Teorema de Helmholtz

El teorema de Helmholtz demuestra que el conocimiento de la divergencia y el rotacional de un campo vec-torial es condicion suficiente para conocer el campo vectorial en todo el espacio. Asımismo, el campo puededescomponerse en una parte irrotacional y una parte solenoidal, o bien longitudinal y transversal, respectivamente.

Para demostrar el teorema vamos a hacer uso de una relacion vectorial conocida y el teorema de unicidad delpotencial. Este teorema se demostrara en el capıtulo “Teorıa del Potencial”, tema 12 del presente programa.

Sea la funcion auxiliarF (r), continua, definida en todo el espacio. Apliquemos la conocida relacion vectorial:

∇ × ∇ × F = ∇(∇ · F ) − ∇2F (1)

a esta funcion. Definamos

V = −∇2F , U = ∇ · F , W = ∇ × F (2)

Podemos reescribir la ecuacion (1) como:

V = −∇U + ∇ × W (3)

Hemos escrito el vectorV como la suma de una parte irrotacional y una parte solenoidal. Hallemos la divergenciadeV :

∇ · V = −∇2U (4)

Pero esta es la ecuacion de Poisson. Si el vectorV esta definido en todo el espacio y tiende a cero en el infinito, lasolucion de esta ecuacion es:

U(r) =1

4π

∫∫∫d3r′ ∇′ · V (r′)

|r − r′| (5)

Si hallamos el rotacional,∇ × V = −∇2W (6)

ya que la divergencia deW es cero a partir de su definicion. Nuevamente obtenemos la ecuacion de Poisson. Lasolucion paraW es:

W (r) =1

4π

∫∫∫d3r′ ∇′ × V (r′)

|r − r′| (7)

con lo que el teorema queda demostrado. Conociendo la divergencia y el rotacional deV en todo el espacioes posible obtener el campo vectorialV en todo el espacio yeste consiste de dos partes, una irrotacional y unasolenoidal.

¿En que punto hemos utilizado el teorema de unicidad del potencial? Dicho teorema se refiere a la ecuacionde Poisson (o Laplace) y nos garantiza que si conocemos la laplaciana de una funcion (U o W en nuestro caso),la solucion integral que hemos escrito nos garantiza que dicha solucion esunica. Es decir, tantoU comoW estanunıvocamente definidas y por tanto el campo vectorialV esta unıvocamente definido a partir de su divergencia yrotacional. No hay otra solucion posible.

Andres Cantarero, octubre de 2004.