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Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Theorie digitaler Systeme

Vorlesung 6: Impulsantwort und Faltung

Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich

• Beispiele führten zu linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten

• Derartige Systeme haben einige grundlegende Eigenschaften, sie entsprechen den Eigenschaften

linearer, zeitinvarianter Systeme im zeitkontinuierlichen Bereich

• Lineare Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreiben zeitdiskrete, lineare,

zeitinvariante Systeme (LTI-Systeme)

• Definition und Nachweis grundlegende Systemeigenschaften

– Linearität

– Zeitinvarianz

– Stabilität

– Kausalität

Grundlegende Systemeigenschaften



• Für ein System sind die Systemantworten y1[k] und y2[k] bekannt, die sich aus den Anregungen

x1[k] und x2[k] ergeben

• Ein lineares System reagiert auf eine Anregung

mit der Systemantwort

• Beweis der Linearität erfolgt über Einsetzen der Anregung in die Systemgleichung

Linearität eines zeitdiskreten Systems

( )1 1y k f u k= ( )2 2y k f u k=

1 1 2 2u k u k u k= +

1 1 2 2y k y k y k= +



• Filter mit der rekursiven Differenzengleichung soll auf Linearität untersucht werden

• Systemantworten y1[k] und y2[k] berechnen sich mit der Differenzengleichung zu

• Beweis der Linearität

Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters

( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −

( ) 1 1 1y k 1 GF u k GF y k 1= − + − ( ) 2 2 2y k 1 GF u k GF y k 1= − + −

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2

y k 1 GF u k GF y k 1

1 GF u k u k GF y k 1 y k 1

1 GF u k GF y k 1 1 GF u k GF y k 1

y k y k

= − + −

= − + + − + −

= − + − + − + −

= +



Beispiel: Linearität eines rekursiven Filters

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u1[k

]

Eingangssignal 1

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u2[k

]

Eingangssignal 2

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

u[k

] =

u1[k

] +

u2[k

]

Superposition Eingangssignale

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y1[k

]

Ausgangssignal 1

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y2[k

]

Ausgangssignal 1

-5 0 5 10 15 20

0

1

2

Folgenindex k

y[k

] =

y1[k

] +

y2[k

]

Superposition Ausgangssignale



• Ein System reagiert auf ein Eingangssignal u[k]

mit einer Systemantwort y[k]

• Zeitinvariante Systeme reagieren auf das

verzögerte Eingangssignal u[k - k0] mit dem

Ausgangsignal y[k - k0].

• Beispiel rekursives Filter

• Zeitinvariante Systeme haben Differenzen-

gleichungen mit konstanten Koeffizienten

Zeitinvarianz eines zeitdiskreten Systems

( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −

( ) 0 0 0y k k 1 GF u k k GF y k k 1− = − − + − −

-5 0 5 10 15 20

0

1

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y[k

]

Anregung zu k0 = 0

-5 0 5 10 15 20

0

1

Folgenindex kS

ign

alfo

lge

y[k

- 5

]

Anregung zu k0 = 5

Eingang Ausgang



• System ist

– stabil, wenn es nach einer Anregung mit

endlicher Energie wieder seine Ruheposition

erreicht

– grenzstabil, wenn es nach Anregung mit

endlicher Energie zu einem konstanten

Ausgangswert konvergiert

– instabil, wenn es auf eine Anregung endlicher

Energie mit divergierendem Ausgangssignal

reagiert

• Stabilitätsdefinition wird für zeitdiskrete Systeme

übernommen

• Beispiel für Systeme mit unterschiedlichen

Stabilitätseigenschaften

Stabilität eines zeitdiskreten Systems

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex kS

ign

alfo

lge

y3[k

]

Instabiles System

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y2[k

]

Grenzstabiles System

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y1[k

]

Asymptotisch stabiles System



• Stabilitätseigenschaften lassen sich für u[k] = 0 an

der Differenzengleichung abgelesen

• Bei stabilem System ergibt sich der neuer

Ausgangswert aus einem Bruchteil des alten

Ausgangswertes

• Bei grenzstabilem System sind alter und neuer

Ausgangswert identisch

• Bei instabilem System ergibt sich der neue

Ausgangswert aus einem Vielfachen des alten

Ausgangswertes

Stabilität eines zeitdiskreten Systems

1 1

1y k 10 u k y k 1

2= + −

2 2y k 2 u k y k 1= + −

3 3

1 11y k u k y k 1

2 10= + − -5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex kS

ign

alfo

lge

y3[k

]

Instabiles System

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y2[k

]

Grenzstabiles System

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y1[k

]

Asymptotisch stabiles System



• Für die Realisierbarkeit eines Systems darf das Ausgangssignal zu einem gegebenen Zeitpunkt nur von

Werten der Eingangssignale zu diesem oder einem früheren Zeitpunkt abhängen

• Verhalten wird bei zeitkontinuierliche Systeme als die Eigenschaft der Kausalität eines Systems

bezeichnet, das System reagiert erst nach der Anregung

• Liegt eine Systembeschreibung über eine Differenzengleichung vor, kann die Kausalität direkt bewertet

werden

• Da alle Indizes m und n größer gleich null sind, ist ein System, das durch eine lineare

Differenzengleichung der obigen Form beschrieben werden kann, ein kausales System

Kausalität eines zeitdiskreten Systems

M N

m nm 0 n 1

y k d u k m c y k n= =

= − − −



• Gleitender Mittelwert hat die Differenzengleichung

• Weil das Ausgangssignal nur vom aktuellen und

vergangenen Eingangswerte abhängt, ist das

System kausal.

• Ein System mit der Differenzengleichung

ist nicht mehr kausal

Beispiel: Kausalität eines zeitdiskreten Systems

-5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

Folgenindex k

Sig

na

l

Kausales System

Eingang Ausgang

-5 0 5 10 15 20-0.5

0

0.5

1

1.5

Folgenindex kS

ign

al

Nicht kausales System

Eingang Ausgang

( )1

1y k u k u k 1 u k 2 u k 3 u k 4

5= + − + − + − + −

( )2

1y k u k 2 u k 1 u k u k 1 u k 2

5= + + + + + − + −



• Folgende Darstellungen beschränken sich auf Systeme, die linear und zeitinvariant sind und als

LTI-Systeme bezeichnet werden

• LTI-Systeme sind besonders anschaulich und einfach im Zeit-, Bild- und Frequenzbereich zu beschreiben

und zu interpretieren

• Systeme, die mit einer

– linearen Differenzengleichung mit

– konstanten Koeffizienten

beschrieben werden können, erfüllen die Bedingungen nach Linearität und Zeitinvarianz

• Methoden entsprechen sinngemäß den Methoden zeitkontinuierlicher Systeme

Systemeigenschaften – LTI-Systeme

N M

n mn 0 m 0

c y k n d u k m= =

− = −



• Die beschriebenen Beispiele haben ein Systemverhalten, das über lineare Differenzengleichungen N-ter

Ordnung mit konstanten Koeffizienten beschrieben wird

• Zur Berechnung des Ausgangssignals stehen unterschiedliche Methoden zur Verfügung, die teilweise im

Zeitbereich und teilweise im Bildbereich ausgeführt werden

• Zunächst werden Lösungsansätze im Zeitbereich beschrieben

– Rekursive Lösung

– Vier-Schritt-Methode

– Lösung über die Faltungssumme

– Grafische Faltung

Lösung linearer Differenzengleichungen im Zeitbereich



• Differenzengleichung N-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet in ihrer allgemeinsten Form

• Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann die Annahme c0 = 1 getroffen werden

• Aktuelles Ausgangssignal ergibt sich allgemein aus dem aktuellen Wert des Eingangssignals sowie den

vergangenen Werten des Ein- und Ausgangssignals

• Ausgangssignale der oben dargestellten Systeme wurden mit Hilfe dieser rekursiven Darstellung

berechnet

Lösung linearer Differenzengleichungen – Rekursive Darstellung

N M

n mn 0 m 0

c y k n d u k m= =

− = −

M N

m nm 0 n 1

y k d u k m c y k n= =

= − − −



• Für die Diskussion von Systemeigenschaften ist es notwendig, eine geschlossene Darstellung des

Ausgangssignals zu erhalten

• Für die Lösung von linearen Differenzengleichungen mit konstanten Koeffizienten gibt es wie im

kontinuierlichen Bereich für lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten die Vier-Schritt-

Methode

– Berechnung der homogenen Lösung

– Berechnung einer partikulären Lösung

– Kombination von homogener und partikulärer Lösung

– Bestimmung der Konstanten über Anfangsbedingungen

• Verfahren wird praktisch nicht angewendet, stattdessen wird die z-Transformation angewendet, das

Pendant zur Laplace-Transformation

Lösung linearer Differenzengleichungen – Vier-Schritt-Methode



• Ausgangssignal eines zeitdiskreten Systems ist von

dem Anfangszustand abhängig, sind die

Anfangsbedingungen null, ist das System energiefrei

• Wie im zeitkontinuierlichen Bereich wird die Reaktion

eines energiefreien Systems auf eine sprungförmige

Erregung [k] als Sprungantwort h[k] bezeichnet

• Da sich der Impuls als Differenz zweier Sprünge

darstellen lässt

ergibt sich die Impulsantwort bei linearen,

zeitinvarianten Systemen zu

Lösung linearer Differenzengleichungen – Impuls- und Sprungantwort

energiefreies LTI

System

k h k

k g k

k k k 1 = − −

g k h k h k 1= − −



• Ist ein System linear und zeitinvariant, kann ein Ausgangssignal dadurch berechnet werden, dass die

Eingangssignale zerlegt, ihre jeweiligen Systemantworten berechnet und anschließend addiert werden

• Als erste Anwendung dieses Prinzips wurde die Impulsantwort als Differenz zweier Sprungantworten

berechnet

• Beispiel rekursive Filter mit der Differenzengleichung

Anregung mit einer Rechteckfolge der Länge 10 und der Höhe 5, Eingangssignal kann als Summe zweier

Sprungfolgen dargestellt werden

Ausgangssignal ergibt sich als Summe der beiden Sprungantworten

Lösung linearer Differenzengleichungen – Superpositionsprinzip

( ) y k 1 GF u k GF y k 1= − + −

( ) u k 5 k k 10 5 k 5 k 10= − − = − −

( ) ( )k 1 k 9y k 5 h k 5 h k 10 5 1 GF k 5 1 GF k 10+ −= − − = − − − −



Lösung linearer Differenzengleichungen – Superpositionsprinzip

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u 1

[k]

Eingangssignal 1

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y 1

[k]

Ausgangssignal 1

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u 2

[k]

Eingangssignal 2

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y 2

[k]

Ausgangssignal 2

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u[k

]

Superposition Eingangssignale

0 5 10 15 20 25-6

-3

0

3

6

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y[k

]

Superposition Ausgangssignale



• Mit Ausblendeigenschaft der Impulsfolge kann ein beliebiges Eingangssignal u[k] beschreiben werden als

Linearkombination um verschobener Impulse mit dem Gewicht u[]

• Systemantwort y[k] auf ein Eingangssignal u[k] kann nach dem Superpositionsprinzip aus derselben

Linearkombination verschobener Impulsantworten dargestellt werden

• Operation wird als Faltungsoperation bezeichnet, zeitdiskrete Faltung entspricht weitgehend

zeitkontinuierlicher Faltung

Lösung linearer Differenzengleichungen – Faltungssumme

u k u k

=−

= −

y k u g k u k g k

=−

= − =



• Der im vorangegangenen Abschnitt behandelte Algorithmus zur gleitenden Mittelung führte zu der

Differenzengleichung

• Durch Einsetzen der Impulsfolge als Eingangssignal ergibt sich die Impulsantwort zu

• Ausgangssignal zu einem beliebigen Eingangssignal kann berechnet werden durch die Faltungssumme

Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch Faltung

( )1

y k u k u k 1 u k 2 u k 3 u k 45

= + − + − + − + −

( )1

g k k k 1 k 2 k 3 k 45

= + − + − + − + −

4

0

1y k u g k u k

5

=− =

= − = −



• Beispiel zur grafischen Faltung

• Folge u[k] wird als Sprungfolge angenommen,

Folge g[k] ergibt sich aus

• Faltung ist über eine Summenformel definiert, sie

kann umgeformt werden zu

Beispiel: Lösung linearer Differenzengleichungen durch grafische Faltung

g k 2 k k 2 k 4= − − − −

u k g k u g k

u g ( k)

=−

=−

= −

= − −

-10 0 10 20

0

1

2

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

u[k

]

Eingangssignal

-10 0 10 20

0

1

2

Folgenindex kS

ign

alfo

lge

g[k

]

Impulsantwort



• Vorgehen orientiert sich an der grafischen Faltung

für zeitkontinuierliche Funktionen

• Das Beispiel verdeutlicht folgenden Ablauf bei der

grafischen Faltung zweier Folgen:

– Spiegelung von g an der Achse = 0

– Verschiebung der Folge um k

– Multiplikation der Folgenwerte

– Addition aller Produkte

• Vorgehen wird für verschiedene k durchgeführt, es

ergibt sich y[k]


-10 0 10 20

0

1

2

Zeitpunkt k = 0

Folgenindex

Sig

na

lfo

lge

n

u[] g[-]

-10 0 10 20

0

1

2

Zeitpunkt k = 1

Folgenindex

Sig

na

lfo

lge

n

u[] g[1-]

-10 0 10 20

0

1

2

Zeitpunkt k = 3

Folgenindex S

ign

alfo

lge

n

u[] g[3-]



• Für negative Folgenindizes k überschneiden sich

die beiden Folgen nicht

• Zum Zeitpunkt k = 0 überschneiden sich die

beiden Folgen an genau einer Stelle = 0,

Ausgangssignal y[0]= 2

• Für k = 1 ergibt sich eine Überschneidung der

ersten beiden Werte, nach Bildung des Produktes

werden die Ergebnisse addiert und es ergibt sich

y[1]= 2 + 2 = 4

• Für k 3 überschneidet sich die Folge g komplett

mit der Folge x, so dass sich der Wert des

Ausgangssignals nicht weiter ändert


-10 0 10 20

0

2

4

6

8

Folgenindex k

Sig

na

lfo

lge

y[k

]



• Darstellung der zeitdiskreten Faltung in der

Applikation zeitdiskrete Faltung

• Link auf Applikation in Systemtheorie Online

verfügbar

• Es können unterschiedlichen Folgen u[k] und

g[k] ausgewählt werden

• Überlappungsbereich der beiden Folgen, das

Produkt der überlappenden Folgenwerte sowie

die Summe über das Produkt sind in

unterschiedlichen Fenstern dargestellt

Applikation: Zeitdiskrete Faltung



Zusammenfassung – Eigenschaften der Faltungssumme

Rechenregel Darstellung als Gleichung

Kommutativgesetz

Distributivgesetz

Assoziativgesetz

Faltung kausaler Folgen

Faltung mit einem Impuls

Faltung mit einem Impuls an der Stelle k0

1 2 2 1x k x k x k x k =

( ) 1 2 3 1 3 2 3x k x k x k x k x k x k x k+ = +

( ) ( )1 2 3 1 2 3x k x k x k x k x k x k =

k

1 2 1 2

n 0 n 0

x n x k n x n x k n

= =

− = −

y k k x k x k= =

0 0y k k k x k x k k= − = −



• Ein zeitdiskretes System besitzt die Impulsantwort

• Berechnen Sie die ersten 6 Werte der Impulsantwort und skizzieren Sie das Ergebnis

• Berechnen Sie die Sprungantwort des Systems über die Faltungssumme

und über die rekursive Differenzengleichung

• Vergleichen Sie die Ergebnisse

Übungsaufgabe: Zeitdiskrete Systeme im Zeitbereich

k

1g k k

2

=

h k h k 1 g k= − +

0

y k u k g

=

= −

theorie digitaler systeme - eit.hs-karlsruhe.de · fakultät für elektro- und informationstechnik,...

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