Matemática

1

Figura Nº 01: La gráfica muestra la dependencia natural que existe entre los conjuntos numéricos.

Fuente:http://4.bp.blogspot.com/_e6ns2w7oOIs/Ss3tZGZkqkI/AAAAAAAAC8Q/Wg15m0kmVMc/s400/Conjuntos+Num%C3%A9ricos.JPG

Tema: 1

FUNDAMENTOS DE NÚMEROS REALES

Los números naturales tienen origen en una necesidad tan antigua como las primeras

civilizaciones: La necesidad de contar.

El hombre primitivo identificaba objetos con características iguales y podía distinguir entre

unos y otro; pero no le era posible captar la cantidad a simple vista. Por ello, empezó a

representar las cantidades haciendo marcas en huesos, trozos de madera o piedra; éstas

representaban cada objeto observado, y así pudo concebir la idea de número.

Para el siglo X después de Cristo, el matemático y poeta Omar Khayyam estableció una

teoría general de número y añadió algunos elementos a los números racionales, como son los

números irracionales, para que puedan ser medidas todas las magnitudes.

Sólo a finales del siglo XIX pudo formalizarse la idea de continuidad y se dio una definición

satisfactoria de conjunto de los números reales, con los trabajos de grandes matemáticos como

Cantor, Dedekind, Weierstrass, Heine y Meray, entre otros.

1.1. Situación problemática

“Su corazón y los símbolos de agrupación”

El gasto cardiaco ideal durante el ejercicio físico se encuentra restando su edad “A” de 205,

el resultado se multiplica por siete y la respuesta se divide entre diez.

a). Represente simbólicamente lo expresado anteriormente.

Los números reales resultan de la unión de los

números racionales e irracionales y se denota por

. El origen del número irracional esta siempre

en la intuición geométrica y Pitágoras fue el

primero en señalarlo en su teorema. Los

matemáticos griegos se limitaron a trabajar con

números irracionales que se derivan de su

aplicación repetida de la extracción de raíces

cuadradas sin llegar nunca a tener la idea de

número irracional.

Éste apareció hasta el final del siglo XVI al

introducirse los números decimales, cuyo uso se

generalizó con el uso de la tabla de logaritmos.

Históricamente el cálculo obligó así a que se

introdujeran nuevos conceptos y que se

consideraran tan importantes, pues no tardaron en

reconocer su extraordinaria utilidad.

Matemática

2

b). En el supuesto que su edad es de 25 años, ¿cuál es el gasto cardiaco ideal?

1.2. Fundamentos teóricos

1.2.1. Conjuntos numéricos

Nuestro mundo numérico se fue generando a lo largo de los siglos según los hombres

iban necesitando de diversos modos de comunicación y de acuerdo con los

requerimientos de otras áreas de acción como el comercio, la astronomía, la

agricultura, etc. La matemática y la infinidad de actividades en que el hombre se ha

interesado ha permitido crear los conjuntos numéricos.

Los conjuntos numéricos se clasifican de la siguiente manera:

A). Números naturales

= 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

= 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

B). Números enteros

= - ..... -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,.....+

= = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

0 = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ,...........+

= - .......... , -10 , -9 , -8 , -7 , -6 , -5 , -4 , -3 , - 2 , -1

0 = - .......... , -10 , - 9 , - 8 , -7 , -6 , - 5 , - 4 , - 3 , - 2 , -1 , 0

C). Números racionales

14 1 2 14= - ....., - 5.5 , - 3 ,- , - 2 , -1 , -0.05 , - , 0 , 0.01 , , , 5 ,.....+

5 2 5 3

p= / p y q son enteros y q 0

q

D). Números irracionales

105 7 9πI = - ..... - 6 , - 5 , - 3 , - 2 , - , 2 , 3 , 4 , 5e , .....+

2

E). Números reales

I (Es la unión de los números racionales con los irracionales)

F). Números complejos

, = z = a+bi / a , b i = -1

Observación: En el presente curso sólo estudiaremos y realizaremos operaciones en el

conjunto de los números reales por el orden que presentan.

Matemática

3

1.2.2. Regla de signos

Adición

1) +a + +b = + a + b

2) -a + -b = - a + b

3) +a + -b = + a - b ; si a > b

4) +a + -b = - b - a ; si b > a

Sustracción

a  -  b  =  a  +   -b

Multiplicación

1) +a +b = + ab

2) +a -b  = - ab

3) -a +b  = - ab

4) -a -b   =+ ab

División

1)

+a a = +

+b b

2)

-a a = +

-b b

3)

+a a = -

-b b

4)

-a a = -

+b b

Potenciación

1) Par

+ =+ Positivo

2) Impar

+ =+ Positivo

3) Par

=+ Positivo

4) Impar

= Negativo

Radicación

1) Par + = + Positivo

2) Impar

+ = + Positivo

3) Impar= Negativo

4) Par = Cantidad imaginaria

1.2.3. Orden en las operaciones elementales

Dada una expresión que involucre las diferentes operaciones, éstas se realizan en el

siguiente orden:

Primero: Potencias y raíces. (Si se tiene la potencia o raíz de una suma o resta, estas

operaciones se resuelven primero).

Segundo: Multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

Tercero: Sumas y restas de izquierda a derecha.

Matemática

4

1.2.4. Jerarquía en los signos de agrupación

Dada una expresión que involucre diferentes signos de agrupación, existe una

jerarquía y orden que debemos respetar para obtener resultados correctos. Así primero

se deben desarrollar las operaciones que están agrupadas por paréntesis, luego los

corchetes, a continuación las llaves y finalmente las barras-

Ejemplos:

A). Determina el resultado de la siguiente operación combinada:

A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10

Solución:

Tomando en cuenta lo expuesto en la teoría anterior tenemos que:

A= -8 - 2 - 3 5 - 2 1- 3 +4 8 -10 +3 2 - 5 1- 3 -10

A= -8 - 2 - 3 5 - 2 -2 +4 -2 +3 2 - 5 -2 -10

A= -8 - 2 - 3 5+4 - 8 +3 2+10

-10

A= -8 - 2 - 3 1 +3 2

A= -8 - 2 - 3 +6 = -8 - -1 +6

A= -8+1+6 = -1

B). Calcula: B -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11

Solución:

Procedemos en forma similar al ejemplo anterior y obtenemos:

B = -3 - 9 - 8+7 - -11 - -5 8 - 25 - 8+5 + 13+11

B = -12 - +15 - -11 - -5 -17 - +13 + +24

B = -12 -15+11 - -5 -17 -13 +24

B = -16 - -5 -30 +24

B = -16 - +150+24 = -16 - +174

B = -16 -174 = -190

EJERCICIOS DE REFUERZO

Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:

1) 935243142395 xxx Rpta: 49

2) 6910315073872 xx Rpta: 70

3) 36148657 Rpta: 8

Matemática

5

4) 3461123583711 Rpta: -7

5) 398245638 Rpta: 2

1.2.5. Radicación

Operación que permite hallar un valor que multiplicando tantas veces como lo indica

el índice, dé el valor que se encuentra dentro del radical, el cual recibe el nombre de

radicando.

Definición:

mn na = r a= r ; n n >1

Donde: m

a : Es la base

n : Es el índice de la raíz

m : Es el exponente de la base

a : Es el radicando

: Signo radical

Observaciones importantes

Al resolver radicales se debe tener en cuenta los siguientes criterios:

Si "n" es par y a 0 Existe "r " r 0

Si "n" es par y a < 0 No existe "r", es decir "r "

Si "n" es impar y a 0 Existe "r " r 0

Si "n" es par y a < 0 Existe "r " r

< 0

Propiedades:

a). n n n na.b.c = a . b . c

b). ; n

nn

a a= b 0

b b

c). n m mna = a

d). n 1 = 1

e). n 0 = 0

f). n na = a

Matemática

6

Ejemplos:

A). ¿Cuál es el resultado de 3N = 729 ?

Solución:

6

3 2 6 6 13 6N = 729 = 729 = 3 = 3 = 3 = 3

B). ¿Cuál es el resultado de 4-3 -1 -5 54M = 2 3 5 2 3 125 ?

Solución:

1 53 1 5 1-- -

4-3 -1 -5 54 4 42 2 2 2

1 5 1 53 1 5 3 1 5 31- -- - - -

34 4 4 42 2 2 2 2 2 22

1 5 43 5 1 3 2 2- -- + - +

-14 4 42 2 2 2 2 2

M = 2 3 5 2 3 125 = 2 .3 .5 2 .3 .125

M = 2 .3 .5 2 .3 . 5 = 2 .3 .5 2 .3 .5

1M = 2 .3 .5 = 2 .3 .5 = 2 .3.5 = .15

2

15=

2

C). ¿Cuál es el resultado de

3

4

2.2P = 2

32

?

Solución:

71 1 7 1+3

1 1 13 3 42 2 2 22 2 2

5 5 54 4 54 4 4

1 7+

1 7 5 22 4 + -12 4 4 2

5

4

2.2 2 .2 2 2 2 .2P = 2 = 2 = 2 = 2 =

32 22 2 2

2P = = 2 = 2 = 2 = 2

2

D). ¿Cuál es el resultado de la operación: T = 20 45 80 ?

Solución:

T = 20 + 45 - 80 = 4 5 + 9 5 - 16 5

T = 4 5 + 9 5 - 16 5

T = 2 5 +3 5 - 4 5

T = 5 5 - 4 5

T = 5

Matemática

7

E). ¿Cuál es el resultado de la operación:

12 6 3 12 18

12Q =

6 6 . 2. 3

?

Solución:

1 12 6 3 12 18 2 6 3 2 3 3 2

12 12Q = =

6 6 . 2. 3 6 6 . 2. 3

3 362 6 6 3 2 6 3 212 12Q = Q =

6 6 . 2. 3

6 6 . 2. 3 3 1

= =6 2

1.2.6. Racionalización

El proceso de racionalización consiste en expresar una fracción, cuyo

denominador es un término irracional, es decir tiene raíz irreductible, en otra

fracción equivalente cuyo denominador es un término racional, es decir, no

contiene raíz. Los casos son:

Caso 1: Para racionalizar el denominador de una expresión de la forma: n m

c

a

, se procede de la siguiente manera:

n n n nn-m n-m n-m n-mc c a c a c a c a= = = =

n n n nm m n-m nn m+n-m aa a a aa

Ejemplos:

A). Racionalice la expresión 1

3

Solución:

Se multiplica por 3 al numerador y al denominador, y se obtiene:

2

1 1 3 3 3= = =

33 3 3 3

B). Racionalice la expresión 5 2

a

b

Solución:

Matemática

8

Se multiplica por 5-2 35 5

b b al numerador y al denominador:

3 3 3 35 5 5 5

52 2 3 2 3 55 5 5 5

a a b a b a b a b

bbb b b b b

C). Racionalice la expresión 2

5

Solución:

2

2 2 2 5 10 10= = = =

5 55 5 5 5

Caso 2: Para racionalizar el denominador de la forma: A

a ± b, se presentan

dos casos y el factor de racionalización está dado por la conjugada de cada caso.

a)

2 2

A a - b A a - b A a - bA a - b= = =

a - ba + b a - b a + b a - b a - b

b)

2 2

A a b A a bA a b A a A b. = = =

a - ba b a b a b a b a - b

Ejemplos:

A). Racionalice la expresión 3

T1+ 2

Solución:

22

3 1- 23 1- 2 3 - 3 2T = = =

1+ 2 1- 2 1+ 2 1- 2 1 - 2

3 - 3 2 3 - 3 2T = = = 3 2 - 3

1- 2 -1

B). Racionalice la expresión 7

5 - 2

Solución:

7 5 + 27 5 + 2 7 5 +7 2 7 5 +7 2= = =

5 - 2 35 - 2 5 + 2 5 - 2 5 + 2

Matemática

9

EJERCICIOS DE REFUERZO

Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:

1) Resuelve: 272454803123 A Rpta: 0

2) Resuelve: 2451252045 Rpta: 57

3) Racionaliza: 14

7 Rpta:

2

14

4) Racionaliza: 32

8

Rpta:

)32(8

5) Racionaliza: 23

23

Rpta: 734

1.2.7. Fracciones

Se llama fracción a la expresión a

b, donde “a” y “b” son números enteros y

b 0 . Además “a” se llama numerador y “b” se llama denominador.

En una fracción común el denominador indica el número de partes iguales en

que se divide la unidad y el numerador indica el número de partes que se

toma de la unidad.

Las fracciones se clasifican de la siguiente forma:

A). Fracciones propias

Son aquellas que tienen el numerador menor que el denominador.

Ejemplos: 3 5 8 1

- ; ; ; -5 6 21 10

B). Fracciones impropias

Son aquellas que tienen el numerador mayor que el denominador.

Ejemplos: 8 50 3 100

; - ; ; -3 7 2 9

C). Fracciones mixtas

Son aquellas que están formadas por una parte entera y una parte

fraccionaria.

Ejemplos: 3 5 8 1 2

2 ; 7 ; - 3 ; - 5 ; 35 6 21 10 3

D). Fracciones homogéneas

Matemática

10

Son aquellas que tienen el mismo denominador.

Ejemplos: ; 3 7 8 1 12

; ; - ; -5 5 5 5 5

E). Fracciones heterogéneas

Son aquellas que tienen denominador diferente.

Ejemplos: ; 13 4 80 100 2

; - ; ; -3 7 21 1001 5

1.2.8. Operaciones combinadas con fracciones

Es la combinación de los casos estudiados anteriormente.

Ejemplo:

Reduce: 5 1 1 1 7 1 1 5 1 5

A= 2 - +3 - - - + 1 - 1 -4 2 2 3 3 3 3 6 6 6

Solución:

5 1 1 1 7 1 1 5 1 5A= 2 - +3 - - - + 1 - 1 -

4 2 2 3 3 3 3 6 6 6

5 - 2 3 - 2 7 -1 4 5 7 5A= 2 +3 - + - -

4 6 3 3 6 6 6

3 1 6 8 - 5 7 - 5 6A= 2 +3 - + =

4 6 3 6 6

4

3+

6

3 - 2+

6

2 6

3 1 1 1 3+1 1 4 1A= + - 2+ = - 2+ = - 2+

2 2 2 3 2 6 2 6

1 1A= 2 - 2+ =

6 6

EJERCICIOS DE REFUERZO

Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios:

1) Resuelve: 7

2

2

1

5

3A Rpta:

70

57

2) Resuelve: 4

1

3

1

2

1

5

2

B Rpta:

60

1

3) Resuelve: 25

2

8

1

2

3

4

5

5

3 Rpta:

200

79

4) Resuelve: 5

22

15

4

3

21

9

83 D Rpta:

45

4

Matemática

11

5) Resuelve:

2

4

1

5

1

5

41

2

1 Rpta:

4

1

1.2.9. Conversión de fracciones a decimales

Dada una fracción común, para convertirla en número decimal se divide el

numerador entre el denominador.

Ejemplos:

3

= 0,75 Decimal exacto4

2 5

1 = = 1,66666....= 1,6 Decimal inexacto periódico puro3 3

601

= 0,121414....= 0,1214 Decimal inexacto periódico mixto4950

1.2.10. Conversión de decimales a fracciones

Se presentan los siguientes casos:

A). Conversión de decimal exacto a fracción

Regla: “Como numerador se coloca la parte decimal y en el denominador se

coloca la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga dicha parte

decimal”.

Ejemplos:

50,5 =

10

1=

2 ;

30,003=

1000 ;

751,75 = 1

100

3 7= 1 =

4 4

B). Conversión de decimal inexacto periódico puro a fracción

Regla: “Como numerador se coloca la parte periódica y como denominador

se coloca tantos nueves como cifras tenga dicha parte periódica”.

Ejemplos:

30,3333.....= 0,3=

9

1=

3

80,88888.....= 0,8 =

9

5 414,555555.....= 4,5= 4 =

9 9

Matemática

12

C). Conversión de decimal inexacto periódico mixto a fracción

Regla: “Como numerador, se coloca la diferencia de la parte decimal mixta

con la parte no periódica; y como denominador se coloca tantos nueves

como cifras tenga la parte periódica seguida de tantos ceros como cifras

tenga la parte no periódica”.

Ejemplos:

4732 - 473 42590,47322222....= 0,4732= =

9000 9000

352 - 3 349 52995,3525252....= 5,352= 5 = 5 =

990 990 990

EJERCICIOS DE REFUERZO

Ahora tú, convierte a fracción común los siguientes números decimales:

a) 15,3 Rpta: 20

63

b) 0,454545…. Rpta: 11

5

c) ....181818,2 Rpta: 11

24

d) 7,03333….. Rpta: 30

211

e) 1,12333…. Rpta: 300

337

1.2.11. Valor absoluto de números reales

Es la distancia que existe de cero hasta el punto que representa a dicha

cantidad en la recta numérica. El valor absoluto de un número real se

representa por: a ; donde “a” es un número real.

El valor absoluto de un número real se define de la siguiente manera:

a ; Si a 0 "a" es positivo o nuloa =

-a ; Si a <0 "a" es negativo

Matemática

13

Ejemplos:

10 = 10

-55 = - -55 = 55

0= 0 = 0

130

5 5 5- = - - =

3 3 3

- 2 = - - 2 = 2

0,52 = 0,52

-0,6 = - -0,6 = 0,6

4 -15 = -11 = - -11 = 11

4 5 9 9+ = =

7 7 7 7

-5,30+4 = -1,30 = - -1,30 = 1,30

Resuelve la siguiente expresión con valor absoluto:

-1

A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12-1

Solución:

-1

A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12 -1

-1A= 8+2 + 6 - 4 - + 2 - 12

1

A= 10 + 2 +1 + - 10 = 10+2 +1 + 10

A= 23

EJERCICIOS DE REFUERZO

Ahora tú, resuelve los siguientes ejercicios con valor absoluto:

1) -1

A= 8 - -2 + -6 - -4 - + 2 - -12-1

Rpta: 23

2) 0

759452435 xB Rpta: 53

3) 4865

2844

C Rpta: 10

4) 2)4(.8.5

5.216.16

D Rpta: 27

5)

- -2 -11 1

E = -4+ + -20 + - - 5 - -9 +12 2 3

Rpta: 21

Matemática

14