teoria de vórtices

Teoria de VórticesTeoria de VórticesCirculação “agarrada”

à pá

Distribuição de sustentação na pá

Folha de vórticesatrás da pá

Enrolamento do vórtice da pontavórtice da ponta

Vórtice da ponta da pá

Vorticidade emanada

Vorticidade da esteira

Helicópteros / Filipe Szolnoky Cunha Slide 1Teoria de Vórtices

Vórtice da ponta de uma pá anterior

Teoria de VórticesTeoria de Vórtices



µ=0.2µ=0.2



µ=0.4µ=0.4


Trajectórias dos vórtices da ponta da páda pá

Vista de topo


Definição da idade da esteiraDefinição da idade da esteira

Filamento do vórtice da ponta

da pá


da pá

Trajectória do vórtice da pontaTrajectória do vórtice da ponta

• Assumindo:• Assumindo:– Esteira sem distorção no plano x-y

– Trajectórias são formas epicicloidais – Trajectórias são formas epicicloidais

• As trajectórias podem ser descritas pelas equações paramétricas:paramétricas:

( )

+−= bwb

tip

R

xµψψψcos( )

( )

−=

+−=

tip

bwb

yR

ψψ

µψψψ

sin

cos


( )

−= wbR

ψψsin

Interacção Pá - VórticeInteracção Pá - Vórtice

• Os pontos de todas as possíveis IPV são• Os pontos de todas as possíveis IPV sãodeterminadas quando as seguintes equações sãosatisfeitas para r (na pá) e ψb :satisfeitas para r (na pá) e ψb :

( ) ( )

+−=

−

− bwbb

ir µψψψ

πψ cos

12cos ( )

( ) ( )

−=

−

−

+−=

− bwb

b

b

ir

r

ψψπ

ψ

µψψψψ

sin12

sin

coscos

( ) ( )

−=

−− wb

b

b

ir ψψ

πψ sin

12sin



• Que tem como solução :• Que tem como solução :

( ) ( )

∆−−∆±∆−∆−

= − www

bµψ

ψψµψψ

2221 sinsinsincos

sin

• Só a parte real interessa:

w

bµψ

( )2

• Com o correspondente valor para r:

( ) 0sin 222 >∆−− ww ψψµ

• Com o correspondente valor para r:( )( )∆−

−=

b

wbrψ

ψψ

sin

sin


( )∆−bψsin


• Podemos então obter as coordenada x e y:• Podemos então obter as coordenada x e y:

( ) ( )∆−=∆−= bb ryrx ψψ sincos

• Com

bb

( )i 12 −=∆

π

• Assumindo valores de ψ >0 e obtendo valores de

( )

b

i 12 −=∆

π

• Assumindo valores de ψw>0 e obtendo valores deψb e r pode-se determinar todos os pontospossíveis de IPV


possíveis de IPV


Rotor 1 pá

Deslocamentos adimensionais

Rotor 1 pá

Rotor 2 pás


Rotor 2 pás

Rotor 2 pás

Rotor 2 pás


Rotor 1 pá

Rotor 2 pásPassagem 1º pá


Rotor 1 páRotor 1 pá

Passagem 1º pá


Idade da esteira


• Usa a extensão da teoria da linha sustentadora de Prandtl• É uma combinação• É uma combinação– Do teorema de Kutta-Joukowski– Da lei de Biot-Savart– Da lei de Biot-Savart– Estrutura da esteira pré-definida ou livre quer para os vórticesda ponta da pá quer para a folha de vórtices.

• Robin Gray propôs um modelo da esteira em 1952.• Robin Gray propôs um modelo da esteira em 1952.• Landgrebe generalizou o modelo de Gray com o uso dedados experimentais.

• A teoria de vórtices foi utilizada extensivamente no anos70 e 80 para o cálculo do desempenho dos rotores sendosubstituído por métodos DFC.


substituído por métodos DFC.


• A teoria de vórtices resolve alguns dos problemas• A teoria de vórtices resolve alguns dos problemasda TCEPML com propulsões elevadas (grandesCT/σ).CT/σ).

• Com estes parâmetros a velocidade induzida éafectada pela contracção da esteira.afectada pela contracção da esteira.

• Perto da ponta pode haver uma velocidadeinduzida para cima (em vez de ser para baixo)induzida para cima (em vez de ser para baixo)devido a esta contracção, provocando um maiorcarregamento na ponta o que altera a potência


carregamento na ponta o que altera a potênciaconsumida.

Teorema Kutta-JoukowskyTeorema Kutta-Joukowsky

• A ligação entre a sustentação por unidade de • A ligação entre a sustentação por unidade de comprimento e a circulação local é:

( ) ( ) dycCydyydL21 Ω=ΓΩ= ρρ

( )C

Γ=⇒2

• Dado que :

( ) ( ) dycCydyydL L21 Ω=ΓΩ= ρρ

( )cyCL

Ω

Γ=⇒2

• Dado que :

( )dL

dC =( )

( )dyy

ΓΩ

=ρ Γ

=rdr

( )2RA

dLdC bT

Ω=

ρ

( )( )2RA

dyyb

Ω

ΓΩ=

ρ

ρ

Ω

Γ=

2R

rdrb

π


Teorema Kutta-JoukowskyTeorema Kutta-Joukowsky

• Já vimos que:rdr

CdC

tiplσ

=• Já vimos que:

• Então:

rdrdCtipl

T 2=

• Então:

( ) constRcCRC

rtiptip ll

=Ω

=Ω

=Γ

2πσ

• Sendo a circulação constante ao longo da pá o

( ) const

rb

===Γ22

• Sendo a circulação constante ao longo da pá oteorema de Helmholtz requer que um únicovórtice com a mesma intensidade seja “largado”


vórtice com a mesma intensidade seja “largado”da ponta da pá.

Representação dos vórtices ligados e largadoslargados

Ω

Pressão dinâmica

Velocidade

• Dado que a vorticidade não pode aumentar em

Vórtice forte da ponta

• Dado que a vorticidade não pode aumentar empatamares no espaço são “largados” vórtices naesteira da pá.


esteira da pá.

Lei de Biot-SavartLei de Biot-Savart

• Fundamental para todos os modelos de vórtices é a• Fundamental para todos os modelos de vórtices é anecessidade de calcular a velocidade induzida numdeterminado ponto devido a um filamento de vórtices

Filamento de vórtice Pá do rotor

Aproximação a segmentosde linha

Pontos

34 r

rldvd v

×Γ=

π

Pontos extremos


34 rπFilamento curvo de vórtice

Biot-Savart LawBiot-Savart Law

• Uma expressão diferente pode ser encontrada:r

• Uma expressão diferente pode ser encontrada:

r

Ponto de

Controlo 2r

B1r

B

Γn→

Segmento de Vórtice

( ) 211 rrrr

⋅

−+

A

( )

( ) ( ) ( )2222221

2121

212

1

4 rrrrrrrrr

rrrr

rr

rrVinduzida

⋅−++⋅−

⋅

−+

×Γ

=π


( ) ( ) ( )2122

21

22121 24 rrrrrrrrr c

⋅−++⋅−π

Modelo de VórticeModelo de Vórtice

• Para evitar uma velocidade infinita quando r→0, o• Para evitar uma velocidade infinita quando r→0, ovórtice é modelado com uma região exterior potenciale uma região interior em rotação (corpo rígido) pura

Velocidade tangencial Região potencial

Raio do núcleo do vórtice

Corpo rígido em rotação

Velocidade tangencial



• O raio do núcleo, rc, é definido como a localização• O raio do núcleo, rc, é definido como a localizaçãoradial onde a velocidade Vθ é máxima

r• Por isso Vθ é máxima em 1==

cr

rr

• Esta fronteira limita a região interior (rotaçãopura) da exterior (potencial).

cr

pura) da exterior (potencial).



• O modelo mais simples é o de Rankine:• O modelo mais simples é o de Rankine:– O núcleo é um corpo rígido em rotação.

– A velocidade fora diminui hiperbolicamente com a– A velocidade fora diminui hiperbolicamente com adistância

Γ

≤≤

Γ

=

102

)(

rrr

rV c

v

π

>

Γ

=

11

2

2)(

rrr

rrV

v

c

π

πθ


>

12

rrrcπ


• Uma alternativa é o modelo de Oseen-Lamb,• Uma alternativa é o modelo de Oseen-Lamb,obtido através de uma forma simplificada dasequações Navier-Stokes:equações Navier-Stokes:

( )21)( rv erV αθ

−−

Γ

=

• Onde α=1.25643

( )12

)(c

v err

rVθπ

−

=

• Onde α=1.25643



• Newman também derivou uma solução exponencial paraas três componentes da velocidade devido ao vórticebaseado numa formulação simplificada das equações deNavier-Stokes.Navier-Stokes.

• O resultado para a velocidade tangencial é o mesmo queo de Ossen-Lamb mas Newman consegue demonstrar queo de Ossen-Lamb mas Newman consegue demonstrar quea velocidade axial é: 2

)( r

z ez

ArV α−−=

• A é a constante que pode ser relacionada com aresistência de linhas geradores de sustentação.

)(z ez

rV −=


resistência de linhas geradores de sustentação.


• Vastitas propôs uma série de modelos para retirar asingularidade da velocidade:

( )v r

rV )(

Γ

=( )nn

c

v

r

r

rrV 1

212)(

+

Γ=

πθ


Modelo de VórticeModelo de VórticeVelocidade tangencial



Distancia adimensional


Crescimento do núcleo do vórticeCrescimento do núcleo do vórtice

• A dimensão do núcleo do vórtice é uma dimensão• A dimensão do núcleo do vórtice é uma dimensãoimportante que pode ser usada para definir aestrutura e evolução dos vórtices da ponta da pá.estrutura e evolução dos vórtices da ponta da pá.

• O raio médio do núcleo poder ser considerado• O raio médio do núcleo poder ser consideradocomo metade da distância entre os máximos davelocidade.velocidade.


Crescimento do núcleo do vórticeCrescimento do núcleo do vórticeVelocidade tangencial




Distancia adimensional

Crescimento do núcleo do vórticeCrescimento do núcleo do vórticeadimensional

Raio do núcleo adimensional

Raio do núcleo adimensional

Raio do núcleo


Idade da esteira


• Um modelo simples qualitativo do crescimento• Um modelo simples qualitativo do crescimentodo núcleo do vórtice com o tempo pode serobtido a partir dos resultados de Lamb’s paraobtido a partir dos resultados de Lamb’s paraescoamentos laminares

• Partindo do perfil para as velocidade tangenciais:• Partindo do perfil para as velocidade tangenciais:

( )

−

Γ=

−

t

r

v er

rV υθ

π4

2

12

• Utilizando uma mudança de variável:

rπ2

( ) ⇒=− 21

4 trx ν ( ) ( )21 xv erV −−Γ

=


( ) ⇒=− 24 trx ν ( ) ( )1

42xv e

txrV −−

Γ=

νπθ


• O raio do núcleo rc corresponde ao valor de r• O raio do núcleo rc corresponde ao valor de r

quando Vθ é máximo:

=

++−Γ

= −− 22

211 xxv ee

dVθ =

++−

Γ= −− 22

211

42 22xxv ee

xxtdx

dV

νπθ

( )[ ] 012122 =−+

Γ= −xv ex( )[ ] 0121

42

22

2=−+

Γ= −xv ex

tx νπ

• Cuja solução x=1.1209 implica que o núcleocresce com:


cresce com:( ) ⇒=

− 21

4 trx ν ( ) ⇒= ttrc ν41209.1 ( ) ttrc αν4=


• Onde α=1.25643 ver o modelo de Lamb.• Onde α=1.25643 ver o modelo de Lamb.

• Na prática, devido à geração de turbulência adifusão de vorticidade no vórtice acontece muitodifusão de vorticidade no vórtice acontece muitomais depressa:

• Este efeito, que é um efeito fundamental• Este efeito, que é um efeito fundamentalcomplicado, pode ser incorporado no modelo decrescimento utilizando um coeficiente médio decrescimento utilizando um coeficiente médio deturbulência viscosa:

( ) ttr αδν4=


( ) ttrc αδν4=

Aplicação da teoriaAplicação da teoria

• Com esta teoria podemos:• Com esta teoria podemos:

– Simular folhas de vórtices / vórtice da ponta da pá– Simular folhas de vórtices / vórtice da ponta da pá

– Calcular variação do vórtice com a idade da esteira

– Calcular a velocidade induzida por um vórtice em– Calcular a velocidade induzida por um vórtice emqualquer ponto

• Vamos agora ver como é que podemos aplicaresta teoria ao estudo de um rotor


esta teoria ao estudo de um rotor

Representação da páRepresentação da páDistribuição da circulação ligada ao longo da pá (assumida como

Vórtice ligado ao perfillocalizado a c/4

ao longo da pá (assumida como constante em cada segmento) Pontos de controlo da

pá localizados a 3c/4

Esteira próxima composto de vorticidadecomposto de vorticidade

“largada”

Elementos de pá


Elementos de pá

Veio do rotor

Solução para a intensidade dos vórticesvórtices

• Nos pontos de controlo:• Nos pontos de controlo:

=nKv +

asa da vorticespelos induzida

normal Velocidadev +

esteira da vorticespelos induzida

normal Velocidadev =

escoamento do e velocidadda

normal Componentev 0

• Matriz das equações a ser resolvida para asincógnitas Γ’s

asa da vortices esteira da vortices escoamento

Γ

Γ

m

m

RHS

RHS

aaa

aaa

2

1

2

1

22221

11211

=

Γ

m

m

RHSaaa 3

2

3

2

33231

22221


Γ

mmmmm RHSaaa 111

Modelação da esteira de vórticesModelação da esteira de vórtices

EscoamentoEscoamentoEscoamento


Modelo de LandgrebeModelo de Landgrebe

Vórtice da ponta Folha de Vórticesda pá Vórtices

• Esteira interior desce mais depressa do perto da ponta do que juntoà raiz.

• A trajectória do vórtice da ponta tem uma contracção que pode ser


• A trajectória do vórtice da ponta tem uma contracção que pode sersimulada por uma curva

Contracção Radial

• Posição radial do vórtice da ponta da pá:

Contracção Radial

• Posição radial do vórtice da ponta da pá:

wBeAA

ψ−−+= )1(R

y tip

• Com os valores empíricos de:R

CB

A

27145.0

78.0

+=

=

TCB 27145.0 +=


Interpolação de Landgrebe para a contracção do vórtice da pontacontracção do vórtice da ponta

RRw RR

R 707.02

teTeoricamen w ==

v 2v

2

Ψ

RR 78.0 prática na = RR 78.0 prática na w =


Interpolação de Landgrebe para a velocidade de descida do vórtice da velocidade de descida do vórtice da

ponta da páz π2

b

ww

tip

k

R

z πψψ

20 1 ≤≤=

bR

ww

tiptip

R

z

R

z πψ

πψ

π

2

2k2

2≥

−+

=

bb

RRb

w

πψ

2

=

001.025.0 θTCk

+−= tw1

01.0

001.025.0

θ

θσT

CCk

Ck

−−≈

+−=


tw2 01.0 θTT CCk −−≈

Interpolação de Landgrebe para a folha de vórticesde vórtices

• Zona exterior• Zona exterior

≤≤

=

= bwwr Kz

ππ

πψψ

22

201,1

• Zona interior

≥

−+

=

=== bw

b

wr

b

rr

K

KR

z

πψπ

ψπ

222

1,21,11

• Zona interior

≤≤00π

ψ

≥

−

≤≤

=

==

200

0,20

πψ

πψ

ψ

wwr

w

r KR

z


≥

−=

=

220,20 ψψ wwr

r K

Interpolação de Landgrebe para a folha de vórticesde vórtices

• Com• Com

22.21,1

Tr

CK −==

27.2

2

1,2

1,1

Tr

r

CK −==

=

( )2

1845.0128

2

0,2

1,2

Ttw

twr

r

CK

+==

=

θθ ( )

21845.0

1280,2 twrK

+== θ


Modelos para a esteira de vórtices com velocidade de avançovelocidade de avanço

• Anel de vórtices:• Anel de vórtices:– Empilhamento de anéis de vórtices ( Tubos devórtices)vórtices)

– Cada anel é o vórtice emanado pela pá numa rotaçãocompleta.

– A posição dos vórtices é definida pela teoria domomento linear.

– Uma solução analítica para a velocidade induzida podeser obtida com este modelo



• Esteira rígida ou sem distorção:• Esteira rígida ou sem distorção:– Os vórtices emanados são representados porfilamentos helicoidais inclinadosfilamentos helicoidais inclinados

– A posição do filamento de vórtice é definidogeometricamente com base em condições de voo e dateoria de momento linear.

– Não há interacções do entre filamentos nem efeitos dofilamento na sua própria posição.filamento na sua própria posição.



• Modificações para esteira rígida• Modificações para esteira rígida– Outro tipo de modelos para a esteira, baseados emobservações experimentais, foram apresentadosobservações experimentais, foram apresentados

– A vantagem destes é que, com um aumento do esforço– A vantagem destes é que, com um aumento do esforçocomputacional, pode-se ter uma melhor representaçãoda geometria da esteira.


Representação do vórtice da ponta da pá na análise computacionalanálise computacional

• O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua.• O vórtice tem uma estrutura helicoidal contínua.• Esta estrutura contínua é representada por pequenossegmentos de recta, cada um representado 15º-30º desegmentos de recta, cada um representado 15º-30º deidade da vórtice..

• A intensidade do vórtice é assumida como o máximo dacirculação na pá. Alguns cálculos assumem 80% docirculação na pá. Alguns cálculos assumem 80% dovalor máximo.

• Assume-se que o vórtice tem um núcleo com um raioempiricamente estabelecido, de maneira a manter a

• Assume-se que o vórtice tem um núcleo com um raioempiricamente estabelecido, de maneira a manter avelocidade finitas.


Resumo do cálculo utilizando a teoria de vórtices esteira rígida. de vórtices esteira rígida.

• Calcular o rácio da velocidade induzida utilizando o TEP • Calcular o rácio da velocidade induzida utilizando o TEP primeiro e a lei de Biot-Savart durante as iterações seguintes.

• Calcular a distribuição radial de cargas. • Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular • Converter estas cargas em intensidade de circulação. Calcular o máximo desta circulação. Este é o valor da intensidade do vórtice da ponta da pá.

• Assumir a trajectória do vórtice. • Assumir a trajectória do vórtice. • Eliminar o rácio da velocidade induzida calculada com o TEP e fazer o cálculo utilizando a lei de Biot-Savart.e fazer o cálculo utilizando a lei de Biot-Savart.

• Repetir até se atingir a convergência. Durante cada iteração ajustar o ângulo de picada da pá se o CT calculado é muito pequeno ou muito grande, quando comparado com o valor


pequeno ou muito grande, quando comparado com o valor fornecido.

Modelos de esteira livreModelos de esteira livre

• Estes modelos removem a necessidade de modelar àpartida a trajectória das estruturas de vórtices.partida a trajectória das estruturas de vórtices.

• Os cálculos são feitos através de incrementos detempo, com uma proposta inicial para a esteira.tempo, com uma proposta inicial para a esteira.

• Os pontos extremos de cada segmento de vórticepodem mover-se livremente no espaço convectadospodem mover-se livremente no espaço convectadospela velocidade induzida neste pontos.

• As suas posições são actualizadas no final de cada• As suas posições são actualizadas no final de cadaincremento de tempo.


Modelos de esteira livreModelos de esteira livre

PáPá

Aproximação a segmentosde linhade linha

Pontos extremos

Pá

extremos

Filamento de vórtice curvo

Velocidade induzida por um elemento emanado da

pá N-1


Cálculos (Vista de cima)Cálculos (Vista de cima)

ExperimentalEsteira livreEsteira livreEsteira rígida


Vortex Calculation (Side View)Vortex Calculation (Side View)

ExperimentalEsteira livreEsteira livreEsteira rígida

Escala vertical aumentada


Cálculos por Prof. LeishmanCálculos por Prof. Leishman

• Rotor do Helicóptero em velocidade de descida• Rotor do Helicóptero em velocidade de descidapequena (Estado de anéis de vórtices incipiente comtransição para voo horizontal com pequena velocidadede avanço.de avanço.


Cálculos por Prof. LeishmanCálculos por Prof. Leishman

• Helicóptero Tandem com velocidade de descida• Helicóptero Tandem com velocidade de descidapequena.


teoria de vórtices

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