tehniČka mehanika godina... · tehniČka mehanika – prezentacija predavanja dr darko mihajlov,...

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 7. PREDAVANJE -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

1. ČAS

2. ČAS

Primeri izračunavanja otpora oslonaca, unutrašnjih

sila i crtanja dijagrama unutrašnjih sila (statičkih ili

M,T,N dijagrama) kod grednih nosača;

Statika rešetkastih konstrukcija;


POSTUPAK REŠAVANJA ZADATAKA

Postavljanje koordinatnog sistema sa početkom u krajnje levoj ili

najnižoj tački nosača, pri čemu je jedna osa u pravcu ose nosača,

a druga upravna na osu nosača.

1.

Razlaganje kosih sila na komponente u pravcu osa x i y i redukcija

posrednih opterećenja na tačku ose nosača.

2.

Uklanjanje oslonaca i postavljanje reakcija (otpora) oslonaca. 3.

Određivanje otpora oslonaca pomoću jednačina ravnoteže sila

koje dejstvuju na nosač.

4.

Određivanje unutrašnjih sila (napadnog momenta, transverzalne i

aksijalne sile) u karaterističnim tačkama i u pojedinim poljima

nosača Metodom preseka. Novi preseci se uvode nakon svake

promene opterećenja nosača.

Crtanje dijagrama unutrašnjih sila (statičkih ili M,T,N dijagrama),

vodeći računa o razmerama.

Uočavanje opasnog preseka ili kritične tačke nosača.

5.

6.

7.


Primer 1 1/2

Odrediti otpore oslonaca i nacrtati statičke dijagrame proste grede

opterećene različitim opterećenjima.

Prostu gredu AB, dužine , napadaju različita opterećenja:

koncentrisana vertikalna sila intenziteta , spreg sila momenta

i neprekidno ravnomerno podeljeno opterećenje čije je

specifično opterećenje .

2 kNF

10 kNmM

1 kN mq

12 ml


Primer 1 2/2

0 :BM

30

4 825

kN 1 kN ;24

A q

A

lF l F l F

F

M

0 :iY

0

95kN 4 kN .

24

A q B

B

F F F F

F

59

7,4 kNm .4 8 8

E B q

l lM F F

10,25 kNm ;Dd DlM M M

59

7,4 kNm .4 8 8

E B q

l lM F F

253 kNm ;

4 8

0,25 kNm ;2 4

C A

Dl A

lM F

l lM F F

x

2

( ) ,2 2

p p B B

x qxM x F x qx F x [0,3] [m]x

12 ml 2 kNF 10 kNmM 1 kN mq


Primer 2 1/2

Odrediti otpore oslonaca i nacrtati statičke dijagrame grede sa prepustima.

Dato je: , , . 2 kNmM 12 ml 1 2 2 kNqF F F


Primer 2 2/2

;021 BqA FFFFFY

1 2

20

4 6 3 3A q B

l l l lM F F F F M

5,5 kN ;AF 0,5 kN .BF

1 6 kNm ;4

l

A

lM F

4 kNm .3

d

E B

lM F M

1

2

2

1 2

1( ) 3 ; 0 4 m ;

2

( ) 0,25 3.5 6;

( ) 0 0,25 3.5 6 0

12 m ; 2 m .

l

p p A

l

p p

l

p p

M x F x F x qx x x

M x x x

M x x x

x x

2 kNm .d d

B DM M =M

x

x2

2 kNmM 12 ml 1 2 2 kNqF F F


Primer 3 1/6

Odrediti otpore oslonaca analitičkim postupkom i nacrtati statičke dijagrame

za ravanski nosač. Dato je: . 2 kN ; 1 mqF F l

A

Ramovski nosač (ram) je konstrukcija od

više prostih greda koje su među sobom

spojene kruto, pa se uticaji sučeljnih greda

prenose sa jedne na drugu.

Otpore oslonaca je moguće odrediti na dva načina:

1. Posmatrajući ceo ramovski nosač kao jedno kruto telo, ili

2. Dekompozicijom ramovskog nosača na sastavne delove (proste grede),

zamenjujući uticaje sučeljnih delova silama.

Koristeći prvi način, veličine otpora oslonaca se određuju iz jednačina

ravnoteže:

Primer 3 2/6


2 kN ; 1 mqF F l

2 0 2 4 kN ;A AX X F X F

2 0

4 8 kN ;

A q B

A B

Y Y F F F F

Y F F

32

2 2 2

2 2 0

1 kN ,2

7 kN .

A q

B

B

A

l l lM F F F

F l F l

FF

Y

1 kNm .2

Fl M

Otpori oslonaca:

Primer 3 3/6


2 kN ; 1 mqF F l

Momenti u karakterističnim tačkama:

;0l

AM

4 kNm ;l

Cl AM X l

5 kNm ;2

l

Cd A

lM X l F

2 9 kNm ;2

l

D A

lM X l F

5 kNm ;2

l l

E D A q

lM M Y F l F

22

3,5 kNm ;

d

G B

lM F F l

2 4 kNm ;d

IM F l

;0d

HM

.0d

BM

Primer 3 4/6


2 kN ; 1 mqF F l

Transverzalna sila u oblastima (poljima):

4 kN ;l

AD AT X

5 2 ,l

DE AT Y F qx x

kN

0, ; 2 .2 m

qFx l q

3 kN ;l

EG A qT Y F F

2

3 1 kN ;

l l

GI EG

A q

T T F

Y F F

2 4 kN ;d

IHT F

.0d

HBT

Primer 3 5/6


2 kN ; 1 mqF F l

Moment i transverzalna sila u preseku p-p:

2

29 5 ,2

l l

p p D A

qxM M Y F x x x

lx ,0kN

2 ;m

qFq

l

09 kNm ;l

DxM M

0,56,75 kNm ;

xM

15 kNm ;l

ExM M

5 2 , 0,

l

p pl

p p A

dMT Y F qx

dx

x x l

05 kN ;l

D xT T

13 kN .l

E xT T


2 kN ; 1 mqF F l

Normalna (aksijalna) sila u oblastima

(poljima):

Primer 3 6/6

7 kN ;AC AN Y

5 kN ;CD AN Y F

2 4 kN ;DI AN X F

1 kN .IB BN F


REŠETKOM se naziva kruta konstrukcija sastavljena od pravih

štapova koji su na svojim krajevima vezani zglobovima.

STATIKA REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA

Mesta spajanja štapova se zovu

čvorovi rešetke.

Sva spoljašnja opterećenja koja dejstvuju

na rešetku se nanose samo u čvorovima

rešetke.

Rešetkasti nosač može biti vezan za podlogu :

pokretnim osloncem, nepokretnim osloncem i uklještenjem.


Krovna rešetka


Ako svi štapovi rešetke leže u jednoj ravni, onda je rešetka ravanska.



Prema načinu vezivanja: konzolna, gredna, gredna s prepustima,

trozglobna, lučna, rešetkasti stub, itd.

VRSTE REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA (1/2)

Zavisno od geometrije unutrašnjih štapova (ispune): V, N, K rešetka.

Štapovi gornjeg ruba rešetke čine gornji pojas rešetke;

Štapovi donjeg ruba rešetke čine donji pojas rešetke;

Pojasevi rešetke mogu biti poligonalni i ravni (specijalno paralelni);

Uspravan štap ispune se naziva vertikala;

Ako je štap ispune pod uglom, naziva se kosnik ili dijagonala.



VRSTE REŠETKASTIH KONSTRUKCIJA (2/2)

Konzolne N rešetke

V rešetka

K rešetka

Gerberova rešetka



STRUKTURNA NEPROMENLJIVOST REŠETKE (1/4)

Rešetkasti nosači moraju da ispunjavaju uslov nepromenljivosti

oblika sistema štapova kao celine, što znači da su rastojanja između

bilo koja dva čvora rešetke konstantna, ako važi pretpostavka da su

štapovi kruti.

Elementarna nepromenljiva

ravanska figura

Elementarna promenljiva

ravanska figura

Ementarna ravanska nepromenljiva figura je trougao.

Četvorougao pri malom dejstvu sila menja svoj oblik, prelazeći iz

jedne konfiguracije u drugu.

Ravanske figure sa četiri ili više članova su promenljive i

predstavljaju mehanizme.



STRUKTURNA NEPROMENLJIVOST REŠETKE (2/4)

Ravanska rešetka će biti nepromenljiv sistem samo ako je

obrazovana od trouglova.

Tetraedar je elementarna nepromenljiva prostorna figura.

Prostorne rešetke su sačinjene od tetraedarskih elemenata.



Ravanske mosne rešetkaste

konstrukcije



Čvor prostorne rešetke


U krutoj ravanskoj rešetki bez suvišnih štapova, sastavljene iz

trouglova koji su nepromenljive geometrijske figure, broj štapova s

rešetke i broj čvorova n rešetke su povezani relacijom


DEFINISANJE REŠETKE BEZ SUVIŠNIH ŠTAPOVA (1/2)

s = 3 + 2(n – 3) = 2n - 3

gde (n – 3) predstavlja broj čvorova rešetke van osnovnog trougla.

Rešetka ima suvišne štapove ako je

s > 2n - 3 .

Rešetka je promenljiva (nije kruta) i postaje mehanizam ako je

s < 2n - 3 .


Da bi se formirala ravanska rešetka, polazi se od osnovnog trougla

za koji su potrebna tri štapa i tri čvora (npr. trougao koji obrazuju

štapovi 1, 2 i 4). Da bi se za ovaj trougao vezao svaki sledeći čvor,

potrebna su po dva štapa (čvor 4 je spojen štapovima 3 i 5, itd.).

Prema tome, za preostala (n-3) čvora je potrebno 2(n-3) štapa.

U krajnjem rezultatu, broj štapova će biti:

s = 3 + 2(n - 3) = 2n - 3 .


DEFINISANJE REŠETKE BEZ SUVIŠNIH ŠTAPOVA (2/2)


Rešetka je statički određena ako je broj uslova ravnoteže koji se

mogu napisati jednak broju nepoznatih sila rešetke.


STATIČKA ODREĐENOST REŠETKE

Nepoznate sile rešetke su reakcije oslonaca i sile u štapovima.

Ako je rešetka vezana za postolje pokretnim i nepokretnim osloncem

i ako ima s štapova, tada je broj nepoznatih sila rešetke s+3.

Sile u štapovima su aksijalne, a ose štapova prolaze kroz čvorove,

pa na svih n čvorova rešetke dejstvuje ravanski sistem sučeljnih sila.

Tada za svaki čvor važe po dva uslova ravnoteže: ΣX=0 i ΣY=0 , što

iznosi ukupno 2n jednačina ravnoteže.

Dakle, ako je 2n jednačina ravnoteže jednak broju nepoznatih rešetke

s+3, rešetka je statički određena.


Spoljašnje sile


SILE U REŠETKI

Unutrašnje sile

Aktivne sile

(sile opterećenja)

Pasivne sile

(reakcije oslonaca)

Sile u štapovima

Sile u čvorovima


Pri proračunu rešetke se zanemaruju težine samih štapova rešetke

u odnosu na spoljašnja opterećenja, a takođe i trenje u čvorovima.

Prema tome, na svaki od štapova rešetke dejstvuju dve sile na

njegovim krajevima, koje pri ravnoteži imaju pravac štapa, isti


, , 0

,

A B A B

A B A B

S S S S

S S S S S S S S

S S

intenzitet, a suprotan smer.

To znači da štapovi rešetke

mogu da budu ili zategnuti ili

pritisnuti.

Sile u štapovima rešetke (1/2)


Ako na neka dva čvora

dejstvuju sile sa smerom od

jednog čvora štapa prema

drugom, štap koji veže te

čvorove je zategnut.

U protivnom je pritisnut.


Zategnut štap

Pritisnut štap

+

-

Unutrašnja sila u štapu se

naziva aksijalna sila.

Za sile u štapovima se

uzima znak + ako je štap

zategnut, a znak - ako je

pritisnut.

Sile u štapovima rešetke (2/2)

Pod rešavanjem rešetke se podrazumeva određivanje otpora

oslonaca i unutrašnjih sila u štapovima rešetke pri zadatim

spoljašnjim aktivnim silama.

Određivanje reakcija (otpora) oslonaca rešetke se vrši kao kod

krutih tela u ravni ili kao kod ostalih štapova rešetke.

Nepoznate sile rešetke se mogu odrediti analitičkim ili grafičkim

metodama.

Izbor metode zavisi od cilja proračuna.



Načini rešavanja rešetke (1/6)

1. Metode čvorova:

− Analitičke metode čvorova:

• Metoda čvor po čvor (Metoda ravnoteže čvorova),

• Metoda svih čvorova odjednom.

− Grafičke metode čvorova:

• Metoda čvor po čvor (zasebno crtano),

• Metoda čvor po čvor (zajedno crtano) – Cremona.

2. Metode preseka:

− Analitička metoda (Ritter-ova metoda),

− Grafička metoda (Culmann-ova metoda).







Metoda ravnoteže čvorova

Analiza ravnoteže svakog čvora se svodi na rešavanje ravanskog

sistema sučeljnih sila.

Rešetka se oslobodi veza i analitičkim putem se odrede reakcije

veza.

Analiza se započinje od čvora u

kome ima najmanje nepoznatih

sila.

Uslovi ravnoteže sučeljnog

sistema sila svakog čvora:

ΣX=0 i ΣY=0.




Ritter-ova metoda (1/3)

Rešetka se najpre oslobađa veza i određuju se otpori oslonaca.

Rešetka se zatim preseca na dva dela, a preko tri štapa koja se ne

seku u istom čvoru.

Posmatra se ravnoteža

jednog dela rešetke, a

uticaj odbačenog dela

rešetke se zamenjuje

silama u presečenim

štapovima.

kojima se seku pravci

presečenih štapova.

Na ovaj način se eliminišu po

dve nepoznate sile u

štapovima i dobijaju tri

jednačine od kojih je svaka

samo sa po jednom

nepoznatom.





Na odsečeni deo rešetke (presek kroz tri štapa) treba primeniti

treći oblik uslova ravnoteže. Za momentne tačke se biraju tačke u

1

2

3

O

O

O

0;

0;

0;

M

M

M





U slučaju da su dva štapa

paralelna, primenjuje se

drugi oblik uslova ravnoteže.

1

2

O

O

0;

0;

0;

M

M

Y

STATIKA

1. Šta predstavlja rešetka i koje su vrste rešetaka?

2. Strukturna nepromenljivost rešetke.

3. Definisanje rešetke bez suvišnih štapova.

4. Statička određenost rešetke.

5. Vrste sila u rešetki.

6. Načini rešavanja rešetke.

Kontrolna pitanja 7


tehniČka mehanika godina... · tehniČka mehanika – prezentacija predavanja dr darko mihajlov,...

Documents