tema n°01 números reales 2015

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Tema N° 01 matemática CEPRE

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  • Matemtica

    1

    Figura N 01: La grfica muestra la dependencia natural que existe entre los conjuntos numricos.

    Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Ss3tZGZkqkI/AAAAAAAAC8Q/Wg15m0kmVMc/s400/Conjuntos+Num%C3%A9ricos.JPG

    Tema: 1

    FUNDAMENTOS DE NMEROS REALES

    Los nmeros naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras

    civilizaciones: La necesidad de contar.

    El hombre primitivo identificaba objetos con caractersticas iguales y poda distinguir entre

    unos y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empez a

    representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra; stas

    representaban cada objeto observado, y as pudo concebir la idea de nmero.

    Para el siglo X despus de Cristo, el matemtico y poeta Omar Khayyam estableci una

    teora general de nmero y aadi algunos elementos a los nmeros racionales, como son los

    nmeros irracionales, para que puedan ser medidas todas las magnitudes.

    Slo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dio una definicin

    satisfactoria de conjunto de los nmeros reales, con los trabajos de grandes matemticos como

    Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.

    1.1. Situacin problemtica

    Su corazn y los smbolos de agrupacin

    El gasto cardiaco ideal durante el ejercicio fsico se encuentra restando su edad A de 205,

    el resultado se multiplica por siete y la respuesta se divide entre diez.

    a). Represente simblicamente lo expresado anteriormente.

    Los nmeros reales resultan de la unin de los

    nmeros racionales e irracionales y se denota por

    . El origen del nmero irracional esta siempre

    en la intuicin geomtrica y Pitgoras fue el

    primero en sealarlo en su teorema. Los

    matemticos griegos se limitaron a trabajar con

    nmeros irracionales que se derivan de su

    aplicacin repetida de la extraccin de races

    cuadradas sin llegar nunca a tener la idea de

    nmero irracional.

    ste apareci hasta el final del siglo XVI al

    introducirse los nmeros decimales, cuyo uso se

    generaliz con el uso de la tabla de logaritmos.

    Histricamente el clculo oblig as a que se

    introdujeran nuevos conceptos y que se

    consideraran tan importantes, pues no tardaron en

    reconocer su extraordinaria utilidad.

  • Matemtica

    2

    b). En el supuesto que su edad es de 25 aos, cul es el gasto cardiaco ideal?

    1.2. Fundamentos tericos

    1.2.1. Conjuntos numricos

    Nuestro mundo numrico se fue generando a lo largo de los siglos segn los hombres

    iban necesitando de diversos modos de comunicacin y de acuerdo con los

    requerimientos de otras reas de accin como el comercio, la astronoma, la

    agricultura, etc. La matemtica y la infinidad de actividades en que el hombre se ha

    interesado ha permitido crear los conjuntos numricos.

    Los conjuntos numricos se clasifican de la siguiente manera:

    A). Nmeros naturales

    = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

    = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

    B). Nmeros enteros

    = - ..... -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,.....+

    = = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

    0 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

    = - .......... , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1

    0 = - .......... , -10 , - 9 , - 8 , -7 , -6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , -1 , 0

    C). Nmeros racionales

    14 1 2 14= - ....., - 5.5 , - 3 ,- , - 2 , -1 , -0.05 , - , 0 , 0.01 , , , 5 ,.....+

    5 2 5 3

    p= / p y q son enteros y q 0

    q

    D). Nmeros irracionales

    105 7 9I = - ..... - 6 , - 5 , - 3 , - 2 , - , 2 , 3 , 4 , 5e , .....+2

    E). Nmeros reales

    I (Es la unin de los nmeros racionales con los irracionales)

    F). Nmeros complejos

    , = z = a+bi / a , b i = -1

    Observacin: En el presente curso slo estudiaremos y realizaremos operaciones en el

    conjunto de los nmeros reales por el orden que presentan.

  • Matemtica

    3

    1.2.2. Regla de signos

    Adicin

    1) +a + +b = + a + b

    2) -a + -b = - a + b

    3) +a + -b = + a - b ; si a > b

    4) +a + -b = - b - a ; si b > a

    Sustraccin

    a - b = a + -b

    Multiplicacin

    1) +a +b = + ab

    2) +a -b = - ab

    3) -a +b = - ab

    4) -a -b =+ ab

    Divisin

    1)

    +a a = +

    +b b

    2)

    -a a = +

    -b b

    3)

    +a a = -

    -b b

    4)

    -a a = -

    +b b

    Potenciacin

    1) Par

    + =+ Positivo

    2) Impar

    + =+ Positivo

    3) Par

    =+ Positivo

    4) Impar

    = Negativo

    Radicacin

    1) Par + = + Positivo

    2) Impar + = + Positivo

    3) Impar = Negativo

    4) Par = Cantidad imaginaria

    1.2.3. Orden en las operaciones elementales

    Dada una expresin que involucre las diferentes operaciones, stas se realizan en el

    siguiente orden:

    Primero: Potencias y races. (Si se tiene la potencia o raz de una suma o resta, estas

    operaciones se resuelven primero).

    Segundo: Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

    Tercero: Sumas y restas de izquierda a derecha.

  • Matemtica

    4

    1.2.4. Jerarqua en los signos de agrupacin

    Dada una expresin que involucre diferentes signos de agrupacin, existe una

    jerarqua y orden que debemos respetar para obtener resultados correctos. As primero

    se deben desarrollar las operaciones que estn agrupadas por parntesis, luego los

    corchetes, a continuacin las llaves y finalmente las barras-

    Ejemplos:

    A). Determina el resultado de la siguiente operacin combinada:

    A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10

    Solucin:

    Tomando en cuenta lo expuesto en la teora anterior tenemos que:

    A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10

    A= -8 - 2 - 3 5 - 2 -2 +4 -2 +3 2 - 5 -2 -10

    A= -8 - 2 - 3 5+4 - 8 +3 2+10

    -10

    A= -8 - 2 - 3 1 +3 2

    A= -8 - 2 - 3 +6 = -8 - -1 +6

    A= -8+1+6 = -1

    B). Calcula: B -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11

    Solucin:

    Procedemos en forma similar al ejemplo anterior y obtenemos:

    B = -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11

    B = -12 - +15 - -11 - -5 -17 - +13 + +24

    B = -12 -15+11 - -5 -17 -13 +24

    B = -16 - -5 -30 +24

    B = -16 - +150+24 = -16 - +174

    B = -16 -174 = -190

    EJERCICIOS DE REFUERZO

    Ahora t, resuelve los siguientes ejercicios:

    1) 935243142395 xxx Rpta: 49

    2) 6910315073872 xx Rpta: 70

    3) 36148657 Rpta: 8

  • Matemtica

    5

    4) 3461123583711 Rpta: -7

    5) 398245638 Rpta: 2

    1.2.5. Radicacin

    Operacin que permite hallar un valor que multiplicando tantas veces como lo indica

    el ndice, d el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de

    radicando.

    Definicin:

    mn na = r a= r ; n n >1

    Donde: m

    a : Es la base

    n : Es el ndice de la raz

    m : Es el exponente de la base

    a : Es el radicando

    : Signo radical

    Observaciones importantes

    Al resolver radicales se debe tener en cuenta los siguientes criterios:

    Si "n" es par y a 0 Existe "r " r 0

    Si "n" es par y a < 0 No existe "r", es decir "r "

    Si "n" es impar y a 0 Existe "r " r 0

    Si "n" es par y a < 0 Existe "r " r

    < 0

    Propiedades:

    a). n n n na.b.c = a . b . c

    b). ; n

    nn

    a a= b 0

    b b

    c). n m mna = a

    d). n 1 = 1

    e). n 0 = 0

    f). n na = a

  • Matemtica

    6

    Ejemplos:

    A). Cul es el resultado de 3N = 729 ?

    Solucin:

    6

    3 2 6 6 13 6N = 729 = 729 = 3 = 3 = 3 = 3

    B). Cul es el resultado de 4-3 -1 -5 54M = 2 3 5 2 3 125 ?

    Solucin:

    1 53 1 5 1-- -

    4-3 -1 -5 54 4 42 2 2 2

    1 5 1 53 1 5 3 1 5 31- -- - - -

    34 4 4 42 2 2 2 2 2 22

    1 5 43 5 1 3 2 2- -- + - +

    -14 4 42 2 2 2 2 2

    M = 2 3 5 2 3 125 = 2 .3 .5 2 .3 .125

    M = 2 .3 .5 2 .3 . 5 = 2 .3 .5 2 .3 .5

    1M = 2 .3 .5 = 2 .3 .5 = 2 .3.5 = .15

    2

    15=

    2

    C). Cul es el resultado de

    3

    4

    2.2P = 2

    32

    ?

    Solucin:

    71 1 7 1+3

    1 1 13 3 42 2 2 22 2 2

    5 5 54 4 54 4 4

    1 7+

    1 7 5 22 4 + -12 4 4 2

    5

    4

    2.2 2 .2 2 2 2 .2P = 2 = 2 = 2 = 2 =

    32 22 2 2

    2P = = 2 = 2 = 2 = 2

    2

    D). Cul es el resultado de la operacin: T = 20 45 80 ?

    Solucin:

    T = 20 + 45 - 80 = 4 5 + 9 5 - 16 5

    T = 4 5 + 9 5 - 16 5

    T = 2 5 +3 5 - 4 5

    T = 5 5 - 4 5

    T = 5

  • Matemtica

    7

    E). Cul es el resultado de la operacin:

    12 6 3 12 18

    12Q =

    6 6 . 2. 3

    ?

    Solucin:

    1 12 6 3 12 18 2 6 3 2 3 3 2

    12 12Q = =

    6 6 . 2. 3 6 6 . 2. 3

    3 362 6 6 3 2 6 3 212 12Q = Q =

    6 6 . 2. 3

    6 6 . 2. 3 3 1

    = =6 2

    1.2.6. Racionalizacin

    El proceso de racionalizacin consiste en expresa