théorie quantique des champs direndinger

Thoriequantique des champs

gerbig

Thoriequantique des champs

Jean-Pierre Derendinger

Presses polytechniques et universitaires romandes

Dans la mme collection :

Mcanique quantiqueConstantin Piron

Introduction au gnie nuclaireJacques Ligou

Problmes N-corps et champs quantiquesPhilippe A. Martin et Franois Rothen

Introduction la physique des solidesEmanuel Mooser

CristallographieDieter Schwarzenbach

Mcanique gnraleChristian Gruber et Willy Benoit

Physique gnraleFranois Rothen

Illustration de couverture :Computer reconstructed events recorded with the ALEPH detector, CERN,http://alephwww.cern.ch

Les Presses polytechniques et universitaires romandes sont une fondationscientifique dont le but est principalement la diffusion des travaux delEcole polytechnique fdrale de Lausanne, de lInstitut National desSciences Appliques de Lyon ainsi que dautres universits et colesdingnieurs francophones. Le catalogue de leurs publications peut treobtenu par courrier aux Presses polytechniques et universitaires romandes,EPFL Centre Midi, CH-1015 Lausanne, par E-Mail [email protected],par tlphone au (0)21 693 41 40, ou par fax au (0)21 693 40 27.

www.ppur.org

2001, Presses polytechniques et universitaires romandesCH 1015 LausanneTous droits rservs.ISBN 2-88074-491-1

Imprim en FranceReproduction, mme partielle, sous quelque forme ou sur quelque support que ce soit, interdite sans laccord crit de lditeur.

Table des matie`res

1 Theorie des champs classiques 1

1.1 Action, densite lagrangienne, equations du mouvement . . . . . . 2

1.2 Symetries internes et courants de Noether . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Symetries despace-temps et theore`me de Noether . . . . . . . . . 7

1.3.1 Relativite restreinte: le groupe de Poincare . . . . . . . . . 7

1.3.2 Le champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.3 Le champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.4 Le champ spinoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.5 Masse et spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.6 Le tenseur energie-impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.4 Equations du champ libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.4.1 Le champ de Klein-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4.2 Le champ de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.5 Invariance de jauge et theories de jauge . . . . . . . . . . . . . . . 35

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2 Quantication canonique du champ libre 47

2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.2 Champs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.1 Le champ scalaire reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.2 Le champ scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Champs spinoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4 Champs de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.1 Quantication covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.4.2 Un exemple de quantication non covariante:la jauge de radiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

2.5 Propagateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

v

vi TABLE DES MATIE`RES

3 Processus elementaires 91

3.1 Matrice S et theorie asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.2 Reduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.1 Le champ scalaire reel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3.2.2 Fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.2.3 Photons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

3.3 Theorie des perturbations, diagrammes de Feynman . . . . . . . . 106

3.3.1 Une expression pour S et les fonctions de Green . . . . . . 106

3.3.2 Le theore`me de Wick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

3.3.3 Diagrammes de Feynman du champ scalaire reel . . . . . . 116

3.3.4 Diagrammes de Feynman de lelectrodynamiquequantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

3.4 Grandeurs observables: sections ecaces, temps de vie . . . . . . 130

3.4.1 Collision de deux particules: section ecace . . . . . . . . 131

3.4.2 Desintegration dune particule instable: largeur,temps de vie, rapports de branchement . . . . . . . . . . . 136

3.4.3 Calculs despace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

4 Densites lagrangiennes phenomenologiques 145

4.1 Invariance ou violation de C, P et T . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.1 La conjugaison de charge C . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

4.1.2 Le spineur de Majorana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

4.1.3 La parite P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

4.1.4 Invariance ou violation de CP . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.5 Le renversement du temps T . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

4.1.6 La symetrie CPT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

4.2 Interactions fortes et electromagnetiques:QCD et QED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

4.3 Interactions derivatives: re`gles de Feynman . . . . . . . . . . . . . 168

4.4 Champs massifs de spin un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4.5 Linteraction faible des fermions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5 Applications 183

5.1 Annihilation electronpositon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

5.2 Diusion Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.1 Diusion electronphoton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

5.2.2 Rayonnement de freinage (Bremsstrahlung) . . . . . . . . 195

5.2.3 Quarkgluon quarkgluon . . . . . . . . . . . . . . . . 1965.3 Desintegrations du W et du Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

TABLE DES MATIE`RES vii

5.3.1 Desintegration W . . . . . . . . . . . . . . . . . 2005.3.2 Desintegration W DaU b . . . . . . . . . . . . . . . . 2025.3.3 Largeur totale, rapports de branchement . . . . . . . . . . 203

5.3.4 Desintegration du Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.4 Desintegration du muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

5.5 Diusion profondement inelastique,mode`le des partons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5.1 Diusion electronquark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

5.5.2 Diusion elastique electronproton . . . . . . . . . . . . . 212

5.5.3 Diusion inelastique profonde . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.5.4 Partons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

5.6 Desintegration en deux photons du boson de Higgs . . . . . . . . 218

5.6.1 Le mode`le . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

5.6.2 Une densite lagrangienne eective . . . . . . . . . . . . . . 227

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

6 Renormalisation 231

6.1 Contre-termes et theorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . 232

6.2 Lelectrodynamique a` lordre dune boucle: divergences . . . . . . 239

6.3 Regularisation dimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.1 La fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

6.3.2 Une integrale en dimension n . . . . . . . . . . . . . . . . 244

6.3.3 Dautres integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

6.4 Regularisation dimensionnelle delelectrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.4.1 La densite lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.4.2 Propagateur du photon: polarisation du vide . . . . . . . . 251

6.4.3 Propagateur du fermion, self-energie . . . . . . . . . . . . 253

6.4.4 Correction de vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.4.5 Resume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

6.5 Lidentite de Ward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

6.6 Ordres plus eleves, renormalisabilite . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

6.7 Groupe de renormalisation, couplages eectifs . . . . . . . . . . . 269

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

7 Symetrie spontanement brisee 287

7.1 Le theore`me de Goldstone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

7.2 Le mecanisme de Higgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

7.3 Un exemple: le doublet scalaire complexe . . . . . . . . . . . . . . 297

References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

viii TABLE DES MATIE`RES

8 Le Mode`le standard 305

8.1 Groupe et bosons de jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

8.2 Quarks et leptons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.3 Champs scalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

8.4 Derivees covariantes, densite lagrangienne . . . . . . . . . . . . . 310

8.5 Mecanisme de Higgs et jauge unitaire . . . . . . . . . . . . . . . . 313

8.6 Parame`tres et valeurs numeriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

Appendice A Formulaire, conventions et notations 323

Appendice B Lanomalie chirale 333

Bibliographie 339

Index 345

Avant-propos

La theorie quantique des champs, qui inte`gre relativite restreinte et mecaniquequantique, est a` la base de la description des interactions des particules elemen-taires. Son developpement, dont lorigine remonte a` la n des annees 1920, sestlongtemps concentre sur la physique des photons et des electrons, sur lelectrody-namique quantique. Apre`s de nombreux detours et plusieurs crises, les interac-tions faibles et fortes des quarks et des leptons y ont trouve aujourdhui leur place.Seule subsiste laversion de la force de gravitation pour la theorie quantique deschamps. . .

Ce texte dintroduction a` la theorie quantique des champs est une synthe`se ducontenu de plusieurs cours de deuxie`me cycle ou postgrades donnes a` lUniversitede Neuchatel, a` lEcole Polytechnique Federale de Zurich et dans le cadre delenseignement postgrade commun aux universites suisses francophones (Troi-sie`me cycle de la physique en Suisse romande). Il est destine en priorite auxetudiants doctorants en physique experimentale des hautes energies et aux etu-diants du deuxie`me cycle avec une orientation en physique des particules ou entheorie. Il est admis que le lecteur dispose dune bonne matrise de la mecaniquequantique non relativiste. Dans une moindre mesure, des connaissances de basede la physique des particules peuvent aider a` suivre certains exemples ou discus-sions. Lobjectif est de developper les bases du formalisme de la theorie quan-tique des champs, le minimum vital permettant dapprecier la structure detheories telles que lelectrodynamique quantique ou le Mode`le standard et de lesutiliser pour decrire des syste`mes physiques simples. En revanche, les fonde-ments phenomenologiques et historiques ou les tests experimentaux des theoriesdecrivant les interactions fondamentales ne sont pas abordes.

Dans loptique dune introduction au sujet, le texte a deux limitations princi-pales. Premie`rement, lintegrale de chemin nest pas utilisee, lapproche canoni-que est suivie. Cette option permet une progression plus rapide et plus adapteeaux connaissances de la majorite des etudiants. Deuxie`mement, la quanticationdes theories de jauge non abeliennes nest pas discutee, et ne sont envisagees quedes applications perturbatives, dans le domaine relativiste.

La litterature traitant de la theorie quantique des champs est considerable,de haute qualite, avec un bon nombre douvrages a` la fois recents et complets.La bibliographie donne une liste etendue douvrages de reference. Quelques lec-

ix

x AVANT-PROPOS

tures dapprofondissement ou de complement sont en general suggerees a` la ndes chapitres, ainsi que quelques exercices. Le lecteur desireux de perfectionnerses connaissances et sa dexterite saura se reporter a` labondante litterature quipropose nombre de proble`mes et dexemples autres que ceux traites ici.

Lorganisation de lexpose est relativement traditionnelle. Le chapitre 1 passeen revue les aspects classiques utiles a` la construction de la theorie quantique,y compris la derivation de la densite lagrangienne dune theorie invariante dejauge. Le chapitre 2 est consacre a` la quantication canonique des champs libres,a` la description des espaces detats et des propagateurs causals. Lexpansionperturbative (diagrammes de Feynman) de la theorie interactive fait lobjet duchapitre 3, laccent etant mis sur le champ scalaire pour sa simplicite et surlelectrodynamique quantique pour son importance. Ce chapitre fait egalementle lien avec les grandeurs mesurees (section ecace, largeur de desintegration,. . .). Le chapitre 4 le comple`te par une discussion de quelques points absents delelectrodynamique quantique mais requis par les interactions faibles ou fortes:champs massifs libres de spin un, interactions derivatives; il rassemble aussi di-verses notions plus proches de la phenomenologie et utiles a` la formulation demode`les physiques: C, P , T , couleur et chromodynamique quantique, interac-tions faibles des fermions. Le chapitre 5 propose un choix dexemples; il abordeaussi a` un niveau elementaire quelques notions marginales a` la theorie des champsmais utiles en physique des particules (partons, facteurs de forme, fonctions destructure). La renormalisation est etudiee dans le chapitre 6, qui ne pretendcependant pas donner une presentation comple`te de cet important sujet. Ladiscussion se concentre sur lelectrodynamique quantique a` lordre dune boucleet en regularisation dimensionnelle, avec une section consacree au groupe derenormalisation. La brisure spontanee de la symetrie est le sujet du chapitre 7,presque uniquement au niveau classique puisque la quantication des theories nonabeliennes na pas ete traitee. La construction du Mode`le standard des interac-tions fortes, faibles et electromagnetiques est presentee dans le dernier chapitre.Enn, deux appendices contiennent les notations et conventions utilisees ainsi quequelques formules, et une bre`ve discussion de lanomalie chirale. Les chapitres1, 2, 3, 5 et peut-etre 6 forment ainsi lossature dun cours dintroduction a` latheorie quantique des champs.

Laide de Philippe Page a ete precieuse lors de lelaboration de la premie`reversion des notes de cours. Jaimerais len remercier, ainsi que les colle`gues etetudiants qui ont contribue a` lamelioration du texte par leurs remarques et cor-rections. Jai benecie des competences de Liliane Deppierraz et Christophe Bor-lat lors de la realisation nale de louvrage. Je remercie enn Nicole Derendingerpour son soutien, sa patience et laide apportee a` la mise en informatique dumanuscrit.

Chapitre 1

Theorie des champs classiques

Dans lapproche traditionnelle que nous suivrons, letude dune theorie quantiquedes champs comprend deux phases. Il sagit dabord de construire la theorie,ce qui revient a` formuler la fonctionnelle daction S qui la denit. Un certainnombre de re`gles qui decoulent du formalisme de la theorie des champs limitent lesformes admissibles de laction. Violer ces re`gles vide la deuxie`me phase, letude ducontenu physique de la theorie, de toute signication. Le formalisme de la theoriequantique des champs permet avant tout dextraire de laction, traitee dans lecadre de la mecanique quantique relativiste, les quantites physiques observables,en general par le biais de la theorie des perturbations. Le but principal de ce coursest detudier ce formalisme, de developper les outils de la theorie des perturbationset de discuter les fonctionnelles daction utiles a` la description des interactionsdes particules elementaires.

En fait, le contenu physique de la theorie est entie`rement determine par lechoix des champs et des symetries. La forme de la fonctionnelle daction endecoule1. Laction elle-meme na pas de signication physique propre. Linfor-mation physique se trouve dans la classication des champs et le contenu ensymetries, quelles soient exactes ou spontanement brisees.

Dans le contexte de la theorie relativiste des champs qui nous interesse ici,un champ est une fonction de lespace-temps. Par exemple, dans la theorie deMaxwell, le champ electromagnetique F(x, t) est un champ classique. Sa dy-namique, xee par les equations de Maxwell, est conforme au principe de relativiterestreinte (les equations de Maxwell sont qualiees de covariantes relativistes).La theorie de Maxwell est donc une theorie relativiste de champs classiques. Latheorie quantique des champs conside`re des champs a` valeurs operatorielles. Cepassage du champ classique a` loperateur de champ est souvent qualie dedeuxie`me quantication.

Ce premier chapitre decrit brie`vement les notions classiques a` la base de la

1Ce nest que partiellement vrai si la theorie est supersymetrique.

1

2 THEORIE DES CHAMPS CLASSIQUES

theorie quantique des champs: la fonctionnelle daction et le formalisme lagran-gien, les symetries de laction et les lois de conservation deduites du theore`me deNoether, ainsi que les champs scalaires, vectoriels et spinoriels et les equationscinematiques de Klein-Gordon et Dirac. Le but est dobtenir la fonctionnelledaction la plus generale decrivant des champs de spins 0, 1/2 et 1 qui pourraetre traitee dans le cadre de la theorie quantique des champs.

1.1 Action, densite lagrangienne, equations du

mouvement

Les theories quantiques des champs utilisees pour decrire les interactions des par-ticules elementaires peuvent etre formulees a` partir dun principe daction qui estune simple generalisation de la situation rencontree en mecanique classique. Onpourrait egalement se donner les equations dynamiques qui decoulent de laction(les equations dEuler-Lagrange) comme point de depart du formalisme. Mais ilsave`re que lutilisation de laction simplie la quantication de la theorie.

En mecanique classique, les equations du mouvement dun syste`me de parti-cules ponctuelles sont obtenues a` partir dune action

S[q] = t2t1

dt L(q(t), q(t), t), (1.1)

ou` L est la fonction de Lagrange. Laction S est une fonctionnelle de lensembledes coordonnees q(t) = {q1(t), . . . , q3N(t)} des N particules du syste`me (tri-dimensionnel) et de leurs vitesses q(t) = {q1(t), . . . , q3N(t)}, au temps t. Leprincipe de moindre action postule que les trajectoires physiques sont cellespour lesquelles la fonctionnelle daction S a un extremum, en general un mini-mum. Il en decoule un ensemble dequations dierentielles, les equations dEuler-Lagrange, qui sont les equations du mouvement du syste`me: elles determinentson evolution temporelle.

Pour les obtenir, supposons que la fonctionnelle S est stationnaire pour q(t) =Q(t), et considerons des trajectoires dierant peu de Q(t) de la forme q(t) =Q(t) + q(t). La quantite est un parame`tre et on peut supposer que q(t)sannule aux temps t1 et t2; Q(t) et q(t) concident donc aux temps t1 et t2. Lavaleur de laction pour les trajectoires q est une fonction du parame`tre , et lastationnarite de laction pour q(t) = Q(t) sexprime par la condition

[d

dS[q]

]=0

= 0. (1.2)

ACTION, DENSITE LAGRANGIENNE, EQUATIONS DU MOUVEMENT 3

On a:d

dS[q] =

t2t1dt

3Ni=1

(L

qi(t)qi(t) +

L

qi(t)qi(t)

)

= t2

t1dt

3Ni=1

(L

qi(t) ddt

L

qi(t)

)qi(t),

en integrant par parties avec qi(t1) = qi(t2) = 0. Puisque q(t) est arbitrairepour t1 < t < t2, la condition de stationnarite implique les equations dierentielles

L

qi(t) ddt

L

qi(t)= 0, i = 1, . . . , 3N, (1.3)

qui sont les equations dEuler-Lagrange du syste`me decrit par laction S. Ellesforment un syste`me de 3N equations dierentielles du deuxie`me ordre (au plus),en general couplees et non lineaires.

Lextension de ce formalisme a` la dynamique de champs est immediate. Con-siderons le cas le plus simple de champ classique: une fonction de lespace-temps(x) a` valeur dans les nombres reels ou complexes. Nous utilisons la notationsuivante: x denote le quadrivecteur de composantes x, avec x0 = ct et le choixdunites c = 1 2. Le syste`me physique a maintenant un nombre inni de degresde libertes: au lieu des 3N coordonnees qi(t), on conside`re a` chaque temps t lesvaleurs du champ en chaque point de lespace. Comme auparavant, une actionet une fonction de Lagrange sont introduites,

S[] =dt L (1.4)

mais il convient dutiliser egalement une densite lagrangienne L(, ) avec3

L =d3xL(, ). (1.5)

Le volume dintegration ne sera pas specie plus precisement. Il depend dusyste`me physique considere et peut etre ni ou inni. Donc

S[] =d4xL(, ). (1.6)

Le principe de moindre action stipule que les champs physiques du syste`me(x) correspondent aux extrema de laction S. Par analogie avec le cas discretetudie plus haut, on conside`re laction S[], avec = + , etant un champquelconque sannulant aux bords du volume dintegration. Alors, puisque S eststationnaire en , [

d

dS[]

]=0

= 0.

2Lensemble des notations utilisees est deni dans lappendice A.3La densite lagrangienne peut en principe dependre explicitement de x, L(, , x). Nous

omettrons cette possibilite.


Apre`s une integration partielle utilisant lannulation de aux bords du volumedintegration, la derivee est

d

dS[] =

d4x

[

L(, )

L(, )

]=

. (1.7)

Sauf mention contraire, la repetition dun indice (ici lindice ) implique parconvention une somme sur toutes ses valeurs. Comme le champ est arbitraire,la condition de stationnarite conduit a` lequation

L(, )

L(, ) = 0 (1.8)

dont les champs physiques sont solutions. Par rapport au cas de la mecaniqueclassique de particules ponctuelles, on a en fait une innite dequations dEuler-Lagrange (vues comme des equations dierentielles dans le temps), en chaquepoint spatial du volume du syste`me physique considere. Elles determinent ladynamique spatio-temporelle du champ (x) puisque leurs solutions sont precise-ment les champs physiques (x). Lorsque la densite lagrangienne est fonction duchamp et de ses premie`res derivees uniquement, les equations dEuler-Lagrangesont au plus du deuxie`me ordre. Ceci est susant pour decrire les interactionsde champs relativistes quanties.

La generalisation au cas dune action dependant de plusieurs champs, notescollectivement i(x), i = 1, . . . ,M , est simple. A nouveau, puisque laction eststationnaire pour les champs physiques i(x), on aura[

d

dS[i]

]=0

= 0, (1.9)

ou` i(x) = i(x) + i(x). Cette equation est vraie pour des variations i(x)

independantes et arbitraires de chaque champ, sannulant au bord du volumedintegration. On aura donc une equation dEuler-Lagrange pour chaque champi(x) apparaissant dans la densite lagrangienne:

iL(j, j)

iL(j, j) = 0, i = 1, . . . ,M. (1.10)

1.2 Symetries internes et courants de Noether

Laction S possede une symetrie sil existe un ensemble de transformations deschamps i et des coordonnees despace-temps laissant S invariante. Lensemblede toutes les symetries de laction forme necessairement un groupe de symetrie.

Considerons une theorie de champs classiques denie par laction

S[j] =d4xL(j, j). (1.11)

SYMETRIES INTERNES ET COURANTS DE NOETHER 5

Les equations dEuler-Lagrange

iL(j, j)

iL(j, j) = 0, (1.12)

determinent la dynamique des M champs j, j = 1, . . . ,M . Supposons ensuiteque cette action posse`de une symetrie interne, cest-a`-dire quil existe une (ouplusieurs) transformation agissant sur les champs selon

j(x) j(x) = U jkk(x) (1.13)(on somme, de 1 a`M , sur les indices repetes). En general, la matrice U de dimen-sion (M M) nest pas unique. Lensemble des matrices U forme un groupe, G.Cette symetrie est qualiee dinterne puisquelle transforme les champs sans agirsur lespace-temps: les coordonnees ne sont pas aectees par la transformation.Cest une symetrie qui commute avec les symetries despace-temps du groupe dePoincare qui seront considerees dans la section suivante.

Une symetrie est une transformation qui laisse laction invariante. Les syme-tries apparaissant dans les theories de champs decrivant les interactions des par-ticules elementaires sont de plusieurs types. Certaines sont discre`tes, le groupeG possedant un nombre ni delements. Les symetries continues correspondent a`un groupe dont les elements (les matrices U) sont des fonctions dun nombre nide parame`tres continus I . Nous allons considerer des transformations qui sontdes fonctions analytiques des parame`tres I . Le groupe G est alors un groupe deLie. On peut se restreindre a` des transformations innitesimales et poser

U jk = jk + iI(T

I)jk, j = j + j, j = iI(T I)

jk

k, (1.14)

les parame`tres I etant innitesimaux (on somme sur I). Lensemble de matriceslineairement independantes T I forme un ensemble de generateurs de lalge`brede Lie du groupe G. Les symetries continues sont de deux types. Lorsque lesparame`tres I sont independants du point de lespace-temps, la symetrie estdite globale. Elle transforme les champs de la meme facon dans tout lespace-temps. Par exemple, le nombre baryonique et les nombres leptoniques sont dessymetries globales du Mode`le standard dans sa version minimale. Par contre,on peut envisager des transformations laissant laction invariante et qui agissentdieremment selon le point dans lespace-temps:

j(x) j(x) = U jk(x)k(x). (1.15)Dans ce cas, les parame`tres sont des fonctions I(x) et la transformation est unesymetrie de jauge. Les theories de champs classiques invariantes de jauge serontetudiees dans la dernie`re section de ce chapitre.

Le lien entre groupe de Lie et alge`bre de Lie peut se resumer comme suit. Latransformation innitesimale (1.14) peut etre vue comme lexpansion au premierordre dans les parame`tres innitesimaux I de lelement du groupe G

U(I) eiIT I =n0

1

n!(iIT

I)n. (1.16)


Comme G est un groupe, la loi de groupe indique que

U(I)U(I) = U(I) G.

Dautre part, pour deux matrices A et B, on a

eAeB = eC , C = A+B +1

2[A,B] + C

ou` la matrice C contient une innite de termes dordres plus eleves que A2, ABou B2 secrivant uniquement a` partir de commutateurs. Pour des elements dugroupe de la forme (1.16), la loi de groupe devient

iITI = i(I + I)T

I 12IJ [T

I , T J ] + commutateurs dordres plus eleves.

Elle est donc equivalente a` la donnee des relations de commutations

[T I , T J ] = if IJKTK , (1.17)

qui denit lalge`bre de Lie du groupe G. Les nombres f IJK sont les constantesde structure de lalge`bre de Lie. Ces notions joueront un role important dans laconstruction des theories de jauge non abeliennes (ou theories de Yang-Mills) quisont a` la base du Mode`le standard des interactions fortes et electrofaibles.

Pour etudier certaines consequences de linvariance de laction sous une trans-formation innitesimale (1.14), il convient dabord de remarquer que si S estinvariante sous une transformation locale dont les parame`tres I dependent dex, S sera egalement invariante sous les transformations globales, pour lesquelles

I = 0. Linvariance de laction sous une transformation innitesimale (1.14)globale sexprime par les egalites suivantes:

0 = S[j] =d4x L =

d4x

[Lj

j +L

j(

j)

]

=d4x

[L

jj

].

(1.18)

Le dernier pas utilise le fait que les champs physiques sont solutions des equationsdEuler-Lagrange et nest donc vrai que pour ces solutions. Linvariance delaction, S = 0, implique que la variation de la densite lagrangienne est au plusune derivee totale dune quantite qui sannule au bord du volume dintegration:

L = V , (1.19)

V etant une fonction des champs j et j, et des parame`tres I , qui sont

arbitraires. Par consequent,

J = 0, J =L

jj V (1.20)

SYMETRIES DESPACE-TEMPS ET THEORE`ME DE NOETHER 7

Le courant conserve J depend de lensemble des parame`tres de la transformationde symetrie. Pour une transformation continue innitesimale, au premier ordreen I , on a

j = iI(TI)jk

k et V = IVI si bien que linvariance de laction

implique

J I = 0, JI = i

Lj

(T I)kjk V I . (1.21)

On a donc construit un courant conserve pour chacun des parame`tres de lasymetrie continue interne: cest le theore`me de Noether pour les symetries in-ternes.

Par la suite, nous considererons uniquement des symetries internes qui laissentla densite lagrangienne invariante. Le courant de Noether est alors donne parlexpression (1.21) avec V I = 0.

Lequation de conservation des courants J I secrit

tJ I0 + J I = 0.

En prenant lintegrale de cette equation sur un volume spatial V , on obtient

d

dt

Vd3x J I0 =

Vd3x J I =

V

ds J I . (1.22)

Si le volume est choisi tel que le courant J I sannule sur son bord V , on aura

d

dtQI(t) = 0, QI(t) =

Vd3x J I0 = QI . (1.23)

A chaque symetrie continue de laction correspond un courant conserve et unecharge totale QI independante du temps. La composante temporelle du courantjoue le role de densite de charge.

1.3 Symetries despace-temps et theore`me de

Noether

1.3.1 Relativite restreinte: le groupe de Poincare

Le principe de relativite restreinte impose que laction soit invariante sous lestransformations du groupe de Poincare, qui comprend les translations despace-temps et les transformations de Lorentz. Sur les coordonnees despace-temps,laction du groupe de Poincare est

x x = x + a, (1.24)ou` est une transformation de Lorentz. Chaque element g est donc carac-terise par g = (, a). Il sagit de transformations globales ( et a

sont


independants de x) qui peuvent etre continues (translations, transformationsde Lorentz propres) ou discre`tes (parite, renversement du temps). Les transfor-mations de Poincare laissent invariant lelement dintervalle entre deux pointsproches x et x + dx, qui secrit

ds2 = dxdx , (1.25)

etant la metrique de Minkowski4. Les quantites dx forment un vecteur

contravariant par rapport aux transformations de Lorentz,

dx =x

xdx = dx

, (1.26)

dapre`s (1.24). La condition dinvariance de lintervalle, ds2 = ds 2, exige

= , (1.27)

qui caracterise comple`tement les transformations de Lorentz. Elle contient dixconditions independantes qui reduisent a` six le nombre de parame`tres (conti-nus) de la transformation de Lorentz. La transformation de Lorentz du vecteurcovariant des derivees partielles secrira

=

x =

x

x

x=

, (1.28)

la dernie`re egalite denissant , qui est linverse de :

= . Il suit

de (1.27) que

= , (1.29)

ou` est linverse de , =

.

Les matrices et sont numeriquement identiques. On les utilisera pourmodier la nature covariante ou contravariante dun indice vectoriel puisque

=

.

Les indices seront donc montes en utilisant et abaisses grace a` .

Il suit de (1.27) que toute matrice peut se decomposer en un produit

= D0 (1.30)

avec D = 1, P, T, PT alors que 0 a determinant unite et 00 1. Lensemble

L+ des matrices 0 forme le sous-groupe des transformations de Lorentz propreset orthochrones. Les elements discrets apparaissant dans D sont la parite

P : (x0, x) (x0,x), (1.31)4Les conventions utilisees sont denies dans lappendice A.


et le renversement du temps

T : (x0, x) (x0, x), (1.32)

Plutot que de considerer directement lequation de denition (1.27), il estsouvent plus simple de se restreindre a` une transformation innitesimale,

= +

, (1.33)

les quantites etant supposees petites face a` lunite. Ceci nest possible que

pour une transformation de L+, mais la decomposition (1.30) permet de discuterlensemble du groupe de Lorentz a` partir de (1.33) et (1.30). Au premier ordreen , la condition (1.27) devient simplement

+ = 0, (1.34)

et est une matrice antisymetrique quelconque. Comme mentionne plus haut, legroupe de Lorentz a six parame`tres continus, correspondant a` trois angles de ro-tation et aux trois parame`tres v/c apparaissant dans un boost (ou glissement)de Lorentz vers un referentiel inertiel de vitesse relative v.

Nous allons par la suite utiliser la notion de generateurs de lalge`bre de Liedu groupe de Lorentz. Pour lintroduire, on pose

x = x =

1

2i(M

)x , (1.35)

ou` les M = M sont des operateurs agissant dans lespace-temps, choisisindependamment des parame`tres . Dapre`s (1.35), il faut que

i(M)x = x x.

La solution est de remplacer les M par des operateurs dierentiels de la forme(M) = (L

) , avec

L = i (x x) . (1.36)On verie que ces operateurs satisfont lalge`bre de commutateurs

[M ,M] = i (M + M M M) . (1.37)Les relations de commutation (1.37) denissent lalge`bre de Lie du groupe deLorentz dont les M sont les generateurs (qui forment une base de lalge`brede Lie). Chaque realisation des re`gles de commutation (1.37) correspond a` unerepresentation particulie`re de lalge`bre de Lie. Par exemple, le choix (1.36) utilisedes operateurs dierentiels agissant sur les coordonnees despace-temps. Un autrechoix consisterait a` representer tous les generateurs par le nombre zero. Cestune realisation triviale de lalge`bre, en une dimension puisquun nombre reelrepresente chaque element.


Par la suite, nous considererons des representations de lalge`bre de Lie (1.37)de la forme

M = L + S , (1.38)

les operateurs L etant denis par (1.36) alors que les S forment une represen-tation matricielle de lalge`bre (1.37) qui commute avec L . Nous aurons en eeta` agir a` la fois sur les coordonnees et sur les champs.

Il est facile detendre cette discussion aux translations

x x = x + a = x + ax. (1.39)Les generateurs P des translations sont introduits en posant

x = x + x, x = i(aP)x, (1.40)

par analogie avec (1.35). Dapre`s (1.39), les operateurs dierentiels

P = i (1.41)gene`rent les translations. En utilisant les generateurs de Lorentz (1.36), on veriefacilement que

[M , P] = iP iP,[P, P ] = 0.

(1.42)

Ces relations, associees a` lalge`bre de Lorentz (1.37), forment lalge`bre de Lie dugroupe de Poincare, dont les dix generateurs sont M et P. Par la suite, unerepresentation generale de lalge`bre de Poincare sera donnee par les operateurs(1.38), (1.36) et (1.41). Ces equations sont essentielles pour caracteriser le com-portement des champs sous les transformations du groupe de Poincare. Nousverrons plus loin que ce comportement est directement lie aux spins des champsen question.

Pour une theorie de champs classiques invariante relativiste, decrivant unensemble de champs i(x), il sera necessaire de connatre laction sur les champsdes transformations du groupe de Poincare:

i(x) i (x).Il doit etre possible de reconstruire le champ i , dans les coordonnees x , a` partirdes valeurs du champ i(x). Nous nutiliserons que des champs pour lesquels unerelation lineaire

i (x) = S(g)ijj(x) (1.43)

existe. La matrice S(g) depend de lelement (abstrait) g = (, a) du groupe dePoincare utilise pour transformer les coordonnees. Il sagit dune representationlineaire du groupe de Poincare. Lequation (1.43) donne la relation fonctionnelledenissant . Le changement de coordonnees inverse exprime x comme fonctionde x et donc

i (x) = S(g)ijj(x(x)). (1.44)


Par exemple, pour une transformation de Lorentz x = x , ou matricielle-ment x = x, on a

i (x) = S(g)ijj(1x), (1.45)

ou encorei (x) = S(g)ij

j(x). (1.46)

Pour une transformation innitesimale,

x = x + x, S(g)ij = ij + S(g)

ij,

on aura, au premier ordre en x et S(g),

i (x) = i (x + x) = i (x) + [i (x)]x = i (x) + [i(x)]x

= i(x) + S(g)ijj(x),

dapre`s (1.43). Il y a donc une relation lineaire entre les fonction i et i aupoint x:

i (x) i(x) = S(g)ijj(x) i(x)x =[S(g)ij xij

]j(x)

= S0(g)ij

j(x).

(1.47)La version innitesimale de (1.43) secrit donc

i (x) i(x) = S(g)ijj(x) = S0(g)ijj(x) + xi(x). (1.48)

Le choix de S0(g) caracterise comple`tement la transformation des champs. Pourelaborer ce point, nous allons considerer separement les translations et les trans-formations de Lorentz.

Translations

Pour une translation x = x+ a, il est naturel de denir la valeur des champs i

en x comme etant simplement la valeur de i en x = x a. On aura donc

i (x) = i(x), (1.49)

cest-a`-direS(g)ij =

ij, S(g)

ij = 0. (1.50)

Dautre part,

i (x) = i(x a) = n0

1

n!(a)ni(x) = eai(x). (1.51)

Dapre`s (1.47) et pour a innitesimal, on obtient

S0(g)ij

j(x) = iaPi(x), (1.52)


en utilisant les generateurs (1.41) des translations. Le meme resultat decoule de(1.50) insere dans (1.48).

Transformations de Lorentz

Le traitement des transformations de Lorentz est plus complique puisquil faiten general intervenir des operateurs S(g) non nuls. Une transformation in-nitesimale secrit

x = x + x, x = x =1

2iL

x.

Dapre`s (1.36), les operateurs dierentiels L sont donnes par L = i(x x). On observe ensuite que le dernier terme dans la transformation (1.48)peut secrire

xi(x) =

1

2iL

i(x).

Nous allons alors poser

S(g)jk = 1

2i(S

)jk, (1.53)

si bien que

S0(g)jk =

1

2i

[(S)jk + L

jk]= 1

2i(M

)jk. (1.54)

Cest le choix des S [ou de S(g)] qui caracterise les transformations de Lorentzpropres orthochrones des champs. Nous verrons plus loin que ce choix determineegalement le spin (intrinse`que) des champs en question.

1.3.2 Le champ scalaire

Il sagit du cas le plus simple pour lequel

S(g) = 0 S = 0.

Cest la representation triviale, de dimension 1, de lalge`bre de Lie. Elle agit doncsur un champ unique (x) pour lequel

(x) = (x), (1.55)

comme dans le cas des translations. Nous verrons que le champ scalaire, qui peutetre reel ou complexe, est sans spin.


1.3.3 Le champ vectoriel

Un champ vectoriel est un quadrivecteur de champs V (x) dont la transformationde Lorentz utilise des generateurs S de la forme

(S) = i ( ) . (1.56)

On aura donc

V (x) V (x) = S(g)V (x)= 1

2i [i

i ]V (x)= V(x),

(1.57)

ou` les indices sont abaisses ou eleves avec ou , comme dhabitude. La

transformation ci-dessus est identique a` celle dun quadrivecteur (contravariantou covariant), dou` le nom de champ vectoriel.

Un champ vectoriel V(x) se transforme de la meme facon que le gradient dunchamp scalaire (x), qui est donc un champ vectoriel particulier. En eet,

(x) (x) = (x).Pour une transformation innitesimale,

(x) (x) = (x).

Nous verrons que V(x) est utilise dans la description dune particule de spinunite.

1.3.4 Le champ spinoriel

Les champs spinoriels permettent de decrire la physique de particules de spin1/2. Il en existe une generalisation pour les spins demi-entiers plus eleves quine sera pas discutee ici. La construction des spineurs est plus sophistiquee quecelle des champs tensoriels, tels que les champs scalaire et vectoriel. Nous nousbornerons a` construire leurs transformations innitesimales, cest-a`-dire a` obtenirles generateurs S . Ceux-ci utilisent les matrices de Dirac, qui satisfont lalge`bredanticommutateurs (alge`bre de Dirac)

{, } = 2I. (1.58)Cette alge`bre peut etre representee par des matrices (4 4) et I est la matriceidentite en quatre dimensions. Un exemple de realisation est le suivant:

0 =

(0 I2I2 0

), i =

(0 ii 0

), i = 1, 2, 3, (1.59)


ou` les matrices de Pauli sont notees i et I2 est la matrice unite en deux dimen-sions. Il sagit de la representation chirale, ou de Weyl.

En utilisant lalge`bre de Dirac (1.58), on verie facilement que les matrices

=i

4[, ] (1.60)

verient lalge`bre de Lie du groupe de Lorentz (1.37). Elles forment donc lesgenerateurs dune representation de lalge`bre (1.37) agissant sur un champ a`quatre composantes

(x) =

1(x)2(x)3(x)4(x)

, (1.61)

qui est un spineur de Dirac. Nous allons donc identier les generateurs S

apparaissant dans (1.53) avec les et la transformation de Lorentz du spineurde Dirac est donc

(x) (x) = (x) + S()(x),S() = 1

2i

.(1.62)

Le champ de Dirac porte en fait une representation reductible de lalge`bre de Liedu groupe de Lorentz. Pour le montrer, introduisons la matrice

5 = i0123, (1.63)

qui satisfait5 = 5,

25 = I4, {5, } = 0. (1.64)

Par consequent,[5,

] = 0. (1.65)

Il est alors possible de construire un ensemble complet de projecteurs orthogonaux

PL =1

2(I4 + 5), PR =

1

2(I4 5), (1.66)

pour lesquels

P 2L = PL, P2R = PR, PLPR = PRPL = 0, PL + PR = I4. (1.67)

Les projecteurs commutent avec les generateurs:

[PL, ] = [PR,

] = 0. (1.68)

Puisque les quatre valeurs propres de 5 sont 1, 1,1,1, les projecteurs permet-tent de denir deux spineurs a` deux composantes

L = PL = PLL, R = PR = PRR, (1.69)


qui se transforment separement sous le groupe de Lorentz:

L = 12iPL = 12iPL = PL,R = 12 iPR = 12iPR = PR.

(1.70)

Les spineurs a` deux composantes L et R peuvent etre consideres comme desentites independantes puisquils ont des transformations de Lorentz bien denies.Ce sont des spineurs de Weyl.

Les projecteurs PL et PR sont les projecteurs de chiralite; L et R sont lesspineurs de chiralites gauche et droite. Dans la representation chirale (1.59), lamatrice 5 est diagonale:

5 =

(I2 00 I2

). (1.71)

On aura donc

L =

(L0

), R =

(0R

),

en termes de spineurs a` deux composantes L et R.

1.3.5 Masse et spin

Les champs scalaires, vectoriels et spinoriels posse`dent des transformations dePoincare bien denies, qui les caracterisent. Ils portent des representations dugroupe de Poincare et de son alge`bre de Lie. Ces representations peuvent elles-memes etre caracterisees au moyen des operateurs de Casimir, au nombre de deuxpour le groupe de Poincare. Les operateurs de Casimir commutent avec les dixgenerateurs P et M de lalge`bre de Poincare. Ils ont donc une valeur propreunique pour chaque representation irreductible. De plus, ces valeurs propres sontdes invariants (sous translations, rotations et boosts de Lorentz): ce sont desnombres quantiques intrinse`ques (independants dun choix de coordonnees) quisusent a` caracteriser la representation du champ. Ces deux nombres quantiquessont la masse et le spin du champ (ou, plus generalement, de la representation).

Loperateur de Casimir dont la valeur propre est la masse est facile a` construi-re. Comme le carre dun quadrivecteur est un invariant, on choisit simplementloperateur

P 2 = P P = PP . (1.72)

Lannulation du commutateur [P 2, P ] est triviale alors que

[P 2,M ] = P[P ,M ] + [P

,M ]P = 0,

en utilisant lalge`bre de Poincare (1.42). La valeur propre de P 2 pour chaquechamp irreductible sera

m2c2,


m etant la masse du champ. Du point de vue du groupe de Poincare, la valeurpropre m2c2 peut etre un nombre reel quelconque, positif, nul ou negatif. Seulesles valeurs propres nulles et positives sont observees dans la nature5.

Le deuxie`me operateur de Casimir est plus subtil. Il est necessaire dintroduirequatre operateurs formant le vecteur de Pauli-Lubanski:

W =1

2P

M, (1.73)

ou` est comple`tement antisymetrique avec

0123 = 1.

Les operateurs W ont les proprietes suivantes:

[W, P ] = 0,

[W,M] = i (W W)[W,W ] = iP W .

(1.74)

Ces relations se demontrent en utilisant les re`gles de commutation (1.37) et (1.42)de lalge`bre de Lie du groupe de Poincare. La deuxie`me indique que W setransforme comme un quadrivecteur. Puisque le carre dun quadrivecteur est uninvariant, on denit ensuite

W 2 = W W. (1.75)

Il suit des relations (1.74) que

[W 2, P ] = [W 2, P 2] = [W 2,M ] = 0.

En prenant garde aux commutateurs (et a` laide des identites de lappendice A),loperateur W 2 secrit aussi

W 2 = 12

(P 2MM + 2P

PMM

). (1.76)

Le second operateur de Casimir de lalge`bre de Poincare est doncW 2. A nouveau,chaque champ portant une representation irreductible de lalge`bre de Poincaresera caracterise par un nombre quantique correspondant a` la valeur propre deW 2 dans cette representation.

Finalement, lalge`bre de Poincare admet six operateurs mutuellement com-mutants: P , P 2 et W 2. On peut les diagonaliser simultanement et leur associerleurs valeurs propres respectives, p, p2 = pp et W 2 .

Pour comprendre la signication du nombre quantique associe a` W 2, con-siderons un champ massif, cest-a`-dire une representation irreductible pour laquel-le la valeur propre de P 2 est p2 = m2, m2 > 0, avec c = 1. Par transformationde Lorentz, on peut toujours choisir des coordonnees dans lesquelles

p = (m, 0, 0, 0) (1.77)

5Une valeur negative signalerait un tachyon.


(referentiel au repos). Ce choix est invariant sous rotation despace, cest-a`-diresous laction des operateurs M12, M23 et M31. On a alors

W i = 12m0ijkMjk, i, j, k = 1, 2, 3,

W 0 = 0.(1.78)

Explicitement, W 1 = mM23, W 2 = mM31, W 3 = mM12 (puisque 0123 =0123 = 1). De plus, en utilisant la dernie`re equation (1.74), il vient

[W i,W j] = iijkmW k

[W i,W 0] = 0.i, j, k = 1, 2, 3,

ou` ijk = jik = jki, 123 = 1 et on somme sur les indices repetes. En posant

M i =1

2ijkMjk =

1

mW i, (1.79)

il vient[M i,M j] = iijkMk, (1.80)

qui montre que les operateurs M = (M1,M2,M3) forment un moment cinetiquequantique. Ensuite, comme

W 2 = W W = W0W 0

3i=1

W iW i = m2 M2 (1.81)

dans les coordonnees choisies, et que les valeurs propres dun moment cinetiquequantique sont (h = 1)

s(s+ 1),

s etant un nombre entier ou demi-entier positif ou nul, on obtient nalement quela valeur propre de W 2 est

m2s(s+ 1) = W 2 (m = 0) s : spin. (1.82)Ce resultat est vrai dans nimporte quelles coordonnees puisque W 2 est un inva-riant du groupe de Poincare. Par contre, la relation entre les operateurs demoment cinetique M i et les generateurs de Poincare P et M depend descoordonnees.

Nous allons ensuite montrer que s est le spin intrinse`que du champ. Pourcela, il sut de considerer la forme generale des operateurs P et M agissantsur les champs, qui est donnee par (1.41) et (1.54). Avec M = L + S ,L = i(x x) et P = i, il est clair que

W =1

2PM =

1

2PS.

La partie orbitale L ne contribue pas au vecteur de Pauli-Lubanski. Seule lapartie S , qui est de ce fait qualiee de partie de spin, intervient. Le nombres dans la valeur propre de W 2 est donc entie`rement determine par le choix de


la transformation du champ (1.43), cest le spin (intrinse`que) du champ. Et lestrois operateurs de moment cinetique apparaissant dans lexpression (1.81) sonten fait les operateurs de spin

S = (S1, S2, S3) = (S23, S31, S12). (1.83)

Le cas de masse nulle demande quelques precautions. Lorsque p2 = 0, on peutchoisir des coordonnees telles que

p = (E,E, 0, 0). (1.84)

Il suit de sa denition (1.73) que le vecteur W est orthogonal a` P : W P = 0.Avec le choix ci-dessus, on peut alors poser

W = p + (0, 0,W2,W3), WW = (W2)2 (W3)2.

Comme de plus (1.84) conduit a` [W2,W3] = 0, il ny a pas de contrainte quanti-ant la valeur propre de W W (spin continu). Les etats de masse nulle ob-serves dans la nature sont cependant ceux pour lesquels W2 et W3 sannulentet

W = p, W2 = 0 (m = 0). (1.85)

La constante de proportionnalite est en general (lorsque W agit sur plusieurschamps) une matrice dont les valeurs propres donnent lhelicite des composantesdu champ. Dans le referentiel (1.84), il vient

W 0 = W 1 = ES23, (1.86)

et les valeurs de lhelicite sont simplement les valeurs propres de S23. Notez queS23 est loperateur qui gene`re les rotations dans le plan (x2, x3), qui laissent levecteur (1.84) invariant. Dans un referentiel quelconque, lhelicite est donnee par

la projection du spin S le long de limpulsion p, cest-a`-dire par p S|p|1. Dansle referentiel choisi, p = (E, 0, 0) et lhelicite se reduit a` S1 = S23.

Nous pouvons maintenant justier les assertions sur les spins des champsscalaire, vectoriel et spinoriel faites dans la section precedente. Pour le champscalaire, S = 0, W

= 0, et le spin est donc nul (de meme que lhelicite si lamasse est nulle). Pour le champ vectoriel, les operateurs S sont donnes par(1.56). En inserant S dans lexpression (1.76), on obtient la matrice

(W 2) = 2[p2 pp] (1.87)qui agit sur les composantes du champ vectoriel V (x). Notez que p est unvecteur propre de W 2 avec valeur propre nulle: (W 2)p

= 0. Dans le cas

massif, P 2 = p2 = m2 > 0, les valeurs propres de W 2 sobtiennent de la manie`resuivante. Denissons

V (x) = V T (x) + VL (x),

V T (x) = V pV

p2p,

V L (x) =pVp2

p.


La partie transverse V T (x) est orthogonale au vecteur p, V T (x)p = 0, alors que

la partie longitudinale V L (x) est paralle`le a` limpulsion p. Il vient

(W 2)VT (x) = 2m2V T (x),

(W 2)VL (x) = 0.

(1.88)

On obtient donc que les quatre composantes du champ vectoriel V(x) correspon-dent aux trois composantes V T (x) transverses dun champ de spin 1 ajoutees a`un champ de spin nul, la partie longitudinale V L (x).

Pour un champ vectoriel sans masse, les valeurs propres de loperateur S23

[donne dans (1.56)] sont 0, 0, 1,1: ce sont respectivement les helicites des com-posantes V 0, V 1, V 2 + iV 3 et V 2 iV 3 du champ vectoriel, dans le referentiel ou`p = (E,E, 0, 0).

Finalement, un spineur de Dirac se transforme avec

S = =i

4[, ].

Avec P = i, ces generateurs permettent de calculer loperateur W 2, quiprend la forme dune matrice (4 4) agissant sur les composantes du spineur. Apartir de la forme (1.76), on obtient facilement

W 2 = 34m2, (1.89)

qui indique que le champ spinoriel a bien spin 1/2.

Si on utilise la representation des matrice (1.59) dans les coordonneesdenies par (1.77), les operateurs de spin (1.79) deviennent simplement

Si =

(12i 00 1

2i

).

Chaque spineur de Weyl L et R correspond donc a` un spin 1/2. Cette dernie`reegalite indique aussi que les valeurs de lhelicite pour chaque spineur de Weyl demasse nulle sont +1/2 et 1/2.

1.3.6 Le tenseur energie-impulsion

Nous avons vu que le theore`me de Noether implique lexistence dun courant con-serve pour chaque symetrie interne continue de laction. Ce theore`me sappliqueegalement aux symetries agissant sur lespace-temps, et donc a` linvariance sousles transformations de Poincare. La forme des courants conserves est cependantdierente de celle donnee en (1.21), pour les symetries internes.


Dans cette section, nous allons construire les courants conserves associes a`linvariance sous translations. Ces courants jouent un role particulier puisquilsexpriment la conservation de lenergie et de limpulsion. Ils fournissent egalementlhamiltonien de la theorie de champs, qui sera utile par la suite.

Linvariance sous les transformations de Lorentz me`ne egalement a` des lois deconservation que nous ne discuterons pas en detail ici. Alors que linvariance sousrotations despace conduit simplement a` la conservation du moment cinetiquetotal des champs, les transformations de Lorentz qui melangent temps et espacesont necessairement plus subtiles: on ne peut discuter leurs lois de conservationen termes de charges independantes du temps et linterpretation de ces lois perdson caracte`re intuitif. Elles correspondent a` une generalisation a` lespace-tempsquadri-dimensionnel de la conservation du moment cinetique total des champs,qui est une consequence de linvariance sous les rotations spatiales.

Considerons la quantite

T =L

i

i L (T = T). (1.90)

Nous devons supposer que la densite lagrangienne ne depend pas explicitementde x: L = L(i, i). Elle est donc invariante (de forme) sous les translations.Nous voulons calculer la divergence T . Tout dabord,

[L] = Li

i +

Li

i.

Dautre part,

[

Li

i

]=

(

Li

)

i +L

i

i

=Li

i +

Li

i = L,

en utilisant les equations du mouvement. Il vient donc

T = 0, (1.91)

et le tenseur energie-impulsion T est conserve6.

Nous avons donc construit quatre (les valeurs de = 0, 1, 2, 3) courants con-serves. Nous allons maintenant montrer que les T sont les courants de Noetherassocies aux translations despace-temps

x x = x + a,6Il sagit du tenseur energie-impulsion canonique, en general non symetrique (voir lexercice

1.1).


qui forment un groupe de transformations continues a` quatre parame`tres. Nousnous placerons dans un cadre lege`rement plus general en considerant des trans-formations innitesimales des coordonnees de la forme

x x = x + x, (1.92)

ou` x peut dependre de la position x. La transformation des champs associeeest

i(x) i (x) = i (x) + xi, (1.93)et donc

i i (x) i(x) = i (x) i(x) + xi. (1.94)La variation fonctionnelle du champ sera notee

0i = i (x) i(x), i = 0i + xi. (1.95)

En regardant la densite lagrangienne comme un champ local, sa variation seradonc

L = 0L+ xL, (1.96)ou`

0L = Li

0i +

Li

0i.

Ensuite,0

i = 0i,

si bien que

L = xL+ [

Li

0i

]+

[Li

Li

]0

i. (1.97)

Le dernier terme sannule pour des champs veriant les equations du mouvement.Finalement:

L = xL+ [

Li

0i

]. (1.98)

Il sagit ensuite de considerer la variation de laction. La transformation in-nitesimale de d4x est

d4x d4x = Jd4xou` le jacobien J est

J =

det(x

x

) = 1 + x,au premier ordre. Donc

d4x = d4x x. (1.99)

La variation de laction secrit nalement

S = (

Ld4x+ d4xL)=d4x

[Lx + L

i0

i

], (1.100)


avec 0i = ixi. Linvariance de laction, S = 0, implique donc a` nou-

veau la conservation dun ou plusieurs courants, selon le nombre de parame`tresapparaissant dans la transformation de symetrie.

Notez que le resultat (1.100) generalise le theore`me de Noether pour les syme-tries internes discute dans la section precedente. Celui-ci sobtient avec x = 0pour une symetrie interne.

Une translation est caracterisee par labsence de transformation du champ:

Translation : x = a, i = 0 0i = ai.

Il vient alors

S =d4x

[L L

ii

]a = 0 (1.101)

pour des valeurs arbitraires des parame`tres a. Le tenseur energie-impulsion

T = L + Li

i (1.102)

est donc conserve, T = 0. Les quantites

P =Vd3xT 0, (1.103)

qui sont les charges associees aux courants T , sont independantes du tempssi le volume spatial V est choisi de facon telle que le tenseur energie-impulsionsannule a` son bord. Le quadrivecteur P donne limpulsion totale du syste`mede champs contenu dans le volume V . Sa composante temporelle P 0 est lenergietotale du syste`me (cest lhamiltonien du syste`me de champs) et

T 00 =L0i

0i L

est la densite denergie des champs.

1.4 Equations du champ libre

Dans la section precedente, nous avons construit des champs locaux de spin 0,1/2 et 1. Il sagit maintenant dobtenir les equations decrivant leur propagationlibre.

La propagation libre est evidemment controlee par limpulsion du champ, p,qui est obtenue en agissant sur le champ avec loperateur dierentiel P = i.Les equations du mouvement sont donc des equations dierentielles. La quantitede mouvement nest pas arbitraire. La condition de couche de masse,

p2 = pp = m2,

EQUATIONS DU CHAMP LIBRE 23

ou` m est la masse, doit etre satisfaite. Pour un champ libre, on sattend a` obtenirdes solutions sous la forme de superpositions dondes planes, de la forme eipx.

Deux equations dierentes sont utiles a` la description des bosons et desfermions. Nous allons les discuter successivement. Elles peuvent etre obtenuescomme equations dEuler-Lagrange des actions de Klein-Gordon et de Dirac.

1.4.1 Le champ de Klein-Gordon

Lequation relativiste la plus simple decrivant un champ libre est lequation deKlein-Gordon. Son contenu physique est simplement dimposer que le champ soitune superposition lineaire dondes planes (un paquet dondes) dont la propagationest conforme a` la condition de couche de masse de la cinematique relativiste,p2 = m2. Loperateur P 2 m2 etant represente par

P 2 m2 = (+m2), = = 1c2

2

t2 ,

lequation de Klein-Gordon est simplement

(+m2)(x) = 0. (1.104)

Comme loperateur +m2 est invariant de Lorentz, on peut en principe lappli-quer a` un champ de spin arbitraire. Elle sapplique en particulier au champscalaire, sans spin, (x).

Londe plane

eikx = ei(k0t!k!x)

est une fonction propre de loperateur dalembertien avec valeur propre k2.Elle sera donc une solution de lequation de Klein-Gordon pour autant que lequadrivecteur donde k satisfasse la condition k2 = m2. La solution de lequation(1.104) peut alors secrire

(x) =1

(2)3

d4k c(k)eikx(k2 m2). (1.105)

La fonction c(k) determine la composition en ondes planes du paquet dondesscalaire (x). Le caracte`re scalaire du champ est respecte par cette expressionqui est manifestement invariante relativiste. La distribution de Dirac permetdintegrer sur k0. En denissant

k =

k

2+m2,

il vient

(k2 m2) = ((k0)2 2k

)=

1

2k

[(k0 k) + (k0 + k)

], (1.106)


et

(x) = d3k

(2)32k

[c(k, k)e

i(kt!k!x) + c(k, k)ei(kt+!k!x)].

Avec le changement de variable k k dans le second terme et en denissanta(k) = c(k,k), b(k) = c(k, k),

on obtient nalement

(x) = d3k(2)32k

[a(k)eikx + b(k)e+ikx

]k = (k, k)

= d3k(2)32k

[a(k)ei(kt

!k!x) + b(k)e+i(kt!k!x)],

(1.107)

qui est la forme de la solution que nous utiliserons par la suite. Il est a` noterque malgre les apparences, la mesure dintegration d

3k2k

est invariante de Lorentz:

cest une consequence des egalites (1.106). Pour dierencier les deux termes, onutilise couramment la terminologie suivante:

onde denergie positive: eikx, avec k =(k, k

). Comme londe est de la

forme ei(kt!k!x), le vecteur k est limpulsion spatiale de londe.

onde denergie negative: e+ikx, avec k =(k, k

)egalement. Londe est de

la forme ei(kt+!k!x) et on dira que k est limpulsion (spatiale) de londe

denergie negative k.

Linteret et la signication de cette convention peu intuitive apparatront lors dela quantication du champ.

La solution generale de lequation de Klein-Gordon pour un champ scalairereel est donnee par lequation (1.107), avec b(k) = a(k).

Lequation de Klein-Gordon pour le champ complexe (x) est lequationdEuler-Lagrange de la densite lagrangienne

L = ()()m2. (1.108)Cette densite lagrangienne posse`de une symetrie: elle est invariante sous les ro-tations de la phase du champ complexe

(x) (x) = ei(x), (1.109) etant un nombre reel. Comme il sagit dune symetrie globale continue, letheore`me de Noether implique lexistence dun courant conserve et dune chargeindependante du temps. Le courant secrit

j =L

+L

= ()i ()i.


En introduisant la notation

=

() (), (1.110)on obtient

j = i . (1.111)

Il est facile de verier que si verie lequation de Klein-Gordon, alors le courantest conserve, j = 0. Il faut remarquer que la composante temporelle, j

0 =i[(0) (0)] nest pas une quantite positive. On ne peut donc pasidentier j0 a` une densite de probabilite comme on le fait en mecanique quantiquebasee sur lequation de Schrodinger. Lequation de Klein-Gordon nest donc pasappropriee a` la description quantique dune particule ayant (x) comme fonctiondonde.

Il faudra de plus prendre garde a` lexistence denergies negatives. La solutionde lequation de Klein-Gordon ne posse`de apparemment pas detat fondamentaldenergie minimum. Ce proble`me recevra une solution en termes dantiparticulesdans le cadre de la theorie quantique des champs.

Le champ complexe (x) peut se decomposer en deux champs reels:

(x) =12[1(x) + i2(x)].

La densite lagrangienne (1.108) est alors la somme de deux densites lagrangiennesdu champ scalaire reel

L =2i=1

[1

2(i)(

i) 12m22i

]. (1.112)

La transformation de symetrie (1.109) agit comme une rotation du vecteur bi-dimensionnel de composantes 1 et 2:(

12

)=

(cos sinsin cos

)(12

),

et le courant conserve (1.111) sobtient aussi par

j =2i=1

Li

i.

1.4.2 Le champ de Dirac

Lequation de Dirac est une equation dierentielle lineaire, du premier ordre en, pour le champ spinoriel (x). On pourra donc ecrire en general

(iA B)(x) = 0, (1.113)


ou` A et B sont des matrices (44). Ces matrices sont determinees en demandantque le spineur soit aussi solution de

(+m2)(x) = 0,

cest-a`-dire de lequation de Klein-Gordon qui impose la condition de couche demasse p2 = m2. Lequation (1.113) implique

(iA +B)(iA B)(x) = 0,

cest-a`-dire (1

2{A, A} + i[A, B] +B2

)(x) = 0,

ou` {A, A} = AA + AA = {A , A} est lanticommutateur de A et A .Demander que verie lequation de Klein-Gordon ( +m

2) = 0 revient a`demander

{A, A} = 2I, [A, B] = 0, B2 = m2I (1.114)(I est la matrice unite). On peut donc choisir B = mI, alors que les matrices A,qui verient lalge`bre de Dirac (1.58), peuvent etre remplacees par les matrices. Lequation de Dirac est donc

(i m)(x) = 0. (1.115)Elle peut etre reformulee en utilisant les spineurs de Weyl a` deux composantesdenis par (1.69):

= L + R,

PL = L, PR = R,

les projecteurs etant donnes par (1.66). Comme

PL = PR, PR

= PL,

il vientPL (i

m) = iR mL = 0,PR (i

m) = iL mR = 0.(1.116)

Les deux spineurs a` deux composantes satisfont des equations dierentielles cou-plees sauf si la masse est nulle. Un champ spinoriel de masse nulle pourra doncen principe etre decrit par un seul spineur de Weyl. Un champ spinoriel massifutilisera un spineur de Dirac entier7.

Covariance relativiste

Lequation de Dirac satisfait au principe de relativite restreinte. Nous connaissonsles transformations de Lorentz du champ spinoriel [eq. (1.62)] et des deriveespartielles [eq. (1.28)]:

= ,(x) (x) = S()(x).

7Ou un spineur de Majorana (sect. 4.1.2) qui a deux composantes.


La forme de la matrice S() a ete construite dans la section precedente. Pourune transformation innitesimale

= +

,

S() = I + S(), S() = 18 [

, ].(1.117)

Sans utiliser immediatement ce resultat, supposons que (x) est solution delequation de Dirac dans les coordonnees x. On cherche alors a` construire(x) = S()(x) qui verie lequation de Dirac dans les coordonnees trans-formees x comme consequence de (i m)(x) = 0. On observe que

(i m)(x) = (i m)S()(x)= S() {iS()1S() m}(x).

Si on exige que

= S()S()1, (1.118)

il vient(i m)(x) = S()(i m)(x) = 0, (1.119)

et le champ transforme (x) est solution de lequation de Dirac dans les nouvellescoordonnees x . La condition de covariance relativiste de lequation de Dirac estdonc lequation (1.118), qui peut etre vue comme une equation pour S(). Pourune transformation innitesimale, elle devient

= [S(), ].

La forme (1.117) est solution de cette dernie`re equation. Nous avons donc montreque lequation de Dirac est covariante relativiste si (x) est un spineur de Lorentz.

Densite lagrangienne, courant de Noether

Lequation de Dirac decoule de la densite lagrangienne

L = i m, (1.120)ou` et , qui est un spineur ligne, = (1 2 3 4), doivent etre considerescomme des champs independants. En fait, nous allons xer la relation entre et en exigeant que leurs deux equations du mouvement soient lequation de Dirac.La variation de donne simplement

0 =L

= (i m),

qui est lequation de Dirac. Celle de conduit a`

0 =L

L

= m i= [0(i m)0],


qui est, a` un facteur 0 pre`s, le conjugue hermitique de lequation de Dirac si ondenit le spineur conjugue de Dirac

= 0. (1.121)

Lequation de Dirac pour le spineur conjugue est donc

i() +m = 0. (1.122)

Nous avons vu [eq. (1.119)] que (i m) acquiert un facteur S() soustransformation de Lorentz. On peut egalement denir en exigeant linvariancede Lorentz de quantites telles que ou L. Il faut donc que

S()1,

ou, pour une transformation innitesimale,

= S() = 18[

, ]. (1.123)

Comme S() nest pas unitaire, S()1 = S() et on ne peut pas identier a` :

=1

8

[, ] = 18

0[, ]0 = S().

Par contre, = 0 verie bien la transformation (1.123).

Il est peut-etre utile de mentionner que la densite lagrangienne (1.120) peutetre remplacee par

L = i2

[() ()

]m,

qui traite plus symetriquement et . L die`re de L [eq. (1.120)] par unederivee (. . .) qui ne contribue pas aux equations du mouvement.

En termes des spineurs de Weyl,

L = iLL + iRR mLR mRL, (1.124)

ou`L =

L

0 = PR, R = PL. (1.125)

Ainsi que mentionne lors de la discussion de lequation de Dirac, le couplage entreL et R est uniquement du au terme de masse.

La densite lagrangienne de Dirac est invariante sous les transformations glo-bales continues [symetrie U(1)]

ei , ei,


et le theore`me de Noether implique que le courant

jDirac = iL

= iL

i L

= (1.126)

est conserve: jDirac = 0. La composante temporelle du courant,

j0Dirac = 0 = (1.127)

est clairement positive, contrairement au courant obtenu dans le cas du champde Klein-Gordon complexe.

Le cas de masse nulle correspond a` une extension de la symetrie au groupeU(1)U(1), et donc a` lapparition dun second courant conserve. Les transfor-mations independantes de L et R,

L ei L, L L ei,R ei R, R R ei,

(1.128)

qui sont appelees transformations chirales, sont des invariances et leurs courantsconserves (courants chiraux) sont

JL =L

LL = LL = 1

2(1 + 5),

JR =L

RR = RR = 1

2 (1 5).

Autrement dit, le courant axial

jA = 5, (1.129)

qui, du fait de lequation de Dirac, verie

jA = 2im5,

est conserve lorsque la masse m est nulle.

Solutions de lequation de Dirac

Comme dans le cas du champ de Klein-Gordon, nous allons considerer des ondesplanes de la forme:

(+)k (x) = e

ikxu (k) ,

()k (x) = e

+ikxv (k) ,(1.130)

avec k0 = k =m2 + k2 puisque les solutions de lequation de Dirac verient

la condition de couche de masse k2 = m2. Les spineurs u (k) et v (k) ont quatrecomposantes. Comme

i(eikx

)= keikx,


lequation de Dirac devient

(k m)u(k) = (k m)u (k) = 0,(k +m) v(k) = (k +m) v (k) = 0,

(1.131)

en utilisant le Feynman slash

k = k.Comme pour le champ de Klein-Gordon, nous dirons quune solution de la forme(+)k (x) a une energie positive et

()k (x) une energie negative.

Pour construire les solutions des equations (1.131), il est utile dintroduireles projecteurs sur les energies positive et negative. On remarque dabord que sik2 = m2,

k k = 12kk {, } = k2I4,

(k +m) (k m) = (k m) (k +m) = (k2 m2) I4 = 0,(k +m)2 = (k2 +m2) I4 + 2m k = 2m (k +m) ,(k m)2 = (k2 +m2) I4 2m k = 2m ( k +m) .

En consequence,

+ =k +m2m

, = k m2m

, (1.132)

forment un ensemble complet de projecteurs orthogonaux:

2+ = +, 2 = , + = + = 0, + + = I4. (1.133)

Comme Tr[+] = Tr[] = 2, chaque projecteur a deux valeurs propres +1 etdeux valeurs propres 0. A partir dun spineur constant w, des solutions auxequations (1.131) peuvent alors simplement etre obtenues en posant

u(k) = +w, v(k) = w.

+ et projettent respectivement sur les solutions denergie positive u(k) etnegative v(k), dou` leur nom. Comme chaque projecteur selectionne deux desquatre composantes de w, on trouvera deux solutions independantes de typeu(k) ainsi que deux de type v(k).

Pour etre plus concret, choisissons des matrices avec 0 diagonale:

0 =

(I2 00 I2

), i =

(0 ii 0

), 5 =

(0 I2I2 0

). (1.134)

Pour une particule massive au repos, k = (m,0), k = m0 et

+ =k +m2m

=

(I2 00 0

), = k m

2m=

(0 00 I2

).


Un ensemble de solutions dans ce referentiel est alors donne par

u()(m,0) = u(), v()(m,0) = v(), = 1, 2, (1.135)

avec

u(1) =

1000

, u(2) =

0100

, v(1) =

0010

, v(2) =

0001

.(1.136)

Pour k quelconque, les spineurs

u()(k) = 12m(m+k)

(k +m)u(),

v()(k) = 12m(m+k)

( k +m)v(),(1.137)

sont des solutions des equations de Dirac (1.131) qui se reduisent a` u() et v()

lorsque k = (k, k) = (m,0). On a alors:

u()(k) = 12m(m+k)

u()(k +m),

v()(k) = 12m(m+k)

v()( k +m),(1.138)

etu(1) = (1 0 0 0), u(2) = (0 1 0 0),v(1) = (0 0 1 0), v(2) = (0 0 0 1).

Les normalisations choisies sont les suivantes:

u()(k)u()(k) = ,

v()(k) v()(k) = ,u()(k) v()(k) = v()(k)u()(k) = 0.

(1.139)

De plus,

u()(k)u()(k) = v()(k) v()(k) =km. (1.140)

Finalement, nous ecrirons lexpansion en ondes planes dune solution de lequationde Dirac sous la forme

(x) = d3k(2)3

m

k

2=1

[b (k)

(+)()k + d

(k)

()()k

], (1.141)

avec

(+)()k (x) = e

ikx u() (k) , ()()k (x) = e+ikx v() (k) . (1.142)

Les nombres b (k) et d (k) sont les coecients de la superposition lineaire

dondes planes, et le facteur m est conventionnel.


La signication de lindice peut etre elucidee en se souvenant que lesoperateurs de spin sont8

S =1

2

(

00

).

Les spineurs u() et v() sont clairement des etats propres de S3, qui est diagonal,avec les valeurs propres +1/2 lorsque = 1, et 1/2 lorsque = 2. Comme k+m commute avec S3 lorsque k = (0, 0, |k|), cette remarque reste vraie dansce cas pour u()(k) et v()(k). Lindice distingue donc les valeurs propres de S3pour les solutions denergie positive ou negative.

Deux remarques devraient encore etre faites avant de clore cette section.Le choix (1.134) des matrices de Dirac est commode lorsquon sinteresse aureferentiel au repos dune particule massive. Il est cependant souvent plus utiledadopter un choix avec 5 diagonal, comme par exemple dans (1.59). Dans cecas, les solutions sont obtenues en remplacant (1.136) par

u(1) =12

1010

, u(2) = 12

0101

, v(1) = 12

1010

, v(2) = 12

0101

.

(1.143)Les remarques ci-dessus concernant la signication de restent evidemment va-lables.

Ensuite, on verie facilement que

2=1

u()u() =1

2(I + 0),

2=1

v()v() = 12(I 0)

(quel que soit le choix de 0). Avec lidentite

(k m)0(k m) = 2k(k m),

qui est veriee lorsque k2 = m2, il vient

2=1

u()(k)u()(k) = +,2

=1

v()(k) v()(k) = . (1.144)

Ces derniers resultats seront utiles lorsquil sagira de sommer sur les orientationsdu spin dune particule (ou antiparticule) de spin 1/2.

Helicite, masse nulle et chiralite

Lhelicite est la projection du spin dans la direction de limpulsion p. Elle estmesuree par loperateur

8Voir le paragraphe 1.3.4.


|p|1 p S, S = (23, 31, 12), kl = i4[k, l],

dont les valeurs propres sur un spineur sont +1/2 (helicite droite) et1/2 (helicitegauche).

Pour un spineur de masse nulle, lequation de Dirac devient i(x) = 0,cest-a`-dire, pour une onde plane denergie positive (x) = eipxu(p),

p u(p) = 0, p0 = |p|.La relation

50 p = 5p0 + 2p S (1.145)

implique2|p |1p S u(p) = 5 u(p). (1.146)

Un etat propre de la chiralite (5u(p) = 1) est donc un etat propre de lhelicitede valeur propre 1/2 pour une solution denergie positive, et 1/2 si lenergieest negative, p0 = |p|. Sur les spineurs de Weyl de masse nulle9

p S|p| L =

1

2L,

p S|p| R =

1

2R. (1.147)

Ces resultats sappliquent egalement dans la limite ultrarelativiste |p| m, p0 =

p 2 +m2 |p| qui est souvent valable en physique des hautes energies.Les projecteurs distinguent les solutions denergie positive et negative. Il

existe de meme un projecteur qui selectionne la solution pour laquelle le spin estdans une direction donnee quelconque. On denit cette direction au moyen dunquadrivecteur n de genre espace, avec n2 = 1. Alors

P (n) =1

2(I + 5 n) (1.148)

est un projecteur, P (n)2 = P (n) puisque n n = I. Un ensemble complet estobtenu en lui ajoutant le projecteur P (n) = I P (n). Si par exemple, pourune particule massive, on se place dans le referentiel du centre de masse et onchoisit n = (0, 0, 0, 1),

P (n) =1

2

(I 20S3

)selectionne les solutions ayant la meme valeur propre de 0 et de 2S3, cest-a`-direcelle denergie positive avec le spin en haut (spineur u(1)) et celle denergienegative avec le spin en bas (spineur v(2)).

Pour un spineur de masse non nulle, un choix particulier de n conduit auprojecteur sur les etats propres de lhelicite10:

np =

( |p|m,p0

m|p|p).

9Cest lorigine de la notation L,R = left, right.10Dans la limite non relativiste, |p| m, |p| 0, np (0, |p|1p).


Comme p np = 0, np p = pnp et

[P (np),] = 0.

On montre avec laide de lidentite (1.145) que

P (np) =1

2

I 2 S p|p|

= 1

2

I 2 S p|p|

. (1.149)

Pour une solution denergie positive (particule), P (nk) selectionne letat dheli-cite gauche. Pour une solution denergie negative (antiparticule), P (nk) retientlhelicite droite.

Il est parfois utile dutiliser une base des solutions de lequation de Diracconstruite a` partir detats propres de lhelicite, au lieu des spineurs u() et v()

qui sont des etats propres de S3. Dans la representation (1.134) des matrices deDirac,

S p = 12

(

p 00 p

).

Denissons alors

u()(p) = [2m(m+ p)]1/2( p+m)

(()

0

),

v()(p) = [2m(m+ p)]1/2( pm)(

0()

),

= 1, 2, (1.150)

ou` les quatre spineurs a` deux composantes () et () sont solutions de

|p|1( p)(1) = (1), |p|1( p)(2) = (2)

|p|1( p)(1) = (1), |p|1( p)(2) = (2).(1.151)

Clairement,

|p|1(S p)u()(p) = u()(p),|p|1(S p)v()(p) = v()(p),

1 =1

2, 2 = 1

2.

Dans la representation chirale (1.59) des matrices de Dirac, les quatre solutions(1.150) deviennent

u()(p) = [2m(m+ p)]1/2( p+m)

(()

()

),

v()(p) = [2m(m+ p)]1/2( pm)( ()

()

), = 1, 2.

(1.152)

INVARIANCE DE JAUGE ET THEORIES DE JAUGE 35

1.5 Invariance de jauge et theories de jauge

Le concept dinvariance de jauge est a` la base de la construction du Mode`le stan-dard des interactions fortes, faibles et electromagnetiques des particules elemen-taires. Il determine, conjointement avec les restrictions imposees par la coherencede la theorie quantique des champs, la forme possible des interactions des quarkset des leptons, impose lexistence de bosons de jauge (photon, gluons, W et Z0)et la structure de leurs interactions.

Pour formaliser le principe dinvariance de jauge, nous allons considerer toutdabord une theorie classique decrivant un ensemble de champs scalaires reelsi(x) et de spineurs I(x) sans masses ni interactions. La densite lagrangiennene comprendra donc que les termes de propagation dependant de derivees deschamps. De plus, comme les composantes gauches (IL) et droites (

IR) se trans-

forment separement sous le groupe de Lorentz, elles sont independantes dans latheorie libre et sans masse. La densite lagrangienne est:

L0 = 12(

i)(i) + iLI

IL + iRJ

JR (1.153)

(on somme sur les indices repetes i, I et J). Les nombres de champs scalaires,de fermions gauches et droits seront respectivement notes Ns, NL et NR. Enprincipe, NL et NR peuvent etre dierents.

La densite lagrangienne posse`de automatiquement une invariance globale e-tendue. Premie`rement, le terme cinetique des champs scalaires est invariant sousles transformations

i i = Oijj,Nsk=1

OkiOkj = ij. (1.154)

Matriciellement, OO = I, O est une matrice reelle orthogonale et le groupe desymetrie est le groupe des rotations O(Ns). Ensuite, les transformations globales

IL IL = U IJJL, (U )IJUJK = IK ,IR IR = V IJ JR, (V )IJV JK = IK ,

(1.155)

laissent la densite lagrangienne (1.153) inchangee. Il sagit des transformationsunitaires du groupe U(NL) U(NR): cest la symetrie chirale des theories defermions sans masse, deja` rencontree dans la section 1.4.2. La theorie (1.153)posse`de donc une symetrie globale O(Ns) U(NL) U(NR).

Pour discuter linvariance de jauge, nous allons imposer quun sous-groupe decette symetrie globale soit une symetrie locale de la densite lagrangienne. Plus


precisement, nous allons demander que les transformations

j j =(ei

ATAs)jkk,

JL J L =(ei

ATA

)JKKL ,

JR J R =(ei

ATAr)JKKR ,

(1.156)

avec des parame`tres A dependant du point de lespace-temps,

A A(x),soient des symetries de jauge de la theorie. Chaque element du groupe detransformations (groupe de jauge) apparaissant dans (1.156) a ete ecrit commelexponentielle dun element de lalge`bre de Lie du groupe de jauge. Nous avonsvu dans la section 1.2 que les matrices TAs forment un ensemble de generateursde cette alge`bre de Lie. Cest egalement le cas des matrices TA et T

Ar . Les re`gles

de commutation

[TA+ , TB+ ] = if

ABCTC+ , B = s, ou r, (1.157)

sont donc veriees. Ces generateurs sont en general dierents pour les scalaires[les matrices TAs ] et les spineurs [les matrices T

A et T

Ar ]: les champs

i, IL et IR

se transforment en general selon des representations dierentes de lalge`bre. Enparticulier, puisque les i sont des champs reels, les matrices TAs seront purementimaginaires. Nous ne considererons que des groupes de symetrie compacts pourlesquels les generateurs sont des matrices hermitiques (TAs,,r = (T

As,,r)

) et lesconstantes de structure fABC sont des nombres reels qui peuvent etre choisiscomple`tement antisymetriques: fABC = fCAB = fBAC .

Champs de jauge et derivees covariantes

Comme

(j) =

(ei

ATAs)jk

k +[(ei

ATAs)jk

]k,

(JL) =

(ei

ATA

)JK

KL +

[(ei

ATA

)JK

]KL ,

(JR)

=(ei

ATAr)JK

KR +

[(ei

ATAr)JK

]KR ,

(1.158)

la densite lagrangienne (1.153) nest pas invariante de jauge. Pour restaurerla symetrie, il est necessaire de compenser les deuxie`mes termes. Ceci requiertlintroduction dun champ de jauge11 AA (x) pour chaque transformation indepen-dante et donc pour chaque generateur (dou` lindice A). Les transformations

11Aussi appele potentiel de jauge, par analogie avec le quadrivecteur des potentiels dans latheorie de Maxwell.


de ces champs de jauge sont ensuite determinees en imposant que les deriveescovariantes

Dj =

j iAA (TAs )jkk,D

JL =

JL iAA (TA )JKKL ,

DJR =

JR iAA (TAr )JKKR ,

(1.159)

aient les memes transformations que les champs eux-memes (une somme sur lesvaleurs de lindice A est sous-entendue). On veut donc obtenir:

Dj Dj =

(ei

ATAs)jkD

k,

DJL DJ L =

(ei

ATA

)JKD

KL ,

DJR DJ R =

(ei

ATAr)JKD

KR .

(1.160)

Dans un premier temps, il est plus facile de se restreindre a` des transformationsinnitesimales, cest-a`-dire, pour les champs scalaires,

i = iA(TAs )ij

j,

i = iA(TAs )

ij(

j) + i(A)(TAs )

ij

j,

Di = iA(TAs )

ijD

j

+ij{(A)(TAs )ij (AA )(TAs )ij iAAB([TA, TB])ij}.Pour que la dernie`re ligne sannule, il faut que

A

(AA )TAs =

A

(

ATAs + AA

B,C

fABCBTCs).

Les generateurs peuvent toujours etre normalises par la condition

Tr(TAs TBs ) = (s)

AB, (1.161)

ou` le nombre reel (s) depend de la representation. Il suit alors que

AA AA + AA ,AA =

A +B,C

fABCABC .

(1.162)

Cette expression est bien entendu independante du choix de la representation desscalaires. On laurait egalement obtenue en considerant les transformations desfermions gauches ou droits.

Le meme argument applique au cas general des transformations (1.156) con-duit a`

A

AA TA+ = e

iBTB [i +A

AATA+ ]e

iCTC , B = s, ou r, (1.163)


en notation matricielle (et avec une somme sur B et C). A nouveau, lequation(1.163) determine la meme transformation des champs de jauge pour TA = TAs ,TA ou T

Ar . Elle se rame`ne a` (1.162) lorsque les parame`tres

A sont innitesimauxet au premier ordre en A.

Dapre`s (1.160), les termes cinetiques de la densite lagrangienne deviennentinvariants de jauge lorsque les derivees sont remplacees par les derivees co-variantes D appropriees. On aura donc

L0 = 12(D

i)(Di) + LJ iD

JL + RJ i

DJR, (1.164)

qui est invariant de jauge et contient des interactions scalaireschamps de jaugeet fermionschamps de jauge. Cette theorie ne contient cependant pas de termesassurant la propagation des champs de jauge: elle ne depend pas des deriveesA

A . La prochaine etape est donc la construction de la densite lagrangienne

cinetique des champs de jauge, qui doit etre invariante de jauge.

Courbure de jauge, termes de propagation

Pour construire les termes cinetiques des champs de jauge, on introduit la cour-bure de jauge12

FA = AA AA +

BC

fABCABAC . (1.165)

Comme les fABC sont antisymetriques, FA = FA. Sa transformation de jauge(innitesimale) est

FA = FA +

B,C

fABCFBC . (1.166)

La verication de ce resultat utilise lidentite de JacobiB

(fACBfBDE + fADBfBEC + fAEBfBCD

)= 0,

qui decoule de lidentite matricielle triviale

[TA, [TB, TC ]] + [TB, [TC , TA]] + [TC , [TA, TB]] = 0.

Lexpression

14FAF

A , (1.167)

qui est invariante de jauge13, est la densite lagrangienne de Yang-Mills qui decritla propagation et les interactions des champs de jauge.

Constantes de couplage

Il reste a` faire apparatre les constantes de couplage qui caracteriseront la force desinteractions impliquant les champs de jauge contenues dans (1.167) et (1.164).

12Aussi appelee tenseur du champ de jauge, par opposition au potentiel de jauge AA . Enanglais: eld strength.

13Puisque FAF A = fABCFAF

BC = 0.


En general, le groupe de jauge G a la structure G = G1 G2 . . . = Ga.Chaque Ga est soit un groupe simple, soit U(1). Par exemple, le groupe de jaugedu Mode`le standard est G = SU(3)SU(2)U(1). Deux generateurs TA et TBpris dans deux facteurs Ga dierents commutent et f

ABC = 0, pour tout autregenerateur TC . Supposons quon eectue le remplacement

AA gAAA , (gA : des nombres reels non nuls)dans les derivees covariantes et les courbures de jauge. Et aussi

FA gA[A

A AA +

BC

(gA)1gBgCfABCABAC

] gAFA .

Pour que la transformation de jauge (1.166) reste valable, il faut que

gA = gB = gC fABC = 0. (1.168)Ceci implique que linvariance de jauge ne permet quune constante de couplagepour chaque facteur du groupe de jauge Ga. Le nombre de parame`tres arbitrairescontenus dans (1.167) et (1.164) est donc egal au nombre de facteurs formant legroupe de jauge.

Densite lagrangienne cinetique

En resume, pour un groupe de jauge G =aGa, la partie de la densite lagran-

gienne invariante de jauge qui depend des derivees des champs est donnee parlexpression

Lcin. = 14FAF

A +1

2(D

i)(Di) + LJ iD

JL + RJ i

DJR. (1.169)

Elle contient lensemble des termes invariants qui decrivent la propagation deschamps de spins 0, 1/2 et 1 (ou plus precisement dhelicites 0, 1/2 et 1), ainsique les interactions des champs de jauge. Les derivees covariantes sont

Dj =

j iA

gAAA (TAs )

jk

k,

DJL =

JL i

A

gAAA (TA )

JK

KL ,

DJR =

JR i

A

gAAA (TAr )

JK

KR ,

(1.170)

et les courbures de jauge secrivent

FA = AA AA + gA

BC

fABCABAC . (1.171)

Les constantes de couplage gA verient (1.168). Finalement, les transformationsinnitesimales sont donnees par (1.156) et par:

AA = (gA)1A +

B,C

fABCABC ,

FA =B,C

fABCFBC .

(1.172)


Les constantes de couplage de jauge sont des nomb

théorie quantique des champs direndinger

Documents