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  • Tema 4: ngulos. Razones trigonomtricas de unngulo agudo.

    Bajo licencia de creative commons

    Unos investigadores britnicos afirman que el penalti perfecto existe. Despus de muchas investigaciones yde estudiar numerosos vdeos concluyen que la forma de lanzar un penalti para conseguir un disparoimparable es: coger carrerilla cinco o seis pasos desde el borde del rea, golpear el esfrico a una velocidadde 105km/h o ms con un ngulo de 20 a 30 grados y de esta forma el baln cruza la lnea de gol a 0,5metros por debajo del larguero, a la misma distancia de cada uno de los palos.

    Este es un simple ejemplo en el que podemos ver una aplicacin de la medida de ngulos para solucionar unproblema, pero ya desde la antigedad se utiliz la medida de ngulos en campos como la navegacin paraorientarse y conocer la posicin del barco, o la astronoma para localizar estrellas en el cielo.

    En este tema estudiaremos dos de las unidades en las que se pueden medir los ngulos: el gradosexagesimal y el radin , la relacin que existe entre ellos, as como operaciones con ngulos. Veremostambin qu son las razones trigonomtricas de un ngulo.

  • 1. Medida de ngulos

    http://aristotelizar.com/web/category/sociedad/page/193/

    Bajo licencia de creative commons

    Mi pueblo est a 60 kilmetros (o 60.000 metros) de mi casa y tardo una hora ycinco minutos en llegar. All tengo un huerto que mide 2 hectreas, o lo que es lomismo 2 hectmetros cuadrados.

    Igual que podemos medir la distancia desde mi casa a mi pueblo, el tiempo que tardoen llegar o la superficie de mi huerto, tambin podemos medir la amplitud de unngulo. Y lo mismo que para medir las distancias, el tiempo o la superficie podemosutilizar distintas unidades, para medir ngulos tambin usaremos distintas unidades.

  • 1.1. El grado sexagesimal

    Fuente propia

    La forma de medir ngulos en el sistema sexagesimal, es la misma que utilizamos para medir el tiempo.Para medir el tiempo se elige como unidad principal la hora y luego la podemos dividir en minutos ysegundos. Pues bien, para medir la amplitud de un ngulo, se elige como unidad principal el gradosexagesimal que, como en el tiempo, tambin se puede dividir en minutos y segundos.

    Sabemos que un ngulo recto mide 90. Si lo dividimos en 90 partes iguales, cada unamedir un grado sexagesimal , se escribe 1 .

    Un ngulo nulo = 0

    Un ngulo recto = 90

    Un ngulo llano = 180

    Una circunferencia = 360

    Para medir ngulos ms pequeos utilizaremos otras unidades ms pequeas que el grado: elminuto y el segundo.

    Cada grado vale 60 minutos, se escribe: 1 =60'

    Cada minuto vale 60 segundos, se escribe: 1' = 60''

    El grado, el minuto y el segundo forman el sistema sexagesimal de medidas de ngulos. Para pasar deuna unidad a otra bastar multiplicar o dividir por 60 como indica el siguiente grfico:

    Actividad

  • Fuente propia

    Medidor de ngulos digital

    Bajo licencia de creative commons

    Expresa en la unidad que se indica:

    a) 20 en segundos

    b) 3' en segundos

    c) 90'' en grados

    d) 18'' en minutos

    1. Cuntos grados son 45'?

    a) 0,0123

    Pregunta de Eleccin Mltiple

  • c) 0,75

    2. Cuntos segundos son 120?

    a) 432000''

    b) 7200''

    c) 2''

    3. Cuntos grados son 585''?

    a) 9,75

    b) 0,1625

    c) 35100

    4. Cuntos segundos son 37'?

    a) 0,6''

    b) 133200''

    c) 2220''

  • 1.2. Forma compleja e incompleja de la medida de unngulo

    http://blogs.ya.com/clasedequinto/

    Bajo licencia de creative commons

    En el presente apartado la explicacin que se da del uso de la calculadora cientfica parapasar la medida de un ngulo en grados de forma incompleja a compleja o viceversa se haextrado del manual de instrucciones de la calculadora casio fx-570es. En la calculadoracientfica que posea el alumno/a es probable que el procedimiento sea algo diferente (aunqueno debe ser muy distinto). En ese caso se debe consultar el manual de instrucciones propiode la calculadora.

    Vamos a seguir comparando las medidas de ngulos con las de tiempo. Por ejemplo, podemos decir que unapelcula dura 1 hora 30 minutos y 45 segundos o que dura 1,5125 horas . Son dos formas diferentesde expresar la misma cantidad de tiempo. La primera en horas, minutos y segundos se llama formacompleja , y la segunda solo en horas se llama forma incompleja . Del mismo modo, un ngulo puedemedir, por ejemplo 45 9' 36'' (forma compleja) 45,16 (forma incompleja) .

    Vamos a ver como se pasa de forma incompleja a compleja y al contrario con la calculadora.

    Vamos a pasar 45,16 a forma compleja :

    En la calculadora, si escribimos 45,16 (recuerda que enla calculadora has de utilizar el punto de vez de la coma

    decimal) y pulsamos

    seguidade

    y en la pantalla aparece 45 9 36 . Esto lo interpretamos como 45 9' 36'' , y es la expresin en formacompleja de 45,16 .

    Ahora lo haremos al contrario.

    Vamos a pasar 45 9' 36'' a forma incompleja :

    Actividad

  • Si queremos introducir en la calculadora la expresin del ngulo en forma compleja para que nos devuelvala expresin en forma incompleja, haremos lo siguiente:

    Escribimos 45 y pulsamos escribimos 9 y pulsamos

    escribimos 36 y volvemos a pulsar

    Por ltimo pulsamosyvolvemosa pulsar:

    Despus de seguir todos estos pasos, la calculadora nos devuelve la expresin 45,16 que son gradosaunque la calculadora no lo indique.

    Est claro que a la hora de hacer operaciones es mucho ms cmodo hacerlo en forma incompleja por eso sien algn ejercicio nos dan la medida de un ngulo en forma compleja, siempre podemos echar mano de lacalculadora para pasarla a incompleja que es ms fcil de "manejar".

    Ahora coge tu calculadora que vamos a practicar.

    1. Utiliza la calculadora para expresar 25' 50'' en grados.

    a) 45,6

    b) 0,43

    c) 0,255

    2. Expresa en forma compleja 7,25 con la calculadora.

    a) 7 15' 0''

    b) 7 26' 0''

    c) 7 41' 16''

    3. Expresa 25 30' 54'' en forma incompleja. Hazlo con la calculadora.

    a) 25,3054

    b) 25,5

    c) 25,515

    Pregunta de Eleccin Mltiple

  • Cuando nos dan un ngulo expresado en forma compleja para que lo pasemos a incompleja, no siemprenos van a pedir que lo expresemos en grados como acabamos de aprender, aunque esto sea lo mshabitual. Tambin nos pueden pedir que lo expresemos en minutos o en segundos. Esto tambin lopodemos hacer con la calculadora aplicando lo que hemos aprendido en el presente apartado. Vamos ahacer algunos ejemplos.

    Expresa en la unidad que se indica:

    a) 45 9' 36'' en grados

    b) 45 9' 36'' en minutos

    c) 45 9' 36'' en segundos

    1. Expresa en grados 15 42' 18''

    a) 15, 4218

    b) 15,705

    c) 18

    2. Expresa en minutos 50 6' 18''

    a) 3006,3'

    b) 50,105'

    c) 5618'

    3. Expresa en segundos 10 21' 52''

    a) 10,36444...''

    b) 621,8666...''

    c) 37312''

    Pregunta de Eleccin Mltiple

  • 1.3. El radian

    Fuente propia

    1 radin = 57,3

    Hemos visto en los apartados anteriores que los ngulos se pueden medir en grados minutos y segundos.Otra unidad importante para medir ngulos es el radin. Vamos a ver la equivalencia que existe entre losgrados y los radianes y vers que fcil es pasar de una unidad a otra, simplemente hay que usar una reglade tres.

    Podemos decir que una circunferencia completa mide 360 radianes, y se escribe. Por tanto media circunferencia medir la mitad, es decir, 180 .

    Con esta equivalencia, , es fcil pasar la medida de un ngulo de grados aradianes y viceversa, simplemente aplicando una regla de tres.

    Vamos a ver algunos ejemplos .

    Actividad

  • http://profeblog.es

    Bajo licencia de creative commons

    1. Expresa 120 en radianes.

    2. Expresa en grados.

    1. La medida en grados de 1 radin, es:

    a) 57,3

    b) 1

    c) 30

    2. La medida en grados de es:

    a) 150

    b) 300

    c) 320

    3. Expresa 225 en radianes:

    Pregunta de Eleccin Mltiple

  • b)

    c)

    4. Expresa en grados

    a) 0,9

    b) 200

    c) 162

    5. Expresa en radianes 60

    a)

    b)

    c)

  • 1.4. Operaciones con medidas de ngulos

    http://mrscordle.com/MathFacts.aspx

    Bajo licencia de creative commons

    En este apartado vamos a ver las operaciones con medidas de ngulos expresados en gradossexagesimales o en radianes.

    Para realizar las operaciones con medidas de ngulos expresadas en grados sexagesimales es muy sencillo,basta con introducir los datos en la calculadora. Si la medida est expresada en forma compleja, solotendrs que pasarla a forma incompleja como has aprendido en el apartado 1.2 y despus realizar laoperacin.

    Veamos algunos ejemplos:

    http://profeblog.es

    Bajo licencia de creative commons

    Realiza las siguientes operaciones con medidas de ngulos:

    a) (22 12' 9'') x 4

    b) 15,37 + 25,2

    c) 46,22 - 10 36' 18''

    d) 36, 12 : 3

  • Ya has visto que esto es muy fcil prueba t ahora:

    1. Calcula 3,25 x 5

    a) 16,25

    b) 17,083

    c) 18,75

    2. Realiza la siguiente suma (15' 18'') + (20 6' 18'')

    a) 20

    b) 35,66

    c) 20,36

    3. Calcula 38,24 - 9,5

    a) 47,74

    b) 28,74

    c) 29

    4. Realiza la siguiente divisin (10 59' 6'') : 5

    a) 2, 1192

    b) 2

    c) 2,197

    Pregunta de Eleccin Mltiple

  • Hemos visto como se hacen operaciones con medidas de ngulos en forma sexagesimal. Vamos a ver comos

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