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Tema 2: Operaciones con números reales

Descartes explicó en su Discurso del Método (1637) las reglas que debían seguirse para

llegar a un conocimiento de las cosas que sea seguro. Para mostrar cómo debían aplicarse

añadió a su obra varios tratados en los que lo ejemplificaba. Entre esos tratados se

encuentra La Geometría.

Las dos primeras páginas de La Geometría de Descartes. Fuente propia

Comenzó este libro afirmando que la resolución de todo problema geométrico se puede

reducir al conocimiento de la longitud de algunas líneas. Además, en el proceso de

resolución bastará realizar, como en la Aritmética, "cuatro o cinco operaciones, a saber, la

adición, la sustracción, la multiplicación, la división y la extracción de raíces…" con la

longitudes de varios segmentos.

Sabemos que para expresar la longitud de cualquier segmento se precisan los números

reales que pueden ser racionales e irracionales. Asi, por ejemplo, la medida de la diagonal

de un cuadrado de lado 1 es . Descartes reducía las operaciones con longitudes a

construcciones geométricas, pero una vez mostrado que eso era posible se limitaba,

como nosotros, a hacer las operaciones con las números que expresan las longitudes de

esos segmentos, es decir, con números reales.

Los números reales se caracterizan por tener una expresión decimal infinita. Esta

circunstancia dificulta la realización de las operaciones con ellos. A lo largo de este tema

aprenderemos a dar resultados exactos de operaciones con números reales y también a

obtener resultados aproximados en los que el error cometido esté bajo control.

1. Suma y multiplicación

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Inicialmente hemos visto que se necesitan los números reales para poder expresar la

medida de cualquier longitud. Pero una vez resuelta esta dificultad hace falta que hagamos

algo más. Por ejemplo, si deseamos averiguar cuál es la longitud total cuando se juntan

dos segmentos cuya medida esté expresada mediante un número real, o averiguar el área

de un rectángulo cuyas dimensiones sean números irracionales. Las operaciones que

necesitamos para poder abordar estos problemas son la suma y la multiplicación.

Records de Wendigo.Licencia Creative Commons

Para la mayor parte de las aplicaciones prácticas bastará con averiguar un resultado

aproximado, controlando el margen de error que se comete en las operaciones cuando se

opera con aproximaciones de las medidas, pero las necesidades del cálculo científico

exigen extremar la precisión.

En los siguientes apartados estudiaremos el cálculo aproximado de la suma y

multiplicación de números reales. También, como consecuencia de las propiedades de

estas operaciones, aprenderemos a simplificar algunas expresiones que contienen

números irracionales en los que están involucradas raíces cuadradas que no son exactas.

1.1 Aproximaciones

Tenemos una antena de telecomunicaciones, cuya altura es de 10 m, y necesitamos

sujetarla. Para ello la fijamos al suelo mediante dos cables:

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Uno de ellos lo fijamos al suelo a 10 m de la base de la antena, mientras que el otro lo

fijamos en el lado opuesto a 20 m de la base. Queremos averiguar cuál es la longitud total

de cable que necesitaremos.

El cable más corto forma un triángulo rectángulo con la antena y el suelo. Aplicando el

teorema de Pitágoras obtenemos su longitud:

luego

Y de la misma manera obtenemos la longitud del cable más largo:

luego

La longitud exacta del cable viene dada, por la suma de estas dos cantidades:

longitud del cable =

Pero en la práctica deberemos usar una aproximación de este resultado, para lo que

deberemos recurrir a aproximaciones decimales. Si usamos aproximaciones con una sola

cifra decimal de las dos raíces, obtendremos el siguiente resultado:

Luego la medida total del cable es de 36,5±0,1 m. Es decir, 36,5 m es la medida del cable

con un error menor de 0,1 m.

¿Entre qué valores estará comprendida la medida total del cable si

tomamos aproximaciones con tres decimales de cada uno de los dos

trozos? ¿Cuál será la cota de error del resultado?

Como hemos hecho antes, la suma de las dos desigualdades que

contienen la acotación de los datos nos permite obtener la

acotación del resultado:

Lo que nos da con una cota de error de 0,001 m el resultado de

36,503 m para la medida total del cable.

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Fotografía de Kurt Stueber bajolicencia de Wikimedia Commons

Del tronco de una secuoya milenaria se ha cortado una

tabla redonda. La secuoya tenía un contorno circular de 25

m.

Con esa tabla circular se ha encargado la realización de una

mesa cuadrada de una sola pieza. Queremos averiguar qué

longitud tendrá el lado de esa mesa.

Sabemos que la relación entre el lado y la diagonal de un cuadrado es . Como la

diagonal es el diámetro de la circunferencia, tenemos que:

luego

Por otra parte, la longitud de la circunferencia es: de donde obtenemos

que: .

Sustituyendo el valor del radio en la línea anterior, obtenemos el valor del lado de la mesa

que no , exactamente:

Con ayuda de la calculadora podemos obtener aproximaciones

decimales de los dos factores de este producto:

¿Entre qué valores está comprendida la longitud del lado de la mesa si

empleamos tres decimales en los datos? ¿Cuál es la cota de error que

tiene ese resultado?

Multiplicamos las aproximaciones por defecto y por exceso de los

datos, con tres cifras decimales, y obtenemos:

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1.2 Propiedades de la suma y del producto

La suma y el producto de números reales tienes las mismas propiedades que tenían los

números racionales. Estas propiedades son las siguientes:

√ de /meaghan préfontaine con licencia Creative Commons

De la suma

Asociativa:

Conmutativa:

El 0 es el elemento neutro:

Existencia de opuesto: todo número real a tiene un opuesto -a tal que

Del producto

Asociativa:

Conmutativa:

El 1 es el elemento neutro:

Existencia de inverso: todo número real a ≠ 0 tiene inverso, a-1, tal que

Del producto y la suma

El resultado está dentro de un intervalo de amplitud

. Si se toma como resultado

un valor que esté aproximadamente en el centro del intervalo,

como por ejemplo 3,627, se comete un error que, como máximo,

son unos 0,003 m.

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Distributiva:

Ya sabemos que es un número irracional. Lo mismo le ocurre a las raíces cuadradas de

otros muchos números enteros y fraccionarios. La única manera que tenemos, de

momento, de operar con ellas es recurrir a las aproximaciones decimales. En este

apartado vamos a aprender cómo simplificar expresiones con raíces cuadradas en las que

éstas las dejaremos indicadas.

Suma de radicales cuadráticos

Cuando sumamos o restamos dos radicales cuadráticos con radicandos distintos no

podemos recurrir mas que al cálculo aproximado para tener una idea de su valor o

dejarlos como están si queremos mantener la exactitud. Es el caso de: o de

.

Square root de sparkleice con licenciaCreative Commons

Sin embargo, cuando los radicales tienen el mismo radicando, podemos simplificar la

expresión haciendo uso de la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

Expresiones como:

; ;

las llamaremos radicales cuadráticos. Al número que

multiplica a la raíz lo denominaremos coeficiente del radical.

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Multiplicación de radicales cuadráticos

Para multiplicar dos radicales cuadráticos debemos multiplicar sus coeficientes entre sí, y

por el otro, las raíces cuadradas, lo que se hace multiplicando bajo la raíz, los radicandos.

Veamos un ejemplo:

Vamos a simplificar

Sacaremos factor común, lo que supone aplicar la propiedad

distributiva:

Simplifica ahora:

Simplifica todo lo que puedas:

Di cuál de las siguientes igualdades es verdadera y cuál es falsa:

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Verdadero Falso

Simplifica las siguientes expresiones con radicales:

a) ; b) ; c)

a) ; b) ;

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Observa, para poder hacer este cálculo, hemos aplicado la propiedad conmutativa para

reordenar los factores y la asociativa para agrupar de la manera que produce esta

simplificación.

Ahora vamos a hacer la multiplicación de dos expresiones con radicales cuadráticos,

aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma:

1.3 Racionalización

Vamos a calcular el siguiente producto:

Para ello multiplicamos cada uno de los sumandos que componen el

primer parántesis por los del segundo paréntesis:

En la parte final hemos agrupado los radicales simples por un lado, y

los sumandos sin raíces por el otro.

Practica haciendo un ejemplo parecido:

Efectúa las siguientes multiplicaciones:

a) ; b)

a) ; b)

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Observa que:

Para convencerse de que es cierto basta con que hagamos los productos cruzados:

Las dos fracciones contienen radicales cuadráticos, pero la segunda no los tiene en el

denominador. Si necesitamos un valor aproximado de este número real debemos hacer

una división. Si ese cálculo lo tenemos que hacer sin ayuda de la calculadora es bastante

más sencillo cuando el denominador es un número entero.

Este es el motivo que hizo importante el aprendizaje de técnicas para transformar

expresiones con radicales en el denominador en otras que nos los tuviesen. Aunque hoy

día no es demasiado importante gracias a la facilidad para el cálculo que proporcionan las

calculadoras, algunas de estas técnicas será útiles más adelante para transformar

expresiones con radicales en el numerador o en el denominador.

Estudiaremos dos casos sencillos de racionalización de denominadores cuadráticos. En el

primero consideraremos expresiones que en su denominador contienen un radical simple,

como en el ejemplo con el que hemos empezado este apartado.

Racionalizar el denominador, de un cociente que tenga una

expreción con radicales en el denominador, consiste en

transformarlo en otro cociente igual al primero pero sin

expresiones radicales en el denominador.

Para racionalizar el denominador de una fracción como , basta con

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En el segundo caso consideraremos expresiones con una suma o con una diferencia de

dos radicales simples. La racionalización se basa en el empleo de una de las identidades

notables, que ya conoces desde hace tiempo, la diferencia de cuadrados:

que multipliquemos el numerador y el denominador de la fracción por la

raíz que forma parte del radical del denominador, es decir por .

Quedará así:

Inténtalo tu en este caso:

Racionaliza los denominadores de las siguientes fracciones:

a) ; b) ; c)

a) ; b) ; c)

Dada una expresión del tipo llamamos expresión

conjugada a la que se obtiene cambiando el signo + por un

signo -:

Si la expresión es del tipo entonces su conjugada es

la expresión :

Para racionalizar el cociente multiplicaremos el numerador y el

denominador por la expresión conjugada del denominador:

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Las calculadoras y ordenadores han hecho que la racionalización no tenga hoy día la

importancia que tuvo. No obstante aun puede ser útil en ocasiones. Además de la

racionalización de denominadores también resulta interesante racionalizar numeradores.

La técnica es la misma. Veamos un ejemplo:

La multiplicación del denominador la hacemos usando la identidad

notable del producto de una suma por una diferencia que hemos citado

en el párrafo anterior. Queda:

Racionaliza ahora la fracción:

Racionaliza los denominadores de las siguientes fracciones:

a) ; b)

a) ; b)

Vamos a racionalizar el numerador de esta expresión:

Multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la expresión

conjugada del numerador:

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2. Raíces

Además de la suma y la multiplicación, la resolución de problemas en los que estén

involucradas medidas requiere la utilización de otras operaciones.

Por ejemplo, si queremos averiguar las dimensiones de una caja de forma cúbica para que

sea capaz de contener un determinado volumen, deberíamos proceder de la siguiente

manera: si V es el volumen que deseamos que tenga la caja, su relación con la medida de

las aristas, que cuya medida designaremos por a, viene dada por la expresión .

La operación que debemos realizar para obtener el valor de la medida de la arista la

llamamos raíz cúbica:

Ahora intenta racionalizar el numerador de la siguiente expresión:

Racionaliza los numeradores de las siguientes expresiones:

a) ; b)

a) ; b)

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Pino resinero - Raíces (Pinus pinea) de Jorge Martinez Huelves(ISFTIC)

En este apartado, estudiaremos la definición general de raíz y sus propiedades. También

veremos cómo se pueden usar esas propiedades para simplificar expresiones en las que

aparezcan raíces indicadas.

2.1 Definición

Llamamos raíz n-ésima de un número real A a otro número

real r cuya potencia n-esima es A.

Al número A lo llamamos radicando y a n lo llamamos índice

de la raíz.

Por ejemplo, es 2 ya que .

También -2 es raíz cuarta de 16.

Escribiremos que

¿Cuál crees tu que es ? ¿Por qué?

Es 5 ya que

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2.2 Propiedades

Se puede demostrar fácilmente que las raíces de números reales cumplen las siguientes

propiedades:

, lo que no es más que otra forma de escribir la definición de raíz n-

ésima.

El producto de raíces dos raíces n-ésimas es la raíz n-ésima del producto de los

¿Y esta otra raíz?:

Puede ser tanto +3 como -3 ya que

¿Y ?

No hay ningún número real que elevado a la octava potencia de

un resultado negativo, así que no puede calcularse esta raíz.

Di si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

Si el radicando es negativo y el índice es impar no existe la raíz.

Verdadero Falso

Si el radicando es negativo y el índice es par la raíz es negativa.

Verdadero Falso

Si el radicando es positivo y el índice impar hay una sola raíz y es

positiva.

Verdadero Falso

Selecciona todas las contestaciones correctas:

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radicandos:

El cociente de raíces dos raíces n-ésimas es la raíz n-ésima del cociente de los

radicandos:

Para elevar una raíz n-ésima a una potencia, debemos elevar el radicando a dicha

potencia:

La raíz de un radical es otro radical de igual radicando y cuyo índice es el producto

de los dos índices:

Las raíces de números reales son, con frecuencia, irracionales. Como ya hemos visto en el

apartado anterior, la realización de operaciones con números irracionales tienen que

efectuarse de forma aproximada, pero podemos hacer uso de las propiedades de las

raíces para obtener expresiones "más simples" de estos irracionales. Vamos a ver algunos

ejemplos.

Sacar factores de una raíz.

Si el exponente de un factor del radicando es mayor que el índice de la raíz, podemos

sacarlo de la raíz.

Por ejemplo, para demostrar la segunda propiedad se procede

de la siguiente forma:

de donde se deduce que:

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Observa el siguiente ejemplo:

Trata de hacer lo mismo en este caso:

Primero descomponemos el número 243 en factores y luego

tenemos en cuenta que por cada cuatro factores repetidos

dentro de la raíz podemos sacar uno fuera:

Observa que para saber qué podemos sacar de una potencia

que está en el interior de una raíz n-ésima, debemos dividir su

exponente por el índice de la raíz, y el cociente entero nos dice

el exponente con el que queda el factor fuera de la raíz,

mientras que el resto nos dice el exponente con el que queda

dentro:

Si tenemos hacemos la división entera y

entonces:

Trata de extraer de la raíz todos los factores que puedas:

a) ; b) ; c)

a) ; b) ; c)

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Simplificar raíces.

Como consecuencia de las propiedades de las raíces podemos obtener una interesante

aplicación que permite simplificar raíces:

Esta propiedad, en definitiva, nos permite "simplificar" él indice de la raíz y el exponente

del radicando por un factor común.

Multiplicación y división de raíces.

Se puede usar la última propiedad para sustituir dos raíces de distinto índice por otras

dos con el mismo índice que entonces podrán multiplicarse y dividirse.

Empezaremos con un ejemplo sencillo:

Intenta hacer algo parecido en este caso:

Como 9 es 32, los exponentes de los tres factores se pueden

simplificar por dos. Queda:

Intenta obtener la forma más simple de las siguientes raíces:

a) ; b) ; c)

a) ; b) ; d)

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Racionalización.

Ya hemos visto, en el caso de los radicales cuadráticos, que la racionalización consiste en

transformar una expresión con raíces para que no las contenga en el denominador. En el

caso de que en el denominador de una expresión haya un radical simple con una raíz n-

ésima la racionalización no resulta difícil de conseguir. Veamos algún ejemplo:

Queremos calcular

Para ello vamos a sustituir las dos raíces por otras dos de igual índice:

el mínimo común múltiplo de los dos índices que es 6:

y ahora ya podemos hacer la multiplicación:

Ahora, prueba tu a hacer la siguiente división:

El índice común será 12:

Efectúa las siguientes multiplicaciones y divisiones de raíces dejando el

resultado lo más simple que puedas:

a) ; b) ; c) ; d) ; e)

a) ; b) ; c) ; d) e)

Trataremos de racionalizar la expresión:

Multiplicamos el numerador y el denominador de la expresión por y

obtenemos

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3. Potencias

Ya conoces el cálculo y propiedades de las potencias cuando la base es un número

racional y el exponente es un número natural.

Si la base es un número irracional, para calcular las potencias de exponente natural

debemos recurrir a los números aproximados y a consideraciones similares a las que

hicimos cuando estudiamos el producto de números irracionales: aproximar la base con

números racionales y obtener acotaciones de la potencia por defecto y por exceso, que

contendrán menos error cuanto mas ajustadas sean las aproximaciones.

Observa que el factor que hemos escogido para multiplicar numerador

y denominador de la expresión no es más que lo que hacía falta para

que una vez realizado el producto la raíz obtenida fuese exacta.

Trata de hacer lo mismo en este caso:

Debemos multiplicar numerador y denominador por :

Racionaliza las siguientes expresiones:

a) ; b) ; c)

a) ; b) ; c)

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En este capítulo nos enfrentaremos al cálculo de protencias cuando el exponente sea un

número entero, fraccionario y en general un número real y aprovecharemos sus

propiedades para simplificar el cálculo con expresiones con radicales.

3.1 Definición

Las definiciones de las potencias con exponentes no naturales se hace de manera que se

preserven las propiedades conocidas de las potencias con exponente natural.

Por ejemplo, la conservación del producto de potencias de la misma base hace que si n es

un número natural se deba cumplir que:

y por lo tanto

Por otra parte, la conservación de la propiedad de las potencias de una potencia hace que

si m y n son dos números enteros entonces:

y de acuerdo con la definición de raíz n-ésima

Para todo número natural n se define:

Para cualquier número entero m y número natural n≠0 se

define

He aquí algunos ejemplos de potencias de exponente entero y

fraccionario:

; ; ;

¿Cómo se debe calcular 4-1?

De acuerdo a la definición anterior:

¿Y cómo se expresará como una potencia de exponente

fraccionario?

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Para calcular una potencia cuando el exponente es un número irracional debemos recurrir

a las aproximaciones. Así, si queremos averiguar 2π, tomaremos aproximaciones

decimales de π por defecto y por exceso. Como las potencias con exponente decimal ya

las sabemos calcular (recuerda que un decimal es la representación de una fracción),

tendremos desigualdades como las siguientes:

3<π<4 8<π<16

3,1<π<3,2 8,574…<π<9,189…

3,14<π<3,15 8,8152…<π<8,8765…

3,141<π<3,142 8,82135…<π<8,82746…

3,11415<π<3,1416 8,82442…<π<8,82502…

A medida que vamos mejorando la aproximación decimal de π, los valores de la potencia

por defecto y por exceso van acercándose haciendo que el error cometido sea cada vez

menor. Esta sucesión de intervalos encajados determina el valor de la potencia 2π.

Por ejemplo, la última de las acotaciones que hemos obtenido de 2π asegura tres

decimales exactos del resultado: 8,824. Dado que la amplitud del intervalo que acota este

resultado tiene una amplitud de:

8,82502… - 8,82442… < 0,0007

tomando como valor aproximado uno cercano al centro del intervalo como por ejemplo

8,8247 el error que se cometería sería menor de 0,00035.

Escribe las siguientes expresiones sin exponentes fraccionarios ni

negativos:

a) ; b) ; c) ; d)

a) ; b) ; c) ; d)

Utiliza un proceso similar al anterior para obtener al menos tres

decimales exactos de

Para poder asegurar tres decimales exactos de deberemos

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3.2 Propiedades

La definición de las potencias con exponente negativo y con exponente fraccionario, tal

como hemos visto en el apartado anterior, la hemos hecho del tal forma que se

conservasen las propiedades de las potencias con exponente entero.

Por otra parte, cuando el exponente es un número irracional, el cálculo mediante la

sucesión de intervalos encajados también conserva las mismas propiedades.

Por lo tanto, las potencias de un número real, elevado a un exponente que también sea

un número real, tiene las siguientes propiedades:

Producto de potencias de la misma base:

Cociente de potencias de la misma base:

Potencia de una potencia:

Producto de potencias del mismo exponente:

Cociente de potencias de igual exponente:

El uso de exponentes en vez de cocientes y raíces permite simplificar algo los cálculos.

Vamos a ver algunos ejemplos:

tomar un intervalo de aproximación de con cinco decimales:

Para hacer una multiplicación entre dos raíces del mismo radicando

como esta:

primero expresamos las dos raíces como potencias de exponente

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fraccionario para después aplicar la propiedad del producto de

potencias de la misma base:

Como el exponente es una fracción impropia, podemos expresarla

como una fracción mixta de la siguiente manera:

Lo que permite sacar factores de dentro de la raíz y por tanto queda:

Trata de usar las propiedades de la suma y el producto de potencias de

la misma base para simplificar la siguiente operación:

Observa que hemos simplificado la fracción en el exponente,

lo que simplifica la raíz y luego hemos sacado factores de dentro

de la raíz.

En este ejemplo usaremos también la propiedad de la potencia de una

potencia para simplificar :

Escribe de forma potencial cada una de las siguientes expresiones y

luego simplifícalas todo lo que puedas:

a) ; b) ; c) ; d)

a) ; b) ; c) ; d)

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Para terminar el tema, deberías practicar las diferentes

destrezas de cálculo con números reales que hemos revisado

a lo largo del mismo haciendo los ejercicios de consolidación

que te proponemos en el siguiente documento:

Ejercicios de consolidación

Soluciones

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