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Técnicas de conteo

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  • 06/05/2009

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    Ing. M.Sc. Javier Antonio Ballesteros Ricaurte

    Se les denomina tcnicas de conteo a: lasvariaciones, permutaciones y combinaciones lascuales son parte de las MD que estudia lasdiversas formas de realizar agrupaciones con loselementos de un conjunto, formndolas ycalculando su nmero, existen distintas formasde realizar estas agrupaciones, segn se repitanlos elementos o no, segn se puedan tomartodos los elementos de que disponemos o no y siinfluye o no el orden de colocacin de loselementos, etc.

    Las bases para entender el uso de las tcnicas deconteo son el principio multiplicativo y el aditivo.

    Si se desea realizar una actividad que consta der pasos, en donde el primer paso de laactividad a realizar puede ser llevado a cabode N1 maneras o formas, el segundo paso deN2 maneras o formas y el r-simo paso de Nrmaneras o formas, entonces esta actividadpuede ser llevada a efecto de:

    N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas

    Una persona desea construir su casa, para locul considera que puede construir loscimientos de su casa de cualquiera de dosmaneras (concreto o block de cemento),mientras que las paredes las puede hacer deadobe, adobn o ladrillo, el techo puede serde concreto o lmina galvanizada y porltimo los acabados los puede realizar de unasola manera cuntas maneras tiene estapersona de construir su casa?

    Solucin:

    Considerando que r = 4 pasos

    N1= maneras de hacer cimientos = 2

    N2= maneras de construir paredes = 3

    N3= maneras de hacer techos = 2

    N4= maneras de hacer acabados = 1

    N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa

    Si se desea llevar a efecto una actividad, la cultiene formas alternativas para ser realizada,donde la primera de esas alternativas puedeser realizada de M maneras o formas, lasegunda alternativa puede realizarse de Nmaneras o formas ..... y la ltima de lasalternativas puede ser realizada de Wmaneras o formas, entonces esa actividadpuede ser llevada a cabo de

    M + N + .........+ W maneras o formas

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    Una persona desea comprar una lavadora de ropa, paralo cul ha pensado que puede seleccionar de entrelas marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuandoacude a hacer la compra se encuentra que la lavadorade la marca W se presenta en dos tipos de carga (8 u11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puedeser automtica o semiautomtica, mientras que lalavadora de la marca E, se presenta en tres tipos decarga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos coloresdiferentes y puede ser automtica o semiautomtica yla lavadora de la marca GE, se presenta en solo untipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos coloresdiferentes y solo hay semiautomtica. Cuntasmaneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

    Solucin: M = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

    N = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

    W = Nmero de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

    M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

    Las variaciones son aquellas formas de agruparlos elementos de un conjunto teniendo encuenta que: la seleccin de elementos, ordenen que se colocan y la repeticin deelementos.

    Las variaciones sin repeticin de nelementos tomados de p en p se definencomo las distintas agrupaciones formadascon p elementos distintos, eligindolos deentre los n elementos de que disponemos,considerando una variacin distinta a otratanto si difieren en algn elemento como siestn situados en distinto orden.

    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedoformar grupos ordenados de 3 de ellos demuchas maneras:

    cada grupo ordenado decimos que es unavariacin de estos 5 elementos de orden 3, otambin, tomados de 3 en 3.

    Solucin: n= 5 p=3 sin repeticin El nmero de variaciones de 5 elementostomados de 3 en 3 se denota por V5 3 yequivale a:

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    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocarordenadamente poniendo como primer elemento delgrupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto,hay 5 posibilidades para empezar:

    a _ _ b _ _ c _ _ d _ _ e _ _Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera delas letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que hecolocado 1 la 'a', tendra:

    a b _ a c _ a d _ a e _

    De forma que si por cada eleccin del 1 tengo 4posibilidades para el 2, en conjunto tendr paralos dos primeros elementos 5x4 = 20posibilidades.

    Anlogamente, para colocar el 3 elemento,tendr, por cada eleccin del 1 y 2, 3 nuevasposibilidades. Por ejemplo, si haba colocado 1la 'b' y 2 la 'e', tendra las siguientesposibilidades:

    b e a b e c b e dAs que para el conjunto de los tres primeroselementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

    Las variaciones con repeticin de n elementostomados de p en p se definen como lasdistintas agrupaciones formadas con pelementos que pueden repetirse, eligindolosde entre los n elementos de que disponemos,considerando una variacin distinta a otratanto si difieren en algn elemento como siestn situados en distinto orden.

    El nmero de variaciones que se puedenconstruir se puede calcular mediante lafrmula:

    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, puedo formargrupos ordenados de 3 de ellos, pudindoserepetir los objetos en un mismo grupo, de lamanera siguiente: cada grupo ordenadodecimos que es una variacin con repeticinde estos 5 elementos de orden 3, o tambin,tomados de 3 en 3.

    Donde: n = 5 p = 3 con repeticin

    El nmero de variaciones con repeticin de 5elementos tomados de 3 en 3 se denota porVR53 y equivale a:

    VR5

    3 = 5.5.5 = 53 = 125

    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedo colocar ordenadamenteponiendo como primer elemento del grupo o bien la 'a' o la 'b' ola 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto, hay 5 posibilidades para empezar:

    a _ _ b _ _ c _ _ d _ _ e _ _Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2 elementotengo otras 5 posibilidades: elegir una cualquiera de las letras.Por ejemplo, suponiendo que he colocado 1 la 'a', tendra:

    a a_ a b _ a c _ a d _ a e _

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    De forma que si por cada eleccin del 1 tengo 5posibilidades para el 2, en conjunto tendr para losdos primeros elementos 5x5 = 25 posibilidades.

    Anlogamente, para colocar el 3 elemento, tendr, porcada eleccin del 1 y 2, 5 nuevas posibilidades. Porejemplo, si haba colocado 1 la 'b' y 2 la 'e', tendralas siguientes posibilidades:

    b e a

    b e b

    b e c

    b e d

    b e e

    As que para el conjunto de los tres primeroselementos tengo 5x5x5 = 125 posibilidades.

    Una permutacin es una combinacin en dondeel orden es importante. La notacin parapermutaciones es P(n,r) que es la cantidad depermutaciones de n elementos si solamentese seleccionan r.

    Las permutaciones sin repeticin de n elementosse definen como las distintas formas de ordenartodos esos elementos distintos, por lo que lanica diferencia entre ellas es el orden decolocacin de sus elementos. Para formar ungrupo se toman todos los elementos, no hay queseleccionar unos pocos, hay que tener en cuentael orden en que se colocan los elementos; si sealtera el orden, se tiene un grupo distinto y no serepiten los elementos dentro de un mismogrupo.

    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e} , los puedocolocar ordenadamente de muchas maneras,cada ordenacin decimos que es unapermutacin de estos 5 elementos. El nmerode permutaciones de 5 elementos se denotapor P5 y equivale a:

    P5 = 5.4.3.2.1 = 120

    Si tengo 5 objetos {a, b, c, d, e}, los puedo colocarordenadamente poniendo como primer elemento delgrupo o bien la 'a' o la 'b' o la 'c' o la 'd' o la 'e'. Por tanto,hay 5 posibilidades para empezar:

    a _ _ _ _ b _ _ _ _ c _ _ _ _ d _ _ _ _ e _ _ _ _Por cada una de estas 5 posibilidades, para colocar el 2elemento tengo 4 posibilidades: elegir una cualquiera delas letras restantes. Por ejemplo, suponiendo que hecolocado 1 la 'a', tendra:

    a b _ _ _ a c _ _ _ a d _ _ _ a e _ _ _

  • 06/05/2009

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    De forma que si por cada eleccin del 1 tengo 4posibilidades para el 2, en conjunto tendr para losdos primeros elementos 5x4 = 20 posibilidades.

    Anlogamente, para colocar el 3 elemento, tendr, porcada eleccin del 1 y 2, 3 nuevas posibilidades. Porejemplo, si haba colocado 1 la 'b' y 2 la 'e', tendralas siguientes posibilidades:

    b e a _ _

    b e c _ _

    b e d _ _

    As que para el conjunto de los tres primeroselementos tengo 5x4x3 = 60 posibilidades.

    Llamamos a las permutaciones con repeticin de nelementos tomados de a en a, de b en b, de c en c,etc, cuando en los n elementos existen elementosrepetidos (un elemento aparece a veces, otro b veces,otro c veces, etc) verificndose que a+b+c+...=n.Para formar un grupo se toman todos los elementos,no hay que seleccionar unos pocos, hay que tener encuenta el orden en que se colocan los elementos; sise altera el orden, se tiene un grupo distinto y hayrepeticin de los elementos dentro de un mismogrupo. El nmero de estas permutaciones ser:

    Si tengo 3 objetos {a, b, c} , los puedo colocarordenadamente de manera que la 'a' aparezca2 veces, la 'b' otras 2 veces y la 'c' 1 sola vez,cada uno de estos grupos decimos que esuna permutacin con repeticin de estos 3elementos.

    El nmero de permutaciones con repeticin de3 elementos que se repiten 2 veces, 2 veces y1 vez, teniendo por tanto cada grupo 5elementos, se denota por P5 2,2,1 y equivalea:

    Si los 5 objetos que aparecen en las permutacionesfueran todos distintos, pongamos {a1, a2, b1, b2, c},en lugar de estar repetidos algunos, evidentementeestaramos en el caso de las permutacionesordinarias y el nmero de g