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Tema IXFunciones Exponenciales y

Logarítmicas

Precálculo

Función Exponencial

• La función exponencial básica es f(x) = bx, donde la base b es una constante y el exponente x es la variable independiente.

( ) , donde 0, 1x b bx bf

BaseExponente


• Consideremos la función f(x) = 2x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2

-1

0

1

2

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1

0

1

2

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0

1

2

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0 1

1

2

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

3



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

3 8



-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

x f(x) = 2x

-2 ¼

-1 ½

0 1

1 2

2 4

3 8Esta recta se conoce como una asíntota, una recta a la cual la función graficada se acerca a medida que los valores de x se hacen muy grandes o muy pequeños.


Una función de la forma ( ) , donde

0 y 1, es una función de

la cual aumenta a medida que

aumenta.

Cuando 0 1, la función es llama

crecimien

da una

fun

to

exponencial,

decaimiento exponeci ncón de

xf x ab

a b

x

b

, la cual

disminuye a medida que aume

i

.

al

ntax

Graficando Funciones Exponenciales

• Determina si la función muestra crecimiento o decaimiento. Luego grafícala.

1. f(x) = 1.5x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y



1. g(x) = 30(0.8)x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4-3-2-1

123456789

10111213141516171819202122232425262728293031

x

y



1. h(x) = 5(1.2)x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9-8-7-6-5-4-3-2-1

123456789

x

y



1. f(x) = 10(3/4)x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y



1. f(x) = 100(1.05)x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Crecimiento y Decaimiento

1( )t

aA rt

Cantidad Final

Cantidad Inicial

Razón de Cambio

Número de Periodos de Tiempo

En la fórmula, la base de la expresión exponencial, 1 + r, es llamado el factor de crecimiento. Similarmente, 1 – r, es el factor de decaimiento.

Aplicaciones

• Tony compró una guitarra Gibson del 1959 por $12,000 en el año 2000. Los expertos estiman que su valor aumentará un 14% por año. Utiliza una gráfica para encontrar cuando el valor de la guitarra será $60,000.

Aplicaciones

• La población de una ciudad, la cual era inicialmente 15,500, ha ido disminuyendo a una razón de 3% al año. Escribe una función exponencial y grafica la función. Utiliza la gráfica para predecir cuando la población llegará a los 8,000.

Graficando Relaciones Inversas

• Grafica la relación y conecta los puntos. Luego grafica la inversa. Identifica el dominio y el alcance.

x 0 1 2 4 8

y 2 4 5 6 7

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y



x 1 3 4 5 6

y 0 1 2 3 5

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y



x 0 1 5 8 9

y 2 5 6 9 9

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Escribiendo Funciones InversasEncuentra la inversa de las siguientes funciones.

1) ( ) 2

2) ( )3

23) ( )

3

4) ( ) 54

5) ( ) 5 7

6) ( ) 3 7

f x x

xf x

f x x

xf x

f x x

f x x

Escribiendo y Graficando Funciones Inversas

Grafica ( ) 3 6. Luego escribe y grafica la inversa.f x x

f(x)=3x+6

f(x)=x/3-2

f(x)=x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

x

y


1Grafica ( ) 5. Luego escribe y grafica la inversa.

2f x x

f(x)=-x/2-5

f(x)=-2x-10

f(x)=x

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

12

14

x

y


2Grafica ( ) 2. Luego escribe y grafica la inversa.

3f x x

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Aplicaciones

• Juan compró un CD por Internet con un 20% de descuento del precio regular. El pagó $2.50 por el envío. El cargo total fue $13.70 ¿Cuál es el precio regular del CD?

Logaritmos

• Un logaritmo es el exponente al cual se eleva una base específica para obtener un valor dado.

• Puedes escribir una ecuación exponencial como una logarítmica y viceversa.

logx

bb a a x

Ecuación Exponencial Ecuación Logarítmica

Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica

Ecuación Exponencial Forma Logarítmica

53 2431

225 5

410 10,0001 1

66

ba c

Propiedades Especiales de Logaritmos

Para cualquier base 0 y 1.b b

log 1b b

log 1 0b

FORMA LOGARÍTMICA FORMA EXPONENCIAL EJEMPLO

Logaritmo de Base b

Logaritmo de 1

1b b

0 1b

10

1

log 10 1

10 10

10

0

log 1 0

10 1

10

Un logaritmo con base 10 es llamado un .

Si no se escribe una base para algún logaritmo se asume que es 10.

Ejemplo:

logaritmo

log5 lo

comú

g

n

5.

Evaluando Logaritmos Mentalmente

4

25

5

7

Evalúa utilizando matemática mental.

1) log1000

12) log

4

3) log 0.00001

4) log 0.04

5) log 0.01

6) log 125

7) log 243

Propiedad de Producto de Logaritmos

log log logb b bmn m n

3 3 3 3

Ejemplo:

log 1000 log 10 100 log 10 log 100

Propiedad de Producto de Logaritmos

• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.

1. log5625 + log525

2. log42 + log432

3. log64 + log69

Propiedad de Cociente de Logaritmos

log log logb b b

mm n

n

5 5 5

Ejemplo:

16log log 16 log 2

2

Propiedad de Cociente de Logaritmos

• Expresa como un solo logaritmo. Simplifica si es posible.

1. log232 – log24

2. log749 – log77

3. log5100 – log54

Propiedad de Potencia de Logaritmos

log logp

b ba p a

3

Ejemplo:

log10 3log10 3 1 3

Propiedad de Potencia de Logaritmos

• Expresa como un producto. Simplifica si es posible.

1. log3812

2. log5(1/5)3

3. log2326

4. log5252

Propiedades Inversas de Logaritmos

10

7

10

log log 2

log log 10 7

10 2b

x

b

x

b x

b x

Álgebra Ejemplo


• Simplifica cada expresión.

1. log883x + 1

2. log5125

3. log3311

4. log381


• Simplifica cada expresión.

2

5

2

log 8

log 10

log 27

1. 2

2. 5

3. 2

x

Fórmula de Cambio de Base

loglog

log

ab

a

xx

b

24

2

Ejemplo:

log 8 3log 8

log 4 2

Fórmula de Cambio de Base

• Evalúa las siguientes expresiones.

1. log927

2. log816

3. log328

Ecuación Exponencial

• Una ecuación exponencial es una ecuación que contiene una o más variables como un exponente.

• Para resolver ecuaciones exponenciales puedes utilizar lo siguiente:

Si , entonces ( 0, 1).

Si , entonces log log (

x yb b x y b b

a b a b a b

Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

61) 8 2x x 22) 5 200x

23) 3 27x 4) 7 21x

Resolviendo Ecuaciones Exponenciales

35) 2 15x 8 36) 9 27x x

17) 4 5x

Ecuaciones Logarítmicas

• Una ecuación logarítmica es una ecuación con una expresión logarítmica que contiene una variable.

• Para resolver ecuaciones logarítmicas puedes utilizar lo siguiente:

Si log log entonces .b bx y x y

Resolviendo Ecuaciones Logarítmicas

31) log 5 2x 2) log 45 log3 1x

2

43) log 7x 4) log log 9 1x x


5) 3 log8 3log x 6) 2log log 4 0x

67) log 2 1 1x 4 48) log 100 log 1 1x


4

59) log 8x 12 1210) log log 1 1x x

Fórmula de Interés Compuesto

1

ntr

A Pn

Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,n es la cantidad de veces que el interés es compuesto al año yt es el tiempo en años.

Interés Continuo

• Asume que se invierte $1 a un 100% de interés (r = 1) compuesto n veces en un año. Lo cual puede ser representado por la función:

11

n

f nn

Interés Continuo

• A medida que n se vuelve un número grande, el interés es compuesto continuamente.

• Examinemos la gráfica de f(n).

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x

y

El número natural e

2.718281828459...e


Grafica la función 2xf x e

-2 -1 1 2 3 4

2

4

6

8

10

12

14

x

y


Grafica la función 3xf x e

-2 -1 1 2 3 4

-2

2

4

6

8

10

12

x

y

Logaritmo Natural

log lne x x

Simplificando Expresiones con e o ln

• Simplifica.3.21) ln e

2 ln 12)

te

5 ln3) xe

3.24) ln e

2 ln5) xe

46) ln x ye

Fórmula de Interés Compuesto Continuamente

rtA Pe

Donde:A es la cantidad total,P es el principal,r es la taza de interés anual,t es el tiempo en años.

Aplicaciones a Economía

• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $1000 invertido al 5% durante 10 años compuesto continuamente?

• ¿Cuál es la cantidad total para una inversión de $100 invertido al 3.5% por 8 años y compuesto continuamente?

Media – Vida

• La media – vida de una sustancia es el tiempo que le toma a la mitad de la sustancia descomponerse o convertirse en otra sustancia durante el proceso de decaimiento.

• El proceso de decaimiento natural está modelado por la siguiente función.

0

ktN t N e

Cantidad inicial

Constante de decaimiento

Tiempo

Cantidad restante

Aplicación a Paleontología

• Un paleontólogo descubre un fósil de un tigre dientes de sable en California. El analiza el fósil y concluye que el espécimen contiene 15% de su carbono-14 original. El carbono-14 tiene una media vida de 5730 años. Determina la edad del fósil.

• Determina cuanto le tomaría a una muestra de 650 mg de cromio-51, el cual tiene una media vida de 28 días, para decaer a 200 mg.

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