CAPITOLUL 3

TEORII ŞI MODELE DE CALCUL ANALITIC AL PLĂCILOR DIN MATERIALE COMPOZITE

STRATIFICATE ŞI ARMATE CU FIBRE

3. 1 Metode pentru calculul de rezistenţă al structurilor realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre

Cunoaşterea stării de tensiuni şi deformaţii existente în structurile realizate din materiale compozite este indispensabilă atât proiectării corecte, cât şi exploatării în condiţii de siguranţă a structurilor respective.

Materialele compozite stratificate şi armate cu fibre sunt considerate materiale ortotrope cu izotropie transversală, structurile din aceste materiale impunând, asemănător materialelor clasice, două categorii de metode de calcul:

-metode analitice;-metode numerice.Studiul analitic al unei structuri realizate din materiale compozite depinde de

tipul materialului compozit cât şi de configuraţia structurii.Pentru modelarea structurilor de rezistenţă realizate din materiale compozite se

utilizează atât modele teoretice cât şi modele materiale.Modelele teoretice sunt o verigă intermediară între experienţă şi teoria

referitoare la structurile respective, cuprinzătoare şi exactă, însă laborioasă. Acestea sunt adesea ansambluri de ipoteze formulate pa baza analogiei cu structuri a căror teorie este bine cunoscută. Adesea se utilizează modele intuitive care facilitează interpretarea teoriei şi raportarea ei la structura reală.

Modelele materiale permit rezolvarea pe cale experimentală a unor probleme care nu pot fi rezolvate pe cale analitică sau numerică, fie pentru că nu există metode de calcul adecvate, fie pentru că metodele existente sunt prea laborioase şi costisitoare.

Pentru trecerea de la structura reală la modelul ei nu există algoritmi ori metode generale care să asigure elaborarea unui model unic, care să aproximeze, cu eroare prestabilită structura ce urmează a fi calculată. În general este posibil să se elaboreze mai multe modele, toate corecte, dar cu performanţe diferite.

Modelarea structurilor realizate din materiale compozite este un proces deosebit de dificil.

1

Modelele de calcul ale structurilor compozite stratificate trebuie să răspundă mult mai multor cerinţe decât cele pentru structuri realizate din materiale clasice, aceasta datorită complexităţii materialelor respective. În plus, este necesară o modelare la nivelul laminelor compozitelor stratificate şi armate cu fibre, foarte dificilă, dar şi foarte utilă, întrucât în acest mod pot fi obţinute informaţii mai apropiate de realitate, legate de comportarea fiecărei lamine din componenţa stratificatului. Cu ajutorul acestor modele pot fi puse în evidenţă principalele deteriorări ce apar în stratificatele armate cu fibre: ruperi de fibre şi matrice, delaminări etc.

Relativ frecvent este acreditată ideea că orice metodă analitică este precisă, ignorându-se faptul că o astfel de metodă a fost elaborată presupunând că sunt respectate anumite ipoteze care îi delimitează aplicabilitatea şi îi condiţionează precizia. Orice ieşire din cadrul ipotezelor care definesc modelul asociat metodei de calcul duce la creşterea erorilor rezultatelor obţinute.

Gradul înalt de complexitate al metodelor analitice, cât mai ales imposibilitatea aplicării acestor metode pentru o varietate mare de structuri, au determinat cercetătorii să încerce soluţionarea problemelor legate de calculul structurilor din materiale compozite cu ajutorul metodelor numerice, înlăturându-se astfel necesitatea scrierii şi rezolvării unor ecuaţii complexe cu derivate parţiale ce caracterizează materialele compozite.

Metodele numerice de calcul, au avantajul de a fi aplicabile unor clase mai generale de probleme. Dintre metodele numerice, metoda elementelor finite (MEF) ocupă un loc primordial în analiza structurilor realizate din materiale compozite, în general, ori din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre, în special.

O altă metodă numerică utilizată în analiza structurilor din materiale compozite şi armate cu fibre este metoda colocaţiei. Celelalte metode numerice clasice de calcul al structurilor (metoda elementelor de frontieră, metoda diferenţelor finite etc) se folosesc foarte rar, din cauza dificultăţilor create de caracterul anizotrop al acestor materiale.

În prezent, cercetările în domeniul MEF se desfăşoară sub forma unor laborioase studii teoretice şi aplicative, care urmăresc o multitudine de direcţii:

- cercetări care urmăresc o formulare cât mai generală şi riguroasă a MEF din punct de vedere matematic, cu scopul elaborării unor teorii valabile pentru o categorie cât mai mare de materiale compozite ori structuri din materiale compozite;

- formularea unor criterii care să ducă la evaluarea şi reducerea erorilor de aproximare, specifice metodelor numerice de calcul;

- elaborarea unor noi tipuri de elemente finite pentru analiza structurilor realizate din materiale compozite, mai eficiente atât din punct de vedere al volumului de muncă, dar mai ales în ceea ce priveşte convergenţa rezultatelor obţinute prin MEF către soluţia exactă;

- realizarea şi dezvoltarea unor programe moderne de calcul al acestor structuri, în ceea ce priveşte complexitatea structurilor şi a solicitărilor acestora, modernizarea introducerii datelor de intrare (generarea automată a nodurilor şi elementelor, meniuri adecvate şi uşor de utilizat etc), crearea unor facilităţi legate de preprocesarea datelor

2

şi de postprocesarea rezultatelor analizelor cu aceste programe, cuplarea acestora cu programe de interes general etc;

- crearea unor programe care să includă posibilităţi de optimizare a structurilor realizate din materiale compozite având în vedere criterii de greutate, rigiditate, rezistenţă, preţ de cost etc;

- realizarea unor programe bazate pe MEF pentru efectuarea unor calcule postcritice ale structurilor în vederea stabilirii capacităţii portante a acestora, fără modificarea datelor de intrare;

- aplicarea MEF la nivelul laminelor materialelor compozite stratificate şi armate cu fibre pentru depistarea precisă atât a deteriorărilor apărute în structura compozitului, cât mai ales a naturii acestora.

Literatura de specialitate se îmbogăţeşte permanent cu formulări matematice moderne ale MEF, diversificându-se astfel modalităţile de determinare a matricei de rigiditate a unui element finit pentru structuri compozite. Au apărut astfel un număr foarte mare de programe de firmă în a căror bibliotecă există şi elemente finite destinate analizei structurilor realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre.

În acest sens, deducerea matricei de rigiditate a unui element finit pentru analiza structurilor compozite se poate face în mai multe moduri, alegerea metodei şi a teoriei matematice adecvate depinzând de mai mulţi factori:

- nivelul la care se doreşte a fi efectuată analiza (global sau local - laminar);- precizia soluţiilor; - complexitatea structurii;- tipul solicitărilor.Metodele experimentale utilizate în analiza structurilor realizate din materiale

compozite stratificate şi armate cu fibre sunt atât metodele clasice, cât şi metode moderne, specifice materialelor compozite.

3.2 Teorii şi modele de calcul analitic al plăcilor realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre

Studiul analitic al unei structuri realizate din materiale compozite depinde de tipul materialului compozit cât şi de configuraţia structurii.

Metodele analitice de calcul sunt utilizate în cazul structurilor simple (bare, plăci, tuburi etc.) realizate din compozite stratificate sau din compozite fibroase, deoarece, în cazul structurilor complexe ori pentru alte categorii de materiale compozite, aplicarea acestor metode este dificilă, chiar imposibilă, în primul rând din cauza calculelor laborioase.

Aceste metode au la bază ecuaţiile teoriei elasticităţii mediului anizotrop.Datorită diversităţii mari a acestor materiale, cât şi datorită caracteristicilor

elastice şi mecanice diferite de la un material la altul, nu există metode analitice universal valabile pentru toate materialele compozite.

3

Un dezavantaj esenţial al metodelor analitice de calcul îl reprezintă impunerea unui număr mare de ipoteze de calcul, ceea ce conduce la îndepărtarea de problema reală.

În literatura de specialitate sunt propuse şi dezvoltate mai multe teorii aplicabile în calculul analitic al plăcilor realizate din compozite stratificate şi armate cu fibre:

1) Teorii bazate pe relaţiile constitutive ale laminei ortotrope

Gay realizează un calcul al tensiunilor ce apar în asemenea plăci, pornind de la studiul unei lamine, modelată sub forma unei plăci plane de grosime mică, continuând cu analiza întregii plăci (stratificat), realizată din grupuri de lamine de acelaşi tip şi finalizând prin aplicarea criteriilor de cedare Tsai -Hill şi Tsai – Wu. Se stabileşte astfel, dacă stratificatul solicitat la întindere - compresiune monoaxială sau biaxială, rezistă sau nu [1].

2) Teoria clasică a plăcilor (classical plate theory - CPT)

Potrivit lui J. N. Reddy, câmpul deplasărilor în teoria clasică a plăcilor este considerat ca fiind de forma [2], [3]:

(3.1)

unde:- (u, v, w) reprezintă deplasările pe direcţiile x, y şi z, ale unui punct (x, y, 0)

din planul median al compozitului;- (1, 2) sunt rotirile în jurul axelor x şi y: şi 3) Teoria de ordinul întâi a plăcilor

Câmpul deplasărilor are forma (3.1), singura deosebire fiind aceea că potrivit acestei teorii Reddy ia în consideraţie şi efectele forfecării.

4) Teoria de ordinul trei a plăcilor

Această teorie aparţine aceluiaşi Reddy, care consideră că deplasările sunt de forma [2], [3]:

4

(3.2)

unde h este grosimea stratificatului.

5) Teorii mixte (hibride) şi teorii de ordin superior

Au la bază teoriile anterioare, pentru câmpul deplasărilor fiind propuse polinoame de ordin superior.

Cu ajutorul acestor teorii şi în urma unor calcule laborioase, pot fi determinate tensiunile din fiecare lamină a compozitului, dar nu poate fi efectuat studiul interlaminar al plăcii în vederea stabilirii naturii deteriorării: ruperi de matrice, ruperi de fibre, delaminări etc.

Studiul deteriorărilor, în special cel al delaminărilor reprezintă o problemă de mare interes în domeniul compozitelor, de-a lungul anilor fiind propuse mai multe modele şi teorii în acest sens:

1) Model analitic al delaminărilor produse de sarcini laterale statice sau de impact

Finn şi Springer [4] propun un model ce se bazează pe următoarele ipoteze fundamentale:

- delaminările se produc numai la interfeţele adiacente unui strat în care s-au produs fisuri longitudinale (paralele cu fibrele).

- fisurile matricei trebuie să se deschidă pentru a se produce delaminarea.Se consideră că delaminările se pot produce la solicitări de încovoiere, răsucire

sau forfecare locală, contând foarte mult poziţia stratului fisurat în ansamblul compozitului. Delaminările importante se produc în special între straturile aflate pe partea opusă aplicării sarcinii. Pentru evaluarea ariei pe care ele se produc se iau în considerare energiile de deformaţie ale straturilor fisurate aflate deasupra sau dedesubtul zonei delaminate şi se compară cu energia necesară delaminării. Se ţine seama şi de contactul din zona de aplicare a sarcinii. Ecuaţiile ce descriu modelul, incluse într-un program de calcul, pot permite estimarea încărcărilor ce iniţiază delaminarea, precum şi localizarea, forma şi mărimea acesteia.

2) Teorii de ordin superior incrementale

Flanagan [5] propune un program de calcul denumit TTSS (Through Thickness Striteling and Shear - alungire şi forfecare pe grosime) pentru un calcul cu grad ridicat de precizie al forţelor ce pot delamina compozitele stratificate, precum şi viteza de eliberare a energiei de deformaţie pentru estimarea extinderii delaminărilor deja existente. Modelul teoretic include plăci în teorii de ordin superior incrementale,

5

ale căror ecuaţii sunt rezolvate exact în ipoteza unor deplasări ce variază liniar pe grosime.

3) Teoria elasticităţii materialelor anizotrope

Thangjitham şi Choi [6] studiază problema ruperii interlaminare într-un stratificat supus unei stări plane de tensiuni în cadrul teoriei elasticităţii materialelor anizotrope. Autorii rezolvă această problemă de condiţii la limită mixte folosind tehnica transformatelor integralelor Fourier şi formularea matriceală a rigidităţilor. Se ajunge la un sistem de ecuaţii integrale, sistem singular Cauchy de speţa întâi. Ulterior se calculează factorul de intensitate a tensiunilor folosind soluţiile acestui sistem de ecuaţii.

Studiile referitoare la delaminarea produsă de impact îşi propun în general să estimeze localizarea, forma, propagarea şi mărimea delaminărilor [7], [8].

Modelele lui Grady şi Sun [9], Gosse şi Mori [10], Grady şi De Paola [11] furnizează o estimare a creşterii delaminării, însă cer în prealabil o cunoaştere precisă a numărului şi localizării delaminărilor.

Alţi autori presupun că, în cazul unor delaminări multiple, toate delaminările cresc la aceeaşi dimensiune. Analiza delaminărilor apărute datorită solicitărilor la oboseală este realizată de Reifsnider [12].

Modelul lui Liu [13] arată efectul nepotrivirii rigidităţii la încovoiere a straturilor adiacente zonei delaminate.

3.3 Criterii de cedare

Determinarea rezistenţei unui material compozit stratificat armat cu fibre, se bazează pe analiza stării de tensiuni din fiecare lamină în parte şi pe estimarea rezistenţei fiecărei lamine.

În literatura de specialitate se constată existenţa a mai mult de 30 de criterii de rupere (teorii de rezistenţă), aplicabile cu rezultate bune sau mai puţin bune, materialelor compozite [14], indiferent de tipul acestora, dar şi criterii de rupere aplicabile numai compozitelor armate cu fibre.

Criteriile de cedare (rupere) pot fi clasificate în trei mari grupe [15], [16], [24]:

a) criteriile limită - conform cărora ruperea survine atunci când unul dintre parametrii- tensiuni sau deformaţii - atinge starea limită;

b) criteriile interactive - acestea consideră că ruperea survine atunci când este satisfăcută o formulă cuadratică a tensiunilor, prezicând numai momentul iniţierii ruperii, nu şi modul de rupere;

c) criteriile polinomial - tensoriale - ca şi criteriile precedente, pot prezice numai momentul iniţierii ruperii. Pentru evaluarea termenilor interactivi este necesară efectuarea unor încercări biaxiale. Aceşti termeni trebuie definiţi cu precauţie.

6

Majoritatea criteriilor de rupere propuse pentru materiale anizotrope nu sunt decât o generalizare a criteriilor utilizate pentru materiale izotrope.

Literatura oferă şi criterii de rupere sub forma unor relaţii empirice, determinate experimental.

În cele ce urmează sunt prezentate cele mai importante criterii de rupere utilizate pentru materiale anizotrope, aşa cum sunt descrise în lucrările [14], [17], [18] şi [19].

a) Criteriile limită

a.1) Criteriul tensiunilor maxime

Conform acestui criteriu, într-un corp supus unei stări spaţiale (plane) de tensiune, ruperea se produce atunci când una dintre componentele s1, s2 sau t12

atinge valoarea limită a tensiunii la solicitarea de tracţiune (compresiune).Ecuaţiile care stau la baza acestui criteriu sunt:

(3.3)în care:

- XC, XT - reprezintă valoarea tensiunii limită pentru solicitarea de compresiune, respectiv de tracţiune pe direcţia fibrelor;

- YC, YT - valorile tensiunilor limită la compresiune, respectiv tracţiune pe direcţia perpendiculară pe direcţia fibrelor;

S - valoarea tensiunii limită la forfecare.O caracteristică a acestui criteriu este faptul că este prezis modul de rupere.

a.2) Criteriul deformaţiei specifice maxime

Este un criteriu similar precedentului, condiţiile pentru tensiuni fiind înlocuite cu condiţii pentru deformaţii specifice maxime.

Acest criteriu se reduce la :

(3.4)

Aceste prime două criterii de rupere au similarele lor în cazul materialelor izotrope, clasice.

7

a.3) Criteriul lui Stowell-Liu

Acest criteriu face parte din categoria criteriilor limită şi ia în calcul rezistenţele materialului compozit - fibră şi matrice.

După acest criteriu, tensiunea de rupere pe direcţia fibrelor, XF este considerată tensiunea limită a laminei, spre deosebire de tensiunea de rupere pe o direcţie perpendiculară pe direcţia fibrelor YM, cât şi tensiunea de forfecare SM, care sunt considerate tensiuni limită ale matricei.

Prin urmare:

(3.5)

a.4) Criteriul lui Prager

Conform acestui criteriu, tensiunile limită pe o direcţie perpendiculară pe cea a fibrelor, ca şi cele de forfecare, nu sunt independente ca în situaţia precedentă, ci sunt într-o permanentă interacţiune.

Ecuaţiile acestui criteriu sunt următoarele:

(3.6)

b) Criteriile interactive

b1) Criteriul Tsai-Hill

Acest criteriu reprezintă o generalizare a criteriului izotrop al lui Von Mises pentru materiale ortotrope.

Este unul dintre criteriile cele mai folosite.Ecuaţia care stă la baza acestui criteriu este următoarea:

(3.7)

în care:- X, Y, Z reprezintă rezistenţele la rupere obţinute experimental, în urma unor

solicitări monoaxiale pe direcţiile de ortotropie;- R, S, T sunt rezistenţele de forfecare pură, în planul de ortotropie.Dezavantajul acestui criteriu îl reprezintă imposibilitatea de a determina modul

de rupere.

8

Criteriul Tsai-Hill pentru un grup de lamine "k" de acelaşi tip (cu aceeaşi orientare a fibrelor în matrice) ale unui stratificat plan armat cu fibre continue, se exprimă adaptând relaţia (3.7) [1], [20], [21], [22], [23]:

(3.8)

unde slr, str şi tltr , reprezintă tensiunile normale de rupere la tracţiune ale unei lamine, pe direcţia l a fibrei şi pe direcţia t normală la fibre, respectiv tensiunea tangenţială de rupere la tracţiune a unei lamine.

b2) Criteriul lui Marin

Acest criteriu este o generalizare a criteriului lui Von Mises. În anul 1956, Marin a propus o extindere a criteriului energiei potenţiale de deformaţie, în care a inclus termeni ce iau în calcul diferenţa dintre tensiunile maxime de curgere la tracţiune şi compresiune într-un material ortotrop. Plecând de la expresia energiei potenţiale de deformaţie pentru un material izotrop:

(3.9)

Marin a propus următoarea expresie a acestei teorii, pentru materiale ortotrope:

(3.10)

în care constantele a, b, c, q iau valori diferite în funcţie de tipul stării de tensiune.În situaţia unui câmp de tensiune biaxial, ecuaţia (3.10) se reduce la:

(3.11)

După cum se observă, în scrierea acestor ecuaţii nu apar decât tensiunile principale. Acest lucru prezintă un avantaj pentru materialele izotrope deoarece, în studiul analizei este eliminat fenomenul de forfecare. Din nefericire, acest criteriu are un mare dezavantaj pentru materialele anizotrope, deoarece nu poate fi aplicat decât foarte rar studierii materialelor compozite, ştiut fiind faptul că pentru aceste materiale direcţiile principale ale tensiunilor nu coincid întotdeauna cu axele de ortotropie.

b3) Criteriul lui Azzi-Tsai

Acest criteriu reprezintă o simplificare a criteriului lui Hill, Azzi şi Tsai considerând lamina izotropă în planul (v2 , v3), ceea ce implică Y = Z. In acest caz, ecuaţia care stă la baza acestui criteriu devine:

9

(3.12)

b4) Criteriul lui Hoffman

În anul 1967 Hoffman a modificat ecuaţia propusă de Hill, incluzând termeni liniari, pentru a lua în considerare tensiunile de rupere la tracţiune şi la compresiune.

Ecuaţia care stă la baza acestui criteriu este următoarea:

(3.13)

Criteriul conţine nouă constante Ki şi ia în calcul valorile diferite ale rezistenţelor de rupere la tracţiune şi compresiune.

Pentru un material ortotrop, supus unei stări plane de tensiuni, acest criteriu poate fi scris sub următoarea formă:

(3.14)

b5) Criteriul lui Franklin

Franklin a modificat criteriul lui Marin pentru a depăşi limitarea acestuia. O teorie de rupere general valabilă în proiectare trebuie să includă efectele

comportării neliniare atunci când aceasta se produce, ca şi efectele datorate diferenţei dintre rezistenţa la tracţiune şi cea la compresiune.

Expresia acestui criteriu este următoarea:

(3.15)

Constantele K1 şi K4 sunt determinate în urma unor încercări monoaxiale pe prima direcţie de ortotropie (s1 = XC şi s2 = XT).

Constantele K3 şi K5 sunt determinate în urma unor încercări monoaxiale după a doua direcţie de ortotropie, iar constantele K2 şi K6 în urma unor încercări biaxiale, respectiv a unei încercări de forfecare, în care t12 = S.

Deşi acest criteriu pare mai precis decât alte criterii, datorită constantei K2

prezintă inconvenientul cerinţei de realizare a unei încercări biaxiale, pentru determinarea acestei constante.

c) Criteriile polinomial-tensoriale

c1) Criteriul Tsai-Wu

10

Tsai şi Wu au propus un criteriu de rupere polinomial - tensorial şi l-au considerat un criteriu general pentru materialele anizotrope.

Wu a arătat în lucrarea [14] că majoritatea criteriilor menţionate mai sus nu sunt decât cazuri particulare şi forma propusă de autorii lor reprezintă un polinom de gradul doi în raport cu tensiunile exprimate în reperul de ortotropie:

(3.16)

în care i, j = 1 6 şi Fi , Fij reprezintă tensori de ordinul doi, respectiv patru.În cazul unor încercări biaxiale, acest criteriu se reduce la:

(3.17)

Inconvenientele acestui criteriu le reprezintă faptul că determinarea coeficienţilor Fij este destul de dificilă şi de asemenea, ipoteza unei comportări elastice a epruvetei până la rupere, ce nu concordă întotdeauna cu realitatea.

Pe de altă parte un mare număr de articole a fost scris pentru evaluarea acestui criteriu. Spre exemplu, Narayanaswami şi Adelman [18] au considerat în acest criteriu termenul F12 = 0 şi au conchis că acesta este suficient de precis pentru aplicaţiile practice.

Tennyson [19] a optat pentru o formă cubică a acestui criteriu, astfel:

(3.18)

Foarte des este utilizat criteriul Tsai-Wu pentru un grup de lamine "k" de acelaşi tip ale unui stratificat plan armat cu fibre continue. El se obţine prin particularizarea relaţiei (3.17) şi are expresia [1], [20], [21], [22], [23]:

(3.19)

unde s lrc şi s trc reprezintă tensiunile normale de rupere prin compresiune ale unei lamine pe direcţia fibrei, respectiv pe direcţia normală la fibre.

c2) Criteriul lui Gol'denblat-Kopnov

Pentru materialele anizotrope Gol'denblat şi Kopnov au propus un criteriu de forma:

(3.20)

în care i, j, k, l, m, n,...= 1, 2, 3;

11

Fij, Fijkl reprezintă coeficienţi materiali sub forma unor componente ale tensorului de ordinul doi, patru etc., care caracterizează rezistenţa compozitului, iar a, b şi g constante ce se determină experimental.

Acest criteriu a prevăzut valori fixe pentru a, b şi g (a = 1; b = 0,5; g = 0,33).

Literatura de specialitate oferă foarte multe criterii de rezistenţă pentru analiza materialelor anizotrope, dar trebuie folosit acel criteriu care să conducă la obţinerea unor rezultate cât mai apropiate de cele obţinute pe cale experimentală.

Trebuie menţionat faptul că sunt propuse permanent noi criterii de cedare ale materialelor compozite stratificate armate cu fibre, aceasta şi datorită faptului că problema criteriilor de cedare nu este încă rezolvată.

Bibliografie

1. Gay, D., Matériaux composites, Editions Hermes, Paris, 19912. Reddy, J. N., A Simple Higher Order Theory for Laminated Composite Plates, Journal of Applied Machanics, Vol. 51, 19843. Reddy, J. N., Mechanics of Composites Structures, Mc Graw Hill, New York, 19804. Finn, S.C., G.S. Springer, Delaminations in composite plates under transverse static or impact loads - a model, Composite Structures, Vol. 23, 19935. Flanagan, G., A sublaminate analysis method for predicting disbond and delamination loads in composite structures, Journal of Reinforced Plastics and Composites, Vol. 12, 19936. Thangjitham, S., Choi, H. J., Interlaminar crack problems of a laminated anisotropic medium, International Journal of Solids and Structures, Vol. 30, nr. 7, 19937. Sun, C.T., Jih, C. J., Quasi-static modelling of delamination crack propagation in laminates subjected to low-velocity impact, Composite Science and Technology 54, 19958. Wang, J. Z., Failure strength and damage mechanism of E-glass / epoxy laminates under in - plane biaxial compressive deformation, Journal of Composite Materials, Vol. 27, nr. 1, 19939. Grady, J. E., Sun, C. T., Dynamic delamination crack propagation in a graphite / epoxy laminate, Composite Materials, Fatigue and Fracture, ASTM STP 907, American Society for Testing and Materials, Philadelphia, PA, 198610. Gosse, J.H., Mori, P.B.Y., Impact damage characterisation of graphite/epoxy laminates, Proc. of the American Society for Composites, 3rd technical Conf. on Composite Materials, American Society for Composites, 198811. Grady, J. E., De Paola, K. J., Measurement of impact - induced delamination buckling in composite laminates, Dinamic Failure, Proc. of the 1987 SEM Fall Conf., Society for Exp. Mech., 198712. Reifsnider, K.L., Damage in composite structures, Handbook of Composites, Vol.2 - Structures and Design, Elsevier Applied Science Public., 1989

12

13. Liu, D., Impact induced delamination - A view a bending stiffness mismatching, Journal of Composite Materials, nr. 22, 198814. Wu, E. M., Failure Criteria to Fracture Mode Analysis of Composite Materials, Paper 2, AGARD-CP-163, Advisory Group for Aerospace Research and Development, Munich, West Germany, March 197515. Hadăr, A., Probleme locale la materiale compozite, Teză de doctorat, U.P.B., 199716. Gheorghiu, H., Hadăr, A., Constantin, N., Analiza structurilor din materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti, 199817. Nahas, M. N., Survey of Failure and Post-Failure Theories of Laminated Fiber-Reinforced Composites, American Society for Testing and Materials, 198618. Narayanaswami, R., Adelman H. M., Evaluation of the Tensor Polynomial and Hofman Strength Theories for Composite Materials, Journal of Composite Materials, Vol. II, 197719. Tennison, R. C., Experimental Evaluation of the Tensor Polynomial Failure Criterion for Designing Composite Structures, NASA-CR-155219, National Aeronautics Space Administration, Langley Research Center, 197720. Constantin, N., Jiga, G., Hadăr, A., Numerical Approaches in the Calculus of Laminates, International Conference of Composites Engineering, New Orleans, 21-24 August 199521. Constantin, N., Jiga, G., Hadăr, A., Numerical Modelling of a Fiber Reinforced Composite, The 4th European Conference on Advanced Materials Processes, Italia, Padua/Venice, 25-28 septembrie, 199522. Hadăr, A., Jiga, G., Constantin, N., Mareş, C., Program de calcul al unui material compozit stratificat, armat cu fibre, Revista Construcţia de maşini, Bucureşti, nr. 8-9, august - septembrie 199523. Jiga, G., Constantin, N., Hadăr, A., N. Goga, Numerical Calculus of Biaxial Loaded Laminates, Ediţia I-a a Conferinţei Naţionale “Optimizarea proiectării şi tehnologiilor de prelucrare în construcţia de maşini”, Academia Română Filiala Iaşi, Bacău, 1995, pag. 26-3024. Hadăr, A., Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei şi Editura AGIR, Bucureşti, 2002

13