Introduccin

Laura Ivoone Garay JimnezUPIITA-IPN

Introduccin

Relaciones en funciones certerasConjunto PotenciaProducto cartesianoRelaciones restringidas y no restringidasComposicin, maximum, minimum

Pasando del mundo certero a difusoFusificacin de variablesOperadores T-norma Operadores S-norma

Conjunto Potencia y valor

Sea X={a,b,c} y Y={0,1}El conjunto potencia (power set ) contiene todas las posibles combinaciones de los elementos del universo X P(X)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

Entonces el conjunto de valores (value set) V(P(X)) establece los limites de la representacin de X en el universo Y.V(P(X))={{0,0,0},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1},{1,1,0}, {1,0,1},{0,1,1},{1,1,1}}

Representacin de V(P(X))

Sea X={a,b,c} y Y={0,1}, entonces V(P(X))={{0,0,0},{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1},{1,1,0}, {1,0,1},{0,1,1},{1,1,1}}

{1,1,1}

{1,0,0}

{0,1,1}

a

c

b{0,0,0}X Y

R

Analizar!

Cmo representaramos un universo de un elemento?

Cmo uno de dos elementos?

Producto cartesiano en funciones certeras.

Sean r conjuntos certeros A, entonces existe un conjunto de r elementos denominado r-tupla. Si a1 A1 , a2A2, ..arAr

Al conjunto de todas las r-tuplas se le denomina producto cartesiano de A1 , A2 , Ar , y se representa como A1 x A2 x A3 x Ar ,

Ejemplo: A={0,1} y B={a,b,c}, donde n=2 y m=3

Ax B = {(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)}

B x A = {(a,0),(a,1),(b,0),(b,1),(c,1),(c,2)}

Completar:A x A= A2 = { }B x B= B2 = { }

Relaciones en conjuntos certeros.

Si usamos un subconjunto del producto cartesiano, le denominaremos relacin r-aria sobre A1 , A2 , Ar .El ms comn es con r=2, la relacin binaria sera:

A1 x A2 ={(a1,a2) | a1 A1, a2 A2}La fuerza con la que los pares estn relacionados se

define por la funcin de membresia

A1 x A2 (a1,a2)= 0, (a1,a2) A1 x A21, (a1,a2) A1 x A2

Relaciones en conjuntos certeros.

Si usamos un subconjunto finitos entonces se puede representar en una matriz de relacin

a b c 1 aR= 1 1 1 1 2 b

2 1 1 1 3 c3 1 1 1 (a)

1 a(b) 2 b

3 c

La relacin puede ser (a) sin restriccin o (b) con restriccin.

Relaciones en conjuntos certeros.

GeneralizandoUna relacin R, existe cuando elementos de 2 universos estn pareados en forma restringida y estn dentro del espacio cartesiano X x Y, para los valores (0,1)

R (x,y)= 0, (x,y) R1, (x,y) R

Composicin T= RS

Permite conocer la relacin entre un subconjunto de un universo con otro subconjunto en el otro universo, a travs de un tercero.

R S

X

Y

ZT

Composicin T= RS

Permite conocer la relacin entre un par de subconjuntos relacionados en un universo con otro universo.

RS

X

Y

ZT

Operacin composicin certera

max-min composicinSon operaciones que involucran la unin.

T= RS

T(x, z)= (R(x,y) s(x,z))Max-product composicin

Son operaciones que involucran la interseccin.T= RS

T(x, z)= (R(x,y) s(x,z))

Operacin composicin certera

maximun

minimum

T(x, z)= (R(x,y) s(x,z))

Pasando del mundo certero al difuso

FusificacinNecesidad de representa un conjunto considerando su funcin y su

grado membresa

A={(x1, (x1) ), ( x2, (x2) ),., ( xn, (xn) )}A={(x1) / x1 + (x2) / x2 +., (xn) / xn}

n Elementos de la variable fusificada(xn) Funcin de Membresa para conjuntos difusos, o grado de pertenencia.(xn) grado de pertenencia para conjuntos certerosxn Elemento n de la variable fusificadaLos valores reales se deben normalizar entre [0,1]

Ejercicios de tarea: 2.1,2.2,2.5,2.9,2.11, 2.13, 2.15 del libro de Timothy Ross, Fuzzy logic with engineering applications

Ejercicio en clase: Operaciones bsicas

Sea A X y B XA={(0,0),(1,0.3),(2,0.7),(3,0.8),(4,0.9),(5,1)} yB={(0,0),(1,0.2),(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1)}

ObtenerAB

AB

Operadores T normaSon operadores que involucran la interseccin, es decir el producto entre funciones. T: [0,1] x [0,1] = [0,1] AB= T

Tmin(a,b) = min(a,b)Existen un grupo de operadores que siguen el

comportamiento anterior

Producto algebraico Tap(a,b)=a*b

Producto frontera Tbp(a,b)=0(a+b-1)

Producto drstico Tdp(a,b)= a, si b = 1;b, si a=1;0, si (a,b)

Operadores S normaoperadores S norma.Son operadores que involucran la unin. Por lo que se

toma el mximo de las funcionesS: [0,1] x [0,1] =[0,1] AuB= S

Smax(a,b) = max(a,b)=abExisten varios operadores que siguen este

comportamiento.Suma algebraica Sab(a,b)= a+b- a*bSuma frontera Sbs(a,b)=1(a+b)Suma drstica Sds(a,b)= a, si b=0

b, si a=01, si (a,b)>0

Ejercicio en clase: Operadores T y S norma1. A={(0,0),(1,0.3),(2,0.7),(3,0.8),(4,0.9),(5,1)} y

B={(0,0),(1,0.2),(2,0.4),(3,0.6),(4,0.8),(5,1)}2. Sea X=[-15, 15] y

A(x) =1/ 1+ ((x+5)/ 7.5)4

B(x) =1/ 1+ ((x-5)/ 5)2

Obtener Tmin, Tap, Tbp, TdpObtener Smax, Sas,Sbs,Sds

Practica 2

1. Realizar un cdigo en Matlab, que solicite al usuario ingresar un valor certero a fusificar. El programa deber mostrar grficamente los grados de pertenencia en cada conjunto y devolverlo en la ventana de comandos.Utilice las propuestas de funcin diseadas en la prctica 1.

2. Usando los siguientes datos del ejercicio de la aplicacin de operaciones.

3. Graficar las operacin T- norma y S norma con las variables fusificadas del ejercicio que le toco.