theoretische physik f - zusammenfassung · 2015-07-22 · richard gebauer theoretische physik f...

Richard Gebauer Theoretische Physik F Stand: 22. Juli 2015

Theoretische Physik F - ZusammenfassungDiese Zusammenfassung erhebt keinen Anspruch auf Vollstandigkeit oder Korrektheit.Solltet ihr Fehler finden oder Erganzungen haben, teilt sie mir bitte mit: [email protected]

1 Thermodynamik1.1 Definitionen, Begriffe, ZustandsgleichungenZustandsgroßen

Temperatur T , Teilchenzahl N , Entropie S, innere Energie UGas: Volumen V , Druck PMagnetisches System: Magnetisierung ~M , Magnetfeld ~Hextensiv: skalieren mit dem System (N , V , . . .) intensiv: Kontaktvariablen (P , T , . . .)

Ideales und reales Gas

Ideales-Gas-Gleichung: (Zustandsgleichung)

PV = NkT = nRT

(k Boltzmann Konstante, R ideale Gaskonstante)Kalorische Zustandsgleichung (ideale Gase):

CV = f

2Nk

(CV Warmekapazitat bei konstantem Volumen)Van-der-Waals-Gleichung (reales Gas)

(P + a · N2

V 2 )(V − b ·N) = NkT

(a, b Konstanten)

1.2 Hauptsatze der Thermodynamik0. Hauptsatz (Temperatur, Gleichgewicht)

Systeme im Gleichgewicht haben die selbe Temperatur.

1. Hauptsatz (Energieerhaltung)

Zufuhren von Warme δQ, vom System geleistete Arbeit δW , Anderung der Teilchenzahl dN :

dU = δQ− δW + µdN

Oft findet geleistete Arbeit durch Volumenanderung statt: δW = PδV .

2. Hauptsatz (Entropie)

Warme fließt immer von hoher zu niedriger Temperatur, bzw. in einem abgeschlossenen System gilt:

dS ≥ 0 und Gleichheit gdw. der Prozess reversibel ist.

3. Hauptsatz (Nernst-Theorem, absoluter Temperatur-Nullpunkt)

S(T = 0) = 0

D.h. T = 0 ist nicht mittels endlicher Anderung thermodyn. Parameter erreichbar.

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1.3 Carnot’scher KreisprozessZwei Warmereservoire T2 > T1.

1. isotherme Expansion: T = T2, Warmezufuhr

2. adiabatische Expansion: T2 → T1, δQ = 0

3. isotherme Kompression: T = T1, Warmeabgabe

4. adiabatische Kompression: T1 → T2, δQ = 0

Prozess in umgekehrter Richtung: Warmepumpe.Wirkungsgrad:

ηC = 1− T1

T2

Keine Maschine hat einen hoheren Wirkungsgrad als die Carnot-Maschine.

1.4 Entropie

dS = δQ

T|rev. >

δQ

T|irrev.

Entropie ist maximal im Gleichgewicht (dS = 0).

1.5 Fundamentale Relation der ThermodynamikFundamentalgleichung der Thermodynamik

dS ≥ 1TdU + P

TdV − µ

TdN mit

> fur irreversible Prozesse= fur reversible Prozesse(

∂S

∂U

)V,N

= 1T

;(∂S

∂V

)U,N

= P

T;(∂S

∂N

)U,V

= −µT

Euler-Gleichung

ST = U + PV − µN

Gibbs-Duhem-Relation

SdT − V dP +Ndµ = 0

1.6 Thermodynamische PotentialeInnere Energie U(S, V,N)

Entropie S, Volumen V und Teilchenzahl N sind kontrolliert/gegeben.

dU ≤ TdS − PdV + µdN

Euler-Gleichung: U = TS − PV + µN(∂U

∂S

)V,N

= T ;(∂U

∂V

)S,N

= −P ;(∂U

∂N

)S,V

= µ

Maxwell-Relationen (durch 2. Ableitungen von U als vollstandiges Differential):(∂T

∂V

)S,N

= −(∂P

∂S

)V,N

;(∂T

∂N

)S,V

=(∂µ

∂S

)V,N

;(∂P

∂N

)S,V

= −(∂µ

∂V

)S,N

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Helmholtz-Freie Energie F (T, V,N)

F = U − TS = −PV + µN

dF ≤ −SdT − PdV + µdN

S = −(∂F

∂T

)V,N

; P = −(∂F

∂V

)T,N

; µ =(∂F

∂N

)T,V

Maxwell-Relationen:(∂S

∂V

)T,N

=(∂P

∂T

)V,N

;(∂S

∂N

)T,V

= −(∂µ

∂T

)T,V

;(∂P

∂N

)T,V

= −(∂µ

∂V

)T,N

Enthalpie H(S, P,N)

H = U + PV = TS + µN

dH ≤ TdS + V dP + µdN

Gibbs’sche freie Energie G(T, P,N)

G = F + PV = H − TS = µN

dG ≤ −SdT + V dP + µdN

Großkanonisches Potential Ω(T, V, µ)

Nicht nur Warme, sondern auch Teilchenaustausch

Ω(T, V, µ) = F − µN = −PV

dΩ ≤ −SdT − PdV −Ndµ

S = −(∂Ω∂T

)V,µ

; P = −(∂Ω∂V

)T,µ

; N = −(∂Ω∂µ

)T,V

Maxwell-Relationen:(∂S

∂V

)T,µ

=(∂P

∂T

)V,µ

;(∂S

∂µ

)T,V

=(∂N

∂T

)V,µ

;(∂P

∂µ

)T,V

=(∂N

∂V

)T,µ

1.7 Response-FunktionenWarmekapazitat

Definition nur sinnvoll fur reversible Prozesse

CV = T

(∂S

∂T

)V,N

= −T(∂2F

∂T 2

)V,N

=(∂U

∂T

)V,N

CP = T

(∂S

∂T

)P,N

= −T(∂2G

∂T 2

)P,N

=(∂H

∂T

)P,N

Kompressibilitat

κT = − 1V

(∂V

∂P

)T,N

; κS = − 1V

(∂V

∂P

)S,N

Thermische Ausdehnung

α = 1V

(∂V

∂T

)P,N

Fur N = const. findet man:CP − CV = TV

α2

κT

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1.8 Gleichgewichts- und StabilitatsbedingungenAustausch einer extensiven Große: konjugierte intensive Große im Gleichgewicht angeglichen:

⇒

TA = TB bei WarmeaustauschPA = PB bei VolumentaustauschµA = µB bei Teilchenzahlaustausch

Weiter gilt fur die td. Potentiale (im Gleichgewicht):

• Freie Energie F (T, V,N) ist konkav in T und konvex in V .

• Gibbs’sche Freie Energie G(T, P,N) ist konkav in T und P .

• Enthalpie H(S, P,N) ist konkav in P .

2 Grundlagen der statistischen Physik2.1 Statistisches Ensemble, fundamentales PostulatPhasenraum

• 2DN -Dimensionaler Phasenraum in D Dimensionen mit N Teilchen: Koordinaten und Impulse

• Verschiedene Trajektorien im Phasenraum schneiden sich nicht, da Phasenraumgeschwindigkeitdurch Koordinaten und Impulse eindeutig festgelegt (Hamilton-Formalismus)

• Energieerhaltung ⇒ Bewegung auf (2DN − 1)-dimensionaler Hyperflache

• 6N -dim. Volumen mit Energie H(x) ≤ E: Ω(E) =∫dx θ(E −H(x))

• Oberflache von Ω(E): Σ(E) = dΩdE

=∫dx δ(E −H(x))

• Zahl der Zustande mit E < H(x) < E + dE: Σ(E)dE

• Ein Zustand hat Volumen ∆q∆p = 2π~

Statistisches Ensemble

Ensemble von (identischen) Teilchen. Statt alle Teilchen anzugeben, betrachten wir Mikrozustande ~x =(~q, ~p) und die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(~x, t), die angibt, wie wahrscheinlich so ein Zustand eintritt.

Liouville-Gleichung

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ entwickelt sich in der Zeit im Phasenraum wie eine (inkompressible)stromende Flussigkeit:

d

dtρ(~x, t) = ∂

∂tρ(~x, t) + ~x · ~∇ρ(~x, t) = 0

Mit der Poisson-Klammer ·, · und dem klassischen Liouville-Operator LA = −iH,A folgt:

i∂ρ

∂t= −iH, ρ = −i

∑k

(∂H

∂qk

∂ρ

∂pk− ∂H

∂pk

∂ρ

∂qk

)= Lρ

Stationare Losungen erfullen H, ρ(~x) = 0. Somit u.a. alle (nur) energieabhangigen Dichten ρ(H(~x)).

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Fundamentales Postulat der kl. stat. Mechanik

abgeschlossenes System, Energie E erhalten: Alle Zustande mit E < H(x) < E+dE sind im Gleichgewichtgleich wahrscheinlich:

ρeq(x) =

1

Σ(E)dE fur E < H(x) < E + dE

0 sonst

Ein solches System nennt man ”mikrokanonisches Ensemble“.Fur den Mittelwert einer physikalischen Große O gilt dann:

OE = 1Σ(E)dE

∫E<H(x)<EdE

dxO(x) = 1Σ(E)

∫dxO(x)δ(E −H(x))

Erdogen-Hypothese

Mathematisch: Der Raum der angenommenen Zustande liegt dicht im Raum der moglichen Zustande.Dann ist Zeitmittelwert gleich Scharmittelwert (bzw. Phasenraummittelwert) - Ergodizitat genannt:

OE = Ot

mit Zeitmittelwert:Ot = lim

t→∞

1t

∫ t

0dt′O(x(t′))

2.2 QuantenstatistikStatistische, gemischte Zustande

Kennen nur Wahrscheinlichkeit Wn in Zustand |n〉 zu sein. Das nennt man Gemisch. Der quantenstatis-tische Mittelwert ist:

〈O〉 =∑n

Wn 〈n|O|n〉 = tr(ρO)

mit positiv definiter (〈ψ|ρ|ψ〉 ≥ 0), hermitescher (ρ† = ρ) und normierter (Tr(ρ)) Dichtematrix:

ρ =∑n

Wn |n〉〈n|

Quantenmechanische Liouville-Gleichung oder von Neumann-Gleichung

Gibt die Zeitentwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung an:

i~∂

∂tρ(t) = [H, ρ]

Stationare Losung

H zeitunabhangig, ρ = ρ(H): ρ ist stationare Losung. Da die Dichtematrix im Gleichgewicht stationarist, ist ρ diagonal in der Basis der Eigenenergiezustanden ([H, ρ] = 0).

Fundamentales Postulat

Abgeschlossenes System im Gleichgewicht mit erhaltener Energie E (mikrokanonisches Ensemble):

ρnn = Wn =

const. fur E < En < E + dE

0 sonst

Boltzmann-Gas ∑Zustande

→ 1N !

∫dDNq · dDNp

(2π~)DN

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2.3 EntropieS soll extensiv, maximal im thermischen Gleichgewicht und positiv sein.

S = k ln(Zm) mit Anzahl gleichverteilten Zustanden Zm

oder allgemein bei beliebiger Wahrscheinlichkeitsverteilung:

S = −k∑n

Wn ln(Wn) = −kTr(ρ ln ρ) = −k 〈ln ρ〉

Fur das mikrokanonische Ensemble wird S maximal gdw. das fundamentale Postulat gilt. Weiter gilt:

S(E, V,N) = k ln(Σ(E, V,N)dE) = k ln Σ(E, V,N) = k ln Ω(E, V,B)

2.4 Kanonisches Ensemble: Warmeaustausch, TemperaturSystem in Kontakt mit Warmebad, E nicht fest, aber 〈E〉 = U = const. gegeben.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Wn = 1Ze−βEn mit β = (kT )−1

Kanonische Zustandssumme

Z =∑n

e−βEn

Freie Energie

F (T, V,N) = −kT lnZ

Entropie

S = −(∂F

∂T

)V,N

= kβU + k lnZ

Innere Energie

U = − ∂

∂βlnZ

Magnetisierung

~M = − ∂F∂ ~H

Mittelwert einer physikalischen Große

die fur gegebenen Zustand n konstant ist:

〈O〉 = 1Z

∑n

One−βEn

2.5 Großkanonisches Ensemble: Teilchenaustausch, chemisches PotentialEnergie- und Teilchenaustausch moglich, aber 〈E〉 = U = const., 〈N〉 = N = const. gegeben.


Wn = 1ZG

e−β(En−µNn)

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Großkanonische Zustandssumme

ZG =∑n

e−β(En−µNn) =∞∑N=0

ZNeβµN mit kanonischer N -Teilchen Zust.summe ZN

Großkanonisches Potential

Ω(T, V, µ) = −kT lnZG

Entropie

S = −(∂Ω∂T

)V,µ

= kβ(U − µN) + k lnZG

Mittelwert einer physikalischen Große

die fur gegebenen Zustand n konstant ist:

〈O〉 = 1ZG

∑n

One−β(En−µNn)

2.6 Zusammenfassung der EnsemblesIm thermodynamischen Limes (N →∞) sind alle drei Ensemble aquivalent.

Ensemble: mikrokanonisch kanonisch großkanonischErhaltungsgroßen N , E N , U = 〈E〉 N = 〈N〉, U = 〈E〉

Zustandssumme Zm =∑n 1E<En<E+dE Z =

∑n e−βEn ZG =

∑n e−β(En−µNn)

td. Potential (Innere) Energie Freie Energie Großkan. Pot.U(S, V,N) = E F (T, V,N) = −kT lnZ Ω(T, V, µ) = −kT lnZG

Wahrscheinlichkeit Wn = 1Zm

Wn = 1Ze−βEn Wn = 1

ZGe−β(En−µNn)

Entropie S = k lnZm S = kβU + k lnZ S = kβ(U − µN) + k lnZG

3 Ideale SystemeIdeal bedeutet ohne Wechselwirkung.

Thermische de Broglie-Wellenlange

λT =√

2π~2

mkT

3.1 Besetzungszahl-Darstellung (Maxwell-Boltzmann-Verteilung)

ZG =∞∑

n1=0

∞∑n2=0

. . .1

n1!n2! . . . exp[−β∑λ

(Eλ − µ)nλ

]Wahrscheinlichkeit, dass Zustand λ mit nλ Teilchen besetzt ist:

Wλ(nλ) = 1Zλ

1nλ!e

−β(Eλ−µ)nλ mit Zλ =∑nλ

1nλ!e

−β(Eλ−µ)nλ = exp(e−β(Eλ−µ)

)Mittlere Besetzungszahl ergibt Maxwell-Boltzmann-Verteilung (s.u.).

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3.2 Teilchen-Statistiken (Zusammenfassung)Die großkanonische Zustandssumme setzt sich aus den Beitragen der einzelnen Zustande λ zusammen:

ZG =∏λ

Zλ

Statistik: Maxwell-Boltzmann Bose-Einstein Fermi-DiracVerwendung klass. Teilchen Bosonen Fermionen (Pauli-Pr.!)

λ-Zustandssumme Zλ = exp(e−β(Eλ−µ)) Zλ =

(1− e−β(Eλ−µ))−1

Zλ = 1 + e−β(Eλ−µ)

Mittlere.. 〈nλ〉 = e−β(Eλ−µ) 〈nλ〉 =(e+β(Eλ−µ) − 1

)−1 〈nλ〉 =(e+β(Eλ−µ) + 1

)−1

..Besetzungszahl MB-Verteilung Bose-Funktion nB(Eλ) Fermi-Funktion nF (Eλ)

Die Bose-Einstein-Statistik korrigiert die Maxwell-Boltzmann-Statistik fur hohe Teilchenzustandsdichten,damit Kombinationen mehrerer Teilchen in einem Zustand nicht mehrfach gezahlt werden.

3.3 (Maxwell-) Boltzmann-GasKlassisches ideales Gas:

H =N∑i=1

~p2i

2m

Zustandssumme

Z = 1N !

(V

λ3T

)NGroßkanonische Zustandssumme

ZG =∑N

eβµNZN mit N -Teilchen Zustandssumme ZN

Freie Energie

F (T, V,N) = −kTN ln(V

λ3T

e

N

)Entropie

S = −(∂F

∂T

)V,N

= kN ln(V

λ3T

e

N

)+ 3

2kN

Innere Energie

U = F + TS = 32NkT


Ω = −NkT

Ideales Gas Gleichung

PV = NkT

Chemisches Potential

µ = −kT ln(

V

Nλ3T

)

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3.4 Nichtrelativistisches Bose-Gase

N =∑λ

nλ ; nλ = 0, 1, 2, . . . ; E =∑λ

Eλnλ ; Jetzt: λ→ ~p : E~p = ~p2

2m

Damit nλ ≥ 0 gilt, muss Eλ ≥ µ gelten und damit insbesondere fur Bosonen allgemein:

µ ≤ 0

Zustandsdichte

ν(E) = m3/2E1/2√

2π2~3

Fugazitat

z = eβµ

−∞ < µ ≤ 0 ⇒ 0 ≤ z ≤ 1

Polylogarithmus

gs(z) =∞∑k=1

zk

ks

g5/2(z) = − 4√π

∫ ∞0

dxx2 ln(

1− ze−x2)

g3/2(z) = z∂

∂zg5/2(z)


Ω(T, V, µ) = kT∑~p

ln(

1− e−β(E~p−µ))

= kT ln(1− z)︸︷︷︸Grundzustand E~p=0

+kT · V∫dE ν(E) ln

(1− ze−βE

)= kT ln(1− z)− kT V

λ3T

g5/2(z)

Mittlere Teilchenzahl

〈N〉 = −(∂Ω∂µ

)T,V

= z

1− z + V

λ3T

g3/2(z) = nB(0) + V

∫ ∞0

dE ν(E)nB(E)

Innere Energie

U(T, V, µ) = 32kT

V

λ3T

g5/2(z)

Damit folgt die exakte und wichtige Beziehung:

PV = 23U ⇔ U = 3

2PV

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Hohe Temperaturen

Bei hohen Temperaturen nimmt die thermische de Broglie-Wellenlange λT ∝ T−1/2 ab, sodass bei kon-stanter Teilchenzahldichte n = 〈N〉 /V von nλ3

T 1 ausgegangen werden kann. Dies impliziert im td.Limit (N →∞, wegen n = const. also V →∞: nλ3

T ≈ g3/2(z) 1) z 1 und damit −µ 1/β = kT .Die mittlere Besetzungszahl 〈nλ〉 ≈ e−β(Eλ−µ) entspricht dann der eines Boltzmann-Gases.Fur den mittleren Teilchenabstand gilt: a0 := n−1/3 λT .

µ(T ) ≈ 3kT ln(λTa0

)Da z 1 ist nB(0) 1 und damit der Grundzustand mit E~p = 0 vernachlassigbar:

Ω(T, V, µ) = −kT V

λ3T

g5/2(z)

U(T, V, µ) = 32kT

V

λ3T

g5/2(z)

N(T, V, µ) = V

λ3T

g3/2(z)

Man erkennt Ω = −23U und da Ω = −PV folgt somit die Virial-Entwicklung (Entwicklung in λ3

Tn):

PV = 23U = NkT (1︸︷︷︸

MB-Gas

− 125/2λ

3Tn+ . . .︸︷︷︸

Korrekturen

)

Korrekturen nur durch Bose-Statistik (keine Wechselwirkungen!) verursacht. Da der Druck verringertwird, spricht man von einer effektiven Anziehung.

3.5 Bose-Einstein-Kondensation

Wird T klein genug, so ist n groß genug, dass im zweiten Term von n = 〈N〉 /V , also 1λ3T

g3/2(z), keine

Teilchen mehr aufgenommen werden konnen. Dadurch wird der Grundzustand E~p = 0 makroskopisch(uber)besetzt. Fur die kritische Dichte (maximal mogliche Dichte ohne Kondensation) und die zugehorigeTemperatur gilt:

nC = 1λ3T

g3/2(1) ⇔ TC = 2π~2

mk

(n

g3/2(1)

)2/3

Das Kondensat bildet eine einzige Wellenfunktionen, die einzelnen Teilchen verlieren Ihre Individualitat.Diese bildet einen reibungsfreien Strom (Suprastrom). Bose-Einstein-Kondensationen tritt nur in D ≥ 3Dimensionen auf (fur kleinere Dimensionen divergiert das Integral uber die Zustandsdichte ν(E)).Fur T in der Nahe von TC gilt:

Druck

P = −Ω(T, V, µ)V

=

kT

λ3T

g5/2(z) fur T ≥ TC

kT

λ3T

g5/2(1) fur T < TC

Im thermodynamischen Limes (n = const., N,V →∞) liefert das Kondensat keinen Beitrag zum Druck.(Sinnvoll, da Teilchen im Grundzustand ~p = 0 haben und daher keinen Druck ausuben.)

Chemisches Potential

µ =

−9k16π

(T − TC)2

TCg2

3/2(1) fur T ≥ TC0 fur T < TC

Fur T < TC andert sich also die Gesamtenergie des Systems nicht, wenn weitere Teilchen hinzugefugtwerden, da diese alle den Grundzustand E~p = 0 bevolkern.

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Entropie

S =

52k

V

λ3T

g5/2(z)− kN ln z falls T ≥ TC

52k

V

λ3T

g5/2(1) ∝ T 3/2 falls T < TC

Im thermodynischen Limes liefert das Kondensat auch keine Beitrag zur Entropie. (Sinnvoll, da Teil-chen keine Freiheitsgrade haben, die Wellenfunktionen aller Teilchen im Grundzustand sind koharent.Statistisch gesehen gibt es nur eine mogliche Konfiguration.)

Warmekapazitat

CV =

32Nk

[1 +

g3/2(1)27/2

(TCT

)3/2]

falls T TC

154 k

V

λ3T

g5/2(1) ∝(T

TC

)3/2falls T < TC

Bei TC ist CV unstetig, wie es typisch fur Phasenubergange ist.

3.6 Hohlraumstrahlung: PhotonenKlassische Maxwell-Gleichungen legen ebene Wellen nahe. Als Quantisierung bieten sich Quantenzahlenλ = (~k, σ) mit Wellenvektor ~k und Polarisationsrichtung σ = 1, 2 an. Photonen sind Bosonen. Da diePhotonenzahl nicht erhalten ist, gilt µ = 0.

Quantisierung

Ek = ~ωk = c|~p| = ~c|~k| mit Photon-Impuls ~p = ~~k

Zustandssumme

ZG =∏~k,σ

11− e−β~ωk,σ

Zustandsdichte (3D)

ν(ω) = 1V

∑~k,σ

δ(ω − ωk) = 2(2π~)3

4πp2dp

dω

~ω=cp= ω2

π2c3


Ω = −V π2

45(kT )4

(~c)3

Entropie

S = −(∂Ω∂T

)V

= −4ΩT

= kV4π2

45

(kT

~c

)3

Innere Energie

U = Ω + TS = −3Ω = Vπ2

15(kT )4

(~c)3

Strahlungsdruck

P = −ΩV

= 13U

V= π2

45(kT )4

(~c)3

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Planck’sches Strahlungsgesetz

u(ω, T ) := dEωV dω

= nB(~ω)ν(ω)~ω = ~π2c3

ω3

eβ~ω − 1Grenzfalle:

u(ω, T ) ≈

1

π2c3kTω2 fur ~ω kT (Rayleigh-Jeans-Gesetz)

1π2c3

~ω3e−β~ω fur ~ω kT (Wiensches Gesetz)

Wiensches Verschiebungsgesetz:~ωmax ≈ 2, 82 · kT

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Von einem schwarzen Korper der Flache A abgestrahlte Leistung:

P = σAT 4 mit Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 2π5k4

15~3c2

[σ in Vorlesung anders → vermutlich Fehler im Skript? (Gerthsen und Wikipedia hoffentlich richtig.)]

3.7 PhononenGitterschwingung mit kleinen Amplituden → System unabhangiger harm. Oszillatoren. Phononen sindelementare Anregungen dieser Schwingung und bosonische Quasiteilchen.

Quantisierung: Gitterimpuls und Polarisation

Quasiimpuls ~p = ~~k ; kx = 2πLx

nx , nx ∈ Z und 3 Polarisationsrichtungen σ = 1, 2, 3

Elementarzelle

Kleinste mogliche Einheit eines Gitters, die alle Informationen, die zur Beschreibung des Gitters notigsind, enthalt. Durch Aneinanderfugen solcher Zellen erhalt man das Gitter.Sei m die Anzahl Atome pro Elementarzelle.

Akustische Phononen

Unabhangig von m gibt es 3 akustische Phononen. (Je eine pro Polarisationsrichtung)

ωk ∝ cσ|~k| fur kleine ~k mit Schallgeschw. c

→ Debye-Modell:

ωk,σ = c|~k| fur |~k| < kD mit Debye-Frequenz ωD = ckD = c(6π2N

V)1/3

Zustandsdichte (pro Polarisationsrichtung):

ν(ω) =

ω2

2π2c3falls ω < ωD

0 falls ω > ωD

ωD folgt aus der Normierungsbedingung∫ ωD

0 dω ν(ω) = N/V , da die Zustandsdichte integriert gerade dieAnzahl Zustande pro Volumen ausdrucken sollte.Großkanonisches Potential:

Ω = 3V kT∫ ωD

0dω ν(ω) ln

(1− e−β~ω

)Warmekapazitat:

CV ≈

Nk(T

ΘD

)3fur T ΘD = ~ωD

kDebye-Temperatur

3Nk fur T ΘD (Dulong-Petit-Gesetz)

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Optische Phononen

Es gibt 3(m− 1) optische Phononen, d.h. bei ein-atomiger Elementarzelle existieren keine.

limk→0

ωk > 0 (bei akustischen Phononen: = 0)

→ Einstein-Modell:ωk = w0 = const. (≈ ωD)

Großkanonisches Potential:Ω = 3NkT ln

(1− e−β~ω0

)Warmekapazitat:

CV = −T ∂2Ω∂T 2 = 3Nk(β~ω2

0) e−β~ω0

(1− e−β~ω0)2 ≈

3Nk(β~ω2

0)e−β~ω0 falls kT ~ω0

3Nk falls kT ~ω0

Charakteristisch fur Systeme mit Lucke im Spektrum (ωmin > 0), d.h. Anregungen benotigen eine mini-male Energie (hier ~ω0), ist das exponentielle Verschwinden der Warmekapazitat fur T → 0:

CV ∝ exp(−~ω0

kT

), T → 0

3.8 Fermi-GasIm Gegensatz zu Bosonen kann das chemische Potential hier beliebige Werte µ ≤ EF annehmen.

Fermi-Energie

Im Allgemeinen die Energie EF , bei der die Besetzungswahrscheinlichkeit 1/2 ist. Die Umgebung diesesFermi-Niveaus, bei welcher die Wahrscheinlichkeit von etwa 1 zu etwa 0 wechselt, wird Fermi-Kantegenannt.


Ω(T, V, µ) = −kT∑λ

ln(

1 + e−β(Eλ−µ))

Mittlere Teilchenzahl

〈N〉 = −(∂Ω∂µ

)T,V

=∑λ

〈nλ〉

Entropie

S = −(∂Ω∂T

)V,µ

= −k∑λ

[nF (Eλ) lnnF (Eλ) + (1− nF (Eλ)) ln(1− nF (Eλ))]

Innere Energie

U = Ω + TS + µN =∑λ

EλnF (Eλ)

Grenzfall T = 0

nF (Eλ) = θ(µ− Eλ) =

1 falls Eλ < µ

0 falls Eλ > µ

Ω(T, V, µ) =∑λ

(Eλ − µ)θ(µ− Eλ)

N =∑λ

θ(µ− Eλ)

Energien großer dem chemischen Potential, das in diesem Grenzfall der Fermienergie EF entspricht,kommen (System im Grundzustand) also nicht mehr vor.

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3.9 Nichtrelativistisches Fermi-Gas (3D, T = 0)

λ = (~p, σ) ; σ = −s, . . . , s (2s+ 1 Spin-Projektionen) ; Eλ = Ep = ~p2

2mIn diesem Fall (T = 0) stimmen Fermi-Energie EF und chem. Potential uberein: EF = µ.

Zustandsdichte

Anzahl Energiezustande pro Energieeinheit und Volumentaustausch

ν(E) = m3/2E1/2√

2π2~3

Fermi-Impuls

pF = ~(

6π2n

2s+ 1

)1/3

Fermi-Energie

EF = µ(T = 0) = p2F

2m = ~2

2m

(6π2n

2s+ 1

)2/3

3.10 Entartetes Fermi-Gas: Sommerfeld-EntwicklungFur typ. Metalle: EF ≈ 10 eV ⇒ TF ≈ 1 · 105 K ⇒ EF kT .Das Elektronengas in Metallen ist also entartet, d.h.:

EF kT ; µ kT

Hier weicht die Fermi-Verteilung nur gering von der Verteilung fur T = 0 ab, was man sich in derSommerfeld-Entwicklung zunutze macht: Wenn f eine beliebige integrierbare Funktion mit Stamm-funktion F (ε) =

∫ ε−∞ f(ε′)dε′ ist, dann kann man das Integral uber nF f umschreiben zu:∫

nF (ε)f(ε)dε PI= nF (ε)F (ε)|∞−∞︸︷︷︸=0

−∫n′F (ε)F (ε)dε

Da die Ableitung von nF nur in einem kleinen Bereich um µ ungleich 0 ist, reicht es, F in diesem Bereichzu kennen, weshalb man F hier entwickeln kann. Konkret:Zuerst: Definieren a als Stammfunktion der Zustandsdichte ν (s.o.) und b als die Stammfunktion von a:

a(ε) =∫ ε

−∞dε′ ν(ε′) =

√2m3ε3

3π2~3 ; b(ε) =∫ ε

−∞dε′ a(ε′) =

√8m3ε5

15π2~3

Hiermit lasst sich das großkanonische Potential umschreiben:

Ω(T, V, µ) = −(2s+ 1)kTV∫dε ν(ε) ln

(1 + e−β(ε−µ)

)PI= −(2s+ 1)V

∫dε a(ε)nF (ε)

PI= −(2s+ 1)V∫dε b(ε)[−n′F (ε)] mit [−n′F (ε)] =

(4kT cosh2

(ε− µ2kT

))−1

Wie oben beschrieben wird jetzt b in (ε− µ) entwickelt:

b(ε) ≈ b(µ) + a(µ)(ε− µ) + 12ν(ε)(ε− ν)2 + . . .

Im Folgenden mussen dann Integrale dieser Form betrachtet werden:

∫dε(ε− µ)n[−n′F (ε)] = (kT )n

∫dx

xn

4 cosh2(x/2)=

0 falls n ungerade1 falls n = 0π2/3 (kT )2 falls n = 27π4/15 (kT )4 falls n = 4

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Es ergibt sich fur das großkanonische Potential in dieser Sommerfeld-Entwicklung:

Ω(T, V, µ) ≈ −(2s+ 1)V∫dε

(b(µ) + a(µ)(ε− µ) + 1

2b(µ)(ε− µ)2 + . . .

)[−n′F (ε)]

= −(2s+ 1)V(b(µ) + π2

6 ν(µ)(kT )2 + . . .

)Und fur die (gemittelte) Teilchenzahl:

N = −∂Ω∂µ

= (2s+ 1)V(a(µ) + π2

6∂ν

∂µ(µ)(kT )2 + . . .

)= (2s+ 1)V m3/2

√2π2~3

· 23µ

3/2

(1 + π2

8

(kT

µ

)2+ . . .

)

Da die gemittelte Teilchenzahl konstant ist, gilt aber auch (T = 0):

N = (2s+ 1)V m3/2√

2π2~3· 2

3E3/2F

und damit gilt fur die Beziehung zwischen Fermi-Energie und chemischem Potential:

EF = µ

[1 + π2

8

(kT

µ

)2+ . . .

]2/3

⇔ µ = EF

[1− π2

12

(kT

EF

)2]

Man beachte, dass sich EF nicht mit der Temperatur andert, sondern nur µ.

Druck

P (T = 0) = 25N

VkTF = 1

5~2

m

(6π2

2s+ 1

)2/3(N

V

)5/3

Entropie

S(T, V, µ) = −(∂Ω∂T

)µ

= (2s+ 1)~2

3 ν(µ)k2T + . . .

Innere Energie

U = 35NEF

(1 + 5π2

12

(kT

EF

)2+ . . .

)

Warmekapazitat

CV =(∂U

∂T

)V,N

= Nkπ2

2kT

EF+ . . .

Fur Metalle setzt sich die Warmekapazitat aus der der Elektronen (entartetes Fermi-Gas) und der derPhononen zusammen:

CV ≈ γT +AT 3

Fur kleine T ist der Beitrag des Elektronen-Gases (∝ T ) dominant, fur großere T ist dagegen derPhononen-Beitrag (∝ T 3) groß.

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3.11 Fermi-Gas: Beliebige TemperaturenAhnlich den Polylogarithmen gs definieren wir hier:

fs(z) = −gs(−z) =∞∑n=1

(−1)n+1 zn

ns

f5/2 = 4√π

∫ ∞0

dxx2 ln(

1 + ze−x2)

f3/2 = 4√π

∫ ∞0

dxx2 ze−x2

1 + ze−x2

Dann ergeben sich die thermodynamischen Großen analog zum Bose-Gas (bis auf den fehlenden Grund-zustand) und auch hier definiert man die Fugazitat z = eβµ und die thermische Wellenlange λT .


Ω(T, V, µ) = −(2s+ 1)kTV∫dε ν(ε) ln

(1 + e−β(ε−µ)

)= −(2s+ 1)kT V

λ3T

f5/2(z)

Der Druck P = −Ω/V ergibt sich direkt.

Teilchenzahl

N = −(∂Ω∂µ

)T,V

= (2s+ 1) Vλ3T

f3/2(z)

Innere Energie

U = (2s+ 1)∫dε ν(ε) · ε · nF (ε) = 3

2(2s+ 1)kT V

λ3T

f5/2(z)

Und damit folgt der wichtige (und exakte) Zusammenhang genau wie fur das ideale Bose-Gas (T > TC):

U = −32Ω = 3

2PV

Hohe Temperaturen

Fur kT EF ist z 1 und nF (ε) 1 fur alle ε > 0, und man kann wieder die Virial-Entwicklungdurchfuhren (Entwicklung in λ3

Tn). Fur die thermodyn. Großen erhalt man bis auf das Vorzeichen derKorrektur das selbe Resultat wie beim Bose-Gas:

Ω ≈ −(2s+ 1)kT V

λ3T

(z − z2

25/2

)N ≈ (2s+ 1) V

λ3T

(z − z2

23/2 )

Und damit fur die Fugazitat in dieser Entwicklung:

z = λ3Tn

2s+ 1

(1 + 1

23/2λ3Tn

2s+ 1 + . . .

)womit man durch Einsetzen in Ω = −PV letztlich erhalt:

PV = NkT

(1 + 1

25/2λ3Tn

2s+ 1 + . . .

)Wegen dem geanderten Vorzeichen fuhrt die Fermi-Statistik (gegensatzlich zur Bose-Statistik) zu einerErhohung des klassichen Drucks und bewirkt somit (ohne Wechselwirkung) eine effektive Abstoßung derTeilchen. (Dies ist auch sinnvoll, da laut Pauli-Prinzip keine zwei Teilchen im gleichen Zustand sein durfen

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→ ”Abstoßung“, falls sich die Zustande zu nahe kommen.) Fur sehr kleine Teilchendichten verhalten sichsowohl Bose- als auch Fermi-Gase wie ein klassisches Gas.Fur das chemische Potential gilt hier:

µ = kT ln z ≈ kT ln(λ3Tn

2s+ 1

)∝ −T lnT

Warmekapazitat

CV =(∂U

∂T

)N,V

= 32

(∂(PV )∂T

)N,V

≈

Nk

π2

2kT

EFfalls kT EF

32Nk falls kT EF

Entropie

S = −(∂Ω∂T

)V,µ

≈

Nk

π2

2kT

EFfalls kT EF

32Nk ln

(kT

EF

)falls kT EF

3.12 Nichtwechselwirkendes Spin-SystemDrehimpuls-Algebra[

Sα, Sβ

]= i~εαβγ Sγ ;

[~S2, Sα

]= 0 ; ~S2 |s, sz〉 = ~2s(s+ 1) |s, sz〉 mit s = 0, 1

2 , 1,32 , . . .

Hamilton-Operator

H = −~µ ~B = −gµB ~S ~Be−= −2µB ~S ~B

~B=B~ez= −2µBSzB

Zustandssumme

Z =∑

S(1)z =± 1

2

∑S

(2)z =± 1

2

. . . exp(

2µBBkT

N∑i=1

S(i)z

)= ZN1 mit Z1 =

∑Sz=± 1

2

exp(

2µBBkT

Sz

)= 2 cosh

(µBB

kT

)


W = 1Z

exp(− E

kT

)=

N∏i=1

W (i) mit W (i) = 1Z1

exp(

2µBBkT

S(i)z

)Wahrscheinlichkeit, dass ein Teilchen Spin hoch (”+“) oder Spin runter (”-“) hat:

W± = exp(±βµBB)2 cosh(βµBB)

Und damit ergibt sich fur den Erwartungswert des Spins:

〈Si〉 = 12(W+ −W−) = 1

2 tanh βµBB

Fur B > 0 und T → 0 geht 〈Si〉 → 1/2, d.h. die magnetischen Momente richten sich aus.

Freie Energie

F (T ) = −kT lnZ = −NkT ln(2 cosh βµBB)

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Entropie

S = −∂F∂T

= Nk (ln(2 cosh βµBB)− βµBB tanh βµBB)

Warmekapazitat

CB = T

(∂S

∂T

)B

= Nk(βµBB)2

cosh2(βµBB)≈ Nk

(µBB

kT

)2e−2µBB/kT falls kT µBB

1 falls kT µBB

Fur tiefe Temperaturen ist sie wegen der Energie-Lucke exponentiell unterdruckt. Fur hohe Temperaturennimmt sie mit 1/T 2 ab, da das Energiespektrum nach oben beschrankt ist.

Magnetisierung

M = −∂F∂B

= NµB tanh(µBB

kT

)= 2NµB 〈Si〉

Magnetische Suszeptibilitat

χ = ∂M

∂B= Nµ2

B

kT

1

cosh2(µBB

kT

) B→0−→ Nµ2B

kT∝ 1T

(Curie-Gesetz)

4 Systeme mit Wechselwirkung und Phasenubergange4.1 Virialentwicklung, Van der Waals-GasKlassisches Gas mit WW, verdunnt (λ3

Tn 1 → Virialentwicklung)

Hamilton-Funktion

H(~pi, ~ri) =N∑i=1

[~pi

2

2m + U(~ri)]

+ 12∑i 6=j

V (~ri − ~rj)


ZN = 1N !

∫d3Np

(2π~)3N

∫d3Nr exp (−βH)

= 1N !

1λT

3N∫d3Nr exp

−β∑

i

U(~ri) + 12∑i 6=j

V (~ri − ~rj)

Großkanonische Zustandssumme

Da nλ3T 1 ist auch die Fugazitat z = eβµ 1 (vgl. Virialentwicklung beim Fermi-Gas) und damit:

ZG =∞∑N=0

ZNeNβµ =

∞∑N=0

ZNzN = 1 + Z1e

βµ + Z2e2βµ + . . .


Mit ln(1 + x) =∑∞n=1(−1)n−1x

n

nkann man die Kumulanten-Entwicklung durchfuhren:

Ω = −kT lnZG = −kT[Z1e

βµ + (Z2 −12Z

21 )e2βµ + . . .

]

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Die klassische Virialentwicklung von PV mit 2. Virialkoeffizient B und 3. Virialkoeffizient C lautet:

PV = NkT[1 +B · n+ C · n2 + . . .

]Durch Koeffizientenvergleich und wegen PV = −Ω erhalt man (ohne Ein-Teilchen-Potential U):

B = −V ·(Z2

Z21− 1

2

)U=0= −1

2

∫d3r

(e−βV (~r) − 1

)Setzt man nun ein typisches Potential fur klassische Teilchen an (kleine Abstande (r < 2r0) starkeAnstoßung, große Abstande (r > 2r0) schwache Anziehung), so kann man nahern:

e−βV (r) − 1 ≈−1 falls r < 2r0

−βV (r) falls r > 2r0

Damit:

B ≈ 2π3 (2r0)3 + β

2

∫|~r|>2r0

d3r V (r) = b− a

kTmit b = 2π

3 (2r0)3 , a = −12

∫|~r|>2r0

d3r V (r) > 0

Letztlich erhalt man hiermit:

Van der Waals-Zustandsgleichung

(P + an2)(V − bN) = NkT

Diese Gleichung ist trotz Ihrer Herleitung auch fur großere Dichten sinnvoll, d.h. nb 6 1.

Quantenkorrekturen zum 2. Virialkoeffizient

Austauschkorrekturen (− fur Bosonen, + fur Fermionen):

Ba = ∓ λ3T

25/2(2s+ 1)∝ ~3

Quantenkorrekturen:

Bq = ~2β3

24m

∫d3r (∇V (~r))2

e−βV (~r) ∝ ~2

Man erkennt, dass beide Korrekturen im klassischen Limes ~→ 0 verschwinden.

4.2 Spin-Modelle mit WechselwirkungHeisenberg-Modell

Reaktion auf Feld und Wechselwirkung jeweils zwischen zwei Spins moglich:

H = −12∑ij

Jij ~Si ~Sj − γ∑i

~Si ~B , γ = gµB

Meist nur (gleichstarke) Wechselwirkung mit nachsten Nachbarn:

H = −J∑〈ij〉

~Si ~Sj − γ∑i

~Si ~B

J wird durch die Austausch-Wechselwirkung dominiert (Coulomb-WW. und Pauli-Prinzip). Allgemein:

• J > 0: parallele Ausrichtung favorisiert → ferromagnetisches Heisenberg-Modell

• J < 0: antiparallele Ausrichtung bevorzugt → antiferromagnetisches Heisenberg-Modelle

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XYZ-Modell

HXY Z = −∑〈ij〉

(Jx ~S

xi~Sxj + Jy

~Syi~Syj + Jz ~S

zi~Szj

)− γ

∑i

~Si ~B , γ = gµB

Ising-Modell

XYZ-Modell mit Jx = Jy = 0, Jz = J und ~B ‖ z:

H = −J∑〈ij〉

Szi Szj − γB

∑i

Szi mit Szi = ±1/2

4.3 Eindimensionales Ising-Modell

H = −J∑i

σiσi+1 − γB∑i

σi mit σi = ±1 ; J = J/4 , γ = γ/2

Es werden periodische Randbedingungen (σN+1 = σ1) verwendet, da diese im thermodynamischen Limesvernachlassigbar sind. Hier wird die Transfermatrix-Methode benutzt:


Mit dimensionslosen Konstanten g = J/kT und h = γB/kT :

ZN (T,B) =∑σ1=±1

∑σ2=±1

. . .∑

σN=±1e−βH mit βH = −g

∑i

σiσi+1 − h∑i

σi

ZN (T,B) = Tr(TN)

mit Transfermatrix T =(eg+h e−g

e−g eg−h

)Da sich die Spur durch Diagonalisierung nicht andert, kann man die Zustandssumme leicht berechnen:

ZN (T,B) = Tr(TN)

= λN1 + λN2N→∞= λN1 mit Eigenwerten λ1/2 = eg cosh h± eg

√sinh2 h+ e−4g

Freie Energie

F (T,B,N) = −kTN lnλ1 = −kTN[g + ln

(cosh h+

√sinh2 h+ e−4g

)]Magnetisierung

M(T,B,N) = −∂F∂B

= Nγsinh h√

sinh2 h+ e−4g

T=0=B→0

12Nγ falls J > 00 falls J < 0

Fur T 6= 0 zeigt sich fur B → 0 keine spontane Magnetisierung. Bei T = 0 hingegen kann bei anschließen-dem B → 0 eine spontane Ordnung festgestellt werden: Parallele Ausrichtung der Spins (↑↑↑↑) fur J > 0(Ferromagnetismus, magnetische Momente γ/2 der Spins addieren sich) und antiparallele Ausrichtung(↑↓↑↓) fur J < 0 (Antiferromagnetismus, magnetische Momente heben sich auf).

Suszeptibilitat

χ(T,B = 0, N) = ∂M

∂B

∣∣∣∣B=0

= Nγ2

kTe2J/kT ≈

∝ exp

(2JkT

)fur tiefe T

Nγ2

kT∝ 1T

fur hohe T (Curie-Gesetz)

Fur T → 0 weist χ eine wesentliche Singularitat auf.

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Korrelationsfunktion

〈σiσj〉 = 1ZN

∑σi

σiσje−βH(σi) = 1

ZNTr(T i−1σzT

j−iσzTN−j+1

)mit σz =

(1 00 −1

)

Diag.=2∑

l,l′=1|〈l|σz|l′〉|

2 λN+i−jl λj−il′

λN1 + λN2

N→∞−→λ1>λ2

2∑l′=1|〈1|σz|l′〉|

2(λl′

λ1

)j−imit T |l〉 = λl |l〉 , l = 1, 2

Speziell fur B = 0 gilt:

T =(

eg e−g

e−g eg

); |1〉 = 1√

2

(11

), |2〉 = 1√

2

(1−1

); λ1 = 2 cosh g , λ2 = 2 sinh g

und damit:

〈σiσj〉 =(σ2

σ1

)j−i= (tanh g)j−1 = e−|j−i|/ξ · (signJ)j−i mit Korrelationslange ξ =

[ln coth

(J

kT

)]−1

Die Korrelationen nehmen also exponentiell mit dem Abstand ab. Fur tiefe Temperaturen werden sieallerdings immer langreichweitiger. Im Antiferromagnetischen Ising-Modell (J < 0) sieht man zudem,dass die Korrelation zwischen benachbarten Spins immer unterschiedliches Vorzeichen hat, da sie sichin diesem Fall tendenziell antiparallel ausrichten mochten, was zu einem alternierenden Vorzeichen beiVariation des Abstands |j − i| fuhrt.

Freie Energie (B = 0)

F (T,N) = −kTN ln(eg + e−g) = −kT ln(

2 cosh(J

kT

))Entropie (B = 0)

S = −∂F∂T

= kN

[ln(

2 cosh(J

kT

))− J

kTtanh

(J

kT

)]Warmekapazitat (B = 0)

C = T∂S

∂T= Nk

(J

kT

1cosh(J/kT )

)2

≈ Nk(J

kT

)24e−2J/kT falls kT J

1 falls kT J

Das Ergebnis verhalt sich bis auf Faktoren wie ein nicht-wechselwirkendes Spin-System fur B = const..

4.4 Thermodynamische Potentiale

Thermodyn. Potential Mechanisch MagnetischInnere Energie U = U(S, V ) U = U(S, ~M)

dU = TdS − PdV dU = TdS + ~H ~dM

(Helmholtzsche) F (T, V ) = U − TS F (T, ~M) = U − TSFreie Energie dF = −SdT − PdV dF = −SdT + ~H ~dM

Enthalpie H(S, P ) = U + PV H(S, ~H) = U − ~H ~M

dH = TdS + V dP dH = TdS − ~M ~dH

Gibbsche Freie Energie G(T, P ) = U + PV − TS G(T, ~H) = U − ~H ~M − TS= Freie Enthalpie dG = −SdT + V dP dG = −SdT − ~M ~dH

Hierbei ist ~H das extern anliegende Magnetfeld (intensiv), ~B = ~H + 4π ~M das gemittelte mikroskopischeFeld und die Magnetisierung ~M die zu ~H konjugierte extensive Große.

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4.5 Molekularfeld-Naherung, Phasenubergang

”mean field“ bezeichnet ein gemitteltes Feld, man nimmt an, Fluktuationen sind klein:

σiσj = σi 〈σj〉+ σj 〈σi〉 − 〈σi〉〈σj〉+ (σi − 〈σi〉)(σj − 〈σj〉)︸︷︷︸wird vernachlassigt

HMF = −∑i

(Jz 〈σ〉+ γH)σi mit Anzahl nachster Nachbarn der Spins z

Spins sehen effektives Feld: Ein außeres Feld und ein Feld von anderen Spins:

γHeff = γH + Jz 〈σ〉

Fur freie Spins ist bereits M = Nγ tanh(βγHeff) bekannt und damit erhalt man fur 〈σ〉:

Selbstkonsistenzgleichung (keine Wechselwirkung)

〈σ〉 = M

Nγ= tanh(βγH + βJz 〈σ〉)

Kritische Temperatur (H = 0)

TC = Jz

k

Grafische Losung der Selbstkonsistenzgleichung ergibt:〈σ〉 = 0 ist einzige Losung falls T ≥ TC (paramagnetische, ungeordnete Phase)〈σ〉 = ±σ0 6= 0 sind stabile Losungen falls T < TC (spontane Magnetisierung, geordnete Phase)

Man erkennt fur T < TC die spontane Symmetriebrechung, da die Magnetisierung nun zwei stabileLosungen (spontane Magnetisierung) annehmen kann, statt wie fur großere Temperaturen nur eine, unddies obwohl die Hamilton-Funktion die Symmetrie σ → −σ fur H = 0 besitzt. 〈σ〉 ist der Ordnungspara-meter dieses Phasenubergangs zweiter Ordnung.

Kritisches Verhalten

Verhalten eines Systems bei einem Phasenubergang zweiter Ordnung: Erhalten Großen mit nicht analyti-schem Verhalten und sogenannten kritischen Exponenten in der Nahe des Ubergangs (|TC −T |/TC 1):

〈σ〉 ≈

(3TC − T

TC

)1/2∝ (TC − T )1/2 falls T < TC , H = 0

(3γHkTC

)1/3∝ H1/3 falls T = TC , H 6= 0

γH

k(T − TC) ∝ (T − TC)−1/2 falls T > TC , T → TC + 0 , H → 0

Magnetische Suszeptibilitat fur T > TC :

χ = ∂M

∂H

∣∣∣∣H=0

= Nγ2

k(T − TC) ∝ (T − TC)−1

Gibbsche Freie Energie

G(T,H) = −NkT ln 2 cosh [β(γH + zJ 〈σ〉)]+ z

2NJ 〈σ〉2

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Freie Energie

F (T,M) = NkT

[− ln 2 + 1

2 ln(1− 〈σ〉2) + 12 〈σ〉 ln

(1 + 〈σ〉1− 〈σ〉

)]− 1

2NkTC 〈σ〉2

Warmekapazitat

CH = T

(∂2G(T,H)

∂T 2

)H

=

0 falls T > TC

≈ 32Nk falls T < TC , T → TC

Bragg-Williams-Naherung

In dieser Naherung geht man davon aus, dass die Spins untereinander unkorrelliert sind, sodass mannahern kann:

〈σiσj〉 ≈ 〈σi〉〈σj〉

Wenn jetzt im Gleichgewicht alle Erwartungswerte 〈σi〉 = 〈σ〉 gleich sind, erhalt man:

EBW = 〈H〉 = −12NzJ 〈σ〉

2 − γNH 〈σ〉

Konnen 〈σ〉 ausdrucken durch Anzahl Up-Spins N+ und Anzahl Down-Spins N−:

〈σ〉 = N+ −N−N

Fur die Zustandssumme des Systems bedeutet dies:

ZBW(T,H) =∑σi

e−βEBW =∑〈σ〉

Z(〈σ〉) =∑〈σ〉

e−βEBW(〈σ〉) ·A〈σ〉

mit A〈σ〉 =∑

σi mit 〈σ〉

1 = N !(N+)!(N−)! = N !

(N(1 + 〈σ〉)/2)!(N(1− 〈σ〉)/2)!

Das Freie-Energie-Funktional mit Ordnungsparameter 〈σ〉 lautet dann:

F(T,H, 〈σ〉) = −kT lnZ(〈σ〉) = EBW(〈σ〉)− kT lnA〈σ〉

Wegen Z =∑〈σ〉 e

−βF(T,H,〈σ〉) erhalt man den fuhrenden Beitrag durch Bestimmen des Minimums vonF bzgl. 〈σ〉. Dies fuhrt wieder zur gleichen Selbstkonsistenzgleichung:

〈σ〉 = tanh β(γH + zJ 〈σ〉)

Durch Einsetzen der Stelle des Minimums 〈σ〉0 erhalt man die thermodynamischen Potentiale:

G(T,H) = F(T,H, 〈σ〉0 (T,H)) ; F (T,M) = F(T,H, 〈σ〉0) +MH

4.6 (Ginzburg-)Landau-Theorie der PhasenubergangeEbenfalls eine ”mean field“ Theorie, d.h. mit gemittelten Wechselwirkungen. Sie ist lokal, da nur in derUmgebung des Phasenubergangs. Sie ist phanomenologisch, da sie nicht Ursachen untersucht, sondernnur aufgrund allgemeiner Uberlegungen den Phasenubergang modelliert.

Ordnungsparameter

(Abstrakte) Große (im Allgemeinen ein Tensor), der den Phasenubergang beschreibt. Fur die hohersymme-trische Phase (z.B. T > TC bei Spins) ist der Ordnungsparameter φ(~r) = 0. Fur die tiefersymmetrischePhase hingegen ungleich null. Da aber nur die Nahe des Ubergangs betrachtet wird, ist φ klein.

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Zustandssumme

Betrachten meist externes Feld h(~r) konjugiert zu φ:

Z =∫Dφ(~r) e−βF(φ(~r),h(~r)) h=const.= e−βG(T,h)

Freie Energie-Funktional

wird konstruiert uber allgemeine Uberlegungen:

• Translations- und Rotationssymmetrie

• Interne Symmetrien (z.B. Rotationsinvarianz von φ oder Invarianz unter φ→ −φ)

• Lokalitat: F(φ(~r), h(~r)) =∫ddr f(φ(~r),∇φ(~r), . . . , h(~r)) mit Freie Energie-Funktionaldichte f .

• Konstante Beitrage zu F bzw. f konnen vernachlassigt werden, da fur Phasenubergang nicht rele-vant.

Da φ in der Nahe des Ubergangs sehr klein ist, kann man F (unter Berucksichtigung von Symmetrien)entwickeln:

F ≈∫ddr

[t

2φ2(~r) + bφ4(~r) + 1

2K (∇φ(~r))2 − h(~r)φ(~r)]

mit t = a(T − TC) ; a, b,K = const.

Betrachten jetzt h(~r) = h = const..

Spontane Symmetriebrechung

Um hiermit die Zustandssumme naherungsweise zu bestimmen, benutzen wir die Sattelpunktsmethode,sodass wir das globale Minimum von F bzgl. φ brauchen.

∂F∂φ

∣∣∣∣φ=φ0

= 0 , F minimal ⇒ Z(T, h) ≈ e−βF(φ0,T,h)

Fur das Minimum gilt außerdem φ(~r) = φ0 = const., da raumliche Fluktuationen zu einer Erhohungvon F fuhren wurden. Fur die hohersymmetrische Phase (meistens T > TC) ergibt sich das Minimum(nach Definition) bei φ = 0. Fur die tiefersymmetrische Phase hingegen fur φ 6= 0. Hier kam es also zueiner Aufhebung der Symmetrie, welche aus der Hamilton-Funktion nicht ersichtlich ist. Dies nennt manspontane Symmetriebrechung.Fur h = 0 erhalt man:

φ0 =

0 falls T > TC

±√a(TC − T )

4b ∝ (TC − T )β falls T < TC mit β = 1/2 in der MF-Theorie

Fur h 6= 0 erhalt man bei T = TC :

φ0 =(h

4b

)1/3∝ h1/δ mit δ = 3 in der MF-Theorie

Suszeptibilitat

χ = ∂φ0

∂h

∣∣∣∣h=0

=

1

a(T − TC) falls T > TC

12a(TC − T ) falls T < TC

∝ |TC − T |−γ mit γ = 1 in der MF-Theorie

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Warmekapazitat

Fur h = 0 gilt (mit Beitrag CN , der nichts mit Phasenubergang zu tun hat):

Ch = −T ∂2G

∂T 2 ≈ −T∂2F(φ0, T, h = 0)

∂T 2 =

CN falls T > TC

CN + V a2

8b T falls T < TC

∝ |T − TC |−α mit α = 0 in der MF-Theorie

Ch ist unstetig bei T = TC , was typisch fur einen Phasenubergang 2. Ordnung ist (zweite Ableitung vonG unstetig).

Ordnung des Phasenubergangs

Phasenubergang hat Ordnung n, wenn alle Ableitung der Ordnung hochstens n− 1 der freien EnthalpieG = Fmin nach seinen naturlichen Variablen (hier T, h, konnte aber auch T, P sein) stetig sind, jedochmindestens eine n-te Ableitung von G am Phasenubergang eine Unstetigkeit aufweist.DaG uber den Ordnungsparameter φ0 am Phasenubergang beschrieben werden kann, kann auch folgendesuntersucht werden:

• 1. Ordnung: Ordnungsparameter unstetig bei der kritischen Temperatur

• 2. Ordnung: Ordnungsparameter stetig bei der kritischen Temperatur

4.7 Korrelationen und FluktuationenWerden sehen, dass Korrelationsfunktion G und Suszeptibilitat χ eng zusammenhangen.Betrachten nun ein schwaches, inhomogenes Feld h(~r), sodass φ(~r) nun ebenfalls nicht mehr konstant seinkann. Da h schwach konnen wir φ jedoch linearisieren, und somit Korrekturen erster Ordnung bestimmen(mit Euler-Langrange-Gleichung(EL) fur f):

φ(~r) = φ0 + δφ(~r) EL= K∇2δφ(~r) + h(~r)

Um dies zu losen, wird die Fourier-Transformierte im ~q-Raum gebildet.

Suszeptibilitat

(χ0 bezeichnet die oben berechnete Suszeptibilitat bei h = const.)

χq = ∂φq∂hq

= χ0

1 + ξ2q2 mit Korrelationslange ξ =

√K

a(T − TC) falls T > TC

√K

2a(TC − T ) falls T < TC

Im Allgemeinen gilt ξ ∝ |T − TC |−ν mit ν = 1/2 in der MF-Theorie.Im Ortsraum erhalt man bei Rucktransformation (d ist Anzahl Dimensionen):

χ(~r) = 1Kr2−d · Y

(r

ξ

)mit Y (x) ∝

1 falls x 1x(d−3)/2e−x falls x 1

Allgemein: χq ∝ q−(2−η) und χ(r) ∝ r−(d−2+η) mit η = 0 in der MF-Theorie.

Korrelationsfunktion

G(~r, ~r ′) = 〈δφ(~r)δφ(~r ′)〉 = kT · χ(~r, ~r ′) = 1β

δ 〈φ(~r)〉δh(~r ′)

Da dieser einfache Zusammenhang besteht, kann nun die Korrelation naher untersucht werden:

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Gultigkeitsbereich der MF-Naherung: Ginzburg-Kriterium

Betrachten T < TC und untersuchen die Starke der Fluktuationen von φ in einem Volumen Vξ ∝ ξd:

δφξ = 1Vξ

∫Vξ

δφ(r) ddr ⇒ 〈δφ2ξ〉 ∝

1Vξ

∫Vξ

ddr G(r) ∝ ξ2−d

βK

Damit ergibt sich fur die relativen Fluktuationen:

〈δφ2ξ〉

〈φ〉2∝∣∣∣∣T − TCTC

∣∣∣∣d/2−2T→TC−→

0 falls d > 4∞ falls d < 4

In d > 4 Dimensionen beschreibt die Molekularfeld-Theorie den Ubergang richtig. Fur d < 4 Dimensionenwerden allerdings Fluktuationen in der Nahe des Ubergangs wichtig, die von der MF-Theorie nicht erfasstwerden. Dies ist nach dem Ginzburg-Kriterium der Fall fur:∣∣∣∣T − TCTC

∣∣∣∣ <[(

aTCK

)d/2kb

a2TC

]2/(4−d)

=: τG

4.8 Skalenverhalten: ScalingMF-Theorie:

G

V=

− t

2

bfalls h = 0 , t = T − TC < 0

−h4/3

b1/3falls h 6= 0 , t = 0

Skalenhypothese

Definiere universelle Exponenten α, ∆:

1VG(t, h) = t2−αg

(h

t∆

)mit g(x) ≈

−1b

falls x→ 0

− 1b1/3

x4/3 falls x→∞

In der MF-Theorie: α = 0 und ∆ = 3/2.Hatten bereits kritische Exponenten gesehen, Vergleich liefert:

〈φ〉 = − 1V

∂G

∂h= t2−α−∆g′(h/t∆) ⇒ 〈φ〉h=0 ∝ t

2−α−∆ != tβ ⇒ β = 2− α−∆

Und analog (sowie fur ν, η usw.):

δ = ∆2− α−∆ ; γ = 2∆ + α− 2

Alle kritischen lassen sich auf die universellen Exponenten α und ∆ zuruckfuhren.

5 Vielteilchensysteme und zweite Quantisierung5.1 Identische Teilchen in der QuantenmechanikN Teilchen mit Koordinaten r1, . . . , rN , Wellenfunktion ψ(r1, . . . , rN )

Hamilton-Funktion

H = − ~2

2m

N∑i=1∇2i︸︷︷︸

kin. Energie

+N∑i=1

V (ri)︸︷︷︸Ein-Korper-Potential

+∑i<j

U(ri − rj)︸︷︷︸Zwei-Teilchen-Potential

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Austausch-Operator bzw. Paritats-Operator

Pijψ(. . . , ri, . . . , rj , . . .) = ψ(. . . , rj , . . . , ri, . . .)

Eigenwert Pij =

+1 falls ψ Wellenfunktion eines Bosons−1 falls ψ Wellenfunktion eines Fermions

Betrachten im Folgenden eine vollstandige orthonormale Basis von Ein-Teilchen-Zustanden φ1, φ2, . . ..

5.2 Wellenfunktion eines N-Teilchen-SystemsBosonen

ψ(r1, . . . , rN ) = N 2∑

Perm. k

φk1(r1) . . . φkn

Normierung ergibt mit ni Teilchen in Zustand ki:

N =√n1!n2! . . .

N !

Fermionen

ψ(r1, . . . , rN ) = N∑

Perm. k

(−1)|k|φk1(r1) . . . φkn = 1√N !

det

φl1(r1) · · · φl1(rN )

......

φlN (r1) · · · φlN (rN )

wobei |k| die Fehlstandszahl der Permutation bezeichnet (Anzahl elementarer Vertauschungen).

Besetzungszahldarstellung

Haben ni Teilchen in Zustand φi, benennen Zustande entsprechend: |n1, n2, . . .〉, Grundzustand: |0〉

• Erzeugungs-Operator/Aufsteige-Operator: C†i erzeugt ein Teilchen in Zustand i

• Vernichtungs-Operator/Absteige-Operator: Ci entfernt ein Teilchen aus Zustand i

Ci |. . . , ni, . . .〉 :=√ni |. . . , ni − 1, . . .〉 ; C†i |. . . , ni, . . .〉 :=

√ni + 1 |. . . , ni + 1, . . .〉

Erhalten Besetzungszahl-Operator C†iCi: Gibt Anzahl Teilchen im Zustand i an:

C†iCi |. . . , ni, . . .〉 = ni |. . . , ni, . . .〉

Bosonische Kommutator-Relationen

[Ci, C†j ] = δij ; [Ci, Cj ] = [C†i , C†j ] = 0

Erinnerung: [A,B] = AB −BA

Fermionische Antikommutator-Relationen

Fur Fermionen gilt wegen des Pauli-Prinzips: C2i = 0 und weiter die Relationen:

Ci, C†j = δij ; Ci, Cj = C†i , C†j = 0

Erinnerung: A,B = AB +BA

5.3 Ein-Teilchen-Operatoren

A =N∑i=1

A(ri) ; Matrix-Element Alm = 〈φl|A|φm〉 ; A |φm〉 =∑l

|φl〉Alm

Konnen A uber Erzeugungs- und Vernichtungs-Operator darstellen:

A =∑pq

ApqC†pCq

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5.4 Zwei-Teilchen-Operatoren

A(r1, r2) = U(|r1 − r2|) ; Almpq :=∫ddr1d

dr2 φ∗l (r1)φ∗m(r2)A(r1, r2)φp(r2)φq(r1)

Wieder kann A durch Auf- und Absteige-Operatoren ausgedruckt werden:

A = 12∑lmpq

AlmpqC†l C†mCpCq

5.5 Basis-Transformationen|ρα〉 =

∑l

Ulα |φl〉 mit unitarer Matrix U (U†U = UU† = 1) ; Umα = 〈φm|ρα〉

Unitare Transformationen von C†, C erhalten die Kommutator-Relationen.

5.6 Anzahlerhaltende quadratische Hamilton-Funktionen

H =∑ij

Hija†iaj

Wollen H diagonalisieren, also (U†HU)ij = εiδij und fuhren daher neue Operatoren ein:

α†l =∑i

Uila†i ⇒ aj =

∑l

Ujlαl ; a†j =∑l

U†ljα†l

Damit folgt:H =

∑l

εl α†lαl

Der Hamiltonian summiert nun also uber alle Zustande l und multipliziert die Energie eines Zustands εljeweils mit der Anzahl Teilchen in diesem Zustand.

5.7 Bogoliubov Transformation (hier fur Bosonen)

H = ε(C†1C1 + C†2C2) + Λ(C†1C†2 + C2C1) = 1

2

(C†1 , C2, C

†2 , C1

)

ε Λ 0 0Λ ε 0 00 0 ε Λ0 0 Λ ε

C1

C†2

C2

C†1

Wollen wieder H in diagonalisierte Form bringen und fuhren die Bogoliubov Transformation durch:

C†1 = ud†1 + vd2 ; C†2 = ud†2 + vd1

Damit d1 und d2 ebenfalls die Bosonischen Kommutator-Relationen erfullen, muss gelten:

|u|2 − |v|2 = 1 ⇒ u = cosh θ , v = sinh θ

Damit H tatsachlich Diogonalgestalt bekommt, muss folgende Bedingung erfullt sein:

tanh 2θ = −Λε

Man sieht, dass ε > Λ gelten muss, um ein stabiles Gleichgewicht zu erhalten. Es folgt:

H = ε(d†1d1 + d†2d2) + const. mit Eigenwert ε =√ε2 − Λ2

5.8 SuprafluiditatEin Suprafluid ist ein Stoff, bei dem sich alle Teilchen im Grundzustand befinden. Reibung kann nur ent-stehen, wenn ein Teilchen aus dem Grundzustand angeregt wird. Sei M die Masse, ~v die Geschwindigkeiteines Suprafluid-Teilchens. Bei Anregung muss die Energie ε(~k) aufgebracht werden, der Impuls ~~k wird(bspw. als Phonon) zusatzlich frei. Hierbei verringert sich die Geschwindigkeit des Suprafluid-Teilchensauf ~v −∆~v nach der Anregung.

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Landau Argument

• Impulserhaltung: M~v = M(~v −∆~v) + ~~k ⇔ Mδ~v = ~~k

• Energieerhaltung: 12M~v2 = 1

2M(~v −∆~v)2 + ε(~k)

Hiermit folgt fur das Anregungsspektrum:ε(~k) = ~~k~v

Ist nun allerdings die vorhandene Energie ~~k~v kleiner als die benotigte Energie ε(~k) zur Anregung, istdiese nicht moglich und die Teilchen verbleiben im Grundzustand: Somit gibt es auch keine Reibung!Es macht daher Sinn, eine kritische Geschwindigkeit vc fur die Teilchen einzufuhren, unter der Supraflui-ditat beobachtet werden kann:

vc = 1~

mink

ε(k)k

Man erkennt, dass bei ε ∝ k2 folgt, dass vc = 0, in solchen Fallen also keine Suprafluiditat auftritt.Betrachtet man jedoch nur freie Teilchen ohne Wechselwirkung, so gilt gerade ε(k) = ~2k2/2m unddamit ist nach diesem Modell keine Suprafluiditat moglich.

Modell fur schwach wechselwirkende Bosonen

H = Hkin +Hint ; Hkin =∑k

~2k2

2m C†kCk ; Hint = U

2∑ij

δ(ri − rj)

Wir konnen den Wechselwirkungs-Teil (interaction) auch durch Summierung uber Impulse schreiben:

Hint =∑

k1+k2=k3+k4

C†k1C†k2

Ck3Ck4

Da Teilchen mit Impulsen k3 und k4 vernichtet werden, und mit k1 und k2 erzeugt, druckt die Bedingungder Summe gerade die Einschrankung der Impulserhaltung aus.Betrachten jetzt Teilchen im Grundzustand N0 = 〈C†0C0〉 ≈ N fur tiefe Temperaturen. Da N groß unddie Fluktuationen klein sind, gilt ungefahr C†0C0 |φ〉 = N0 |φ〉 und C†0 ≈

√N0, C0 ≈

√N0.

Wir konnen daher Hint in Exponenten von N0 entwickeln:

Hint = U

2V N20︸︷︷︸

k1=k2=k3=k4=0

+UN0

2V∑k 6=0

CkC−k︸︷︷︸k1=k2=0

+ C†kC†−k︸︷︷︸

k3=k4=0

+4C†kCk

+ . . .︸︷︷︸kleinere Ordnungen in N0

und in diese Entwicklung die Gesamtanzahl Teilchen N substituieren:

N = No +∑k 6=0

C†kCk

Hierbei werden Terme in quadratischer Ordnung von C†kCk fur k 6= 0 vernachlassigt, da diese klein sind:

Hint = UN2

2V + UN

2V∑k 6=0

[CkC−k + C†kC

†−k + C†kCk + C†−kC−k

]Dies hat die passende Form, um die Bogoliubov-Transformation durchzufuhren. Man erhalt:

ε(k) =√ε2 − Λ2 mit ε = 1

2(UNV

+ ~2k2

2m ) , Λ = UN

2VMit Teilchenzahldichte ρ = N/V erhalt man somit das Anregungsspektrum:

ε(k) = 12

√(Uρ− ~2k2

2m

)2

− (Uρ)2

Fur kleine k kann man das Spektrum nahern und erhalt fur die kritische Geschwindigkeit:

ε(k) = 12~k

√Uρ

m⇒ vc = 1

2

√Uρ

m

Hier ist nun also Suprafluiditat fur Partikelgeschwindigkeiten v < vc moglich. Da dies fur wechselwir-kungsfreie Teilchen nicht der Fall war, mussen Wechselwirkungen entscheidend sein fur Suprafluiditat.

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6 Stochastische Prozesse und Transporttheorie6.1 Stochastische ProzesseDefinitionen

• stochastische, zeitabhangige VariableX(t) mit kontinuierlichen Werten x oder diskreten x1, x2, . . .

• Wahrscheinlichkeitsdichte ρ(x1, t1) = ρ1(x1, t1) = 〈δ(X(t1)− x1)〉 bzw. δX(t1),x1 (diskrete Werte)

• gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeit, dass mehrere Ereignisse eintreten

ρn(x1, t1; . . . ;xn, tn) = 〈δ(X(t1)− x1) · . . . · δ(X(tn)− xn)〉

• Bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte: Wahrscheinlichkeit, dass Ereignisse unter einer gegebenen Vor-aussetzung (bzw. ”Bedingung“) eintreten

ρ1|1(x1, t1|x2, t2) = 〈δ(X(t2)− x2)〉|X(t1)=x1= ρ2(x1, t1;x2, t2)

ρ1(x1, t1)

ρk|n(x1, t1; . . . ;xk, tk︸︷︷︸Voraussetzung

|xk+1, tk+1; . . . ;xk+n, tk+n︸︷︷︸Ereignisse

) = ρk+n(x1, t1; . . . ;xk+n, tk+n)ρk(x1, t1; . . . ;xk, tk)

= 〈δ(X(tk+1)− xk+1) . . . δ(X(tk+n)− xk+n)〉|X(t1)=x1,...,X(tk)=xk

• Fur mehrere stochastische Variablen X(1), X(2), . . . , X(n) definiert man analog:

ρ1(x(1)1 , x

(2)1 , . . . , x

(n)1 , t1) =

⟨δ(X(1)(t1)− x(1)

1 ) . . . δ(X(n)(t1)− x(n)1 )⟩

usw.

• Zeitabhangige Momente:

〈X(t1)X(t2) . . . X(tn)〉 =∫dx1 . . . dxn x1 . . . xnρn(x1, t1; . . . ;xn, tn)

• Stationare Prozesse (”Zeittranslationsinvarianz“):

ρn(x1, t1; . . . ;xn, tn) = ρn(x1, t1 + τ ; . . . ;xn, tn + τ) fur τ beliebig⇒ ρ1(x1, t1) = ρ1(x1) ; ρ2(x1, t1;x2, t2) = ρ2(x1, t1 − t2;x2, 0) usw.

Eigenschaften

• Positivitat: ρn(. . .) ≥ 0

• Normierung:∫dx1ρ1(x1, t1) = 1 usw.

• Reduktion:∫dxnρn(x1, t1; . . . ;xn, tn) = ρn−1(x1, t1; . . . ;xn−1, tn−1)

• Bei gleichen Zeiten: ρ1|1(x1, t1|x2, t1) = δ(x1 − x2)

• Weitere Folgerungen:∫dx2 ρ1|1(x1, t1|x2, t2) = 1 und

∫dx1 ρ1(x1, t1)ρ1|1(x1, t1|x2, t2) = ρ1(x2, t2)

6.2 Klassifizierung von stochastischen ProzessenIm Folgenden sei t1 < t2 < . . . < tn, die Ereignisse also zeitlich geordnet.

Rein zufalliger Prozess

Wahrscheinlichkeit unabhangig von fruheren Ereignissen: kein Gedachtnis.

ρn−1|1(x1, t1; . . . ;xn−1, tn−1︸︷︷︸Fruhere Ereignisse

|xn, tn) = ρ1(xn, tn)

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Markov-Prozess

Wahrscheinlichkeit nur von letztem vergangenen Ereignis abhangig, was davor war ist egal: kurzes Gedachtnis,nur uber die unmittelbare Vergangenheit

ρn−1|1(x1, t1; . . . ;xn−1, tn−1|xn, tn) = ρ1|1( xn−1, tn−1︸︷︷︸letztes Ereignis

|xn, tn)

Bei diskreten Zeitschritten ∆t (Markov-Kette) ist das Gedachtnis ein Schritt lang, d.h. zum Zeitpunkttn spielt nur das Ereignis zum Zeitpunkt tn−1 = tn −∆t eine Rolle.

Allgemeine Prozesse

konnen auch langeres Gedachtnis haben

6.3 Master-Gleichung, Markov-ProzesseIm Folgenden werden nur Markov-Prozesse betrachtet.

Chapman-Kolmogorov-Gleichung

ρ1|1(x1, t1|x3, t3) =∫dx2 ρ1|1(x1, t1|x2, t2)ρ1|1(x2, t2|x3, t3)

Master-Gleichung

Ubergangsrate Wt(x1, x2) von x1 → x2 zum Zeitpunkt t: Ubergangswahrscheinlichkeit pro Zeitintervall.

∂

∂tρ(x, t) =

∫dx′ [ρ(x′, t)Wt(x′, x)︸︷︷︸

(1)

− ρ(x, t)Wt(x, x′)︸︷︷︸(2)

]

(1) Zunahme der (Aufenthalts-)Wahrscheinlichkeit durch Ubergange von x′ → x

(2) Abnahme selbiger durch Ubergange x→ x′

Beispiel: Hupfen auf einem Gitter (1D)

Ubergangsrate Wt(j, j′) = Γlδj′,j−1 + Γrδj′,j+1 und Anfangszustand t = 0: ρ(j, 0) = δj,0Mit der Master-Gleichung (und durch Fourier-Transformation) erhalt man:

ρ(j, t) =∫

dk

2π e−ikj exp

[(Γr(eik − 1) + Γl(e−ik − 1)

)t]

Fur lange Zeiten (Γrt,Γlt 1) ergibt dies naherungsweise eine Gaußverteilung:

ρ(j, t) ≈ 1√2π(Γr + Γl)t

exp[− (j − (Γr − Γl)t)2

2(Γr + Γl)t

]

mit Mittelwert 〈j(t)〉 = (Γr − Γl)t und Varianz 〈j2(t)〉 − 〈j(t)〉2 = (Γr + Γl)t.Fur kurze Zeiten erhalt man hingegen (Γrt,Γlt 1) ein lineares Verhalten:

ρ(j, t) ≈ [1− (Γr + Γl)t]δj,0 + Γrtδj,1 + Γltδj,−1

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Beispiel: Atome im Strahlungsfeld

Betrachten wechselwirkungsfreie Atome mit Wellenfunktionen H0 |n〉 = E |n〉, die durch Strahlung ange-regt werden konnen (Absorption ω > 0 und Emission ω < 0).Ubergange zwischen Zustanden werden beschrieben durch (H = H0 +H1):

H1 =∫dω V (ω)e−iωt

Fermis Goldene Regel besagt:

Wn→n′ = 2π~

∫dω |〈n′|V (ω)|n〉|2 δ(En′ − En − ~ω)

Wenn jeder Ubergang mit jedem Ubergang im Gleichgewicht ist, d.h. gleich viele Zustande von n → n′

ubergehen, wie von n′ → n, spricht man von einem detaillierten Gleichgewicht. Dies tritt ein fur:Wn′→n

Wn→n′= exp

[−E(n)− E(n′)

kT

]da die Besetzung im thermodynamischen Gleichgewicht einer Boltzmann-Verteilung folgt: ρ(n, t) =ρeq(n) ∝ e−E(n)/kT .

6.4 Fokker-Planck-Gleichung, DiffusionBetrachten kontinuierliche stochastische VariableX, die sich nur in kleinen Schritten andert und definierendafur Wt(x, ξ) als die Ubergangsrate zum Zeitpunkt t von x→ x+ ξ.

Momente der Ubergangsrate

α(n)(x, t) =∫dξ ξnWt(x, ξ) = lim

∆t→0

1∆t 〈[X(t+ ∆t)−X(t)]n〉

∣∣∣∣X(t)=x

Fokker-Planck-Gleichung (Smoluchowski-Gleichung)

∂

∂tρ(x, t) = − ∂

∂x

[α(1)(x, t)ρ(x, t)

]+ 1

2∂2

∂x2

[α(2)(x, t)ρ(x, t)

]Verallgemeinerung auf mehrere Variablen:

∂

∂tρ(x, t) = −

∑i

∂

∂xi

[α

(1)i (x, t)ρ(x, t)

]+ 1

2∑ij

∂2

∂xi∂xj

[α

(2)ij (x, t)ρ(x, t)

]Driftvektor

α(1)i (x, t) = lim

∆t→0

1∆t 〈[Xi(t+ ∆t)−Xi(t)]〉

∣∣∣∣Xk(t)=xk

Diffusionsmatrix

α(2)ij (x, t) = lim

∆t→0

1∆t 〈[Xi(t+ ∆t)−Xi(t)] [Xj(t+ ∆t)−Xj(t)]〉

∣∣∣∣Xk(t)=xk

Kontinuitatsgleichung

Fokker-Planck-Gleichung ist eine Drift-Diffusionsgleichung im Raum der Variablen X und kann alsKontinuitatsgleichung dargestellt werden:

∂

∂tρ+

∑i

∂

∂xiJi = 0

mit Wahrsch.dichte ρ und Wahrscheinlichkeitsflussdichte:

Ji = α(1)i ρ− 1

2∑j

∂

∂xj(α(2)ij ρ)

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Beispiel: Random Walk in 1D in externem Feld

Schrittgroße a, d.h. x = ma , m ∈ Z. Da große Zeiten betrachtet werden, sind die diskreten Schritte furdas Ergebnis nicht mehr relevant.Pro Zeiteinheit ∆t: Wahrscheinlichkeit, dass Schritt nach rechts q, nach links 1− q:

• Driftgeschwindigkeit: v = α(1) = a

∆t (2q − 1)

• Diffusionskonstante: D = 12α

(2) = a2

2∆tHiermit lautet die Fokker-Planck-Gleichung:

∂

∂tρ(x, t) = −v ∂

∂xρ(x, t) +D

∂2

∂x2 ρ(x, t)

Als Losung erhalt man (via FT) mit Anfangsbedingungen (ρ(x, 0) = δ(x)):

ρ(x, t) = 1√4πDt

exp− (x− vt)2

4DtEine Gaußverteilung, die sich mit der Driftgeschwindigkeit v verschiebt, und deren Breite mit der Zeituber die Diffusionskonstante als Proportionalitatskonstante zusammenhangt. Die Diffusion bewirkt dahereine Verbreiterung, und der Drift fuhrt zu einer gleichformigen Bewegung des Erwartungswertes.

6.5 Langevin-Gleichung, Brownsche BewegungBrownsche Bewegung

Bewegung eines Teilchens in einem Medium mit vielen kleinen Teilchen, die verantwortlich sind fur:• Dampfung γ des Teilchens

• Rauschen durch zeitlich unkorrelierte, stochastische Kraft ξ(t), d.h.:

〈ξ(t)〉 = 0 ; 〈ξ(t)ξ(t′)〉 = qδ(t− t′)

Damit ist die Spektraldichte unabhangig von der Frequenz:

S(ω) = 2∫d(t− t′) eiω(t−t′) 〈ξ(t)ξ(t′)〉 = 2q

was als weißes Rauschen bezeichnet wird.Ublicherweise nimmt man an, dass die Kraft ξ gaußverteilt ist:

ρ(ξ(t)) ∝ exp[− 1

2q

∫dt ξ2(t)

]Langevin-Gleichung

ist die Bewegungsgleichung des brownschen Teilchens:

mx+mγx = ξ(t)

Als Losung ergibt sich:

v(t) := x(t) = voe−γt + 1

m

∫ t

0dt′ e−γ(t−t′)ξ(t′) mit v0 = v(t = 0)

Fur die Korrelationsfunktion der Geschwindigkeiten erhalt man hiermit:

〈v(t1)v(t2)〉 = v20e−γ(t1+t2) + q

2γm2

(e−γ|t1−t2| + e−γ|t1+t2|

)Fur große Zeiten t1, t2 γ−1 ist die Korrelation nur noch von der Zeitdifferenz und nicht mehr von denAnfangsbedingungen abhangig:

〈v(t1)v(t2)〉 = q

2γm2 e−γ|t1−t2| ⇒ 〈v2(t)〉 = q

2γm2

Da nach dem Gleichverteilungsgesetz 〈Ekin〉 = m

2 〈v2(t)〉 != 1

2kT gelten muss, folgt:

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Fluktuations-Dissipationstheorem (klassische Version)

q = 2mγkTmit Fluktuationen q und Dissipation γ.

Einstein-Relation

Uber x(t) = x0 +∫ t

0 dt′v(t′) lasst sich der Ort berechenen, und somit auch die Diffusionskonstante D, fur

die wir am Diffusionsproblem bereits 2Dt = 〈[X(t)− x0]2〉 gesehen haben:

〈[X(t)− x0]2〉 ≈ q

γ2m2 t ⇒ D = q

2γ2m2 = kT

mγ

Zusammenhang mit der Fokker-Planck-Gleichung

Aus der Langevin-Gleichung erhalt man:

v(t+ ∆t)− v(t) ≈ −γv(t)∆t+ 1m

∫ t+∆t

t

dt′ξ(t′)

Fur die Driftgeschwindigkeit in der Fokker-Planck-Gleichung gilt damit:

α(1)(t) = lim∆t→0

〈v(t+ ∆t)− v(t)〉∆t

∣∣∣∣v(t)=v

= −γv

und fur die Diffusionskonstante:12α

(2) = lim∆t→0

12∆t

⟨[v(t+ ∆t)− v(t)]2

⟩= q

2m2 = Dγ2 = γ

mkT

Damit folgt die Fokker-Planck-Gleichung fur einen Langevin-Prozess:

∂

∂tρ(v, t) = γ

∂

∂v[vρ(v, t)] + γ

mkT

∂2

∂v2 ρ(v, t)

Stationare Losungen folgen wieder der Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

ρeq(v) ∝ exp(−mv

2

2kT

)

6.6 Boltzmann-GleichungVerdunntes Gas (Auch fur Elektronengas in Festkorpern). Außere Felder variieren zeit- und raumlich nurlangsam. Die (reduzierte) Ein-Teilchen-Verteilungsfunktion f(~k,~r, t) gibt die Wahrscheinlichkeitsdichteeines Teilchens (betrachten hier Elektronen) an, sich im Zustand ~k im Punkt ~r zur Zeit t zu befinden.Mit dieser Funktion lasst sich die Elektronen- und Stromdichte berechnen [Wieso Faktor 2?]:

n(~r, t) = 2∫

d3k

(2π)3 f(~k, ~r, t) ; ~j(~r, t) = −2e∫

d3k

(2π)3 v(~k)f(~k, ~r,~t)

Fur freie Elektronen ist hier v(~k) = ~p/m = ~~k/m. Allgemein gilt

v(~k) = 1~∂ε(~k)∂~k

Nach dem Liouvillschen Satz gilt dfdt

= 0 und damit:

∂f

∂t+ ~r∇~rf + ~k∇~kf = 0

Mit der Bewegungsgleichung fur Elektronen in einem elektromagnetischen Feld ~F = ~d~k

dt= −e ~E −

e

c~v(~k)× ~B und mit einer quantenmechanischen Storung folgt:

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Boltzmann-Gleichung (fur Elektronen im EM-Feld)

df

dt= ∂f

∂t+ ~v∇~rf −

e

~

[~E + 1

c~v(~k)× ~B

]∇~kf = I[f ] =

(∂f

∂t

)coll

wobei I[f ] das Stoß-Integral bzw. den Stoßterm bezeichnet. Dieser berucksichtigt Stoßprozesse wie Elektron-Elektron-, Elektron-Phonon- oder Storstellenstreuung.

6.7 Stoßintegral fur (elastische) Streuung an Storstellen

W~k,~k ′ ist Wahrscheinlichkeitsrate der Elektronenstreuung ~k → ~k ′. Fur schwache Storstellen gilt mitFermis Goldener Regel (w~k,~k ′ nur bei Energieerhaltung definiert):

W~k,~k ′ = 2π~niδ(E(~k)− E(~k ′))

∣∣∣⟨~k ∣∣∣U ∣∣∣~k ′⟩∣∣∣2 = δ(E(~k)− E(~k ′))w~k,~k ′

Fur das Storstellen-Integral gilt:

I[f ](~k) = −∫

d3k′

(2π)3 (W~k,~k ′f(~k) [1− f(~k ′)]︸︷︷︸(1)︸︷︷︸

Outscattering term

−W~k ′,~kf(~k ′) [1− f(~k)]︸︷︷︸(1)︸︷︷︸

Inscattering term

)

(1) kommt durch das Pauli-Prinzip (wir betrachten Elektronen) zustande, denn falls bereits ein Teilchenin dem Zielzustand ist, ist kein Platz mehr, und der Term verschwindet.Im detaillierten Gleichgewicht (W~k,~k ′ = W~k ′,~k) vereinfacht sich dies zu:

I[f ](~k) = −∫

d3k

(2π)3W~k,~k ′(f(~k)− f(~k ′))

6.8 LeitfahigkeitBetrachten ~B = 0 und ein schwaches el. Feld ~E(t) = ~Eωe

−iωt, d.h. rechnen mit linearer Antwort: f =f0 + δf mit Fermi-Funktion f0 und δf = 0 fur E = 0. Erwarten selbe Zeitabhangigkeit fur δf wie fur ~E:

δf(~k, t) = δfω(~k)e−iωt

Da ~E ortsunabhangig ist, wird auch f ortsunabhangig sein, und die Boltzmann-Gleichung lautet:

∂f

∂t− e ~E(t) 1

~∇~kf = −

∫d3k

(2π)3W~k,~k ′(f(~k)− f(~k ′))

Durch Einsetzen von f = f0 + δf und vernachlassigen von Ordnungen ~E2, wobei δf ∝ ~E, erhalt man:

∂f

∂t= ∂δf

∂t= (−iω)δfωe−iωt ; 1

~~E∇~kf ≈

1~~E∇~kf0 ≈ ~E~v~k

∂f0

∂ε~k

Relaxationszeit-Naherung

Nun kann man das Stoßintegral noch geeignet nahern (i.A. eine Naherung, in diesem Fall jedoch exakt):

I[f ](~k) = −∫

d3k

(2π)3W~k,~k ′(f(~k)− f(~k ′)) = −∫

d3k

(2π)3W~k,~k ′(δf(~k)− δf(~k ′)) = I[δf ](~k) ≈ − 1τ~kδf(~k)

Hierbei ist die Relaxationszeit τ~k die charakteristische Zeit, in welcher Stoße zum Gleichgewicht fuhren.Setzt man alle Naherungen in die Boltzmann-Gleichung ein. und formt diese um, so erhalt man:

δfω(~k) = τk1− iωτk

∂f0

∂εke~vk ~Eω

Ab hier gekurzt - bei Bedarf bitte Skript/Mitschrieb/Internet befragen.

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Drude-Formel

Dies kann man weiter umformen, bis man fur den Leitfahigkeitstensor erhalt:

σα,β = 2e2ντ

1− iωτv2F

3 δα,β

Berechnung der Relaxationszeit

Fur die Transport-Streurate 1/τtr gilt:

1τ

= ν

∫dΩw(θ)(1− cos θ)

6.9 Thermoelektrische TransporteigenschaftenJetzt kleine Gradienten ∇µ, ∇T und kleines Feld ~E = const. d.h. ω = 0.

δf(~k) ≈ ∂f0

∂εk~vk

τ

1− iωτ [∇rµ− e ~E︸︷︷︸(1)

+εk − µT∇rT ]

(1) ist das elektrochemische Feld Eec = −∇ϕec mit Potential ϕec = ϕel −1eµ.

Fur el. Stromdichte ~j und Warmestromdichte ~jQ gilt (mit jeweils Matrizen/Tensoren Kij):(~j

~jQ

)=(K11 K12

K21 K22

)(~Eec

− 1T∇T

)

• K11 ist die elektrische Leitfahigkeit. Siehe Drude-Formel.

• K12 = K21 Onsager-Symmetrie-Relation

• K12 ist Thermokraft, ein Temperaturgradient ∇T induziert ein el. Feld ~E.

• K22;α,β ≈2π2

9 (kT )2νv2F τδα,β thermische Leitfahigkeit

Thermische Leitfahigkeit

κ ≈ K22

T= 2π2

9 k2Tνv2F τ

Mit der el. Leitfahigkeit:σ = 2

3e2νv2

F τ

erhalt man:

Wiedemann-Franz-Gesetzκ

σ= π2

3k2

e2 T

6.10 Elektron-Elektron-Stoße

Iee [f ] (~k) =∫

d3k′

(2π)3d3k′′

(2π)3d3k′′′

(2π)3Wkk′→~k′′k′′′ [fkfk′(1− fk′′)(1− fk′′′)− fk′′fk′′′(1− fk)(1− fk′)]

Fur die Fermi-Funktion gilt Iee [f0] = 0 da sich die Therme gerade wegheben.

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H-Theorem

Fur die Entropie gilt (bereits gezeigt):

S(t) = −k∫d3k d3r

(2π)3 [f(k, r, t) ln f(k, r, t)− (1− f(k, r, t)) ln(1− f(k, r, t))]

Mit der Boltzmann-Gleichung:

dS

dt≥ 0 und insbesondere I[f ] = 0 ⇒ dS

dt= 0

Ein Elektronen-Gas wird also zum Gleichgewicht hin relaxieren, da in diesem Fall maximale Entropieerreicht wurde und sich diese wegen I[f0] = 0 nicht mehr andert.

7 Nutzliches7.1 Mathematisches Rustzeugvollstandiges Differential

Ein Differential dF = c1(x1, x2, . . .)dx1 + c2(x1, x2, . . .)dx2 + . . . ist vollstandig, falls gilt:(∂c2∂x1

)x2,x3,...

=(∂c1∂x2

)x1,x3,...

Dann:dF =

(∂F

∂x1

)x2,x3,...

dx1 +(∂F

∂x2

)x1,x3,...

dx2 + . . .

Das Integral∫dF ist dann wegunabhangig. Insbesondere gilt daher

∮dF = 0.

Ableitungsregeln

Es sei F (x, y, z) = 0. Dann kann z ausgedruckt werden als z(x, y). Es gilt dann w(x, y, z) = w(x, y):(∂x

∂y

)z

=((

∂y

∂x

)z

)−1

(∂x

∂y

)z

·(∂y

∂z

)x

·(∂z

∂x

)y(

∂x

∂w

)z

=(∂x

∂y

)z

·(∂y

∂w

)z(

∂x

∂y

)z

=(∂x

∂y

)w

+(∂x

∂w

)y

·(∂w

∂y

)z

Stirling-Formel

N ! ≈√

2πN(N

e

)N⇒ lnN ! ≈ N(lnN − 1)

Identitaten

ln(

1 + x

1− x

)= 2arctanhx

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7.2 WahrscheinlichkeitstheorieZufallsvariable X mit kontinuierlichen Werten (

∫) oder diskreten Werten (

∫→∑

), zugehoriger Vertei-lung ρ

• Positivitat: ρ(X) ≥ 0

• Normierung:∫dXρ(X) = 1

• Mittelwert: 〈X〉 = X =∫dX ·X · ρ(X)

• n-tes Moment: 〈Xn〉 =∫dX ·Xn · ρ(X)

• Standardabweichung: σ =√〈X2〉 − 〈X〉2

• Varianz: σ2

• chrakteristische Funktion: φ(k) =⟨eikX

⟩=∫dX · eikX · ρ(X) =

∑∞n=0

(ik)n

n! 〈Xn〉

• mit Momenten: 〈Xn〉 = 1in

dnφ(k)dkn

∣∣∣∣k=0

• Transformierte der char. Fkt.: ρ(X) =∫ dk

2π e−ikXφ(k)

• Kumulanten: Cn[X] = 1in

dnS(k)dkn

∣∣∣∣k=0

in φ(k) = eS(k) mit S(k) =∑∞n=1

(ik)n

n! Cn[X]

• Kumulanten: C1[X] = 〈X〉 ; C2[X] = σ2 = 〈X2〉 − 〈X〉2 ; C3[X] = 〈X3〉 − 3〈X2〉〈X〉+ 2〈X〉3

Gauß-Verteilung

ρ(X) = 1√2πσ2

exp[− (X − 〈X〉)2

2σ2

]Cn[X] = 0 ∀n > 2

7.3 BaustellenbereichWird eventuell noch eingefugt/erganzt.

Mehrere stochastische Variablen

Binomial-Verteilung

Zentraler Grenzwertsatz

Gauß-Verteilung fur mehrere Variablen

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theoretische physik f - zusammenfassung · 2015-07-22 · richard gebauer theoretische physik f...

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