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Taller: Proyeccion Transversa ModificadaEjidal

Eje Rector: Fortalecimiento Institucional

Raul Angel Gomez MorenoINEGI

Guadalajara, Jalisco, 18 de abril de 2007

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Contenido de la Introduccion

Aspectos teoricosSistema CartesianoGeometrıa EuclidianaGeometrıa Riemann

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Contenido de Proyecciones Cartograficas

Conceptos BasicosNecesidad de las ProyeccionesClasificacion

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Contenido de Proyeccion UTM

Proyeccion UTMAntecedentesDefinicionModelos MatematicosProcedimiento

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Contenido de Proyeccion TME

Proyeccion TMEAntecedentesDefinicionModelos MatematicosProcedimiento

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Contenido de Comparativo

Entendiendo las diferenciasUsando UTMUsando TMEValor de referencia

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Contenido de Herramientas para Calculo

En Ms-DosProj

En WindowsTMCalcGeotransHoja de calculo

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Parte I

Introduccion

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Limitacion de Proyeccion Conforme

Las proyecciones conformes noconservan las superficies. Loanterior significa que lassuperficies calculadas en unaproyeccion conforme (como laUTM), presentan diferenciascontra las geodesicas.

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Ejemplo (1/6)

Para evidenciar lo anterior calculemos el area del polıgono que semuestra a continuacion. Notese que se usa la proyeccion UTM y queel polıgono se encuentra en las zonas 11 y 12.

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Ejemplo (2/6)

Las coordenadas del polıgono, utilizando la proyeccion UTM yrefiriendo todo el polıgono a la zona 12 son:

Longitud Latitud Este Norte

114◦22’ 29◦22’ 173 152.536 3 253 322.831113◦06’ 29◦22’ 296 162.310 3 250 442.662113◦06’ 28◦26’ 294 329.224 3 147 001.570114◦22’ 28◦26’ 170 210.021 3 149 823.208

El area del polıgono en la zona 12 es de 1 279 207 ha.

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Ejemplo (3/6)

Ahora calculamos el area del polıgono, dividiendolo en dos partessegun la zona correspondiente, esto es, una parte en la zona 11 yotra en la 12.

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Ejemplo (4/6)

Las coordenadas de la zona 11 son:

Longitud Latitud Este Norte

114◦22’ 29◦22’ 755 623.118 3 251 492.264114◦00’ 29◦22’ 791 232.174 3 252 351.430114◦00’ 28◦26’ 793 853.088 3 148 871.539114◦22’ 28◦26’ 757 922.821 3 148 029.832

Las coordenadas de la zona 12:

Longitud Latitud Este Norte

114◦00’ 29◦22’ 208 767.826 3 252 351.430113◦06’ 29◦22’ 296 162.310 3 250 442.662113◦06’ 28◦26’ 294 329.224 3 147 001.570114◦00’ 28◦26’ 206 146.912 3 148 871.539

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Ejemplo (5/6)

Las areas obtenidas son de 370 322 ha para el polıgono en la zona11 y de 908 684 ha para el polıgono en la zona 12.Al sumar estos dos valores obtenemos el area del polıgono completo,que arroja un total de 1 279 006 ha.

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Ejemplo (6/6)

Al comparar los resultados tenemos:I El area es de 1 279 207 ha, si se calcula todo el polıgono en la

zona 12

I El area es de 1 279 006 ha, si esta se integra como la suma delas superficies de la zona 11 y 12

I La diferencia es de 201 ha.

¿A donde se fueron esas 201 ha?

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Ejemplo (6/6)

Al comparar los resultados tenemos:I El area es de 1 279 207 ha, si se calcula todo el polıgono en la

zona 12I El area es de 1 279 006 ha, si esta se integra como la suma de

las superficies de la zona 11 y 12

I La diferencia es de 201 ha.

¿A donde se fueron esas 201 ha?

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Ejemplo (6/6)

Al comparar los resultados tenemos:I El area es de 1 279 207 ha, si se calcula todo el polıgono en la

zona 12I El area es de 1 279 006 ha, si esta se integra como la suma de

las superficies de la zona 11 y 12I La diferencia es de 201 ha.

¿A donde se fueron esas 201 ha?

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Temas a considerar.

Para comprender la razon de la diferencia iniciaremos recordandoalgunos aspectos que ayudaran a comprender la razon de lasdiferencias. En este recorrido, recordaremos conceptos comosistema de coordenadas, forma de la Tierra y algunos conceptossobre proyecciones.

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Sistema de Coordenadas (1/5)

Iniciemos este proceso,tratando de ubicar el punto A.

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Sistema de Coordenadas (2/5)

Es evidente que para ubicar elpunto, primero requerimosdefinir un origen de referencia.

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Sistema de Coordenadas (3/5)

Tambien es necesario definirlos ejes de referencia.

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Sistema de Coordenadas (4/5)

A partir del origen y ejes dereferencia, contamos con loselementos mınimos para ubicarel punto.

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Sistema de Coordenadas (5/5)

Usando el procedimientoanterior, ahora es posible ubicarun segundo punto B.

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Geometrıa Euclidiana (1/7)

Ahora a partir de lascoordenadas deseamoscalcular la distancia que existeentre los puntos A y B.

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Geometrıa Euclidiana (2/7)

Recurriendo a nuestros conocimientos, la distancia se obtiene apartir de:

d =

√(xf − xi)

2 + (yf − yi)2 (1)

Y el acimut:

Az = arctan(

xf − xi

yf − yi

)(2)

En donde:(x , y)i = Coordenadas del punto inicial

(x , y)f = Coordenadas del punto final

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Geometrıa Euclidiana (2/7)

Recurriendo a nuestros conocimientos, la distancia se obtiene apartir de:

d =

√(xf − xi)

2 + (yf − yi)2 (1)

Y el acimut:

Az = arctan(

xf − xi

yf − yi

)(2)

En donde:(x , y)i = Coordenadas del punto inicial(x , y)f = Coordenadas del punto final

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Geometrıa Euclidiana (3/7)

Si sabemos que las coordenadas de los puntos son:

Punto Longitud Latitud

A 114◦22 W 29◦22 NB 113◦06 W 29◦22 N

¿Cual es el valor de la distancia?

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Geometrıa Euclidiana (4/7)

I Evidentemente lasformulas senaladas nosirven para este tipo devalores

I Y de hecho solo sonaplicables si consideramosque la Tierra es plana.

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Geometrıa Euclidiana (5/7)

La geometrıa Euclidiana se basa en cinco postulados. Los primeroscuatro son los siguientes:

I Dados dos puntos se puede trazar una recta que los una.

I Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua enuna recta ilimitada en la misma direccion

I Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y radio cualquiera.

I Todos los angulos rectos son iguales.

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Geometrıa Euclidiana (5/7)

La geometrıa Euclidiana se basa en cinco postulados. Los primeroscuatro son los siguientes:

I Dados dos puntos se puede trazar una recta que los una.I Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en

una recta ilimitada en la misma direccion

I Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquierpunto y radio cualquiera.

I Todos los angulos rectos son iguales.

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Geometrıa Euclidiana (5/7)

La geometrıa Euclidiana se basa en cinco postulados. Los primeroscuatro son los siguientes:

I Dados dos puntos se puede trazar una recta que los una.I Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en

una recta ilimitada en la misma direccionI Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier

punto y radio cualquiera.

I Todos los angulos rectos son iguales.

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Geometrıa Euclidiana (5/7)

La geometrıa Euclidiana se basa en cinco postulados. Los primeroscuatro son los siguientes:

I Dados dos puntos se puede trazar una recta que los una.I Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua en

una recta ilimitada en la misma direccionI Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier

punto y radio cualquiera.I Todos los angulos rectos son iguales.

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Geometrıa Euclidiana (6/7)

La version moderna del quinto postulado es:I Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una

paralela a dicha recta

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Geometrıa Euclidiana (6/7)

La version moderna del quinto postulado es:I Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y solo una

paralela a dicha recta

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Geometrıa Euclidiana (7/7)

Consecuencia de lospostulados es que la suma delos angulos interiores decualquier triangulo es igual a180◦

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Geometrıa Riemann (1/5)

I Por su parte la geometrıa de Riemann (elıptica) se basa en elpostulado que por un punto ajeno a una recta no es posiblepasar ninguna lınea paralela.

I Su consecuencia es que la suma de los angulos interiores de untriangulo es mayor a 180◦

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Geometrıa Riemann (1/5)

I Por su parte la geometrıa de Riemann (elıptica) se basa en elpostulado que por un punto ajeno a una recta no es posiblepasar ninguna lınea paralela.

I Su consecuencia es que la suma de los angulos interiores de untriangulo es mayor a 180◦

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Geometrıa Riemann (2/5)

Actualmente sabemos que lageometrıa de Riemann es laque mejor se adapta a la figurade la Tierra, considerando quesu forma es muy parecida a unelipsoide de revolucion.

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Geometrıa Riemann (3/5)

Las formulas para calcular el azimut y distancia en el elipsoide son:

λ = λe − λw

Un = (1− f ) tan φn

f =a− b

a

A partir de estos valores se realiza el proceso iterativo

L0 ≈ λ (3)

sin2 σ = (cos U2 sin L)2 + (cos U1 sin U2 − sin U1 cos U2 cos L)2 (4)cos σ = sin U1 sin U2 + cos U1 cos U2 cos L (5)

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Geometrıa Riemann (4/5)

Las formulas . . . :

tan σ =sin σ

cos σ(6)

sin α =cos U1 cos U2 sin L

sin σ(7)

cos 2σm = cos σ − 2 sin U1 sin U2

cos2 α(8)

C =f

16cos2 α[4 + f (4− 3 cos2 α)] (9)

Ln = λ + (1− C)f sin α

[σ + C sin σ(cos 2σm+C cos σ

{−1 + 2 cos2 2σm

})

](10)

. . . (3) a (10) se calculan hasta lograr la convergencia requerida

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Geometrıa Riemann (5/5)

I Esta por demas senalarque el uso de las formulassenaladas requiere deconocimientos de lageometrıa de Riemann yque los programas decomputo deberıan estardesarrollados paraconsiderar esta geometrıa

I Desafortunadamente todoslos programas actualmenteutilizados (SIG y CAD)estan desarrolladosconsiderando la geometrıaEuclidiana, esto es,consideran la Tierra plana.

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Geometrıa Riemann (5/5)

I Esta por demas senalarque el uso de las formulassenaladas requiere deconocimientos de lageometrıa de Riemann yque los programas decomputo deberıan estardesarrollados paraconsiderar esta geometrıa

I Desafortunadamente todoslos programas actualmenteutilizados (SIG y CAD)estan desarrolladosconsiderando la geometrıaEuclidiana, esto es,consideran la Tierra plana.

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Parte II

Proyecciones Cartograficas

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Proyecciones Cartograficas (1/6)

Naturalmente no es el momento de desechar todos los programasCAD y SIG que se han adquirido, ya que existen tecnicas paratransformar datos de la geometrıa de Riemann a la Euclidiana.

Para ello se han creado las proyecciones Cartograficas

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Proyecciones Cartograficas (1/6)

Naturalmente no es el momento de desechar todos los programasCAD y SIG que se han adquirido, ya que existen tecnicas paratransformar datos de la geometrıa de Riemann a la Euclidiana.

Para ello se han creado las proyecciones Cartograficas

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Proyecciones Cartograficas (2/6)

Desafortunadamente la transformacion no es perfecta y loscientıficos han encontrado que solo es posible preservar unacaracterıstica de los datos.

I Superficies

I Formas (angulos)I Algunas distancias

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Proyecciones Cartograficas (2/6)

Desafortunadamente la transformacion no es perfecta y loscientıficos han encontrado que solo es posible preservar unacaracterıstica de los datos.

I SuperficiesI Formas (angulos)

I Algunas distancias

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Proyecciones Cartograficas (2/6)

Desafortunadamente la transformacion no es perfecta y loscientıficos han encontrado que solo es posible preservar unacaracterıstica de los datos.

I SuperficiesI Formas (angulos)I Algunas distancias

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Proyecciones Cartograficas (3/6)

De lo anterior, las proyecciones se clasifican en:Equivalentes Si conservan las superficies

Conformes Si conservan las formas (angulos)Equidistantes Si conservan algunas distancias

Afilaticas Para aquellas que no conservan ninguna de estascaracterısticas.

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Proyecciones Cartograficas (3/6)

De lo anterior, las proyecciones se clasifican en:Equivalentes Si conservan las superficies

Conformes Si conservan las formas (angulos)

Equidistantes Si conservan algunas distanciasAfilaticas Para aquellas que no conservan ninguna de estas

caracterısticas.

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Proyecciones Cartograficas (3/6)

De lo anterior, las proyecciones se clasifican en:Equivalentes Si conservan las superficies

Conformes Si conservan las formas (angulos)Equidistantes Si conservan algunas distancias

Afilaticas Para aquellas que no conservan ninguna de estascaracterısticas.

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Proyecciones Cartograficas (3/6)

De lo anterior, las proyecciones se clasifican en:Equivalentes Si conservan las superficies

Conformes Si conservan las formas (angulos)Equidistantes Si conservan algunas distancias

Afilaticas Para aquellas que no conservan ninguna de estascaracterısticas.

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Proyecciones Cartograficas (4/6)

Geometricamente podemos verla deformacion al proyectar laelipse en un plano. En laimagen es claro que b > a.

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Proyecciones Cartograficas (5/6)

Intentando reducir ladeformacion (esto es, a → b),hacemos tangente el plano alelipsoide:

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Proyecciones Cartograficas (6/6)

Otra opcion es hacer secante elplano al elipsoide:

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Parte III

Proyeccion UTM

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Antecedentes

Hacia finales de los cuarenta el servicio cartografico de la armada delos Estados Unidos adopto el uso de la proyeccion Transversa deMercator, con la variante de que se generaron franjas de 6◦ enlongitud, 3◦ a cada lado del meridiano central.Este sistema cartografico recibio el poco modesto nombre deProyeccion Universal Transversa de Mercator o UTM. El sistema UTMesta compuesto por sesenta zonas numeradas, usando los modelosmatematicos de la proyeccion Gauss Kruger.En la actualidad, el 80 % de las areas continentales esta cubierta concartografıa basada en los modelos elipsoidales de la UTM.

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Definicion UTM (1/2)

La proyeccion UTM esta definida de la siguiente manera:I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccion

conforme)

I El mundo esta cubierto por franjas de 6◦ en longitud, con unmeridiano central a cada 3◦.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000 metros.I En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a

0,999 6

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Definicion UTM (1/2)

La proyeccion UTM esta definida de la siguiente manera:I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccion

conforme)I El mundo esta cubierto por franjas de 6◦ en longitud, con un

meridiano central a cada 3◦.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000 metros.I En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a

0,999 6

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Definicion UTM (1/2)

La proyeccion UTM esta definida de la siguiente manera:I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccion

conforme)I El mundo esta cubierto por franjas de 6◦ en longitud, con un

meridiano central a cada 3◦.I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000 metros.

I En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a0,999 6

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Definicion UTM (1/2)

La proyeccion UTM esta definida de la siguiente manera:I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccion

conforme)I El mundo esta cubierto por franjas de 6◦ en longitud, con un

meridiano central a cada 3◦.I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000 metros.I En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a

0,999 6

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Definicion UTM (2/2)

I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrospara latitudes norte y 10 000 000 metros para latitudes sur.

I En el meridiano central, la convergencia es constante.I Es una proyeccion cilındrica transversa secante.I La zona 1 cubre de la longitud 180◦ Oeste a 174◦ Oeste, y se

incrementa hasta llegar a la zona 60 que abarca de la longitud174◦ Este a 180◦ Este.

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Definicion UTM (2/2)

I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrospara latitudes norte y 10 000 000 metros para latitudes sur.

I En el meridiano central, la convergencia es constante.

I Es una proyeccion cilındrica transversa secante.I La zona 1 cubre de la longitud 180◦ Oeste a 174◦ Oeste, y se

incrementa hasta llegar a la zona 60 que abarca de la longitud174◦ Este a 180◦ Este.

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Definicion UTM (2/2)

I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrospara latitudes norte y 10 000 000 metros para latitudes sur.

I En el meridiano central, la convergencia es constante.I Es una proyeccion cilındrica transversa secante.

I La zona 1 cubre de la longitud 180◦ Oeste a 174◦ Oeste, y seincrementa hasta llegar a la zona 60 que abarca de la longitud174◦ Este a 180◦ Este.

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Definicion UTM (2/2)

I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrospara latitudes norte y 10 000 000 metros para latitudes sur.

I En el meridiano central, la convergencia es constante.I Es una proyeccion cilındrica transversa secante.I La zona 1 cubre de la longitud 180◦ Oeste a 174◦ Oeste, y se

incrementa hasta llegar a la zona 60 que abarca de la longitud174◦ Este a 180◦ Este.

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Formulas UTM (1/9)

El calculo inicia con las formulas que se indican a continuacion.Para determinar la zona UTM correspondiente:

Zonautm = 30− entero(λp

6

)(11)

Y el meridiano central

λ0 = 183− 6× Zonautm (12)

La diferencia de longitudes se obtiene a partir de:

λ = λ0 − λp (13)

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Formulas UTM (2/9)

Para la delta Este:

∆E = N λ cos φ

+N λ3 cos3 φ

6[1− t2 + η2]

+N λ5 cos5 φ

120

[5− 18t2 + t4 + 14η2 − 58t2η2

+13η4 + 4η6 − 64t2η4 − 24t2η6

]+

N λ7 cos7 φ

5 040[61− 479t2 + 179t4 − t6]

+ · · ·

(14)

YN =

a√1− e2 sin2 φ

(15)

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Formulas UTM (3/9)

Para la delta Norte:

∆N =Nλ2 sen φ cos φ

2

+Nλ4 sen φ cos3 φ

24[5− t2 + 9η2 + 4η4]

+Nλ6 sen φ cos5 φ

720

61− 58t2 + t4 + 270η2 − 330t2η2

+445η4 + 324η6 − 680t2η4 + 88η8

−600t2η6 − 192t2η8

+

Nλ8 sen φ cos7 φ

40 320[1 385− 3 111t2 + 543t4 − t6]

+ · · ·(16)

N = ∆N + Sφ (17)

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Formulas UTM (4/9)

Para el calculo de la convergencia de cuadrıcula:

γ = λ sen φ

+λ3 sen φ cos2 φ

3[1 + 3η2 + 2η4]

+λ5 sen φ cos4 φ

15

[2− t2 + 15η2 + 35η4 − 15t2η2 + 33η6

−50t2η4 + 11η8 − 60t2η6 − 24t2η8

]+

λ7 sen φ cos6 φ

315[17− 26t2 + 2t4]

(18)

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Formulas UTM (5/9)

y para el factor de escala:

κgk = 1

+λ2 cos2 φ

2[1 + η2]

+λ4 cos4 φ

24

[5− 4t2 + 14η2 + 13η4 − 28t2η2

+4η6 − 48t2η4 − 24t2η6

]+

λ6 cos6 φ

720[61− 148t2 + 16t4]

+ · · ·

(19)

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Formulas UTM (6/9)

Finalmente el factor de escala y las coordenadas se obtienen con:

κutm = κ0 × κgk (20)

Eutm = ∆E × κ0 + E0 (21)Nutm = N × κ0 + N0 (22)

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Formulas UTM (7/9)

Donde:

γ = convergencia en radianes

η2 = e2cos2φ

t2 = tan2 φ

λ = λ0 − λp, Diferencia de longitudes en radianesλp = Longitud geodesica del puntoλ0 = Longitud del meridiano centralκ0 = 0, 999 6, Factor de escala en el meridiano centralSφ = Distancia meridional que se obtiene a partir de (23)E0 = 500 000, Falso Este en metrosN0 = 0, Falso Norte en metros para latitudes norteN0 = 1 000 000, Falso Norte en metros para latitudes sur

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Formulas UTM (8/9)

La distancia meridional se obtiene a partir de:

Sφ = A0a2

bφ−

− A1a2

bsen φ cos φ

(1 + A2 sen2 φ + A4 sen4 φ+A6 sen6 φ + A8 sen8 φ + · · ·

) (23)

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Formulas UTM (9/9)

A0 = 1− 34

e2(

1− 1516

e2(

1− 3536

e2(1− 6364

e2(1− 99100

e2))))

A1 =34

e2(

1− 2516

e2(

1− 7760

e2(1− 837704

e2(1− 2 1231 860

e2))))

A2 =58

e2(

1− 139144

e2(1− 1 0871 112

e2(1− 513 427521 760

e2)))

A4 =3572

e4(1− 12564

e2(1− 221 069150 000

e2))

A6 =105256

e6(1− 1 179400

e2)

A8 =231640

e8

(24)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).

2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion(13).

3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con laexpresion (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(23)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante las

expresiones (21)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion

(13).

3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con laexpresion (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(23)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante las

expresiones (21)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion

(13).3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(23)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante las

expresiones (21)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion

(13).3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).

5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion(23)

6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante lasexpresiones (21)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion

(13).3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(23)

6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante lasexpresiones (21)

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Procedimiento de calculo.

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (11).2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresion

(13).3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(23)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion UTM, mediante las

expresiones (21)

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Parte IV

Proyeccion TME

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Antecedentes

Esta es otra variacion de la proyeccion UTM que se creo para buscarmejores caracterısticas de equivalencia y equidistancia.La definicion busca lograr una proyeccion conforme conespecificaciones de quasiequivalencia y cuasiequidistancia, queasimismo este basado en modelos matematicos conocidos (casoespecıfico de la proyeccion UTM).Las anteriores especificaciones requieren restringir la zona decobertura a franjas menores que la UTM.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000

I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1

I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metros

I En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constante

I Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Definicion TME (1/2)

I Esta basada en la proyeccion Gauss–Kruger (proyeccionconforme)

I El area de estudio cubre un polıgono ejidal, definiendose elmeridiano central como el promedio de las longitudes de cadauno de los vertices perimetrales del polıgono ejidal.

I Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000I En el meridiano central el factor de escala es exacto e igual a 1I El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metrosI En el meridiano central, la convergencia es constanteI Es una proyeccion cilındrica transversa tangente.

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Formulas TME (1/9)

El calculo se realiza con las formulas que se indican a continuacion.Se determina el valor del meridiano central con la expresionsiguiente:

λ0 =

∑i=ni=1 λi

n, redondeado al minuto mas cercano (25)

Donde:λ0 = Longitud del meridiano centralλi = Longitud del vertice perimetraln = numero de vertices perimetralesEl valor de λ se obtiene de:

λ = λ0 − λp (26)

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Formulas TME (2/9)

Para la delta Este:

∆E = N λ cos φ

+N λ3 cos3 φ

6[1− t2 + η2]

+N λ5 cos5 φ

120

[5− 18t2 + t4 + 14η2 − 58t2η2

+13η4 + 4η6 − 64t2η4 − 24t2η6

]+

N λ7 cos7 φ

5 040[61− 479t2 + 179t4 − t6]

+ · · ·

(27)

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Formulas TME (3/9)

Para la delta Norte:

∆N =Nλ2 sen φ cos φ

2

+Nλ4 sen φ cos3 φ

24[5− t2 + 9η2 + 4η4]

+Nλ6 sen φ cos5 φ

720

61− 58t2 + t4 + 270η2 − 330t2η2

+445η4 + 324η6 − 680t2η4 + 88η8

−600t2η6 − 192t2η8

+

Nλ8 sen φ cos7 φ

40 320[1 385− 3 111t2 + 543t4 − t6]

+ · · ·(28)

N = ∆N + Sφ (29)

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Formulas TME (4/9)

Para el calculo de la convergencia de cuadrıcula:

γ = λ sen φ

+λ3 sen φ cos2 φ

3[1 + 3η2 + 2η4]

+λ5 sen φ cos4 φ

15

[2− t2 + 15η2 + 35η4 − 15t2η2 + 33η6

−50t2η4 + 11η8 − 60t2η6 − 24t2η8

]+

λ7 sen φ cos6 φ

315[17− 26t2 + 2t4]

(30)

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Formulas TME (5/9)

para el factor de escala:

κgk = 1

+λ2 cos2 φ

2[1 + η2]

+λ4 cos4 φ

24

[5− 4t2 + 14η2 + 13η4 − 28t2η2

+4η6 − 48t2η4 − 24t2η6

]+

λ6 cos6 φ

720[61− 148t2 + 16t4]

+ · · ·

(31)

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Formulas TME (6/9)

Finalmente el factor de escala y las coordenadas se obtienen con:

κtme = κ0 × κgk (32)

Etme = ∆E × κ0 + E0 (33)Ntme = N × κ0 + N0 (34)

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Formulas TME (7/9)

γ = convergencia en radianes

η2 = e2cos2φ

t2 = tan2 φ

λ = λ0 − λp, Diferencia de longitudes en radianesλp = Longitud geodesica del puntoλ0 = Longitud del meridiano centralκ0 = 1, Factor de escala en el meridiano centralSφ = Distancia meridional que se obtiene a partir de (35)E0 = 500 000, Falso Este en metrosN0 = 0, Falso Norte en metros

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Formulas TME (8/9)

La distancia meridional se obtiene a partir de:

Sφ = A0a2

bφ−

− A1a2

bsen φ cos φ

(1 + A2 sen2 φ + A4 sen4 φ+A6 sen6 φ + A8 sen8 φ + · · ·

) (35)

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Formulas TME (9/9)

A0 = 1− 34

e2(

1− 1516

e2(

1− 3536

e2(1− 6364

e2(1− 99100

e2))))

A1 =34

e2(

1− 2516

e2(

1− 7760

e2(1− 837704

e2(1− 2 1231 860

e2))))

A2 =58

e2(

1− 139144

e2(1− 1 0871 112

e2(1− 513 427521 760

e2)))

A4 =3572

e4(1− 12564

e2(1− 221 069150 000

e2))

A6 =105256

e6(1− 1 179400

e2)

A8 =231640

e8

(36)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)

2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(35)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante las

expresiones (33)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)

3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con laexpresion (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(35)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante las

expresiones (33)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(35)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante las

expresiones (33)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).

5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion(35)

6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante lasexpresiones (33)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(35)

6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante lasexpresiones (33)

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Procedimiento de calculo TME

Para realizar la transformacion de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresion (25)2. Calculo de la diferencia de longitudes con (26)3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la

expresion (15)4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (28) y (27).5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresion

(35)6. Calcular las coordenadas en la proyeccion TME, mediante las

expresiones (33)

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Parte V

Comparativo

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Origen de diferencias (1/4)

Con todo lo anterior ahora podemos explicar las diferencias en losresultados. Para ello nos valdremos de las figuras siguientes. Laprimera muestra el calculo en la zona 12 UTM.

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Origen de diferencias (2/4)

La zona 11 UTM parcial:

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Origen de diferencias (3/4)

La zona 12 UTM parcial:

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Origen de diferencias (4/4)

Es evidente de las figuras que las superficies de la zonas 11 y 12 nocorresponden a la de superficie de la zona 12. Adicionalmente elcalculo de la zona 12 presenta una gran deformacion derivada de loalejado que se encuentra del meridiano central.

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Ejemplo TME (1/7)

Ahora ¿que pasa si se calcula todo en la proyeccion TME? Iniciemoscon el ejido completo:

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Ejemplo TME (2/7)

Las coordenadas del polıgono, utilizando la proyeccion TME yrefiriendolo al meridiano central 113◦44, son:

Longitud Latitud Este Norte

114◦22’ 29◦22’ 438 507.086 3 250 076.889113◦06’ 29◦22’ 561 492.914 3 250 076.889113◦06’ 28◦26’ 562 045.562 3 146 628.308114◦22’ 28◦26’ 437 954.438 3 146 628.308

En este caso el area obtenida es de 1 277 988 ha para todo elpolıgono.

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Ejemplo TME (3/7)

Para el caso de la seccion izquierda:

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Ejemplo TME (4/7)

Las coordenadas del polıgono, utilizando la proyeccion TME yrefiriendolo la superficie de la zona 11 UTM al meridiano central114◦11’, son:

Longitud Latitud Este Norte

114◦22’ 29◦22’ 482 199.593 3 249 924.182114◦00’ 29◦22’ 517 800.407 3 249 924.182114◦00’ 28◦26’ 517 960.373 3 146 478.710114◦22’ 28◦26’ 482 039.627 3 146 478.710

El area es de 369 929 ha para esta parte del polıgono.

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Ejemplo TME (5/7)

Para el caso de la seccion derecha:

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Ejemplo TME (6/7)

Finalmente las coordenadas del polıgono, utilizando la proyeccionTME y refiriendolo la superficie de la zona 12 UTM al meridianocentral 113◦33’, son:

Longitud Latitud Este Norte

114◦22’ 29◦22’ 456 307.896 3 249 994.359113◦06’ 29◦22’ 543 692.104 3 249 994.359113◦06’ 28◦26’ 544 084.760 3 146 547.458114◦22’ 28◦26’ 455 915.240 3 146 547.458

El area es de 908 024 ha para la seccion del polıgono que se ubicaen la zona 12.

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Ejemplo TME (7/7)

Para el caso de la TMEI El area del polıgono izquierdo es de 369 929 ha

I El area del polıgono derecho es de 908 024 haI La suma de los dos polıgonos es 1 277 953 haI El area del polıgono completo es de 1 277 988 haI La diferencia es de 34 ha

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Ejemplo TME (7/7)

Para el caso de la TMEI El area del polıgono izquierdo es de 369 929 haI El area del polıgono derecho es de 908 024 ha

I La suma de los dos polıgonos es 1 277 953 haI El area del polıgono completo es de 1 277 988 haI La diferencia es de 34 ha

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Ejemplo TME (7/7)

Para el caso de la TMEI El area del polıgono izquierdo es de 369 929 haI El area del polıgono derecho es de 908 024 haI La suma de los dos polıgonos es 1 277 953 ha

I El area del polıgono completo es de 1 277 988 haI La diferencia es de 34 ha

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Ejemplo TME (7/7)

Para el caso de la TMEI El area del polıgono izquierdo es de 369 929 haI El area del polıgono derecho es de 908 024 haI La suma de los dos polıgonos es 1 277 953 haI El area del polıgono completo es de 1 277 988 ha

I La diferencia es de 34 ha

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Ejemplo TME (7/7)

Para el caso de la TMEI El area del polıgono izquierdo es de 369 929 haI El area del polıgono derecho es de 908 024 haI La suma de los dos polıgonos es 1 277 953 haI El area del polıgono completo es de 1 277 988 haI La diferencia es de 34 ha

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Superficie Geodesica

Finalmente, ¿Cual es la superficie que tiene el polıgono? Siconsideramos que el elipsoide es nuestra superficie de referencia,entonces el area debe determinarse en el elipsoide.Para ello requerimos utilizar la formula desarrollada por el Prof.Martınez Becerril, la cual se muestra a continuacion [6]:

Ae =a2

(1− e2

)∆λ

2e

tanh−1 (e sin φn)

− tanh−1 (e sin φs)

+e sin φn(

1− e2 sin2 φn

)−

e sin φs(1− e2 sin2 φs

)

(37)

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Superficie Geodesica

Realizando las operaciones necesarias obtenemos el area de laseccion elipsoidal, que podemos considerar como referencia, la cualtiene como valor 1 277 960 ha.En resumen las diferencias son:

Proyeccion Opcion Diferencia (ha)

UTM una zona 1 247UTM dos zonas 1 046TME una zona 28TME dos zonas 7

Esto es, considerando que la proyeccion TME es conforme, sepresentan diferencias contra las obtenidas en la superficie delelipsoide. Estas diferencias son menores y pueden considerarsedentro de los rangos permisibles de precision del trabajo.

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Parte VI

Herramientas para Calculo

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Proj

Una opcion para el calculo de la proyeccion TME es el programa proj,el cual esta disponible en Internet en la pagina:http://www.remotesensing.org/proj.Para utilizarlo se utilizan las opciones siguientes [2]:

codigo efecto

+tmerc Usa la proyeccion Transversa de Mercator+lon0 = λ0 Valor promedio, redondeado al minuto, de las

longitudes de los vertices que conforman el ejido+k = 1 Factor de escala del meridiano central

+y0 = 0 Falso Norte+x0 = 500 000 Falso Este+ellps=GRS80 Selecciona el elipsoide GRS80

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TMCalc

Una programa que aprovecha el ambiente Windows es el programaTMCalc el cual esta disponible en http://mapserver.inegi.gob.mx/geografia/espanol/cartcat/tmcalc.zip.Este programa permite realizar la transformacion entre lasproyecciones UTM y TME, ası como obtener y convertir coordenadasgeodesicas. El detalle de como utilizar este programa se puedeconsultar en el manual correspondiente, el cual se obtiene al instalarel programa.

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Geotrans (1/2)

Otra opcion es utilizar el programa Geotrans (Geographic Translator)disponible en versiones completa, desarrollador y usuario final en lapagina http://earth-info.nga.mil/GandG/geotrans/.

Este programa permite realizar la transformacion entre lascoordenadas geodesicas y veinticinco diferentes proyeccionescartograficas entre las que se encuentran UTM y TME.

Es importante mencionar que aun cuando este programa tienedisponible la opcion para realizar el cambio entre diferentes datums,no se recomienda su uso para datos de Mexico, ya que los modelosmatematicos que utiliza no son los adecuados para nuestro paıs.

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Geotrans (2/2)

Para realizar la transformaciona la proyeccion TME se requiereseleccionar:

Opcion Valor

Transverse MercatorCentral Meridian λ0

Origin Latitude 0Scale Factor 1

False Easting 500 000False Northing 0

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Hoja de calculo

Otra opcion es utilizar la hoja de calculo redfearn disponible enhttp://www.ga.gov.au/geodesy/datums/redfearn.xls. Paraobtener las coordenadas en la proyeccion TME es necesariomodificar los valores siguientes en la hoja Constants & Parameters:

Variable celda valor

Falso Norte C21 = 0Factor de Escala C22 = 1

Meridiano Central C24 = -(grados del meridiano central +minutos meridiano central)

Con lo anterior sera posible determinar las coordenadas usando lasdefiniciones de la proyeccion TME.

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¡Muchas gracias!

Raul Angel Gomez Moreno

[email protected]

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Manuales a consultar I

DMAHTC: THE UNIVERSAL GRIDS: Universal TransverseMercator (UTM) and Universal Stereographic Polar (UPS).Numero DMATM 8358.2 en U.S. Army Technical Manual.Defense Mapping Agency, Washington, D.C., 1989.disponible de manera gratuita en formato PDF en la direccionftp://164.214.2.65/pub/gig/tm8358.2/TM8358_2.pdf.

Evenden, Gerald I.: Cartographic Projection Procedures for theUNIX Environment-A User´s Manual.USGS, Woods Hole, MA 02543, May 1990.disponible de manera gratuita en formato PDF en la direccionftp://ftp.remotesensing.org/proj/OF90-284.pdf.

Gomez Moreno, Raul Angel: Guıa de ProyeccionesCartograficas.INEGI, 1 edicion, 2004.

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Manuales a consultar II

Hernandez Navarro, Antonio y Gomez Moreno, Raul Angel:Proyeccion Transversa Modificada Ejidal.Revista Cartografica numero 69. Instituto Panamericano deGeografıa e Historia, Julio–Diciembre 1999.

INEGI: Sistemas de Coordenadas en Geodesia.INEGI, Aguascalientes, Mexico, 1978.

Sosa Torres, Rafael y Torfer Martell, Alberto: Metodo para laDeterminacion de Grandes areas del territorio nacional.Reporte Interno, 1970.