“Año de la Consolidación Económica y Social del Perú”

ICA- PERU

2010

Docente: Msc. Ing. Rosalio Cusi Palomino

Curso: Fenómeno de Transporte

Ciclo: V “A”

Alumno: Medrano Soriano Wiliam

TTeeoorrííaa ddee VViissccoossiiddaadd

ddee llooss LLííqquuiiddooss

𝐹𝐸𝑁𝑂𝑀𝐸𝑁𝑂 𝐷𝐸 𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝑃𝑂𝑅𝑇𝐸 / 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 1

TEORÍA DE LA VISCOSIDAD DE LOS LÍQUIDOS

El conocimiento que tenemos de la viscosidad de los líquidos es fundamentalmente empírico, ya que la

teoría cinética de los líquidos se ha desarrollado tan solo de forma parcial. No obstante, tiene interés la

teoría aproximada desarrollada por Eyring y colaboradores, porque explica el mecanismo que tiene lugar,

y permite estimar aproximadamente la viscosidad a partir de otras propiedades físicas.

En un líquido puro en reposo, las moléculas están constantemente en movimiento, pero debido al compacto

empaquetamiento, el movimiento queda reducido prácticamente a la vibración de cada molécula dentro de

una “jaula” formada por las moléculas más próximas. Esta jaula está representada por la barrera de energía

potencial de altura Δ𝐺 0+

/𝑁 , como se indica en la Fig. 1. Eyring sugirió que un líquido en reposo sufre

reordenaciones continuas, durante las cuales una molécula escapa desde una “jaula” a un “hueco”

adyacente, tal como se indica en la Fig. 1, y que de esta forma, las moléculas se mueven en cada una de las

direcciones de las coordenadas cartesianas, dando saltos de longitud 𝑎 y frecuencia por molécula 𝑘 dada

por la ecuación de velocidad.

𝑘 =𝐾.𝑇

𝑕 𝑒−Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 ……… (𝐸𝑐. 1)

En esta ecuación:

𝐾 y 𝑕 son las constantes de Boltsmann y Planck.

𝑅 es la constante molar de los gases.

Δ𝐺 0+ es la “energía libre de activación” molar del fluido estacionario.

Si el fluido circula en la dirección-x con un gradiente de velocidad 𝑑𝑣𝑥/𝑑𝑦, la frecuencia de las

reordenaciones moleculares aumenta. En este efecto puede explicarse teniendo en cuenta que la barrera de

energía potencial se distorsiona a causa del esfuerzo aplicado 𝜏𝑦𝑥 (véase Fig. 1) de forma que:

−ΔG + = −Δ𝐺 0+

± α

δ

𝜏𝑦𝑥 𝑉

2 ……… (𝐸𝑐. 2)

𝐹𝐸𝑁𝑂𝑀𝐸𝑁𝑂 𝐷𝐸 𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝑃𝑂𝑅𝑇𝐸 / 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 2

Fig. 1. Ilustración de un proceso de escape en el flujo de un líquido. La molécula 1 tiene que atravesar un

estrecho “pasadizo” para alcanzar el lugar vacante.

Donde 𝑉 es el volumen de un mol de líquido 𝑦 ± 𝛼/𝛿 𝜏𝑥 𝑦 𝑉 /2 corresponde, aproximadamente, al trabajo

comunicado a las moléculas que se mueven hacia la cima de las barreras de energía, según que se muevan a

favor del esfuerzo cortante aplicado (signo más) o en contra de él (signo menos). Llamando 𝑘 a la frecuencia de

los saltos hacia delante y 𝑘𝑏 a la de los saltos hacia atrás, a partir de las ecuaciones (1) y (2) se encuentra que:

𝑘𝑓 =𝐾.𝑇

𝑕 𝑒−Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 . 𝑒 𝛼 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉 /2𝛿𝑅𝑇 ……… . (𝐸𝑐. 3)

𝑘𝑓 =𝐾.𝑇

𝑕 𝑒−Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 . 𝑒−𝛼 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉 /2𝛿𝑅𝑇 ……… (𝐸𝑐. 4)

𝑣𝑥𝐴

𝑣𝑥𝐵

𝑣𝑥𝐶

𝑥

𝑎

Δ𝐺 0+

En

ergí

a p

ote

nci

al d

e la

mo

lécu

la

1

Fluido en reposo

Fluido sometido al esfuerzo 𝜏𝑦𝑥

𝛿

𝛿

Capa A

Capa B

Capa C

Lugar vacante de la celdilla o “hueca”

𝐹𝐸𝑁𝑂𝑀𝐸𝑁𝑂 𝐷𝐸 𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝑃𝑂𝑅𝑇𝐸 / 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 3

La velocidad neta que las moléculas de la capa A (Fig. 1) se ponen delante de las de la capa B, es exactamente el

camino recorrido en un salto (𝛼) multiplicado por la frecuencia neta de los saltos hacia adelante (𝑘𝑓 − 𝑓𝑏); por

tanto:

𝑣𝑥𝐴 − 𝑣𝑥𝐵 = 𝛼 𝑘𝑓 − 𝑘𝑏 ……… (𝐸𝑐. 5)

Teniendo en cuenta que el perfil de velocidad es lineal en la pequeñísima distancia 𝛿 comprendida entre las

capas A y B, se llega a:

−𝑑𝑣𝑧𝑑𝑦

=𝛼

𝛿 𝑘𝑓 − 𝑘𝑏 ……… (𝐸𝑐. 6)

Combinando las ecuaciones (5) y (6), se obtiene finalmente:

−𝑑𝑣𝑧𝑑𝑦

=𝛼

𝛿 𝐾.𝑇

𝑕 𝑒−Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 𝑒 𝛼 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉 /2𝛿𝑅𝑇 − 𝑒−𝛼 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉 /2𝛿𝑅𝑇

−𝑑𝑣𝑧𝑑𝑦

= 𝐾.𝑇

𝑕 𝑒−Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 2 sinh

𝛼. 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉

2 𝛿𝑅𝑇 ……… (𝐸𝑐. 7)

Es interesante hacer notar que la ecuación (7) predice el flujo no-newtoniano de los líquidos en general; de

hecho, esta ecuación tiene la misma forma general que el modelo de Eyring, correspondiente a la ecuación (4).

Pero si 𝜏𝑥 𝑦 .𝑉 /2𝛿𝑅𝑇 es pequeño comparado con la unidad, la ecuación (7) concuerda con la ley de Newton de

la viscosidad, siendo:

𝜇 =𝛿

𝛼 𝑁. 𝑕

𝑉 𝑒 Δ𝐺 0

+/𝑅.𝑇 ……… (𝐸𝑐. 8)

En la que 𝑁 es el número de Avogadro. En la mayor parte de las aplicaciones se toma 𝛿/𝛼 igual a la unidad,

pero esta simplificación no supone una disminución de la exactitud, puesto que Δ𝐺 0+

se ha determinado

empíricamente para conseguir que la ecuación concuerde con los datos experimentales.

Se ha encontrado que las energías libres de activación Δ𝐺 0+

, determinadas ajustando la ecuación (7) para los

datos experimentales de la viscosidad frente a la temperatura, son casi constantes para un fluido dado, y

pueden correlacionarse fácilmente con la energía interna de vaporización a la temperatura normal de ebullición.

Δ𝐺 0+

= 0.408 Δ𝑈 vap ……… (𝐸𝑐. 9)

𝐹𝐸𝑁𝑂𝑀𝐸𝑁𝑂 𝐷𝐸 𝑇𝑅𝐴𝑁𝑆𝑃𝑂𝑅𝑇𝐸 / 𝑇𝑒𝑜𝑟í𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜𝑠 4

Utilizando esta información empírica, y tomando 𝛿/𝛼 = 1 lo que está de acuerdo con los cálculos que conducen

a la ecuación (9), la ecuación (8) se transforma en:

𝜇 =𝑁 .𝑕

𝑉 𝑒0.408 Δ𝑈 vap / RT ……… (𝐸𝑐. 10)

La energía de vaporización a la temperatura normal de ebullición puede calcularse aproximadamente mediante

la regla de Trouton:

Δ𝑈 𝑣𝑎𝑝 = Δ𝐻 𝑣𝑎𝑝 − 𝑅.𝑇𝑏 = 9.4 𝑅.𝑇𝑏 ……… (𝐸𝑐. 11)

Con esta última aproximación. La ecuación (10) queda:

𝜇 =𝑁 . 𝑕

𝑉 𝑒 3.8 𝑇𝑏/𝑇 ……… (𝐸𝑐. 12)

Las ecuaciones (10) y (12) indican que la viscosidad disminuye exponencialmente con la temperatura, lo que está

de acuerdo con el comportamiento observado para la mayor parte de los líquidos. Estas dos ecuaciones no son

muy exactas dando frecuentemente errores de hasta un 30%; son útiles especialmente para una estimación

aproximadamente, y sirven de guía para la interpolación y extrapolación de datos incompletos de viscosidad. No

deberán utilizarse, sobre todo para moléculas lineales muy largas, como, por ejemplo 𝑛 − 𝐶20𝐻42 , que se

desvían notablemente de la ecuación (9).

Ejemplo: Estimación de la viscosidad de un líquido puro.

Estimar la viscosidad del benceno líquido, 𝐶6𝐻6 a 20°C.

Solución: Se utiliza la ecuación (12), juntamente con los siguientes datos.

𝑁 = 6.023 × 1023(𝑔 −𝑚𝑜𝑙)−1

𝑕 = 6.624 × 10−27 𝑒𝑟𝑔. 𝑠𝑒𝑔 ó 𝑔. 𝑐𝑚2 . 𝑠𝑒𝑔−1

𝑉 = 89.0 𝑐𝑚3 𝑔 − 𝑚𝑜𝑙 −1 𝑎 20°𝐶

𝑇𝑏 = 273.2 + 80.1 = 353.3 𝐾

𝑇 = 273.2 + 20 = 293.2 𝐾

𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 12 , 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝜇 = 𝑁 .𝑕

𝑉 𝑒 3.8

𝑇𝑏𝑇

𝜇 = 6.023 × 1023 6.624 × 10−27

89.0 𝑒

3.8 × 353.2293.2

𝜇 = 4.46 × 10−3𝑔. 𝑐𝑚−1. 𝑠𝑒𝑔−1

𝜇 = 0.45 𝐶𝑝