tema i. números reales

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IUFRONT SEDE MERIDA

Realizado por: Ing. Marjorie J. Uzctegui S.

IUFRONT Sede Mrida Av. Principal Los Prceres Sector Santa Brbara Edifico IUFRONT Lnea 3 de direccin

Mrida, enero de 2002

Telfono: 0274-2661421 Celular: 0416-6742468 Correo: mayouzca@gmail.com

Antecedentes:La mayoria de las antiguas civilizaciones se encontraron con serios problemas para representar los nmeros. El uso de sistemas de numeracin exccesivaamente complicados, como el romano, suposo un considerable entorpecimiento en el progreso de las Matemticas. Fueron los Hindes quienes dieron con la solucin al describir el concepto de cero y emplear el valor proporcional de las cifras. Los descubrimientos de los matemticos hindes fueron transmitidos al mundo occidental a travs de los rabes y por este motivo los nmeros que empleamos en la actualidad se denominan arbigos.

Sistema de Numeracin: es un conjunto de reglas que sirven para expresar yescribir los nmeros.

1.1 El Conjunto De Los Nmeros Naturales.Llamamos nmero natural a cada uno de los nmeros empleados para contar, y se anota: N = {1,2,3,4,5,.....} Propiedades ms utilizadas de los Nmeros Naturales:

Suma: Los elementos con los cuales efectuamos una suma se llama sumados. Elresultado de la operacin se llama total o suma. Propiedad de Clausura: Si a N y b N, entonces a + b N

El conjunto de los nmeros naturales est cerrado bajo la operacin suma. Esto significa que si tomamos dos nmeros naturales y los sumamos, esta suma es tambien un nmero natural. Ejemplos: 1. 2 N, 3 N por lo tanto 2 + 3 = 5 N 2. 5 N, 9 N por lo tanto 5 + 9 = 14 N Propiedad de Conmutativa: Si a N y b N, entonces a + b = b + a Esta propiedad indica que al efectuar la suma, el orden de los sumandos no altera el total o suma. Ejemplos: 1. 2 + 3 = 5 2. 4 + 5 = 9 y y 3 + 2 = 5 5 + 4 = 9 Si a N , b N y c N , entonces

Propiedad de Asociativa: (a + b) + c = a + ( b + c)

Esta propiedad indica que no importa el orden en que agrupemos los sumandos, el total o suma no se altera. 2

Ejemplos: 1. 2 + ( 5 + 6 ) = ( 2 + 5 ) + 6 = 13 2. 5 + ( 4 + 9 ) = ( 5 + 4 ) + 9 = 18

Multiplicacin: los elementos con los cuales efectuamos la multiplicacin se llamanfactores. El resultado de esta operacin se llama producto. El producto de a y b se puede escribir en distintas formas: a x b = (a)(b) = a b = ab. La ausencia del simbolo de operacin entre a y b indica multiplicacin. Si a x b = c, decimos que: a es factor o divisor de c b es factor o divisor de c c es multiplo de b y de a Propiedad de Clausura: Si a N y b N, entonces ab N

El conjunto de los nmeros naturales est cerrado bajo la operacin multiplicacin. Esto significa que si tomamos dos nmeros naturales y los multiplicamos, el producto tambien ser un nmero natural. Ejemplos: 1. 2 N, 3 N por lo tanto 2( 3 ) = 6 N 2. 5 N, 4 N por lo tanto 5 ( 4 ) = 20 N Propiedad de Conmutativa: Si a N y b N, entonces a b = b a

Esta propiedad indica que al multiplicar dos nmeros naturales , el orden de los sumandos no altera el producto.. Ejemplos: 1. 2 3 = 6 y 3 2 = 6 2. 4 7 = 28 y 7 4 = 28 Propiedad de Asociativa: (a b) c = a ( b c) Si a N , b N y c N , entonces

Esta propiedad indica que no importa la forma en que agrupemos los trminos, el producto no se altera. Ejemplos: 1. 2 ( 5 6 ) = ( 2 5 ) 6 = 60 2. 5 ( 4 9 ) = ( 5 4 ) 9 = 180 Ley Distributiva de la Multiplicacin: N, entonces ( a + b ) c = ( a c ) + ( b c ) Ejemplos: 3 Si a N , b N y c

La ley distributiva relaciona las operaciones de suma y multiplicacin.

1. 3( 4 + 5) = ( 3 4 ) + ( 3 5 ) = 27 2. 9(10 + 7 ) = ( 9 10 ) + ( 9 7 ) = 153

Resta: El resultado de esta operacin se llama diferencia o resta. La resta entrea y b se puede escribir en distintas formas: Si a N y b N, a b = c s existe c N y se verifica que a es factor o divisor de c b es factor o divisor de c c es multiplo de b y de a c + b = a

Las propiedades conmutativa, asociativa y de clausura no se aplica en la resta. Ejemplos: 1. 5 N, 2 N por lo tanto 5 2 = 3 N 2. 9 N, 4 N por lo tanto 9 - 4 = 5 N 3. 3 N, 6 N por lo tanto 3 - 6 = N clausura. 4. 6 3 3 6 conmutativa 5. 5 ( 3 2 ) ( 5 3 ) 2 es decir 0 -4. asociativa

No se verifica la propiedad de No se verifica la propiedad No se verifica la propiedad

El nmero 0: Suponiendo que a = b; entonces a - b = a a = c tal que c + a = a,

pero no existe c N que satisfaga la condicin. Introducimos un simbolo nuevo denominado cero y lo representamos con el simbolo 0. El nmero 0 tiene las siguientes propiedades. 0+0=0 0 0=0 a+0= a=0+a a 0= 0=0 a para todo a N para todo a N

Las propiedades conmutativa, asociativa y de clausura no se aplica en la resta.

Divisin:

4

Si a N y b N, a b = c s existe c N y se verifica que a se llama dividendo b se llama divisor c se llama cociente.

c b = a

Si existe un c N tal que a b = c, decimos que divide el al nmero a o que b es factor de a y que a es multiplo de c y b. Decimos tambin que a es divisible por c y por b. Todo nmero diferente de 0 es divisible por s mismo y por 1. Ejemplos: 1. 15 3 = 5 porque 5 3 = 15 2 36 12 = 3 porque 3 12 = 36 En general, para los nmeros naturales n y r decimos que n es multiplo de r si existe un elemnto N, digamos t, tal que n = r.t. Cualquier nmero n es multiplo de s mismo, ya que n.1 = n, y todo nmero es multiplo de 1, ya que 1.n = n. El nmero 1 se llama identidad bajo multiplicacin porque 1.n = n.1 = n

1.2 El Conjunto De Los Nmeros Enteros.Son los nmeros naturales positivos y negativos. Se denoptan por la letra Z, donde Z = {.... - 4,-3, - 2, - 1, 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ........}

1.3 El Conjunto De Los Nmeros Racionales.Son los nmeros formados por los enteros ms las fracciones Se denoptan por la letra ........} Cuando tenemos que dividir dos nmeros, puede que la divisin no sea exacta, es decir que el dividendo no es multiplo del divisor , por ejemplo : 3 , 3 , etc en este caso la operacin no puede realizarse y se deja indicada, a esta operacin indicada se le denomina fraccin o quebrado.2 4

Q,

donde Q = {.... 5 ,........-

3 ......., 2

0 , ...... 2 , ......... 4

1

Multiplo de un nmero.MULTIPLO DE UN NMERO ES: el nmero que contiene a este un nmero exacto de veces. Ejemplo:

5

a) 10 b) 60

es multiplo de 5 es multiplo de 12

porque 10 porque porque 60

= 5* 2 = 12 *5

b) 1008 es multiplo de 8

1008 = 126 *8

Los multiplos de un nmerro se determinan multiplicando dicho numero por todos los nmeros enteros. Ejemplo: a) Los multiplo de 2 son 2 * 0 = 0; 2 *1 = 1; 2 * 2 = 4; 2 *3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 *5 = 10; etc.

b) Los multiplo de 14 son 14 * 0 = 0; 14 *1 = 14; 14 * 2 = 28; 14 *3 = 42; 14 * 4 = 56; etc. c) Los multiplo de 108 son 108* 0 = 0; 108*1 = 108; 108* 2 = 216; 108*3 = 324; etc. Para indicar que un nmeroe s mltiplo de otro anotamos b = a que se lee b es mltiplo de a. Pr lo general, los mltiplos de un nmero se anotan con dicho nmero seguido de la letra N Ejemplo: a) Los multiplo de 6 se anotan 6N. b) Los multiplo de 8 se anotan 8N c) Los multiplo de 47 se anotan 47N Un nmero es par cuando es mltiplo de 2 y es impar cuando no es mltiplo de 2. Para determinar si un nmero es mltiplo de otro, se realiza la divisin del mayor entre el menor y si la divisin es exacta el dividendo es mlltiplo del divisor. Propiedades: Todo nmero tienen infinitos mltiplos El cero mltiplo de cualquier nmero Todo nmero es mltiplo de s mismo y de la unidad. Los mltiplos de dicho nmero exceptuando el cero y dicho nmero son mayores que l.

Minimo Cmun Multiplo: El mnimo comn mltiplo de varios nmeros es el menor mltiplo comn a todos ellos, distinto de cero y se denota como m.c.m. Para determinar el m.c.m de varios nmeros se les descompone en sus factores primos y despues se multiplica los factores comunes y no comunes elevandolos al mayor exponente, teniendo en cuenta que solo se debe tomar una sola vez cada fctor. Ejemplo: Hallar el m .c.m de 12 y 18

6

12 2 6 2 3 3 1

18 2 9 2 3 3 1

m.c.m (12,18) = 22*32*1 = 36

Potenciacin de nmeros racionales.Propiedades: 1. 2. 3. 4. a0 = 1 a R y a 0 a1 = a a R a x = a y x = y siendo a0 n n n n n n (a.b) = a .b a .b = (a.b)n n

Potencia de un producto Potencia de un cociente Producto de Potencia de igual Cociente de potencia de igual Potencia de una Potencia

an an a a 5. = n n = b b b b x y x+y a R y x, y N 6. a .a = a base ax xy a R* y x y 7. y = a a base a R y x, y N 8. (a x ) y = a x.y

Radicacin.Raz de un nmero real. Dada la ecuacin an = b, tal que n es un nmero entero diferente de cero, si nos dan a y n para calcular b es un problema de potenciacin. Si nos dan b y n, para calcular a estamos en optro tipo de clculo llamado radicacin y la igualdad anterior la anotamos as; an = b a= nb Calculo de raices La ecuacin xn = a, en forma de radicales se escribe como x = que despejar la x donde xn = a x= nan

a , que es lo mismo

Podemos observar que la n que esta potenciando pasa al otro miembro en forma de raz, es decir:

La radicacin es la operacin inversa de la potenciacin. 7

Ejemplos: a) x 2 = 25 En esta ecuacin x es un nmero que elevado al cuadrado tiene que dar 25 este nmero es

(+ 5) o (-5), porque (+ 5) 2 = 25 y (-5) 2 = 25 b) a) x 2 = 16 En esta ecuacin x es un nmero que elevado al cuadrado tiene que dar 16 este nmero es (+ 4) o (-4), porque (+ 4) 2 = 16 y (-4) 2 = 16 x 3 = 27 En esta ecuacin x es un nmero que elevado al cubo tiene que dar 27 este nmero es (+ 3) , porque (+ 3) 3 = 27 ; que anotamos , x = 3 27 = + 3, que leemos " la raiz cbica de 27 es + 3". Propiedades:1. a m = a n no siendo a y m simultneamente iguales a