tema 1 vibraciones mecanicas parte i

5/17/2018 Tema 1 Vibraciones Mecanicas Parte i - slidepdf.com

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TEMA 1Parte I

Vibraciones libres y amortiguadas



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1.1. Introducción: grados de libertad ymagnitudes características

VIBRACIÓN MECÁNICA:

Oscilación repetida en torno a una posición de equilibrio

- Vibraciones convenientes: péndulo para regular un reloj, cuerda

pulsada de una guitarra

- Vibraciones inconvenientes: vibraciones en estructuras a causa de

terremotos, del viento, circulación de vehículos, máquinas.....

1. 1. Introducción: grados de libertad y .....



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1) Fuerza adicional: desplazamiento equilibrio

2) Fuerza recuperadora: vuelta a posición equilibrio

3) Posición equilibrio: velocidad no nula

SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD




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GRADO DE LIBERTAD:

Variables necesarias y suficientes para especificar la posición

de un sistema mecánico

EJEMPLOS:

- disco que se mueve en el plano: tres grados de libertad

desplazamiento x, y

ángulo de rotación alrededor CM

- sólido rígido: seis grados de libertad

tres traslaciones elementales

tres rotaciones, seis coordenadas

- sistema con un grado de libertad ≠ sistema simple:

motor de automóvil: ángulo de giro del cigüeñal




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OSCILACIONES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS O ALEATORIAS:

Oscilación periódica:

Periodo (T, τ): tiempo para que se repita el movimiento

Frecuencia (f, ν): número de oscilaciones por segundo

Amplitud (A): desplazamiento máximo




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CLASIFICACIÓN DE LAS VIBRACIONES MECÁNICAS:

VIBRACIONES LIBRES: fuerzas gravitatorias o fuerzas elásticas

1) NO AMORTIGUADAS:

- fuerzas de rozamiento (resistencia del aire,viscosidad....) son despreciables

- se repiten indefinidamente

2) AMORTIGUADAS:- fuerzas de rozamiento no despreciables

- tienden a desaparecer

VIBRACIONES FORZADAS:

- compensación de pérdida de energía de la oscilación amortiguada

- fuerzas externas



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Fís ica y Mecánica de las Con str uccion es

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FENÓMENO DE LA RESONANCIA:

- Edificación: oscilador con un conjunto de frecuencias naturales (rigidez,

masa y detalles de la construcción)

- Oscilación forzada: fuerza debida a sacudidas del terreno en terremoto

Diseño y construcción de puentes y edificios:

FRECUENCIA ONDAS SÍSMICAS≈

FRECUENCIA NATURAL EDIFICIO





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1.2. Vibraciones libres no amortiguadas

FUERZA RECUPERADORA:

- proporcional al desplazamiento: kx

- dirigida hacia posición de equilibrio

- movimiento periódico: MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE

- modelo de partida para vibraciones en aplicaciones técnicas

1. 2. Vibraciones libres no amortiguadas




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MODELO MECÁNICO:

- reposo: posición de equilibrio

- desplazamiento X0: V0

kxF −=

2

2

dt

xd mmaF X X ==

xm

k

dt

xd

dt

xd mkx −=⇒=− 2

2

2

2





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0202

2

=+ xdt xd ω

m

k

=0ω

FRECUENCIA NATURAL DE OSCILACIÓN

Soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden:

c

)cos()( 0 α ω −= t At x : A amplitud o desplazamiento máximo

:α )()( 0 α ω −= t Asent x ángulo o constante de fase





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)cos()( 0 α ω −= t At x

0

2ω π =T

π

ω

2

0= f

)(0

α ω ω −−== t sen A

dt

dxv

xt Adt

dva

2

0

2)cos( ω α ω ω −=−−==





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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

)cos()(0

α ω −= t At x

ENERGÍA POTENCIAL:

)(cos2

1

2

10

222 α ω −== t kAkx E P

ENERGÍA CINÉTICA:

)(2

1

2

1

2

10

2220

2

2 α ω ω −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== t sen Am

dt dxmmv E C





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ENERGÍA DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

2200

22200

22

2

1)(

2

1)(cos

2

1 Amt sen Amt kA E E E C P ω α ω ω α ω =−+−=+=

Energía cinética y potencial en función del tiempo:





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MÉTODOS ENERGÉTICOS PARA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS:

0)(=

+=⇒=+=

dt

E E d

dt

dE cte E E E PC T

PC T

02

1

2

1 22 =+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+ x xm xkx xmkx

dt

d &&&&&

00)( =+⇒=+ kx xm x xmkx &&&&&

EJEMPLO:

0=+ xm

k x&&





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1.3. Vibraciones libres amortiguadas

- VIBRACIONES NO AMORTIGUADAS: idealización

pérdidas de energía por rozamiento pequeñas

intervalos de tiempo cortos

- FUERZAS RESISTIVAS: proporcional a la velocidad y en sentido

opuesto

Oscilación en un fluido: aire, agua....

vF r λ −=

1. 3. Vibraciones libres amortiguadas




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Modelo mecánico:

2

2

dt

xd mmaF X X ==

2

2

dt xd m

dt dxkxvkx =−−=−− λ λ

02

2

=++ kxdt

dx

dt

xd m λ

02202

2

=++ x

dt

dx

dt

xd ω γ

m

λ γ =2

m

k =0ω





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02202

2

=++ xdt

dx

dt

xd ω γ

Teoría ecuaciones diferenciales:

t Det x

λ =)(

022

0

2 =++ ω γλ λ

D, λ: ecuación diferencial y condiciones iniciales

ω γ γ ω γ ω γ γ λ ii ±−=−±−=−±−= 22

0

2

0

2

2,1

2

222

04mm

k λ γ ω ω −=−=





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t t e De Dt x 21

21)(

λ λ +=

ω γ λ i±−=2,1 )()(21

t it it e De Det x

ω ω γ −− +=

D1, D2: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

t isent e t i ω ω ω += cos

22

0 γ ω ω −=Tres tipos de comportamiento según :





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1) SISTEMAS SUBAMORTIGUADOS:

γ ω f0 0220 fγ ω ω −=

α i Ae D

−=1

α i Ae D =2

La solución física debe ser siempre real:

)()()( 21t iit iit t it it e Aee Aeee De Det x ω α ω α γ ω ω γ −−−−− +=+=

)cos()( α ω γ −= − t Aet x t





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)cos()( α ω γ −= − t Aet x t

AMPLITUD:

FRECUENCIA:

t Ae

γ −

220 γ ω ω −=






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No tiene periodo en el sentido definido para las vibraciones libres:

ω

π 2=T π

ω

2= f

Magnitudes constantes, aunque no lo es la amplitud





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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:

γ ω =0 0=ω

El sistema no oscila:

t eCt Bt x γ −+= )()(

B,C: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

- amortiguamiento crítico: menor amortiguamiento para no oscilación

- vuelta a la posición de equilibrio siguiendo curva exponencial- no se puede redefinir periodo y frecuencia





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2) SISTEMAS CRÍTICAMENTE AMORTIGUADOS:

0ω

γ ξ =

Ejemplo en el que este amortiguamiento es interesante:amortiguadores de los coches





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3) SISTEMAS SOBREAMORTIGUADOS:

γ ω p0 022

0 pγ ω ω −=

Medio altamente viscoso:

m

k

ms −=−=

2

22

0

2

4

λ ω γ

t st st

e Be Aet xγ −−

+= )()(

A, B: condiciones iniciales de desplazamiento y velocidad

- vuelve a su posición de equilibrio sin oscilar

- no es posible redefinir periodo y frecuencia





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Ejemplos de movimiento subamortiguado, sobreamortiguado y

críticamente amortiguado:


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