teoria mecanismelor si masinilor indrumar de proiectare

Universitatea Tehnică a Moldovei Facultatea „Inginerie şi Management în Construcţia

de Maşini” Catedra „Teoria Mecanismelor şi Organe de Maşini”

TEORIA MECANISMELOR ŞI MAŞINILOR

Îndrumar de proiectare

Chişinău U.T.M.

2009

CZU 621.01(075.6) M11

Prezentul îndrumar de proiectare este destinat studenţilor cu

forma de studii la zi şi cu frecvenţă redusă al FIMCM şi FIMM, pentru studiul cursului „Teoria Mecanismelor şi Maşinilor” şi efectuarea proiectului de an (lucrării de an).

Au elaborat: dr. conf. univ., Macarişin Sergiu dr. conf. univ. Sochireanu Anatol lect. asist., Malcoci Iulian Redactor responsabil: conf. univ. dr. hab., Valeriu Dulgheru

ISBN 978-9975-45-124-6

© UTM, 2009

DESCRIEREA CIP A CAMEREI NAŢIONALE A CĂRŢII Macarişin, Sergiu

Teoria mecanismelor şi maşinilor: Îndrumar de proiectare / Sergiu Macarişin, Anatol Sochireanu, Iulian Malcoci; red. resp.: Valeriu Dulgheru; Univ. Tehn. a Moldovei, catedra „Teoria Mecanismelor şi Organe de Maşini”, Fac. „Inginerie şi Management în Construcţia de Maşini”. – Ch.: UTM, 2009 –

Bibliogr.: p. 193 (17 tit.) – 300 ex. ISBN 978-9975-45-124-6

621.01(075.6) M11

1. INRODUCERE

31. INTRODUCERE

TEORIA MECANISMELOR şi a MAŞINILOR: Această disciplină studiază cele mai răspândite mecanisme în practica construcţiei de maşini, în scopul cunoaşterii structurii cinematice a clasificării mecanismelor după gradul de mobilitate, familia şi structura mecanismelor (plane sau spaţiale). Un alt obiect de studiu al TMM este dinamica mecanismelor şi a maşinilor, în care se studiază forţele motoare, forţele de rezistenţă şi forţele de inerţie, care apar în diferite elemente ale mecanismelor. Ele sunt necesare pentru a putea obţine caracteristicile mecanice ale maşinilor ca în final să se efectueze echilibrarea maşinilor.

Dezvoltarea ştiinţei şi tehnicii moderne, a construcţiei de maşini în special, este legată de cercetarea – fundamentală şi aplicată – a mecanismelor, ca părţi constructive ale acestora.

Proiectarea unei maşini este un proces complex care în linii mari, începe cu alcătuirea schemelor structurale şi cinematice, urmată de analiza mişcărilor şi forţelor dezvoltate. Continuă cu alegerea materialelor din considerente tehnologice şi economice, cu dimensionarea elementelor componente. Analiza performanţelor dinamice ale maşinii în ansamblu poate reclama reluarea proiectării în scopul redistribuirii maselor, a realizării unor solicitări dinamice mai reduse, a micşorării cheltuielilor de fabricaţie şi exploatare etc.

Astfel disciplina TEORIA MECANISMELOR şi a MAŞINILOR se bazează pe noţiuni de cultură tehnică generale abordate în cadrul disciplinelor de Mecanică Teoretică, Matematici Aplicate, Desen Tehnic, Studiul Materialelor etc. şi furnizează informaţii necesare proiectării, înţelegerii funcţionării şi exploatării corecte a oricărui sistem mecanic mobil cu aplicaţii în tehnică sau domenii, care utilizează principiile mecanicii aplicate.

În ingineria mecanică, atât pentru activitatea de proiectare cât şi pentru cea de exploatare, se folosesc noţiuni specifice, precum:

- organ de maşină – organele de maşini sunt piese sau grupuri de piese, care formează părţi constitutive ale mecanismelor, maşinilor şi, în general, ale utilajelor;

- dispozitiv – dispozitivul reprezintă o grupare restrânsă de organe de maşini, având un rol independent bine determinat, a cărui utilizare nu implică mişcări relative ale pieselor componente;

- mecanism – mecanismul reprezintă un sistem mecanic mobil, construit dintr-o formaţie de organe de maşini sau de piese, realizat în scopul executării unei operaţii tehnologice sau pentru transmiterea mişcării şi a energiei;

- maşină – prin maşină se înţelege un sistem tehnic, alcătuit din elemente care au anumite mişcări determinate, şi realizat în scopul transformării unei energii dintr-o formă în alta sau modificării parametrilor de stare, formă sau poziţie ai unui material sau obiect;

- agregat – prin agregat se înţelege o grupare de maşini care lucrează în comun pentru efectuarea unei operaţii tehnologice sau lucrări;

Teoria Mecanismelor şi Maşinilor – Îndrumar de proiectare

4 - instalaţie – instalaţia reprezintă o grupare funcţională mai amplă de

construcţii, maşini, aparate, instrumente şi accesorii, care funcţionează în comun pentru realizarea aceluiaşi scop final, care poate consta fie în îndeplinirea unui proces de producţie, fie în efectuarea unor cercetări experimentale cu caracter ştiinţific.

Aprecierile cantitative din punct de vedere, mecanic cu privire la o maşină de lucru, necesare atât în faza de proiectare, cât şi în faza de exploatare, se realizează cu ajutorul caracteristicilor mecanice. Cele mai importante caracteristici sunt:

- cinematice: 1) poziţii sau deplasări – liniare (de translaţie) sau unghiulare (de rotaţie);

2) viteze – liniare sau unghiulare; 3) acceleraţii – liniare sau unghiulare. - inerţiale: 1) masa (cantitatea de substanţă dintr-un element cinematic); 2) momentul de inerţie (distribuţia de substanţă dintr-un element

cinematic solid). - cinetice: 1) impulsul şi 2) momentul cinetic. - dinamice: 1) vectoriale (forţa şi momentul forţei) şi 2) scalare (lucrul şi

puterea mecanică). Parametrii funcţionali prezintă interes, în primul rând, pentru cel ce

beneficiază de serviciile maşinii, proiectantul fiind nevoit să pornească de la aceşti parametri în definitivarea unei soluţii constructive a maşinii. În mod invers, prin analiza funcţionării unei maşini se determină parametrii funcţionali ai acesteia. Analizele, care se fac în mod obişnuit asupra funcţionării unui mecanism dintr-o maşină de lucru, sunt:

- analiza structurală: tratează formarea mecanismului şi îl încadrează în categorii prestabilite, pentru care sunt elaborate metode de sinteză şi analiză comune. În cadrul acestei analize se evaluează gradul de mobilitate al mecanismului, se aleg parametrii geometrici independenţi ai cuplelor sau ale elementelor cinematice conducătoare şi se face o clasificare a mecanismului funcţie de grupele structurale în care poate fi descompus;

- analiza cinematică: tratează problematica determinării poziţiilor, vitezelor şi acceleraţiilor elementelor mecanismului fără a ţine cont de caracteristicile mecanice dinamice, analiza efectuându-se doar pe baza cunoaşterii legii de mişcare a elementului conducător şi a unor consideraţii geometrice. În cadrul acestei analize se studiază mişcarea în timp a elementelor mecanismului fără a lua în considerare cauzele mişcării, respectiv, fără a se stabili legătura dintre sistemul de forţe, care acţionează asupra mecanismului, şi caracteristicile mişcării acestuia;

- analiza dinamică: determină caracteristicile mecanice ale mişcării unui mecanism, luând în considerare caracteristicile dinamice care acţionează asupra acestuia. În cadrul acestei analize sunt utilizate teoremele fundamentale ale dinamicii sistemelor mecanice de solide rigide. Una din problemele

1. INRODUCERE

5fundamentale, care se rezolvă cu ajutorul acestei analize, constituie determinarea corectă a legilor de mişcare a elementelor conducătoare ale mecanismului de baza, cunoaşterea caracteristicilor mecanice dinamice vectoriale care acţionează asupra mecanismului. Problemele dinamice care se rezolvă în cadrul acestei analize sunt de tip fundamental, cerându-se a se determina toate caracteristicile mişcării elementelor, forţele şi momentele de legătură dintre elemente pe baza cunoaşterii tuturor solicitărilor dinamice active, exterioare şi interioare, care acţionează asupra mecanismului.

Studiul mecanismelor din acest curs se face pentru cele trei mari categorii de mecanisme care se întâlnesc frecvent în practică: mecanismele cu cuple inferioare şi superioare frecvent utilizate, mecanisme cu came şi mecanisme cu roţi dinţate. Fiecare dintre aceste categorii de mecanisme prezintă o mare varietate de tipuri structurale, pentru care sunt elaborate metode de sinteză şi analiză specifice fiecărei categorii şi anumitor clase de mecanisme.

Pentru inginerii tehnologi şi de exploatare sunt necesare, în mai mare măsură, cunoştinţele de analiză a funcţionării mecanismelor. Astfel, metodele de sinteză prezentate în lucrare au un caracter atât informativ cât şi aplicativ.

Acest curs prevede efectuarea proiectului de an (3 coli A1 + Memoriu de calcul) sau lucrare de an (2 coli A1 + Memoriu de calcul) de către studenţii diferitor specialităţi de la secţia zi şi f/f.

Memoriul de calcul va fi întocmit pe coli format A4 cu chenar şi indicator.

Foaia de titlu se va efectua ca în fig.1.1. Prima foaie a memoriului explicativ va fi întocmită cu chenar şi inscripţia principală (indicatorul după forma 2) ca în fig.1.2, iar colile următoare cu chenar şi inscripţia principală (indicator după forma 2a) ca în fig.1.3 conform GOST-ului 2.104-68.

Formatele conform GOST 2.301-68

Se numeşte format de desen dimensiunea documentului de proiectare. De regulă, după dimensiuni coala de hârtie este mai mare decât documentul de proiectare. GOST-ul 2.301-68 stabileşte şase formate principale şi un şir de formate suplimentare. Dimensiunile şi notaţiile formatelor principale sunt date în Tab. 1.1.

Tabelul 1.1 – Formate

Notaţia Formatului

A0

A1

A2

A3

A4

A5

Dimensiunile

formatului, [mm]

841× ×1189

594× ×841

420× ×594

297× ×420

210× ×297

148× ×210


6

1. INRODUCERE

7

Coala 1 „INTRODUCERE” va conţine date generale despre obiectul de

studiu al disciplinei „TEORIA MECANISMELOR ŞI MAŞINILOR”, cu chenarul conform formei 2, după cum este arătat în fig.1.2.


8

Coala 2 „Memoriu de calcul” va cuprinde toate calculele necesare pentru

efectuarea proiectului de an (conţinutul, formule, datele problemei, scheme si figuri). Începând cu coala 2 se va folosi chenarul după forma 2a după cum este arătat în fig. 1.3.

1. INRODUCERE

9În condiţiile de studiu se completează următoarele rubrici ale

inscripţiei principale pe prima şi pe filele ulterioare conform GOST 2.104-68. Rubrica (1) – Denumirea articolului (unităţii de asamblare). Rubrica (2) – Notaţia documentului după GOST-ul 2.201-80. „SUDP.

Notaţia articolelor şi documentelor de proiectare” (în condiţii de studiu – notaţia stabilită la catedră).

Rubrica (7) – Numărul de ordine al filei din lucrarea grafo-analitică. Rubrica (8) – Numărul total de file din lucrarea grafo-analitică. Rubrica (9) – Denumirea instituţiei de învăţământ şi Nr. grupei. Rubrica (10) – Caracterul lucrului efectuat ale persoanelor, care au

semnat documentul. Rubrica (11) – Numele de familie ale persoanelor, care au semnat

documentul. Rubrica (12) – Semnăturile persoanelor, numele de familie ale cărora

sunt în rubrica 11. Mai amănunţit despre completarea indicatorului în condiţiile de

producţie v. în GOST 2.109-73. Rezolvarea oricărei probleme va începe pe filă nouă (format A4) cu:

transcrierea din sarcina primită de student, a conţinutului problemei, întocmirea schemei de calcul cu indicarea tuturor forţelor şi momentelor care acţionează asupra elementelor. În caz de necesitate schema de calcul va fi însoţită de explicaţiile necesare sau şi de figuri suplimentare.

Schiţele, secţiunile şi desenele de calcul sunt efectuate în creion sau la calculator cu respectarea cerinţelor standardelor referitor la întocmirea desenelor. Dimensiunile de pe schemele de calcul trebuie să corespundă celor din relaţiile de calcul.

La rezolvarea problemei trebuie respectaţi paşii şi restricţiile necesare, care stau la baza rezolvării, mai apoi se efectuează calculul propriu-zis. Este necesară simbolizarea parametrilor în conformitate cu standardele în vigoare. Calculele sunt efectuate în consecutivitatea stabilită cu argumentare teoretică şi sunt însoţite de explicaţiile necesare, dacă este cazul. Toate calculele din lucrare sunt elaborate în sistemul ISO. Parametrii calculaţi sunt expuşi cu indicarea unităţilor de măsură corespunzătoare.

Pentru a putea studia mărimile fizice în tehnică s-au stabilit diferite procedee de măsurare şi s-au fixat o serie de unităţi de măsură. Deoarece între mărimile fizice există o serie de relaţii se poate alege un număr restrâns de mărimi fizice independente numite mărimi fundamentale, în funcţie de care se pot exprima celelalte mărimi, numite mărimi derivate.

Unităţile de măsură ale acestor două categorii de mărimi se numesc unităţi de măsură fundamentale şi unităţi derivate. În tehnică sunt întâlnite curent două sisteme de unităţi de măsură: sistemul fizic, având ca mărimi fundamentale lungimea, timpul şi masa şi sistemul tehnic, având ca mărimi fundamentale lungimea, timpul şi forţa.


10 Standardul SM ISO 31-0:2003, prevede 7 unităţi fundamentale: metrul

(m) pentru lungime, kilogramul (kg) pentru masă, secunda (s) pentru timp, amperul (A) pentru intensitatea curentului electric, kelvinul (K) pentru temperatura termodinamică, candela (cd) pentru intensitatea luminoasă, molul (mol) pentru cantitatea de substanţă.

Mărimile utilizate în mecanică sunt: - metrul, este lungimea drumului parcurs de lumină, în vid, într-un

interval de timp de 1/299792458 dintr-o secundă; - kilogramul, este masa prototipului internaţional de platină iradiată,

adoptat în anul 1889 de Conferinţa Generală de Măsuri şi Greutăţi şi păstrat la Sèvres în Franţa;

- secunda, este durata de 9192631770 perioade ale radiaţiei corespunzătoare tranziţiei între cele două nivele hiperfine ale stării fundamentale ale atomului de cesiu 133.

Principalele unităţi derivate sunt: - unitatea de forţă, care este newtonul (N) şi reprezintă forţa care

comunică unei mase de 1kg o acceleraţie de 1m/s2; (1 N=1 kg·m/s2) - unitatea de putere, care este wattul (W) şi reprezintă lucrul mecanic de

1J efectuat într-o secundă; (1 W = 1 J/s) - unitatea pentru presiune este pascalul (Pa), care reprezintă presiunea

exercitată de 1N pe 1m2. (1 Pa = 1 N/m2) În unele cazuri în literatura tehnică presiunea este data şi în atmosfere:

21

255 1010101

mmN

mNPaatm −=== .

În unele ţări se mai utilizează şi sistemul tehnic (m, kg, s) care se

consideră tolerat. În acest sistem unitatea de măsură pentru forţă este kilogramul-forţă, care reprezintă greutatea prototipului internaţional de platină iradiată de la Sèvres măsurată în vid cu o acceleraţie de 9,81 m/s2.

Legătura între kilogramul-forţă şi newton se stabileşte foarte uşor scriind expresia greutăţii: G=mg,

1kgf = 1kg · 9,81m/s2=9,81 N, deci 1 kgf = 9,81 N.

Unităţile derivate se pot exprima prin relaţii matematice simple cu ajutorul unităţilor fundamentale. O asemenea relaţie se numeşte ecuaţia de dimensiuni a mărimii respective.

Ecuaţia de dimensiuni a unei mărimi derivate D are următoarea formă în

sistemul SI: [D] = Lα · Mβ · Tγ ... ,

1. INRODUCERE

11unde α,β, γ pot fi numere pozitive, negative, întregi, fracţionare sau nule. De exemplu:

aria [A] = L2

viteza [v] = LT-1 acceleraţia [a] = LT-2 forţa [F] = MLT-2

lucrul mecanic [L] = ML2T-2 puterea [P] = ML2T-3

Ecuaţiile de dimensiuni joacă un rol important când în calcule se trece de la un sistem de unităţi de măsură la altul. Conform principiului omogenităţii două mărimi fizice pot fi egale cu condiţia să aibă aceeaşi ecuaţie de dimensiuni. Aplicarea acestui principiu permite verificarea unor formule, determinarea naturii unor mărimi, stabilirea de noi formule etc.

Principalele mărimi mecanice şi geometrice utilizate în mecanică sunt date în Tab. 1.2. Tabelul 1.2 - Principalele mărimi mecanice şi geometrice

Mărimea Notare Ecuaţia de definiţie

Dimensiuni în sistemul SI

Unitatea de măsură în

sistemul SI Lungimea Masa Timpul Aria Volumul Unghiul (plan) Viteza liniară Acceleraţia Viteza unghiulară Acceleraţia unghiulară Forţa Momentul unei forţe Lucrul mecanic

l m t A V α v a ω ε

F

M

L

- - -

A=l2 V=l3

α=l/R

rv &=

ra && =

θω & = θε && =

amF =

FrM ×= lFL ⋅=

L M T L2 L3 -

LT-1

LT-2

T-1

T-2

LMT-2

L2MT-2

L2MT-2

m kg s

m2 m3

rad

m/s

m/s2

rad/s

rad/s2

N

Nm J


12 Continuare Tabelul 1.2 – Principalele mărimi mecanice şi geometrice

Mărimea Notare Ecuaţia de definiţie

Dimensiuni în sistemul

SI

Unitatea de măsură în

sistemul SI Puterea Momentul de inerţie Impulsul Momentul cinetic Energia cinetică Masa specifică (densitate) Greutatea specifică Perioada Frecvenţa Presiunea

P J

H

K

E ρ γ

T f p

P=L/t ∑= 2 iilmJ

vmH =

HrK ×=

E=mv2/2

ρ=m/V

γ=G/V

T=2π/ω f=1/T p=F/A

L2MT-3

L2M

LMT-1

L2MT-1

L2MT-2

L-3M

L-2MT2

T T-1

L-1MT-2

W

kg · m2

kg · m/s

kg · m2/s J

kg/m3

N/m3

s s-1

Pa (N/m2) Toate calculele se execută cu precizia de 0,01, iar pentru unele cazuri

0,0001 şi sunt însoţite de scheme de calcul, grafice şi schiţe (schema de calcul a reacţiunilor în reazeme, a barei la încovoiere, întindere-compresiune şi răsucire, diagramele momentelor, planul vitezelor, etc.). Toate schemele se execută în creion.

Nu se permite folosirea în text a unui parametru neindicat pe schema de calcul. Executând calculul, se scrie relaţia de calcul de referinţă la sursa bibliografică cu indicarea paginii şi tabelelor, care conţin relaţiile de calcul utilizate, tensiunile admisibile şi alţi parametri. Neapărat sub relaţie sunt descifraţi termenii în ordinea în care ei sunt incluşi în relaţia de calcul. De exemplu:

[ ],45 m

IgD V

m χλγπ ⋅⋅⋅⋅

=

1. INRODUCERE

13unde Dm este diametrul mediu al volantului, [m]; g – acceleraţia gravitaţională g=10 [m/s2]; γ - densitatea materialului: pentru fonte se poate adopta γ = 7,0·104[N/m3]...7,3·104[N/m3] – sau γ =7,8·104[N/m3]...8,0·104[N/m3] – pentru oţeluri; IV - momentul de inerţie al

volantului, [kg·m2]; 3,0...2,0==mD

bλ şi 16,0...12,0==mD

hχ sunt coeficienţi

empirici apreciaţi din practica proiectării; b – lăţimea obezii [m]; h – grosimea obezii [m].

Fiecare termen se descifrează în lucrare o singură dată – în locul unde pentru prima dată apare în text. În continuare termenii sunt înlocuiţi prin valorile lor numerice în aceeaşi ordine cum ei sunt indicaţi în relaţiile de calcul. Spre exemplu:

[ ] [ ][ ] [ ]m

mNmkgsmDm 2,0

14,02,0/103,714,306,0/104

534

22

≅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅= .

Unitatea de măsură a unuia şi aceluiaşi parametru în limitele lucrării trebuie să fie una şi aceeaşi.

După controlul lucrării studentul este dator să corecteze toate greşelile indicate de către profesorul consultant şi după aceasta să prezinte lucrarea din nou la control.

Scările conform GOST 2.302-68

Se numeşte scară a desenului (coeficient de scară) raportul dintre dimensiunile liniare ale reprezentării obiectului pe desen şi dimensiunile reale ale obiectului. Scara se alege în dependenţă de mărimea şi complexitatea obiectului sau a părţilor lui componente precum şi de tipul desenelor (v. Tab.1.3).

Tabelul 1.3 – Scări standardizate

Mărime naturală

1:1

Scări de micşorare

1:2

1:2,5

1:4

1:5

1:10

1:15

1:20

1:25

1:40

1:50

Scări de mărire

2:1

2,5:1

4:1

5:1

10:1

-

20:1

-

40:1

50:1


14 2. SINTEZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANE

2.1 Parametrii de bază:

n1; [rot/min], 1ω ; [rad/s] – turaţia şi respectiv viteza unghiulară a manivelei (elementul de intrare);

S; [mm] – cursa de lucru a pistonului (elementul de ieşire); k; - coeficientul de variere a vitezei elementului de ieşire; ψ ; [°] – unghiul de acoperire; ϕ2 ; [°] - unghiul de balansare;

υ; [°] - unghiul de presiune; υL şi υG ; [°] - unghiul respectiv pentru cursa de lucru şi mersul in gol;

Lα ; [°] – unghiul de rotire a manivelei AB pentru cursa de lucru;

Gα ; [°] – unghiul de rotire a manivelei AB la mersul în gol; r; [m] – lungimea manivelei AB; l; [m] – lungimea bielei; R; [m] – lungimea culisei; L; [m] – distanţa dintre axele de rotire în mecanismele cu culisă

oscilantă; e; [m] – excentricitatea; d; [m] – diametrul cilindrului (pistonului); λ=r/l; – raportul dintre lungimile manivelei şi bielei; ε=e/r; – raportul dintre excentricitate şi lungimea bielei; vmed; [m/s] – viteza medie a elementului de ieşire; vL; [m/s] – viteza medie a elementului de ieşire în timpul cursei de lucru; vG; [m/s] - viteza medie a elementului de ieşire la mersul în gol. Formule de calcul:

( )60

11 knSvL

+⋅= [m/s] sau ( )knSvL +⋅= 11 [m/min]

LG vkv ⋅=

3021nSvv

v GLmed

⋅=

+= [m/s] sau 12 nSvmed ⋅⋅= [m/min]

L

G

L

G

G

L

vv

k ===ωω

αα

1360+

=kGα ; ψα +=180L ; ψα −=180G ;

11180

+−

=kkψ

2. SINTEZA CINEMATICĂ

152.2 Exemple de rezolvare a problemelor de sinteză a mecanismelor

plane cu bare

Exemplul 2.1 Să se proiecteze mecanismul bielă manivelă, schema cinematică a căruia este prezentată în figura 2.1. Sunt date: cursa pistonului S=0,2[m]; viteza medie a pistonului în timpul cursei de lucru este vL=3,28[m/s]; unghiurile maxime pentru cursa de lucru şi mersul în gol sunt °=10Lν şi

°= 20Gν . Rezolvare: Din Δ A′B2C2

( )λεν −=−

== 1'

sin22

2

ler

CBBA

L .

Din Δ A′B3C3

( )λεν +=+

== 1'

sin33

3

ler

CBBA

G .

Rezolvând ecuaţiile de mai sus obţinem: ( ) ( ) 2577,020sin10sin5,0sinsin5,0 =°+°=+= GL ννλ ;

3271,02577,02

10sin20sin2

sinsin=

⋅°−°

=−

=λ

ννε LG ;

0843,02577,03271,0 =⋅=⋅λε . Din Δ AA′C0 şi Δ AA′C1

10 '' CACAS −= , de unde rezultă că:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ].3865,0

0843,02577,010843,02577,01

2,011

2222

222222

mm

Sl

=−−−−+

=

=−−−−+

=λελλελ

[ ] [ ]mmlr 0996,03865,02577,0 =⋅=⋅= λ ; [ ] [ ]mmre 0326,00996,03271,0 =⋅=⋅= ε .

Din Δ AC0C1

.75,20996,03865,0

2,05,00996,03865,0arccos

5,0arccos

22

222

22

222

°=−

⋅−+=

=−−+

=rl

Srlψ

Coeficientul de variere a vitezei elementului de ieşire:


16

.031,125,17775,182

180180

==−°+°

=ψψK

Turaţia elementului conducător (manivelei) AB

( )[ ]

[ ][ ]min500

031,1112,0

/28,36011

601

rotm

sm

KSv

n L =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +⋅

⋅=

+= .

Exemplul 2.2 Să se determine parametrii de bază ai mecanismului cu

culisă oscilantă (r < l), schema cinematică a căruia este prezentată în figura 2.2. Parametrii de intrare: S=0,28[m]; vL=72[m/s]; K=1,4; υmax=10°; e=0,6[m]. Raportul dintre excentricitate şi lungimea manivelei este dată de relaţia:

rre 5,1sin

+=ϕ

.

Rezolvare:

( )[ ]

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=+

=min

300

4,11128,0

/7211

1rot

m

sm

KS

vn L ;

°=+−

=+−

==∠ 3014,114,1180

11180210 K

KCBB ϕ ;

[ ] [ ]mmSR 54,0259,02

28,0sin2

=⋅

==ϕ

;

[ ] [ ]mmer 112,05,1259,0/1

6,05,1sin/1

=+

=+

=ϕ

;

[ ] [ ]mmrL 432,0259,0

112,0sin

===ϕ

;


17

[ ] [ ] [ ]mmmRel 452,01736,0

966,054,06,0sin

cos

max

=⋅−

=−

=ϑ

ϕ .

Exemplul 2.3 Pentru mecanismul cu culisă oscilantă (r < L), reprezentat în

figura 2.3, să se determine parametrii de bază. Parametrii de intrare: S=0,16[m]; vL=1,92[m/s]; K=2; r=0,06[m]; υmax=20°.

Rezolvare:

( )[ ]

[ ]( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

+

⋅=

+

⋅=

min480

21116,0/92,160

11

601

rotm

sm

KS

vn L .

Unghiurile de mers în gol şi unghiul de acoperire:

°=+°

=+°

= 12012

3601

360KGα ; °=

+−

=+−

= 601212180

11180

KKψ .

Din Δ ACB0

[ ] [ ]mmrACL G 03,060cos06,02

cos =°=⋅==α

.

Lungimea culisei CD (dacă linia de mişcare al pistonului E trece prin punctul C)

[ ]mSEEDDCDR 08,0

2221010 ===== ;

[ ] [ ]mmRDCDEl 234,020sin

08,0sinsin maxmax

=°

====υυ

.

Exemplul 2.4 Să se determine lungimile mecanismului plan patrulater

(fig.2.4). Parametrii de intrare: lungimea DC=R; unghiul de balansare 2φ este simetric faţă de perpendiculara la AD; coeficientul de variere a vitezei elementului de ieşire K. Parametrii de ieşire: lungimea manivelei AB=r; lungimea balansierei BC=l; lungimea AD=L.


18 Rezolvare grafică: Printr-un punct arbitrar ales D se construieşte

bisectoarea DC pentru unghiul de balansare 2φ. La coeficientul de scară lμ se duc două drepte sub unghiul 2φ de lungime DR=R şi se obţin punctele C1 şi C2.

Folosind formula 11180

+−

°=KKψ se determină unghiul de acoperire ψ . Pe

bisectoarea DC se construieşte unghiul ψ . Prin punctul C2 se duce o dreaptă paralelă cu latura unghiului ψ şi se obţine punctul D’ (pentru a obţine un rezultat mai veridic, raza cercului ajutător CD’=R1 poate fi determinată cu

ajutorul relaţiei ψϕ

sinsin

1 RR = ).

Cu raza R1=CD’ se construieşte curba C1C2A cu centrul în punctul D’, punctul A se obţine la intersecţia curbei respective cu orizontala care trece prin punctul D. (Problema se rezolvă în mod analog şi pentru cazul când

°≠∠ 90CDA .) Punctul A se uneşte cu punctele C1 şi C2. Din fig.2.4 rezultă că AC1=l+r, AC2=l – r. Se duce o perpendiculară din punctul C2 pe dreapta AC1 şi se obţine punctul '

2C şi se determină lungimea segmentului 1'2CC din relaţia:

2221

'2 ACAC

rC −

== ; 2

21 ACACl

+= .

Lungimea AD=L şi toţi ceilalţi parametri se obţin la scara lμ .

Fig.2.4


19Rezolvare analitică: Unghiul de acoperire se calculează cu ajutorul

formulei 11180

+−

°=KKψ . Proiecţiile punctelor C2 şi C1 pe dreapta AD vor fi

punctele E şi F. Din fig.7 ϕsinRDFED == şi ϕcos12 RFCEC == . Din Δ AC2E

2

1cos

sinβϕ

ϕtgR

RL=

− .

Din Δ AC1F

1

1cos

sinβϕ

ϕtgR

RL=

+ .

Rezolvând ultimele două ecuaţii se obţine:

ϕββ

tgtgtg

211

21

=− .

Din fig.2.4 ψββ += 12 , luând în consideraţie acest fapt, se obţine:

ψψβψβ

βtg

tgtgtgtg

tg2

11

1

1

1

=+⋅−

= .

Rezolvând ecuaţia de gradul 2, se obţine:

( )ψϕ

ψψϕψϕψϕβ

tgtgtgtgtgtgtgtgtg

tg−

−+⋅±⋅−=

2222

1 .

Din soluţiile obţinute se alege soluţia cu valoare pozitivă. Lungimile elementelor de bază ale mecanismului patrulater se determină cu ajutorul următoarelor relaţii:

2

2sincosβ

βϕϕtg

tgRL

⋅+= ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

21 sin1

sin1cos

2 ββϕRl ;

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

21 sin1

sin1cos

2 ββϕRr .


20 3. STRUCTURA ŞI CLASIFICAREA MECANISMELOR

3.1 Cuplele şi elementele cinematice

Maşinile şi mecanismele sunt sisteme tehnice, ale căror elemente componente sunt astfel concepute încât să realizeze anumite funcţiuni bine stabilite.

Se ştie că pentru ai comunica unui corp oarecare o mişcare determinată trebuie limitată mobilitatea sa cu ajutorul altor corpuri prin legături reciproce.

Un corp solid rigid liber în spaţiu are şase grade de libertate, adică poate realiza şase mişcări simple independente: trei mişcări de translaţie în lungul celor trei axe de coordonate şi trei mişcări de rotaţie simple în jurul acestor axe. Corpul solid rigid component a unui mecanism este numit în mod curent element cinematic.

Două elemente ale unui mecanism, aflate în contact permanent printr-o legătură directă şi permanentă, care permite mobilitatea cel puţin a unuia dintre ele, formează o cuplă cinematică. Cupla cinematică este cea mai simplă combinaţie structurală a mecanismelor. Ea introduce anumite restricţii în mişcările relative ale elementelor. Aceste restricţii se numesc condiţii de legătură şi numărul lor se notează cu S.

Între numărul gradelor de libertate L ale unui corp liber în spaţiu şi numărul condiţiilor de legătură S există relaţia:

L=6-S, (3.1) iar între numărul gradelor de libertate ale unui corp în plan şi numărul condiţiilor de legătură există relaţia: L=3-S, (3.1’)

deoarece un corp liber în plan are doar trei grade de libertate. Se observă că dacă numărul condiţiilor de legătură ar fi egal cu cel al

gradelor de libertate, sistemul devine rigid, iar dacă numărul condiţiilor de legătură se reduce la zero cele două elemente devin independente.

Rezultă deci că numărul gradelor de libertate ale unui element legat printr-o cuplă cinematică spaţială, poate fi maximum cinci şi minimum unu. În primul caz legătura a redus un singur grad de libertate al elementului, iar în al doilea - cinci. Se înţelege că în cazul mecanismelor plane numărul gradelor de libertate ale unui element poate fi maximum două, iar cel minim tot unu.

3.2 Clasificarea cuplelor cinematice

Clasificarea cuplelor cinematice se face în mod frecvent: - după numărul condiţiilor de legătură; - după tipul contactului dintre elemente: inferioare, superioare; - după caracterul mişcării relative a elementelor conjugate: spaţiale,

plane; - după tipul mişcării: de rotaţie, de translaţie, compuse (cu legături

funcţionale).

3. STRUCTURA ŞI CLASIFICAREA MECANISMELOR

21După criteriul condiţiilor de legătură cuplele cinematice se împart în

cinci clase. Pentru stabilirea clasei unei cuple cinematice este necesar să se determine numărul mişcărilor simple independente, pe care le poate realiza unul dintre elementele cuplei. Clasa unei cuple cinematice este dată de numărul gradelor de libertate suprimate şi se obţine cu relaţia:

S=6-L. (3.2) Cuplele inferioare se caracterizează prin faptul că cele două elemente ale

lor se află în contact pe o suprafaţă, iar cuplele superioare - prin faptul că contactul dintre cele două elemente componente se face pe o linie sau într-un punct. Astfel:

- Cupla cinematică de clasa I (fig.3.1,a). Bila (sfera) aşezată pe o placă plană poate realiza mişcări de translaţie de-a lungul axelor x şi y şi trei mişcări de rotaţie în jurul celor trei axe de coordonate. Rezultă:

S=6 – L=6 – 5=1 şi are simbolul C1. După tipul contactului între elemente este o cuplă superioară (contact

punctiform).

- Cupla cinematică de clasa a II-a (fig.3.1,b). Cilindrul aşezat pe un plan

poate realiza două mişcări de rotaţii în jurul axelor x şi y şi două mişcări de translaţii în direcţia axelor x şi y. Rezultă:

S=6 – L=6 – 4=2 şi are simbolul C2. După tipul contactului între elemente este o cuplă superioară. - Cupla cinematică de clasa a III-a (fig.3.2,a). Articulaţia sferică poate

realiza trei rotaţii simple în jurul celor trei axe. Rezultă: S=6 – L=6 – 3= 3 şi are simbolul C3.

După tipul contactului între elemente este o cuplă inferioară. - Cupla cinematică de clasa a IV-a (fig.3.2,b). Corpul cilindric introdus

într-un alezaj cilindric poate realiza două mişcări: una de translaţie pe direcţia axei y una de rotaţie în jurul aceleiaşi axe. Rezultă:

S=6 – L= 6 – 2=4 şi are simbolul C4.


22 După tipul contactului între elemente este o cuplă inferioară.

- Cupla cinematică de clasa a V-a (fig.3.2,c). Corpul cilindric prevăzut cu umeri, aşezat într-un alezaj cilindric, poate realiza doar mişcare de rotaţie în jurul axei y. Rezultă:

S=6 – L=6 – 1=5 şi are simbolul C5. După tipul contactului între elemente este o cuplă inferioară.

De reţinut existenţa unor cuple cinematice, la care două sau mai multe

mişcări sunt legate funcţional între ele. Un exemplu clasic îl constituie cupla cinematica elicoidală sau cupla şurub-piuliţă (fig.3.2,d). Se observă că unei mişcări de rotaţie în jurul axei y îi corespunde o anumită mişcare de translaţie în lungul aceleaşi axe, iar cele două mişcări au loc simultan. O astfel de cuplă cinematică este de clasa a V-a.

În Tab. 3.1 este dată reprezentarea schematică a celor mai uzuale cuple cinematice.


23Tabelul 3.1 – Caracterizarea cuplelor cinematice

Clasa cuplei

cinematice

Numărul de

legături

Numărul gradelor de

libertate

Denumire

Desen

Reprezentare schematică

I

1

5

Bilă

II

2

4

Cilindru

3 3 Sferică

III 3

3

Plană

4

2

Cilindrică

IV 4

2

Sferică cu

deget

5

1

De translaţie

5

1

De rotaţie

V

5

1

Şurub- Piuliţă

3.3 Lanţuri cinematice

Se numeşte lanţ cinematic o succesiune de elemente cinematice legate prin cuple cinematice, în care fiecare element are cel puţin un grad de libertate. Lanţurile cinematice pot fi plane sau spaţiale. Lanţurile cinematice se numesc plane dacă toate elementele au mişcări într-un plan sau în plane paralele şi se numesc spaţiale dacă elementele lor au mişcări după o curbă oarecare în spaţiu sau în plane neparalele. De asemenea, lanţurile cinematice se mai pot grupa în următoarele categorii: închise şi deschise, simple şi complexe, desmodrome şi nedesmodrome. Se spune că un lanţ cinematic este închis dacă elementele


24 componente formează un contur închis (fig.3.3,a) şi se numeşte lanţ

cinematic deschis dacă elementele componente formează un contur deschis (fig.3.3,b şi c).

Lanţul cinematic este simplu când fiecare dintre elementele ce-l compun este legat prin cuple cinematice de cel mult două elemente (fig.3.3,a şi b) şi este complex când cel puţin unul din elementele sale este legat prin cuple cinematice la mai mult de două elemente (fig.3.3,c).

Pentru construcţia de maşini prezintă interes lanţurile cinematice

desmodrome care se caracterizează prin faptul că elementele cinematice componente sunt astfel legate între ele încât oricărei poziţii a elementului conducător îi corespund poziţii bine determinate pentru fiecare element condus. Lanţurile nedesmodrome nu au această proprietate şi nu vor fi tratate în cele ce urmează.

Mecanismul la rândul său este un lanţ închis, simplu sau complex, plan sau spaţial, desmodrom, care are unul din elementele sale fix numit element de bază. Mecanismul serveşte la transmiterea mişcării sau la transformarea unei mişcări în alta necesară.

3.4 Mobilitatea lanţurilor cinematice şi a mecanismelor

Mişcarea unui lanţ cinematic este caracterizată prin gradul său de libertate notat cu L, iar a unui mecanism - prin gradul de mobilitate notat cu W. Numărul total al gradelor de libertate pe care le au înainte de montare cele l elemente ale unui lanţ cinematic, se poate determina cu relaţia:

6·l=L (3.3) În realitate elementele lanţului cinematic sunt legate între ele prin cuple

cinematice de diferite clase: 1,2,...,5, care introduc anumite restricţii mişcării, denumite condiţii de legătură. Pentru determinarea gradelor de libertate a unui lanţ cinematic este necesar ca din numărul total al gradelor de libertate avute în stare independentă de elementele ce formează lanţul cinematic să se scadă numărul total al condiţiilor de legătură. Astfel pentru un lanţ cinematic cu cuple din toate clasele numărul total al condiţiilor de legătură va fi:


25 S=5C5+4C4+3C3+2C2+C1=∑

=⋅

5

1iiCi , (3.4)

în care cu i s-a notat condiţiile de legătură pentru cupla de clasa Ci, iar cu Ci numărul cuplelor de aceeaşi clasă.

Astfel numărul gradelor de libertate al uni lanţ cinematic cu l elemente, va fi:

L=6l – S=6l – 5C5 – 4C4 – 3C3 – 2C2 – C1=6l - ∑=

⋅5

1iiCi . (3.5)

În cazul determinării gradului de mobilitate W al unui mecanism trebuie avut în vedere faptul că mecanismul are un element fix, (batiul, suportul, şasiul etc.) şi că din această cauză numărul elementelor mobile n este mai mic decât numărul total al elementelor cu unu şi se determină cu relaţia:

n=l – 1. (3.6) Pentru gradul de mobilitate al mecanismului rezultă relaţia:

W=6n – S=6n – 5C5 – 4C4 – 3C3 – 2C2 – C1=6n - ∑=

⋅5

1iiCi . (3.7)

Relaţiile (3.5) şi (3.7) se numesc relaţii structurale.

3.5 Condiţii de legătură şi grade de libertate pasive Unele mecanisme conţin şi cuple cinematice, care nu au o funcţie

cinematică, ele fiind introduse din considerente constructive şi funcţionale - mărirea rigidităţii, îmbunătăţirea randamentului etc.

Pentru stabilirea corectă a mobilităţii mecanismelor este necesar să se ţină cont de următoarele caracteristici specifice ale acestora:

a) condiţiile de legătură comune (generale) impuse tuturor elementelor, care fac parte din mecanisme;

b) condiţiile de legătură şi gradele de liberate impuse de existenţa unor elemente sau cuple cinematice pasive.

Trebuie reţinut deci că prin folosirea relaţiilor (3.7) se vor obţine rezultate corecte numai dacă se va ţine cont de caracteristicile amintite mai sus.

Un exemplu simplu de condiţii de legătură comune îl constituie orice mecanism plan. Într-un asemenea mecanism fiecare element component are doar trei posibilităţi de mişcări independente şi nu şase. Deci tuturor elementelor componente li s-au impus trei condiţii de legătură comune. La mecanismele plane cuplele cinematice de clasa a V-a, care permit o singură mişcare relativă, nu vor mai suprima cinci mişcări ci două, iar cupla de clasa a IV-a nu va mai suprima patru mişcări ci una. Formula structurală a mecanismelor plane ia forma (formula lui Cebyşev):

W=3n – 2C5 – C4 . (3.8) Dacă numărul de condiţii generale de legătură comune se notează cu m,

relaţia structurală (3.7), în forma cea mai generală, devine:


26 W=(6 –m)n - ( )∑

+−

5

1miCmi . (3.9)

Prin elemente şi cuple cinematice pasive din punct de vedere cinematic se înţeleg legăturile şi elementele, existente în mecanism, care nu intervin în stabilirea mişcării mecanismului, astfel că, prin suprimarea (excluderea) lor corelaţia dintre mişcarea elementului conducător şi a celui condus nu se schimbă.

În exemplul din figura 3.4,a se poate observa că prin suprimarea (eliminarea) elementelor pasive 5,6 şi 7 precum şi a cuplelor respective, care introduc condiţii de legătură şi grade de libertate pasive, se obţine schema din figura 11, b, corelaţia dintre elementul conducător şi cel condus fiind aceeaşi. Elementele 5,6 şi 7 precum şi cuplele lor sunt totuşi necesare pentru mărirea rigidităţii şi funcţionarea optimă a sistemului din punctul de vedere al consumului de energie.

Aplicând formulele de calcul pentru gradul de mobilitate a mecanismului

plan din figura 3.4,a, fără a elimina cuplele şi elementele cinematice care introduc grade de libertate şi condiţii de legătură pasive, ar rezulta că mobilitatea mecanismului este zero, adică sistemul ar fi rigid, ceea ce este inexact. Astfel:

W=3n – 2C5 – C4=3·7 - 2·10 – 1=0 . În schimb pentru schema din figura 3.4,b, la care au fost eliminate

elementele şi cuplele pasive se obţine rezultatul corect, W=3·4 – 2·5 – 1 =1,

adică mecanismul are mobilitatea unu. Un alt exemplu mai simplu îl constituie mecanismul plan patrulater din

figura 3.5, la care, dacă se introduce diagonala AC şi se aplică formula structurală fără a ţine seama de condiţiile de legătură pasive, se obţine:

W=3n – 2C5=3·4 - 2·4=4, adică mecanismul ar avea patru grade de libertate, ceea ce este inexact.

Dacă se ţine cont că două legături (A şi C) sunt duble se obţine rezultatul corect. Astfel:

W=3·4 - 2·6=0 ,


27adică mecanismul are mobilitate zero fiind transformat într-un sistem rigid de elementul 5.

3.6 Clasificarea mecanismelor plane

O problemă importantă constituie transformarea structurală a unui mecanism prevăzut şi cu cuple superioare C4 într-un mecanism numai cu cuple inferioare C5, deoarece studiul cinematic şi dinamic al acestor mecanisme este mai uşor. Acolo unde este posibil se recomandă renunţarea la cuplele superioare, deoarece contactul pe linie sau într-un punct generează în materialul cuplelor sarcini mari şi provoacă o uzură rapidă. Pentru ameliorarea situaţiei s-ar impune utilizarea materialelor cu calităţi superioare şi deci mai scumpe.

În figura 3.6 se prezintă transformarea mecanismelor cu elemente şi cuple superioare în mecanisme cu elemente şi cuple inferioare.

În exemplul următor, care reprezintă un mecanism cu camă (fig.3.7), este

prezentată eliminarea legăturilor pasive şi înlocuirea elementelor şi cuplelor superioare cu elemente şi cuple inferioare.

Mişcarea de rotaţie a rolei 3 în jurul axei B nu afectează nici mişcarea

camei 1, nici mişcarea tachetului 2, introducând formal un grad de liberate în plus. Din cauza posibilităţii rotirii rolei gradul de mobilitate al întregului mecanism este

W=3·3 – 2·3 – 1=2, prin urmare cupla de rotaţie B este o cuplă pasivă la fel ca şi rola care este un element pasiv (fig.3.7,a). În continuare suprimăm (excludem) cupla şi elementul pasiv (cupla de rotaţie B şi rola 3) din schema cinematică a mecanismului dat prelungind şi unind tachetul 2 cu profilul camei 1, astfel obţinându-se cupla superioară E (fig.3.7,b). În acest caz gradul de mobilitate W al mecanismului devine

W=3·2 – 2·2 – 1=1.


28

Pentru efectuarea în continuare a analizei structurale a mecanismului

înlocuim cupla superioară E dintre cama 1 şi tachetul 2 cu cuplele de rotaţie E şi D şi elementele 1şi 3 (fig.3.7,c).

Prin urmare pentru a înlocui cuplele superioare din mecanism cu cuple inferioare, se impune ca lanţul cinematic de înlocuire să asigure numărul condiţiilor de legătură egal cu cel pe care l-a avut mecanismul cu cupla superioară şi să nu modifice mişcarea relativă a elementelor.

În mod frecvent se utilizează clasificarea Assur – Artobolevski. Această clasificare constă în împărţirea mecanismelor în grupe de lanţuri cinematice care se pot studia separat. Studiul mecanismelor plane a arătat că orice mecanism este constituit prin legarea succesivă la elementul conducător (sau la elementele conducătoare) şi la batiu a unor lanţuri cinematice de mobilitate zero. Lanţul cinematic plan de mobilitate zero constituie o grupă structurală (grupă Assur):

W=3n – 3C5=0 (3.10) Corespunzător clasificării făcute de Assur-Artobolevski manivela legată

de batiu prin cuplă cinematică de clasa a V-a din fig.3.8, a este un mecanism de clasa I şi are gradul de mobilitate W=3n – 2C5=3·1 – 2·1=1, iar în figura 3.8,b

este prezentat cel mai simplu lanţ de mobilitate zero W=3n – 2C5=3·2 - 2·3=0.

Condiţia pentru a obţine cel mai simplu lanţ cinematic echivalent, de mobilitate zero, care să conţină numai cuple inferioare rezultă din relaţia (3.10), care permite următoarele combinaţii:

n 2 4 6 8 10

C5 3 6 9 12 15 Grupele cinematice se clasifică în clase şi ordine. Clasa unei grupe

cinematice este dată de numărul de cuple cinematice care formează contururi închise, iar ordinul grupei este dat de numărul cuplelor de clasa a V-a, libere, cu care grupa poate fi legată la alte elemente. Se poate uşor deduce că, adăugând sau suprimând o grupă cinematică din schema unui mecanism, gradul de mobilitate rămâne neschimbat.

deoarece 2

35

nC = . (3.11)


29Tabelul 3.2 – Clasificarea grupelor structurale

Clasa Simbol Schemele cinematice ale grupelor Assur Ordin

1 (RRR) 2 (RRT) 3 (RTR) 4 (TRT) 5 (TTR)

II

Element în componenţa

a două cuple

cinematice Aspectul (Specia) grupei

2

3

III

Element în componenţa a trei cuple cinematice

4

2

IV

Contur închis din

patru elemente

3

3

V

Contur

închis din cinci

elemente

4

În cazul mecanismelor plane, mobilitatea este egală cu numărul de

elemente conducătoare. Clasa unui mecanism plan este aceeaşi cu clasa celei mai complexe grupe cinematice (grupă Assur) cuprinse în lanţul cinematic cu mobilitatea zero.

Grupa cinematică rezultată din prima combinaţie compusă din două elemente şi cu două articulaţii (cuple), libere de care se pot lega două elemente simple, poartă numele de grupă cinematică de clasă a II-a. Ea poate căpăta diferite aspecte (specie). În Tab. 3.2 este prezentată clasificarea grupelor structurale.


30 Analiza structurală a mecanismelor trebuie să conţină următoarele

etape: a) analiza schemei cinematice a mecanismului, determinarea numărului

de elemente fixe şi mobile (elementele fixe se notează de obicei cu cifra 0, iar cele mobile cu cifre începând de la 1,2,3,... în dependenţă de faptul câte elemente mobile sunt depistate). De obicei cu cifra 1 se notează elementul conducător al mecanismului (manivela). De asemenea, se determină numărul cuplelor cinematice de clasa a V-a (inferioare) şi de clasa a IV-a (superioare). Cuplele cinematice se notează pe schema mecanismului cu litere mari ale alfabetului latin A,B,C,... etc.

b) determinarea gradului de mobilitate a mecanismului cu ajutorul

formulei lui Cebyshev W=3n – 2C5 – C4 c) dacă în schema cinematică a mecanismului cercetat sunt depistate

elemente şi cuple cinematice pasive, ele trebuie să fie eliminate din schema cinematică;

d) dacă în schema cinematică a mecanismului cercetat au fost depistate

cuple cinematice de clasa a IV-a (superioare) ele se înlocuiesc cu cuple cinematice de clasa a V-a (inferioare);

e) după efectuarea paşilor c) şi d) se calculează din nou gradul de

mobilitate a mecanismului folosind formula W=3n – 2C5. Daca se obţine W=1 rezultă că paşii c) şi d) au fost efectuaţi corect;

f) se descompune mecanismul în grupe structurale (Assur), începând cu

cea mai îndepărtată grupă faţă de elementul conducător; g) pentru fiecare grupă Assur (lanţ cinematic cu mobilitate zero) se

indică clasa, ordinul şi aspectul (dacă este cazul) grupei; h) se indică clasa mecanismului şi formula structurală de formare a

mecanismului. Trebuie de remarcat faptul că clasa mecanismului poate să difere în

dependenţă de ce element a fost ales ca element conducător în mecanismul dat. În continuare sunt prezentate câteva exemple de analiza structurală a

mecanismelor.


31Exemplul 3.1 Să se efectueze analiza structurală pentru mecanismul

bielă manivelă (fig.3.9,a).

Rezolvare: a) analizând mecanismul dat se observă că este alcătuit din trei elemente

mobile: manivela -1(mişcare de rotaţie), biela -2 (mişcare plan-paralelă) şi pistonul -3 (mişcare de translaţie). Mecanismul dat prezintă 3 cuple cinematice de clasa a V-a: A (0,1), B (1,2), C (2,3) – cuple de rotaţie şi D (3,0) – cuplă de translaţie, prin urmare n=3, C5=4 şi C4=0.

b) Determinăm gradul de mobilitate pentru întregul mecanism: W=3n – 2C5 – C4=3·3 – 2·4 – 0=1 Deoarece mecanismul nu conţine elemente şi cuple cinematice pasive

precum şi cuple cinematice de clasa a-IV-a (superioare), trecem la descompunerea mecanismului în grupe Assur.

f) descompunerea în grupe Assur este arătată în fig. 3.9,b. Observăm că mecanismul bielă-manivelă este alcătuit dintr-o grupă structurală de clasa a II-a şi un mecanism de clasa I - elementul conducător 1, legat de elementul fix 0 (batiu).

g) caracteristica grupei Assur: Clasa a II-a, ordin 2 şi specia 2 (RRT), iar W=3·2 - 2·3=0.

Elementul conducător - manivela 1 şi elementul fix 0 (batiul) formează mecanismul de clasa I, unde W=3·1 – 2·1=1.

h) mecanismul dat are clasa a II-a (dată de clasa celei mai complexe grupe Assur din componenţa schemei structurale a mecanismului), iar formula structurală a mecanismului are forma: I (0,1) → II (2,3).

Exemplul 3.2 După cum am remarcat mai sus în unele cazuri clasa

mecanismului depinde de elementul mecanismului dat, care a fost ales în calitate de element conducător. Să se efectueze analiza structurală şi să se determine clasa mecanismul bielă-manivelă pentru motorul cu ardere internă în V (fig.3.10,a), unde W=1.

Rezolvare: Pentru cazul dat putem obţine 2 variante de răspuns pentru clasa mecanismului în dependenţă de faptul, care din elemente va fi ales drept element conducător. Dacă, de exemplu, alegem drept element conducător manivela 1, în componenţa mecanismului vor intra două grupe Assur de clasa a II-a, ordinul 2 şi specia 2 (RRT) după cum se observă în fig.3.10,b. În cazul dat


32 mecanismul este de clasa a II-a şi formula structurală de formare a

mecanismului este: I (0,1) → II (2,3) → II (4,5). În cazul când, în calitate de element conducător este ales pistonul 5 în

componenţa mecanismului va intra numai o grupă Assur de clasa a III-a şi ordinul 3 (fig. 3.10,c). În cazul dat clasa mecanismului este a III-a şi formula structurală de formare a mecanismului este: I (0,5) → III (1,2,3,4) . Analiza structurală se efectuează analog ca şi în cazul mecanismului din exemplul 3.1.

Exemplul 3.3 Să se efectueze analiza structurală pentru mecanismul,

schema cinematică a căruia este prezentată în fig.3.11,a.

Rezolvare: a) analizând schema cinematică a mecanismului, observăm că el conţine

cinci elemente mobile: manivela 1 – mişcare de rotaţie; biela 2 – mişcare plan-paralelă; balansierul 3 – balansare (mişcare de rotaţie incompletă); pistonul (patina) 4 – mişcare de translaţie; culisa oscilantă 5 - balansare. Toate aceste


33elemente sunt legate între ele prin intermediul a şapte cuple cinematice de clasa a V-a şi anume: A(0,1), B(1,2), C(2,3), D(3,0), E(5,0), F(2,5) – cuple de rotaţie şi F(4,5) – cuplă de translaţie, prin urmare n=5, C5=7 şi C4=0;

b) determinăm gradul de mobilitate a mecanismului cu ajutorul formulei lui Cebyshev W=3n – 2C5 – C4=3·5 – 2·7 – 0 =1;

Deoarece mecanismul nu conţine elemente şi cuple cinematice pasive precum şi cuple cinematice de clasa a-IV-a (superioare) trecem la descompunerea mecanismului în grupe Assur.

f) împărţim mecanismul în grupe structurale (Assur), începând cu cea mai îndepărtată grupă faţă de elementul conducător, şi obţinem două grupe structurale de clasa a II-a legate la mecanismul de clasa I (fig.3.11,b);

g) caracteristica grupelor Assur: Grupa Assur formată din elementele mobile 4 şi 5 este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspectul 2 (RRT); W=3·2 – 2·3=0; Grupa Assur formată din elementele mobile 2 şi 3 este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspectul 1 (RRR); W=3·2 – 2·3=0; Mecanismul de clasa I format din elementul conducător (manivelă) 1 şi

batiul 0; W=3·1 – 2·1=1 h) mecanismul dat face parte din familia mecanismelor de clasa a II-a şi

formula structurală de formare a mecanismului: I (0,1) → II (2,3) → II (4,5). Exemplul 3.4 Să se efectueze analiza structurală pentru mecanismul din

fig. 3.12,a, considerând element de intrare cama. Rezolvare: a) analizând schema cinematică a mecanismului observăm că numărul

elementelor mobile este n=15 (fig.3.12,a). Toate aceste elemente sunt legate între ele prin intermediul a 22 de cuple cinematice: O(0,1); A(1,2); B(2,3); O1(0,3); C(3,4); D(4,5); E(0,6); F(5,7); T(7,12); K(7,8); L(8,9), O2(0,9); M(9,10); N(10,11), O3(0,11); H(11,13); G(11,12); R(13,14); Q(14,15); O4(0,14) – cuple cinematice de rotaţie şi E(5,6) – cuplă cinematică de translaţie, în total 21 de cuple cinematice (inferioare) de clasa a V-a, deci C5=21. În mecanism mai există cupla cinematică (superioară) de clasa a IV-a, S(1,15), deci C4=1.

b) determinăm gradului de mobilitate a mecanismului cu ajutorul formulei lui Cebyshev W=3n – 2C5 – C4=3·15 – 2·21 – 1 =2;

c) rezultatul obţinut W=2 poate să ne conducă la ideea că în mecanismul dat ar trebui să existe 2 elemente conducătoare. Cu toate acestea mişcarea de rotaţie a rolei 15 în jurul axei Q nu influenţează cu nimic mişcarea celorlalte elemente ale mecanismului. Considerând rola 15 şi cupla cinematică de rotaţie Q pasive le excludem din schema cinematică a mecanismului. După înlăturarea rolei 15 (fig. 19,b), elementul 14 şi cama 1 vor contacta în punctul U, formând o cuplă (superioară) de clasa a IV-a. Gradul de mobilitate a mecanismului care rezultă după înlăturarea elementelor şi cuplelor pasive, va fi W=3·14 – 2·20 – 1= 1;


34

Fig. 3.12

d) în continuare înlocuim cupla superioară S cu două cuple inferioare de rotaţie U şi V şi elementul 15 (fig.3.12, c);

e) observăm că gradul de mobilitate a mecanismului nu se schimbă W=3·15 - 2·22=1;

Fig. 3.13


35f) în continuare descompunem mecanismul în grupe structurale

(Assur) după cum se vede în figura 3.13. Astfel s-au obţinut 4 grupe Assur de clasa a II-a, şi o grupă Assur de clasa a III-a;

g) caracteristica grupelor Assur: Grupa Assur, formată din elementele mobile 2 şi 3, este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspect 1 (RRR); W=3·2 – 2·3=0; Grupa Assur, formată din elementele mobile 14 şi 15, este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspect 1 (RRR); W=3·2 – 2·3=0; Grupa Assur, formată din elementele mobile 11şi 13, este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspect 1 (RRR); W=3·2 – 2·3=0; Grupa Assur, formată din elementele mobile 9 şi 10, este de clasa a II-a,

ordinul 2 şi aspect 1 (RRR); W=3·2 – 2·3=0; Grupa Assur, formată din elementele mobile 4,5,6,7,8 şi 12, este de clasa

a III-a, ordinul 4; W=3·6 – 2·9=0; Mecanismul de clasa I, format din elementul conducător (manivelă) 1 şi

batiul 0; W=3·1 – 2·1=1. h) mecanismul dat face parte din familia mecanismelor de clasa a III-a şi

formula structurală de formare a mecanismului: I (0,1) → II (2,3) → III (4,5,6,7,8,12) → II (14,15) → II (11,13) → II (9,10)


36 4. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANE CU

BARE ARTICULATE

4.1 Studiul vectorial al vitezelor Se consideră două puncte A şi B aparţinând planului mobil Oxy. Se

propune să se stabilească o relaţie între vitezele acestor puncte. Pentru aceasta se aplică formulele:

⎪⎭

⎪⎬⎫

×+=×+=

OBvvOAvv

OB

OA

ωω . (4.1)

Scăzând se obţine ( ),OAOBvv AB −×=− ω

de unde se deduce relaţia lui Euler pentru viteze în mişcarea plan paralelă ,ABvv BA ×+= ω (4.2) care se mai scrie şi sub forma .BABA vvv += (4.3)

Viteza BAv este perpendiculară pe AB, deoarece vectorii ω şi AB sunt ortogonali (fig.4.1) şi reprezintă viteza punctului B faţă de punctul A (ca şi cum acesta ar fi fix)

.ABv BA ×= ω (4.4) Dacă în particular punctul A coincide cu centrul instantaneu de rotaţie I

(care are viteza nulă), din relaţia (4.2) rezultă IBv B ×= ω , (4.5)

ceea ce demonstrează vectorial că distribuţia de viteze în jurul centrului instantaneu de rotaţie este la un moment dat analoagă cu cea din mişcarea de rotaţie.

Utilizând metoda vectorială se poate deduce poziţia centrului instantaneu de rotaţie. Astfel înmulţind vectorial cu ω relaţia (4,5), se obţine

( ) ( ) ,2 IBIBIBv B ωωωωωω −⋅=××=× (4.6)

însă 0=⋅ IBω , deoarece sunt ortogonali. Ţinând cont de acest rezultat, din relaţia (4.6) rezultă ,02 =−× BIv B ωω de unde

2ω

ω BvBI ×= (4.7)

şi

ωω

πω BB vvBI =

⋅=

22

sin. (4.8)

4. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR

37

Fig. 4.1 Fig. 4.2

În baza relaţiei (4.7) se poate stabili o metodă practică de determinare a poziţiei centrului instantaneu de rotaţie I. Acesta se găseşte în planul mişcării,

pe perpendiculara ridicată în B pe Bv , la distanţa BI , rotind pe Bv cu 2π în

sensul vitezei unghiulare ω (fig.4.2).

4.2 Metode pentru determinarea distribuţiei de viteze Determinarea distribuţiei de viteze în mişcarea plan-paralelă prezintă un

interes deosebit pentru diferite aplicaţii tehnice. În cele ce urmează vor fi prezentate câteva metode mai folosite, cu aplicaţii practice.

a) Metoda centrului instantaneu de rotaţie. Este o metodă grafo-analitică ce se bazează pe faptul că la un moment dat distribuţia de viteze este aceeaşi cu cea dintr-o mişcare de rotaţie în jurul centrului instantaneu de rotaţie cu viteza unghiulară .ω Viteza unui punct oarecare M este:

IMv M ×= ω (4.9) Ca urmare a acestei proprietăţi rezultă că centrul instantaneu de rotaţie se

găseşte la intersecţia perpendicularelor ridicate în diferite puncte pe suporturile vitezelor respective. Dacă, în particular, aceste perpendiculare sunt paralele între ele, adică centrul instantaneu de rotaţie se află la infinit, distribuţia de viteze este în acel moment cea dintr-o mişcare de translaţie.

În cazul când mai multe corpuri dintr-un sistem efectuează mişcări plan-paralele atunci, evident, fiecare are centrul său instantaneu de rotaţie, care poate fi folosit numai pentru respectivul corp. Acest punct se numeşte centru instantaneu de rotaţie absolut. Punctul, care aparţine simultan la două corpuri în mişcare plan-paralelă şi care la un moment dat are aceeaşi viteză se numeşte centru instantaneu de rotaţie relativ al respectivelor corpuri, având viteza relativă nulă (de exemplu o articulaţie comună).

Se consideră figurile plane C1 şi C2, care se mişcă în acelaşi plan, având centrele instantanee de rotaţie absolute I1 şi respectiv I2 şi vitezele unghiulare

1ω şi 2ω . Fie I12 centrul lor instantaneu de rotaţie relativ (fig.4.3).


38

Fig. 4.3

Conform relaţiei (9) viteza punctului I12 este: .1222121112 IIIIv ×=×= ωω (4.10) Considerând că mişcarea are loc în planul Oxy, pentru cazul din figura

1,a, rezultă: k11 ωω = ; k22 ωω = (4.11) şi relaţia (4.10) devine

012221211 =×+× IIkIIk ωω sau ( ) .012221211 =+× IIIIk ωω (4.12)

Reţinând numai soluţia posibilă, se obţine:

.1221

2121 IIII

ωω

−= (4.13)

Aceasta demonstrează că punctele I1, I2 şi I12 sunt coliniare. S-a obţinut astfel teorema celor trei centre instantanee de rotaţie: trei centre instantanee de rotaţie absolute şi relative referitoare la două corpuri în mişcare plan-paralelă sunt coliniare.

Din relaţia vectorială (13) se deduce relaţia scalară:

1

2

122

121

ωω

−=IIII

, (4.14)

cu ajutorul căreia se stabileşte raportul, în care punctul I12 împarte segmentul I1I2. Dacă 1ω şi 2ω au sensuri opuse, atunci punctul I12 se află în interiorul segmentului I1I2 (fig.4.3,a), iar dacă au acelaşi sens exterior (fig.4.3,b).

În mod analog se poate demonstra că în cazul a trei figuri plane C1, C2, C3 în mişcare în acelaşi plan, centrele instantanee de rotaţie relative I12, I23, I31 sunt coliniare (fig.4.4).


39 Aplicând succesiv relaţia (6), rezultă:

, ;I

;3

1

311

313

2

3

133

232

1

2

122

121

ωω

ωω

ωω

===IIII

III

IIII

(4.15)

unde vitezele unghiulare trebuie luate cu semnul lor. Înmulţind între ele termen cu termen relaţiile (4.15) se obţine:

,13

1

2

3

1

2

311

313

313

232

122

121 =⋅⋅=⋅⋅ωω

ωω

ωω

IIII

IIII

IIII

(4.16)

adică tocmai relaţia lui Menelau, care demonstrează coliniaritatea punctelor I12, I23, I31.

Pentru a aplica metoda centrului instantaneu de rotaţie pentru un corp

trebuie să se cunoască viteza Av ca vector (modul, suport, sens) a unui punct A, precum şi suportul vitezei unui alt punct B (fig.4.5).

Distribuţia de viteze se obţine astfel: - se determină centrul instantaneu de rotaţie la intersecţia

perpendicularelor pe suporturile vitezelor A şi B; - se determină viteza unghiulară instantanee Ω din jurul centrului

instantaneu de rotaţie. Modulul său este:

IA

v A=Ω , (4.17)

iar este dat de Av ; - viteza unui punct arbitrar M se obţine ca într-o mişcare de rotaţie

ducând raza IM şi construind viteza Mv perpendiculară pe IM în sensul lui Ω şi având modulul:

AM vIAIMIMv =⋅Ω= .

Analog pentru punctul B se obţine

AB vIAIBv = (4.18)


40 Exemplul 4.1 Se consideră o roată de vehicul de rază R, al cărei

centru O se deplasează cu viteza vO paralelă cu calea de rulare. Se cere să se stabilească distribuţia de viteze, baza şi rostogolitoarea în următoarele ipoteze: a) rostogolire fără alunecare, b) rostogolire cu alunecare, cunoscându-se viteza vC a punctului de contact C cu calea de rulare.

Rezolvare: a) Rostogolire fără alunecare (fig.4.6,a). Conform ipotezei punctul de

contact C are aceeaşi viteză cu calea de rulare, adică viteza nulă, şi în consecinţă este chiar centrul instantaneu de rotaţie I. Rezultă viteza unghiulară

Rv

IOv OO ==Ω

cu sensul dat de vO. Distribuţia de viteze pentru punctele de pe diametrul vertical IOA este liniară, având valoarea maximă în A

.2 OA vIAv =Ω= Pentru alte puncte vitezele sunt prezentate în figură. Ţinând seama de definiţii, baza este calea de rulare, iar rostogolitoarea

este circumferinţa roţii.

b) Rostogolire cu alunecare (fig.4.6,b şi c). Pentru determinarea

centrului instantaneu de rotaţie I se desenează la scară vitezele v0 şi vC, se ridică perpendiculara comună din O, se unesc vârfurile vectorilor 0v şi Cv , iar I se află la intersecţia acestor două drepte. Din asemănarea triunghiurilor care se formează, rezultă

Ω==ICv

IOv C0 ,

de unde

10 ±=±

==ICR

ICICR

ICIO

vv

C

sau

C

C

vvv

RIC±

=0

.


41Semnul „+” se ia pentru cazul când v0 şi vC au acelaşi sens (fig.4.6,b)

şi semnul „-” se ia pentru cazul când cele două viteze au sensuri opuse (fig.4.6,c). În figurile respective sunt indicate bazele şi rostogolitoarele.

Exemplul 4.2 Se consideră mecanismul bielă-manivelă din fig.4.7 şi se

cere să se afle distribuţia de viteze. Rezolvare: Manivela 1 efectuează o mişcare de rotaţie, biela 2 - mişcare

plan-paralelă, iar patina 3 - mişcare de translaţie. Punctul A, aparţinând simultan manivelei şi biele, are viteza complet

determinată ω⋅= OAv A ,

care este perpendiculară pe OA şi are sensul dat de .ω Punctul B, aparţinând simultan bielei şi patinei are viteza dirijată dea

lungul ghidajului xx. Prin urmare în cazul bielei sunt îndeplinite condiţiile pentru aplicarea metodei centrului instantaneu de rotaţie.

Ridicând perpendiculare în A şi B pe suporturile vitezelor acestor puncte, se obţine centrul instantaneu de rotaţie I2. Viteza unghiulară în jurul său este:

,22

2 ωAI

OAAI

v A ==Ω

de unde

.2

222 ω⋅=Ω⋅= OA

AIBI

BIvB

Viteza unui punct arbitrar M de pe bielă se obţine ca într-o mişcare de rotaţie în jurul lui I2 cu viteza unghiulară Ω2.

Exemplul 4.3 Se consideră mecanismul unui concasor din figura 4.8.

Dându-se const=ω se cere să se determine distribuţia de viteze. Rezolvare: Barele 1,3 şi 5 efectuează mişcări de rotaţie, iar barele 2 şi 4 -

mişcări plan-paralele.


42 Centrele instantanee de rotaţie absolute sunt ;11 OI ≡ ;23 OI ≡

;35 OI ≡ I2 (aflat la intersecţia prelungirilor barelor 1 şi 3, deoarece AOv A 1⋅= ω este perpendiculară pe O1A, iar B descrie un cerc cu centrul în O2

şi raza O2B); I4 (aflat la intersecţia barelor 3 şi 5, deoarece B descrie traiectoria circulară amintită, iar C tot o traiectorie circulară cu centrul în O3 şi raza O3C). Centrele instantanee de rotaţie relative sunt: ;12 AI ≡ ;23 BI ≡ ;34 BI ≡

;42 BI = .45 CI ≡ Centrul relativ 13I se află la intersecţia lui 31II cu AB. Pe figură se poate urmări coliniaritatea centrelor instantanee de rotaţie absolute şi relative.

Efectuând calculele necesare se obţine:

ωAIAO

AIv A

2

1

22 ==Ω ,

ω⋅⋅=Ω⋅= AOAIBI

BIvB 12

222 ,

ωωBOAO

AIBI

BOvB

2

1

2

2

22 ⋅== ,

ωBIAO

AIBI

BIvB

4

1

2

2

44 ⋅==Ω ,

ω⋅⋅⋅=Ω⋅= AOBICI

AIBI

CIvC 14

4

2

244 ,

ωωCOAO

BICI

AIBI

COvC

3

1

4

4

2

2

33 ⋅⋅== .

Se observă că vitezele unghiulare 2ω şi 3ω sunt variabile deoarece în timpul mişcării punctele I2 şi I4 îşi schimbă poziţia.

b) Metoda rabaterii. Este o metodă grafică şi poate fi considerată corespondentul grafic al metodei centrului instantaneu de rotaţie.

Pentru a putea aplica această metodă este necesar, la fel ca la metoda centrului instantaneu de rotaţie, să fie cunoscută viteza Av (ca vector) a unui punct A şi suportul vitezei unui alt punct B (fig.4.9). Desenul se face la scară atât pentru corpurile în mişcare, cât şi pentru viteze.

Construcţia vitezei Bv se face în modul următor:


43- viteza Av (desenată la scară) se rabate în sens arbitrar cu

2π şi se obţine

punctul A’; - din A’ se duce o paralelă la AB, care intersectează în punctul B’

perpendiculara ridicată în B pe suportul lui ;Bv

- segmentul BB’ se rabate cu 2π în sens opus celui în care a fost rabătută

viteza Av şi se obţine astfel la aceeaşi scară viteza căutată Bv . Pentru justificarea construcţiei se consideră centrul instantaneu de rotaţie

I. Triunghiurile IAB şi IA’B’ sunt asemenea şi în consecinţă se poate scrie

.''

''

''

BBAA

IBIBIAIA

IBIA

IBIA

=−−

== (4.19)

Deoarece prin construcţia AvAA =' , ţinând seama de relaţia (4.19),

rezultă:

.' AB vIAIBBBv == (4.20)

Exemplu 4.4 Să se determine prin metoda rabaterii distribuţia de viteze

pentru mecanismul bielă-manivelă (fig.4.10).

Fig. 4.10 Fig. 4.11

Rezolvare: Viteza punctului A este perpendiculară pe OA şi are modulul

ω⋅= OAv A , iar punctul B are viteza dirijată după ghidajul xx. Se rabate cu 2π

viteza Av şi se obţine punctul A’. Din A’ se duce o paralelă la AB, care intersectează în punctul B’ perpendiculara ridicată în B pe xx. Segmentul BB’ se

rabate cu 2π în sens opus cu Av şi se obţine la scară viteza Bv . Pentru

determinarea vitezei unui punct M de pe bielă, se construieşte centrul instantaneu de rotaţie I, se uneşte M cu I şi se obţine punctul M’ la intersecţia

cu A’B’. Segmentul MM’ se rabate cu 2π în acelaşi sens cu BB’ şi se obţine

viteza Mv la scară.


44 c) Metoda proiecţiilor. Este o metodă grafică ce se bazează pe

teorema proiecţiilor vitezei, care a fost demonstrată ca proprietate a câmpului de viteze în mişcarea generală a rigidului. Astfel, considerând două puncte A şi B aparţinând unei figuri plane, luând pe A ca origine, se poate scrie:

.ABvv AB ×+= ω Înmulţind scalar cu versorul lui AB rezultă:

( ) ,AB

ABABAB

ABvAB

ABv AB ×+= ω

de unde .coscos βα BA vv =

În unele aplicaţii la această metodă, se mai utilizează şi teorema coliniarităţii extremităţilor vectorilor viteză, care, de asemenea, a fost demonstrată ca proprietate a câmpului de viteze în mişcarea generală a rigidului.

Pentru a aplica metoda proiecţiilor este necesar să se cunoască viteza Av (ca vector) a unui punct A şi suportul vitezei unui alt punct B (fig.4.11).

Această metodă se aplică astfel: - se proiectează viteza Av (desenată la scară) pe AB, obţinându-se astfel

;cos' αAvAA = - se construieşte pe AB în B în acelaşi sens BB’=AA’, proiecţia vitezei

Bv , adică ;coscos βα ⋅=⋅ BA vv - din B’ (extremitatea proiecţiei) se ridică perpendiculara AB până

intersectează suportul lui .Bv Acest punct reprezintă extremitatea vitezei Bv (la aceeaşi scară).

Pentru a construi viteza unui punct arbitrar M de pe AB se aplică mai întâi teorema proiecţiilor, construind pe AB segmentul MM’=AA’=BB’ (în

acelaşi sens cu AA’ şi BB’). Din extremitatea M’ a proiecţiei se ridică o perpendiculară pe AB. În continuare se aplică teorema coliniarităţii extremităţilor vectorilor de viteză, unindu-se extremităţile lui Av cu Bv . La intersecţia acestei drepte cu perpendiculara ridicată în M’ se află extremitatea vitezei Mv (la aceeaşi scară).

Pentru a determina cu această metodă viteza unui punct arbitrar N,


45necoliniar cu AB, se aplică de două ori teorema proiecţiilor pe AN şi BN (fig.4.12) unde AA’=BB’; AA’’=NN’; AA’’=NN’; BB’’=NN’’.

Exemplu 4.5 Să se determine prin metoda proiecţiilor distribuţia de viteze pentru mecanismul bielă manivelă (fig.4.13).

Rezolvare: Aşa după cum s-a arătat mai înainte se determină viteza punctului A (modul, suport, sens) şi suportul vitezei punctului B. Se construiesc proiecţiile AA’=BB’ şi se ridică în punctul B’ o perpendiculară pe AB până intersectează pe xx, obţinându-se astfel extremitatea vitezei .Bv Viteza punctului arbitrar M de pe bielă se determină aplicând simultan teorema proiecţiilor şi teorema coliniarităţii extremităţilor vectorilor viteză.

Fig. 4.13 Fig. 4.14

Exemplul 4.6 Să se determine prin metoda proiecţiilor distribuţia de viteze la mecanismul patrulater (fig.4.14).

Rezolvare: Viteza punctului A are modulul ,1 ωAOv A = este perpendiculară pe O1A, iar sensul este dat de .ω Viteza punctului B are suportul perpendicular pe O2B. Se construiesc proiecţiile AA’=BB’, iar viteza Bv se obţine ridicând în punctul B’ o perpendiculară pe AB până intersectează perpendiculara pe O2B.

d) Metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale. Este o metodă grafo-analitică ce se bazează pe relaţia lui Euler pentru viteze în mişcare plan-paralelă

,BAAB vvv += (4.21) unde ABv BA ×= ω este viteza punctului B faţă de A (ca şi cum ar fi fix), care are suportul perpendicular pe AB.

Vitezele diferitelor puncte se reprezintă într-un plan arbitrar ales ca vectori care faţă de vitezele reale sunt paraleli, de acelaşi sens, dar cu modulele reduse la aceeaşi scară, numită scara vitezelor şi notată cu μv. În acest plan, numit planul vitezelor, punctul de viteză nulă se numeşte polul vitezelor şi se notează cu p. Se observă cu uşurinţă că acest punct din planul vitezelor corespunde centrului instantaneu de rotaţie al corpului respectiv. Scara lungimilor se notează cu μl.

În planul vitezelor se reprezintă grafic relaţii de tipul (4.21), care sunt ecuaţii vectoriale şi se urmăreşte rezolvarea lor pe cale grafică. În plan fiecare


46 ecuaţie vectorială este echivalentă cu două ecuaţii scalare şi ca urmare,

rezolvă două necunoscute din mărimile caracteristice ale vectorilor (modul, direcţie)∗.

În această metodă se utilizează teorema asemănării (Burmester şi Mehmke): figurile obţinute în planul vitezelor, unind extremităţile vectorilor

viteză ai unor puncte date, sunt asemenea şi rotite cu 2π în sensul lui ω faţă de

figurile obţinute prin unirea punctelor respective ale figurii plane studiate. Pentru a demonstra această teoremă se consideră figura plană ABC şi vitezele respective Av , Bv , Cv (fig.4.15,a). În planul vitezelor (fig.4.15,b) sunt reprezentate aceste viteze prin vectorii pa , pb , pc cu originile în polul vitezelor p, unde

;pav vA ⋅= μ ;pbv vB ⋅= μ .pcv vC ⋅= μ (4.22)

În continuare, pentru simplificare se consideră atât scara lungimilor μl,

cât şi scara vitezelor μv egale cu unitatea (μl =1; μv=1). Aplicând relaţia (4.13) se vede că: .BAAB vvvpapbab =−=−= (4.23) Deci

.ABvab BA ×== ω În mod analogic:

;BCvbc CB ×== ω .CAvca AC ×== ω (4.24)

∗ La scrierea ecuaţiilor vectoriale se obişnuieşte ca vectorii complet cunoscuţi să fie subliniaţi cu două linii, iar cei parţial cunoscuţi (numai ca modul sau direcţie) cu o singură linie.


47Din relaţiile (4.24) reiese că vectorii ,ab ,bc ca sunt perpendiculari

pe respectiv ;AB ;BC CA . Rezultă că triunghiurile abc şi ABC sunt asemenea,

primul fiind rotit faţă de al doilea cu 2π în sensul lui .ω

Raportul de asemănare al celor două figuri abc şi ABC se determină scriind modulul vectorilor ,ab bc şi ca :

,2

sin πωω ⋅⋅=×== ABABvab BA

unde

ω=AB

ab, (4.25)

Scriind relaţiile analoage cu (4.25) pentru celelalte laturi se deduce raportul de asemănare căutat:

.ω===CA

ca

BC

bc

AB

ab (4.26)

Dacă scările sunt diferite de unitate ( ;1≠lμ 1≠vμ ) atunci raportul de

asemănare este ωμω , unde .

l

v

μμ

μω =

Din cele prezentate rezultă că fiecărui punct din planul vitezelor îi corespunde un punct omolog în planul corpului. Astfel lui A îi corespunde a şi lui B îi corespunde b etc., iar centrului instantaneu de rotaţie I îi corespunde polul vitezelor p.

Exemplu 4.7 Să se determine distribuţia de viteze pentru mecanismul

bielă manivelă (fig.4.16). Rezolvare: Viteza punctului A are modulul ,OAv A ⋅= ω este

perpendiculară pe OA, iar sensul este dat de .ω Viteza punctului B are suportul paralel cu xx. Deci se poate scrie

BAAB vvv += (a)

Viteza BAv are suportul perpendicular pe AB. Se aleg scările μl=μv=1.


48

Relaţia (a) se reprezintă în planul vitezelor. Construind vectorul Avpa = se duce prin a (extremitatea lui Av ) o perpendiculară pe AB (suportul

lui BAv ); iar prin p (originea lui Av ) o paralelă la xx, obţinându-se astfel punctul b (extremitatea lui Bv ). În planul vitezelor relaţia (a) se scrie

.abpapb += Viteza punctului M se determină aplicând teorema asemănării. Punctul m

se găseşte pe ab – omologul lui AB – astfel că

.ABAM

abam

=

În planul vitezelor, viteza punctului M este .pmv M =

Viteza unghiulară 2ω se determină cu ajutorul relaţiei ,2 ABv BA ×= ω

de unde ,/2 ABv BA=ω iar sensul său este antiorar stabilit de vectorul .ab

4.3 Studiul vectorial al acceleraţiilor

Se consideră două puncte A şi B aparţinând planului mobil Oxy (fig.4.17).

Fig. 4.17 Fig. 4.18

Cunoscând acceleraţia Aa a punctului A, se va exprima acceleraţia Ba a punctului B în funcţie de Aa . Considerând mişcarea plan-paralelă obţinem relaţia vectorială:

( ) ( ) .2 OAOAOAaOAOAaa OOA ωωωεωωε −⋅+×+=××+×+=

Însă 0=⋅OAω şi urmează


49analog

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅−×+=⋅−×+=OAOAaaOAOAaa

OB

OA2

2

ωεωε . (4.27)

Scăzând relaţiile (4.27) rezultă: ( ) ( ),2 OAOBOAOBaa AB −×+−−=− εω

de unde se deduce formula lui Euler pentru acceleraţii în mişcarea plan-paralelă ,2 ABABaa AB ×+⋅−=− εω (4.28) care se mai scrie şi astfel: .

τBA

nBAAB aaaa ++= (4.29)

În relaţia (4.29) s-a notat: ABa

nBA

2ω−= (4.30) acceleraţia normală a punctului B faţă de A (ca şi cum acesta ar fi fix).

Această acceleraţie are modulul

ABABv

a BAnBA ⋅== 2

2

ω (4.31)

este paralelă cu AB, având sensul de la B spre A. De asemenea, s-a mai notat ABa BA ×= ε

τ (4.32)

acceleraţia tangenţială a punctului B faţă de A (ca şi cum acesta ar fi fix). Această componentă are suportul perpendicular pe AB.

Dacă în particular punctul A coincide cu centrul acceleraţiilor J, adică 0== JA aa , atunci din relaţia (4.28) rezultă:

.2 JBJBa B ×+⋅−= εω (4.33) Cu ajutorul relaţiei (4.33) se demonstrează pe cale vectorială că la un

moment dat distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan-paralelă se obţine ca într-o mişcare de rotaţie în jurul centrului acceleraţiilor J (fig. 4.18).

Acceleraţiile ,Aa ,Ba Ca ... sunt egal înclinate faţă de razele JA, JB, JC, ... cu unghiul φ, dat de

22 ...ωε

ωεϕ

τ

==⋅⋅

==JA

JAaatg n . (4.34)

Centrul acceleraţiilor poate fi determinat şi vectorial. Pentru aceasta se înmulţeşte relaţia (4.33) cu 2ω şi apoi vectorul ε

( )( ) ⎪⎭

⎪⎬⎫

=−×−×=×+−

00

22

242

BJBJaBJBJa

B

B

εεωεεωωω (4.35)

Însumând relaţia (4.35) se obţine: ( ) ,0422 =+−×+ BJaa BB ωεεω


50 de unde

.42

2

ωεεω

+×+

= BB aaBJ (4.36)

4.4 Metode pentru determinarea distribuţiei de acceleraţii

În construcţia de maşini determinarea distribuţiei de

acceleraţii este deosebit de importantă. În continuare vor fi prezentate câteva metode.

a) Metoda centrului (polului) acceleraţiilor. Este o metodă grafo-analitică ce se bazează pe proprietatea că distribuţia instantanee de acceleraţii este identică cu cea a unei mişcări de rotaţie în jurul centrului (polului) acceleraţiilor.

Pentru a aplica metoda centrului acceleraţiilor este necesar să fie cunoscute acceleraţia Aa a unui punct A aparţinând corpului, viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε (unde ωε &= ).

Etapa cea mai importantă a acestei metode constă în determinarea poziţiei centrului acceleraţiilor J. Aceasta poate fi efectuată grafo-analitic sau grafic.

Determinarea grafo-analitică a centrului acceleraţiilor. Se presupune cunoscut acest punct, adică unghiul φ şi distanţa AJ care de fapt, sunt tocmai necunoscutele care trebuie să fie determinate (fig.4.19). La fel ca în mişcarea de rotaţie se descompune acceleraţia Aa în componenta normală n

Aa şi

componenta tangenţială τAa calculate faţă de centrul acceleraţiilor, care au

expresiile: ;2ω⋅= JAa n

A .ετ ⋅= JAa A (4.37) Din această relaţie se obţine: ( ) ( ) ( ).422222 ωετ +⋅=+= JAaaa A

nAA (4.38)

De aici se deduce prima formulă pentru determinarea centrului acceleraţiilor:

.42 ωε +

=Aa

JA (4.39)

Din figura 4.19 se vede că

,2ωεϕ

τ

⋅⋅

==JAJA

aa

tgnA

A


51deci a doua formulă necesită determinarea polului acceleraţiilor care este

.2ωεϕ =tg (4.40)

Atât din figura 4.19 cât şi din relaţia (4.39), se vede că unghiul φ şi acceleraţia unghiulară ε au acelaşi sens.

Cu ajutorul formulelor (4.39) şi (4.40) centrul acceleraţiilor se determină astfel:

- prin punctul A se duce o dreaptă înclinată faţă de acceleraţia Aa cu unghiul φ a cărui mărime se calculează cu relaţia (4.30); unghiul φ se ia în acelaşi sens cu acceleraţia unghiulară ε ;

- pe dreapta dusă prin punctul A se determină centrul acceleraţiilor J, mărimea segmentului AJ calculându-se cu formula (4.39).

Acceleraţia unui punct arbitrar M se determină ca într-o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω şi acceleraţia unghiulară ε în jurul centrului acceleraţiilor J, calculând cele două componente.

;2ω⋅= JMa nM ετ ⋅= JMaM . (4.41)

Determinarea grafică a centrului acceleraţiilor se poate face dacă se cunosc acceleraţiile Aa şi Ba a două puncte A şi B aparţinând unui corp care efectuează o mişcare plan-paralelă. (Prin urmare se pun condiţii suplimentare faţă de metoda grafo-analitică).

Pentru a construi centrul acceleraţiilor se desenează (fig.4.20) la scară acceleraţia 'AAa A = şi 'BBa B = (pentru simplificare se admit toate scările egale cu unitatea). Se prelungesc suporturile lor până se intersectează în punctul Q. Se duc cercurile care trec prin ABQ şi, respectiv, A’B’Q. La intersecţia lor rezultă centrul acceleraţiilor J.

Pentru justificarea construcţiei se presupune iniţial cunoscut unghiul φ. Din A şi B se duc drepte înclinate cu unghiul φ în acelaşi sens faţă de AA’ şi, respectiv, BB’, care, aşa cum este cunoscut, se intersectează în centrul acceleraţiilor J. Patrulaterul

ABJQ este inscriptibil deoarece prin construcţie segmentul JQ se vede din A şi din B sub acelaşi unghi φ.

Se ştie că ;' 42 ωε +== JAAAa A ,' 42 ωε +== JBBBa B

de unde

.''

42

42

JBJA

JB

JABBAA

=+

+=

ωε

ωε


52 Prin urmare triunghiurile JAA’ şi JBB’ sunt asemenea, având un unghi

egal şi două laturi proporţionale. De aici rezultă egalitatea unghiurilor α din J şi β din A’ şi B’ unde ϕαβ += . Deci, patrulaterul A’B’JQ este inscriptibil deoarece JQ se vede din A’ şi B’ sub acelaşi unghi β.

Exemplu 4.8 Să se determine distribuţia de acceleraţii pentru o roată de

rază R care se rostogoleşte fără alunecare pe o cale de rulare orizontală, centrul O al roţii deplasându-se cu viteza orizontală .constvO = (fig.4.21,a).

Rezolvare: Se observă că 0=Oa deoarece punctul O efectuează o

mişcare rectilinie şi uniformă. Deci, centrul roţii O este centrul acceleraţiilor ( JO ≡ ).

Întrucât .,constR

vO ==Ω rezultă .0=Ω=ε

Distribuţia de acceleraţii se obţine ca şi cum roata s-ar roti cu Ω=const. în jurul punctului JO ≡ şi în consecinţă diferitele puncte ale roţii au numai componenta normală a acceleraţiei. Astfel

;2Ω⋅= JMaM ;2

2

22

Rv

Rv

RJIa OOI ==Ω⋅=

Rv

JAa OA

22 =Ω⋅= .

Exemplu 4.9 Să se determine distribuţia de acceleraţii pentru o bară AB,

a cărei extremitate A se mişcă cu viteza .constvO = pe un semicerc de rază R, sprijinindu-se mereu pe punctul C - extremitatea diametrului semicercului (fig.4.21,b).

Rezolvare: Într-o aplicaţie precedentă s-a determinat centrul instantaneu

de rotaţie precum şi viteza unghiulară .2

constR

vO ==Ω Rezultă .0=Ω=ε

Punctul A, efectuând o mişcare circulară cu .constv A = are numai

acceleraţia normală, dirijată după raza AO, egală cu .22

Rv

Rv

a OAA ==


53Aplicând relaţia (4.22) se obţine

,022=

ΩΩ

==&

ωεϕtg

adică centrul acceleraţiilor J se găseşte pe suportul lui Aa , (raza AO) la distanţa calculată cu relaţia (4.21).

.4242

Raa

JAAA=

Ω=

+=

ωε

Acceleraţia unui punct arbitrar M se obţine ca şi cum acesta s-ar roti cu viteza unghiulară .const=Ω în jurul centrului acceleraţiilor J, adică

2Ω⋅= JMaM dirijată după JM. Viteza aceluiaşi punct se obţine ca şi cum acesta s-ar roti în jurul centrului instantaneu de rotaţie I şi este egală cu

,Ω⋅= IMvM perpendiculară pe IM. b) Metoda planului acceleraţiilor şi a ecuaţiilor vectoriale. Este o

metodă grafo-analitică ce se bazează pe relaţia lui Euler pentru acceleraţii în mişcarea plan-paralelă

,τBA

nBAAB aaaa ++= (4.42)

unde ABanBA ⋅−= 2ω este acceleraţia normală a lui B faţă de A (ca şi cum ar fi

fix) şi ABa BA ×= ετ

este acceleraţia tangenţială a punctului B faţă de A. De

obicei acceleraţia normală nBAa este complet cunoscută, aşa cum s-a demonstrat

în relaţia (4.31). Pentru acceleraţia tangenţială τBAa este cunoscut suportul

perpendicular pe AB. Acceleraţiile diferitelor puncte se reprezintă într-un plan arbitrar ales,

numit planul acceleraţiilor, ca vectori care sunt paraleli faţă de acceleraţiile reale, sunt de acelaşi sens, dar cu modulele reduse la aceiaşi scară. În planul acceleraţiilor, punctul de acceleraţie nulă se numeşte polul acceleraţiilor şi se notează π. Scara acceleraţiilor se notează cu μa şi are mărimea dependentă de scara lungimilor μl şi scara vitezelor μv (care se aleg), prin relaţia

.2

l

va μ

μμ = (4.43)

În planul acceleraţiilor se prezintă grafic relaţii de tipul (4.42), care sunt ecuaţii vectoriale. Aceste ecuaţii se rezolvă grafic. Prin urmare există o analogie cu metoda planului vitezelor.

Teorema asemănării (Burmester şi Mehmke) în cazul acceleraţiilor se enunţă astfel: figura obţinută în planul acceleraţiilor prin unirea extremităţilor vectorilor acceleraţii ale unor puncte date este asemenea cu figura obţinută prin


54 unirea punctelor respective care aparţin corpului, fiind rotită cu ( )ϕπ − în

sensul lui ε (fig.4.22), unde

.2ωεϕ τ ==

naa

tg

Pentru a demonstra teorema asemănării se consideră punctele A, B, C

aparţinând unui plan al corpului în mişcare plan-paralelă şi acceleraţiile respective Aa , Ba , Ca (fig.4.22,a). În planul acceleraţiilor acestea se reprezintă prin

;'aa aA πμ= ;'ba aB πμ= .'ca aC πμ= (4.44) În continuare pentru simplificare se aleg toate scările egale cu unitatea

(μl=μv=μa=1).

Urmărind figurile din planul acceleraţiilor şi ţinând cont şi de formula lui Euler (4.42) se poate scrie

,''''τ

ππ BAnBABAAB aaaaaabba +==−=−= (4.45)

de unde

( ) ( ) ,'' 42224222ωεεωτ +=+=+= ABABABaaba BA

nBA

deci

.''

42 ωε +=AB

ba

În mod analogic:

.''''

42 ωε +==CA

ac

BC

cb (4.46)

Din relaţiile (4.46) rezultă că triunghiurile ABC şi a’b’c’, având laturile proporţionale sunt asemenea, raportul de asemănare fiind 42 ωε + . Dacă scările sunt diferite de unitate, atunci raportul de asemănare este


55

,42

εμωε + unde .2

2

2

ωε μμμ

μμ

μ ===l

v

l

a

Din cele prezentate până aici rezultă că fiecare punct din planul acceleraţiilor reprezintă omologul unui punct din planul corpului. Astfel a’ este omologul lui A, b’ al lui B etc., iar polul acceleraţiilor π din planul acceleraţiilor este omologul centrului acceleraţiilor J al corpului respectiv.

Pentru a demonstra că figura din planul acceleraţiilor este rotită cu ( )ϕπ − în sensul lui ε faţă de figura omoloagă din planul corpului, din relaţia

(4.45) se observă că vectorul ''ba este paralel şi are acelaşi sens cu acceleraţia relativă a lui B faţă de A (ca şi cum A ar fi fix):

.τBA

nBABA aaa +=

Aşa după cum s-a demonstrat mai înainte acceleraţia BAa este înclinată

faţă de AB datorită componentei tangenţiale ABa BA ×= ετ

şi astfel apare

unghiul φ, unde nBA

BA

aa

tgτ

ϕ = (fig.4.23,a). Ca urmare acceleraţia BAa , respectiv

''ba , este înclinată faţă de AB cu un unghi de ( )ϕπ − rad în sensul lui ε, deoarece unghiul dintre cei doi vectori se măsoară, luând în considerare sensurile lor pozitive (fig. 4.23,b şi c).

La acelaşi rezultat se ajunge dacă se calculează unghiul dintre vectorii

''ba şi AB , astfel:

( ) =⋅

⋅=

⋅

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=⋅

⋅=

ABba

ABa

ABba

ABaa

ABba

ABbaABbanBA

BAnBA

''''''

'',''cos

τ

( ).coscos1

1

1

12

4

2422

22

ϕπϕϕ

ωεωε

ω−=−=

+−=

+

−=+

⋅−

tgAB

AB


56 Exemplu 4.10. Să se determine distribuţia de acceleraţii pentru

mecanismul bielă-manivelă (fig.4.24).

Rezolvare: Acceleraţia punctului A are numai componenta normală

deoarece .const=ω şi în consecinţă 2ω⋅= OAa A

este coliniară cu OA şi orientată de la A spre O. În planul acceleraţiilor acestei acceleraţii îi corespunde vectorul .'aπ

Se aleg toate scările egale cu unitatea (μl=μv=μa=1). Pentru a determina acceleraţia punctului B se scrie relaţia lui Euler

τBA

nBAAB aaaa ++= . (a)

Acceleraţia nBAa este complet cunoscută: este coliniară cu AB, este

orientată de la B spre A şi are modulul

ABv

a BAnBA

2

= ,

unde viteza BAv se ia din planul vitezelor (fig.4.16).

Pentru acceleraţia τBAa se cunoaşte suportul care este perpendicular pe

AB, iar pentru Ba suportul este paralel cu dreapta xx.

Acceleraţia nBAa este reprezentată în planul acceleraţiilor prin vectorul

na' , construit în extremitatea a’ a vectorului corespunzător lui .Aa Prin

punctul n se duce o perpendiculară pe AB (suportul lui τBAa ), iar prin π se duce

o paralelă la xx (suportul lui Ba ). La intersecţie se obţine punctul b’. În planul acceleraţiilor corespondentul relaţiei (a) este

'''' nbnaab ++= ππ , unde

;' Bab =π .'τBAanb =

Acceleraţia unui punct arbitrar M de pe bielă se determină prin teorema asemănării. Punctul m’ se găseşte pe segmentul a’b’, omologul lui AB, astfel ca


57

ABba

AMma ''''

=

şi rezultă .'ma M π= Acceleraţia unghiulară 2ε a bielei AB se deduce din relaţia

.2 ABa BA ×= ετ

Folosind planul acceleraţiilor se obţine ABa BA /2

τε = şi are

sensul antiorar, stabilit cu ajutorul vectorului .'nb Exemplul 4.11 Să se determine distribuţia de viteze şi acceleraţii pentru

mecanismul plan din figura 4.25,a, în poziţia dată. Rezolvare: Corpurile care constituie acest mecanism efectuează

următoarele mişcări: 1 – rotaţie; 2 – plan-paralelă; 3 – rotaţie; 4 – plan-paralelă; 5 – translaţie.


58 Distribuţia de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotaţie

(fig.4.25,a). Viteza punctului A este cunoscută, ,1 ω⋅= AOv A are suportul perpendicular pe O1A şi sensul dat de ω.

Centrul instantaneu de rotaţie I2 al corpului 2 se află la intersecţia prelungirilor barelor O1A, O2B, care sunt perpendiculare pe vitezele Av şi Bv . Viteza unghiulară în jurul centrului instantaneu de rotaţie I2 este:

.2

1

22 ω

AIAO

AIv A ==Ω

Rezultă

;12

222 ωAO

AIBI

BIvB ⋅=Ω⋅= ;12

222 ωAO

AICI

CIvC ⋅=Ω⋅=

ωω ⋅⋅==BOAO

AIBI

BOvB

2

1

2

2

23 (variabilă).

Centrul instantaneu I4 al corpului 4 se află la intersecţia prelungirii lui

I2C cu perpendiculara ridicată pe ghidajul xx, care reprezintă perpendicularele pe suporturile vitezelor Cv şi Dv . Viteza unghiulară în jurul lui I4 este

.2

1

4

2

44 ω⋅⋅==Ω

AIAO

CICI

CIvC

Rezultă

.12

2

4

444 ω⋅⋅⋅=Ω⋅= AO

AICI

CIDI

DIvD

Distribuţia de viteze cu metoda rabaterii este prezentată în figura 4.25,b, unde toate vitezele sunt redate la aceeaşi scară.

Distribuţia de viteze cu metoda proiecţiilor (fig.4.25,c). Plecând de la viteza punctului A, care se determină ca în metodele

precedente, se aplică teorema proiecţiilor pe direcţia AB. Se obţin proiecţiile AA’=BB’=CC’. Ridicând din B’ o perpendiculară pe AB, aceasta intersectează perpendiculara pe O2B în extremitatea vitezei Bv . Pentru a determina viteza

Cv se ridică din C’ o perpendiculară pe AB, apoi se aplică teorema coliniarităţii extremităţilor vectorilor viteză, unindu-se extremităţile vitezelor Av şi Bv . La intersecţia acestor două drepte se află extremitatea vitezei Cv . În continuare se aplică teorema proiecţiilor pe direcţia CD, obţinându-se proiecţiile CC’=DD’. Din D’ se ridică o perpendiculară CD, care intersectează ghidajul xx în extremitatea vitezei Dv .

Distribuţia de viteze cu metoda planului vitezelor şi a ecuaţiilor vectoriale (fig.4.25,d). Se aleg scările μl=μv=1.


59Viteza punctului A este cunoscută şi în planul vitezelor este

reprezentată prin vectorul pa . Pentru viteza punctului B se scrie relaţia lui Euler

BAAB vvv += ,

care în planul vitezelor are corespondenta abpapb += .

Viteza punctului C se determină cu teorema asemănării

ABAC

abac

=

de unde se determină poziţia punctului c pe ab şi rezultă pcv C = . Pentru punctul D se scrie relaţia lui Euler

DCCD vvv += ,

care are în planul vitezelor corespondenta cdpcpd += .

Vitezele unghiulare se determină cu ajutorul vitezelor calculate în planul

vitezelor. Astfel BO

v B

23 =ω şi are sensul orar dat de Bv , adică pb faţă de

O2B. În mod analogic AB

v BA=2ω , deoarece ABv BA ×= 2ω şi are sensul

antiorar dat de BAv , adică de ab faţă de AB ; CD

v DC=4ω deoarece

CDv DC ×= 4ω şi are sensul orar dat de DCv , adică de cd faţă de CD. Distribuţia de acceleraţii cu metoda planului acceleraţiilor şi a

ecuaţiilor vectoriale (fig.4.25,e). Se aleg scările μl=μv=μa=1. Acceleraţia punctului A este cunoscută ( 11

21 ;// ; OAAOAOa A →⋅= ω ).

Pentru a determina acceleraţia punctului B se aplică de două ori relaţia lui Euler:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

++=τ

τ

22 BOnBOB

BAnBAAB

aaa

aaaa

unde ABABABva BAn

BA →= ;// ; 2

şi 222

2

OB ;// ;22 →= BO

BOv

a BOnBO .

În planul acceleraţiilor corespondentele acestor relaţii sunt:


60

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=++=

'.'''''

22

11

bnnbbnnaab

ππππ

Acceleraţia punctului C se determină cu teorema asemănării. Punctul c’ se află pe a’b’, omologul lui AB în planul acceleraţiilor. Astfel că:

.''''

ABAC

baca=

Prin urmare 'ca C π= . Pentru acceleraţia punctului D se scrie relaţia lui Euler:

τDC

nDCCD aaaa ++=

care are corespondenta în planul acceleraţiilor '''' 33 dnnccd ++= ππ , unde

. ;// ;2

CDCDDCv

a DCnDC →=

Acceleraţiile unghiulare se calculează cu ajutorul acceleraţiilor determinate în planul acceleraţiilor. Deoarece .const=ω rezultă .01 =ε Pentru

corpul 2 se obţine AB

a BAτ

ε =2 , deoarece ABa BA ×= 2ετ

şi are sensul orar dat

de BAa , adică de '1bn faţă de AB . În mod analogic BO

a BO

23

2

τ

ε = , deoarece

BOa BO 232 ×= ετ

şi are sensul antiorar dat de τ

2BOa , adică '2bn faţă de BO2 ;

iar CD

a DCτ

ε =4 , deoarece CDa DC ×= 4ετ

şi are sensul antiorar dat de τDCa ,

adică '3dn faţă de CD .

4.5 Mecanismul cu culisă oscilantă (Şeping)

Acest mecanism (fig.4.26) este alcătuit din manivela 1, pistonul (patina) 2 şi culisa 3. Manivela OA se roteşte cu viteza unghiulară .const=ω Se propune să se determine distribuţia de viteze şi de acceleraţii analitic, precum şi cu ajutorul planului vitezelor şi planului acceleraţiilor.

Pe fiecare dintre cele trei elemente există câte un punt A, care se notează: A1 – punct ce aparţine manivelei OA, A2 – punct ce aparţine pistonului 2 şi


61punctul A3 - ce aparţine culisei 3. În cele ce urmează se va studia mişcarea acestor puncte.

Din figura 4.26, care prezintă mecanismul în mai multe poziţii, se observă că sistemul fix este batiul şi sistemul de referinţă mobil este culisa O1B, care execută o mişcare de rotaţie în jurul lui O1. Pe aceeaşi figură se mai vede că punctele A1 şi A2 au o mişcare identică. Mişcarea absolută a acestor puncte este o mişcare circulară cu viteza unghiulară

const=ω pe un cerc cu centrul în O şi raza OA. Mişcarea relativă este mişcarea lui A2 faţă de culisa 3, deci mişcarea pistonului (patinei) pe O1B, care este o mişcare rectilinie. Mişcarea de transport este mişcarea punctului A3, sau altfel formulat pistonul

imobilizat pe culisa O1B şi deplasându-se odată cu ea, deci o mişcare circulară cu viteza unghiulară 3ω pe un cerc cu centrul în O1 şi raza AO1 .

Studiul analitic. Se consideră mecanismul cu culisă oscilantă din fig.4.27 unde

.,, 1 consteOOrOA ==== ϕω & Faţă de dreapta fixă OO1 poziţia manivelei OA este definită cu unghiul ϕ , iar a culisei O1B cu unghiul ψ . Din fig.4.27 se obţine:

,cos

sin

1 ϕϕψ

⋅+⋅

==re

rCO

ACtg (4.47)

de unde

.cos

sinϕ

ϕψ⋅+

⋅=

rerarctg (4.48)

Viteza unghiulară a culisei O1B este:

,

cossin1

cossin

23

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅

===

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕψψω

rer

rer

dd

dtd

dd

dtd (4.49)

unde

( )2cos

coscos

sinϕϕ

ϕϕ

ϕ ⋅+

⋅+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅

reerr

rer

dd , (4.50)

Fig. 4.27


62 deci viteza unghiulară căutată este:

.cos2

cos223 ϕ

ϕωω⋅⋅⋅++

⋅+⋅=

rereerr (4.51)

Raportul vitezelor unghiulare ale barelor O1B şi OA este:

.cos2

cos22

3

ϕϕ

ωω

⋅⋅⋅++⋅+

=rere

err (4.52)

Valorile extreme ale acestui raport corespund valorilor 0=ϕ şi .πϕ =

Astfel pentru 0=ϕ rezultă

( ) er

rererr

+=

+

+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

min

3

ωω

(4.53)

iar pentru πϕ = se obţine

( ) er

rererr

−=

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛2

max

3

ωω

. (4.54)

Viteza unghiulară 3ω a culisei O1B se anulează când ,0ϕϕ = adică ,0cos 0 =⋅+ ϕer (4.55)

de unde

,cos 0 er

−=ϕ (4.56)

cu observaţia ,0cos 0 <ϕ deoarece .,20 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈ ππϕ

Valoarea maximă a unghiului AOO1∠=ϕ se obţine când manivela OA şi culisa O1B sunt perpendiculare, de unde (fig.4.27):

er

OOOA

===1

max''sinsin αψ ; (4.57)

erarcsinmax ==αψ . (4.58)

Cursa de lucru este definită de unghiul

.2'''2''''

''' 000 ϕϕ =∠==∠= OAA

rAAarcA

OAAL (4.59)

Cursa de mers în gol este definită de unghiul

.22''''2'''00 ϕπϕ −=∠=

∠= OAA

rOAA

G (4.60)


63Notând cu TG

timpul de mers în gol şi cu TL timpul cursei de lucru, deoarece .const=ω , aceşti timpi sunt proporţionali cu unghiurile Gϕ şi Lϕ . Raportul acestor timpi este:

,12

22

0

0

0

0 <−

=−

==ϕϕπ

ϕϕπ

ϕϕ

L

G

L

G

TT

(4.61)

deoarece, aşa după cum urmează din figura 4.27, LG ϕϕ < . Deci, cursa de mers în gol durează mai puţin decât cursa de lucru, ceea ce prezintă o proprietate caracteristică a mecanismului cu culisă oscilantă. Datorită acestei proprietăţi, mecanismul cu culisă oscilantă este folosit în construcţia unor maşini-unelte, la care cursa activă coincide cu cursa de lucru.

Pentru calcului acceleraţiei unghiulare a culisei O1B se derivează în raport cu timpul expresia vitezei unghiulare 1ω din relaţia (4.51) şi ţinând cont că .const=ω , se deduce

( )( ) .cos2

sin22

222

33 ϕϕωωε⋅⋅⋅++

−⋅⋅==

rereerer& (4.62)

Studiul grafo-analitic al vitezelor şi acceleraţiilor (fig.4.28). a) Planul vitezelor Se aleg scările μl=μv=μa=1.

ABvB ⋅= 1ω , AB⊥ , şi are sensul dat de 1ω . Presupunem că există punctul B3 care aparţine culisei 3 şi în poziţia dată coincide cu punctul B:

⎪⎩

⎪⎨⎧

⊥+=

+=

)()(//

33

33

BDvvvBDvvv

DBDB

BBBB.

Cu ajutorul acestor relaţii vectoriale se construieşte planul vitezelor (fig.4.28). Astfel în planul vitezelor ,pbv B = 33 bbv BB = şi .33 pbv B =

Direcţia vitezei unghiulare 3ω este dată de vectorul 3pb pe culisa 3, iar

modulul BDvB3

3 =ω .

b) Planul acceleraţiilor

,21

221

2

ABAB

ABABv

a BB ⋅=

⋅== ωω

,// AB .AB → Pentru a determina

acceleraţia 3Ba scriem ecuaţiile vectoriale ale punctului B3 în raport cu punctele B şi D.


64

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥++=

++=

)(

)(//

333

333

BDaaaa

BDaaaa

DBn

DBDB

rBB

cBBBB

τ .

Cu ajutorul acestor ecuaţii vectoriale construim planul acceleraţiilor (fig.4.28). Astfel în planul acceleraţilor ,'ba B π= 33 na

nDB π= , ,'

333 bna DB =τ

,'3 cbac

BB = '33 cba

rBB = , ,'

33 baB π= .233 3 BB

cBB va ⋅⋅= ω

În planul acceleraţiilor

cBBa 3 va fi segmentul cb' direcţia căruia o găsim

rotind cu 90° vectorul 3bb din planul vitezelor în sensul lui 3ω , .2

3

3 BDv

a BnDB = În

planul acceleraţiilor ducem din π segmentul .//3 BDnπ

Acceleraţia unghiulară BDa BBτ

ε 3

3 = , iar direcţia lui 3ε este dată de

vectorul '33bn pe culisa 3.

Exemplu 4.12 Să se determine distribuţia de viteze şi acceleraţii cu

metoda panului vitezelor şi acceleraţiilor pentru φ=30°, dacă OA=0,225[m]; BC=0,95[m]; OB=0,6[m]; BS3=0,475[m], iar turaţia manivelei 1 este n1=48[min-]].

Rezolvare: a) Metoda planului vitezelor. Luând în considerare spaţiul care îl avem la

dispoziţie adoptăm ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmm

l 005,0μ .

Determinăm lungimile elementelor trecute prin scara aleasă:


65

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ].95005,0

475,0

;120005,0

6,0

;190005,0

95,0

;45005,0

225,0

33 mm

mmmmBS

BS

mm

mmm

mOBOB

mm

mmmmBCBC

mm

mmmmOAOA

l

l

l

l

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==

μ

μ

μ

μ

Cu dimensiunile liniare ale mecanismului trecute prin scara aleasă se construieşte mecanismul în poziţia cerută φ=30° (fig.4.29).

Se determină viteza punctului A care aparţine manivelei şi se roteşte în jurului lui O:

[ ] [ ] [ ]./13,1225,0

30min4814,3

30

11

1 smmOAn

OAv A =⋅

=⋅

=⋅=−π

ω

Pentru a putea construi planul vitezelor trebuie să alegem scara vitezelor μv astfel încât segmentul pa să se încadreze în limitele 40...70[mm]:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

mmsm

mmvA

v/0226,0

50μ .

În continuare alegem scara standardizată ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmsm

v/02,0μ .

[ ] [ ] ,,5,56/02,0

/13,1 OAmm

mmsmsmv

pav

A ⊥=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

sensul dat de 1ω .

În continuare considerăm punctul A3 care aparţine culisei şi în poziţia dată coincide cu punctul A. Pentru a determina viteza punctului A3 scriem ecuaţiile vectoriale:


66

⎪⎩

⎪⎨⎧

⊥+=

+=

)(

)(//

33

33

ABvvv

ABvvv

BABA

AAAA.

Pentru rezolvarea grafică a ecuaţiilor vectoriale, în planul vitezelor prin punctul a ducem o dreaptă paralelă cu AB, iar prin polul vitezelor p ducem o dreaptă perpendiculară cu AB. În locul unde se intersectează aceste drepte obţinem punctul a3 şi segmentul [ ]mmpa 403 = .

Poziţia punctelor s3 şi c3, care se află pe şi în prelungirea segmentului

3pa , se determină cu ajutorul teoremei asemănării: BCBSBApcpspa ÷÷=÷÷ 3333

Lungimea AB=150[mm] se ia de pe desen şi obţinem lungimile [ ]mmps 3,253 = şi [ ]mmpc 6,503 = .

Pentru a determina viteza elementului 5 considerăm un punct C5, care aparţine elementului 5 şi coincide cu punctul C3 în poziţia considerată şi scriem totodată ecuaţia vectorială:

).(//)(// 3535 yyvvvxx CCCC +=

Pentru rezolvarea grafică a acestei ecuaţii vectoriale, în planul vitezelor prin punctul c3 ducem o dreaptă verticală, iar prin polul p - o dreaptă orizontală, la intersecţia acestor drepte obţinem punctul c5. Segmentele obţinute 53cc şi

5pc reprezintă vitezele 35CCv şi 5Cv . Din planul acceleraţiilor obţinem:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]./96,0/02,048

;/26,0/02,013

;/012,1/02,06,50

;/506,0/02,03,25

;/8,0/02,040

;/8,0/02,040

5

53

3

3

3

3

5

35

3

3

3

3

smmm

smmmpcv

smmm

smmmccv

smmm

smmmpcv

smmm

smmmpsv

smmm

smmmaav

smmm

smmmpav

vC

vCC

vC

vS

vAA

vA

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⋅=

μ

μ

μ

μ

μ

μ

Viteza unghiulară 3ω a culisei va fi:


67[ ]

[ ][ ]13

3 067,1005,0150

/02,0403 −=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

=⋅⋅

== s

mmmmm

mmsmmm

ABpa

ABv

l

vA

μμ

ω .

Sensul antiorar al lui 3ω este dat de segmentul 3pa pe culisa 3. b) Metoda planului acceleraţiilor. Determinăm acceleraţia punctului A

[ ] [ ] [ ]./7,5225,030

min4814,330

212

smmOAna A =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−π

Pentru a putea construi planul acceleraţiilor trebuie să alegem scara acceleraţiilor μa astfel încât segmentul 'pa să se încadreze în limitele 40...70[mm]:

[ ][ ][ ] ./114,0

50/7,5

50

22

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡===

mmsm

mmsm

mma A

aμ

În continuare adoptăm scara standardizată ./1,02

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmsm

aμ

[ ] [ ]mm

mmsmsma

paa

A 57/1,0

/7,5'2

2

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

μ, ,// OA sensul OA → .

Pentru a determina acceleraţia punctului A3 , punct ce aparţine culisei 3 şi în poziţia dată coincide cu punctul A, scriem următoarele ecuaţii vectoriale:

.)(

)(//

333

333

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥++=

++=

ABaaaa

ABaaaa

BAn

BABA

rAA

cAAAA

τ

Acceleraţia Coriolis c

AAa 3 se determină cu ajutorul formulei:

vl

vAA

cAA aa

ABpa

va μμμ

ω ⋅⋅⋅

=⋅⋅= 33

3 2233

,

iar direcţia acestei acceleraţii se determină rotind vectorul 3aa din planul vitezelor cu 90° în sensul lui .3ω

Acceleraţia normală n

BAa 3 se determină cu ajutorul formulei


68 ( )

,32

3

3s

vAnBA AB

paABv

aμμ⋅⋅

==

iar direcţia //AB şi sensul de la A spre B. Prin urmare

[ ] [ ] [ ]21 /7,1/8,0067,123 smsmsac

AA ≈⋅⋅= − ;

[ ][ ]

[ ]./85,0005,0150

/8,0 222

3 sm

mmmmm

sman

BA ≈

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

=

Pentru a putea reprezenta în planul acceleraţiilor aceste acceleraţii le trecem prin scara aleasă şi obţinem segmentele respective

[ ] [ ] [ ] ].[5,8/1,0

/85,0;17/1,0

/7,1'2

23

32

23 mm

mmsm

smanmm

mmsm

smaca

a

nBA

a

cAA =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡===

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

μπ

μ

În continuare rezolvăm grafic ecuaţiile vectoriale de mai sus. Din punctul a’ ducem segmentul ca' , iar prin punctul c ducem o dreaptă paralelă cu AB. Prin polul π ducem segmentul 3nπ , iar prin punctul n3 ducem o dreaptă

perpendiculară pe AB. La intersecţia acestor două drepte găsim punctul '3a .

Unim polul acceleraţiilor cu punctul '3a şi obţinem segmentul [ ]mma 25'

3 =π .

Pe segmentul '3aπ în prelungirea lui se află punctele '

3s şi '3c . Pentru a le găsi

folosim teorema asemănării: BCBSBAcsa ÷÷=÷÷ 3

'3

'33 πππ .

Astfel obţinem [ ]mms 8,15'3 =π iar [ ].6,31'

3 mmc =π

Pentru a determina viteza elementului 5 considerăm un punct C5 care aparţine acestui element şi coincide cu punctul C3 în poziţia dată. Pentru a afla acceleraţia 5Ca scriem ecuaţia vectorială:

)(//)(// 353535 yyaaaaxxr

CCc

CCCC ++= .

Acceleraţia Coriolis 035 =c

CCa deoarece 054 == ωω . În continuare se

rezolvă grafic ecuaţia vectorială. Prin punctul '3c se duce o dreaptă verticală

(//yy), iar prin polul acceleraţiilor π se duce o dreaptă orizontală (//xx) şi la intersecţia lor se obţine punctul '

5c . Din planul acceleraţiilor determinăm acceleraţiile care ne interesează:


69

[ ] [ ]22

'3 /5,2/1,0253 sm

mmsmmmaa aA =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅= μπ ;

[ ] [ ]22

'3 /58,1/1,08,153 sm

mmsmmmsa aS =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅= μπ ;

[ ] [ ]22

'3 /16,3/1,06,313 sm

mmsmmmca aC =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=⋅= μπ .

Viteza unghiulară 3ω se determină cu relaţia:

[ ]

[ ][ ]2

2

'33

3 14,3005,0150

/1,05,233

−=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=⋅

⋅== s

mmmmm

mmsmmm

AB

an

AB

a

l

aBA

μ

με

τ

.

Sensul antiorar este dat de segmentul '33an pe culisa 3.

4.6 Metoda diagramelor cinematice

Construirea diagramelor cinematice se bazează pe regulile de derivare şi integrare grafică.

1. DERIVAREA GRAFICĂ. În cele ce urmează vom analiza două metode de derivare grafică:

a) metoda tangentelor. În fig.4.30 este prezentată curba deplasărilor ).(tSS = Pe această curbă considerăm câteva puncte A,B,C,..., care o împart

în câteva segmente. În fiecare din aceste puncte ducem câte o tangentă la curba respectivă. În stânga axei absciselor depunem segmentul Op, egal cu H[mm]. Din polul p ducem razele pa’, pb’, pc’,…, paralele cu tangentele respective până ce intersectează axa ordonatelor. Segmentele Oa’, Ob’, Oc’, …, pe axa ordonatelor vor reprezenta vitezele în momentele de timp respectiv ab, bc, ...

Depunând aceste segmente pe axa ordonatelor aA’=Oa’, bB’=Ob’, cC’=Oc’,… în sistemul de coordonate tv − şi unind punctele obţinute A’, B’,

C’, ... obţinem curba vitezei ( )tvv = . Scara vitezelor o determinăm cu ajutorul formulei:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

⋅=

mmsm

Ht

lv

/μμ

μ . (4.63)


70

Dacă în continuare derivăm grafic curba vitezei )(tvv = , obţinem curba

acceleraţiilor tangenţiale )(taa tt = la scara:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=mm

smHt

va

2

1

/μμ

μ , (4.64)

unde H şi H1 – distanţele polare, [mm]; μl ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mmm , μv ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

mmsm / , μa ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡mm

sm 2/ , μt

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mmsec - scările deplasării, vitezei , acceleraţiei şi timpului.

b) metoda segmentelor (fig.4.31). Ca şi în cazul precedent considerăm

câteva puncte A, B, C,... pe curba deplasărilor )(tSS = şi le unim cu segmentele AB, BC, CD, ...

După ce alegem polul p la distanţa H la stânga axei absciselor, din acest punct ducem razele pa’, pb’, pc’ ..., paralele cu segmentele AB, BC, CD, ... Segmentele obţinute Oa’, Ob’, Oc’ … pe axa ordonatelor vor reprezenta viteza medie în momentele de timp respectiv ab, bc, cd, ...


71În fiecare interval al sistemului de coordonate tv − ducem segmente

orizontale, care se află la distanţele Oa’, Ob’, Oc’ … de axa absciselor. Astfel o să obţinem un grafic al vitezelor medii în formă de scară.

Pentru a obţine curba vitezei reale )(tvv = înlocuim graficul în formă de scară cu o curbă A’, B’, C’, ... astfel încât în fiecare interval de timp ariile suprafeţelor haşurate să fie aproximativ egale.

Dacă în continuare derivăm grafic curba vitezei )(tvv = obţinem curba

acceleraţiilor tangenţiale )(taa tt = la scara, dependenţa dintre scări se exprimă cu ajutorul relaţiilor (4.63) şi (4.64).

2. INTEGRAREA GRAFICĂ. În fig.4.32 este reprezentat graficul vitezei )(tvv = - curba ABC ... Împărţim suprafaţa graficului dat prin intermediul unor drepte verticale Aa, Bb, Cc, ... în intervale ab, bc, cd,.

Porţiunile de curbă din intervalele ab, bc, cd, ... le intersectăm cu o dreaptă orizontală astfel încât aria suprafeţelor haşurate de asupra şi de sub această linie să fie egale. În continuare aceste segmente orizontale le prelungim la stânga cu linii întrerupte până intersectăm axa ordonatelor în punctele a’, b’, c’, ..., iar din ele ducem raze în polul p care se află la distanţa H faţă de centrul 0. În sistemul de coordonate tS − din punctul a depunem pe axa

ordonatelor segmentul aA’, care reprezintă la scara lμ deplasarea iniţială S0. În continuare începând cu punctul A’ în fiecare interval consecutiv

depunem segmente paralele cu razele corespunzătoare ( ,'//'' paBA ,'//'' pbCB '//'' pcDC , ...). Astfel, unind cu o linie curbă punctele A’, B’, C’,

…. cu o linie curbă obţinem graficul deplasărilor )(tSS = . Scara deplasărilor o obţinem din relaţia (4.63)

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⋅=

mmmHtvl μμμ

Distanţele polare H şi H1 se aleg astfel ca scările să rezulte mărimi standardizate.


72 5. ELEMENTE DE DINAMICĂ A MECANISMELOR ŞI

MAŞINILOR

5.1 Noţiuni generale Trecerea unui mecanism sau a unei maşini de la starea de repaus la cea

de regim şi invers este un fenomen complex. Este cunoscut faptul că proporţional şi concomitent cu variaţia vitezei

variază şi forţele de inerţie care generează solicitări suplimentare în organele de maşini ale sistemului. La viteze mari forţele de inerţie ajung la valori, care pot provoca perturbaţii în funcţionarea maşinilor sau chiar avarii. Rezolvarea problemelor puse de dinamica mecanismelor şi maşinilor, îndeosebi stabilirea energiei cinetice a sistemului şi repartizarea acestei energii pe elemente componente, precum şi măsurile tehnice necesare pentru ameliorarea sau eliminarea efectelor dăunătoare ale forţelor de inerţie (realizarea unei echilibrări satisfăcătoare), în vederea funcţionării normale şi sigure a maşinii, constituie un exemplu de modul, în care capacitatea creatoare a omului pune în slujba sa proprietăţile materialului şi diferite fenomene ale naturii.

Asigurarea celor mai avantajoase corelaţii din punct de vedere funcţional şi economic între forţele ce solicită elementele maşinilor şi vitezele respective, dimensiunile acestor elemente şi repartiţia masei lor, constituie probleme practice de bază ale dinamicii.

Fig.5.1

În pofida varietăţii maşinilor şi mecanismelor, timpul total scurs de la punerea lor în mişcare până la oprire se poate împărţi în trei perioade distincte şi anume:

- perioada de pornire sau demarare, în care viteza elementului condus ajunge de la cea iniţială la cea de regim. De exemplu la mişcarea de rotaţie, de la 02 =ω la nωωω == 12 (se notează cu nω viteza unghiulară de regim);

5. ANALIZA DINAMICĂ A MECANISMELOR

73- perioada de regim – în care elementul condus şi cel conducător au

mişcări relativ uniforme, la mişcarea de rotaţie 2ωω =n ; - perioada de oprire sau încetinire a mişcării – în care viteza elementului

condus scade, la mişcarea de rotaţie de la nωω =2 la .02 =ω Aproape toate maşinile au mişcări cu caracter ciclic. În figura 5.1 este

reprezintă ciclul dinamic al unei maşini la care elementul conducător este o manivelă.

5.2 Analiza dinamică al mişcării maşinii prin metoda grafo-analitică 1. Se studiază procesul de lucru al agregatului mecanic şi schema lui

structurală. 2. Se efectuează calculele de sinteză a mecanismului principal. 3. Se trasează la scara μl schema cinematică a mecanismului în n poziţii

distincte (fig.5.2,a) n=12, adoptându-se ca poziţie zero una din cele două poziţii extreme.

Traiectoria punctului (A sau B) – cupla formată de elementul de intrare şi al doilea element mobil este un cerc. Pentru simplificare adoptăm n=8, deci divizăm acest cerc în 8 părţi egale şi pentru fiecare poziţie a punctului în cauză se trasează o poziţie a mecanismului - în total 8 poziţii succesive.

Fig.5.2


74 4. Pe cursa totală a elementului de ieşire se ridică la scară

caracteristica mecanică a agregatului. Pe caracteristică se marchează toate punctele ce corespund poziţiilor succesive ale elementului de ieşire în decursul unui ciclu dinamic (fig.5.2,b). Pentru fiecare poziţie se determină valorile forţelor tehnologice. Pentru motoarele cu ardere internă, compresoare:

[ ]NDq

Ft 4

2⋅⋅=

π

unde: q – presiunea [Pa] pentru poziţia dată, D – diametrul cilindrului [m]. 5. Se determină viteza punctului (A sau B) al elementului de intrare:

[ ]smlv A /,11 ⋅= ω ,

6. Se adoptă scara vitezelor μl ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

mmsm / (valoare standardizată) astfel

încât viteza Av în planul vitezelor să fie reprezentat prin segmentul pa de lungime 40...70[mm].

Se trasează planurile (poligoanele) de viteze pentru fiecare din cele n poziţii ale mecanismului (fig.5.2,c). În plan polurile se notează cu pi (i=1 ... 8).

7. Pentru fiecare poziţie se determină valoarea momentului redus sumar după relaţia:

( ) [ ]mNuMvFpapkFlM

k j

jjkkkred ⋅

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑ ∑ ∑ ,,cos

1 111 (5.1)

unde: l1 – lungimea elementului de reducere [m], Fk – forţa aplicată în punctul k [N], pa, pb, ..., pk, segmentele corespunzătoare de pe poligonul de viteze [mm], ( )kk vF ,cos - se determină de pe poligonul de viteze, Mj - momentul

aplicat la elementul j [Nm], 1

1 ωω j

ju = .

8. Utilizând valorile obţinute redM∑ pentru cele n poziţii, se construieşte

diagrama momentului sumar redus al forţelor motoare ( )ϕmotM∑ sau ( )ϕrezM∑

(fig.5.2,d) adoptându-se în prealabil scările standardizate μM şi μφ. Pentru maşinile motoare se construieşte graficul ( )ϕmotM∑ , iar ( )ϕrezM∑ - se ia

constant. Pentru maşinile de lucru se construieşte graficul ( )ϕrezM∑ , iar

( )ϕmotM∑ se adoptă constant.

Paramentul φ depus pe axa absciselor trebuie să corespundă unui ciclu dinamic. Scara μφ se adoptă din considerentul ca diagrama să se încadreze în 180...240[mm].


759. Se integrează grafic ( )ϕMM red =∑ şi se obţine diagrama lucrului

forţelor motoare ( )ϕmotA sau diagrama lucrului forţelor de rezistenţă ( )ϕrezA .

Scara se determină cu relaţia HMA ⋅⋅= ϕμμμ .⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

mmmN

10. Se construieşte diagrama ( )ϕTT Δ=Δ unde: rezmot AAT −=Δ

(Diferenţa ordonatelor de pe diagrama ( )ϕmotA şi ( )ϕrezA . 11. Pentru fiecare din cele n poziţii se determină valoarea momentului

sumar redus de inerţie:

[ ],2

1

2

1

2

1

mkgJv

mJi

iSi

Sii

red ⋅⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑ ∑

ωω

ω (5.2)

unde: i – elementele mobile cu mase considerabile. Prin moment sumar redus de inerţie se înţelege momentul convenţional

de inerţie al elementului de reducere (în raport cu axa de rotaţie), astfel încât energia sa cinetică să fie egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor elementelor mecanismului:

.2

21ω

∑=∑ired E

J (5.3)

În continuare vom examina trei cazuri pentru trei tipuri specifice de mecanisme:

Fig.5.3

Pentru mecanismul bielă-manivelă (fig.5.3,a)


76

.

22222

2

13

2

1

22

12

23

22

22

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+

⋅+

⋅=∑

ωωω

ω

ωωω

BS

SO

BSSOred

vmJ

vmJ

vmJvmJJ

(5.4)

Pentru mecanismul bielă-manivelă în V (fig.5.3,b)

)5.5(.

22

222222

2

15

2

1

44

2

1

44

2

13

2

1

22

2

1

22

25

244

244

23

222

222

21

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=⎟

⎟⎠

⎞⋅+

⋅+

+⋅

+⋅

+⋅

+⋅

+⎜⎜⎝

⎛ ⋅=∑

ωωω

ω

ωωω

ωω

ωωω

CS

S

BS

SO

CS

SBSSOred

vmJv

m

vmJv

mJvmJ

vmvmJvmJJ

Pentru mecanismul cu culisă oscilantă din fig.5.3,c (considerând masa patinei 2 neglijabilă):

)6.5(.

222222

2

15

2

1

44

2

1

44

2

1

321

25

244

244

232

211

21

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

=⎟⎟⎠

⎞⋅+

⋅+⎜

⎜⎝

⎛ ⋅+

⋅+

⋅=∑

ωωω

ωωω

ωωωω

CS

SOO

CSSOOred

vmJv

mJJ

vmJvmJJJ

Între momentele de inerţie 1OJ şi

2OJ există următoarea dependenţă exprimată prin formula:

;23 3232 SOSO lmJJ ⋅+=

Dacă considerăm că toate elementele mecanismului sunt corpuri cu aria secţiunii transversale constantă, atunci:

.12

;12

;3

;3

24

23

23

211

4

2

3

2

21

BCS

BOS

BOOO

lmJ

lmJ

lmJ

lmJ

⋅=

⋅=

⋅=

⋅= (5.7)

12. Se ridică diagrama ( )ϕJJ red =∑ ca în fig.5.2,e, pentru simplificare se

poate roti axa φ cu 90° în raport cu poziţia ei de pe diagrama ( ).ϕTT =Δ

13. Din diagramele ( )ϕTT =Δ şi ( )ϕJJ red =∑ se obţine diagrama

Wittenbauer (fig.5.2,f) .⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

∑=Δ redJTT


7714. Se determină:

( )

;212

1max

T

Jtgμ

μδωψ

+= (5.8)

( )

.212

1min

T

Jtgμ

μδωψ

−= (5.9)

Valorile ψmax şi ψmin se determină în grade. 15. Se duc tangente la diagrama Wittenbauer (fig.5.4) sub ψmax şi ψmin,

depuse de la axa orizontală.

Fig.5.4

Aceste drepte se intersectează în punctul arbitrar O’. Acest punct poate fi considerat drept originea sistemului ( )∑JT , , pentru care variaţia lui 1ω în

intervalul maxmin ...ωω corespunde δ stabilit. Deci ( )MO' reprezintă la scară momentul de inerţie suplimentar Vl JJ =sup (al volantului).

Se evidenţiază trei cazuri de determinare pentru VJ : 1) Punctul 'O se află pe desen [ ]2' mkgMOJ JV ⋅⋅= μ , (5.10)

unde MO' - se măsoare de pe desen [mm]. 2) Punctul 'O se află în afara desenului

( )JV tgtg

klJ μψψ minmax −

= sau ( )

.21 δωμ⋅

⋅= T

Vkl

J (5.11)

3) ψmax şi ψmin sunt aproape de 90°:

( ) ( )[ ] [ ].2

21

maxmin mkgtgOqtgOp

J TV ⋅⋅

−= μ

δωψψ

(5.12)


78

16. Se determină dimensiunile volantului. Daca volantul este executat ca în fig.5.5,a se determină Dm – diametrul

mediu [m], b – lăţimea obezii [m], h – grosimea obezii [m] cu formula:

[ ],45 m

JgD V

m χλγπ ⋅⋅⋅⋅⋅

= (5.13)

unde: JV – momentul de inerţie a volantului [kg·m2], g=10 [m/s2] – acceleraţia gravitaţională, γ - densitatea materialului, pentru fonte se poate adopta γ = 7,0·104[N/m3]...7,3·104[N/m3] sau γ =7,8·104[N/m3]...8,0·104[N/m3] – pentru

oţeluri; 3,0...2,0==mD

bλ şi 16,0...12,0==mD

hχ sunt coeficienţi empirici

apreciaţi din practica proiectării; b – lăţimea obezii [m]; h – grosimea obezii [m].

Dacă volantul se execută ca în fig.5.5,b se determină D – diametrul [m] şi b – lăţimea [m] cu formula:

[ ].2,105 m

JD V

λγ ⋅⋅

= (5.14)

Viteza periferică maximă a volantului poate fi calculată cu relaţia:

[ ]./602max smnDDv ⋅⋅

==πω (5.15)

Această viteză este limitată de valoarea forţei centrifuge generate şi care solicită obada la întindere. Literatura tehnică recomandă [ ]smv /30...25max = - pentru volanţi din fontă şi

[ ]smv /100...50max = - pentru volanţi din oţel turnat.

Volanţii sunt utilizaţi nu numai la maşinile de forţă ca atenuatori ai oscilaţiilor. Ei se folosesc frecvent şi la maşini de lucru cum ar fi: pompe sau compresoare cu piston, concasoare, mori, maşini de matriţat, de ştanţat sau pastilat etc. La aceste maşini momentul rezistent maxim acţionează o mică fracţiune de timp din durata unui ciclu, după care maşina motoare are de învins numai un moment rezistent minim, necesar pentru readucerea echipamentului mobil în poziţia iniţială.

Fig. 5.5


795.3 Noţiuni generale privind teoria reglării maşinilor

În cadrul unui ciclu din perioada de regim a unei maşini în funcţiune, energia cinetică şi viteza revin după un timp la aceleaşi valori, producând oscilaţii. În timpul funcţionării unor maşini se pot produce şi oscilaţii neperiodice cauzate de apariţia unor perturbaţii în procesul tehnologic, a unor variaţii ale cuplului rezistent sau ale cuplului motor, cuplări şi decuplări de sarcini etc.

Pentru micşorarea sau anularea efectelor acestor situaţii se iau încă de la proiectare unele măsuri de asigurare a unui regim de mişcare stabil.

Tabelul 5.1 – Valori admisibile ale gradului de neregularitate

Tipul maşinii δ Maşini de ştanţat şi tăiat profile metalice

301

41 ...

Pompe şi suflante 301

201 ...

Gatere pentru industria lemnului şi hârtiei 401

51 ...

Maşini-unelte pentru prelucrarea metalelor 501

301 ...

Concasoare şi mori 501

51 ...

Maşini textile şi maşini tipografice 100

1601 ...

Motoare pentru locomotive 100

1401 ...

Motoare pentru auto-vehicule 300

1180

1 ...

Motoare de avion 1100

1<

Generatoare electrice pentru curent continuu 2001

1001 ...

Generatoare electrice pentru curent alternativ 3001

2001 ...

Atenuarea oscilaţiilor periodice se realizează în mod frecvent cu ajutorul volantului. Masa volantului acumulează energie cinetică atunci când maşina tinde să accelereze şi cedează din energia sa cinetică atuci când maşina tinde să-şi încetinească mersul. Volantul poate avea forma unei roţi cu spiţe sau a unei roţi cu disc (fig.5.5) şi se montează pe arborele principal al maşinii.

Pentru reglarea oscilaţiilor neperiodice ale unor maşini sunt utilizate regulatoare de turaţie care la variaţia vitezei unghiulare acţionează asupra surselor de energie, restabilind echivalenţa necesară între momentul motor şi cel rezistent. În tabelul 5.1 se dau valori admisibile ale gradului de neregularitate δ pentru unele tipuri de maşini.


80 6. ANALIZA CINETO-STATICĂ A MECANISMELOR

6.1 Noţiuni generale

În timpul mişcării în cuplele cinematice ale mecanismului apar forţe, care sunt forţe de reacţiune dintre elementele care intră în contact, făcând parte din categoria forţelor interioare din mecanism. Apariţia în cuplele cinematice a forţelor de reacţiune reprezintă o caracteristică dinamică importantă. Cunoaşterea acestor forţe este necesară pentru calculul de rezistenţă, calculul rulmenţilor, calculul de rezistenţă la oboseală, calcule care sunt importante în faza de proiectare.

Într-o problemă de analiză dinamică se determină în mod obişnuit, parametrii unui punct oarecare al mecanismului sau al fiecărui element cinematic în parte sub acţiunea sarcinilor dinamice (forţele şi momentele care acţionează asupra mecanismului). Există însă şi situaţii când se cer a fi determinate numai forţele de legătură din cuplele cinematice, de tipul reacţiunilor normale. Această ultimă situaţie se rezolvă de cele mai multe ori cu ajutorul ecuaţiilor de echilibru dinamic ale lui d'Alembert, metodă cunoscută şi sub numele de „metodă de analiză cineto-statică”.

Dintre categoriile de sarcini dinamice (forţe şi momente) pot fi enumerate:

- sarcini exterioare: tehnologice, motoare, elastice, de greutate, etc; - sarcini inerţiale: forţe şi momente de inerţie; - sarcini de legătură: reacţiunile din cuplele cinematice, forţele şi

momentele de frecare. Forţele pot fi clasificate şi în funcţie de semnul lucrului mecanic

elementar: ,dtvFdL ⋅⋅= (6.1)

astfel dacă ,0>dL atunci forţa este de tip motor, iar dacă ,0<dL atunci forţa este de tip rezistent.

Expresia lucrului mecanic elementar (6.1) arată că acesta este pozitiv când forţa şi viteza punctului de aplicare formează un unghi ascuţit şi, negativ, când aceşti vectori formează un unghi obtuz. Dintre forţele motoare, când

,0>dL cea mai importantă este forţa motoare dezvoltată de fiecare sursă motoare. Există şi forţe motoare orizontale cum ar fi, de exemplu, forţele de greutate sau cele elastice, care pot avea, într-o fază a mişcării, caracter de forţe motoare şi, în altă fază, caracter de forţe rezistente. În categoria forţelor rezistente intră forţele tehnologice, numite şi forţe de rezistenţă utilă.

În analiza cineto-statică sarcinile tehnologice sunt, în general, cunoscute, calculul lor depinzând de natura procesului tehnologic. Principiul lui d'Alembert, constituind metoda de analiză cineto-statică a mecanismelor, arată că „în orice moment al mişcării, forţele aplicate, forţele de inerţie şi forţele de

6. ANALIZA CINETO-STATICĂ A MECANISMELOR

81legătură se găsesc în echilibru”, adică suma tuturor sarcinilor dinamice trebuie să fie egală cu zero.

Pentru utilizarea acestei metode trebuie cunoscute iniţial sarcinile aplicate şi cele de inerţie. Acest fapt nu este posibil deoarece sarcinile de inerţie, ca şi cele de legătură, depind cauzal de cele aplicate. În această situaţie, sarcinile de inerţie se calculează, în mod aproximativ, adoptând pentru mişcarea relativă dintre elementele cuplelor conducătoare o viteză constantă egală cu viteza nominală a motorului de antrenare. Aceste sarcini de inerţie, determinate în acest mod, nu sunt riguros compatibile cu sarcinile dinamice aplicate. Aceasta înseamnă ca cele trei categorii de sarcini dinamice nu se găsesc în echilibru în orice moment, de aceea sarcinile motoare propriu-zise, care acţionează în cuplele conducătoare, se înlocuiesc cu nişte sarcini dinamice necunoscute numite „sarcini dinamice de echilibrare”. Aceste sarcini dinamice se determină, împreună cu sarcinile de legătură, din ecuaţiile de echilibru dinamic ale lui d'Alembert. Sarcina dinamică de echilibrare se poate interpreta ca fiind acea sarcină (forţă sau moment) ce trebuie dezvoltată de motor pentru a impune mecanismului mişcarea dorită, adică cea considerată în calculul sarcinilor inerţiale. În unele cazuri, dacă sarcina motoare este cunoscută, atunci sarcina dinamică de echilibrare se introduce în locul sarcinii tehnologice.

6.2 Calculul sarcinilor inerţiale

În cazul unui element aflat în mişcare generală plan paralelă, ca de exemplu biela unui mecanism patrulater, sistemul sarcinilor inerţiale se reduce în centrul de masă la un torsor format din următoarele componente:

,⎪⎩

⎪⎨⎧

⋅−=⋅−=εGi

Gi

JMamF (6.2)

unde: iF este forţa de inerţie rezultantă a elementului, m – masa elementului, Ga - acceleraţia centrului de masă, iM - momentul rezultant al forţelor de

inerţie, GJ - momentul de inerţie mecanic al elementului în raport cu o axă care trece prin centrul de masă şi este perpendiculară pe planul mişcării, ε - acceleraţia unghiulară a elementului.

Aşa cum rezultă din relaţia (6.2), forţa de inerţie este un vector cu aceeaşi direcţie cu acceleraţia centrului de masă şi sens opus, iar momentul forţelor de inerţie este un scalar cu semn având sensul opus în raport cu acceleraţia unghiulară fig.6.1 şi fig.6.2.


82 Relaţia (6.2) reflectă sistemul mişcării generale plan paralele. Fiecare

din cele două mărimi, iF sau iM poate deveni egală cu zero în diferite situaţii particulare. Astfel:

00 =⇔= Gi aF - în mişcarea de translaţie uniformă (v=constant )0=⇒ a sau în mişcarea de rotaţie în jurul centrului de masă;

⇔= 0iM elementul are mişcare de translaţie ( 0=ε ) sau în mişcarea de rotaţie uniformă )0tan( =⇒= εω tcons .

În cazul când elementul efectuează o mişcare de rotaţie în jurul unei axe, care nu trece prin centrul maselor (fig.6.2) forţele şi momentele de inerţie pot fi calculate cu relaţia (1) sau se consideră o singură forţă de inerţie care are punctul de aplicare în centrul de oscilaţie k.

Coordonatele centrului de oscilaţie k se determină cu relaţia ,/ ASSASAK lmJll ⋅+= (6.3) unde: lAS - distanţa de la axa de rotaţie A până la centrul maselor S; JS - momentul de inerţie al elementului în raport cu axa, care trece prin centrul maselor S; m – masa elementului.

Dacă elementul efectuează o mişcare uniformă de rotaţie (ε=0), rezultă că momentul forţelor de inerţie .0=iM

6.3 Forţe de legătură

Sunt două categorii: reacţiuni normale (ideale), care acţionează după o direcţie normală la suprafeţele de contact; forţe de frecare, care acţionează după o tangentă la suprafeţele în contact. Atunci când forţele de frecare sunt mult mai mici decât reacţiunile normale, ele se pot neglija, în analiza cineto-statică.

Modul în care reacţionează reacţiunile normale în fiecare cuplă cinematică depinde de construcţia cuplei. Astfel, funcţie de clasa acelei cuple cinematice, mişcările relative eliminate de acea cuplă, pentru elementele între care face legătura, pot fi înlocuite prin reacţiuni. Dacă restricţia este o viteză liniară, atunci înlocuirea mişcării se face printr-o forţă de reacţiune; dacă restricţia este o viteză unghiulară, atunci înlocuirea mişcării se face printr-un moment de reacţiune.

Fig. 6.3 Fig. 6.4


83În cazul mecanismelor plane, se consideră că încărcările (forţele

aplicate + forţele de inerţie) formează un sistem de forţe plan; în această ipoteză, o parte din componentele forţelor de legătură (reacţiuni normale) devin egale cu zero.

Pentru cupla de rotaţie, torsorul de reacţiune este format dintr-o forţă unică, având suportul care trece prin centrul geometric al cuplei. În fig.6.3 este prezentată reacţiunea dintr-o astfel de cuplă (de rotaţie).

Indicii arată: - indicele 1 arată din partea cărui element se exercită reacţiunea; - indicele 2 arată elementul asupra căruia se exercită reacţiunea. Reacţiunea din cupla de rotaţie este formată din două componente (modulul şi direcţia) cu caracter scalar, care reprezintă necunoscutele ce trebuie determinate. Întotdeauna dacă există 12R atunci există şi 21R care are aceeaşi direcţie, mărime şi sens opus .1221 RR −=

Pentru cupla de translaţie, torsorul de reacţiune se reduce, într-un punct oricare de pe axa de translaţie, la o forţă de reacţiune, perpendiculară pe axă şi la un moment de reacţiune (fig.6.4).

Deoarece reacţiunea are direcţia cunoscută, rămâne ca necunoscută mărimea ei. În cupla de translaţie sunt două necunoscute scalare: mărimea reacţiunii şi momentul reacţiunii.

Determinarea reacţiunilor se face din ecuaţiile de echilibru cineto-static, care pot fi ecuaţii de forţe sau de momente. În cazul mecanismelor plane, ecuaţiile de forţe sunt vectoriale, iar cele de momente scalare. Rezolvarea sistemelor formate din ecuaţii de echilibru se poate face prin metode grafo-analitice sau prin metode analitice.

6.4 Analiza cineto-statică a mecanismelor cu metoda planelor

Consecutivitatea determinării reacţiunilor cu ajutorul metodei planelor o vom studia pe un exemplu concret şi anume pentru grupa structurală (Assur) de clasa a 2-a şi ordinul 2 şi specia 1 RRR (fig.6.5).

Presupunem grupa structurală desenată la scară în poziţia din fig.6.5,a, depunem toate forţele şi momentele care acţionează asupra elementelor 2 şi 3. Acţiunea elementelor 1 şi 4 care au fost înlăturate se înlocuieşte cu reacţiunile F21 şi F34, necunoscute fiind modulul şi direcţia acestor reacţiuni. Aceste reacţiuni le descompunem în componentele normale nn FF 3421 , şi componentele

tangenţiale ττ2134 , FF orientate dea lungul şi perpendicular elementelor 2 şi 3,

astfel: ;212121τ

FFFn+= .343434

τFFF

n+=

Valoarea componentelor tangenţiale τ21F şi τ

34F pot fi determinate din ecuaţiile momentelor forţelor în raport cu punctul B, pentru fiecare element în parte.

Pentru elementul 2: .0/ 22221 =⋅+−⋅ hFMABF lμτ


84 Pentru elementul 3: .0/ 33334 =⋅−+⋅− hFMBCF lμ

τ Valorile h2, h3, AB, BC se măsoară pe desen (fig.6.5). Dacă componenta

tangenţială se obţine cu semnul minus, direcţia ei reală este opusă direcţiei adoptate iniţial.

În continuare scriem ecuaţia vectorială a tuturor forţelor care acţionează asupra grupei Assur:

.03434322121 =+++++nn

FFFFFFττ

(6.4) Pentru a putea determina componentele neconoscute nn FF 3421 , construim

planul forţelor (fig.6.5,b), fiecare latură al căruia este proporţională şi paralelă cu o forţă care intră în ecuaţia de echilibru. Cunoscând valoarea forţelor adoptăm un coeficient de scară μF şi trecem toate forţele cunoscute prin acest coeficient de scară. În continuare începând cu punctul a, depunem forţele la scară în conformitate cu relaţia (6.4) vectorii, care reprezintă forţele

ττ343221 ,,, FFFF (fig.6.5,b). Din punctul a, începutul vectorului

τ21F ducem o

linie paralelă lui ,21n

F iar prin extremitatea vectorului τ34F (punctul e) – o linie

paralelă cu n

F 34 . Punctul de intersecţie f obţinut determină componentele normale nF21 şi nF34 .

Săgeţile vectorilor se pun astfel încât planul forţelor să reprezinte un

poligon închis. Astfel din planul forţelor obţinut (fig.5,b) putem obţine valorile reacţiunilor: FfbF μ⋅=21 şi .34 FdfF μ⋅=

Pentru a determina reacţiunea F32 în cupla cinematică B vom analiza condiţia de echilibru a forţelor care acţionează asupra elementului 3:

.032343 =++ FFF În planul forţelor (fig.6.5,b) rezolvarea acestei ecuaţii o obţinem unind

punctele f cu c şi determinăm reacţiunea .32 FfcF μ⋅=


85În continuare în tabelul 6.1 este prezentat pe scurt consecutivitatea

analizei cineto-statice pentru grupele Assur de clasa a 2-a pentru toate cele 5 tipuri de specii (aspecte). Tabelul 6.1 – Analiza cineto-statică a grupelor Assur de clasa a 2-a

Schema grupei Assur

Ecuaţii

Necunoscute

1 (R

RR

)

0)( =∑ iB FM pt elem. 2 ∑ = 0)( iB FM pt elem. 3

0=∑ iF pt grupă

∑ = 0iF pt elem. 3

τ21F τ

34F nn FF 3421 ,

23F (direcţie şi modul)

2 (R

RT)

0)( =∑ iB FM pt elem. 2

0=∑ iF pt grupă

∑ = 0iF pt elem. 2 ∑ = 0)( iB FM pt elem. 3

τ21F

3421 , FF n


3h

3 (R

TR)

0)( =∑ iC FM pt grupă

0=∑ iF pt elem. 2


0)( =∑ iC FM pt elem. 3

τ21F

2321 , FF n


32h

4 (T

RT)

∑ = 0iF pt grupă

0=∑ iF pt elem. 2 ∑ = 0)( iB FM pt elem. 2 ∑ = 0)( iB FM pt elem. 3

3421 , FF


21h

34h

5 (T

TR)


∑ = 0iF pt elem. 2 ∑ = 0)( iA FM pt elem. 2

0)( =∑ iA FM pt grupă

3234 , FF


23h

34h


86 Exemplu 6.1 Să se efectueze analiza cineto – statică cu ajutorul metodei

planelor pentru mecanismul unei maşini-unelte de rabotat (fig.6.6,a), dacă sunt cunoscute: dimensiunile elementelor ];[2,0

1ml AO = ];[55,0 ml AB =

];[5,02

ml BO = ];[8,02

ml CO = ];[05,0 mh = centrele de greutate ale elementelor ];[275,0

2ml AS = ];[4,0

32ml SO = manivela 1 este echilibrată; masele

elementelor ];[101 kgm = ];[202 kgm = ];[243 kgm = ];[505 kgm = masa

pistonului 4 se neglijează; momentul de inerţie ].[13,0 21

mkgJ O ⋅= Viteza şi

acceleraţia unghiulară a manivelei sunt: ],[2,5 11

−= sω ].[5,2 21

−= sε Forţa tehnologică ].[200 NFt = Pentru poziţia dată a mecanismului desenat la scara

,005,0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmm

lμ construim planul acceleraţiilor (fig.6.6,b), pentru care

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

mms

ma

205,0μ .

Să se determine forţa de echilibrare Fech şi reacţiunile în cuplele cinematice.

Fig. 6.6


87Rezolvare: Determinăm forţele de greutate:

];[1,98]/[81,9][10 211 NsmkggmG =⋅=⋅=

];[196]/[81,9][20 22:2 NsmkggmG =⋅=⋅=

];[235]/[81,9][24 233 NsmkggmG =⋅=⋅=

].[490]/[81,9][50;0 2554 NsmkggmGG =⋅=⋅==

Determinăm forţele şi momentele de inerţie: Elementul 1:

].[325,0][5,2][13,0;0 22111 1

NmsmkgJMF Oii =⋅⋅=⋅== −ε Elementul 2:

( ) ];[89/05,0][89][202

2222 2N

mmsmmmkgSmamF aSi =⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅=⋅= μπ

];[503,0][55,0][20121

121; 2222

222 22mkgmkglmJJM ABSSi ⋅=⋅⋅=⋅=⋅= ε

].[65,8][55,0

/05,0][972

2

22

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

=⋅

== sm

mmsmmm

lbn

la

AB

a

AB

BA με

τ

].[35,4][65,8][503,0 2222 2

NmsmkgJM Si =⋅⋅=⋅= −ε Elementul 3:

( )

].[6,11][5,0

/05,0][91

][8,0][24121

121

;[89/05,0][74][24

2

2232333

2

3333

2

23

3

Nmm

mmsmmm

mkglbn

lmJM

Nmm

smmmkgSmamF

BO

aCOSi

aSi

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

×

×⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅=⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅=⋅=

με

μπ

Elementul 4: 04 =iF . Elementul 5:

( ) ].[315/05,0][126][502

555 Nmm

smmmkgdmamF aDi =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅=⋅=⋅= μπ

Forţele de inerţie obţinute le depunem pe desen în centrele de greutate ale elementelor respective, în direcţie opusă acceleraţiilor acestor puncte, iar


88 momentele de inerţie – în direcţie opusă acceleraţiilor unghiulare ale

elementelor respective (fig.6.6,a) În continuare împărţim mecanismul dat în grupe structurale (Assur):

mecanismul de I-a clasă format din elementele (0,1) şi grupele Assur de clasa a II-a formate din elementele (2,3) şi (4,5). Analiza cineto-statică se realizează pentru fiecare grupă structurală în parte şi se începe de obicei cu cea mai îndepărtată grupă faţă de elementul conducător. Cea mai îndepărtată grupă structurală în cazul dat va fi grupa Assur de clasă II, ordinul 2, specia 4 (TRT) formată din elementele (4,5) (fig.6.7,a) construită la coeficientul de scară

.005,0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmm

lμ Elementele înlăturate se înlocuiesc cu reacţiunile F43 şi F50.

În continuare scriem ecuaţia de echilibru pentru grupa Assur (4,5): .0435550 =++++ FGFFF it

În ecuaţia de echilibru sunt necunoscute forţele F50 şi F43, pentru a le putea

determina construim planul forţelor (fig,6.7,b), la coeficientul de scară

.10 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmN

Fμ Astfel forţele din plan vor fi reprezentate prin următoarele

segmente: [ ] ];[2010

200 mm

mmNNF

abF

t =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ];5,3110

3155 mm

mmNNF

bcF

i =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ].4910

4905 mm

mmNNG

cdF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

Din planul forţelor determinăm:

Fig. 6.7


89

[ ] [ ];570105743 NmmNmmdeF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

[ ] [ ].250102550 NmmNmmeaF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

Reacţiunea F45 în cupla cinematică D formată din elementele 4 şi 5 o determinăm din condiţia de echilibru pentru elementul 4 (fig.6.7,c):

,04543 =+ FF de unde rezultă ,4345 FF −= [ ].57045 NF = În continuare determinăm punctul de aplicare al forţei F50 adică distanţa

h50. Din ecuaţia momentelor faţă de puntul D pentru elementul 5 determinăm această distanţă: .05050 =⋅−⋅ hFhFt

[ ] [ ][ ] [ ].04,0

25005,0200

5050 m

NmN

FhF

h t =⋅

=⋅

=

Următoarea grupă structurală pentru care vom efectua analiza cineto-statică

este grupa Assur (2,3), de clasa II, ordinul 2 şi aspectul 1 (RRR) (fig.6.8,a). În punctele A şi O2 depunem reacţiunile F21 şi F30 care acţionează din partea elementelor înlăturate 1 şi 0. În punctul D depunem forţa ,34F determinată anterior dar cu sensul inversat. Reacţiunile 21F şi 30F le descompunem în

componentele normale şi tangenţiale: τ212121 FFF

n+= şi .303030

τFFF

n+=

Componenta tangenţială τ21F se determină din ecuaţia momentelor forţelor

care acţionează asupra elementului 2, faţă de punctul B:

Fig. 6.8


90 0/ 1224221 =⋅++⋅−⋅ hFMhGABF ili μτ ;

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ].9,83110

599005,0/35,454196

/ 1224221

Nmm

mmNmmmNmmmN

ABhFMhG

F ili

=⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−⋅

=

=⋅−−⋅

=μτ

Componenta tangenţială τ30F se determină din ecuaţia momentelor forţelor

care acţionează asupra elementului 3, faţă de punctul B: ;0/ 3423333230 =⋅−⋅+⋅+−⋅ BDFhFhGMBOF ili μτ

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ].290100

5357019898238005,0

6,11

/

2

342333330

Nmm

mmNmmNmmN

mmm

NmBO

BDFhFhGMF ili

=

⋅+⋅−⋅−

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

=⋅+⋅−⋅−

=μτ

Pentru a putea determina componentele normale nF21 şi nF30 scriem ecuaţia

vectorială de echilibru a forţelor care acţionează asupra grupei Assur (2,3): 021212234333030 =++++++++

nii

nFFFGFFGFF

ττ (6.5)

Rezolvând această ecuaţie grafic (construim planul forţelor la coeficientul

de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmN

F 10μ , fig.6.8,b). Pentru a construi planul forţelor trecem

forţele cunoscute prin scara aleasă: [ ] [ ];29

10

29030 mm

mmNNF

abF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

τ

[ ] [ ];5,2310

2353 mm

mmNNG

bcF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ];9,810

893 mm

mmNNF

cdF

i =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ];5710

57034 mm

mmNNF

deF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ];6,1910

1962 mm

mmNNG

efF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ];9,910

992 mm

mmNNF

fgF

i =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ


91[ ] [ ].4,8

10

9,8321 mm

mmNNF

ghF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

τ

După ce planul forţelor a fost construit (fig.8,b) determinăm reacţiunile F30 şi F21:

[ ] [ ];11401011430 NmmNmmkbF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

[ ] [ ].14401014421 NmmNmmgkF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

Reacţiunea F32 se determină din planul forţelor, pe baza ecuaţiei de echilibru a forţelor care acţionează asupra elementului 3:

032343330 =++++ FFFGF i (6.6) Urmărind ecuaţiile (6.5) şi (6.6) observăm că în planul forţelor (fig.6.8,b)

trebuie să unim punctele e şi k, deci

[ ] [ ].13801013832 NmmNmmekF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

În final efectuăm analiza cineto-statică a mecanismului I format din elementele (0,1) fig.6.9,a. Acţiunea elementelor înlăturate le înlocuim cu reacţiunile 12F şi .10F Reacţiunea 10F nu este cunoscută ca modul şi sens, iar

.2112 FF −= Forţa de echilibrare Fech o depunem în punctul A perpendiculară pe manivelă. În continuare scriem ecuaţia de echilibru a momentelor forţelor faţă de punctul O1:

;0/ 11211 =⋅−+⋅ hFMAOF liech μ [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ].70040

5,191440005,0

325,0

/

1

1121 Nmm

mmN

mmmNm

AOhFM

F liech =

⋅+

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−

=⋅+−

=μ

Fig. 6.9


92 Reacţiunea 10F se determină din planul forţelor în conformitate cu

ecuaţia vectorială de echilibru: .0112 =++ GFF ech

Dacă adoptăm coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmN

F 20μ , segmentele care

reprezintă forţele în plan (fig.6.9,b) vor fi: [ ] [ ],3520

700 mm

mmNNF

abF

ech =

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ],9,420

1,981 mm

mmNNG

cdF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

[ ] [ ].7220

144012 mm

mmNNF

bcF

=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

==μ

În continuare din planul forţelor determinăm:

[ ] [ ].1200206010 NmmNmmdaF F =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅=⋅= μ

6.5 Pârghia lui Jukovski

În exemplul de mai sus am observat că asupra mecanismului acţionează o serie de forţe şi momente exterioare. Este evident că, în cazul general, mecanismul nu se va găsi în echilibru. Pentru aducerea mecanismului în stare de echilibru este necesar să aplicăm o forţă de echilibrare echF (în punctul A al manivelei). În continuare vom folosi metoda lui Jukovski pentru determinarea valorii forţei de echilibrare. La o scară arbitrar aleasă se construieşte planul vitezelor pentru poziţia considerată a mecanismului (fig.10) şi se transportă toate forţele exterioare, inclusiv forţa de echilibrare echF şi cuplul de forţe care înlocuiesc momentele de inerţie, rotite prealabil la 90° în sensul acelor de ceasornic în punctele corespunzătoare din planul vitezelor. Apoi se scrie ecuaţia momentelor, în raport cu polul p al planului vitezelor, a tuturor forţelor transportate. Sensul vectorului forţei echF se va determina după calculul numeric, dacă va rezulta o valoare pozitivă , aceasta va însemnă că sensul forţei

echF a fost ales corect. În cazul când va rezulta o valoare negativă, sensul forţei echF va trebui inversat.

Metoda expusă este, evident o metodă generală pentru mecanisme de orice clasă şi de orice ordin.

Exemplu 6.2 Pentru mecanismul reprezentat în fig.6.6 să se determine

forţa de echilibrare echF aplicată în punctul A al manivelei.


93Rezolvare: Construim planul vitezelor la o scară arbitrară (fig.6.10) şi în

punctele respective depunem toate forţele exterioare rotite la 90° în sensul acelor de ceasornic.

Fig.6.10

Momentul de inerţie Mi2 se înlocuieşte cu un cuplu de forţe '2MF şi ''

2MF , depuse în punctele A şi B cu sensul astfel încât să respectăm sensul momentului Mi2:

[ ][ ] [ ].9,7

55,035,42''

2'

2 Nm

NmlM

FFAB

iMM ====

Momentul de inerţie Mi3 se înlocuieşte cu cuplul de forţe '3MF şi ''

3MF depuse în punctele O2 şi C:

[ ][ ] [ ].5,14

8,06,11

2

3''3

'3 N

mNm

lM

FFCO

iMM ====

Momentul de inerţie Mi1 se înlocuieşte cu cuplul de forţe '1MF şi ''

1MF depuse în punctele O şi A:

[ ][ ] [ ].6,1

2,0325,0

1

1''1

'1 N

mNm

lM

FFAO

iMM ====

Scriem ecuaţia momentelor tuturor forţelor în raport cu polul p: ( )

0'142326

'2

5''

2'

313235

=⋅−⋅+⋅+⋅+

+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅++⋅−

paFhFhGhF

hFpcFhFhGpdFFpaF

MiM

MMiitech

( )[ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ].4,6995,104/]5,1046,1379952196

359,7939,7935,1419235468997315200[]

['

14232

6'

25''

2'

323135

NmmmmNmmNmmNmmNmmNmmNmmN

mmNmmNNpaFhFhG

hFhFpcFhGhFpdFFF

Mi

MMMiitech

=⋅−⋅+⋅++⋅+⋅−⋅+⋅+

+⋅+⋅+=⋅−⋅+⋅

+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅+=


94 7. SINTEZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR

PLANETARE

Exemplul 7.1 Sinteza cinematică a mecanismului planetar cu roţi dinţate prin alegerea succesivă a numărului de dinţi.

Condiţii iniţiale: Este dată schema structurală (schema a) a mecanismului planetar cu roţi zero (fig.7.1). Raportul de transmitere ( ) .7,33

1 =Hi Numărul de sateliţi k=3. Abaterea admisibilă a raportului de transmitere

%4=Δ adm (ГОСТ 25022-81). De determinat z1, z2 şi z3.

Rezolvare: La o astfel de condiţionare problema are o mulţime de rezolvări. O variantă admisibilă se poate obţine, aplicând formula lui Willis şi condiţiile suplimentare de sinteză.

1. Formula lui Willis ( ) ( )

1

313

31 11

zzii H

H +=−= .17,31

3

zz

=−⇒

Din condiţia lui Willis am obţinut: .7,21

3 =zz

2. Condiţia angrenării corecte cere ca: .85;17 31 ≥≥ zz Alegem z3 şi z1 ca să fie respectată condiţia. Fie adoptăm z3=86;

.3285,317,2

867,2861

11

3 ≈==⇒== zzz

z

3. Condiţia coaxialităţii: 321 2 zzz =+ ( ) ( ) .2732865,05,0 132 =−=−= zzz

4. Alegem varianta: z1=32; z2=27; z3=86.

5. Se verifică condiţia de vecinătate: 21

2 2sin

zzz

k ++

>π

;866,03

180sinsin =°

=kπ 49,0866,049,0

87322272

21

2 >⇒=++

=++zz

z

Condiţia de vecinătate se respectă.

6. Se verifică condiţia de montaj: ( ) ;111 Ck

pkzi H =⋅+⋅ unde p=0,1,2,3,..., iar

C – număr întreg.

1

31

1

31 1

zzz

zzi H

+=+= .

Fig.7.1

7. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANETARE

95 ( ) ( ) ( )→⋅+=

⋅⋅+⋅⋅+

pkz

pkzzz31

31181

1

131 nu este număr întreg pentru diferite

valori ale lui p. Prin urmare, condiţia de montaj nu se respectă. 7. În aceste condiţii alegem o altă variantă, schimbând cu o unitate numărul de dinţi z1 şi z3:

.87;27;33 321 === zzz Pentru noile valori ale numărului de dinţi condiţia coaxialităţii se respectă

.2723387 ⋅=− 8. Verificăm încă o dată condiţia vecinătăţii:

.866,048,06029

27332272

31

2 <==++

=++zz

z

Condiţia se respectă. 9. Se verifică condiţia de montaj: ( ) ( )

Ck

pk=

⋅⋅+⋅⋅+

331338733 , (k=3), fir p=0 .40

3120 C==⇒

Condiţia de montaj se respectă. 10. Se verifică abaterea raportului de transmitere nominal de la cel real:

.636,3338711

1

3 =+=+=zzureal

Abaterea

%.7,1%1007,3

636,37,3%100 =⋅−

=⋅−

=Δnom

realnom

iii

.%4%7,1 =Δ<=Δ adm Condiţia se respectă. Concluzie: Varianta obţinută (z1=33; z2=27; z3=87) satisface condiţiilor problemei.

Exemplul 7.2 Sinteza cinematică al unui mecanism planetar cu roţi dinţate prin aplicarea metodei factorilor.

Condiţii iniţiale: Este dată schema structurală (schema B) a unui mecanism planetar (fig.7.2) cu roţi zero. Raportul de transmitere ( ) 233

1 =Hi , iar numărul de sateliţi k=3. De

determinat .,,, 3'221 zzzz

Rezolvare: În lipsa unor condiţii suplimentare, problema are o mulţime de rezolvări.

1) Formulai lui Willis


96 ( ) ( ) ( ) )(

133

1133

1 11 HH

HH iiii −=−→−= ;

( ) .22123'2

3

1

213 =−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−

zz

zzi H

.22'2

3

1

2 =⋅zz

zz

2) Numărul 22 exprimat în forma de produs a două fracţii:

.1

111222

111

12

'2

3

1

2 ⋅=⋅⇒=⋅zz

zz

Notăm factorii acestor fracţii prin C cu indicele roţii respective:

'2

3

1

2'2

3

1

2

CC

CC

zz

zz

⋅=⋅ sau '2

3'2

3

1

2

1

2 ;CC

zz

CC

zz

== (1)

Prin urmare numerelor de dinţi:

1

1112

'2

'2

33

11

22

=→

=→=→=→

Cz

CzCzCz

3) Condiţia coaxialităţii: '2321 zzzz −=+ (2)

Din (1) rezultă că:

3

'2

3'2

1

212 ;

CC

zzCC

zz == (3)

4) Înlocuim relaţia (3) în (2):

( ) ( )'23132131

3

'2

331

211 ; CCCzCCCz

CC

zzCC

zz −⋅=+⋅−=+ (4)

Pentru ca relaţia (4) să se transforme în identitatea 1331 zzzz ⋅≡⋅ este necesar să se respecte:

( )( )⎩

⎨⎧

−→+→

'2311

2133

CCCzCCCz

(5)

înlocuind (5) în (3) obţinem: ( )( )⎩

⎨⎧

+→−→

21'2

'2

'2322

CCCzCCCz

(6)

5) Înmulţim partea dreaptă (5), (6) cu un coeficient ,...3,2,1=γ şi înlocuim valorile Ci:


97( )

( )( )( ) γγ

γγγγγγ

3211

201112101111332111

'2

2

1

3

=+⋅=

=−⋅==−⋅==+⋅=

z

zzz

(7)

Observăm că cel mai mic număr de dinţi are roata dinţată γ3'2 =z . Pentru

respectarea angrenării corecte este necesar .18min ≥z Prin urmare ,6≥γ adoptăm .6=γ 6) Obţinem:

18633

12062020606101019863333

'2

2

1

3

=⋅=⋅=

=⋅=⋅==⋅=⋅==⋅=⋅=

γ

γγγ

z

zzz

7) Verificăm corectitudinea calculelor:

2218

19860

120'2

3

1

2 =⋅=⋅zz

zz

. Calculele sunt corecte.

8) Verificăm condiţia de vecinătate: ;120;2

sin 2max21

max ==++

> zzzz

zk

satsatπ

68,086,0;68,0180122

120602120;86,0

3180sinsin >==

++

=°

=kπ .

Condiţia se respectă. 9) Verificăm condiţia de montaj:

( ) ,...3,2,1,0;111 ==⋅+⋅

pCpkk

zu H

( ) .460).0(;4603136023

=⇒==⋅+⋅ Cpp

Condiţia se respectă pentru că C este un număr întreg. Concluzie: Varianta obţinută satisface numărul de dinţi zi şi condiţiile problemei. Exemplul 7.3 Este dată schema structurală (fig.7.3) a unui mecanism de derulare a benzii (de broşare cu bandă continuă), compus din două transmisii planetare cu roţi dinţate unite consecutiv. Condiţii iniţiale: 1. Numărul de sateliţi k=3 în fiecare transmisie; 2. Diametrul tobei de derularea benzii D=0,3[m];


98 3. Viteza benzii v=0,24±0,1[m/s];

4. Mecanismul este acţionat de un motor electric cu rotaţiile n=3000[rot/min]; 5. Roţile dinţate: cilindrice cu dinţi drepţi, coeficientul de înălţime a capetelor dinţilor χ=1, unghiul de angrenare α=20°; 6. Transmisiile planetare au module diferite; 7. Abaterea raportului de transmitere se admite în limitele abaterii vitezei benzii. Se cere: - de determinat numărul zi de dinţi al roţilor; - să se determine vitezele unghiulare ale elementelor şi vitezele liniare în cuplele cinematice; - să se aprecieze valoarea randamentului mecanic.

Rezolvare: 1) Determinăm viteza unghiulară a tobei:

];[6,13,024,022 1−=

⋅== s

Dv

tω

].[31430

300014,330

1−=⋅

== snmot

πω

2) Raportul general de transmitere:

.4

7854119625,196

6,1314

=====t

motgeni

ωω

3) Determinăm abaterea admisibilă a raportului de transmitere alcătuind proporţia:

.066,0.....................01,06,1...................24,0

=⇒⎭⎬⎫

xx

Prin urmare variaţia admisibilă a vitezei bandei 16±0,01[m/s] permite abaterea raportului general de transmitere:

85,725,196 ±== gennom ii 4) Repartizarea raportului de transmitere:

( ) ( )'325

311 HHgen iii ⋅=


99Repartizarea raportului de transmitere se efectuează, pornind de la un şir de condiţii: gabarite minime, tehnologie eficientă de confecţionare, jocul unghiular al arborilor de ieşire, etc. În practica proiectării la repartizarea ugen se ia ca bază condiţia, care se consideră primordială. Pentru cazul dat se porneşte de la următoarele premise: pentru fiecare parte planetară raportul de transmitere să fie în intervalele prescrise şi să se respecte gabaritul minim al transmisiei. Pentru partea planetară 1-2-2'-3-H1 se admite ( ) 453

11 ≤Hi , conform [5]. Adoptăm

prealabil ( ) .5,25311 =Hi Iar pentru partea planetară 5-4-3'-H2, ( ) 8...3'3

25 =Hi conform

[2], atunci ( )( ) 696,7

5,2525,196

311

'325 ===

H

genH i

ii - valoarea se încadrează în limitele

prescrise. 5) Determinăm numărul de dinţi pentru partea planetară 1-2-2'-3-H1 aplicând metoda factorilor.

5.1) Raportul de transmitere:

( ) ( ) ;111'2

3

1

2

'2

3

1

2113

311 z

zzz

zz

zzii H

H ⋅+=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

'2

3

1

215,25zz

zz

⋅+= sau .2

495,24'2

3

1

2 ==⋅zz

zz

5.2) Raportul 2

49 îl prezentăm în formă de factori:

11

249

27

17

17

27

149

21

249

11

249

1

2 ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅==CC

Din aceste 5 variante de raporturi, ce prezintă numărul posibil de

descompunere a raportului 2

49 în produse, selectăm varianta care permite

obţinerea gabaritului minim. Gabaritul minim într-o transmisie cu două trepte poate fi obţinut, dacă

raportul de transmitere în treapta cu turaţii reduse utr (2'-3) să fie puţin mai mare sau egal cu raportul de transmitere (1-2) – treapta cu turaţii mari utm.

În cazul dat cel mai bine acestei condiţii îi corespunde varianta:

.17

27

'2

3

1

2 ⋅=⋅CC

CC

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ==

17;

27

trtm ii

În continuare lucrăm cu varianta selectată. 5.3) Deci:

;27

1

2

1

2 ==CC

zz

17

'2

3

'2

3 ==CC

zz

.7;1;7;2 3'221 ====⇒ CCCC


100 Admitem că ambele trepte au acelaşi modul: m=m12=m2'3. Atunci

condiţia de coaxialitate '2321 zzzz −=+ Exprimăm în continuare z2 , z2' prin

z1 şi z3; ;1

212 C

Czz =

3

'23'2 C

Czz = şi înlocuim în relaţia de mai sus:

,3

'233

1

211 C

Czz

CC

zz −=+ aducând la acelaşi numitor obţinem

( ) ( ).'23133131 CCCzCCCz −⋅⋅=+⋅⋅ Pentru ca egalitatea dată să se transforme în identitate de forma

1331 zzzz ⋅≡⋅ se cere ca:

( )( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+≈−≈−≈+≈

21'2'2

'2322

'2311

2133

CCCzCCCzCCCzCCCz

.

În aceste relaţii simbolul proporţionalităţii ≈ se poate înlocui cu semnul = dacă înmulţim partea dreaptă cu un număr arbitrar q (întreg sau fracţionar), ales în aşa mod ca z1, ... z3 să fie numere întregi şi să satisfacă condiţiei angrenării corecte.

Prim urmare: ( )( )( )( )⎪

⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+==−==−==+=

qqzqqzqqzqqz

9721421771217263727

'2

2

1

3

.

Cel mai mic număr de dinţi 9q are roata z2'. Dacă adoptăm q=2 rezultă că z2'=18. Dar condiţia angrenării corecte cere ca .20'2 ≥z

Dacă adoptăm q=3 atunci 27'2 =z , dar se măresc nejustificat gabaritele

transmisiei. Adoptăm .22,292020'2 ==⇒= qz

Pentru q=2,22 determinăm numărul de dinţi rotunjind până la un număr întreg şi verificăm condiţia coaxialităţii:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

==⋅==⋅==⋅=

209422,2422622,21214022,263

'2

2

1

3

zzz

z

.


101Verificăm condiţia de coaxialitate: 140-20=94+26 – condiţia se

respectă. 5.4) Raportul real de transmitere:

( ) .13342

133291

20261409411

'21

32311 =+=

⋅⋅

+=⋅⋅

+=zzzzi H

5.5) Verificăm condiţia de vecinătate:

;2

sin21

max

zzz

k

sat

++

>π ;942max == zz sat

;866,060sin3

180sinsin =°=°

=kπ

;80,012096

94262942

21

max ==++

=++zz

z sat

80,0866,0 >⇒ - condiţia se respectă.

5.6) Verificăm condiţia de montaj: ( ) ( ) ( ) ( ) .0;31228

3133134226313

111 =+=⋅+⋅⋅

=+⋅⋅

pppk

piz H

Se obţine un număr întreg, condiţia de montaj se respectă. 6) Determinăm numărul de dinţi pentru partea planetară 5-4-3'-H2 prin metoda alegerii succesive a variantelor.

6.1) Precizăm raportul de transmitere ( )'325Hi :

( )( ) .46,74598,7

13/34225,196

311

'325 ≅===

H

genH i

ii

6.2) Raportul de transmitere conform relaţiei Willis: ( ) .46,6146,71

5

'3

5

'3

5

'3'325 =⇒=−⇒+=

zz

zz

zzi H

6.3) Încercăm succesiv diferite variante ale numărului de dinţi în raportul

5

'3

zz

luând în consideraţie condiţia angrenării corecte ,175 ≥z 85'3 ≥z şi

criteriul gabaritului minim al transmisiei, adoptăm .82,1091746,6;17 '35 =⋅=⇒= zz Adoptăm .109'3 =z

6.4) Determinăm z4:

Din condiţia coaxialităţii 462

171092

;2 5'3454'3 =

−=

−=⇒=−

zzzzzz .

Prin urmare obţinem: .109;46;17 '345 === zzz Raportul real de transmitere:

( ) .17126

1710911

5

'3'325 =+=+=

zzi H


102 6.5) Verificăm condiţia vecinătăţii:

.76,06348

4617246866,0;

2sin

45

4 ==++

>⇒++

>zz

zkπ Condiţia se respectă.

7. Precizăm raportul igen pentru întregul mecanism: ( ) ( ) .986,194

17126

13342'3

253

11 =⋅=⋅= HHgen iii

8. Calculăm eroarea raportului de transmitere:

%.1%644,0%10025,196

25,196986,194%100 ≈=⋅

−=⋅

−=

Δ=Δ

nom

nomgen

nomreal i

iii

i

Din cauza ca eroarea este mică putem adopta .19521 == genH ii

9. Determinarea parametrilor cinematici:

9.1) Premise la analiza cinematică Elementele 1, (H1-5), H2 efectuează mişcări de rotaţie pe axa O – O. Sunt

cunoscute deja ω1=314[s-1] şi ].[6,1 12

−= sHω Sateliţii (2 -2') şi 4 efectuează o mişcare compusă dacă ne referim la mişcarea lor, este o mişcare plană la rostogolirea pe roţile centrale fixe 3, 3'.

Rămâne de determinat 2154 ,, ωωωω H= şi vitezele liniare în angrenări cît şi al axei sateliţilor. Notăm punctele respective pe schemă (fig.7.4).

La determinarea parametrilor cinematici sunt necesare dimensiunile geometrice ale roţilor care vor depinde de modul.

Modulul m în prima şi a doua parte planetară a transmisiei va fi diferit. Determinarea m se efectuează după condiţiile de rezistenţă şi nu constituie problema sintezei cinematice. Prin urmare adoptăm condiţional modulul mI al părţii planetare (1-2-2'-3) şi mII al părţii (5-4-3'), iar parametrii cinematici îi determinăm în forma ( )mziHHi ;;;; 112

ωωωωω = ; ( )mjvv HHj ;;;;112

ωωω= . 9.2) Determinăm v,ω . Începem cu roata 1.

],/[082,410314265,05,0 31111 smmmzmrv IIIA ⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅= −ωω

unde: r1 – raza cercului divizor [m], mI – modulul [mm]. Punctul A este comun în angrenarea roţii 1 cu satelitul 2-2', care la

rostogolirea pe roata fixă 3 are centrul instantaneu de rotaţie P1.


103Prin urmare:

( ) ( ) ;105,0 23

2'22'22 ωω ⋅+=+= −zzmrrv IA

( ) ( )[ ].6,71

1094205,0082,4

105,01

332'2

2−

−−=

⋅+⋅⋅

⋅=

+= s

mm

zzmv

I

I

I

Aω

Viteza vB al axei satelitului 2-2': ]./[716,010205,06,71105,0 33

'22'22 smmzmrv IIB =⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅= −−ωωSă considerăm B ca punct de reper pentru verificarea calculelor şi să începem determinarea de la H2:

( ) ( ) ]./[0504,0106,146175,0105,0 33245 smmmzzmv IIIIHIIC ⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅= −−ω

Centrul instantaneu de rotaţie a satelitului 4 este P2. Prin urmare:

].[191,210465,0

0504,0105,0

105,0

133

44

344

−−−

−

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅=

⇒⋅⋅⋅⋅=

sm

mzm

vzmv

II

II

II

C

IIC

ω

ω

Se observă că în raport cu P2: ]./[1008,02 smmvv IICD ⋅=⋅=

În raport cu roata 5: ]./[105,0 3

55 smzmv IID−⋅⋅⋅⋅= ω

Deci ].[85.1110175,0

1008,0105,0

133

551

−−−

=⋅⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅== s

mm

mzv

II

II

II

DH ωω

În raport cu port-satelitul H1: ( ) ( )

]/[711,0

1094265,085,11105,0 3321111'

smm

mzzmrv

I

IIHHHB

⋅≅

≅⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅=⋅= −−ωω

9.3) Determinăm abaterea rezultatelor pentru punctul de reper B:

%.7,0%100716,0

711,0716,0%100' =⋅

⋅

⋅−=⋅

−=Δ

I

I

B

BBB m

mv

vvv

Abaterea la determinarea vB se află în limitele 1% , ce constituie abaterea la determinarea raportului de transmitere. Prin urmare calculele sunt corecte.

10. Aprecierea randamentului mecanic Valoarea randamentului mecanic prin calcule poate fi apreciată

aproximativ, cu neglijarea frecării în cuple, pierderile în baia de ulei, etc. Randamentul va depinde de sensul mişcării, de la roată la port-satelit sau

invers, de numărul angrenajelor. În cazul dat, când transmisia prezintă o unire consecutivă a două

mecanisme randamentul:


104 ( ) ( )'3

253

11 HH ηηη ⋅= .

Raportul de transmitere ( )311Hi şi ( )'3

25Hi sunt mai mari de zero şi mişcarea se transmite de la roţi la port-sateliţi. Conform [6,pag.176] relaţia de calcul va fi:

( )[ ],11111

11 Hn

hH i

i−−= ηη

unde: n1η - randamentul în mecanismul cu rotaţie inversă (portsatelit fix, roţile mobile).

La rotaţie inversă mecanismele planetare se transformă în ordinare (în cazul dat cu două angrenări).

Considerând randamentul 97,0=angrη obţinem 21 97,097,097,0 =⋅=nη .

Atunci pentru întreaga transmisie relaţia va fi:

( )( )( )[ ] ( )

( )( )[ ]( )( ) .89,08949,0

41,731,2641,79409,09409,0131,269409,09409,01

197,011197,011 '325

2'325

311

23

112511

≅=⋅

⋅+−⋅+−

=−−⋅−−=⋅= HH

HH

HH ii

ii

ηηη

Exemplul 7.4 Este dată schema structurală a unui reductor de aviaţie pentru transmiterea mişcării de la motor la două elice ce se rotesc în sens opus (fig.7.5). Problema sintezei cinematice se formulează astfel: 1. Să se determine numărul de dinţi al roţilor pentru raportul de transmitere nominal i=-63,35 de la motor la elice; 2. Elicele să efectueze aceleaşi rotaţii de sens opus; 3. Să se determine numărul posibil kmax de sateliţi; 4. Să se aprecieze randamentul mecanic al reductorului.

Remarcă: 1. Raportul i=-63,65 a fost adoptat după analogie cu raportul de transmitere la reductorul helicopterului de luptă BELL209AH-1W „SuperCobra” [7]. 2. Abaterea raportului de transmiterea real de la cel nominal se admite 5%.


105Rezolvare: 1) Mecanismul în cauză prezintă o îmbinare a două mecanisme planetare: primul - roata 1, satelitul cu coroanele 2-2', roata 4. Deci elementele H, satelitul 2, roata fixă 3 sunt comune pentru ambele mecanisme planetare. Fiecare mecanism are gradul de mobilitate 1. Primul mecanism: elemente mobile 1,2,H; cuple cinematice inferioare -3; cuple cinematice superioare – 2.

.123233 =−⋅−⋅=W Al doilea mecanism posedă: elementele mobile H,2,4; cuple cinematice inferioare – 3; cuplele cinematice superioare – 2, deci W=1.

1.1) Analiza primei părţi planetare, din relaţia lui Willis: ( ) ( ) ;1133

1 =+ HH ii ( ) ( ) ;11

''2

3

1

213

31 z

zzzii H

H ⋅−=−= dar ( ) 35,6331 −=Hi ( semnul - arată

că rotaţia port-satelitului H are sens opus rotaţiei roţii 1), deci

;135,63''2

3

1

2

zz

zz

⋅−=−− ''2

3

1

235,63zz

zz

⋅=⇒ .

Exprimăm 64,35 în formă de fracţie nedivizibilă:

.20

128720764

100356435,64

''2

3

1

2

zz

zz

⋅====

Descompunem această fracţie într-un produs de factori, în diferite variante:

.19

20143;

2143

109;

5143

49;

10143

29

201287

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅→

Selectăm cea mai potrivită variantă, unde raporturile de transmitere să fie aproape aceleaşi (de dorit ca în treapta II să fie mai mare). Din aceste considerente alegem ultima variantă:

.19

20143

''2

3

1

2 ⋅=⋅zz

zz

Notăm: ∫ ==== .1;9;20;143 ''2312 CCCC

.;''2

3

''2

3

1

2

1

2

CC

zz

CC

zz

==

Condiţia coaxialitpţii: .3''221 zzzz +=+

Exprimăm 1

212 C

Czz = şi .

3

''23''2 C

Czz = Înlocuind în relaţia de mai sus

obţinem:

( ) ( )3''213213133

''23

1

211 CCCzCCCzz

CC

zCC

zz +=+⇒+=+ . Pentru ca

această egalitate să se transforme în identitate e necesar, ca: ( ) ( ) ( ).;;);( 21''2''23''2223''2112133 CCCzCCCzCCCzCcCz +=+=+=+=


106 Ca să se respecte condiţia angrenării corecte înmulţim partea dreaptă cu

un oarecare q şi obţinem:

( )( )( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+==+==+==+=

qqzqqz

qqzqqz

16314320114309114320091201467143209

''2

2

1

3

adoptăn q=0,105

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

⇒

1715021

154

''2

2

1

3

zzz

z

.

Verificăm condiţia de coaxialitate:

.1711715417115021 ''2321 =+=+==+=+ zzzz Condiţia se respectă. 1.2) Calculele pentru a doua parte planetară.

Numărul de dinţi pentru roţile 2', 4 se determină din condiţia coaxialităţii şi relaţiei pentru raportul de transmitere ( )3

4Hi :

( )( ) ( ) ;

1

11

11

''2

3

4

'2433

4

34

zz

zzii

i HH

H

⋅−=

−==

Conform condiţiei iniţiale e necesar ca ( ) .134 −=Hi

;21

11''2

3

4

'2

''2

3

4

'2=⋅⇒

⋅−=−

zz

zz

zz

zz

Întocmim sistemul de ecuaţii:

,2''2

3

4

'2

3''24'2

⎪⎩

⎪⎨⎧

=⋅

+=+

zz

zz

zzzz

.7717

1541722

17115417

3

''2

4

'2

4'2

⎪⎩

⎪⎨⎧

===

=+=+

zz

zz

zz


107Din relaţia a doua rezultă ,

1777

'24 zz = înlocuim în prima şi obţinem

3117117771 '2'2 ≅⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + zz iar .140311714 =−=z

1.3) Determinăm numărul kmax de sateliţi. Condiţia de vecinătate:

.2

sin21

max

zzz

k

sat

++

>π

Coroana satelitului cu cel mai mare număr de dinţi este z2=150, deci:

.888,0171152

1502121502

21

max ==++

=++zz

z sat

Condiţia 888,0sin >kπ se respectă pentru k=2, deci numărul kmax=2.

1.4) Verificarea condiţiei de montaj:

( ) ( ) .1311 C

kkpiz H =

+⋅

Exprimăm ( )31Hi în formă de fracţie:

( )

( )( )p

p

pi H

2134

227432

211721

2274321

,...3,2,1,0;1721

22743172115415013

1

+=+

⋅⋅

=⋅

=⋅⋅

−=

.

Observăm că este imposibil de obţinut număr întreg. În aceste condiţii montajul se poate efectua numai cu strângere, ce nu se admite. În asemenea caz se poate de schimbat numărul de sateliţi k=1, dar nu e de dorit (creşterea solicitărilor în angrenaj). Se poate schimba nr. dinţilor z1şi z2; adoptăm z1=22 iar z2=149 (condiţia coaxialităţii se păstrează).

Verificăm condiţia de montaj: ( ) ;

172222572

172215414913

1 ⋅=

⋅⋅

−=Hi


108

( ) ( ) ( )( ) 1128621

3422572

2

211722

22572221311 =+=

+⋅=

+⋅⋅ pp

kkpiz H , pt. p=8

Deci pentru z1=22 şi z2=149 montajul se poate efectua fără strângere rotind port-satelitul de 8 ori. Condiţia de vecinătate se respectă şi pentru nr. schimbat de dinţi.

1.5) Verificăm abaterea raportului de transmitere: ( ) .35,60

1722225723

1 −=⋅

−=Hi

%.7,4%10035,63

35,6035,63=⋅

−=Δ I

Pentru a II-a parte planetară:

( ) .994,0

17154

140311

1

1

1

''2

3

4

'2

34 −=

⋅−=

⋅−=

zz

zziH

Din condiţiile iniţiale ( ) .134 −=Hi %.585,0%100

1994,01

=⋅−

=Δ II

Deci diferenţa între numărul de rotaţii ale elicelor va fi de circa 0,6%.

1.6) Aprecierea randamentului mecanic.

Randamentul mecanic al transmisiei va fi apreciat ca produsul randamentelor ambelor părţi componente:

.41 HH ηηη ⋅=

Conform [6] pentru prima parte planetară ( )( )( )[ ]3113

11 111

HnH

H ii

−−= ηη ,

adoptăm 97,0=η , atunci .9409,097,0 21 ==nη

( ) ( )[ ] .9399,035,6019409,0135,60

11 =−−

−=Hη

( )

( )( )8888,0

111 34

1

34

4 =−−

=H

n

HH

i

i

η

η

( ) ( ) 0058,117154

14031111

''2

3

4

'243

34 −=⋅−=⋅−=−=

zz

zzii H

H

.8353,08888,09399,041 =⋅=⋅= HH ηηη

8. MECANISME CU CAMĂ

1098. MECANISME CU CAME

8.1 Clasificarea mecanismelor cu came

Un mecanism cu camă este format dintr-un element de formă profilată, numit camă, care transmite mişcarea unui element condus, numit tachet, prin intermediul unei cuple superioare. Caracteristica de bază a unui astfel de mecanism, camă-tachet, este aceea că, prin operaţia de sinteză, se poate obţine la elementul condus orice lege de mişcare. La această categorie de mecanisme, sinteza este mult mai importantă decât analiza.

Dezavantajul de bază al mecanismelor cu came constă în existenţa cuplei superioare, de clasa IV, dintre camă şi tachet, care, datorită contactului liniar sau punctiform, conduce la o uzură mai pronunţată a suprafeţelor. De asemenea, tehnologia de fabricaţie a camelor este mai pretenţioasă decât cea utilizată în construcţia mecanismelor cu bare. Mecanismele cu came se utilizează în domenii foarte variate ale tehnicii, ca de exemplu în industria textilă, în cea de procesare a produselor alimentare, în industria constructoare de maşini.

Construcţia mecanismelor cu came este foarte variată, aşa încât şi criteriile de clasificare sunt multiple. Pot fi considerate următoarele criterii de clasificare:

♦ funcţie de tipul mişcării mecanismului, respectiv mişcarea generală, în spaţiu, sau cea particulară, plan-paralelă, există două tipuri:

- spaţiale: cama spaţială provine întotdeauna dintr-un corp de revoluţie; cama poate fi cilindrică, conică globoidală, plană etc. (fig.8.1,g);

- plane: cama şi tachetul se deplasează în acelaşi plan (figurile 8.1,a,b,c,d,e,f);

♦ funcţie de mişcarea camei: - came cu mişcare de rotaţie (cele mai multe dintre came); - came cu mişcare de translaţie (mai rar utilizate); - came cu mişcare oscilatorie (utilizate rar). ♦ funcţie de mişcarea tachetului: - tachet de translaţie; - tachet oscilant; - tachet în mişcare plan paralelă (mai rar utilizat). ♦ funcţie de forma extremităţii tachetului: - tachet cu vârf: are importanţă teoretică; practic nu se utilizează

niciodată (fig.8.1,a); - tachet cu rolă: este utilizat cu preponderenţă deoarece existenţa rolei

asigură rostogolirea la nivelul cuplei superioare (figurile 8.1,b,d,f,g); - tachet cu talpă plană (sau plat): se utilizează în condiţiile de cursă mică

şi cu o ungere foarte bună, deoarece între suprafaţa activă a tachetului, care este


110 plană şi profilul camei se realizează o mişcare de alunecare ce produce

frecare (figurile 8,c,e); - tachet curb sau profilat; ♦ în funcţie de construcţia cuplei superioare: - unilaterală sau deschisă: pentru menţinerea contactului permanent este

necesar să se prevadă un dispozitiv care să genereze o forţă de strângere (figurile 8.1,a,b,c,d,e);

- bilaterală sau închisă: construcţia acestui tip de cuplă se poate face prin introducerea rolei tachetului într-un canal profilat realizat în corpul camei (fig. 8.1,g).

Fig.8.1

8.2 Analiza cinematică a mecanismelor cu came

La analiza cinematică se determină poziţiile, vitezele şi acceleraţiile tachetului, cunoscând profilul camei şi caracteristicile constructive ale mecanismului. Mişcarea camei este, de obicei, uniformă.

Analiza cinematică se poate realiza pe mecanismul real, fie pe mecanismul transformat. În acest ultim caz, pornind de la mecanismul iniţial se ajunge la un mecanism echivalent din punct de vedere structural şi cinematic. În cazul mecanismelor cu came se utilizează câteva transformări tipice:

a) transformarea prin eliminarea rolei: traiectoria pe care se deplasează centrul rolei în mişcarea relativă faţă de camă reprezintă profilul teoretic. Mişcarea tachetului nu se modifică, fie că se sprijină cu ajutorul rolei pe profilul real, fie că se sprijină prin intermediul unui vârf pe profilul teoretic. În acest fel


111analiza mecanismelor prevăzute cu tachet cu rolă se reduce, întotdeauna, la analiza unor mecanisme care au tachet la vârf, indiferent de caracterul mişcării camei sau tachetului.

În figura 8.2 este prezentat un mecanism cu camă-tachet de translaţie, în care tachetul este prevăzut cu o rolă. Prin eliminarea rolei, mecanismul se transformă într-unul în care tachetul este cu vârf. Se observă din figura 8.2 că cele două profile, teoretic şi real, sunt echidistante, distanţa dintre ele, măsurată pe normala comună profilelor, în orice punct, fiind întotdeauna egală şi aceeaşi cu raza rolei.

b) transformarea prin schimbarea bazei de referinţă (metoda inversării):

în cazul cercetării mecanismelor camă-tachet, dar şi în cazul construcţiei profilului camei, pentru simplificarea calculelor se foloseşte metoda inversării. Această metodă constă în faptul că întregului mecanism i se aplică o viteză unghiulară minus ω1 egală ca modul cu viteza unghiulară a camei dar orientată în sens invers. Din această cauză cama rămâne fixă, iar tachetul împreună cu batiul va începe să se rotească cu viteza unghiulară -ω1 în jurul punctului O1. În consecinţă cama este elementul de bază (fix), făcând mobil tachetul şi batiul. Pentru a face utilă această transformare este necesar ca mişcarea relativă dintre camă şi tachet să nu se modifice cu sistemul iniţial.

Această transformare este utilă atât pentru analiză cât şi pentru sinteza mecanismului, deoarece profilul camei nu trebuie reprezentat în mai multe poziţii succesive.

Această transformare poartă numele, în mod curent, ca metoda inversării mişcării. În fig.8.2 este ilustrată această transformare, prin utilitatea măsurării


112 deplasării tachetului, S1, S2, S3, ... Si, fără a fi necesară reprezentarea în mai

multe poziţii ale camei. Funcţionarea unui mecanism cu camă se caracterizează, în general, prin

patru faze de mişcare a tachetului (fig.8.3). - faza de ridicare: are drept parametru geometric caracteristic unghiul de

fază φ1; pentru această fază tachetul se îndepărtează de centrul camei; - faza de staţionare superioară: are drept parametru geometric

caracteristic unghiul de fază φ2; tachetul în această fază se menţine imobil, în poziţie extremă superioară;

- faza de coborâre: are drept parametru geometric caracteristic unghiul de fază φ3; tachetul se apropie de centrul camei;

- faza de staţionare inferioară: are drept parametru geometric caracteristic unghiul de fază φ4; tachetul, în această fază, se menţine imobil, în poziţia extremă inferioară.

°=+++ 3604321 ϕϕϕϕ , (8.1) iar suma Lϕϕϕϕ =++ 321 poartă denumirea de unghi de lucru al mecanismului camă-tachet.

În cazul când mecanismul camă-tachet este prevăzut cu excentricitate unghiurile de fază φ1 şi φ3 nu coincid cu unghiurile analoage pe profilul camei:

BOc∠='1ϕ şi .'

3 dOa∠=ϕ

Din fig.8.3 se vede, că ϕϕϕ Δ−= '11 , iar ϕϕϕ Δ−= '

33 . În decursul următoarelor rotiri ale camei fazele se vor repeta în aceiaşi consecutivitate. Din această cauză este de ajuns de studiat mişcarea mecanismului camă-tachet doar pentru o rotaţie completă a camei. Deplasarea maximă a tachetului în faza de ridicare sau de coborâre poartă denumirea de cursă (h), în cazul tachetului de translaţie sau (ψa), în cazul tachetului oscilant.

În cadrul sintezei se pleacă de la adoptarea legii de mişcare a tachetului şi se determină parametrii constructivi ai mecanismului, terminând cu determinarea profilului camei. Adoptarea legii de mişcare a tachetului, pentru fazele de ridicare şi de coborâre, se face, în general, funcţie de trei criterii: criteriul dinamic, criteriul funcţional şi criteriul tehnologic.

Criteriul dinamic se referă la condiţiile pe care trebuie să le îndeplinească legile de mişcare, aşa încât funcţionarea să fie liniştită, continuă, fără şocuri şi vibraţii. Şocurile, care pot interveni sunt de două tipuri: şocuri dure – se întâlnesc atunci când există discontinuităţi în diagrama acceleraţiilor.

Şocurile dure au consecinţe negative foarte importante, conducând la o calitate defectuoasă a funcţionării şi la distrugerea maşinii. Aceste şocuri dure trebuiesc eliminate în totalitate.

Şocurile moi constituie o sursă de vibraţii şi se manifestă cu atât mai puternic cu cât viteza de funcţionare este mai mare. La viteze mici şi medii de


113funcţionare, şocurile moi pot fi admise în funcţionarea unui mecanism camă-tachet.

Un alt factor important în cadrul criteriului dinamic îl constituie acceleraţia maximă în valoare absolută. Cu cât această acceleraţie este mai mare cu atât forţele de inerţie şi solicitările sunt mai mari.

Criteriul funcţional impune rareori legi de mişcare concrete. Cel mai adesea, din punct de vedere funcţional, sunt impuse cursa şi unghiul de fază. Conform acestui criteriu, legile de mişcare trebuie să corespundă condiţiilor de lucru al maşinii. Procesul de lucru a maşinii cere uneori folosirea unei anumite legi de mişcare. Dacă nu se adoptă respectiva lege de mişcare, calitatea procesului tehnologic realizat poate fi nesatisfăcătoare.

Criteriul tehnologic este legat de prelucrarea camei. Există legi de mişcare mai tehnologice, altele mai puţin tehnologice, în condiţiile realizării profilului cu o anumită precizie. Acest criteriu este important în proiectarea tehnologică.

Problema principală a analizei cinematice pentru mecanismul camă-tachet este determinarea legii de mişcare a tachetului dacă este cunoscută legea de mişcare a camei. Atunci când trecem la analiza cinematică, trebuie să cunoaştem tipul mecanismului, dimensiunile mecanismului, profilul camei, forma tachetului şi legea de mişcare a camei.

Legea de mişcare pentru elementul condus este comod de reprezentat în formă de diagramă (grafic) cinematic S=f(φ).

Graficele ( )ϕϕ

'fddS

= şi ( )ϕϕ

''2

2

fd

Sd= se construiesc uşor cu metoda

diferenţierii grafice. Analiza mecanismului camă-tachet de translaţie o vom face pe un

exemplu concret (fig.8.4,a). Exemplu 8.1 Se dă n1=200[rot/min], rmin=52[mm], rmax=100[mm],

r1=20[mm], raza rolei r=16[mm], excentricitatea e=20[mm], .301 °=∠ dCO Rezolvare: I. Schiţăm mecanismul în poziţie corespunzătoare începutului

fazei de ridicare (fig.8.4,a). Pentru aceasta din centrul camei O1 ducem un cerc cu raza egală cu excentricitatea e=20[mm]. Tangent la acest cerc vom depune o linie verticală y-y, linia, pe care se mişcă tachetul.

Determinăm raza minimă pentru profilul teoretic al camei: ].[68][16][52min0 mmmmmmrrr =+=+=

Punctul de intersecţie dintre raza r0 şi linia y-y de mişcare a tachetului va determina poziţia iniţială a centrului rolei b. Cu centrul în punctul b descriem conturul rolei cu raza r=16[mm]. În continuare după datele problemei construim profilul real al camei.


114

Fig.8.4

II. Construim profilul teoretic al camei echidistant la profilul real. III. Determinăm unghiurile de fază ale camei. Din cauza excentricităţii

unghiurile de fază φ1 şi φ3 nu vor fi egale cu unghiurile respective '1ϕ şi '

3ϕ . Pe desen vom depune punctele a şi b, punctele de intersecţie al profilului teoretic al camei cu cercul de rază r0, şi punctele c şi d – punctele de intersecţie dintre profilul teoretic al camei cu cercul de rază maximă.

Vom nota cu b’ punctul de intersecţie dintre direcţia de mişcare a tachetului linia y-y şi cercul de rază maximă. Astfel obţinem unghiurile de fază

11' ϕ=∠ cOb şi .21 ϕ=∠ dcO Pentru a găsi unghiul de fază 3ϕ prin punctul a ducem o tangentă la cercul de rază e până ce obţinem punctul de intersecţie cu cercul de rază maximă k şi obţinem .31 ϕ=∠ kdO În continuare unghiurile de fază 1ϕ şi 3ϕ le împărţim în sectoare egale, de exemplu 6.


115IV. Prin punctele de divizare obţinute 1,2,3,...,11,12,13 se duc linii tangente la cercul de rază e, astfel încât aceste linii să se afle de aceeaşi parte a camei care se roteşte, ca şi linia de mişcare a tachetului y-y. Punctele de intersecţie ale acestor linii cu profilul teoretic 1’,2’,3’,…. vor determina poziţia centrului rolei în diferite momente ale mişcării.

V. Pentru a determina poziţia reală a rolei în timpul funcţionării mecanismului camă-tachet este necesar ca din punctele 1’,2’,3’,…. să se ducă raze de cerc cu centrul în O1 până la intersecţia cu direcţia de mişcare a tachetului linia y-y. (punctele A0, A1, A2, ...).

După determinarea acestor puncte A0, A1, A2, ... putem construi graficul S=f(φ) (fig.8.4,b). Pentru aceasta în sistemul de coordonate ales pe axa absciselor depunem unghiurile de fază iϕ , iar pe axa ordonatelor – corespunzător acestor unghiuri depunem deplasarea elementului condus (tachetul) cursa Si. Unind cu o curbă punctele obţinute obţinem graficul S=f(φ).

8.3 Legile de mişcare ale mecanismelor cu came

Legile de mişcare pentru elementele conduse se dau de obicei în formă analitică sub formă de ecuaţii, care reprezintă dependenţa parametrilor S, v, a funcţie de timpul t, sau în formă grafică sub formă de diagrame. Deoarece în majoritatea cazurilor din practică cama se roteşte uniform const=1ω , cel mai convenabil este să ne folosim de metoda grafică (diagrame), construite în funcţie de unghiurile de fază φ:

( ) ( ) ( ).'';';2

2

ϕϕ

ϕϕ

ϕ fd

SdfddSfS === (8.2)

unde: 1ωϕϕ

vddt

dtdS

ddS

=⋅= şi .21

2

2

2

2

2

2

ωϕϕa

ddt

dtSd

dSd

=⋅=

Notă: Deoarece mărimile 2

2

,,ϕϕ d

SdddSS derivează una din alta pe grafice ele

trebuie să fie reprezentate la acelaşi coeficient de scară

.2

2 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡==

mmm

SddS

d

Sdμμμ

ϕϕ

În continuare vor fi analizate cele mai întâlnite cazuri ale legilor de mişcare a tachetului şi vor fi prezentate caracteristicile de bază ale acestora.

8.3.1. Legea mişcării uniforme Această lege de mişcare (fig.8.5) presupune existenţa unei viteze

constante de deplasare a tachetului şi, deci, acceleraţia este zero. Dar la începutul şi sfârşitul cursei tachetului are loc schimbarea instantanee a vitezei. Acceleraţia şi forţele de inerţie în aceste puncte teoretic tind la infinit:


116 ∞==

ΔΔ

==→Δ 0

lim0

vtv

dtdva

t şi .∞=−= maFi

Prin urmare în acest caz apare o lovitură cu şoc în timpul funcţionării. Prin urmare această lege de mişcare a tachetului poate fi utilizată pentru mecanismele camă-tachet la viteze şi puteri mici de lucru şi în acele cazuri când conform operaţiilor procesului tehnologic procesului de funcţionare trebuie să i se asigure v=const. Caracteristicile legilor de mişcare sunt prezentate în Tab 8.1.

Fig.8.5

8.3.2. Legea mişcării cu acceleraţie constantă (după parabolă) O caracterizare generală a acestei legi de mişcare conduce (fig.8.6,a) la

concluzia că se înregistrează discontinuităţi la acceleraţie, ceea ce înseamnă că se înregistrează şocuri moi în funcţionarea mecanismului, de aceea este recomandată într-un regim de viteze mici şi medii.

Pentru această lege de mişcare se impune condiţia de evitare a şocurilor dure, deci de evitare a discontinuităţii vitezei în punctele de trecere de la o fază la alta. Pentru aceasta, trebuie ca în punctul iniţial şi în punctul final al fazei, viteza să fie zero.


117În multe cazuri se recurge la micşorarea acceleraţiei negative, pentru a micşora la rândul ei forţa de inerţie pe porţiunea dorită. În acest caz fazele de ridicare şi coborâre se aleg diferite.

vtt

aa

==1

2

2

1 sau .1

2

2

1 vxx

yy

==

Un astfel de grafic este prezentat în fig.5,b.

Fig.8.6

8.3.3. Legea mişcării uniforme modificate Pentru îmbunătăţirea condiţiilor de funcţionare a mecanismului camă-

tachet la v=const este necesar ca curba vitezei sa fie întreruptă. În cazul când viteza se modifică după legea trapezului (fig.8.7,b)

loviturile dure dispar. Astfel putem spune că această lege de mişcare a tachetului este o variantă îmbunătăţită a legii de mişcare uniforme. Dar din cauza că la începutul şi sfârşitul cursei acceleraţia este destul de ridicată (fig.8.7,c), ceea ce duce la apariţia unei forţe de inerţie mari, iar în momentele de acceleraţie şi încetinire este posibilă apariţia loviturilor, şocurilor, vibraţiilor, zgomotului, această lege poate fi folosită, de asemenea, pentru viteze de lucru relativ mici.


118


119


120

8.3.4. Legea variaţiei acceleraţiei după trapez În cazul acestei legi când curba acceleraţiei ia forma unui trapez

(fig.8.8,b), loviturile mici şi medii practic lipsesc, iar valoarea maximă a acceleraţiei este relativ mică în comparaţie cu celelalte legi de mişcare a tachetului, ceea ce permite folosirea ei pentru cazurile când avem nevoie de viteze mari de lucru. Astfel dacă reuşim să obţinem o corelaţie optimă pentru curba acceleraţiei, vom obţine o funcţionare silenţioasă a mecanismului camă tachet.

8.3.5. Legea variaţiei acceleraţiei după cosinusoidă Această lege are o răspândire largă graţie simplităţii constructive.

Curbele deplasării şi vitezei sunt neîntrerupte (fig.8.9,a,b). Curba acceleraţiei (fig.8.9,c) are valori ridicate la începutul şi sfârşitul cursei ceea ce poate duce la apariţia loviturilor mici la viteze de lucru mari. Această lege de mişcare se foloseşte cu preponderenţă la viteze de lucru medii.

8.3.6. Legea variaţiei acceleraţiei după sinusoidă În acest caz toate cele trei curbe deplasare, viteză, acceleraţie

(fig.8.10,a,b,c) sunt neîntrerupte. Prin urmare această lege asigură continuitate, atât la viteze, cât şi la acceleraţii şi de aceea nu produce nici un fel de şocuri. Această lege de mişcare se poate utiliza pentru întreaga gamă de viteze a unei maşini de lucru, respectiv viteze mici, medii şi mari. Un dezavantaj al acestei legi de mişcare constă în faptul că este mai puţin tehnologică, adică prelucrarea camei cere o precizie mai ridicată.

Ordonatele curbei deplasării S=f(φ) se determină prin metode grafice şi cu ajutorul curbei sinusoidale ajutătoare. Raza circumferinţei ajutătoare va fi:

.2πhr =

8.3.7. Legea de mişcare cu gradient constant al acceleraţiei Caracteristicile acestei legi de mişcare sunt analoage cu legea de mişcare

a acceleraţiei după cosinusoidă (fig.8.11,a,b,c). Această lege se foloseşte pentru viteze medii de lucru în combinaţie cu alte legi de mişcare.

8.3.8. Legea variaţiei acceleraţiei după regula triunghiului Caracteristicile acestei legi de mişcare se aseamănă cu legea variaţiei

acceleraţiei după sinusoidă. Această lege de asemenea asigură continuitatea celor trei curbe deplasare, viteză şi acceleraţie (fig.8.12,a,b,c). Şocurile lipsesc, şi această lege o putem folosi pentru viteze mari de lucru. Un dezavantaj ar constitui acceleraţii maximale destul de mari ce duc, de asemenea, la apariţia unor forţe de inerţie destul de mari în comparaţie cu legile 4 şi 6 ceea ce va conduce în condiţii asemănătoare de lucru la sporirea gabaritelor camei.


121Tabelul 8.1 - Caracteristica legilor de mişcare

Valoare maximă Legea de mişcare

Diagrama

( )ϕϕ

''2

2

fd

Sd=

[ ]mvddS

1ωϕ= [ ]ma

dSd

21

2

2

ωϕ=

1. Uniformă

1ϕh

±∞

2a. Parabolică simetrică

1

2ϕh

21

4ϕh

2b. Parabolică nesimetrică

1

2ϕh

( )

( )21

21

12

12

ϕννϕ

ν

h

h

+−

++

3. Uniformă modificată

1

2,1ϕh

21

2,7ϕh

4. Modificare după trapez

1

2ϕh

213

16ϕh

⋅

5. Cosinusoidală

12 ϕπ h⋅

212 ϕ

π h⋅

6. Sinosuidală

1

2ϕh

21

2ϕ

π h

7. Gradient constant

123ϕh

21

6ϕh

8. Modificare după triunghi

1

2ϕh

21

8ϕh

8.4 Unghiul de presiune şi unghiul de transmitere a mişcării în

mecanismul camă-tachet Asupra tachetului acţionează forţa P12 din partea camei. Dacă neglijăm

forţa de frecare, care apare în cupla superioară, forţa P12 va avea sensul normalei la profilul camei în punctul de contact (Fig.8.13). Descompunem forţa P12 pe verticală şi orizontală şi astfel vom obţine forţa utilă θcos12

'12 ⋅= PP ,

care pune în mişcare tachetul şi forţa de frecare θsin12''

12 ⋅= PP .


122 Unghiul ascuţit θ dintre normala la profilul camei în punctul de

contact n-n şi direcţia de mişcarea tachetului poartă denumirea de unghi de presiune. Pentru valori mari ale unghiului de presiune, forţa de frecare este foarte mare astfel încât forţa utilă poate să nu pună în mişcare tachetul, deci mecanismul intră în pană. Unghiul de presiune, când are loc acest fenomen nedorit, poartă denumirea de unghi de presiune critic θcrit. Astfel, în timpul proiectării mecanismelor cu camă trebuie de evitat producerea acestui fenomen negativ şi se impune condiţia ca pentru orice poziţie a mecanismului θ < θcrit. În practică pentru mecanismele camă-tachet cu tachet de translaţie se adoptă θmax=30°, iar pentru mecanismele camă-tachet cu tachet oscilant θmax=45°.

Fig.8.13

Unghiul de presiune θ poate fi exprimat cu ajutorul parametrilor

caracteristici mecanismului camă-tachet:

.22

0

11

iSer

eddS

CBDCDOKO

DBDKtg

+−

−=

+−

==ϕθ (8.3)

Din această relaţie rezultă că pentru legea de mişcare S=f(φ) aleasă mărirea razei r0 va conduce la micşorarea unghiului de presiune θ. În timpul


123proiectării poate fi luat în calcul şi unghiul de transmitere a mişcării γ. Unghiul de transmitere a mişcării γ este unghiul ascuţit dintre tangenta t-t la profilul camei în punctul de contact şi direcţia de mişcare a tachetului. Din fig.8.13 rezultă că, θγ −°= 90 , deci cu cât unghiul γ este mai mic cu atât mai mare este riscul ca mecanismul să intre în pană.

În cazul proiectării mecanismelor camă-tachet de dimensiuni mici trebuie să alegem o rază minimă r0 astfel ca în orice poziţie de lucru mecanismul să nu intre în pană şi unghiul de transmitere a mişcării să satisfacă condiţia γ≥γmin, unde:

.22

0

eddS

Sertg i

±

+−=

ϕ

γ (8.4)

În practică pentru mecanismele camă-tachet cu tachet de translaţie se adoptă γmin=60°, iar pentru mecanismele camă-tachet cu tachet oscilant γmin=45°. Dacă este dată legea de mişcare a tachetului S=f(φ) şi unghiul γmin folosindu-ne de relaţia (8.4) se poate determina raza r0 şi excentricitatea e.

În continuare sunt prezentate 3 exemple de sinteză cinematică pentru cele mai răspândite scheme ale mecanismelor plane cu camă: cu mişcare rectilinie a tachetului cu rolă, cu tachet oscilant şi cu tachet plat.

8.5 Sinteza cinematică al mecanismelor camă-tachet

Exemplul 8.1 De proiectat mecanismul cu camă de dimensiuni minimale cu mişcare rectilinie a tachetului cu rolă, dacă este cunoscut:

1) Schema structurală a mecanismului (fig.8.1,b); 2) Cursa maximă a tachetului h=40[mm]; 3) Unghiurile de fază φ1=144°; φ2=54°; φ3=102°. 4) Unghiul minimal de transmitere a mişcării γmin=60°. 5) Legea de mişcare a tachetului (faza de ridicare – cosinusoidală, faza

de coborâre – parabolică). 6) Cama efectuează o mişcare de rotaţie antiorar cu n1=1500[rot/min]. Rezolvare: I. Construim diagramele de mişcare (Fig.8.14) a tachetului

S=S(φ), S'=S'(φ), S''=S''(φ). În primă fază transformăm unghiurile de fază în radiani:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=°⋅°

=

=°

⋅°=

=°⋅°

=

][78,1180

14,3102

][94,0180

14,354

][51,2180

14,3144

3

2

1

rad

rad

rad

ϕ

ϕ

ϕ


124 Unghiul de lucru φL=φ1+φ2+φ3=2,51+0,94+1,78=5,23[rad].

Adoptăm coeficientul de scară pe axa absciselor μφ=0,05[rad/mm]. Astfel segmentul x, care reprezintă unghiul de lucru pe axa absciselor va fi egal cu:

].[3,10405,023,5 mmx L ===

ϕμϕ

Respectiv segmentele, ce reprezintă unghiurile de fază la scara μφ=0,05[rad/mm], vor fi:

].[6,3505,078,1

];[2,5005,051,2

33

11

mmx

mmx

===

===

ϕ

ϕ

μϕ

μϕ

Conform Tab.8.1 pentru legile de mişcare ale tachetului date în condiţiile problemei vom determina valorile maximale pentru analogii vitezei

max

'ϕddSS = şi acceleraţiei 2

max

2

''ϕd

SdS = .

a) faza de ridicare (legea nr.5)

( )].[2,31

51,24093,4

2''

];[2551,2

4057,12

'

221

2

2

21max

mmhd

SdS

mmhd

dSS

==⋅==

==⋅==

ϕπ

ϕ

ϕπ

ϕ

b) faza de coborâre (legea nr.2)

( )].[5,50

78,14044''

];[4578,14022'

223

2max

23max

mmhd

SdS

mmhd

dSS

=⋅

===

=⋅

===

ϕϕ

ϕϕ

Adoptăm coeficientul de scară pe axa ordonatelor pentru toate cele trei diagrame ]./[001,0''' mmmSSS === μμμ Diagramele S''=S''(φ), S'=S'(φ), S=S(φ) se construiesc, aplicând metode geometrice simple, în baza relaţiilor din Tab.8.1, sau prin metoda integrării grafice. Pentru a obţine la toate graficele acelaşi coeficient de scară în cazul integrării grafice, segmentul arbitrar depus se adoptă conform relaţiei:

].[1 mmhϕμ

=

Cele trei grafice obţinute prin metode geometrice sunt prezentate în figura 8.14.


125

Fig.8.14

II. Determinăm raza de bază r0 şi valoarea excentricităţii e prin metoda grafică (fig.7.15,a). Pentru aceasta în baza graficelor S=S(φ) şi S'=S'(φ) prin excluderea parametrului φ construim graficul S=S(S'). Trasăm axele de coordonate. Din origine pe axa ordonatelor depunem deplasările tachetului conform graficului S=S(φ) la acelaşi coeficient de scară μs. Prin punctele obţinute A0, A1, A2, ... trasăm drepte paralele cu axa absciselor. Pe aceste drepte depunem segmentele S' de pe graficul S'=S'(φ) la acelaşi coeficient de scară μS=μS'=0,001[m/mm]. La faza de ridicare segmentele se depun în direcţia rotirii camei (de la axa ordonatelor spre stânga), iar la faza de coborâre – în direcţie opusă. Unind succesiv vârfurile segmentelor depuse, obţinem curba plană închisă S=S(S'). Ducem tangente la această curbă sub unghiul γmin=60° faţă de axa absciselor S'. Centrul O1 de rotaţie a camei poate să fie orice punct în


126 interiorul zonei haşurate (fig.8.15,a). Dacă în calitate de centru de rotaţie a

camei alegem punctul de intersecţie al celor două tangente obţinem valoare minimă pentru r0, ce satisface condiţiei γ≥γmin. Distanţa de la punctul O1 până la axa ordonatelor prezintă valoarea excentricităţii e la coeficientul de scară μs.

În acest caz obţinem:

].[009,0001,09];[044,0001,044010

memAOr s

=⋅==⋅=⋅= μ

III. În continuare construim (desenăm) profilul camei (fig.8.15,b). 1. Alegem poziţia centrului de rotire a camei O1 şi la coeficientul de

scară μs descriem cercurile de rază r0=44[mm] şi e=9[mm]. 2. Tangent la cercul de rază e trasăm linia de mişcare a tachetului y-y,

conform poziţiei, pe care o are pe diagrama S=S(S'). Punctul de intersecţie A0 dintre dreapta y-y şi cercul de rază r0 va determina poziţia centrului rolei, ce corespunde începutului fazei de ridicare.

3. Din punctul A0 pe linia y-y depunem deplasările tachetului conform graficului S=f(φ). Punctul A6 va determina poziţia centrului rolei, ce corespunde sfârşitului fazei de ridicare.

Fig.8.15


1274. De la dreapta O1A6 în direcţie opusă rotirii camei depunem

unghiurile de fază φ1=144°, φ2=54° şi φ3=102°. 5. Trasăm cercul de rază rmax=O1A6 şi divizăm arcele ce sprijină

unghiurile φ1 şi φ3 în poziţii egale, ce corespund divizării lor pe graficul S=S(φ).

6. Prin punctele de divizare obţinute 1,2,3,4, ... trasăm tangente la cercul de rază e, ţinând cont ca toate tangentele să fie situate de aceeaşi parte faţă de centrul O1 ca şi dreapta y-y (să se respecte condiţia inversării, adică ghidajul se roteşte cu –ω1 în jurul camei fixe).

7. Din centrul O1 cu raze O1A1, O1A2, O1A3, ... ducem arcuri de cerc până la intersecţia cu tangentele respective. Punctele de intersecţie 1', 2', 3' ... reprezintă poziţiile succesive a centrului rolei în mecanismul inversat.

8. Unind punctele obţinute printr-o curbă lină vom obţine traiectoria centrului rolei tachetului sau aşa-numitul profil teoretic al camei.

9. Determinăm raza rolei r. Pentru a evita intersecţia părţilor profilului camei, raza rolei trebuie să fie mai mică decât raza minimă ρmin a centrului de curbură a profilului camei r≤(0,7...0,8)ρmin. Din considerente constructive raza rolei se recomandă să fie mai mică decât raza de bază r0 a camei r≤(0,4...0,5)r0.

Pentru determinarea ρmin procedăm în felul următor: alegem pe partea convexă a profilului teoretic al camei un aşa punct k în care curbura profilului pare să fie cea mai mare. În apropierea punctului k alegem punctele k' şi k'' şi le unim cu punctul k. Din mijlocul coardelor kk' şi kk'' ridicăm perpendiculare şi obţinem punctul de intersecţie M – centrul circumferinţei care trece prin toate cele trei puncte k, k' şi k''. Raza acestei circumferinţe, va fi aproximativ egală cu ρmin. În acest caz obţinem:

3,2717];[17][444,04,0

];[3,27][397,07,0];[39

0

min

min

<=⋅=⋅≤=⋅=⋅≤

=⋅=

mmmmrrmmmmr

mmMk s

ρμρ

Adoptăm în final raza rolei r=15[mm]. 10. Determinăm profilul real al camei, considerând curba echidistantă,

adică curba care se află la distanţa r=15[mm] măsurată pe normală la profilul teoretic.

11. În cazul mecanismului central cu camă (e=0), tangentele trasate la cercul cu rază e se transformă în rate ce trec prin punctul O1 centrul de rotaţie al camei. Celelalte puncte se respectă analog cu cele explicate mai sus.

Exemplul 8.2 De proiectat mecanismul cu camă cu tachet oscilant, dacă

sunt cunoscute: 1) Schema structurală (fig.8.1,d); 2) Unghiurile de fază: φ1=144°; φ2=54°; φ3=102°;


128 3) Deplasarea maximală a tachetului (liniară h sau unghiulară ψ)

h=40[mm]; 4) Lungimea tachetului LCB=80[mm]; 5) Unghiul minimal de transmitere a mişcării γmin=45°; 6) Legea mişcării tachetului: la ridicare – cosinusoidală, la coborâre

parabolică; 7) Cama se roteşte uniform antiorar. Rezolvare: I. Construim graficele mişcării tachetului. Deplasarea liniară a

centrului rolei tachetului ψ⋅= CBlh , unde ψ – deplasarea unghiulară a tachetului în radiani. Construirea diagramelor este analogică exemplului 1 (fig.8.14).

II. Determinăm raza de bază r0 şi distanţa dintre centrele de rotaţie COl 1

prin metoda grafică (fig.8.16,a). Dintr-un punct arbitrar C depunem poziţiile succesive ale tachetului CBl în baza graficului S=f(φ) la coeficientul de scară

.]/[001,0 mmms =μ În lungul fiecărei poziţii a tachetului din punctul B

depunem valorile S' de pe graficul S'=f(φ). Dacă 02

1 >ωω

( altfel spus, dacă

cama şi tachetul au aceeaşi direcţie de rotaţie), segmentele S' se depun din B

spre centrul C de rotaţie a tachetului, iar dacă 02

1 <ωω

, aceste segmente se

depun în sens opus. Din fiecare capăt al segmentului S' se trasează drepte sub unghiul

γmin=45° cu poziţia respectivă a tachetului. Centrul O1 de rotaţie a camei poate să fie orişice punct în interiorul zonei haşurate, iar condiţia minγγ ≥ va fi respectată pentru fiecare poziţie a mecanismului.

Pentru o funcţionare mai eficientă a mecanismului traiectoria mişcării centrului rolei (punctul B) e de dorit să treacă prin centrul de rotaţie a camei, sau în apropierea lui.

În cazul nostru: ].[03,0001,030010 mBOr s =⋅=⋅= μ

Determinăm distanţa între centrele de rotaţie: .][095,0001,09511

mCOl sCO =⋅=⋅= μ III. Construim profilul camei (fig.16,b). 1. Alegem şi depunem pe desen centrele de rotaţie O1 al camei şi C0 al

tachetului. Din centrul O1trasăm cercuri de rază r0=30[mm] şi ][951

mml CO = la scara μs=0,001[m/mm].


129

Fig.8.16

2. Determinăm poziţia centrului rolei tachetului. Din punctul C0 trasăm un arc de cerc cu raza lCB până la intersecţia cu cercul de rază r0. Punctul de intersecţie B0 este centrul rolei tachetului la începutul fazei de ridicare. Din


130 punctul B0 în direcţia rotirii tachetului depunem deplasările centrului rolei

conform graficului S=f(φ) şi obţinem punctele B1, B2, B3 ... 3. De la linia O1C0 în direcţie opusă rotirii camei, depunem unghiurile de

fază φ1, φ2 şi φ3. Arcele de cerc ale unghiurilor de fază φ1 şi φ3 le împărţim în părţi egale în conformitate cu divizarea lor pe diagrame. Punctele obţinute C1, C2, C3, ... prezintă poziţia centrelor de rotaţie a tachetului în mecanismul cu rotaţie inversă.

4. A doua extremitate a tachetului punctul B (centrul rolei) va aluneca pe profilul teoretic al camei. Pentru a obţine poziţiile succesive ale centrului rolei efectuăm următorii paşi: din centrul O1 trasăm arce de cerc cu razele O1B1, O1B2, O1B3, ..., iar din punctele C1, C2, C3, ... cu dimensiune lCB ducem drepte până la intersecţia cu arcele de cerc şi obţinem punctele de intersecţie 1', 2', 3', 4', ... Unind aceste puncte de intersecţie cu o curbă lină obţinem profilul teoretic al camei.

Determinarea razei rolei şi a profilului real este analogică exemplului 1.

].[12304,04,0];[4,29427,07,0

0

min

mmrrmmr

=⋅=⋅==⋅=⋅= ρ

Adoptăm raza rolei r=10[mm]. Exemplul 8.3 De proiectat mecanismul cu camă cu mişcare de translaţie

a tachetului cu profil rectiliniu (tachet plat). 1) Schema structurală a mecanismului (fig.8.1,c); 2) Unghiurile de fază: φ1=114°, φ2=54° şi φ3=102°; 3) Cursa tachetului h=40[mm]; 4) Legea mişcării tachetului (la ridicare - cosinusoidală, la coborâre –

parabolică). 5) Cama se roteşte antiorar. Rezolvare: I. Construim graficele mişcării tachetului S''=f''(φ), S'=f'(φ) şi

S=f(φ) la aceeaşi scară .]/[001,0''' mmmsss === μμμ Construcţia se

efectuează conform metodei expuse în exemplul 1 (fig.8.14). II. Determinăm raza minimală rmin a camei. În mecanismul la care

tachetul are profil rectiliniu unghiul de transmiterea mişcării γ=const (în cazul dat γ=90°). Prin urmare, condiţia γ≥γmin în acest caz este satisfăcută pentru orişice poziţie a camei indiferent de dimensiunile ei. Existenţa tachetului cu profil rectiliniu cere ca profilul camei să fie bombat pe tot conturul altfel spus, să nu fie nici un punct de inflexiune. Profilul bombat al camei va fi respectat dacă raza de curbură pentru orişice poziţie satisface condiţia:

0''min >++= SSr iρ . Din aceste considerente raza minimă rmin a camei cu tachet plat se

determină din condiţia convexităţii profilului (fig.8.17).


131 Există două metode pentru determinarea

rmin. Prima metodă Poartă numele de Metoda lui Gheronimus (fig.8.18,a).

Inegalitatea de mai sus o aducem la

forma min

''1rS

S

i +> , egalând °= 451 tg

obţinem relaţia finită .''45minrS

Stgi +

>°

Această condiţie permite aplicarea unor construcţii grafice din care se poate determina rmin. Eliminăm parametrul φ şi construim graficul S=ψ(S'). Trasăm sub unghiul 45° la axa S tangentă la această curbă pe sectorul unde S'<0.

Centrul O1 de rotaţie a camei poate fi ales oriunde mai jos de punctul de intersecţie a tangentei cu axa S (de obicei cu 10mm mai jos de punctul O).

În cazul dat .][041,0001,04101min mAOr s =⋅=⋅= μ Dacă γ≠90°, atunci γμ sin6min ⋅⋅≥ sOAr . A doua modalitate este prezentată în fig.8.18,b, iar inegalitatea de mai

sus o aducem la forma: ( )''min SSr i +−> ,

din care rezultă, că rmin trebuie să fie mai mare decât maximul negativ al ordonatei graficului sumar:

( )[ ]ϕ;''SSi + . Deci, pentru determinarea rmin construim graficul sumar prin sumare

grafică a diagramelor S=f(φ) şi S''=f''(φ), construite prealabil la aceeaşi scară ''ss μμ = . În acest caz syr μ⋅> maxmin . Unde ymax - valoarea absolută a

ordonatei negative. De regulă, rmin se adoptă cu 10mm mai mare decât sy μ⋅max .

III. Construim profilul camei (fig.18,c). 1. Din punctul O1 trasăm cercuri cu raza rmin şi hrr += minmax

(excentricitatea e=0). 2. Prin centrul de rotaţie O1 trasăm linia de mişcare a tachetului y-y.

Punctele de intersecţie a liniei y-y cu cercurile de rază rmin şi rmax determină poziţia punctului A al tachetului ce corespunde începutului A0 şi sfârşitului A6 pentru faza de ridicare.

3. De la dreapta O1A6 în direcţia opusă rotirii camei depunem unghiurile de fază φ1, φ2 şi φ3. Arcele de cerc care corespund fazei de urcare şi fazei de


132 coborâre sunt împărţite în porţiuni egale. Punctele obţinute 1,2,3, ... sunt

unite cu centrul O1 (din cauză că e=0). Aceste raze prezintă poziţia succesivă a ghidajului în mecanismul inversat.

4. Din punctul A0 în lungul liniei y-y depunem deplasările tachetului, utilizând graficul S=f(φ). Prin punctele obţinute A1, A2, A3, ... din centrul O1 trasăm arcuri de cerc concentrice până la intersecţia cu razele respective. Punctele obţinute 1', 2', 3', ... prezintă poziţia succesivă a punctului A al tachetului în mecanismul cu rotaţie inversă.

5. Prin aceste puncte ducem perpendiculare la razele respective (din cauza că γ=90°). Înfăşurătoarea perpendicularelor prezintă profilul real al camei.

ANEXA 1 – Exemplu de realizare a lucrării de an (Coala I, II)

133



134

ANEXA 1 – Exemplu de realizare a lucrării de an (Coala I, II) 135

1

Mod Coala Nr. Document Semn. Data Elaborat Verificat

Malcoci Iulian

Litera Coala Coli

TMM 000000 MC A’1

Mecanismul moto-compresorului U.T.M.

F.I.M.С.M. MSP-053

28

Rusu Eugen

Aprobat

MEMORIU DE CALCUL (Calcule Coala I)

1. Analiza dinamică a mecanismului conform sarcinii de proiect

Fig. 1.1 Schema cinematică a mecanismului

1.1 Sinteza mecanismului

Analizând schema cinematică a mecanismului (Fig.1.1) şi datele iniţiale din sarcina de proiect, constatăm că nu sunt date dimensiunile manivelei OA şi ale bielei AB. Deoarece Punctele O şi B se află pe aceeaşi verticală, mecanismul bielă-manivelă OAB este central, deci dimensiunea manivelei OA=0,5·H1, unde H1 este cursa pistonului 3.

Poziţia punctului O1 este determinată, dar orientarea axei, pe care se mişcă pistonul compresorului nu este stabilită de condiţiile iniţiale. Poziţia acestei axe va fi adoptată în procesul sintezei grafice a schemei cinematice.

136 Teoria Mecanismelor şi Maşinilor – Îndrumar de proiectare

Coala

Mod Coala N. Document Semnat Data TMM 000000 MC A’1

2

Tabelul 1.1 – Dimensiunile elementelor

Dimensiunea Parametrul

Reală [m] Trecută prin scară [mm]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmm

l 005,0μ

1H 11 5,0 Hll OA ==

a b

112 4 llll AB ⋅=⋅== λ EOl 1

ABAC ll ⋅= 68,0 EODO ll 11 1,2 ⋅=

DOEOED llll 115 +==

EOEF lll 16 4 ⋅== 22 36,0 llAS ⋅=

DOCD lll 14 9,0 ⋅== CDCS ll ⋅= 5,04 EFES ll ⋅= 38,06

DOSO ll 151 25,0 ⋅=

0,625 0,3125

0,460 0,310 1,250 0,230 0,850 0,483

0,713

0,920 0,450 0,437 0,2185 0,3496

0,1207

125 62,5

92 62

250 46

170 97

143

184 90 88 44 70

24

1.2 Analiza structurală a mecanismului

Calculăm gradul de mobilitate a mecanismului

4532 CCnW −−= [1,rel.3.8,pag.26]

Pentru mecanismul dat avem n=7 (elemente mobile 1,2,3,4,5,6,7), C5=10 (cuple cinematice inferioare), C4=0 (cuple cinematice superioare).

O (0,1) – cuplă cinematică de rotaţie; A (1,2) – cuplă cinematică de rotaţie; B (3,0) – cuplă cinematică de translaţie; C (2,4) – cuplă cinematică de rotaţie; S3 (2,3) – cuplă cinematică de rotaţie; D (4,5) – cuplă cinematică de rotaţie; O1 (5,0) – cuplă cinematică de rotaţie; E (5,6) – cuplă cinematică de rotaţie; S7 (6,7) – cuplă cinematică de rotaţie; F (7,0) – cuplă cinematică de translaţie. Din analiza schemei structurale constatăm că elementele 1,5 efectuează mişcări de

rotaţie, elementele 2,4 şi 6 – mişcare plan-paralelă, elementele 3 şi 7 – mişcare de translaţie, iar elementele 0 sunt elemente fixe. Deci, gradul de mobilitate va fi : 1010273 =−⋅−⋅=W .


137

Coala


Împărţim mecanismul în grupe Assur începând cu cele mai îndepărtate elemente

faţă de elementul conducător.

Calculăm gradul de mobilitate pentru lanţul cinematic din figură:

03223 =⋅−⋅=W .

Deoarece 0=W rezultă că lanţul cinematic respectiv este

Grupă Assur formată din elementele mobile 6 şi 7.

Caracteristica grupei Assur (6,7): Clasa II, Ordinul 2, Specia

(Aspectul) 2 – (RRT).

Calculăm gradul de mobilitate pentru lanţul cinematic

următor din figură:

03223 =⋅−⋅=W .

Deoarece 0=W rezultă că lanţul cinematic respectiv este

Grupă Assur formată din elementele mobile 4 şi 5.

Caracteristica grupei Assur (4,5). Clasa II, Ordinul 2, Specia (Aspectul) 1 – (RRR).

Calculăm gradul de mobilitate pentru lanţul cinematic următor

din figură:

03223 =⋅−⋅=W .

Deoarece 0=W rezultă că lanţul cinematic respectiv este Grupă

Assur formată din elementele mobile 2 şi 3.

Caracteristica grupei Assur. Clasa II, Ordinul 2, Specia

(Aspectul) 2 – (RRT).

Calculăm gradul de mobilitate pentru elementul conducător:

11213 =⋅−⋅=W .

Formula mecanismului: I(0,1) → II(2,3) → II(4,5) → II(6,7)

3


138

Coala


1.3 Trasarea schemei cinematice şi caracteristicilor mecanice pe hârtie milimetrică (Format A1)

Pentru a putea desena mecanismul pe hârtie milimetrică (format A1) dimensiunile elementelor trebuie trecute prin scară astfel încât schema cinematică împreună cu diagramele mecanice să ocupe circa 0,25 din suprafaţa coalei A1. Analizând dimensiunile reale ale elementelor [Tabelul1.1, coala 2] adoptăm

coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmm

l 005,0μ şi obţinem dimensiunile elementelor în [mm]

care vor fi depuse pe desen. La trasarea schemei utilizăm metoda intersecţiilor [1]. Ordinea de lucru: - trasăm o axă verticală, pe care la scară depunem dimensiune l1+l2 şi obţinem

poziţia punctului mort exterior 1' şi poziţia cuplei O; - din punctul O cu raza l1 (manivela) trasăm un cerc, traiectoria punctului A; - din punctul de jos al intersecţiei cercului cu axa verticală depunem l2 şi

obţinem 5' – punctul mort interior. Verificăm dacă segmentul obţinut 1'5'=H1 – cursa pistonului;

- din extremităţile diametrului orizontal şi vertical al cercului trasăm prin linii punctate poziţia extremă de stânga şi de dreapta al bielei 2;

- punctul C al bielei descrie în plan o curbă (elipsă în cazul dat); - depunem dimensiunile a, b şi determinăm poziţia punctului O1; - cu cercul în O1 trasăm două arce de cerc cu raza EOl 1 (traiectoria punctului E) şi

raza DOl 1 (traiectoria punctului D); - din punctele obţinute ale curbei bielei cu dimensiunile l4 obţinem punctele de

intersecţie cu traiectoria D. Arcul ∪ 1'5' prezintă anvergura punctului D, respectiv, ∪5'1' este anvergura punctului E.

Prin urmare elementul 5 efectuează o mişcare oscilantă. Verificăm dacă se respectă valoarea υmax ≤ [υadm] a unghiului de presiune piston-

bielă:

,sin6

1max l

l EO=υ °=== 4,142484,0arcsin15338arcsinmaxυ , deci υmax se află în intervalul

admisibil ( ),11...19max °°=admυ conform [4]. După ce am fixat pe schemă poziţia punctelor moarte, dimensiunile elementelor

şi orientarea axelor în 14 poziţii succesive (o poziţie se trasează cu linie groasă, celelalte cu linie subţire ca să nu aglomerăm desenul), trasăm diagramele caracteristicilor mecanice. Începem cu diagrama de indicator al motorului. Trasăm o axa verticală, paralelă cu axa OB şi depunem pe ea cursa pistonului H1. În prelungire (partea de sus) depunem H0 – dimensiunea axială a camerei de comprimare (H0 nu influenţează analiza dinamică, deci o alegem arbitrar). În sistemul de coordonate P-S, după datele din schema 2 (vezi sarcina de proiect), adoptând coeficientul de scară

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmMPa

P 05,0μ , ridicăm diagrama de indicator al motorului Diesel.

4


139

Coala


În mod analog construim şi diagrama de indicator pentru compresor. Pe axa verticală a mişcării pistonului depunem cursa H2 determinată de punctele 1'5', iar în sistemul de coordonate P-S, după datele din schema 3 (vezi sarcina de proiect), adoptând coeficientul de scară ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

mmMPa

P 005,0'μ , ridicam diagrama de indicator

pentru compresor. Diagramele de indicator vor fi utilizate pentru determinarea forţelor motoare şi

de rezistenţă utilă dezvoltate de agregat la faza de regim. Cea mai mare pondere în funcţionarea agregatului o are caracteristica mecanică a motorului Diesel. 1.4 Determinarea forţelor tehnologice

Forţele tehnologice care acţionează în mecanism, le determinăm după diagramele de indicator.

Proiectăm poziţiile succesive ale punctelor Bi pe diagrama de indicator. Pentru 4 curse H1 ale pistonului (2 rotaţii ale manivelei 1) fixăm pe diagramă 28 puncte pentru un ciclu dinamic al motorului Diesel.

În acelaşi mod proiectăm punctele Fi pe diagrama de indicator a compresorului. Spre deosebire de motor, ciclul dinamic al compresorului se încheie la un ciclu cinematic al motorului (o rotaţie a manivelei 1).

Utilizând valorile presiunii de pe diagramă, determinăm forţa care acţionează asupra pistonului în fiecare poziţie.

Forţa care acţionează asupra pistonului se determină cu relaţia:

[ ],4

2NDPF π

⋅= [1, pag. 74]

unde, P [Pa] şi D [m]. Suprafaţa fundului pistonului motorului:

].[19625,04

5,014,34

222

1m

D=

⋅=

π

Rezultatele sunt prezentate în tabelul 1.2. Analogic determinăm forţele după diagrama de indicator al compresorului.

.][0490625,04

25,014,34

222

2 mD

=⋅

=π

Rezultatele sunt prezentate în tabelul 1.3.

5


140

Coala


Tabelul 1.2 – Forţele exercitate de motor la un ciclu dinamic

10

112 5,6

1099

000

18

0 24 0 0 0 0

9 80

,9

4,

04

79

2850

18

0 23 0 0 0 0

8 33

,5

1,

67

32

7737

18

0 22 0 0 0 0

7'

12,1

0,6

1177

50

18

0 21 0 0 0 0

7 11

,3

0,

56

10

9900

18

0 20 0 0 0 0

6 5,3

0,26

51

025

18

0 19 0 0 0 0

CO

MPR

ESIA

5' 2,8

0,14

27

475

18

0

EV

AC

UA

RE

18 0 0 0 0

5 0 0 0 18

0 17 1,

7 0,

08

15

700

0

4 0 0 0 18

0 16 6,

9 0,

34

66

725

0

3 0 0 0 18

0 15

17,7

0,

88

17

2700

0

2' 0 0 0

180 14

37,5

1,

87

36

6987

0

2 0 0 0 18

0 13

39,3

1,

96

38

4650

0

1 0 0 0 18

0 12

75,2

3,

76

73

7900

0

A

DM

ISIA

1' 0 0 0

180

A

RD

ERE

11

112 5,6

1099

000 0

Para

met

rul

P

oziţi

a

Dat

ele

de p

e di

agra

-mă,

mm

Pres

iune

a ap

licată

pist

onul

ui,

MPa

Forţa

, N

Ung

hiul

între

forţă

şi

vite

ză,

°

Para

met

rul

P

oziţi

a

Dat

ele

de p

e di

agra

-mă,

mm

Pres

iune

a ap

licată

pist

onul

ui,

MPa

Forţa

, N

Ung

hiul

între

forţă

şi

vite

ză,

°

6


141

Coala


Tabelul 1.3 – Forţele exercitate de compresor la un ciclu dinamic

10

24) 0 0 0

180

9

(23)

0 0 0 18

0

8 (2

2)

0 0 0 18

0

7' (

21)

0 0 0 18

0

A

BSO

RBŢI

E

7 (2

0)

0 0 0 18

0

DILATARE

6 (1

9)

37

,1

0,

18

88

31,2

18

0

5' (

18)

80 0,

4 19

625

0

R

EFU

LAR

E

5 (1

7)

80 0,

4 19

625

0

4 (1

6)

79

,6

0,

39

19

134

0

3 (1

5)

54

,3

0,

27

13

246

0

2' (

14)

52

,5

0,

26

12

756

0

2 (1

3)

28

,1

0,

14

68

68,7

0

1 (1

2)

8,7

0,04

19

62,5

0

C

OM

PRIM

AR

E

1'

(11)

0 0 0 18

0

PA

RA

MET

RU

L PO

ZIŢI

A

Dat

ele

de p

e di

- ag

ramă,

mm

Pres

iune

a ap

licată

pist

onul

ui,

MPa

Forţa

, N

Ung

hiul

între

forţă

şi

vite

ză,

°

7


142

Coala


1.5 Analiza cinematică prin metoda grafo-analitică (Planului vitezelor)

Pentru a determina momentul sumar redus de forţă redM ∑ şi momentul sumar redus de inerţie redJ∑ în decursul unui ciclu dinamic este necesar de cunoscut parametrii cinematici - toate vitezele liniare şi unghiulare pentru diferite poziţii ale mecanismului. Modul cel mai simplu de a obţine aceste date este aplicarea metodei grafo-analitice de analiză cinematică.

În continuare vom calcula parametrii cinematici, utilizând metoda planului vitezelor [1, pag. 45], pentru poziţia 1. Parametrii cinematici pentru celelalte poziţii ale mecanismului pentru un ciclu dinamic se calculează analog, valorile acestora fiind prezentate în tabelul 1.4.

Analiza cinematică pentru poziţia 1. Analiza propriu zisă o începem cu elementul conducător (manivela 1). Viteza unghiulară: [ ]1

1 6,12530

120014,330

−=⋅

== snπω .

Viteza liniară a punctului A: [ ]smlv OAA /25,393125,06,1251 =⋅=⋅= ω .

Elementul 2, efectuează mişcare plană şi este cuplat cu manivela în A. Considerând A pol, scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului B faţă de A:

)()(// ABvvvyy BAAB ⊥+= . Vectorul subliniat cu două liniuţe este în totalitate definit (cunoaştem modulul şi

direcţia), iar pentru vectorii subliniaţi cu o liniuţă cunoaştem numai direcţia.

În continuare adoptăm coeficientul de scară al vitezelor ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmsm

v/5,0μ , astfel

segmentul pa în planul vitezelor (echivalentul vitezei liniare Av ) va fi:

[ ] [ ]mmmmvpav

A 795,785,025,39

≈===μ

.

Rezolvând grafic ecuaţia vectorială obţinem poziţia punctului b şi observăm că pe planul vitezelor se formează figuri rotite cu 90° asemenea cu figurile de pe schema mecanismului.

Deci: [ ]mm

ABACabac

acab

ACAB 46

25,185,067

≅⋅

=⋅

=⇒= ;

[ ]mmAB

ASabasasab

ASAB 24

25,145,0672

222

≅⋅

=⋅

=⇒= .

Depunem poziţiile punctelor c şi s2 pe segmentul ab al poligonului şi trasăm segmentele pc şi 2ps , care sunt echivalentul vitezelor liniare Cv şi 2Sv .

Trecând prin scara vitezelor aceste segmente obţin modulul vitezelor liniare respective:

[ ]smpcv vC /265,052 =⋅=⋅= μ ; [ ]smpsv vS /315,06222 =⋅=⋅= μ ;

[ ]smvv vBB /255,050 =⋅=⋅= μ ; [ ]smabv vBA /5,335,067 =⋅=⋅= μ .

8


143

Coala


Pentru a determina viteza liniară a punctului D cercetăm elementul 4 care, de asemenea efectuează o mişcare plană. Considerând punctul C ca pol, scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului D faţă de C:

)()( 1 CDvvvDO DCCD ⊥+=⊥ . Rezolvând grafic ecuaţia vectorială determinăm în planul vitezelor poziţia

punctului d echivalentul punctului D din schema mecanismului. Din sarcina de proiect observăm că centrul de greutate S4 se află la mijlocul elementului CD, prin urmare punctul s4 în planul vitezelor se va afla la mijlocul segmentului cd , unind punctele obţinute cu polul planului vitezelor vom obţine segmentele 4ps şi pd care, trecute prin scara vitezelor, sunt:

[ ]smpsv vS /265,05244 =⋅=⋅= μ ; [ ]smpdv vD /5,265,053 =⋅=⋅= μ ;

[ ]smcdv vDC /15,02 =⋅=⋅= μ . Analizând elementul 5 observăm că vitezele liniare ale punctelor D, S5 şi E sunt

proporţionale distanţelor până la centrul de rotaţie O1. Prin urmare poziţia punctelor s5 şi e pe planul vitezelor le determinăm din următoarele rapoarte de asemănare:

[ ]mmDO

SOpdps

pdps

DOSO

14483,01207,053

1

515

5

1

51 ≅⋅

=⋅

=⇒= .

[ ]mmDO

EOpdpe

pdpe

DOEO

25483,0

23,053

1

1

1

1 ≅⋅

=⋅

=⇒= .

În continuare trecând prin scara vitezelor aceste segmente obţin modulul vitezelor liniare pentru punctele respective:

[ ]smpsv vS /75,01455 =⋅=⋅= μ ; [ ]smpev E /5,125,025 =⋅=⋅= μ . Pentru biela 6, vitezele liniare vor fi determinate la fel ca şi pentru elementul 2.

Considerăm punctul E ca pol şi scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului F faţă de E:

)()(// EFvvvyy FEEF ⊥+= . Rezolvând grafic ecuaţia vectorială determinăm poziţia punctelor e şi f pe

planul vitezelor. Poziţia punctului s6 pe segmentul ef o determinăm din raportul de asemănare:

[ ]mmEF

ESefes

efes

EFES

292,03496,066

666 ≅

⋅=

⋅=⇒= .

În continuare, trecând prin scara vitezelor segmentele obţinute obţin modulul vitezelor liniare respective:

[ ]smpfv vF /115,022 =⋅=⋅= μ ; [ ]smefv vFE /5,55,011 =⋅=⋅= μ ;

[ ]smpsv vS /125,02466 =⋅=⋅= μ . Vitezele unghiulare vor fi determinate în felul următor:

[ ]12 4,28

25,15,35 −=== s

ABvBAω ; [ ]1

4 28,2437,01 −=== s

CDvDCω ;

[ ]1

15 8,54

483,05,26 −=== s

DOvDω ; [ ]1

6 97,592,05,5 −=== s

EFvFEω .

9


144

Coala


Tabelul 1.4 – Vitezele liniare şi unghiulare pe parcursul unui ciclu cinematic

10(2

4)

45

22,5

47,7

23

,85

59,6

29

,8

32

16

15

7,5

12,7

6,

35

35

17,5

8 4 14,1

7,

05

27,9

2

47,0

2

33,1

2

4,18

9 (2

3)

75,6

37

,8

73,9

36

,95

74,8

37

,4

56,1

28

,05

27

13,5

25

12,5

62,8

31

,4

14

7 25,9

12

,95

17,0

4

43,1

3

58,0

7

5

8 (2

2)

79,2

39

,6

78,9

39

,45

78,7

39

,35

74,6

37

,3

36

18

35,8

17

,9

76,7

38

,35

19

9,5

35,9

17

,95

1,12

8,12

77,2

2

1,35

7' (2

1)

78,5

39

,25

78,5

39

,25

78,5

39

,25

76,1

38

,05

36

18

35,9

17

,95

77,3

38

,65

19

9,5

35,9

17

,95

0 4,46

87,0

7

0,7

7 (2

0)

61

30,5

64,6

32

,3

70,2

35

,1

94

47

45

22,5

43,4

21

,7

77,1

38

,55

24

12

43,9

21

,95

15,1

2

54,4

6

97,3

7,6

6 (1

9)

32,7

16

,35

41,4

20

,75

57,7

28

,85

69,4

34

,7

33

16,5

25,6

12

,8

46,1

23

,05

17

9,5

28,7

14

,35

26,8

8

77,2

3

71,8

4

11,3

5' (1

8)

0 0 25,5

12

,75

50,5

25

,25

1,1

0,5 0 0 0 0 12,3

6,

15

0 0 0 0 31,4

30,0

9

0 0

5 (1

7)

28,7

14

,35

38,1

19

,05

56,1

28

,05

42,8

21

,4

20

10

14,6

7,

3

40,3

20

,15

11

5,5 17

8,5

27,6

4

8,46

44,3

7,39

4 (1

6)

57,5

28

,75

60,4

30

,2

68,9

34

,45

70,6

35

,3

34

17

30,1

15

,05

65,5

37

,75

18

9 31,9

15

,95

17,0

4

23,9

1

73,0

8

8,96

3 (1

5)

77,7

38

,85

78

39

78,3

39

,15

81,2

40

,6

38,6

19

,3

38,4

19

,2

80,1

40

,05

20

10

38,3

19

,15

1,12

14,8

7

84,0

5

3,64

2' (1

4)

78,5

39

,25

78,5

39

,25

78,5

39

,25

81,3

40

,65

39

19,5

38,9

19

,45

79,7

39

,85

20

10

38,9

19

,45

0

13,8

4

84,1

6

2,93

2 (1

3)

77,7

38

,85

75,9

37

,95

76

38

75,9

37

,95

36

18

35,1

17

,55

75,9

37

,95

20

10

35,6

17

,8

15,1

2

1,71

78,3

3,42

1(12

)

50

25

52

26

62

31

53

26,5

25

12,5

11

5,5 52

26

14

7 24

12

28,4

2,28

54,8

5,97

Poziţii

le m

ecan

ism

ului

(cic

lul c

inem

atic

) 1'

( 11

)

≈79

[mm

] – c

onst

ant

39,3

5 [m

/s] -

con

stan

t

0 0 25,5

12

,75

50,5

25

,25

5,7

2,85

2,7

1,35

2,2

1,1

14,5

7,

25

1,4

0,7

2,4

1,2

125,

6 [s

-1] -

con

stan

t

31,4

25,2

6

5,9

0,81

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

a) în

pla

n, m

m

b) v

al. r

eală

, m/s

v A

v B

v C

v S2

v D

v E

v F

v S4

v S5

v S6

ω 1

ω 2

ω 4

ω 5

ω 6

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmsm

v/

5,0μ PAR

AM

ETR

II

Viteze liniare

Viteze unghiulare

10 10


145

Coala


1.6 Determinarea parametrilor modelului dinamic Pentru determinarea parametrilor de reducere redM ∑ , redJ∑ sistematizăm datele

iniţiale. Calculăm forţele de greutate Gi, şi a momentelor de inerţie iSJ . Valorile 2iρ

le determinăm conform sarcinii de proiect. Adoptăm [ ]2/10 smg = . În tabelul 1.5 sunt prezentaţi parametrii dinamici iniţiali. Tabelul 1.5 – Parametrii dinamici iniţiali

Elementele mecanismului Parametrul

Unitate de

măsură 1 2 3 4 5 6 7

Masa mi (i=1...7) kg 12 15 20 3,5 10 7 12 Moment de inerţie

iiiS mJ ⋅= 2ρ

2mkg ⋅

0,2

3,98 -

0,19

1,27

1,18

-

Forţa de greutate gmG ii ⋅=

N

120

150

200

35

100

70

120

1.6.1 Determinarea momentului sumar redus al forţelor motoare redM ∑

Valorile redM ∑ vor depinde de forţele tehnologice 'tehF dezvoltate de motorul

Diesel şi forţele tehnologice ''tehF dezvoltate de compresor şi de forţele de greutate

Gi, aplicate în punctele mobile ale elementelor. Relaţia pentru determinarea redM ∑ are formula (a), conform [1, rel.5.1,pag. 74]:

( ) ( )⎢⎣⎡ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∑ BtehBtehBBSS

red vFvFvGvGvGvGM ,cos,cos,cos1 ''3222

1ω

( ) ( ) ( )+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ 666555444 ,cos,cos,cos SSSSSS vGvGvGvGvGvG

( ) [ ]mNvGvGvFvF FFFtehFteh ⋅⎥⎦⎤⋅⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⋅+ ,cos,cos 7

'''' ,

sau forma (b):

[ ( ) ( ) +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=∑ BtehtehBS

red vFpapbFvG

papbGvG

papsGlM ,cos,cos,cos

''32

221

( ) ( ) ( )+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+ 6

665

554

44 ,cos,cos,cos SSS vG

paps

GvGpaps

GvGpaps

G

( ) [ ]mNvGpapfGvF

papfF FFtehteh ⋅⎥

⎦

⎤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+ ,cos,cos 7

'''' ,

unde: l1 – dimensiunile elementului de reducere [m]; raportul papki se ia de pe

poligoanele de viteze; unghiurile ( )ikvG, se determină cu ajutorul raportorului de pe poligoane.

Forţele de greutate iG au aceiaşi orientare, deci este suficient de trasat din pol o linie verticală şi în dependenţă de această linie de apreciat unghiul respectiv cu condiţia să alegem acelaşi sens pentru fiecare poziţie orar sau antiorar, în cazul dat am adoptat sensul antiorar.

11


146

Coala


În urma analizei cinematice vitezele liniare şi unghiurile sunt determinate (vezi Tab. 1.4). Deci pentru determinarea redM ∑ se poate aplica forma (a). Poziţia 1:

[ +⋅⋅+°⋅⋅++°⋅⋅+°⋅⋅=∑ 26cos710025cos263500cos2520044cos311506,125

11

redM

[ ]mN ⋅≅°⋅⋅+°⋅⋅+°⋅⋅+ 49,1521805,51200cos5,55,1962202cos1270 . Momentul sumar redus pentru celelalte poziţii se calculează în mod analog,

rezultatele fiind prezentate în Tab. 1.6. Valoarea cosinusului va determina semnul ± al termenului în relaţie. Tabelul 1.6 – Valorile redM ∑ pe parcursul ciclului mecanic

Poziţiile mecanismului (ciclul dinamic)

[ ]mNM red ⋅∑ Dimensiunile pe diagramă [mm]

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=mm

mNM 2500μ

1' 1 2 2' 3 4 5 5' 6 7 7' 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

-111,6 152,49 192,67 2074,28 2123,27 2369,79 1180,16 ≈0

-7584,02 -26762,73 -36897,41 -103432,34 -238709,38 -196932,57

-111,6 147029,49 119170,79 116731,08 55129,52 23008,85 2973,9 ≈0

-7584,02 -26762,73 -36897,41 -103432,34 -238709,38 -196932,57

0 0 0 0 0 0 0 0 -3 -10 -15 -41 -95 -79 0 59 48 46 22 9 1 0 -3 -10 -15 -41 -95 -79

Analizând Tab. 1.6 constatăm că diferenţa valorilor redM ∑ este de ordinul sutelor de mii. Valoarea maximă este [ ]mNM red ⋅−=∑ 38,238709 . Adoptăm în continuare ca această valoare pe diagramă să nu depăşească [ ]mm100 . Determinăm coeficientul de

12


147

Coala


scară [ ][ ]

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=⋅

==∑

mmmN

mmmN

mm

M red

M 09,2387100

38,238709100

maxμ . Adoptăm coeficientul de

scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=mm

mNM 2500μ . Valorile redM ∑ trecute prin scară sunt prezentate în Tab. 1.6.

1.6.2 Determinarea momentului sumar redus de inerţie redJ∑ Acest parametru va depinde numai de masele elementelor mobile şi de

parametrii cinematici ikv , jω . Din cauză că masele im sunt constante, iar vitezele liniare iSv şi unghiulare jω variază numai pe parcursul ciclului cinematic este suficient de determinat valorile redJ∑ numai pentru acest ciclu. Relaţia de calcul în formă generală va fi, conform [1, rel. 5.2,pag. 75]:

[ +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∑

2

1

44

2

1

44

2

13

2

1

22

2

1

22

2

1

11 ω

ωωωω

ωωω

ωS

SBS

Sred Jv

mv

mJv

mJJ

[ ]22

17

2

1

66

2

1

66

2

1

55

2

1

55 mkg

vmJ

vmJ

vm F

SS

SS ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ωωω

ωωω

ω,

sau, prezentată într-o formă mai comodă pentru calcul: ( ++++++++=∑

255

255

244

244

23

222

2222

11

1 ωωωω SSSSBSS

red JvmJvmvmJvmJJ

) [ ]227

266

266 mkgvmJvm FSS ⋅+++ ω .

Poziţia 1 ( +⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+=∑

2222221 28,219,0265,325204,2898,33115

6,12512,0redJ

) [ ]222222 44,25,51297,518,11278,5427,1710 mkg ⋅≅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+ . La fel calculăm redJ∑ şi pentru celelalte poziţii, rezultatele fiind prezentate în Tab. 1.7.

Tabelul 1.7 – Valorile redJ∑ pe parcursul ciclului cinematic şi dinamic

Poziţiile mecanismului [ ]2, mkgJ red ⋅∑

Dimensiunile pe diagramă, [mm]

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ ⋅=

mmmkg

J

205,0μ

1' 1 2 2' 3 4 5 5' 6 7 7' 8 9 10

1,07 2,44 4,76 5,06 5,01 3,54 1,74 1,07 2,40 4,40 5,00 4,91 4,02 2,04

22 49 95 101 100 71 35 22 48 88 100 98 80 41

13


148

Coala


1.7 Elaborarea diagramelor 1.7.1 Diagrama momentului sumar redus ( )ϕMM red =∑

Unghiul de rotaţie φ la un ciclu dinamic va fi 4π. Alegem un aşa coeficient de scară μφ ca diagrama desfăşurată după axa orizontală φ, să fie de o dimensiune suficientă, comodă pentru lucrul grafic de mai departe. În cazul dat fixăm intervalul de 250 [mm] pentru unghiul 4π, prin urmare:

[ ][ ]

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

⋅==

mmrad

mmrad

mm05024,0

25014,34

2504πμϕ .

Adoptăm coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmrad05,0ϕμ .

Utilizând scara aleasă divizăm segmentele pe diagrama M=M(φ) în conformitate cu poziţiile mecanismului şi obţinem pe axa φ toate poziţiile 1', 1, 2, 2', ... , 24. Din punctele respective depunem ordonatele pentru ][, mmM red

∑ , (Tab. 1.6) şi obţinem diagrama momentului motor ( )ϕMM red =∑ în forma unei curbe frânte.

1.7.2 Diagrama lucrului ( )ϕAA =

Prin integrarea grafică a curbei frânte ( )ϕMM red =∑ obţinem diagrama lucrului mecanic Amot al momentului red

motM ∑ . Coeficientul de scară pentru lucru îl calculăm conform [1, pag. 75]:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ⋅

⋅=⋅⋅=mm

mNmmrad

mmmNmmH MA 500005,0250040ϕμμμ .

Unind începutul şi sfârşitul curbei frânte Amot cu o dreaptă oblică, obţinem diagrama lucrului mecanic al forţelor de rezistenţă Arez.

Pentru a obţine diagrama momentului forţelor de rezistenţă pe diagrama ( )ϕMM red =∑ din polul H ducem o dreaptă paralelă cu dreapta Arez până la intersecţia

cu axa verticală, şi din punctul de intersecţie ducem o dreaptă orizontală care va reprezenta diagrama momentului forţelor de rezistenţă Mrez.

1.7.3 Diagrama variaţiei energiei cinetice ΔT

Variaţia energiei cinetice rezmot AAT −=Δ . Pentru fiecare punct i (i=1',...,24) determinăm [ ]mmyyy reziAmotiAiT −= , unde miAriA yy , sunt ordonatele de pe diagramele

( )ϕAA = cu respectarea semnului „+” sau „-”. După datele iTy trasăm curba frântă ( )ϕTT =Δ , care prezintă variaţia energiei

cinetice pe parcursul ciclului dinamic. Pentru a evidenţia această variaţie modificăm coeficientul de scară Tμ :

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ⋅

===mm

mNAT 2500

25000

2μ

μ .

14


149

Coala


1.7.4 Diagrama momentului de inerţie redus redJ∑

Axa absciselor φ pentru această diagramă va fi rotită cu 90° comparativ cu

poziţia ei precedentă. Şi în cazul dat coeficientul de scară va fi ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmrad05,0ϕμ . Pe

axa ϕ depunem puntele i=1', ... , 24 ce corespund unui ciclu cinematic. Pe axa ordonatelor depunem pentru fiecare poziţie în parte momentele de inerţie

sumare redJ∑ trecute prin scara ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⋅=

mmmkg

J

205,0μ , valorile sunt prezentate în Tab. 1.7,

curba frântă obţinută va reprezenta diagrama redJ∑ .

1.7.5 Diagrama energie-masă (Wittenbauer) Folosind diagramele ( )ϕJJ red =∑ şi ( )ϕTT =Δ vom construi diagrama

Wittenbauer. Din fiecare punct al diagramelor respective vom duce verticale din diagrama ( )ϕJJ red =∑ şi orizontale din diagrama ( )ϕTT =Δ punctele de intersecţie obţinute unite succesiv între ele vor reprezenta o curbă frântă care este diagrama energie-masă. Axa φ fiind eliminată, curba obţinută va fi determinată de coordonatele (axele) T şi redJ∑ .

Această diagramă este utilizată pentru determinarea aproximativă a parametrilor geometrici ai volantului.

1.8 Determinarea parametrilor geometrici ai volantului

Determinăm unghiul ψmin şi ψmax:

( )156,0

25002

05,090116,125

21

221

min =⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅

⋅−=

T

Jtgμ

μδωψ ; [1, rel. 5.8,pag. 76]

°= 8,8minψ .

( )159,0

25002

05,090116,125

21

221

max =⋅

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⋅+

=T

Jtgμ

μδωψ ; [1, rel. 5.9,pag. 76]

°≅°= 906,9maxψ . Sub aceste unghiuri trasăm două tangente la diagrama Wittenbauer. Tangentele

au intersectat axa ordonatelor în puntele k şi l, segmentul kl=122 [mm]. Momentul de inerţie îl calculăm:

( )][05,1740

90/16,1252500122 2

221

mkgkl

J TV ⋅=

⋅⋅

=⋅⋅

=ρωμ . [1, rel. 5.11,pag. 77]

La motoarele cu ardere internă volantul se confecţionează în formă de disc. Conform [1,rel.5.11,pag.78] diametrul volantului va fi:

[ ]mJ

D V52,10λγ ⋅⋅

= ,

15 15


150

Coala


unde: 3,0...2,0==Dbλ . Adoptăm 3,0=λ , iar [ ]33 /108,7 mkg⋅=γ - densitatea oţelului,

deci:

[ ]mD 49,13,0780005,17402,10

5 =⋅

⋅= . Adoptăm [ ] [ ]mmmD 15005,1 == .

Grosimea volantului [ ]mmb 45015003,0 =⋅= . În continuare verificăm dacă viteza liniară a punctelor de pe obada discului nu

depăşeşte viteza critică [ ]smv /100...50max = , conform [1,pag.78].

[ ]smDv /2,942

5,16,1252

1 =⋅

=⋅

=ω - condiţia se respectă.

1.9 Constatări şi comentarii

În rezultatul proiectării dinamice au fost stabiliţi parametrii volantului – element suplimentar în formă de disc, confecţionat din oţel cu un moment de inerţie

[ ]21740 mkgJV ⋅≅ , diametrul 1300 [mm] şi grosimea 450 [mm]. Instalat pe axa arborelui manivelei volantul va asigura la faza de regim gradul

de neregularitate 901

=δ , stabilit de sarcina de proiect.

Pentru confirmarea veridicităţii rezultatului obţinut vom apela la practica proiectării motoarelor cu ardere internă. Conform [5], pentru calculele aproximative ale diametrului volantului este recomandată o relaţie empirică:

( )SD 3...2= , unde: S – cursa pistonului în [m].

Pentru motorul dat: ( ) ( ) [ ] [ ] [ ]mmmSDmed 87,1...25,1625,03...23..2 =⋅== ,

deci rezultatul obţinut prin metoda proiectării dinamice este veridic.

16


151

Coala


MEMORIU DE CALCUL (Calcule Coala II)

2. Analiza cineto-statică a mecanismului 2.1 Formularea problemei

Pe parcursul funcţionării agregatul mecanic este solicitat de un sistem de forţe. La forţele exterioare se referă forţele motoare, Tab. 1.2 şi Tab. 1.3, forţele de greutate Tab. 1.5. În prima parte a proiectului au fost determinaţi parametrii volantului, care se instalează pe axa manivelei 1. Deci, la forţa de greutate a manivelei G1 trebuie de sumat şi forţa de greutate a volantului, care va acţiona în cupla cinematică O:

[ ]NbDVGV 37,619957800045,04

5,114,34

22=⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=⋅= γπγ .

Prin urmare în cupla cinematică O va acţiona forţa de greutate: [ ]NGGG V 62115619951201

'1 =+=+= .

Din cauza mişcării neuniforme a elementelor se ivesc sarcini de inerţie, care au efectul de forţe şi momente de forţă.

Forţele exterioare şi sarcinile de inerţie care duc la apariţia reacţiunilor în cuplele cinematice.

Reacţiunile în cuplele cinematice, la fel ca şi forţele de frecare sunt forţe interioare în raport cu întregul agregat, însă sunt forţe exterioare în raport cu fiecare element, care intră în componenţa unei cuple cinematice.

Problema analizei cineto-statice o formulăm astfel: - pentru o poziţie a mecanismului de determinat reacţiunile în cuplele cinematice

şi forţa de echilibrare. Frecarea în cuple se neglijează. Problema se rezolvă pe cale grafo-analitică, prin aplicarea metodei cineto-statice

(principiul lui D'Alambert). Reacţiunile în cuple se determină pentru o poziţie arbitrară a mecanismului.

Alegem poziţia 7 a mecanismului, unde forţele tehnologice sunt considerabile. Forţele exterioare (tehnologice şi de greutate) sunt cunoscute. Pentru

determinarea sarcinilor de inerţie sunt necesare acceleraţiile punctelor şi elementelor, care le vom determina prin metoda poligoanelor.

2.2 Determinarea acceleraţiilor (Planul acceleraţiilor)

Pe coala 2 de hârtie milimetrică (Format A1) construim mecanismul în poziţia 7

la coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmm

l 005,0μ .

Calculăm acceleraţia punctului A al manivelei 1, care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului O:

[ ]2221 /49303125,06,125 smOAaa n

AA ≅⋅=⋅== ω .

17


152

Coala


Adoptăm coeficientul de scară pentru acceleraţie ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmsm

a

2/20μ şi din polul

acceleraţiei π depunem segmentul orientat [ ]mma 247' =π coliniar cu OA şi orientat de la A spre O.

Pentru a determina acceleraţia punctului B scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului B faţă de punctul A:

( ) ( )ABaaaaxx BAnBAAB ⊥++=

τ// .

Acceleraţia nBAa este complet cunoscută: este coliniară cu AB, este orientată de la

B spre A şi are modulul egal cu:

[ ]2222

222

2

/76,28525,112,15 smABAB

ABABv

a BAnBA =⋅=⋅=

⋅== ωω , care trecută prin scara

acceleraţiilor, vom obţine segmentul [ ]mmna 14' 1 = în planul acceleraţiilor. Pentru acceleraţia τ

BAa se cunoaşte suportul, care este perpendicular pe AB, iar pentru Ba suportul este paralel cu dreapta y - y.

Rezolvând grafic ecuaţia vectorială determinăm poziţia punctului b' pe planul acceleraţiilor.

Poziţia punctelor s2 şi c pe planul acceleraţiilor le determinăm din următoarele rapoarte de asemănare:

[ ]mmAB

baASas

basa

ABAS

8025,1

9,22045,0''''

' 22

22 ≅⋅

=⋅

=⇒= ;

[ ]mmAB

baACcabaca

ABAC 150

25,19,22085,0''''

''''

≅⋅

=⋅

=⇒= .

Pentru elementul 4 considerăm punctul C drept pol şi scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului D faţă de C:

( )CDaaaaa DCnDCCD

nD ⊥++=+

ττ .

Acceleraţia nDa este complet cunoscută: este coliniară cu O1D, este orientată de la

D spre O1 şi are modulul egal cu:

[ ]221

25

1

21

25

1

2

/7,4572483,03,97 smDODO

DODO

va D

D =⋅=⋅=⋅

== ωω .

Acceleraţia nDCa este complet cunoscută: este coliniară cu CD, este orientată de la

D spre C şi are modulul egal cu:

[ ]2224

224

2

/09,1296437,046,54 smCDCD

CDCDv

a DCnDC =⋅=⋅=

⋅== ωω .

Trecute prin scara acceleraţiilor în planul vitezelor vom obţine segmentele [ ]mmn 2292 ≅π şi [ ]mmnc 65' 3 ≅ .

Pentru acceleraţia τDCa cunoaştem că are suportul perpendicular pe CD, iar τ

Da are suportul perpendicular pe O1D, deci ne rămâne să rezolvăm grafic ecuaţia vectorială pentru a determina poziţia punctului d'.

După aflarea punctului d' găsim punctul s4 la jumătatea segmentului c'd', iar poziţia punctelor s5 şi e' le determinăm cu ajutorul rapoartelor de proporţionalitate:

18


153

Coala


[ ]mmDO

dSOs

DOSO

ds

59483,0

2,2351207,0'' 1

515

1

515 ≅⋅

=⋅

=⇒=π

πππ ;

[ ]mmDO

dEOeDOEO

de 112

483,02,23523,0''

''

1

1

1

1 ≅⋅

=⋅

=⇒=π

πππ .

Pentru determinarea punctului f' scriem ecuaţia vectorială a mişcării punctului F

faţă de punctul E: ( ) ( )EFaaaayy FE

nFEEF ⊥++=

τ//

Acceleraţia nFEa este complet cunoscută: este coliniară cu EF, orientată de la F

spre E şi are modulul egal cu:

[ ]2226

226

2

/13,5392,06,7 smEFEF

EFEFv

a FEnFE =⋅=⋅=

⋅== ωω , care trecută prin scara

acceleraţiilor obţine segmentul [ ]mmne 3' 4 = în planul acceleraţiilor. Poziţia punctelor s6 pe planul acceleraţiilor le determinăm din următorul raport

de asemănare:

[ ]mmEF

feESse

EFES

fese

4392,0

1123496,0'''

''' 6

666 ≅

⋅=

⋅=⇒= .

Acceleraţiile unghiulare le determinăm în modul următor:

[ ]212 3520

25,120220' −=⋅

=⋅

== sABbn

ABa aBA μ

ετ

; [ ]234 14691

437,020321' −=⋅

=⋅

== sCDdn

CDa aDC μ

ετ

;

[ ]2

1

2

15 2236

483,02054' −=⋅

=⋅

== sDO

dnDO

a aD με

τ

; [ ]246 2434

92,020112' −=⋅

=⋅

== sEFfn

EFa aFE μ

ετ

.

2.3 Determinarea sarcinilor de inerţie

În cazul general sarcinile de inerţie se reduc la un vector principal (forţă rezultantă de inerţie Fi) şi un moment principal (moment rezultant al cuplului de inerţie iFM ) determinate conform relaţiilor [1.rel.6.2,pag.81]:

iSii amF ⋅−= ; jjSiF JM ε⋅−= .

Semnul „ – „ indică orientarea parametrului respectiv în raport cu acceleraţia.

Calculăm aceşti parametri conform datelor din Tab. 1.5 şi Tab. 2.1.

19


154

Coala


Tabelul 2.1 – Acceleraţiile pentru poziţia 7 al mecanismului ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mmsm

a

2/20μ

Acceleraţiile liniare ale punctelor Parametru A S2 C B(S3) S4 D S5 E S6 F(S7)

pe plan [mm]

247 190 156 151 115 235 59 112 69 8

real [m/s2]

4940 3800 3120 3020 2300 4700 1180 2240 1380 160

Acceleraţiile unghiulare ale elementelor 1 2 4 5 6

ε [s-2]

0 3520 14691 2236 2434 Tabelul 2.2 – Sarcinile de inerţie pentru poziţia 7 a mecanismului

Punctele Parametru S2 S3 S4 S5 S6 S7

Forţa rezultantă de inerţie iSF [N]

57000 60400 8050 11800 9660 1920

Elementele 1 2 4 5 6

Momentul rezultant al cuplului de inerţie

iFM [Nm] 0 14010 2791 2840 2872

2.4 Determinarea reacţiunilor în cuplele cinematice prin metoda grafo-analitică

Divizăm schema cinematică în grupe structurale. Lanţurile cinematice le trasăm pentru aceeaşi poziţie ca şi schema cinematică la coeficientul de scară

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmm

l 005,0μ .

În cuplele libere legăturile le înlocuim prin reacţiuni. Grupa structurală (Assur) este solicitată de forţe active, sarcini de inerţie, de reacţiuni în cuplele libere şi se află în echilibru relativ. Aplicăm condiţiile de echilibru 0=R şi 0=M pentru un sistem plan de forţe (principiul lui D׳Alambert).

Condiţia 0=M o realizăm în forma unei ecuaţii 0)(0 =∑ iFm , unde braţele hi le luăm de pe schema grupei structurale. Condiţia 0=R o realizăm în forma unui poligon de forţe închis.

Calculul propriu-zis se începe de la cea mai îndepărtată grupă structurală faţă de elementul conducător (manivela – mecanism de clasa 1).

2.4.1 Grupa structurală 6-7 Cuplele libere formeaza cupla de translaţie F(7,0) şi articulaţia E, ambele cuple

cinematice inferioare de clasa a-V. În cuplele de clasa V la determinarea reacţiunilor există 2 necunoscute. Deoarece lungimea pistonului 7 este neglijabilă, va fi necunoscută numai recţiunea R70, aplicată în B, perpendiculară la ghidajul 0. În asemenea caz întocmim ecuaţia ( ) 0=∑ FmE :

20


155

Coala


( ) ( ) 0/ 46366270177 =⋅−⋅+−⋅−⋅−=∑ hGhFMhRhGFFm iSlSiFiSE μ ; ( )

2

4636617770

/

h

hGhFMhGFR iSliFiS ⋅−⋅+−⋅−

=μ

;

( ) [ ]NR 630184

370709660005,0/28728120192070 =

⋅−⋅+−⋅−= ,

unde: hi [mm] – lungimea perpendicularelor coborâte din E pe linia de acţiune a forţelor.

Construim la coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmN

F 100μ poligonul închis de forţe

conform condiţiei de echilibru: 065706767 =+++++=∑= RRFFGGFR iSiSi ,

unde necunoscută este doar 65R - reacţiunea în cupla E. Trasăm poligonul depunând în ordine arbitrară vectorii forţă cunoscuţi şi îl

închidem cu necunoscuta 65R . Obţinem la scară valoarea şi orientarea reacţiunii totale R65 în cupla cinematică E.

În continuare construim poligonul forţelor pentru elementul 7 al grupei structurale (7-6). Legătura din articulaţia F o înlocuim cu reacţiunea R76, care va fi vectorul ce închide acest poligon.

Astfel am determinat toate reacţiunile în cuplele acestei grupe structurale. 2.4.2 Grupa structurală 4-5 În punctul E aplicăm reacţiunea R56=-R65. În cuplele libere de rotaţie O1 şi C

reacţiunile le prezentăm prin componentele tangenţiale şi normale. Deci, în sistemul de forţe aplicate a acestei grupe sunt 4 necunoscute: n

R50 , τ50R , n

R42 şi τ42R . Scriem

ecuaţia ( ) 0=∑ iD Fm pentru elementele 5 şi 4 în parte şi din aceste ecuaţii vom afla componentele τ

50R şi τ42R .

Pentru elementul 5: 0/53525150156 =+⋅−⋅+⋅−⋅−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∑ lSiFiSiD MhFhGDORhRFm μτ ;

DO

MhFhGhRR lSiFiS

1

5352515650

/ μτ +⋅−⋅+⋅−= ;

[ ]NR 343297

005,0/28401611800701005941050 =

+⋅−⋅+⋅−=τ .

Pentru elementul 4: ( ) 0/4544442 =+⋅−⋅+⋅−=∑ liSiSiD MhFhGCDRFm μτ ;

[ ]NCD

MhFhGR

liSiS 543888

005,0/27911080502435/4544442 =

+⋅−⋅=

+⋅−⋅=

μτ .

În continuare construim poligonul de forţe închis pentru întreaga grupă structurală

(5-4) din care se vor determina componentele nR50 şi nR42 şi respectiv reacţiunile totale

21


156

Coala


R50 şi R42 în cuplele cinematice O1 şi C, unde condiţia de echilibru: 042424545505056 =++++++++=∑=

ττRRFFGGRRRFR

niSiS

ni .

Pentru a afla reacţiunea R45 în cupla interioară D analizăm forţele care acţionează asupra elementului 4 şi anume 4G , 4iSF şi 42R . Observăm că unind puncte c şi f din poligonul forţelor vom obţine reacţiunea R45.

2.4.3 Grupa structurală 2-3 Aplicăm în punctul C reacţiunea 4224 RR −= , trasăm pe schemă braţele hi –

perpendiculare coborâte pe suportul forţelor şi abordăm aceeaşi metodă ca şi pentru grupa 7-6 (aceste grupe sunt identice conform clasificării structurale). În continuare întocmim ecuaţia

( ) ( ) 0/25242324233'

130 =−⋅−⋅+⋅−⋅++−⋅=∑ liSiSiStehiA MhGhFhRhFGFhRFm μ ;

( )1

325242324233

'

3010

h

MhGhFhRhFGFR iSiSiSteh ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅++

= ;

( ) [ ]NR 47500244

005,0/1401020150515700015714800556040020010990030 ≅

+⋅+⋅−⋅+⋅++=

.

Construim poligonul închis de forţe la coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmN

F 1000μ

pentru grupa 3-2 şi determinăm reacţiunea R21 în cupla cinematică A conform condiţiei de echilibru:

02122243

'330 =+++++++= RFGRFFGRR iSiSteh .

Analizând poligonul de forţe obţinut şi luând în consideraţie numai forţele ce acţionează asupra elementului 3, prin unirea punctelor f cu c obţinem reacţiunea R32 care acţionează în cupla de rotaţie interioară F.

2.4.4 Mecanismul de clasă I Elementul 1 cuplat cu baza, prezintă mecanismul de clasă I şi se roteşte cu

[ ]11 6,125 −= sω , constant sub acţiunea forţei 12R ce prezintă de fapt toate forţele

mecanismului reduse în punctul A. Rotirea constantă a elementului 1 e posibilă dacă asupra acestui element va acţiona echF . Determinăm această forţă:

( ) 012 =⋅−⋅=∑ OAFhRFm echiO ;

[ ] [ ]kNNOA

hRFech 151150880

5,624223000012 ≅=⋅

=⋅

= .

Construim poligonul închis de forţe pentru mecanismul de clasa I la coeficientul

de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=mmN

F 2000μ şi determinăm reacţiunea R10 în cupla O.

Prin urmare aplicând succesiv principiul cineto-static la fiecare lanţ cinematic au fost determinate reacţiunile în cuplele cinematice şi, în ultimul rând, forţa de echilibrare Fech.

22


157

Coala


Pentru verificarea veridicităţii calculelor efectuate se poate de apreciat rezultatul final, dar obţinut prin altă metodă.

Vom determina valoarea Fech prin aplicarea pârghiei Jukovskii. 2.5 Pârghia Jukovski

Pârghia Jukovski, de fapt este reprezentarea grafică a principiului lucrului mecanic virtual – lucrul mecanic produs de un sistem de forţe în echilibru este nul pentru deplasările posibile. Avantajul acestui principiu este, că în absenţa frecării reacţiunile interioare dispar din ecuaţia lucrului mecanic respectiv.

Construim planul vitezelor la coeficientul de scară ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

mmsm

v/5,0μ şi în punctele

respective depunem toate forţele şi momentele exterioare rotite la 90° în sensul

acelor de ceasornic. În punctul a depunem Fech.

Momentul de inerţie 2iSM se înlocuieşte cu un cuplu de forţe '2MF şi ''

2MF , depuse

în punctele A şi B pe schema mecanismului cu sensul astfel încât să respectăm

sensul momentului 2iSM :

[ ][ ] [ ]NmNm

ABM

FF iSMM 11208

25,1140102''

2'

2 ==== .


4MF ,

depuse în punctele C şi D pe schema mecanismului cu sensul astfel încât să

respectăm sensul momentului 4iSM :

[ ][ ] [ ]Nm

NmCD

MFF iS

MM 6386437,0

27914''4

'4 ==== .


5MF ,

depuse în punctele D şi O1 pe schema mecanismului cu sensul astfel încât să


[ ][ ] [ ]Nm

NmDO

MFF iS

MM 5135483,0

2840

1

5''5

'5 ==== .


6MF ,

depuse în punctele E şi F pe schema mecanismului cu sensul astfel încât să


23


158

Coala


[ ][ ] [ ]NmNm

EFM

FF iSMM 3122

92,028726''

6'

6 ==== .

În continuare întocmim ecuaţia ( ) 0=∑ ip Fm , braţele hi le obţinem de pe plan.

( ) ( ) +⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+⋅+⋅++=∑ 2551286614 ''4

''222

'233

'MechMiSMiStehip FpaFFFGFpbFGFFm

−⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅+ 32624737748 6'

67755'

5'

444 iSMSiiSMMiS FFpfFpfGFGpdFFGF

012043 ''6

''56 =⋅−⋅−⋅− MM FFG

( )5,78

7748255128661461 44''

4''

222'

233' −⋅+⋅+⋅+⋅−⋅+⋅+⋅+⋅++

=GFFFFGFFGF

F iSMMiSMiStehech

5,7812433243436249473 ''

666'

67755'

5'

4 ⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅−⋅−⋅+⋅−⋅− MiSMiSiSMM FGFFFGFGFF.

[ ] [ ]kNNFech 144143628 ≅= . Comparăm cu valoarea [ ]kNFech 130≅ obţinută anterior şi determinăm eroarea

relativă:

%5%63,4%100151

151144≤=⋅

−=Δ – pentru o metodă grafică eroarea este

acceptabilă. Rezultatele determinării reacţiunilor în cuplele cinematice pentru această poziţie a

mecanismului sunt prezentate în Tab. 2.3. Tabelul 2.2 – Reacţiunile în cuplele cinematice pentru poziţia a 7 al ciclului dinamic

Valoarea Cupla

elementeji

⎭⎬⎫

==

,...2,1,...2,1

Simbolizarea pe

desen pe poligon, mm

reală, kN

F (7 – 0) translaţie R70, R07 6 0,6 F (7 – 6) articulaţie R76, R67 19 1,9 E (6 – 5) articulaţie R65, R56 94 9,4 O1 (5 – 0) articulaţie

R50, R05 100 20

D (5 – 4) articulaţie R54, R45 93 18,6 C (4 – 2) articulaţie R42, R24 74 14,8 B (3 – 0) translaţie R30, R03 48 48 B (3 – 2) articulaţie R32, R23 178 178 A (1 – 2) articulaţie R12, R21 230 230 O (1 – 0) articulaţie R10, R01 104 208

Forţa de echilibrare Fech=151[kN] Eroarea calculului grafo-analitic 4,63%

24


159

Coala


2.6 Consideraţii şi comentarii la capitol Din rezultatele obţinute, constatăm că pentru poziţia dată a mecanismului, cele

mai mari sarcini de inerţie sunt aplicate pistonului 3 biele 2 şi manivelei 1 al motorului cu ardere internă, ce se explică prin faptul că masele şi acceleraţiile punctelor S2 şi S3 sunt considerabile. Forţa de inerţie aplicată elementului 5 este relativ mică – pârghia efectuând o mişcare oscilatorie la care centrul maselor S5 este în apropiere de punctul fix O1 şi dezvoltă o acceleraţie neînsemnată.

Reacţiunile în cuplele cinematice se află în concordanţă cu forţele exterioare exercitate în agregat. Cea mai considerabilă forţă motoare (circa 110 kN) provoacă reacţiunile cele mai considerabile asupra (bielei-manivelei-pistonulu) motorului cu ardere internă, astfel:

[ ] [ ] [ ]kNRkNRkNR 178208230 321021 =>=>= . Este cunoscut faptul că reacţiunile sunt cauza uzurii suprafeţelor elementelor

cuplelor. Deci, rezultatul de mai sus este în corespundere cu practica exploatării motoarelor cu ardere internă: cuzineţii bielei (cupla A) se deteriorează mai des, decât cuzineţii arborelui cotit (cupla O).

25


160

Coala


Cuprins

Sarcina de proiect Memoriu de calcul 1. Analiza dinamică a mecanismului conform sarcinii de proiect.................................1

1.1 Sinteza mecanismului..........................................................................................1 1.2 Analiza structurală a mecanismului ....................................................................2 1.3 Trasarea schemei cinematice şi caracteristicilor mecanice .................................4 1.4 Determinarea forţelor tehnologice .....................................................................5 1.5 Analiza cinematică prin metoda grafo-analitică (Planului vitezelor)..................8 1.6 Determinarea parametrilor modelului dinamic .................................................11

1.6.1 Determinarea momentului sumar redus al forţelor motoare redM ∑ .............11 1.6.2 Determinarea momentului sumar redus de inerţie redJ∑ .............................13

1.7 Elaborarea diagramelor......................................................................................14 1.7.1 Diagrama momentului sumar redus ( )ϕMM red =∑ ............................... ......14 1.7.2 Diagrama lucrului ( )ϕAA = ........................................................................14 1.7.3 Diagrama variaţiei energiei cinetice ΔT......................................................14 1.7.4 Diagrama momentului de inerţie redus redJ∑ ...............................................14 1.7.5 Diagrama energie-masă (Wittenbauer) .......................................................15

1.8 Determinarea parametrilor geometrici ai volantului...........................................15 1.9 Constatări şi comentarii.......................................................................................16

2. Analiza cineto-statică a mecanismului.......................................................................17 2.1 Formularea problemei..........................................................................................17 2.2 Determinarea acceleraţiilor (Planul acceleraţiilor)..............................................17 2.3 Determinarea sarcinilor de inerţie .......................................................................19 2.4 Determinarea reacţiunilor în cuplele cinematice .................................................20

2.4.1 Grupa structurală 6-7....................................................................................20 2.4.2 Grupa structurală 4-5 ...................................................................................21 2.4.3 Grupa structurală 2-3 ...................................................................................22 2.4.4 Mecanismul de clasă I .................................................................................22

2.5 Pârghia Jukovski .................................................................................................23 2.6 Consideraţii şi comentarii ...................................................................................25

Cuprins ...........................................................................................................................26 Bibliografie .....................................................................................................................27 Coala I, II ........................................................................................................................28

26


161

Coala


Bibliografie 1. S.Macarişin, A.Sochireanu, Iu.Malcoci, Îndrumar de proiectare, Ed. Tehnică

UTM, Chişinău, 2009. 2. N.V. Alehnovich, Teoriea Mehanizmov i Mashin, Izd. «Vysheishaia Shkola»,

Minsk, 1970. 3. G.N. Divoino, Kursovoie proiectirovanie po teorii mehanizmov i mashin, Izd.

«Vysheishaia Shkola», Minsk, 1986. 4. К.V. Frolov, Teoriea Mehanizmov i Mashin, Izd. «Vysshaia Shkola»,

Moskva, 1987. 5. http://window.edu.ru - Proiectirovanie avtotractornyh dvigatelei.

27


162

μ =0,005[ ]lm

mm

1A

2A

2'

3A

4A

5A5'

4D

4C

3C

2C

1C

1B

2B

2'

1'

2'

5C 2D

1D

1E

2E

2F

1F

2'

2'

3B

3D

2'3E

3F

4B

4E

4F

5B

5D

5E

5F

5'

5'

5'

5'

6A

6B

6C

6D

6E

5'

6F

7A

7B

7C

7D

7E

7F

7'

8A

7'

7'

7'7'

7'

8B

8C

8D

8E

8F

9A

9B

9C

9D

9E

9F

10A1'

10B

10C

10E

10F

1'

10D1'

1'

1'

1p

a

b c 2sd

e f

4s

5s

6s

2p

b

ac 2sd

4s

e 6s

5s

f

2'p

ab s c2d s4

s5

efs6

ab

s c2d

s5

efs6

3p

s4

a

4p

b

s2cd

s4

ef

s5

s6

5p

a

bs2 c

ds4

s5

efs6

5'pa

bs2 c ds4

a

6p

bs2 c

ds4

s5

e fs6

7'p

ba s c2ds4

s5

efs6

a

8p

bcs2ds4

efs6 a

9p

b c s2

d

s4

s5

ef s6

a

10p

b c s2

ds4

ef

s5

s6

a1'p b

c s2

ds4

e fs5

s6

2H

1H1'1

2

3

4

55'

6

7

2'

87'

9

10S, [mm

]

P, [MP

a]

0,4

MPa

0,2

MPa

S, [mm

]

5,6

MPa

1,0 M

Pa

2,0

MPa

3,0

MPa

4,0

MPa

5,0

MPa

μ =0,005[ ]p'MPamm

μ =0,05[ ]pMPamm

1

2

2'3

4

5

5'

1'

6

7

8

9

10

7'

11

12

13

1415

16

17

18

19

20

2221

23

24

s5

H=40

1O

Oμ =0,5[ ]vm/smm

p

a

b

s2 c

d

s4

s5

e fs6

7


163

μ =2500[ ]MNmmm

μ =2500[ ]TNmmm

1' 1 2 2'3 4 5 5' 6 7 7' 8 9 10 1112 13 1415 16 17

18 19 20 21 22 23 24 1'67

7'

8

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

1920

21

22

23

24

1'

[mm]

1' 1 2 2'3 4 5 5' 6 7 7' 8 9 10 11 18 19 20 21 22 23 24 1'12 13 1415 16 17

μ =5000[ ]ANmmm

1' 1 2 2'34 5 5' 6 7 7' 8 9

10 1118 19 20 21 22 23 24 1'

1213 1415 16 17

ϕ

ϕ

ϕ

μ =0,05[ ]ϕradmm

1'

1

2

2'3

4

5

5'

6

7

7'8

9

10

11

12

13

1415

16

17

18

19

20

2122

23

24

1'

μ =0,05[ ]Jkg mmm

2.

MM ,m

ArA ,m

ΔT1'

12

2'3

4

55'

67 7'

8

9

10

11

12

13

1415

16

1718

1920 21

22

23

5 24

k

l

ψmin

ψmax

450

? 1500


164

7A

7B

7C

7D

7E

7F

1O

O

ω1

μ =0,005[ ]lm

mm2S

4S

5S

6S

π

s

b'

aB

aBAτ

aBA2

c'

n2

aD

aDCn

aDCτ

s4aC

aS2

aS4

s5

e'f'n4

aFaE

aFEτ aFE

n

aS5s6aS6

μ =20[ ]am/smm

2

aDC

ε2

ε4

n

d'

n3

aD

aD

τ

ε5

ε2

1G +Gv

5G

2G

4G

6G

iS3F

iS2F

3G

iS4F iS5F

iS6F

tehF'

tehF'' =0

iFM S6

iFM S5 iFM S4

iFM S2

1

2

3

45

6

7

0

0

0

7E

7F

6S

ε2

6G

iS6F

iFM S6

6

7

0

7G

iS7F

70R

65R

h1

h 3

h4

h 2

M5F' M5F''

M2F'

M2F''

M4F'

M4F''

M6F''

iS7F


165

p

a

b

s2 c

d

s4

s5

e fs6

n1

aBAn

a'

a

b c

d iS7

F

iS6F 70R

65R 7C

7D

7E

O

4S

5S

ε4

ε5

5G 4G

iS4F iS5F iFM S5

iFM S4

45

56R

1

50R n50R τ

42R τ

h 1h2

h 3

h4

h5

μ =100[ ]FN

mm

μ =200[ ]FN

mm

42R n

7A

7B

2S

ε2

2G

iS3F

iS2F

3G

tehF'

iFM S2

2

30

hh

30R

24R

21R

h

h

h 3

2

1

4

5

μ =2000[ ]FN

mmechF

iS3F 3G tehF'

7G iS7F 6G

iS6F

5G

iS5F

4G

iS4F 2G

iS2F

M2F'

M5F''

M6F''

M5F'

M4F'

M6F'

M4F''

M2F''

O

ω11G +Gv

1

0

echF

10R

7A

tehF'

μ =1000[ ]FN

mm

h

12R

a

iS7F b

70R

76R

56R a

biS5F c e

iS4F 42R τd

50R τ

f

g

50R n

50R 42R n

42R

a

b

iS3F

c30R

d24R

e

iS2F

32R

f

21R

a

12R

b

echF c

1G +Gv

d

10R


166

ANEXA 2 – Sarcini didactice


167


168


169


170


171


172


173


174


175


176


177


178


179


180


181


182


183


184


185


186


187


188


189


190


191


192


193Bibliografie

1. N.V. Alehnovich, Teoria mehanizmov i mashin, Izd. «Vysheishaia Shkola», Minsk, 1970, 251 p. 2. G.N. Divoino, Kursovoie proiectirovanie po teorii mehanizmov i mashin, Izd. «Vysheishaia Shkola», Minsk , 1986, 284 p. 3. M. Rădoi, E. Deciu, Mecanica, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993, ISBN 973-30-2917-3, 734 p. 4. E. Budescu, Mecanisme, Ed. TEHNOPRESS, Iaşi, 2004, ISBN 973-702-697-9, 137 p. 5. К.V. Frolov, i dr., Teoria mehanizmov i mashin, Izd. «Vyshaia shkola», Moskva, 1987, 495 p. 6. I. Th.. Artobolevskii, B.V.Edelishtein, Sbornik zadach po teorii mehanizmov i mashin, Izd. «Nauka», Moskva, 1973, 273 p. 7. S.N. Kochevnikov, Ia.I. Esipenko, Mehanizmy, Izd. «Mashinostroienie», Moskva, 1965, 1058 p. 8.I.I. Artobolevski, Teoria mecanismelor şi a maşinilor, Publicaţie reprint după ediţia Editurii Tehnice Bucureşti, Ed. Ştiinţa, Chişinău, 1992, 607 p. 9. N.I. Manolescu ş.a., Culegere de probleme din teoria mecanismelor şi a maşinilor, Ed. Didactică şi Pedagocică, Bucureşti, 1963, Vol.1, 414 p. 10. GOST 2.301-68 „ESKD. Formaty”. 11. GOST 2.104-68 „ESKD. Osnovnyi nadpisi”. 12. GOST 2.201-80 „ESKD. Oboznachenie izdelii i konstruktornyh dokumentov”. 13. GOST 2.109-73 „ESKD. Osnovnye trebovaniea k chertejam”. 14. GOST 2.302-68 „ESKD. Mashtaby”. 15. SM ISO 31-0:2003 „Mărimi şi unităţi”. 16. http://window.edu.ru/ 17. http://armies.biz/vertolet/ah1w.htm


194 Cuprins

1. INTRODUCERE 3 2. SINTEZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANE 14

2.1 Parametrii de bază 14 2.2 Exemple de rezolvare a problemelor de sinteză a mecanismelor

plane cu bare 15 3. STRUCTURA ŞI CLASIFICAREA MECANISMELOR 20

3.1 Cuplele şi elementele cinematice 20 3.2 Clasificarea cuplelor cinematice 20 3.3 Lanţuri cinematice 23 3.4 Mobilitatea lanţurilor cinematice şi a mecanismelor 24 3.5 Condiţii de legătură şi grade de libertate pasive 25 3.6 Clasificarea mecanismelor plane 27

4. ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANE CU BARE ARTICULATE 36

4.1 Studiul vectorial al vitezelor 36 4.2 Metode pentru determinarea distribuţiei de viteze 37 4.3 Studiul vectorial al acceleraţiilor 48 4.4 Metode pentru determinarea distribuţiei de acceleraţii 49 4.5 Mecanismul cu culisă oscilantă (Şeping) 60 4.6 Metoda diagramelor cinematice 68

5. ELEMENTE DE DINAMICA MECANISMELOR ŞI MAŞINILOR 72 5.1 Noţiuni generale 72 5.2 Analiza dinamică al mişcării maşinii prin metoda grafo-analitică 73 5.3 Noţiuni generale privind teoria reglării maşinilor 79

6. ANALIZA CINETO-STATICĂ A MECANISMULUI 80 6.1 Noţiuni generale 80 6.2 Calculul sarcinilor inerţiale 81 6.3 Forţe de legătură 82 6.4 Analiza cineto-statică a mecanismelor cu metoda planelor 83 6.5 Pârghia lui Jukovski 92

7. SINTEZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR PLANETARE 94 8. MECANISME CU CAME 109

8.1 Clasificarea mecanismelor cu came 109 8.2 Analiza cinematică a mecanismelor cu came 110 8.3 Legile de mişcare ale mecanismelor cu came 115 8.4 Unghiul de presiune şi unghiul de transmitere a mişcării

în mecanismul camă-tachet 121 8.5 Sinteza cinematică al mecanismelor camă-tachet 123

ANEXA 1 – Exemplu de realizare a lucrării de an 133 ANEXA 2 – Sarcini didactice 166 Bibliografie 193 Cuprins 194

Redactor: I. Enachi

Bun de tipar 02.11.09 Formatul hârtiei 60x84 1/16 Hârtie ofset. Tipar RISO Tirajul 300 ex. Coli de tipar 12,25 Comanda nr. 95

U.T.M., 2004, Chişinău, bd. Ştefan cel Mare, 168 Secţia Redactare şi Editare a U.T.M. 2068, Chişinău, str. Studenţilor, 9/9

teoria mecanismelor si masinilor indrumar de proiectare

Documents