TD

TD-Révisions : Mécanique du point

1 Point matériel soumis à un seul champ de force centrale

Soit un point matériel M de masse m soumis à une force centrale −→F de centre de force O. On étudieson mouvement dans un référentiel galiléen Rg. Dans un premier temps on repère le point M en coordonnéessphériques (r, θ, φ).1. Définir une force centrale.2. Montrer que le moment cinétique de M en O −→L O se conserve. Montrer alors que le mouvement s’effectuedans un plan passant par le centre de force.Par la suite on étudiera le mouvement du point M dans le plan du mouvement défini à la question précédente,de repère polaire (O,−→u r ,−→u θ ).3. Montrer que −→L O = mC−→u z où C = r2θ est appelée constante des aires.4. On rappelle que la vitesse aréolaire correspond à l’aire balayée par le vecteur −−→OM par unité de temps

dAdt . Montrer la loi des aires :

dAdt = |C |2On donne l’aire balayée par −−→OM pendant dt : dA = 12

∥∥∥−−→OM ∧ d−−→OM∥∥∥.

2 Conservation de l’énergie mécanique : état lié et état de diffusionOn considère la situation du paragraphe précédent, en considèrant cette fois que la force centrale est denorme invariante par rotation autour de O : −→F = F (r)−→u r , et dérove d’une énergie potentielle Ep(r).1. Montrer que l’énergie mécanique peut s’écrire sous la forme :

Em = Ecr + Epef f

Ecr = 12mr2 est l’énergie cinétique radialeEpef f = 12mC 2

r2 + Ep(r) est l’énergie potentielle effective2. Sur les graphes ci-dessous on a tracé l’énergie potentielle effective enf onction de r dans les cas d’uneforce d’intreraction de type newtonienne attractive et répulsive. Dans chacun des cas suivants, préciser sile point matériel M se trouve dans un état lié ou un état de diffusion, ainsi que le domaine de définitionde r :a) Interaction attractive, Em > 0b) Interaction attractive, Em = 0c) Interaction attractive, Em < 0d) Interaction attractive, Em = Epef f (ro). Préciser la nature du mouvement.e) Interaction répulsive, Em > 0

1 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

TD

3 Mouvement dans un champ de force newtonienOn étudie le mouvement d’une planète, considérée comme un point matériel P de masse m, dans le référentielhéliocentrique, de centre S. On note M la masse du Soleil.1. Enoncer les trois lois de Kepler.Pour simplifier, on considère le cas particulier où le mouvement de la planète est circulaire de rayon R. Ona donc −→SP = R−→u r .2. Montrer que le mouvement est uniforme et donner l’expression de la vitesse v de P en fonction de G laconstante de gravitation universelle, M et R.3. Etablir la troisième loi de Kepler dans le cas de l’orbite circulaire.Certains satellites de communication doivent toujours être positionnés au même endroit du ciel à partir d’unpoint terrestre (par exemple, certaines antennes paraboliques de télévision par satellite pointent vers un satellitedonné et sont réglées une seule fois) : de tels satellites sont dits géostationnaires. Leur période de révolutionautour de la Terre doit donc être égale à celle de rotation de la Terre sur elle-même. La trajectoire d’un satelliteest située dans un plan contenant le centre de la Terre. Si ce plan n’est pas celui de l’Équateur, le satellite nepeut rester au-dessus d’un même point de la surface terrestre. Un satellite géostationnaire évolue donc dans leplan équatorial.4. Calculer l’altitude d’un satellite géostationnaire. Données : G = 6, 69.10−11SI , MT = 6, 0.1024Kg.On définit les vitesses cosmiques :— Vitesse en orbite basse : il s’agit de la vitesse d’un satellite "rasant" la surface de l’astre considéré.— Vitesse de libération : il s’agit de la vitesse minimale à communiquer à un objet soumis uniquement àune force gravitationnelle pour qu’il puisse s’éloigner à l’infini du centre de force.5. Exprimer puis calculer la vitesse en orbite basse d’un satellite terrestre.6. Exprimer puis calculer la vitesse de libération d’un satellite terrestre. On fera l’hypothèse que le satelliten’est soumis à aucun frottement.

4 Quelques sujets de concours— Extrait de e3a-PSI-2007 : étude mécanique d’une fusée et de son satellite. Thèmes abordés : bilande quantité de mouvement (bon entrainement sur les bilans macroscopiques !) et mouvement en orbitecirculaire.— Extrait de Mines-Pont-PSI-2011 : métro gravitationnel. Thèmes abordés : théorème de Gauss pour lechamp de gravitation (bon entrainement !), mouvement à force centrale .— Extrait de e3a-MP-2015 : Atterrissage du module Philae. Thèmes abordés : mouvement à force centrale,énergie, résolution grapho-numérique.

2 PSI, lycée de l’Essouriau, 2015/2016

ECOLE DES PONTS PARISTECH

SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,

TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,

MINES DE SAINT–ETIENNE, MINES DE NANCY,

TELECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILIERE MP)

ECOLE POLYTECHNIQUE (FILIERE TSI)

CONCOURS D’ADMISSION 2011

PREMIERE EPREUVE DE PHYSIQUE

Filiere PSI

(Duree de l’epreuve: 3 heures)

L’usage de la calculatrice est autorise

Sujet mis a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP

Les candidats sont pries de mentionner de facon apparente sur la premiere page de la copie :

PHYSIQUE I — PSI.

L’enonce de cette epreuve comporte 7 pages.

– Si, au cours de l’epreuve, un candidat repere ce qui lui semble etre une erreur d’enonce, il est invite a le

signaler sur sa copie et a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ete

amene a prendre.

– Il ne faudra pas hesiter a formuler les commentaires (incluant des considerations numeriques) qui vous

sembleront pertinents, meme lorsque l’enonce ne le demande pas explicitement. Le bareme tiendra compte

de ces initiatives ainsi que des qualites de redaction de la copie.

TRANSPORTS PLANETAIRESCe probleme etudie divers aspects physiques du voyage a l’echelle planetaire. Il est compose de

deux parties independantes, la premiere envisage le deplacement d’un train dans un tunnel creuse

dans la sphere terrestre, la seconde etudie la montee d’un ascenseur le long d’un cable vertical fixe a

l’equateur. Dans tout le probleme la Terre est assimilee a un corps spherique homogene de rayon rT ,

de centre OT et de masse volumique homogene µT .

Pour les applications numeriques on prendra µT = 5,50 ·103kg.m−3, rT = 6,38 ·106m , et on utilisera

3 chiffres significatifs. On rappelle la valeur de la constante universelle de gravitation de Newton

G = 6,67 · 10−11m3.kg−1.s−2. Les vecteurs sont surmontes d’un chapeau s’ils sont unitaires ux ou

d’une fleche dans le cas general−→OP. Une quantite surmontee d’un point designe la derivee totale par

rapport au temps de cette quantite θ =dθ

dt. Les nombres complexes sont soulignes z ∈ C, a l’exception

de j tel que j2 = −1.

I. — Le metro gravitationnel

Dans toute cette partie on neglige tous les effets de la rotation de la terre sur elle-meme et on se place

dans le referentiel geocentrique que l’on supposera galileen.

I.A. — Etude preliminaire

On considere un point P situe a l’interieur de la sphere terrestre. On note−−→OT P = −→r = r ur et

−−→g(P)

le champ gravitationnel cree par la terre en P.

Transports planetaires

1 — Justifier que−−→g(P) est porte par ur et que son module ne depend que de r, on notera donc−−→

g(P) = g(r) ur. En utilisant le theoreme de Gauss gravitationnel, determiner l’expression de g(r) en

fonction de ω2 =4

3πGµT et r.

2 — Deduire de la question precedente que la force de gravitation s’exercant sur un point de masse

m situe en P derive de l’energie potentielle

Ep (r) = Ep0+

1

2mω2r2

ou Ep0est une constante qui depend de la reference choisie et que l’on ne demande pas d’expliciter.

Quelle est la dimension de ω ?

I.B. — Le tunnel droit

On relie deux points A et B de l’equateur terrestre par un tunnel cylindrique traversant la Terre selon

le schema de la figure 1 qui presente egalement les notations utilisees.

FIG. 1 – Le tunnel droit

On considere un mobile ponctuel P de masse m se deplacant dans le tunnel sous l’effet du champ

gravitationnel terrestre. La position du mobile est reperee sur le segment [AB] par la coordonnee x

telle que−→PH = x ux ou le vecteur unitaire ux est colineaire a

−→AB et de meme sens et H est la projection

orthogonale de OT sur [AB]. On note finalement h = OT H.

Dans toute la partie I, on suppose que le point P reste en permanence dans l’axe du tunnel grace a un

systeme de confinement. Il n’y a donc pas de contact avec les parois et donc pas de frottement avec

celles-ci. Un tel confinement est envisageable en utilisant des parois magnetiques ! On suppose enfin

qu’un vide suffisament pousse a ete cree dans le tunnel. Sous toutes ces hypotheses, on considerera

que la seule force qui s’applique au mobile est la force de gravitation qu’exerce sur lui la terre.

A l’instant t = 0, on abandonne le mobile au point A sans vitesse initiale.

3 — Determiner l’equation differentielle (lineaire) du second ordre verifiee par x(t). En deduire

l’expression de x(t) en fonction de h, rT , ω et t.

4 — Determiner la valeur de la vitesse maximale atteinte par le point P sur le trajet. En quel point

cette vitesse est-elle atteinte ?

5 — Exprimer la duree τ0 du trajet entre AB et calculer sa valeur numerique.

I.C. — Projet de metro

Pour desservir plusieurs points sur l’equateur, on considere un systeme de tunnels representes sur la

figure 2.

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Physique I, annee 2011 — filiere PSI

FIG. 2 – Le systeme de tunnels

Un tunnel circulaire est perce a une distance rH du centre de la Terre dans le plan de l’equateur et l’on

creuse des tunnels rectilignes de descente ou de remontee A1H1 A2H2, etc... Ces tunnels se raccordent

au tunnel circulaire interne en des points H1, H2, · · · . Chaque jonction est tangentielle, c’est-a-dire que−−−→A1H1.

−−−→OT H1 =

−−−→A2H2.

−−−→OT H2 = · · · = 0. Les points H1, H2, ... sont equipes d’un systeme d’aiguillage

assurant la continuite du vecteur vitesse de la rame de transport des voyageurs lors du transfert entre

le tunnel de descente ou de remontee et le tunnel circulaire.

On assimile cette rame a un point materiel P de masse m astreint a circuler dans l’axe du tunnel et

sans contact avec ses parois grace au systeme de confinement. A l’instant t = 0, on laisse tomber une

rame du point A1 et sans vitesse initiale.

6 — Quelle est la nature du mouvement de la rame sur le trajet circulaire interne H1H2. Determiner

la vitesse de la rame sur cette portion, en deduire que la duree τ1 du transfert de H1 vers H2 se met

sous la forme

τ1 =θ

ωf (y)

ou y = rT /rH et f est une fonction que l’on determinera.

7 — Determiner la duree totale τ du voyage de A1 vers A2 en fonction de θ , ω et y. Determiner la

valeur numerique de τ pour un voyage tel que θ = π/3 avec rH = rT /2. Comparer les caracteristiques

de ce voyage avec son equivalent a la surface de la terre.

8 — Avec un diametre moyen de 7 m, evaluer la quantite de deblais a evacuer pour creuser le

tunnel circulaire, ainsi qu’un tunnel radial. Commenter le resultat obtenu.

L’une des nombreuses hypotheses necessaires a la realisation d’un tel projet est la creation et le

maintien d’un vide suffisant dans le tunnel. En fait, ce vide ne peut etre que partiel sur un tel volume

et le tunnel contient de l’air de densite volumique de masse ρ maintenu a la pression p et a la

temperature ambiante. Ce dernier point serait a discuter dans le cadre d’une etude plus complete que

nous ne menerons pas ici. On supposera que p et ρ sont constantes dans l’enceinte du tunnel et que

l’air s’y comporte comme un gaz parfait. Pour cette etude on se place dans le cas du mouvement dans

le tunnel circulaire.

Des experiences d’aerodynamique montrent que le mouvement d’un solide dans un gaz au repos est

soumis a une force de frottement, dite traınee. Cette traınee depend de la taille caracteristique L et de

la vitesse v du solide ainsi que de la densite ρ du gaz dans lequel s’effectue le mouvement.

Page 3/7 Tournez la page S.V.P.

Rosetta est une mission spatiale de l'Agence spatiale européenne dont l'objectif principal est de recueillir des données sur la composition du noyau de la comète 67P/Tchourioumov-Guérassimenko et sur son comportement à l'approche du Soleil.

La sonde spatiale s'est placée en orbite autour de la comète puis, après une période d'observation de plusieurs mois, a envoyé le 12 novembre 2014 Philae, un petit atterrisseur, se poser sur sa surface pour analyser la composition de son sol et sa structure.

Le problème est constitué de quatre parties.La première traite de la descente du module Philae vers la comète.La seconde s’intéresse aux communications entre la sonde Rosetta et la Terre. La troisième concerne les aspects thermiques de la comète lorsque celle-ci se rapproche du Soleil.

La dernière partie de cette épreuve est consacrée à la chimie des ergols, composés destinés à fournir l’énergie nécessaire à la propulsion de Rosetta.

PREMIÈRE PARTIE

ATTERRISSAGE DU MODULE PHILAE

Données : • masse de la comète : 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 1,0.1013 𝑘𝑘𝑘𝑘• masse volumique de la comète : 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 400 𝑘𝑘𝑘𝑘 ⋅ 𝑚𝑚−3

• période de rotation propre de la comète : 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = 12,4 ℎ• constante gravitationnelle : 𝐺𝐺 = 6,67.10−11𝑚𝑚3 ⋅ 𝑘𝑘𝑘𝑘−1 ⋅ 𝑠𝑠−2

• distance de largage par rapport au centre : 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑘𝑘 = 22,5 𝑘𝑘𝑚𝑚 • masse de la sonde Rosetta : 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 = 1500 𝑘𝑘𝑘𝑘• masse de l’atterrisseur Philae : 𝑚𝑚𝑝𝑝ℎ = 98 𝑘𝑘𝑘𝑘• vitesse de la lumière dans le vide : 𝑐𝑐 = 3,00.108 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1

Dans cette partie, la comète est modélisée par une boule homogène de masse 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 et demasse volumique 𝜇𝜇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 .

La distance entre un point 𝑀𝑀 et le centre 𝑂𝑂 de la comète est notée𝑟𝑟 = 𝑂𝑂𝑀𝑀.

A / CHAMP GRAVITATIONNEL DE LA COMETE

A1. Déterminer le rayon 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 de la boule équivalente à la comète.

A2. Montrer, en appliquant soigneusement le théorème de Gauss, que le champ gravitationnel��𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 dû à la comète, s’écrit ��𝑘𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 = −𝐺𝐺 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚

𝑟𝑟2 𝑒𝑒𝑟𝑟 (pour 𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 ).

A3. Vérifier par analyse dimensionnelle l’homogénéité de la relation obtenue.

A4. Peut-on considérer le champ gravitationnel de la comète uniforme lors de la chute du module Philae, suite à son largage ?

(Les questions relatives au caractère non galiléen du référentiel sont hors programme)e3a MP 2015

B / TRAJECTOIRE DE PHILAE Approche numérique de l’équation du mouvement

On étudie la chute libre de l’atterrisseur Philae, dans un référentiel dont l’origine est le

centre 𝑂𝑂 de la comète et qui tourne avec Rosetta, de sorte que le vecteur 𝑒𝑒𝑟𝑟 pointe constamment vers l’atterrisseur (accélération ��𝑙 = ��𝑟𝑒𝑒𝑟𝑟). Ce référentiel peut être considéré comme galiléen.

B1. Etablir l’équation du mouvement de l’atterrisseur Philae, une fois séparé de Rosetta, en projection sur l’axe radial.

Cette équation peut être résolue numériquement. L’évolution temporelle de la distance 𝑟𝑟est

représentéesur la figure 1, à partir de la distanceinitiale 𝑟𝑟(𝑡𝑡 = 0) = 𝑟𝑟𝑙𝑙𝑙𝑙𝑟𝑟𝑘𝑘 , pour différentes vitesses verticales initiales 𝑣𝑣0 = ��𝑟(𝑡𝑡 = 0).

B2. Déterminer la durée𝜏𝜏0 de la chute de Philae s’il est abandonné par Rosetta avec une vitesse verticale nulle.

B3. La durée réelle de la chute est𝜏𝜏 ≃ 7 ℎ. En déduire la vitesse verticale initiale communiquée à l’atterrisseur.

distance𝑟𝑟(𝑚𝑚)

temps(𝑠𝑠)

a b c d

e f g h i

Figure 1 - Evolution temporelle de l’altitude pour différentes vitesses initiales : a :𝑣𝑣0 = 0 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 b : 𝑣𝑣0 = −0,15 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 c : 𝑣𝑣0 = −0,30 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 d :𝑣𝑣0 = −0,45 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 e : 𝑣𝑣0 = −0,60 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 f : 𝑣𝑣0 = −0,75 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 g :𝑣𝑣0 = −0,90 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 h : 𝑣𝑣0 = −1,05 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1 i : 𝑣𝑣0 = −1,20 𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1

d

e f g h i

Différentes trajectoires de phase sont représentées sur la figure 2, en fonction de la vitesse verticale initiale.

B4. Déterminer, par lecture graphique, la vitesse verticale atteinte par Philae au moment du contact avec la comète.

Approche énergétique

L’objectif est de retrouver la vitesse atteinte par l’atterrisseur au moment du contact avec la comète.

B5. Etablir l’expression de l’énergie potentielle gravitationnelle𝐸𝐸𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 d’un point matériel de masse𝑚𝑚 situé à la distance𝑟𝑟 > 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 du centre de la comète, en fonction de𝐺𝐺, 𝑚𝑚, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 et 𝑟𝑟 (on fixe𝐸𝐸𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 (𝑟𝑟 → ∞) = 0).

B6. Lors de la chute de Philae, préciser comment évolue l’énergie mécanique de l’atterrisseur.

B7. En déduire, littéralement puis numériquement, la vitesse atteinte par l’atterrisseur lors du contact avec la comète.

C / PHILAE A LA SURFACE DE LA COMETE

On s’intéresse à présent au module Philae, une fois celui-ci posé sur la surface de la

comète.

C1. Lors du largage de Philae, le 12 novembre 2014, plusieurs journalistes commentent l’événement : « Philae pèse 1,7 𝑘𝑘 sur la comète ». Qu’en pensez-vous ?

��𝑟(𝑚𝑚 ⋅ 𝑠𝑠−1) vitesse verticale

distance𝑟𝑟(𝑚𝑚)

Figure 2 - Trajectoires de phase pour différentes vitesses initiales

La comète 67P/Tchourioumov-Guérassimenko tourne sur elle-même avec une période 𝑇𝑇𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 dans le référentiel « cométocentrique »galiléenℛ0, dont l’origine est le centre 𝑂𝑂 de la comète et dont les axes pointent vers des directions fixes.Le référentielℛ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 lié à la comète n’est pas galiléen.

C2. Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique à l’atterrisseur Philae dans le référentiel ℛ𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 lié à la comète, indiquer quelle force doit être ajoutée à la force gravitationnelle, ainsi que son nom usuel.

C3. Représenter sur un schéma la comète, son axe de rotation, le module Philae posé à sa surface et les deux forces (en plus de la réaction du sol) auxquelles il est soumis. Comment est modifié qualitativement le poids réel de l’atterrisseur, par rapport à celui calculé à la question C1 ?

C4. Exprimer littéralement, puis calculer numériquement la variation relative du poids due à la rotation propre de la comète (on suppose que Philae s’est posé dans le plan équatorial). Commenter.

D / ROSETTA AUTOUR DE LA COMETE

Avant de larguer l’atterrisseur Philae, la sonde Rosetta s’est rapprochée par paliers de la

comète. Le 10 septembre 2014, elle se situe sur une orbite circulaire de rayon 𝑟𝑟1 = 30 𝑘𝑘𝑚𝑚.

D1. Donner les expressions en coordonnées polaires de la vitesse et de l’accélération d’un point matériel𝑀𝑀 en mouvement circulaire.

D2. Exprimer la vitesse𝑣𝑣1 de la sonde en orbite circulaire de rayon 𝑟𝑟1 autour de la comète, en fonction de 𝐺𝐺, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 et 𝑟𝑟1. Effectuer l’application numérique.

D3. En déduire sa période 𝑇𝑇1. Effectuer l’application numérique.

La sonde parcourt, à partir du 8 octobre 2014, une orbite elliptique avec un apocentre𝐴𝐴 situé à la distance 𝑟𝑟𝑙𝑙 = 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚 = 20 𝑘𝑘𝑚𝑚 du centre𝑂𝑂 de la comète et un péricentre 𝑃𝑃 caractérisé par 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 𝑟𝑟𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 10 𝑘𝑘𝑚𝑚. Le 15 octobre, la propulsion est utilisée pour placer la sonde sur une orbite circulaire de rayon 𝑟𝑟𝑝𝑝 = 10 𝑘𝑘𝑚𝑚.

D4. Représenter sur un schéma l’orbite elliptique, en faisant apparaître le centre 𝑂𝑂 de la comète, ainsi que les distances 𝑟𝑟𝑙𝑙et 𝑟𝑟𝑝𝑝 .

D5. Exprimer l’énergie mécanique de la sonde sur l’orbite elliptique.

D6. Sur cette orbite, en déduire la vitesse 𝑣𝑣𝑝𝑝 de Rosetta en 𝑃𝑃, en fonction de 𝐺𝐺, 𝑚𝑚𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚 , 𝑟𝑟𝑙𝑙 et 𝑟𝑟𝑝𝑝 . Effectuer l’application numérique.

D7. Pour placer la sonde en orbite circulaire de rayon𝑟𝑟𝑝𝑝 , la propulsion est utilisée lorsque Rosetta est au péricentre. Préciser numériquement la variation de vitesse nécessaire.