The Relationship of the Degree The Relationship of the Degree of Interconnection to of Interconnection to

Permeability in Fracture Permeability in Fracture NetworksNetworks

A Relação do grau de interconexão com a permeabilidade em redes de fraturas

AutoresAutores

JANE C. S. LONG PAUL A. WITHERSPOON

RESUMORESUMO• O problema da determinação da

permeabilidade de uma rocha contendo um sistema de fraturas finitas é altamente dependente do grau de interconexão entre as fraturas e da heterogeneidade das características individuais das fraturas.

• Este trabalho examina o quanto o grau de interconexão afeta tanto a magnitude quanto a natureza da permeabilidade da fratura.

RESUMORESUMO• A interconexão entre um dado conjunto de

fraturas é uma função complexa da (1) densidade de fraturas, isto é, o número de fraturas por unidade de volume, e (2) o tamanho ou extensão da fratura.

• Infelizmente, nem a densidade nem a extensão

das fraturas são de fácil determinação.

• Contudo, a freqüência das fraturas pode ser diretamente medida em um poço porque é simplesmente o número de fraturas interceptadas por unidade de comprimento do poço.

• A freqüência é a medida do produto entre a densidade de fraturas e o tamanho porque a probabilidade de uma fratura interceptar um poço é proporcional a este produto.

• O efeito do grau de interconexão foi investigado através de simulação numérica na rede de fraturas onde o tamanho das fraturas e a densidade variaram inversamente, enquanto o produto destes dois parâmetros permaneceu fixo.

RESUMORESUMO

• A permeabilidade da rocha matriz entre as fraturas foi desprezada.

• Os resultados mostraram que com o aumento do comprimento das fraturas, o grau de interconexão cresce.

• Também, um sistema de fraturas com fraturas menores, porém mais densas, comporta-se menos que o meio poroso que o sistemas com fraturas longas, mas menos densas.

RESUMORESUMO

INTRODUÇÃOINTRODUÇÃO

• Dois dos mais importantes assuntos em hidrologia das fraturas são:

(1)Determinar a permeabilidade da rede de fraturas e

(2) Determinar se esta rede comporta-se como meio poroso.

• No passado, métodos desenvolvidos por Snow [1965,1969] foram aplicados.

• Nestas técnicas a orientação e a abertura das fraturas interceptadas por um poço são determinadas em campo.

• As fraturas são assumidas com comprimento infinito, e então um tensor equivalente ao meio poroso pode ser calculado.

• Como as fraturas têm comprimento finito, há três razões do por que a permeabilidade da rede será menor que a predita pela teoria de Snow.

• A primeira é que algumas fraturas podem estar isoladas da rede condutora.

• Segundo, a fratura pode estar obstruída, ou seja, conectada à rede de fraturas em apenas um ponto e assim não contribuindo para a permeabilidade da rede.

• Terceiro, se de fato a fratura conduz o fluido, a contribuição destra fratura para a permeabilidade da rede é depende do quanto ela está conectada com o resto do sistema.

• Vários estudos já foram feitas para estimar o efeito tanto da interconexão quanto da heterogeneidade, elementos que a teoria de Snow ignora.

• Parson [1966], Caldwell [1971,1972], e La Point e Hudson [1981] usaram modelos analógicos elétricos para estudar fraturas finitas.

• Os modelos bidimensionais elétricos têm a desvantagem de que a corrente é proporcional ao diâmetro do condutor. Entretanto, o escoamento nas fraturas é proporcional ao cubo da abertura das fraturas. Assim estes modelos são restritos a casos especiais de abertura de fraturas.

TÉCNICAS DE MODELAGEMTÉCNICAS DE MODELAGEM

• A fim de estudar somente o efeito da interconexão, foram examinadas redes de fraturas bidimensionais onde todas as fraturas têm a mesma abertura e comprimento. Assim as redes são homogêneas, e qualquer decréscimo na permeabilidade será decorrente apenas da falta de uma perfeita conexão entre as fraturas.

• Um código numérico foi desenvolvido para gerar amostras dos sistemas de fraturas em duas dimensões e determinar a permeabilidade de tais sistemas.

TÉCNICAS DE MODELAGEMTÉCNICAS DE MODELAGEM

• O gerador bidimensional da malha de fraturas (FMG) produz uma população de fratura aleatórias numa região quadrada denominada região de geração.

• Cada conjunto de fraturas é gerado independentemente, e então os conjuntos são superpostos (Figura 1)

Para cada conjunto a densidade (número de fraturas por unidade de área) tem de ser fornecida de modo a ser determinar o número total de centros de fraturas a serem gerados

As orientações normalmente distribuídas são aleatoriamente são atribuídas a cada centro.

As fraturas são aleatoriamente truncadas de tal modo que os comprimentos são distribuídos de acordo com uma distribuição lognormal ou exponencial negativa.

As fraturas que atravessam as fronteiras da região de geração são truncadas na fronteira

Finalmente, aberturas distribuídas de acordo com a distribuição lognormal são atribuídas a cada fratura.

Os conjuntos são superpostos.

• Um gradiente e aplicado através da região do fluxo por atribuir valores apropriados de carga para as fraturas que interceptam os limites da região.

• O fluxo nos elementos é calculado usando a lei cúbica supondo-se que as fraturas comportam-se como placas paralelas.

• A permeabilidade na direção do gradiente, Kg, pode então ser calculada de J, o gradiente aplicado através da região do escoamento, e Qin, a vazão total afluente na direção do gradiente:

• A permeabilidade pode ser medida em qualquer direção por se girar os limites da região do escoamento de e consequentemente girando a direção do gradiente.

ing

QK

J

Geração Original

Região de fluxo rotacionada de 0°

Região de fluxo rotacionada de 45°

Região de fluxo rotacionada de 120°

• Para um meio meio homogêneo e anisotrópico, 1/[Kg()]1/2 versos é uma elipse quando plotada em coordenadas polares.

• Entretanto, para o meio fraturado não homogêneo, 1/[Kg()]1/2 não pode ser plotado como uma elipse perfeita.

• De fato, o formato da figura que se obtêm é completamente irregular.

• Este gráfico contudo pode ser usado como um teste onde se pode constatar se um dado volume de rocha pode ser ou não aproximado a um meio poroso.

• Se 1/[Kg()]1/2 não plota uma elipse sequer aproximadamente, então não se pode encontrar um tensor de condutividade simétrico para descrever o meio.

• Se não há tensor de condutividade, então o escoamento através do meio não pode ser analisado com técnicas do contínuo.

Erro Quadrado Médio NormalizadoErro Quadrado Médio Normalizado (NMSENMSE)

(NMSE) aproxima-se de zero à medida que o comportamento do sistema de fraturas aproxima-se de um meio poroso homogêneo, anisotrópico. Quanto maior for NMSE, menos o sistema de fraturas comporta-se como com um continuum. Esta técnica tem sido usada para se estudar a permeabilidade da rede de fraturas com vários graus de interconexão.

21min

1 21 2

[ ( ) ] ( )N

g ij i jn

RNMSE K x K n n K K

K K

BASES PARA O ESTUDO COMPRIMENTO-DENSIDADE

• Quase tudo o que se sabe sobre fraturas é oriundo dos poços.

• É possível determinar o número de fraturas abertas que interceptam um poço e determinar sua orientação.

• Por outro lado é extremamente difícil obter a densidade de fraturas volumétricas, o comprimento das fraturas, e a abertura das fraturas através de testes hidráulicos.

• Não é necessário considerar todas as possíveis combinações de comprimento de fraturas e densidade.

• Para um dado conjunto de fraturas, pode-se demonstrar que a relação probabilística da freqüência de fraturas λL pode ser expressa por:

• Onde:• λL é a freqüência de fraturas• λA é a densidade regional• é o comprimento médio das fraturas• θ é o ângulo entre a linha da amostra e os eixos

das fraturas de um dado conjunto.

cosL Al

l

??

• Esta relação significa que para cada conjunto de fraturas pode não ser possível determinar λA e diretamente, mas pode-se estimar o produto λA pois ambos λL e θ podem ser estimados a partir de medições diretas em um poço. Este produto será chamado LD, ou parâmetro comprimento-densidade.

cosL

Al LD

ll

A=2B

12 12Alguém que perscrutasse o poço não seria capaz de identificar as diferenças entre os dois sistemas

LDLD

PARÂMETROS USADOS NO PARÂMETROS USADOS NO ESTUDO ESTUDO

COMPRIMENTO-DENSIDADECOMPRIMENTO-DENSIDADE

• O parâmetro comprimento-densidade LD foi mantido constante e igual a 0.288 cm-1.

• Isto significa que em um poço com 10 m de comprimento escavado na rocha interceptaria 288 fraturas.

RESULTADOS DA PRIMEIRA RESULTADOS DA PRIMEIRA SÉRIE DE ESTUDOS SÉRIE DE ESTUDOS

COMPRIMENTO-DENSIDADECOMPRIMENTO-DENSIDADE

• Desenhar todas as malhas com o mesmo tamanho é útil porque a “densidade aparente” tem uma forte influência no comportamento hidrológico do sistema de fraturas. Quanto mais longa a fratura, maior a “densidade aparente”, maior a permeabilidade, menor o valor de NMSE.

Taxa Decresce

NMSE<0.05NMSE>0.05

1/[Kg(1/[Kg()])]1/21/2 é infinito é infinito

= Meio Poroso

CONCLUSÕESCONCLUSÕES

• O propósito deste trabalho foi investigar se a permeabilidade pode ser determinada de uma freqüência de fraturas e permeabilidades individual das fraturas conforme medido em um poço, sem se conhecer o real comprimento das fraturas e sua densidade.

• Redes com comprimento de fratura pequeno e alta densidade terá menor permeabilidade que aqueles com comprimento de fratura maior e baixa densidade. Ademais, sistema com fraturas curtas comporta-se menos como meio poroso que aqueles com comprimentos maiores.

• Os valores medidos de permeabilidade e NMSE estavam muito mais fortemente ligados ao comprimento da fratura que ao tamanho da amostra. Assim, se o sistema de fraturas não comporta-se como meio poroso em certa escala, o aumento da escala de observação não melhorará o comportamento de modo significativo.

• À medida que o comprimento das fraturas aumenta, a permeabilidade aproxima-se de um máximo. Assim em sistemas com fraturas maiores que um certo mínimo pode não ser necessário especificar exatamente o comprimento e a densidade de fraturas regional. O cálculo da permeabilidade máxima usando a teoria de Snow pode ser suficiente.

• Este estudo foi baseado em um sistema isotrópico de fraturas

com apertura e comprimentos constantes. Contudo, pode-se antecipar um comportamento similar em sistemas anisotrópicos bem como em sistemas com aberturas e comprimentos distribuídos.