Captulo III: NMEROS REALESIntroduccin:Hasta ahora hemos estudiado los conjuntos en general, los cuales constituyen una forma de organizacin de los mismos. Ahora vamos a estudiar a los principales conjuntos numricos, los principales conjuntos son:

Son los nmeros que se expresan en modo de fraccin. Hasta aqu podemos recordar algunas propiedades de estos conjuntos numricos: , ya que todos los nmeros que forman el conjunto de los Naturales tambin forma parte de los Enteros.

, entoncesAnalicemos un ejemplo: Demuestra que

Recuerda que existen algunos especialistas que gustan separar el conjunto de los naturales del siguiente modo: ,

Teniendo en cuenta la representacin de un nmero fraccionario, o racional, como , podemos expresar el nmero como un fraccionario donde . As ocurre con todos los nmeros naturales y enteros (por eso el tambin es un nmero racional). Pero adems podemos expresar el como fraccionario utilizando todos los nmeros que son mltiplos o divisores de este, y que sean diferentes de Por ejemplo: , al simplificar la fraccin obtenemos que:

Por lo tanto: Adems se definieron los nmeros Irracionales ( ), que son aquellos que no pueden expresarse como fraccin: Ejemplo:

1

Captulo III: NMEROS REALESTeniendo en cuenta la definicin de los nmeros irracionales, es imposible que o viceversa. Siendo as, formara un nuevo conjunto que se conoce como:

Este conjunto al estar formado por los subconjuntos sus elementos a .

, tambin incluye en

Representacin grfica de los Nmeros reales:

En una recta numrica, o recta real, pueden representarse los nmeros reales ( , de modo que a cada nmero real x, le corresponde exactamente un punto P sobre la recta, y viceversa. La propuesta de representacin de los y su correspondencia con los puntos de la recta se conoce como Correspondencia biunvoca o correspondencia uno a uno Veamos entonces la representacin grfica:B P

-4 a xReales negativos (

-1 -2/3 0

1

2

3

4

5

21/5

Reales positivos (

Al representar los nmeros reales se puede observar que entre 2 nmeros reales se ubica una cantidad infinita de nmeros erales. Esta propiedad de los nmeros reales se llama Densidad. Ejemplo: entre los nmeros , podemos ubicar

Definamos entonces cmo llamar a esa distancia entre

nmeros dados.

Intervalo: es un subconjunto de , que representa todos los nmeros reales que se ubican entre 2 nmeros dados, .Se clasifican de la siguiente forma: Abierto: Se representa como Notacin de conjunto: no incluye los extremos Cerrado: Se representa como Notacin de conjunto: s incluye los extremos Semiabierto: Se representa como o Notacin segn conjunto: para = incluye a Notacin segn conjunto: para = incluye a Infinito: Se representa como No incluye a , son todos los reales mayores que

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Captulo III: NMEROS REALESInfinito: Se representa como: todos los reales mayores o iguales a Infinito: Se representa por: todos los reales menores que Infinito: Se representa por: todos los reales menores o iguales que , incluye a , son No incluye a , son . S incluye a ,son

Como los intervalos constituyen subconjuntos de los nmeros reales, las operaciones unin, interseccin y diferencia tambin estn definidas para dichos conjuntos.

Ejercicios Resueltos:1. Escribir en notacin de intervalo el siguiente conjunto: Respuesta: 2 Determine el conjunto de nmeros reales que satisfacen la siguiente propuesta Represntelos grficamente.3

Si el intervalo es abierto en 3, se grafica as:3

Ejercicios Propuestos:1. Dados los intervalos Determine los conjuntos siguientes:a) b) c) d) e) f) g)

2. Represente grficamente los incisos anteriores 3. Escriba los siguientes conjuntos en notacin de intervaloa) 3

Captulo III: NMEROS REALESb) c)

A continuacin estudiaremos ciertas propiedades del Conjunto de los Nmeros Reales, que sern de mucha utilidad para tu aprendizaje: Se define para todo a, b, c Para Suma: Unicidad y cerradura (resultado nico para cada valor de a y b respectivamente) Conmutativa Asociativa Modulativa Mdulo o elemento neutro Invertiva es el elemento opuesto de Ejemplo: Distributiva (factor comn) Ejemplo: Demuestre que: Solucin: Es el nico axioma que relaciona las dos operaciones Para Multiplicacin : (resultado nico para cada valor de y respectivamente) Axiomas de campo

Mdulo neutro

o

elemento

es el recproco o inverso de Ejemplo

es el factor comn

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Captulo III: NMEROS REALESPropiedades derivadas de los axiomas de campo Ley cancelativa: Para todo a, b, c , la ecuacin tiene una nica solucin en representado por el valor que toma en la misma. Propiedad Hankeliana (ausencia de divisores de cero): Para todo Si Para todo Si Para todo Si

,

Si Si Si Para todo Cuadrado de suma o resta de dos nmeros reales: Si Cubo de suma o resta de dos nmeros reales: Suma o resta de dos nmeros cbicos reales:

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Captulo III: NMEROS REALESEjercicios Resueltos1. Sea x, y, z nmeros reales tales que: Suponiendo que compruebe que

Propiedades conmutativas y asociativas Por cuadrado de 2 nmeros naturales Propiedades asociativas Sumando z a cada miembro de la ecuacin Propiedad invertiva Dividiendo ambos miembros por :

Simplificando: Lo que queda demostrado

2. Para qu valores de , la siguiente igualdad se cumple: Respuesta: La igualdad se cumple para los valores 3. Verifique la siguiente igualdad1:

1

Matemtica para el ciclo diversificado. Primera Parte. Colectivo de autores.

6

Captulo III: NMEROS REALES

4. 2 La suma de nmeros enteros naturales impares consecutivos es Encuentre los nmeros. Nmero menor: Nmero intermedio: Nmero mayor: Ecuacin: +

Nmero menor: Nmero intermedio: Nmero mayor: Solucin:

5. Sean nmeros reales. Demuestre que la siguiente igualdad es ciertas. Determine para qu valores de las variables las expresiones no tienen solucin

Dicha expresin no tiene solucin para

2

Matemtica para el ciclo diversificado. Primera Parte. Colectivo de autores.

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Captulo III: NMEROS REALESEjercicios Propuestos1. Verifique las siguientes igualdades. a) b) c) d) e) f) g)

2. Determine los valores que satisfacen las ecuaciones siguientes: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) 3. Demuestre si las igualdades siguientes son verdaderas o falsas. a) b) c) d) e) f)

4. Sea x

,

. Simplifique todo lo que sea posible para x=4, x=-5, x=1.

Calcule

5. Factorice o desarrolle las siguientes expresiones segn corresponda8

Captulo III: NMEROS REALESa) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

donde Simplifique la expresin. .

6. Dada la siguiente funcin Determine el valor de f(x), si

7. Desarrolle las siguientes expresiones. Posteriormente calcule el valor de las funciones para a) b) c) 8. Complete con el trmino que falta en cada caso, el desarrollo de cuadrados. Posteriormente factorice dichas expresiones. Calcule el valor de cada expresin para a) b) c) d) 9. Sean nmeros reales. Demuestre que las siguientes igualdades son ciertas. Determine para qu valores de las variables las expresiones no tienen solucina) b) c)

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Captulo III: NMEROS REALES10. Descomponga las siguientes expresiones en tantos factores como sea posible a) b) c) d) 11. Hallar el valor dea) b) c) d) e) f) g)

para los cuales la ecuacin se cumple

12. Javier es mayor que Jos, la relacin de sus edades es . Adems si sumamos la edad de Javier y la de Jos se obtiene el nmero . Qu edad tiene cada uno?

Existe un subconjunto de Si

Axiomas de Orden (reales positivos), tal que:

denotado

Suma de positivos

Producto de positivos

Tricotoma: Sea , entonces se cumple una y solo una de las siguientes proposiciones:

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Captulo III: NMEROS REALESInecuaciones o desigualdades: En una desigualdad intervienen 1 o ms variables y su diferencia con las ecuaciones radica en que el signo = es sustituido por los signos (menor o igual que), (mayor o igual que), > (mayor que), 0

se interpreta como la distancia entre los xsi x