B

RA=wl/2

MA=wl2/2

2wlM

2

A =

wl/2 Shear Force Diag.

Bending Moment Diag.

EI8wl 4

B =Δ

عارضة محملة بحمل منتظم–) ١(شكل

Curvature :في أي نقطة من العارضة يمكن حسابه من المعادلة التالية) (ات سابقة أن التغير نعلم من دراس

EIM

dxyd2

2

−=

:بأن الميل أو الدوران في أي نقطة من العارضة يمكن حسابه من المعادلة التاليةأيضا ونعلم


θθ ≈= tandxdy

:يليوهكذا للتغيرات الصغيرة نسبيا نجد ما

EIM

dxyd

dxddxdy

2

2

−==

=

θ

θ

:وباجراء عملية التكامل نحصل على

∫−= EIMθ dx ------ (1)

dx(بالقيمة ) θ(اآلن بتعويض dy

( : ∫−==EIM

dxdy

θ dx

dxEIMdxdy ∫−== θ dx

:ثم نكامل مرة أخرى نحصل على

∫∫∫ −== dxEIMdxy θ dx ------ (2)

ين الحمل ، ) ١(من العارضة في الشكل ) dx(واآلن بأخذ شريحة بعرض ات ب والتي باإلمكان آتابة العالق

: قوى القص وعزم اإلنحناء آما يلي

∫−=⇒−=⇒−= wVdxwdVwdxdV dx

∫∫∫ −==⇒=⇒= dxdxwdxVMdxVdMVdxdM

: عليه فعلى مقطع من العارضة فإن

------ (٣) ∫−= wV dx

dx ------ (4) ∫∫∫ −== dxwdxVM


دينا سميها ل عارضة واآلن لنفرض ان ل ة ن ا نفس ) Conjugate beam ( العارضة المرتفق طول والتي له

شكل ي ال لية ف ة األص ة و) ١(العارض ا محمل ى با لكنه ساوي إل رن الم ل الم (لحم

(w) per unit length

(a)

(b) (Conjugate Beam)

EI2wl 2

EI6wl

3l

EI2wlttansulRe

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

MB

A B

( ) l4/3

ΔBl

A B

المرتفقةالعارضة والعارضة األصلية -) ٢(شكل

EIM

ي ) ين ف ا مب وآم

فقة والتي نرمز ، فإن المصطلحات التكاملية لقيم القص وعزم اإلنحناء لمقطع العارضة المرت ) b٢-(الشكل

w(لها VM ( على التوالي يمكن ايجادها من خالل تبديل قيم) ادالت ) (و ) ة ) ٤(و ) ٣(في المع بالقيم

)EIM

:آما يلي)

∫−= dxEIMV ------ (5)

∫∫−= dxdxEIMM ------ (6)

ا ) ٢(و ) ١(مع المعادالت ) ٦(و ) ٥(بمقارنة المعادالت ستنتج وفق ه ن ة نجدها متشابهة وعلي شروط معين ل

:مالئمة للعارضة المرتفقة مايلي

V=θ دوران) ( .١ ل أو ال ين المي ل مع ة بحم لية المحمل ة األص ن العارض ين م ع مع لمقط

)Actual Beam ( ون ساويايك ة م ص لقيم ة الق ة المرتفق ى العارض ع عل نفس المقط ل

)Conjugate Beam (والمحملة بالحمل المرن.


My = ول)( .٢ ة الهط لية المحمل ن العارضة األص ين م ع مع ينلمقط ل مع Actual ( بحم

Beam ( ون ساويايك ة م اء لقيم زم اإلنحن ة ع ة المرتفق ى العارض ع عل نفس المقط ل

)Conjugate Beam (والمحملة بالحمل المرن.

ة .٣ ا للعارضة األصلية) Conjugate Beam(ان العارضة المرتفق ة تمام Actual (مطابق

Beam ( تم إجراء . من حيث الطول ا في أعاله يجب أن ي اط التي بيناه ولغرض تحقق النق

دث بحيث ) Conjugate Beam(تغييرات على المساند ونقاط اإلرتباط للعارضة المرتفقة يح

ه ذي تحدث ل أو الهطول ال سجما مع المي ا بحيث يكون من اء فيه األجزاء قوة قص وعزم إنحن

ة في الجدول ). Actual Beam(لها في العارضة األصلية النظيرة رات مبين ذه التغيي ) ١(ه

:والتي يمكن تلخيصها بما يلي

Fixed End Free End

Simple End Simple End Interior Connection Interior Support

ضة المرتفقة التغييرات الواجب إجراؤها لتحويل العارضة األصلية إلى العار–) ١(جدول

Actual Beam Conjugate beam (Subjected to applied Load) (subjected to Elastic Load)

00

==

Δθ

0M

0V

=

=Free End Fixed End

00

≠≠

Δθ

0M

0V

≠

≠Fixed End Free End

00

=≠

Δθ

0M

0V

=

≠ Simple End Simple End (hinge or roller) (hinge or roller)

00

=≠

Δθ

0M

0V

=

≠ Interior Connection Interior Support (hinge or roller) (hinge or roller)

00

≠≠

Δθ

0M

0V

≠

≠ Interior Support Interior Connection (hinge or roller) (hinge or roller)

Sign Convention( اإلشارات المتفق عليها:)

ة سرى للعارضة مع فرض : تم إتباع الفرضية التالي ة الي ة تكون في النهاي نقطة األصل للعارضة المحمل

ي الهطول الموجب وبذلك فإن موجب إلى اليمين ) x(اتجاه الهطول إلى األسفل موجبا و إتجاه هطول يعن

.دوران مقطع العارضة باتجاه عقرب الساعةي يعنوالدوران الموجب إلى األسفل


):Conjugate Beam Method(خطوات الحل بطريقة العارضة المرتفقة

.للمنشأ األصلي المعطى) BMD(نستخرج مخطط العزم )١

.نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة األصلية مع إحداث التغييرات الالزمة للمساند )٢

زم )٣ ط الع ذ مخط ن خ) BMD(نأخ وة م ة ) ١(ط ى العارض سلط عل ل الم ه الحم اله ونجعل أع

.المرتفقة بحيث يكون العزم الموجب قوة الى األسفل والعزم السالب قوة الى األعلى

ة في )٤ لحساب االدوران في مقطع معين من العارضة األصلية نستحرج القص للعارضة المرتفق

.ذلك المقطع

ة في لحساب الهطول في مقطع معين من العارضة األص )٥ زم للعارضة المرتفق ستحرج الع لية ن

.ذلك المقطع

:المرتفقة من العارضات األصليةضات رالعاآيفية اشتقاق أدناه بعض األمثلة على

Actual Beam Conjugate beam

ba b a

b a c b a c

l l

l l

l l

l l

(Subjected to applied Load) (subjected to Elastic Load)

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

ي ) ة ف ا مبين سلط عليه ل الم ع الحم ة م تها المرتفق د عارض نج كل ي ش ة ف ى العارضة المبين ع إل ١(نرج

.( b- ٢(الشكل


)Δ ( رة للعارضة األصلية ة الح ي النهاي ون الهطول ف ه يك ي ) Actual BeamB(وعلي زم ف ساويا للع م

:والذي يمكن حسابه آما يلي) B(ند نقطة في النهاية المسندة ع) Conjugate Beam(العارضة المرتفقة

B

EI8wl

EI8wl

EI24wl3l

43

EI6wlM

4

B

443

B

=

==×=

Δ

-): Conjugate Beam Method(أدناه أمثلة محلولة بطريقة العارضة المرتفقة

1) Using the (Conjugate Beam Method), find ( ) for the loaded beam shown

below:

BΔ

(b) S.F.D

(c) B.M.D

(a) Actual Beam x

y

RA=P

MA=Pl P

l

A B

EI3Pl 3

B =Δ

-Pl

P

)٣(شكل

x

y

RA=P

MA=Pl

l

A B(d) Conjugate Beam

Pl/EI

l/3 2/3l

-: ات الحلخطو



ا )٢ ساند ونحمله ة للم نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة األصلية مع إحداث التغييرات الالزم

ى وة ال زم الموجب ق بالحمل المرن المحسوب من مخطط العزم للعارضة األصلية ، بحيث يكون الع

).٣(مقدار ثابت آما مبين في الشكل ) EI(الى األعلى مع فرض ان األسفل والعزم السالب قوة

:.نجد محصلة الحمل المسلط على العارضة المرتفقة آما يلي )٣

( )

EI2Pl

EIPll

21ttansulRe

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

[ ساوية * سافة م د م صلة تبع l2/3[المح

[ ]3/l

ساوية سافة م ة أو م ى للعارض ة اليمن ن النهاي ع

.عن النهاية اليسرى للعارضة

ة )٤ ي نقط ول ف ساب الهط ك ) B(لح ي تل ة ف زم للعارضة المرتفق ستحرج الع لية ن ن العارضة األص م

.النقطة

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== l

32

EI2PlM

2

BBΔ

EI3Pl 3

B =Δ (Down)

رضةمكان أقصى هطول في العا : نتبع مايلي لحساب

دوره أقصى هطول للعارضة األصلية يكون في مكان أقصى عزم في العارضة المرتفقة والذي ب

.ي قيمة القص فيه مساوية للصفر يكون في المكان الذ

2) Find the absolute maximum deflection in portion AB using the Conjugate

Beam Method.

(EI constant)

-: خطوات الحل


ا )٢ ساند ونحمله ة للم نرسم العارضة المرتفقة بنفس طول العارضة األصلية مع إحداث التغييرات الالزم

ى وة ال زم الموجب ق بالحمل المرن المحسوب من مخطط العزم للعارضة األصلية ، بحيث يكون الع

.مقدار ثابت آما مبين في الشكل) EI( مع فرض ان األسفل والعزم السالب قوة الى األعلى

الجزء AB من :.العارضة المرتفقة آما يلينجد محصلة الحمل المسلط على )٣


( )

EIPL

EIPLL2

21ttansulRe

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

]المحصلة تبعد مسافة مساوية * ]3/L23/L ] أو مسافة مA عن ساوية .B عن [

. ) A ( للعارضة المرتفقة نأخذ العزوم حولBلحساب )٤ المسندرد الفعل في مساوية للصفر

) 0MB=∑

( ) ( )

EI3PL

EI3PL2

L21R

0L2RL231

EIPL

23

A

A

2

=×=

=×−×

دوره يكون أقصى هطول للعارضة األصلية يكون في مكان أقصى عزم في العارضة المرتفقة والذي ب

.A من المفصل xنفرضه على مسافة (اوية للصفرفي المكان الذي قيمة القص فيه مس

L3

2x

0EI3

PLxEI2

Px21V

2

=

=−=

A B C

2L L

P

P23 P

21

PL

B.M.D

EI3PL2

EIPL2

EIPL

Conjugate Beam

A B C

EIPL


)

)EI39

PL4EI39

PL6EI39

PL2EI33

PL2EI39

PL2M

L3

2EI3

PL3

L3

2

EI4

L3

2Px

EI3PL

3x

EI4PxM

33333

max

2

2

22

max

−=−=−=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=−=

)EI39

PL4M3

max −=

6. Elastic Deformation of Structures (Deflection & Rotation).

theory of structures sample problems

Documents

indeterminate structures

indeterminate frames

indeterminate trusses

indeterminate beams

determinacy of structures

indeterminate rigid

determinacy of frames

deflection of beams