T’atreveixesamb les mates?

Solucionari

5Quadern d’Activitats

Primer Cicle • ESO

José Luis Uriondo GonzálezSilvia Pérez Mateo

Ángela Vallejo Martín-Albo

BARCELONA • MADRID • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • LISBOA • MÈXICNOVA YORK • PANAMÀ • SAN JUAN • SANTA FE DE BOGOTÀ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAND • HAMBURG • LONDRES • MILÀ • MONT-REAL • NOVA DELHI • PARÍSSAN FRANCISCO • SYDNEY • SINGAPUR • SAINT LOUIS • TÒQUIO • TORONTO

Editora: Mònica Garcia Suñé • Ajudanta editorial: Elisabet Collellmir Cardenal • Traducció: Abraham Mohino BaletRealització del solucionari: Jaume Ribalta • Maquetació: Francesca Aguilar, Marcos Puig i Meritxell Carceller Barral

Disseny de l’interior: Graviola Design • Disseny de la coberta: Uriol MiróIl·lustracions de la coberta: Toni Benages Gallard • I·lustracions: Pablo Blasberg

atreveixes amb les mates? Estem segurs que sí. Aprendre matemàtiques pot ser una aventurainteressant i amena. Per això t’oferim aquest quadern d’activitats amb exercicis i problemes

complementaris als que realitzes a classe. Així podràs consolidar la comprensió dels continguts que has estudiat iresoldre els dubtes que se’ns plantegen a tots al llarg del curs.

T’atreveixes amb les mates? 5 és un quadern dividit en quatre unitats temàtiques: «Polinomis i equacions», «Mesuresde temps i d’angles», «Teorema de Pitàgores» i «Semblança». Cada unitat comença amb un apartat anomenat Fes unrepàs, en el qual t'oferim una síntesi dels continguts teòrics que necessites entendre per fer els exercicis.

La resta és cosa teva. No oblidis llegir detingudament els enunciats dels exercicis per estar ben segur del que espregunta abans de posar-te mans a l’obra. Sigues ordenat i net; confia en tu mateix i... l’èxit està garantit!

T’

ndex1. Polinomis i equacions

• Expressions algèbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8• Monomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13• Polinomis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17• Equacions de primer grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19• Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2. Mesures de temps i d’angles

• Unitats de temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31• Unitats d'angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3. Teorema de Pitàgores

• Triangles rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41• Reconeixement de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43• Mesures d'un triangle rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45• Mesures en polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47• Problemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Semblança

• Figures semblants. Raó de semblança . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54• Teorema de Tales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57• Semblança de triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59• Semblança de polígons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61• Construcció de polígons. Escales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Í

3x2 + 2x2 = 5x2

2x3 – 7x3 = –5x3

5 · 3x2 = 15x2

–4 · 2x3 = –8x3

3x2 · 2x3 = 6x5

3a · 3b = 9ab

Fes un repàs5

Polinomis i equacions1➔ Expressions algèbriques

• Una expressió algèbrica és qualsevol combinació de nombres i de lle-tres units per operacions aritmètiques.

• Les lletres que apareixen en una expressió algèbrica s’anomenen varia-bles o indeterminades.

• El valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre que resulta desubstituir les variables que apareixen en aquesta expressió per nom-bres determinats i fer les operacions indicades.

• En general, per simplificar l’escriptura, el producte de dues variables od’un nombre per una variable es representa eliminant el signe del pro-ducte:

ab significa a · b 3n significa 3 · n

➔ Monomis

• Un monomi és el producte d’un nombre per una o més lletres eleva-des a exponents. En aquest tema treballarem amb monomis de laforma axn, on:

� a és un nombre qualsevol que s’anomena coeficient del monomi.

� n és un nombre natural que indica el grau del monomi.

� x és la variable que, juntament amb l’exponent n, forma la part lite-ral del monomi.

• Dos monomis són semblants si tenen la mateixa part literal.

➔ Operacions amb monomis

— Suma i resta de monomis

Només es poden sumar o restar monomis semblants. El resultat és unaltre monomi amb la mateixa part literal i el coeficient del qual és lasuma o la resta dels coeficients.

— Multiplicació d’un nombre per un monomi

El resultat de multiplicar un nombre per un monomi és un altremonomi amb la mateixa part literal i el coeficient del qual és el pro-ducte del nombre pel coeficient del monomi.

— Multiplicació de monomis

El producte de dos monomis és un monomi el coeficient del qual ésel producte dels coeficients i la part literal del qual és el producte deles parts literals.

L'àrea d'un triangle es pot calcularper mitjà de l'expressió algèbricasegüent:

Àrea =

Donada l'expressió algèbrica:

n2 + 3 · (2n – 4)

El seu valor numèric per a n = 2 és:22 + 3 · (2 · 2 – 4) = 4 + 3 · 0 = 4

b · a2

Exemple:

Coeficient: 3 3x4

Part literal: x4

3x2 i 5x2 són monomis semblants.3y2 i 3x2 no són monomis semblants.3a2 i 3b2 no són monomis semblants.

b

6

— Divisió de monomis

El quocient de dos monomis és un altre monomi el coeficient del

qual és el quocient dels coeficients i la part literal del qual és el quo-

cient de les parts literals.

➔ Polinomis

• La suma o resta de monomis de diferent grau, amb la mateixa varia-

ble, forma un polinomi. Per tant, un polinomi és una expressió algè-

brica de la forma:

P(x) = anxn + an–1xn–1+….+ a2x2 + a1x + a0

• Cada un dels monomis que componen un polinomi és un terme del

polinomi. S’anomena terme independent al terme de grau 0, és a dir,

sense la variable.

• Diem que un polinomi és complet quan, des del terme independent fins

al terme de major exponent, no hi falta cap terme.

• El grau d’un polinomi és el major dels graus dels monomis que el

componen.

• Els coeficients d’un polinomi són els coeficients dels monomis que el

componen.

• El valor numèric d’un polinomi P (x), per a x = a, és el nombre que

s’obté en substituir la variable x per a i fer totes les operacions indica-

des. Es representa per P(a).

➔ Operacions amb polinomis

— Suma i diferència de polinomis

La suma o diferència de dos polinomis és un altre polinomi format per

les sumes o diferències dels monomis semblants d’ambdós polinomis

més la resta de termes no semblants.

(2x3 + x2 – 1) + (–2x2 + 4) = 2x3 + x2 – 1 – 2x2 + 4 = 2x3 – x2 + 3

(2x3 + x2 – 1) – (–2x2 + 4) = 2x3 + x2 – 1 + 2x2 – 4 = 2x3 + 3x2 – 5

— Multiplicació d’un nombre per un polinomi

Per multiplicar un nombre per un polinomi es multiplica aquest

nombre per tots els termes del polinomi.

3 · (2x3 + 3x2 – 2x + 1) = 6x3 + 9x2 – 6x + 3

Un polinomi P(x) és, per exemple,l'expressió següent:

3x2 + 5x + 6

Terme de grau 2 � 3x2

Terme de grau 1 � 5x

Terme independent � 6

P(x) és un polinomi complet degrau 2.

Els coeficients de P(x) són 3, 5 i 6.

El valor numèric de P(x) per a x = –2 és:

P(–2) = 3 · (–2)2 + 5 · (–2) + 6 =

= 12 – 10 + 6 = 8

6x3 : 2x = 3x2

3x5 : 2x2 = x332

Una equació de primer grau ambuna incògnita és, per exemple:3 · (x + 4) = 9xIncògnita: xSolució: x = 2, ja que:3 · (2 + 4) = 9 · 218 = 18

Fes un repàs7

— Multiplicació de polinomis

El producte de dos polinomis és un altre polinomi els termes del qualsón el resultat de multiplicar cada terme d’un dels polinomis percada terme de l’altre i de sumar o restar tot seguit els termes sem-blants que en resultin.

(2x + 1) · (x2 – 3x) = 2x3 – 6x2 + x2 – 3x = 2x3 – 5x2 – 3x

➔ Equació de primer grau amb una incògnita

• Una equació de primer grau amb una incògnita és una igualtat entreexpressions algèbriques en què apareix una única variable elevada a 1.La variable rep el nom d’incògnita.

• La solució o arrel d’una equació és cada un dels valors de la variableque fa que es compleixi la igualtat. Una equació de primer grau ambuna incògnita pot tenir una única solució, infinites solucions (identitat)o cap solució.

• Dues equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions. Perobtenir una equació equivalent a una altra podem:

� Sumar o restar a ambdós membres de l’equació una mateixa quan-titat.

� Multiplicar o dividir els dos membres de l’equació per un mateixnombre diferent de 0.

• Resoldre una equació és trobar-ne la solució. Per resoldre una equaciós’ha d’aconseguir aïllar la incògnita. Per això:

� Operarem sempre que sigui possible.

� Buscarem equacions equivalents fins aconseguir que en un delsmembres aparegui només la incògnita i en l’altre, el seu valor.

➔ Problemes resolts amb equacions

• Per resoldre un problema mitjançant una equació se solen seguir elspassos següents:

� Detectar la incògnita i anomenar-la amb una lletra.

� Expressar en llenguatge algèbric l’enunciat (plantejar l’equació).

� Resoldre l’equació.

� Comprovar que la solució verifica les condicions del problema.

Equacions equivalents:6x + 1 = 7 Solució: x = 1Restem 1:6x = 6 Solució: x = 1Multipliquem per 2: 12x + 2 = 14 Solució: x = 1

Una manera de resoldre l'equació:3 · (2x + 1) + x = 2x – 7Operem: 6x + 3 + x = 2x – 7

7x + 3 = 2x – 7Restem 3: 7x = 2x – 10Restem 2x: 5x = –10Dividim entre 5: x = –2

En una reunió hi ha 20 persones, eltriple de dones que d'homes. Quantshomes i quantes dones hi ha?Nombre d’homes = hNombre de dones = 3h

h + 3h = 204h = 20 ➔ h = 5

Hi ha 5 homes i 15 dones.Comprovació: 15 és el triple de 5, i 15dones més 5 homes són 20 persones.

8

1. En Jaume ha construït, fent piles de fitxes, la sèrie següent. Descobreix quina regla ha seguit per construir-la iresol les qüestions següents:

a) Dibuixa les dues piles següents de la sèrie.

b) Completa la taula de la dreta tot indicant el lloc que ocupacada pila en la sèrie i el nombre de fitxes que té.

c) Descobreix la relació que hi ha entre els nombres de les duescolumnes. Quantes fitxes es necessitaran per formar la pilanúmero 15 de la sèrie? I la pila número 86?

d) Escriu una expressió algèbrica que permeti calcular el nombrede fitxes que té qualsevol pila d’aquesta sèrie.

2. Observa les tres sèries de números i descobreix amb quins criteris estan construïdes. Després, resol lessegüents qüestions plantejades:

Sèrie 1 Sèrie 2 Sèrie 3

a) Afegeix dos temes més a cada sèrie.

b) Quin és el terme 12 de cada sèrie?

c) Anomena n al lloc que el número ocupa en la sèrie i escriu una expressió algèbrica que permeti esbrinarquin número ocupa aquest lloc.

d) Esbrina quin serà el número que ocupa el lloc 25 de cada sèrie.

Lloc Nombre de fitxes

1, 4, 9, 16, 25, 36, … 2, 5, 10, 17, 26, … 2, 4, 6, 8, 10, …

2 3 4 5 6 7

1 2

2 3

3 4

4 5

5 6

6 7

Pila 15 = 16 fitxes; Pila 86 = 87 fitxes.

Nombre de fitxes = lloc + 1

Sumar 3, 5, 7, 9, 11... Sumar 3, 5, 7, 9, 11... Sumar 2

Sèrie 1 ➔ 49, 64; Sèrie 2 ➔ 37, 50; Sèrie 3 ➔ 12, 14

Sèrie 1 = 144; Sèrie 2 = 145; Sèrie 3 = 24

Sèrie 1 = n2; Sèrie 2 = n2 + 1; Sèrie 3 = 2n

Sèrie 1 = 252 = 625; Sèrie 2 = 252 + 1 = 626; Sèrie 3 = 2 • 25 = 50

Polinomis i equacions • Expressions algèbriques9

3. Observa les sumes de tres nombres parells consecutius següents i completa:

2 + 4 + 6 = 12 6 + 8 + 10 = 24 20 + 22 + 24 = 66

a) Escriu tres sumes més de tres nombres parells consecutius i calcula’n elvalor.

b) Descobreix una regla per calcular la suma de tres nombres parells conse-cutius sense haver de fer cap operació. Escriu-la amb paraules.

c) Anomenem 2n a un nombre parell qualsevol. Expressa algèbricament elsdos nombres parells següents a 2n.

d) Escriu algèbricament la regla que has escrit en l’apartat b).

4. Col·loca en cada requadre l’expressió algèbrica de la columna de la dreta que correspon a cada frase. Després,per comprovar que ho has fet bé, trasllada la lletra de cada variable a la seva casella corresponent i comple-taràs el nom de la institució que van fundar els àrabs al segle VIII per recopilar i conservar tota la ciència i lesmatemàtiques que es coneixien fins aleshores.

➊ El quadrat d’un nombre 0,15a

➋ L’edat d’una persona dintre de 5 anys 2 · (v + 4)

➌ El 15 per cent d’un nombre (c – 3) : 2

➍ La suma del doble d’un nombre més 4 s2

➎ El doble de la suma d’un nombre més 4 s : 2 – 2

➏ Un nombre parell qualsevol 2s + 4

➐ La meitat de l’edat d’un home fa 3 anys e : 2 – 3

➑ La diferència entre la meitat d’un nombre i 2 e + 5

➒ 3 quilos menys de la meitat del pes d’un paquet 2a

➓ La suma de dos nombres naturals consecutius a + a + 1

L a a d la i

➓ ➐ ➍ ➋ ➑ ➌ ➎ ➒ ➊ ➏

12 + 14 + 16 = 42 18 + 20 + 22 = 6030 + 32 + 34 = 96

Multiplicar el primer nombre per 3 i sumar-li 6.

2n + 2 i 2n + 4

n + (n + 2) + (n + 4) = 3n + 6

s2

e + 5

0,15a

2s + 4

2 (v + 4)

2a

(c – 3) : 2

s : 2 – 2

e : 2 - 3a + a + 1

A C S E S A V E S A

10

5. Escriu una expressió algèbrica per a cada frase:

a) La suma d’un nombre natural i de l’anterior. ➔

b) La suma de dos nombres qualssevol. ➔

c) La suma del quadrat d’un nombre més 2. ➔

d) El doble de la diferència d’un nombre menys un altre. ➔

e) El producte de la mesura de la base d’un rectangle per la seva altura. ➔

f) Un mig de la massa d’un cos pel quadrat de la seva velocitat. ➔

6. Escriu l’expressió algèbrica que permet calcular:

a) La longitud d’una circumferència de radi r. ➔

b) L’àrea d’un quadrat de costat n. ➔

c) L’espai recorregut per un mòbil que va a una velocitat constant, v, en un temps, t. ➔

d) El preu final d’un article que val n € i al qual s’aplica el 16 % d’IVA per a la seva venda. ➔

e) El perímetre d’un pentàgon regular de costat c. ➔

f) La suma del quadrat d’un nombre, a, més la meitat d’un altre nombre, b. ➔

g) El doble de la diferència del quadrat d’un nombre n i aquest mateix nombre. ➔

7. Has d’anar amb molt de compte amb les expressions següents, perquè sembla que algunes són iguals però noho són! Relaciona amb una fletxa cada frase amb la seva expressió algèbrica:

El doble de la suma d’un nombre més tres. 2a + 3

La suma del doble d’un nombre més tres.

El quadrat de la suma de dos nombres. (x + y)2

La suma dels quadrats de dos nombres. 2 · (a + 3)

La meitat de la suma d’un nombre més el quadrat d’un altre. + b2

La suma de la meitat d’un nombre més el quadrat d’un altre. x2 + y2

a2

a + b2

2

a + a – 1

a + b

a2 + 2

2 • (a – b)

b • h

• m • v2

2πr

n2

e = v • t

n + 0,16 n

5ca2 + • b

2 (n2 –n)

12

12

Polinomis i equacions • Expressions algèbriques11

8. Fes de «traductor algèbric» i escriu una expressió algèbrica per a cada frase:

a) El quadrat de la diferència d’un nombre menys 4 ➔

b) La diferència del quadrat d’un nombre menys 4 ➔

c) El 15 % de la suma de dos nombres ➔

d) La suma d’un nombre més el 15 % d’un altre nombre ➔

e) El quadrat de la diferència de dos nombres ➔

f) La diferència dels quadrats de dos nombres ➔

g) El doble de l’edat que tindrà en Lluís dintre de cinc anys ➔

h) El doble de l’edat d’en Lluís més cinc anys ➔

i) La quarta part d’un nombre més el quadrat d’un altre ➔

j) El quadrat de la quarta part de la suma d’un nombre més un altre ➔

9. Escriu una frase per a cada expressió algèbrica, essent n, y, x, a i b nombres diferents:

a) 3n ➔

b) 2n – 5 ➔

c) n2 + 2n ➔

d) (n + 4)2 ➔

e) n + 42 ➔

f ) ➔

g) y – 2x2 ➔

h) (a – b)2 ➔

3n + 22

n + 42

(a – 4)2

a2 – 4

0,15 • (a + b)

a + 0,15 • b

(a – b)2

a2 – b2

2 (a + 5)

2a + 5

a + b2

El triple d’un nombre.

El doble d’un nombre menys cinc.

El quadrat d’un nombre més el doble del mateix nombre.

El quadrat de la suma d’un nombre més quatre.

La suma d’un nombre més el quadrat de quatre.

La meitat de la suma del triple d’un nombre més dos.

Un nombre menys el doble del quadrat d’un altre nombre.

El quadrat de la diferència entre dos nombres.

14

( (a + b))214

12

10.

11.

Calcula el valor numèric de l’expressió 4m2 + 2m per als següents valors de m:

a) Per a m = 0 ➔

b) Per a m = 1 ➔

c) Per a m = 2 ➔

d) Per a m = –1 ➔

e) Per a m = ➔

Comprova: La suma de tots els resultats és el valor que tindria la mateixa expressió per a m = –3.

Calcula el valor numèric de cada expressió algèbrica per als valors indicats de les variables:

a) a2 + b; per a a = 1, b = –2 ➔

b) 3x + 2y; per a x = –1, y = 3 ➔

c) 6ab + ; per a a = , b = –1 ➔

d) 2n2 – (4 – m)2; per a n = , m = –2 ➔

e) –3xy – y3; per a x = 3, y = –2 ➔

Comprova que has fet els càlculs bé. Els resultats ordenats de menor a major de les expressions anteriors

són: : – , – , –1, 3 i 20.52

92

14

12

112

23

b2

12

4 • 02 + 2 • 0 = 0

4 • 12 + 2 • 1 = 6

4 • 22 + 2 • 2 = 16 + 4 = 20

4 • (–1)2 + 2 • (–1) = 4 – 2 = 2

4 • ( )2 + 2 • = 1 + 1 = 2

4 • (–3)2 + 2 • (–3) = 36 – 6 = 30 ; 0 + 6 + 20 + 2 + 2 = 30

12 + (–2) = –1

3 • (–1) + 2 • 3 = 3

6 • • (-1) + ( ) = –4 – =

2 • ( )2 – • (4 – (–2))2 =

= 2 • – • 36 = –

–3 • 3 • (–2) – • (–2)3 = 18 + 2 = 2014

52

112

14

112

12

–92

12

–12

23

12

12

Polinomis i equacions • Monomis13

12.

13.

14.

Relaciona les tres columnes mitjançant fletxes:

3n2 + 1 Per a n = 0 13

–3 · (n2 + 2) Per a n = –1 5

–3n3 + 2 Per a n = 3 51

2n3 – n Per a n = –2 –6

Calcula el valor de l’expressió algèbrica p3 – 2p2 – p + 1 per als valors següents de p:

• Per a p = 1

• Per a p = –1

• Per a p =

• Per a p = –

Suma els monomis que sigui possible:

Sumes possibles:

a) Quin dels monomis anteriors no has pogut sumar amb cap altre?

12

12

5x2

–2m2 –3x

–2m3

x315

x323

– a13

– x212

3y3 0,5xm2

m

3m3 y3

➔ 13 – 2 • 12 – 1 + 1 = –1

➔ (–1)3 – 2 • (–1)2 – (–1) + 1 = –1

➔ ( )3 – 2 • ( )2 – ( ) + 1 =

➔ (– )3 – 2 • (– )2 – (– ) + 1 =

– x2 + 5x2 = x2 m2 – 2m2 = –m2 –3x + 0,5x = –2,5x

y3 + 3y3 = 4y3 x3 + x3 = x3 3m3 – 2m3 = m3

m

1315

23

15

92

12

78

12

12

12

18

12

12

12

14

15.

16.

17.

BINOMI

4x4 4x

6x2 x

3x2 – x3 x

6x2 –6x3

6a3 2m4

–2b5 5b2

3m3 –4x 5

10x3 12b

165

Ratlla les identitats que no siguin certes i amb les lletres de les que sí que ho són forma el nom que rep la sumao la diferència de dos monomis no semblants:

B 3n2 – 2n2 = n2 O 3a – a = a

A 3a + 2a2 = 5a3 T x + x = x2

L –2m – 2m = 0 M 4a2 – 4a2 = 0

I + h = I –3x – 3x = –6x

N 3x3 – 5x3 = –2x3 O –n + n = 2n

S 4x2 – 7x2 = 3x2 N m + m2 = m3

La suma o la diferència de dos monomis no semblants formen un ____________________________

Redueix cada expressió a un sol monomi. Alerta perquè una de les expressions no es pot reduir a un sol mono-mi, però sí a un binomi!

a) 3x4 + 2x4 – x4 = b) 3x + x =

c) 3x2 – 2x2 + 5x2 = d) 7x – 5x – x =

e) 2x2 – x3 + x2 = f ) 2x + x + x =

Redueix a un sol monomi:

a) 3x · 2x = b) 3 · (–2x3) =

c) 2a · 3a2 = d) (–2m2) · (–m2) =

e) (–2b3) · b2 = f) 5b · b =

g) 3m2 · m = h) 2x3 · (–2x2) =

i) 5x3 · 2 = j) 4 · 3b =

15

3h2

h2

52

12

Polinomis i equacions • Monomis15

18.

19.

20.

Redueix a un sol monomi i simplifica’n el coeficient quan sigui possible:

a) m · 5m = b) x · (– x3) =

c) a2 · a3 = d) –2t 2 · =

e) 4x · x2 = f ) 6b · b =

Redueix a un sol monomi:

a) 10b : 5b = b) 4a3 : 2a2 = c) 9x 2 : 3x =

d) 5m4 : m4 = e) 3c 4 : 2c2 = f ) n3 : 2n =

g) = h) = i) =

j) = k) = l) =

Troba quin monomi falta a cada expressió:

a) a2 + ______ = 3a2 b) 5m + ______ = –m c) ______ + 6x = 8x

d) 3a – ______ = a e) ______ – 4x3 = –5x3 f ) 5m2 – ______ = 2m2

g) 3x · ______ = 6x3 h) 5b2 · ______ = 5b3 i) ______ · m4 = 3m5

j) 6x4 : ______ = 3x k) ______ : 2m3 = 4m4 l) 6a3 : ______ = 2a2

7x3

x2–12b

44n5

8n3

12m3

m3–8x3

2x6a4

3

53

14

14

16

32

83

32

25

2m2 –4x4

a5 – t2

x3 10b2

2 2a 3x

5 c2 n2

2a4 –4x2 12

n2 –3b 7x

2a2 (–6m) 2x

2a –x3 3m2

2x2 b 3m

2x3 8m7 3a

12

12

32

12

14

16

21.

22.

23.

El que falta ara són les operacions i la part literal del monomi del resultat. Completa les expressions següents:

a) 3x � 5x = – 2 ______ b) 3x � 5x = 15 ______ c) 3x � 5x = ______

d) 4n2 � 2 = 2 ______ e) 2n2 � 2 = 4 ______ f ) 12b3 � 3b = 4 ______

g) x3 � x3 = ______

h) x3 � x3 = ______

i) x3 � x3 = ______

Redueix les expressions següents, sumant o restant els monomis semblants:

a) 3x – x2 + 2x – x2 + 1 =

b) 4x + x3 – 2x – 2x3 =

c) 3x – 2x2 + x2 – 4x =

d) 18 – 4x + x2 + 2x + 2x – 9 =

e) 6x + 2x3 – x3 + 2x – 2x3 =

Donats els polinomis: P(x) = 3x2 – x + 3; Q(x) = –x2 + 2x; R(x) = 2x – 1. Calcula:

a) P(x) + Q(x) b) P(x) – Q(x) c) Q(x) + R(x)

d) R(x) – Q(x) e) R(x) – [P(x) – Q(x)] f ) P(x) + R(x) – Q(x)

12

23

103

15

23

215

15

23

1315

15

23

35

– x • x2 :

: n2 • n2 : b2

+ x3

• x6

:

5x – 2x2 + 1

2x – x3

–x – x2

9 + x2

8x – x3

3x2 – x + 3 – x2 + 2x = 3x2 – x + 3 – (–x2 + 2x) = –x2 + 2x + 2x – 1 =

= 2x2 + x + 3 = 4x2 – 3x + 3 = –x2 + 4x –1

2x – 1 – (–x2 + 2x) = 2x – 1 – [(3x2 – x + 3) – (–x2 + 2x)] = 3x2 – x + 3 + 2x – 1 – (–x2 + 2x) =

= x2 – 1 = 2x – 1 – 3x2 + x – 3 + x2 – 2x = = 4x2 – x + 2

= –2x2 + x – 4

12

43

Polinomis i equacions • Polinomis17

24.

25.

26.

Redueix al màxim les expressions següents:

a) 3x3 + 2x – 1 – (2x + 3) =

b) 2x – 3 – (–2x + 4) =

c) 3x3 – 2x + 3 – (3x2 + 2x – 1) =

d) 11x3 – 8x – 9 – (4x2 – 8x + 5) =

e) x2 + x – (x2 + 2x – ) =

f ) x – 3 – x2 – (–3 – x – 2x2) =

Multiplica:

a) 3 · (x + 1) = b) 4 · (2x + 3) =

c) x · (x – 2x2) = d) 2x · (3x – 4) =

e) x2 · (–7 + 2x) = f) (–5 – x) · 3 =

Increïble! Si sumes tots els resultats t’ha de donar 0.

Calcula:

a) 3n · (2n + 1) =

b) –5q · (4 – 2q) =

c) (2 – m) · (m + 2) =

d) (3s + 4) · 2s =

e) (3t – 2) · (2t + 5) =

f) (2x2 – 1) · (x + 2) =

g) ( p + 3) · (p2 – 1) =

h) (x + 3) · (2x – ) = 13

23

13

25

15

32

3x3 – 4

4x – 7

3x3 – 3x2 – 4x + 4

11x3 – 14 – 4x2

x2 – x +

x + x2

3x + 3 8x + 12

x2 – 2x3 6x2 – 8x

–7x2 + 2x3 –15 – 3x

3x + 3 + x2 – 2x3 – 7x2 + 2x3 + 8x + 12 + 6x2 – 8x – 15 – 3x = 0

6n2 + 3n

–20q + 10q2

2m – m2 + 4 – 2m = –m2 + 4

6s2 + 8s

6t2 – 4t + 15t – 10 = 6t2 + 11t - 10

2x3 – x + 4x2 – 2

p3 + 3p2 – p – 3

2x2 + 6x – x – 1 = 2x2 + x – 1173

13

23

23

1115

15

12

18

27.

28.

29.

30.

Calcula:

a) (m + 3) · (m2 + 2m – 1) =

b) (2x3 + x – 1) · (2x + 2) =

c) (t 2 – 2) · (t 3 + 3t – 1) =

d) (n2 + 2) · (n3 + 3n – 1) =

e) (2s – 1) · (s2 – s + 4) =

Opera per aconseguir reduir el nombre de termes d’aquestes operacions:

a) 3 – 2 · (n + 1) =

b) (n + 2) · 4 – 2n =

c) 1 – 2n · (n – 4) + 2 =

d) 6 – 2n – 3 · (2n + 1) =

e) 2n – 3 · (–3n – 2) =

f ) –3 · [2 – (n – 2)] =

g) (n – 2) · [4 – (2n + 4)] =

Pensa en un nombre qualsevol i segueix els passos següents. Multiplica’l per 3 i, al resultat anterior, li sumes 6;multiplica per 2 l’últim resultat, resta al resultat anterior 12 i, finalment, divideix l’últim resultat per 6. Quin nom-bre obtens? Demostra amb l’àlgebra que, agafis el nombre que agafis al principi, sempre s’ha d’obtenir aquestmateix nombre al final.

Demostra algèbricament que (a + b) · (a – b) = a2 – b2.

m3 + 5m2 + 5m – 3

4x4 + 4x3 + 2x2 – 2

t5 + t3 – t2 – 6t + 2

n5 + 5n3 + n2 + 6n – 2

2s3 – 3s2 + 9s – 4

3 – 2n – 2 = 1 – 2n

4n + 8 – 2n = 2n + 8

1 – 2n2 + 8n + 2 = –2n2 + 8n + 3

6 – 2n – 6n – 3 = 3 – 8n

2n + 9n + 6 = 11n + 6

–3 • (2 – n + 2) = –3 • (4 – n) = –12 + 3n

(n – 2) • (4 – 2n – 4) = (n – 2) • (–2n) = –2n2 + 4n

= = = n

(a + b) • (a – b) = a2 - ab + ab – b2 = a2 - b2

6n6

6n + 12 – 126

(3n + 6) • 2 – 126

x = 4

x = 1

x = –1

x = 5

x = –3

x = 0

x = 1,5

x = 8

Polinomis i equacions • Equacions de primer grau19

31.

32.

33.

34.

Indica si és veritable o falsa la solució que es dóna per a cada equació:

a) 3x + 5 = 8 Solució: x = 2 ➔ La solució és _____________________

b) 3 · (x + 2) = 2x Solució: x = –6 ➔ La solució és _____________________

c) 5 + 2x = –x + 17 Solució: x = 3 ➔ La solució és _____________________

d) 2 · (3x + 1) = 2x – 4 Solució: x = –1,5 ➔ La solució és _____________________

Tot acolorint amb el mateix color, relaciona cada equació amb la seva solució:

2 · (x – 1) = 3x – 6 3 · (2x + 2) = 5x + 11

4x – 8 = x – 5 (x + 3) : 2 + 4 = 5

= x + 2 3 + = 6 – 3 · (x – 1)

4x + 3 = –x + 3 x + 2 = 6 + x : 2

Resol per tempteig les equacions següents i pren nota en la taula de totes les proves que vagis fent:

a) 3x – 5 = 2x + 7 b) 2 (x + 1) = 3x – 20

Solució: x = Solució: x =

Resol les equacions següents:

a) x + 3 = 7 b) x – 1 = 10 c) 2x = 12x = x = x =

d) 8 = x – 1 e) 12 = 3 + x f) 24 = 3xx = x = x =

2x2

2x + 24

Valor dex

Valor de3x – 5

Valor de2x + 7

Valor dex

Valor de2 (x + 1)

Valor de3x – 20

F, x = 1

Vertadera

F, x = 4

Vertadera

2 1 11 5 12 –5

3 4 13 8 18 4

5 10 17 10 22 10

8 19 23 20 42 40

10 25 27 21 44 43

12 31 31 22 46 46

12 22

4 11 6

9 9 8

20

35.

36.

Resol l’equació següent seguint els passos indicats:

3x + 3 = x – 1

Resta 3 als dos membres ➔ ______________________

Resta x als dos membres ➔ ______________________

Divideix per 2 els dos membres ➔ ______________________

Comprova que la solució trobada és la correcta: 3 · ____ + 3 = ____ – 1

Recorda que, després de resoldre una equació, sempre convé comprovar que la solució trobada sigui correc-ta. Resol les equacions següents i comprova sempre el resultat obtingut:

a) 2p + 1 = 2 b) 8x + 12 = 2x

c) 3 – 4m = –1 d) 6t + 4 = 12

e) 6x + 5 = x – 10 f ) 8 – 3n = 7 + 2n

g) 2s + 3 – s = 5s + 1 h) 2 + 3y = 7y – 8 + y

i) x + 2 – 3x = 2x – 2 – 5x + 1 j) 2n + 3 – n + 1 = 0

➔

3x = x – 1 – 3

2x = –4

x = –2

(–2) –2

–3 = –3

p = x = –2

2 • + 1 = 2 8 • (–2) + 12 = –4 ; 2 • (–2) = –4

m = 1 t =

3 – 4 • 1 = –1 6 • + 4 = 12

x = –3 n =

6 • (–3) + 5 = –13 8 – 3 • =

–18 + 5 = –13 7 + 2 • =

s = y = 2

2 • + 3 – = 2 + 3 • 2 = 8

5 • + 1 = 7 • 2 – 8 + 2 = 8

n = –4x = –3 2 • (–4) + 3 + 4 + 1 = 0–3 + 2 + 9 = 8–6 – 2 + 15 + 1 = 8

72

12

72

12

12

12

375

15

375

15

15

43

43

12

12

Polinomis i equacions • Equacions de primer grau21

37. Resol les equacions següents. Després escriu, a sobre de cada solució, la lletra de la variable corresponent i for-maràs el nom d’un gran matemàtic del segle XVII, al qual se li atribueix la coneguda frase: «Penso, per tant exis-teixo».

a) 2 (d + 3) = 3d – 1 b) 3s – 4 (2 – s) = 3 (3s + 1)

c) 3a + 2 (2a + 3) = 7 – 2a d) 4 (2t + 1) = –(–t + 3)

e) 3s + 10 + 6 = 4 + 3 (5 – s) f) 3r – 2 (4 + r) = 4r – (2r + 1)

g) 2c – 3 (5c – 1) = 4c – 2 h) 16 + 4 (2e – 1) = –3 (e + 1)

i) 2e = –3 (e – 5)

Matemàtic del segle XVII: ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___

7 3 –7 –1 – – 112

1511

19

517

12

2d + 6 = 3d – 1 3s – 8 + 4s = 9s + 3

d = 7 7s – 8 = 9s + 3

s = –

3a + 4a + 6 = 7 – 2a 8t + 4 = t – 3

7a + 6 = 7 – 2a t = –1

9a = 1

a =

3s + 16 = 4 + 15 – 3s 3r – 8 – 2r = 4r – 2r – 1

3s + 16 = 19 – 3s r – 8 = 2r – 1

6s = 3 r = –7

s =

2c – 15c + 3 = 4c – 2 16 + 8e – 4 = –3e – 3

–13c + 3 = 4c – 2 e =

c =

2e = –3e + 15

e = 3

D E S C A R T E S

517

–1511

12

19

112

22

38. Resol les equacions següents. Recorda que et pot ser útil multiplicar els dos membres de l’equació per un nom-bre que permeti simplificar els denominadors.

a) + 2 = 4 b) – 1 = 0

c) 4 + = 5 d) 1 – + x = 2x – 5

e) 2 – = 3 + x f) + = 1

g) = h) + = x – 1

i) 2x – + = j) 3x + = – 3 +

Comprovació: Les solucions de les equacions anteriors ordenades de menor a major són: –1, – , , 1, ,

, 3, 5 i 6. Una de les expressions es repeteix.32

65

213

15

410

x + 12

25

13

2x3

x2

x – 12

14

x + 14

x2

x3

x2

2x – 23

x – 14

x – 12

3 + x2

x3

x + 6 = 12 3 + x – 2 = 0x = 6 x = –1

8 + x – 1 = 10 4 – x + 1 + 4x = 8x – 20x = 3 –x + 4x – 8x = –20 – 4 – 1

5x = 25 ; x = 5

6 – 2x + 2 = 9 + 3x 3x + 2x = 6

–2x – 3x = 9 – 2 – 6 x =

–5x = 1 ; x = –

2x = x + 1 1 + 2x – 2 = 4x – 4x = 1 –2x = – 3

x =

12x – 3x + 4x = 2 30x + 4 = 5x + 5 – 30 + 413x = 2 25x = –25

x = x = –1

El –1.

213

32

15

65

Polinomis i equacions • Equacions de primer grau23

39. Resol les equacions següents. Després ombreja en el dibuix només les zones marcades amb un dels resultatsobtinguts i posaràs al descobert un dibuix amb doble sentit.

a) 2x – = 2 – b) = 2x –

c) – = 2 (x – 1) d) 3 – + 2x =

e) 3 (2x – 1) – = f ) 2 ( + 2) = –2 (4 – x)

g) – 4 ( – ) = + h) x – 3 ( – ) = (6x – 4) + 16

12

12

x3

23

43

3x2

13

x2

3x6

x3

2x – 26

x3

–3 (x + 1)2

2 (3 – x)4

x – 23

4 (x – 1)2

x – 16

1 + 4x4

3x – 12

3 (x + 1)2

2x – – = 2 – + + x = 2x – +

4x – 3x – 3 = 4 – 3x + 1 3 + 12x = 24x – 2x + 2

x = 2 x =

– – + = 2x – 2 3 – + + 2x = – –

12x – 12 – 2x + 4 = 12x – 12 12 – 6 + 2x + 8x = –6x – 6

x = 2 x = –

6x – 3 – = – + 4 = –8 + 2x

36x – 18 – 2x = 2x – 2 2x + 12 = –24 + 6x

x = x = 9

– + = + – + = – +

3x – 12x + 8 = 9x + 8 4x – 6x + 9 = 18x – 12 + 1

x = 0 x = 1

16

42

6x2

32

3x3

2x3

43

3x2

43

4x2

3x6

12

2x3

26

2x6

x3

34

32

3x2

2x4

64

23

x3

42

4x2

110

16

x6

14

12

3x2

32

3x2

24

40.

41.

42.

Si saps que a = 3 i b = 2, aïlla i calcula el valor de n en les expressions següents:

a) a = 3n – b b) b = c) a = d) b = 2(a – 2n)

L'àrea d'un trapezi es pot calcular mitjançant la fórmula o expressió algèbrica següent. Observa què representacada variable i resol les dues qüestions plantejades:

A = àrea

A = · h On: B = mesura de la base major

b = mesura de la base menor

h = mesura de l'altura

Les expressions següents són fórmules. Substitueix en cada cas les variables conegudes i calcula el valor de lavariable que es demana:

B + b2

b2 + 3n2b

an

a) Quant ha de mesurar l'altura d'un trapezi per-què tingui una àrea de 24 cm2, si la base majorfa 8 cm i la base menor 4 cm?

b) Quant ha de mesurar la base major d'un trapeziperquè tingui una àrea de 18 cm2, si la basemenor del qual fa 6 cm i l'altura 4 cm?

D =

D = 1,2 g/cm3 m = 18 g

Calcula el valor de V.

mV

A = c = 4,2 cm

n = 5 A = 30,35 cm2

Calcula el valor de a.

n · c · a2

v = v0 + at v0 = 5,5 m/s

v = 20 m/s t = 2 s

Calcula el valor de a.

b

h

B

3 = 3n – 2 2 = 3 = 2 = 2(3 – 2n)

n = n = n = 2 = 6 – 4n

n = 1

24 = • h 18 = • 4

24 = 6h 18 = 2B + 12

h = 4 cm B = 3 cm

1,2 = 30,35 = 20 = 5,5 + a • 2

V = 15 cm3 a = 2,89 cm a = 7,25 m/s2

5 • 4,2 • a2

18V

B + 62

8 + 42

83

32

53

4 + 3n4

3n

Polinomis i equacions • Problemes25

43.

44.

Llegeix detingudament cada problema i la solució proposada per a cada un. Després indica si la solució dona-da és la correcta, comprovant si compleix o no totes les condicions del problema. Raona la resposta.

Problema 1 Problema 2

La solució és __________________________ La solució és __________________________

Problema 3 Problema 4

La solució és __________________________ La solució és __________________________

La suma d'un nombre i el seu doble és 18. Dequin nombre es tracta? Resol aquest problemaprovant amb diferents nombres fins a trobar lasolució. Pren nota, en aquesta taula, de tots elsteus intents. Després resol el mateix problemaplantejant una equació, representant amb la lletran el nombre buscat.

El preu d'una ampolla i del seu tap ésde 3,30 €. El tap costa 3 € menys quel'ampolla. Quant costa el tap?

Solució: L'ampolla costa 3 € i el tap0,30 €.

En Lluís té 14 anys i la Paula, la sevagermana, 18. Quants anys han de pas-sar perquè la suma de les seves edatssigui 50?

Solució: Han de passar 9 anys.

En Pere dintre de 4 anys tindrà tresvegades l'edat que tenia fa 20 anys.Quina edat té en Pere actualment?

Solució: En Pere té 32 anys.

3 camises i 2 pantalons costen 126 €.Cada pantaló costa el doble que cadacamisa. Quin és el preu de cada peça deroba?

Solució: La camisa costa 12 € i el pan-taló, 24 €.

Un nombre El seu doble La suma dels dos

Incorrecta Correcta

3 – 0,30 ≠ 3 (14 + 9) + (18 + 9) = 50

Correcta Incorrecta

32 + 4 = 3(32 – 20) 3 • 12 + 2 • 24 ≠ 126

8 16 24

5 10 15

7 14 21

n + 2n = 18 6 12 18

n = 6

26

45.

47.

49.

50.

Troba un nombre x, de manera que la sumad'aquest nombre més el seu triple sigui iguala 84.

Un nombre més la seva quarta part és iguala 50. Quin és aquest nombre?

Dos dipòsits de la mateixa capacitat estan plens de gasoil. Si d'un dipòsit es treuen 200 L i de l'altre 300 L, enel primer queda el doble de gasoil que en el segon. Quina és la capacitat de cada recipient?

Segueix els passos indicats per tal de resoldre el problema següent. En Joan té el doble d'anys que la seva fillai entre els dos sumen 45 anys. Quants anys té cadascun?

1r Expressa, utilitzant una sola lletra, l'edat de la filla d'en Joan i la d'en Joan:

Edat de la filla d'en Joan ➔ _________ Edat d'en Joan ➔ _________

2n Escriu l'equació: «Entre els dos sumen 45 anys» ➔ ______________

3r Resol l'equació plantejada:

4t Interpreta la solució de l'equació i escriu la solució del problema:

• En Joan té __________________ • La filla d'en Joan té __________________

5è Comprova que la solució s'ajusta a les condicions del problema:

Segons la solució que has escrit: En Joan té el doble d'anys que la seva filla? La suma de les seves edats és 45?

46. El doble de la suma d'un nombre més 5 ésigual a 22. De quin nombre es tracta?

48. La suma del doble d'un nombre més 5 ésigual a 22. Quin nombre és?

2(n + 5) = 22

x + 3x = 84 2n + 10 = 22

x = 21 n = 6

n + n = 50 2n + 5 = 22

4n + n = 200

n = 40 n =

c – 200 = 2(c – 300)

c – 200 = 2c – 600

c = 400 L

e 2e

e + 2e = 45

e + 2e = 45 e = 15

15 • 2 = 30 anys 15 anys

30 = 2 • 15 30 + 15 = 45

172

14

Polinomis i equacions • Problemes27

51. Quina edat té la Maria si dintre de cinc anys tindrà el doble de l'edat que té actualment?

• Edat actual ➔

• Edat dintre de 5 anys ➔

52.

54.

56.

58.

53.

55.

57.

59.

Una camisa costa 7 € més que un pantaló. El preu de les dues peces de roba juntes és de67 €. Quin és el preu de cada peça de roba?

Un pare té 45 anys i el seu fill 15. En algunmoment l'edat del pare pot ser el doble de ladel fill? Quan?

En un triangle isòsceles el costat desigualmesura la tercera part de cada un dels cos-tats iguals. Quant ha de mesurar cada costatperquè el seu perímetre mesuri 21 cm?

Un dels angles d'un triangle mesura el dobleque un altre i el tercer, la meitat de la sumadels altres dos. Calcula el valor dels tresangles.

Un rectangle té un perímetre de 24 cm i laseva base fa el doble que la seva altura.Calcula'n l'àrea.

Un grup de ciclistes ha recorregut la tercerapart d'una etapa i els falta 30 km per arribara la meitat. Quants quilòmetres té l'etapa?

Es volen repartir 30 kg de patates en tres sacsde manera que el primer sac pesi el dobleque el segon i el tercer el mateix que elsaltres dos junts. Quant ha de pesar cada sac?

Per 2 portallapis i 3 gomes d'esborrar espaguen 2,40 €. Si cada goma costa 45 ct.menys que 1 llapis, quant costa cada llapis?

e

2e

e + 5 = 2e

e = 5 ➔ ara en té 5; d’aquí a cinc anys en tindrà 10 (10 = 2 • 5)

(p + 7) + p = 67 45 + a = 2(15 + a) ; a = 15

p = 30 € pantaló D’aquí 15 anys, el pare en tindrà 60 i el

30 + 7 = 37 € camisa fill, 30 (60 = 2 • 30)

2n + n = 21 a + 2a + ( (2a + a)) = 180 ; a = 40

n = 21 ; n = 9 cm angle 1 = 40º ; angle 2 = 40 • 2 = 80º

costat desigual = 3 cm angle 3 = = 60º

2(2a + a) = 24 e + 30 = e

a = 4 cm 2e + 180 = 3e

A = 4 • 8 = 32 cm2 e = 180 km

2s + s + (2s + s) = 30 ; s = 5 2l + 3(l – 0,45) = 2,40 ; l = 0,75

sac 1 = 5 • 2 = 10 kg ; sac 2 = 5 kg ; llapis = 0,75 € ; goma = 0,30 €

sac 3 = 10 + 5 = 15 kg

12

13

40 + 802

73

12

13

3 cm

a

2a

9 cm

28

60.

61.

62.

63.

64.

La Marta contesta totes les preguntes d'un qüestionari de 20 preguntes. Per cada pregunta encertada li donen3 punts, però per cada pregunta errada li treuen un punt. La Marta ha aconseguit 24 punts en la prova. Quantespreguntes ha encertat i quantes ha fallat?

Es barregen 12 kg de cafè a 7 €/kg amb certa quantitat d'una altra classe de cafè que costa 8,50 €/kg. El preude la barreja surt a 7,50 €/kg. Quina quantitat de l'altra classe de cafè s'ha utilitzat en la barreja?

Quina quantitat de vi d'1,50 €/L cal afegir-se a 1 000 L de vi de 2 €/L perquè la barreja surti a 1,90 €/L?

Un tren surt d'una ciutat A cap a una altra ciutat B que es troba a 550 km, viatjant a 100 km/h. Al mateix tempssurt un altre tren de B cap a A a una velocitat de 120 km/h. A quina distància de la ciutat A es trobaran i quantde temps trigaran?

Un cotxe ha de fer un recorregut de 260 km. Surt a una hora determinada i viatja a 90 km/h. Mitja hora des-prés surt un altre vehicle per fer el mateix recorregut i viatja a 110 km/h. Aquest segon vehicle aconseguiràd’enxampar el primer abans d'arribar al punt de destinació?

3x – (20 – x) = 24 ; x = 11

Encertades = 11 preguntes

Fallades = 9 preguntes

(11 • 3 – 9 = 24)

12 • 7 + c • 8,50 = (12 + c) • 7,50 ; c = 6 kg

12 • 7 = 84

6 • 8,50 = 51

= 7,5

1 000 • 2 + c • 1,5 = (1 000 + c) • 1,90 ; c = 250 L

1 000 • 2 = 2 000

250 • 1,50 = 375

= 1,9

= ; x = 250 km de la ciutat A

El tren A ha fet 250 km; el tren B ha fet 550 – 250 = 300 km

Temps = = = 2,5 hores

1r cotxe, surt a t i triga = 2,88 hores ; arriba a t + 2,88

2n cotxe, surt a t + 0,5 i triga = 2,36 hores; arriba a t + 2,36 + 0,5 = t + 2,86

El 1r cotxe arriba 0,02 segons més tard.

260110

26090

300120

250100

550 – x120

x100

2 000 + 3751 000 + 250

84 + 5112 + 6

Temps

Hora (h) – Minut (min) – Segon (s)

Equivalències:

1 h = 60 min = 3 600 s

1 min = 60 s

Angles

Grau (°) – Minut (’) – Segon (”)

Equivalències:

1º = 60’ = 3 600”

1’= 60”

Fes un repàs29

Mesures de temps i d’angles2➔ Sistema sexagesimal

En un sistema sexagesimal d'unitats, cada unitat equival a 60 unitats del'ordre immediat inferior. Algunes unitats de mesura de temps i d'anglesformen un sistema sexagesimal.

Per exemple, els babilonis, fa més de 4000 anys utilitzaven un sistemasexagesimal per escriure els nombres.

El nombre:

Té el valor següent: 2 · 602 + 3 · 60 + 1 = 7 381

➔ Unitats sexagesimals d'angles i de temps

➔ Canvis d'unitat

Angles Temps

Quants graus són 7 200”?

7 200 : 60 = 120

7 200” = 120’= 2º

120 : 60 = 2

Quants segons són 8°?

8 · 60 = 480

8º = 480’ = 28 800”

480 · 60 = 28 800

Quantes hores són 10 800 s?

10 800 : 60 = 180

10 800 s = 180 min = 3 h

180 : 60 = 3

Quants segons són 2 h?

2 · 60 = 120

2 h = 120 min = 7 200 s

120 · 60 = 7 200

Grau Minut Segon Hora Minut Segon× 60 × 60 × 60 × 60

: 60 : 60 : 60 : 60

30

➔ De l’expressió incomplexa a la complexa i viceversa

➔ Operacions en el sistema sexagesimal

Com expressem en hores, minuts i segons 3,12 h?

3,12 h

0,12 h 7,2 min

0,2 12 s

3,12 h = 3 h 7 min 12 s

Com expressem 3 h 12 min 18 s en hores?

3 h 3 h

12 min 0,2 h

18 s 0,005 h

3,205 h

3 h 12 min 18 s = 3,205 h

: 60

: 3.600× 60

× 60

Suma

Col·loquem els sumands fent coincidir en una matei-xa columna les hores (graus), en una altra els minutsi en una altra els segons. Sumem cada columna i, enacabat, si és possible, transformem els segons enminuts i els minuts en hores (graus).

2 h 18 min 45 s

+ 1 h 12 min 18 s

3 h 30 min 63 s

1 min

3 h 31 min 3 s

Resta

Col·loquem els termes fent coincidir en una mateixacolumna les hores (graus), en una altra els minuts ien una altra els segons. Quan la quantitat delminuend és menor que la del subtrahend hem de fertransformacions com les de l’exemple:

Transformem 1 h en 60 min.

3 h 12 min 30 s 2 h 72 min 30 s

– 1 h 24 min 20 s 1 h 24 min 20 s

1 h 48 min 10 s

Multiplicació per un nombre

Multipliquem de forma independent els segons, elsminuts i les hores (graus) pel nombre. Després, si enel resultat és possible, transformem segons en minutsi minuts en hores (graus).

3 h 13 min 18 s

x 4

12 h 52 min 72 s

1 min

12 h 53 min 12 s

Divisió entre un nombre

Dividim les hores (graus) entre el nombre, i la resta latransformem en minuts. Després, dividim els minuts, ila resta la transformem en segons. Finalment, dividimels segons.

13 h 23 min 14 s 3

12 h 4 h 27 min 40 s

1 h 83 min

– 81 min

2 min 134 s

–120 s

14 s

Mesures de temps i d’angles • Unitats de temps31

1.

2.

4. 5.

Resol els mots encreuats següents:

Horitzontals

1. Anys d’una dècada. Any del segle XVIII acabat en 54.

2. Semestres que té un any. La sisena part d’un any, en mesos. Al mesde gener li posem aquest nombre.

3. Dies que tindrà l’any 2004. Un ou passat per aigua es fa en tresminuts, o sigui, en aquests segons.

4. Trimestres que té un any. Si t’endarrereixes 5 minuts, t’estàs endarre-rint tots aquests segons.

5. Minuts que vivim al dia. 1 minut i 13 segons en segons.

Verticals

1. 2 hores i 3 minuts en minuts. Nombre de mesos de l’any que no arriben a 30 dies.

2. A aquella hora comença el dia. Nombre de dies en 92 setmanes.

3. Tots aquests anys formen un sexenni. Un any menys que un lustre.

4. La tercera part d’un trienni, en mesos. Hi ha quatre mesos a l’any que tenen aquest nombre de dies.

5. Dies de la setmana. Una dècada són aquests anys.

6. Un lustre en anys. 33 dies i 15 hores en hores.

7. 4 segles i 10 anys en anys. Nombre de quadrimestres a l’any.

En Xavier triga 3 567 s per fer el seus deures.Quants segons li han faltat per haver-hi estat 1 hora?

La Marta ha estat muntant en bicicleta treshores seguides. Expressa aquest temps ensegons.

432000 segons et poden semblar molt detemps. Però, en realitat, quants dies són?

3. Què representa un temps major, 65 trimes-tres o 890 setmanes?

1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

65 trimestres = 780 setmanes1 h = 3 600 s Representa un temps major 890 3 600 – 3 567 = 33 segons setmanes.

1 dia = 24 h = 1 440 min = 86 400 s

432 000 : 86 400 = 5 dies 3 • 60 • 60 = 10 800 segons

1 0 1 7 5 4

2 2 13 6 6 1 8 0

4 3 0 0

1 4 4 0 7 3

32

6.

7.

8.

Expressa cada mesura en la unitat indicada:

a) 2 h = ________ min b) 45 min = ________s c) 21 min = ________ h

d) 36 min = _______ s e) 3 h = ________ s f ) 18 s = ________ min

g) 11 520 s = _______ h h) 0,4 h = ________ min i) 0,1 h = ________ s

Completa:

a) 3 779 s = _________ h _________ min _________ s

b) 2,5 h = _________ h _________ min

c) 3,12 h = _________ h _________ min _________ s

d) 0,43 h = _________ min _________ s

e) 0,35 h = _________ min _________ s

f ) 1,85 h = _________ h _________ min

g) 2,3 min = _________ min _________ s

h) 2,3 dies = _________ dies _________ h _________ min

Indica quines de les afirmacions següents són veritables (V) i quines són falses (F):

a) 0,5 hores són 30 minuts.

b) 2,25 hores són 2 hores i 25 minuts.

c) 1,45 hores és 1 hora 4 minuts i 5 segons.

d) 2,25 minuts són 2 minuts i 15 segons.

e) 1,75 minuts és 1 minut i 45 segons.

f) 3 hores i quart són 3,25 h.

g) 1 hora i mitja són 1,30 h.

h) Tres quarts d’hora són 0,75 h.

120 2 700 0,35

2 160 10 800 0,3

3,2 24 360

1 2 59

2 30

3 7 12

25 48

21 0

1 51

2 18

2 7 12

V

F

F

V

V

V

F

V

Mesures de temps i d’angles • Unitats de temps33

9.

10.

Calcula:

a) 3 h 6 min 14 s + 5 h 23 min 20 s =

b) 6 h 40 min 50 s + 5 h 35 min 23 s =

c) 1 h 7 min 56 s + 5 min 33 s + 2 h 44 s =

• Comprovació: la suma dels tres resultats ha de donar-te 1 dia.

Calcula:

a) 2 h 20 min 43 s – 1 h 10 min 15 s =

b) 3 h 15 min 12 s – 1 h 12 min 14 s =

c) 5 h 12 min 14 s – 3 h 25 min 30 s =

d) 54 min – 52 min 12 s =

e) 3 min 12 s – 45 s =

a)

b) c)

= 24 h

8 h 29 min 34 s12 h 16 min 13 s3 h 14 min 13 s

23 h 59 min 60 s

1 h 7 min 56 s5 min 33 s

2 h 44 s 3 h 12 min 133 s

6 h 40 min 50 s5 h 35 min 23 s 11 h 75 min 73 s

3 h 6 min 14 s5 h 23 min 20 s 8 h 29 min 34 s

1 min 13 s

76 min

1 h 16 min

12 h

2 min 13 s

14 min

c) 5 h 12 min 14 s3 h 25 min 30 s 4 h 71 min 74 s3 h 25 min 30 s1 h 46 min 44 s

d) 54 min 52 min 12 s 53 min 60 s52 min 12 s

1 min 48 s

e) 3 min 12 s45 s

2 min 72 s45 s

2 min 27 s

a) 2 h 20 min 43 s1 h 10 min 15 s 1 h 10 min 28 s

b) 3 h 15 min 12 s1 h 12 min 14 s 3 h 14 min 72 s1 h 12 min 14 s2 h 2 min 58 s

+

+

+

––

–

–

–

–

–

–

–

+

34

11.

12.

A continuació s’indiquen els temps dels quatre corredors que van arribar en primer lloc a la meta d’una etapaen una carrera ciclista. Fixa-t’hi i calcula:

a) Quina diferència de temps hi va haver entre els dos primersclassificats?

b) Quin temps de diferència hi va haver entre el tercer i elquart classificat?

c) Quant van sumar els temps dels quatre corredors?

d) L’últim corredor va arribar a 25 min 3 s del primer classifi-cat. Amb quin temps va arribar el darrer corredor a la meta?

En Xavier enregistra en una cinta quatre cançons: la primera té una durada de 4 min 23 s, la segona dura 40 smés que la primera, la tercera dura 1 min 15 s menys que la segona i l’última el doble que la tercera. A mésa més, deixa 4 segons sense enregistrar al començament de la cinta i uns altres 6 segons entre cançó i cançó.De la durada total de la cinta, quant temps n’ha enregistrat en Xavier?

1r classificat 2 h 38 min 38 s

2n classificat 2 h 40 min 14 s

3r classificat 2 h 40 min 23 s

4t classificat 2 h 41 min 2 s

2 h 40 min 14 s2 h 38 min 38 s 2 h 39 min 74 s2 h 38 min 38 s

1 min 36 s

2 h 41 min 2 s2 h 40 min 23 s 2 h 40 min 62 s2 h 40 min 23 s

39 s

10 h 40 min 17 s

2 h 38 min 38 s25 min 3 s

2 h 63 min 41 s3 h 3 min 41 s

4 min 23 s5 min 3 s3 min 48 s7 min 36 s

4 s18 s

19 min 132 s21 min 12 s

–

–

–

–

+

Mesures de temps i d’angles • Unitats de temps35

13.

14.

4 min 20 s

1 h 6 min

105 – 97 = 8 min

16 min

22 min

A les 13:14 h

19:14 ➔ Lleida 21:09 ➔ Calaf 21:58 ➔ Manresa20:47 ➔ Sant Guim 21:25 ➔ Aguilar

Busca en aquest programa de televisió la informació necessària per contestar les preguntes següents:

a) Si en acabar «El temps» hi ha previstos dos anuncis de 20segons cadascun, ¿quant de temps s’ha previst que duri «Eltemps»?

b) S’ha previst l’emissió sense interrupcions del documental iposar, quan aquest acabi, 4 minuts d’anuncis. Quant dura eldocumental?

c) Quant de temps s’ha previst destinar als anuncis des delcomençament de la pel·lícula fins a l’inici del concurs?

Observa l’horari d’un tren al seu pas per diverses estacions:

a) Quant de temps triga entre Aguilar de Segarra i Calaf?

b) Quant de temps triga entre Calaf i Sant Guim de Freixenet?

c) A quina hora arribarà a Lleida un tren que surt a les 10.30 de Manresa i que triga el mateix temps a fer elrecorregut?

d) Elabora l’horari d’un tren que surt de Lleida a les 19.14 en direcció Manresa i que triga el mateix entreestació i estació que en el recorregut de Manresa a Lleida.

14.30 Telenotícies.

14.55 El temps.

15.00 El joc de les lletres.

15.30 Telenovel·la. La Carmeta.

16.30 Documental. Les balenes. Unreportatge sobre la vida de lesbalenes i els perills de la sevaextinció.

17.40 Pel·lícula. Jocs nocturns. EstatsUnits (97 minuts). Director: F.Bull. Intèrprets: V. Roman,Susan Caven, M. Ford. Unacolla de nens acut a una esco-la abandonada on juguenhabitualment. Una nit, und’ells decideix fer als altresuna broma que no oblidaranmai.

19.25 Concurs. Contesta i guanya!

8.01 Manresa

8.34 Aguilar de Segarra

8.50 Calaf

9.12 Sant Guim de Freixenet

10.45 Lleida

36

15. Calcula:

a) (3 h 4 min 12 s) × 5 = b) (40 min 15 s) × 3 =

c) (1 h 23 min 2 s) × 30 = d) (1 h 45 min) × 8 =

e) (12 h 24 min 15 s) : 3 = f ) (3 h 20 s) : 2 =

g) (2 h 10 min 12 s) : 4 = h) (9h 2 min 4 s) : 4 =

16. Si volem dividir en tres parts de temps igualsun documental que té una duració d’1 horai quart, quants minuts ha de durar cada part?

18. Quant de temps triga un automòbil a recó-rrer 345 km amb una velocitat mitjana de 92 km/h? Expressa el resultat en hores mésminuts.

17. Un atleta està entrenant a un ritme amb elqual triga 3 min 14 s a recórrer 1 km. Quantde temps trigarà a recórrer 15 km si sempreva al mateix ritme?

19. L’Anna va a treballar amb tren. El tren triga 1 h 35 min, tant d’anada com de tornada. Sil’Anna treballa, ¿quant de temps empra set-manalment per anar i tornar de treballar ambel tren?

15 h 21 min 2 h 45 s

41 h 31 min 14 h

4 h 8 min 5 s 1 h 30 min 10 s

32 min 33 s 2 h 15 min 31 s

(1 h 15 min) : 3 = 25 min(3 min 14 s) • 15 = 48 min 30 s

345 : 92 = 3,75 h3,75 h = 3 h 45 min (1h 35 min) • 10 = 15 h 50 min

Mesures de temps i d’angles • Unitats d’angles37

20.

21.

22.

23.

24.

Volem dividir 6 h i 24 min en quatre períodes de la mateixa durada. Quant ha de durar cada període de temps?Expressa el resultat de tres maneres: en hores més minuts, només en hores i només en minuts.

Completa:

a) 3º = ____________ ’ b) 2º = ____________ ” c) 21’ = ____________ ”

d) 360’ = ____________ º e) 14 400”= ____________ º f ) 18” = ____________ ’

Completa:

a) 7 542” = ____________ º ____________ ’ ____________ ”

b) 40,2º = ____________ º ____________ ’

c) 0,71º = ____________ ’ ____________ ”

d) 30,4’= ____________ ’ ____________ ”

Un angle a mesura 120º 33’ 45” i un altre angle ^b mesura 434 028”. Quin dels dos és major?

Calcula:

a) L’angle complementari de l’angle a = 45º 23’ 40”.

b) L’angle suplementari de l’angle ^b = 85º 52’.

c) L’angle suplementari de l’angle c = 110º 40’ 12”.

(6 h 24 min) : 4 = 1 h 36 min = 1,6 h = 96 min

180 7 200 1 260

6 4 0,3

2 5 42

40 12

42 36

30 24

434 028’’ = 120º 33’ 48’’ ➔ és 3’’ més gran

44º 36’ 20’’

94º 8’

69º 19’ 48’’

38

25. Resol les operacions següents amb mesures d’angles. Després comprova que la suma de tots els resultats sónels graus que té una circumferència.

a) 25º 30’ 12” + 10º 23’ 30” + 20º 45’ 18” =

b) 120º 56’ 30” – 80º 17’ 29” =

c) 270 º 13’ 22” – 223º 40’ 19” =

d) (13º 40’ 29”) × 5 =

e) (41º 12’ 40”) × 3 =

f ) (120º 42’ 35”) : 5 =

26. Tracem la bisectriu a un angle de 45º 23’ 14’’.Quina és la mida de cada un dels dos anglesque determina aquesta bisectriu?

28. En un triangle isòsceles un dels dos anglesiguals fa 40º 30’ 50’’. Quant mesura l’angledesigual? Quina classe de triangle és segonsels seus angles?

27. Un cercle es divideix en quatre sectors cir-culars. Uns d’aquests sectors té un angle de25º 40’ 32’’, l’altre el doble que aquest, i l’al-tre la suma dels dos anteriors. Quant fa elquart sector?

29. En un paral·lelogram un dels angles fa 45º 30’ 40’’. Quina és la mesura dels altres tres angles?

56º 39’

40º 39’ 1’’

46º 33’ 3’’

68º 22’ 25’’

123º 38’

24º 8’ 31’’

Suma = 360º

(45º 23’ 14’’) : 2 = 22º 41’ 37’’

(25º 40’ 32’’) • 2 = 51º 21’ 4’’

+

360º – 154º 3’ 12’’ = 205º 56’ 48’’

Un dels angles serà igual. Els altres dosseran iguals entre sí; la suma dels 4 ha de ser 360º.

180º – (81º 1’ 40’’) = 98º 58’ 20’’

Obtusangle. 360 – (91º 1’ 20’’) = 268º 58’ 40’’(268º 58’ 40’’) : 2 = 134º 29’ 20’’

25º 40’ 32’’51º 21’ 4’’77º 1’ 36’’

40º 30’ 50’’40º 30’ 50’’81º 1’ 40’’

45º 30’ 40’’45º 30’ 40’’91º 1’ 20’’

+

+

Fes un repàs39

El teorema de Pitàgores3➔ Triangles rectangles

Un triangle rectangle és aquell que té un angle recte. Els costats d’untriangle rectangle s’anomenen així:

� Catets, cada un dels costats que formen l’angle recte.

� Hipotenusa, el costat oposat a l’angle recte.

Altres característiques dels triangles rectangles són:

� Com en qualsevol altra classe de triangles, la suma dels angles fa 180º.Per tant, els dos angles aguts són complementaris (sumen 90º).

� El costat major sempre és la hipotenusa.

� En un triangle rectangle isòsceles els costats iguals són els catets i elsdos angles iguals fan 45º.

➔ Divisió d’un triangle en triangles rectanglesUn triangle sempre es pot dividir en dos triangles rectangles traçant una altura:

➔ Teorema de PitàgoresEn un triangle rectangle el quadrat de la hipotenusa és igual a la sumadels quadrats dels catets.

En conseqüència:

� La hipotenusa és igual a l’arrel quadrada de la suma dels quadrats delscatets.

� Un catet és igual a l’arrel quadrada de la diferència del quadrat de lahipotenusa menys el quadrat de l’altre catet.

a: hipotenusab y c: catets

a = 90º^b + c = 90º

a = 90º ^b = 45º i c = 45°

a: hipotenusab y c: catets

a2 = b2 + c2 ➔ a = b2 + c2

b2 = a2 – c2 ➔ b = a2 – c2

c2 = a2 – b2 ➔ c = a2 – b2

����

����

����

b = c

c

c

a

a

^b

^b

a

c

c

a

b

b

ac

a 2

b2

bc2

Si el triangle és acutangle, qualse-vol de les tres altures el divideix endos triangles rectangles.

Si el triangle és rectangle, l’alturaque el divideix en dos altres trianglesrectangles és la traçada des de l’an-gle recte.

Si el triangle és obtusangle, l’alturatraçada des de l’angle obtús és laque divideix el triangle en dos trian-gles rectangles.

40

➔ Càlcul de mesures en figures planes

➔ Teorema de Pitàgores en l’espaiEn un ortòedre, el quadrat de la diagonal és igual a la suma dels quadratsde les seves dimensions.

D2 = d2 + c2 = a2 + b2 + c2

En conseqüència, la diagonal d’un ortòedre és igual a l’arrel quadradade la suma dels quadrats de les seves dimensions.

D = a2 + b2 + c2

Altura d’un triangle isòsceles coneixent els seus costats

Altura d’un triangle equilàter coneixent el seu costat

Costat d’un triangle equilàter coneixent la seva altura

Costats: a = 5 i b = 4

h = a2 – ( )2

h = 52 – 22 = 21

b2

Costat: a = 4

h = a2 – ( )2

h = 42 – 22 = 12

a2

���� ����

Altura: h = 3

h2 = a2 – ( )2

32 = a2 – ( )2 9 =

3a2 = 36 a = 12

3a2

4a2

a2

��

Diagonal d’un quadrat coneixent el seu costat

Costat d’un quadrat coneixent la seva diagonal

Diagonal d’un rectangle coneixent els seus costats

Costat: c = 3

d = c2 + c2 = 2c2

d = 32 + 32 = 18

�������� ��

���

Diagonal: d = 2

d2 = c2 + c2 d2 = 2c2

4 = 2c2 c2 = 2 c = 2��d = a2 + b2

d = 32 + 22 = 13

�������� ��

Costats: a = 3; b = 1

Costat oblic d’un trapezi rectangleconeixent els altres costats

Apotema d’un hexàgon regular coneixent el seu costat

Costat d’un triangle equilàter coneixent el radi de la

circumferència circumscrita

Costats: a = 3; b = 4 i c = 2

d = c2 + (b – a)2

d = 22 + 12 = 5

ap = 42 – ( )2

ap = 42 – 22 = 12

c2

c = 2 · 62 – 32 = 2 27 = 10

���������� ������ �� ���� ��

D = 42 + 12 + 32 = 26�������� ������� � �

Costat: c = 4 Radi: r = 6

c = 2a

a = r2 – ( )2r2

b = 4

c = 3 c

c

d= 2d

c = 3

a = 3

4

2

c = 2

b = 4

c = 3

b = 1

a = 4

d

D

c = 4

c = 2aa

r

c

6

ap

d

a = 3

b = 2d

a = 5 a = 4

h = 3

a

a

a = 42 2

h h

����

Teorema de Pitàgores • Triangles rectangles41

1.

2.

Acoloreix només els triangles rectangles, i escriu sobre els seus costats quins són els catets i quina és la hipo-tenusa en cada cas. Amb les lletres dels triangles acolorits pots formar el nom de l’illa grega on va néixerPitàgores. Consulta la resposta en una enciclopèdia.

El nom de l’ illa és: ________ ________ ________ ________ ________

Dibuixa amb regle i compàs els triangles següents i comprova amb l’escaire si n’hi ha cap que sigui rectangle.

a) 3 cm; 4 cm; 5 cm b) 6,5 cm; 7,2 cm; 9,7 cm c) 4 cm; 3,5 cm; 6 cm

S A M O S

c c

c c

90º

Rectangle

Rectangle

c

c c

c

c

c

h

h

h

h

h

90º

42

3.

4.

5.

Considera que a, b i c són els costats d’un triangle i esbrina quins d’aquests són rectangles i quins no ho sónsense necessitat de dibuixar-los. En els casos afirmatius, indica quins són els catets i quina és la hipotenusa.

a) a = 17 cm b = 11 cm c = 20 cm

b) a = 40 mm b = 30 mm c = 50 mm

c) a = 6,2 m b = 8,3 m c = 4,5 m

d) a = 4,5 km b = 7,5 km c = 6 km

e) a = 2 m b = 2 m c = 8 m

Diem que tres nombres a, b i c formen una «terna pitagòrica» quan el quadrat del major és igual a la sumadels quadrats dels altres dos. Esbrina el terme que falta en cada cas per tal que la terna sigui pitagòrica, tottenint present que estan ordenats de menor a major.

a) 12 – 16 – c b) 15 – b – 39 c) a – 72 – 90 d) 40 – 75 – c

Amb una corda de 12 nusos podem construir diferents triangles, de manera que, en cada vèrtex, coincideixiun nus com en el triangle de la figura. Quins altres triangles podem construir? N’hi ha cap que sigui rectangle?

��

a) No.b) Sí. Catets = a i b; hipotenusa = cc) No.d) Sí. Catets = a i c; hipotenusa = be) Sí. Catets = a i b; hipotenusa = c

a) c = 122 + 162 = 20b) b = 392 – 152 = 36c) a = 902 – 722 = 54d) c = 402 + 752 = 85

El que ja està dibuixat és un triangle rectangle. Només es poden dibuixar dos triangles.

Teorema de Pitàgores • Reconeixement de triangles43

6.

7.

8.

Observa els tres dibuixos i treu una conclusió sobre la relació que existeix entre el quadrat del costat major a,i la suma dels quadrats dels altres dos costats en les tres classes de triangles.

Triangle acutangle Triangle rectangle Triangle obtusangle

Indica, sense que et calgui dibuixar-los, quina classe de triangle és, pels seus costats i pels seus angles, cadas-cun dels triangles següents. Tingues present el procediment que has seguit en l’exercici anterior.

a) a = 10 cm b = 6 cm c = 8 cm b) a = 8 m b = 4 m c = 6 m

c) a = 18 m b = 3 m c = 3 m d) a = 8 cm b = 5,3 cm c = 5,3 cm

Els nombres 6, 8 i 10 formen una «terna pitagòrica». Demostra que els nombres 6n, 8n i 10n també formenuna «terna pitagòrica», sent n qualsevol nombre distint de 0.

a

��

c b

a

c bc b

a

a2 > c2 + b2

a2 = c2 + b2

a2 < c2 + b2

a) Rectangle b) Acutangle c) Rectangle d) Obtusangle

a2 = c2 + b2 ➔ 102 = 62 + 82 ➔ Terna pitagòrica(10 • 2)2 = (6 • 2)2 + (8 • 2)2

(10 • 3)2 = (6 • 3)2 + (8 • 3)2

(10 • n)2 = (6 • n)2 + (8 • n)2

…

44

9.

10.

Calcula la mesura del costat desconegut de cada triangle rectangle.

a) b) c)

d) e) f )

Si a representa la hipotenusa d’un triangle rectangle, i b i c els catets, calcula la mesura del costat que falta encadascun del triangles següents.

a) a = 13 m b) b = 13,8 cm c) a = 6,5 km

b = 12 m c = 18,4 cm c = 2,5 km

d) a = 6 m e) b = 5,28 m f ) a = 11 m

c = 4,8 m c = 1,54 m b = 7 m

����

xx

x

x

x

x

x = 252 – 72 = 24 m x = 362 + 152 = 39 mm

x = 162 + 92 = 18,36 cm

x = 6,52 + 7,22 = 9,7 m

x = 222 – 18,22 = 12,36 m x = 7,52 – 62 = 4,5 m

c2 = 132 – 122 a2 = 13,82 + 18,42 b2 = 6,52 – 2,52

c = 25 a = 529 b = 36

c = 5 m a = 23 cm b = 6 km

b2 = 62 – 4,82 a2 = 5,282 + 1,542 c2 = ( 11 )2 – ( 7 )2

b = 12,96 a = 30,25 c = 4

b = 3,6 m a = 5,50 m c = 2 m

Teorema de Pitàgores • Mesures d’un triangle rectangle45

11.

13.

14.

15.

La hipotenusa d’un triangle rectangle fa 2 cm i un dels catets 1,2 cm. Quant fa l’al-tre catet?

Dos costats d’un triangle fan 62 mm i 72 mm. Quant ha de mesurar el tercer costat per tal que sigui un trian-gle rectangle? Hi ha més d’una solució?

Observa el triangle de la dreta; aparentment es tracta d’un trian-gle equilàter. Però, ho és realment? Utilitza el teorema dePitàgores per esbrinar de quina classe de triangle es tracta.

Aproxima a mil·límetres les mesures següents:

a) La mesura d’un dels catets d’un triangle rectangle, lahipotenusa i l’altre catet del qual fan, respectiva-ment, 16 cm i 9 cm.

b) La mesura de la hipotenusa d’un triangle rectangleels catets del quan fan 3 cm i 7 cm.

12. Els catets d’un triangle rectangle fan 1,8 m i 2,4 m respectivament. Quant mesu-ra la hipotenusa?

A

B

C

c2 = 22 – (1,2)2 = 2,56 h2 = 1,82 + 2,42

c = 2,56 = 1,6 cm h = 9 = 3 m

c2 = 722 – 622 h2 = 722 + 622

c = 1 340 = 36,61 mm h = 9 028 = 95,02 mm

Si agafem el costat de cada quadrat = 1 cm.Tindrem:AB = 42 + 12 = 17BC = 42 + 12 = 17AC = 32 + 32 = 18Per tant, no és equilàter, és isòsceles.

a) c = a2 – b2 ; c = 162 – 92 = 13,2 cm = 132 mm

b) a = 32 + 72 = 58 = 7,6 cm = 76 mm

46

16. Calcula la mesura de la diagonal d’un rec-tangle que fa 6,5 m de llarg i 7,2 m d’ample.

18. Calcula l’àrea d’un triangle equilàter de 8 cmde costat i arrodoneix a mil·límetres la mesu-ra de la seva altura.

20. El costat d’un hexàgon regular fa 4 m.Calcula la longitud del seu apotema, tot arro-donint-lo a centímetres.

22. L’apotema d’un hexàgon regular mesura 12 cm.Calcula quant fa el radi de la circumferènciacircumscrita, tot aproximant aquesta amil·límetres.

17. Calcula l’àrea i el perímetre d’un triangle elscatets del qual fan 7,5 cm i 10 cm respecti-vament.

19. Calcula l’àrea d’un triangle isòsceles ambcostats iguals de 5 m i costat desigual d’1 m.Arrodoneix la mesura de la seva altura a cen-tímetres.

21. Calcula el perímetre d’un rombe les diago-nals del qual mesuren 6 cm i 8 cm respecti-vament.

23. L’altura d’un triangle isòsceles fa 8 m i el cos-tat desigual 6 m. Calcula la mesura dels altresdos costats i arrodoneix-la a centímetres.

d2 = 6,52 + 7,22

d = 94,09 = 9,7 m h2 = 102 + 7,52

h = 156,25 = 12,5 cm

A = = 37,5 cm2

P = 30 cm

a2 = 82 – 42

a = 48 = 6,93 cm – 69 mm a2 = 52 – 0,52

A = = 27,72 cm2 a = 24,75 = 4,97 m – 497 cm

A = = 2,485 m2

d2 = 42 – 22 h2 = 32 + 42

d = 12 = 3,46 m – 346 cm h = 25 = 5 cmP = 4 • 5 = 20 cm

c = r h2 = 82 + 32

ap2 = c2 – ( )2h = 73 = 8,54 mEls costats fan 8,54 m cadascun.

122 = c2 – =

c = = 13,9 cm – 139 mm144 • 4

3

3c2

4c2

4

c2

8 • 6,932

752

1 • 4,972

~

~

~

~

Teorema de Pitàgores • Mesures en polígons47

24.

25.

26.

Calcula la mesura, tot arrodonint-la a mil·límetres, del costat del quadrat la diagonal del qual fa:

a) 12 cm b) 8 m c) 3,2 m d) 10 cm

Calcula el perímetre dels polígons següents, tenint en compte que el costat dels quadrats que formen la qua-drícula fa 1 cm. Quan sigui necessari, arrodoneix la mesura dels costats a mil·límetres.

Primer calcula la mesura x; després calcula el perímetre i l’àrea dels trapezis següents:

a) b) c)

x

x

x

19,2 m

���

d2 = 122 + 122 d2 = 82 + 82 d2 = 3,22 + 3,22 d2 = ( 10)2 + ( 10)2

d = 288 d = 128 d = 20,48 d = 20d = 17 cm d = 11,314 m d = 4,525 m d = 4,5 cm

1. AB = 32 + 12 = 3,2 cmCA = 2 cmBC = 32 + 32 = 4,2 cmP1 = 3,2 + 2 + 4,2 = 9,4 cm

2. DE = 3 cmDF = 42 + 22 = 4,5 cmFE = 12 + 42 = 4,1 cmP2 = 3 + 4,5 + 4,1 = 11,6 cm

3. GH = 2 cm ; GI = JI = 12 + 12 = 1,4 cmHI = 22 + 22 = 2,8 cm ; P3 = 2 + 2 • (1,4) + 2,8 = 7,6 cm

c = 5,4 – 3 = 2,4 mx2 = 42 – 2,42 a = 102 – 82 = 6 cm x = 42 – 2,42 = 3,2 m x = 6 + 8 + 6 = 20 cm b = 30 – 15,6 = 14,4 mP = 3 + 4 + 5,4 + 3,2 = 15,6 m P = 20 + 10 + 8 + 10 = 48 cm x2 = 19,22 + 14,42

A = • 3,2 = 13,44 m2 A = • 8 = 112 cm2 x = 576 = 24 m

P = 24 + 15,6 + 19,2 + 30 = 88,8 m

A = • 19,2 = 437,76 m2

B

CA

G

J

I

c

H

F

D E

5,4 + 32

20 + 82

30 + 15,62

a a

b

48

27.

28.

Calcula la distància entre els punts A i B de les figures següents, i arrodoneix a centímetres. Tingues en comp-te la característica donada de cada figura.

a) Els angles a i c són rectes.

b) Els angles^b i c són rectes.

c)––AB és el costat d’un triangle equilàter.

Amb les dades de la figura, calcula el perímetre i l’àrea de la figura ombrejada en cada cas. Arrodoneix sem-pre que et sembli necessari per fer els càlculs, i considera π = 3,14.

a) b) c)

A

A

A

C

C

B

B

C

D

B

c2 = 182 – 14,42 ; c = 116,64 = 10,8 mBC = 10,8 + 8 = 18,8 mAB2 = 18,82 + 14,42

AB = 560,8 = 23,68 m

AC2 = 802 + 602

AC = 10 000 = 100 mAB2 = 1002 – 402

AB = 8 400 = 91,65 m

AB = 2 • Cc = 52 – 2,52 = 4,33 mAB = 2 • 4,33 = 8,66 m

a = 62 + 62 = 8,5 m a = 62 + 4,52 = 7,5 mA quadrat = 8,52 = 72,25 m2 a = 32 + 32 = 4,24 A ombr. = 7,5 • 4 = 30 m2

A cercle = π • 62 = 113,04 m2 A arc int. = – = 2,57 m2 P ombr. = 7,5 • 2 + 4 • 2 = 23 mA ombr. = 113,04 – 72,25 = 40,79 m2 A ombr. = – 2,57 = 4,49 m2

P ombr. = 2π • 6 = 37,68 mP ombr. = = 6,66 m

π • 32

4π • 2,122

2

2π • 2,122

3 • 32

c

c

aa

a

Teorema de Pitàgores • Problemes49

29.

30.

31.

Calcula la superfície d’aquesta parcel·la a partir de les mesures preses. Arrodoneix a centímetres les mesuresque vagis calculant.

AB� = 110 m

AO� = 100 m

OM� = 20 m

ON� = 40 m

OC� = 100 m

Calcula l’àrea d’un triangle rectangle isòsceles la hipotenusa del qual fa 18 cm. No pensis que hi manca capdada, només és qüestió que rumiïs, que dibuixis...

Una escala està recolzada en una paret. El peu de l’escala és a 1,5 mde la paret i l’escala assoleix una altura de 2,6 m.

a) Quina és la longitud de l’escala?

b) Quina altura pot assolir l’escala si s’acosta el seu peu a 70 cm de laparet?

c) A quina distància s’ha de posar el peu de l’escala perquè, al recol-zar-la sobre la paret, pugui aconseguir una altura de 2,30 m?

N

A

B

M

O

C

��

CN2 = 1002 – 402 CA = CN + NA = 183,3 m

CN = NA = 8 400 = 91,65 m CB = CM + MB = 139,2 m

OB2 = 1102 – 1002

OB = 2 100 = 45,83 m

CM2 = 1002 – 202

CM = 9 600 = 97,98 m

MB2 = 45,832 – 202

MB = 1 700,39 = 41,24 m

ST = SCOA + SCOB + SAOB = = 7 349,5 m2

En un triangle isòsceles hi ha dos costats iguals i un desigual, que en aquest cas és la hipotenusa. Així:

( 18)2 = c2 + c2 c = 9 = 3 cm

18 = 2c2 S = = 4,5 cm2

c2 = = 9

a) Longitud = 1,52 + 2,62 = 9,01 = 3 m

b) Altura = 32 – 0,72 = 9 – 0,49 = 2,92 m

c) Distància = 32 – 2,32 = 3,71 = 1,93 m

182

3 • 32

183,3 • 40 + 139,2 • 20 + 100 • 45,832

c

c

18

50

32. Per subjectar un pal de 2,5 m d’alt, es col·loquen tres cordes que van del vèrtex superior del pal a terra, a 80 cm de la base del pal. Quina és la longitud de cada corda?

33. Observa en el dibuix les dimensions d’una capsa de cartró. S’hi pot ficar una vareta de 60 cm de longitud?

34. Un nen ha deixat anar els 20 m de corda que té el seu estel. Si en aquell moment l’estel caigués verticalmenta terra, cauria a 8 m d’on és el nen que subjecta l’estel. Quina altura ha atès l’estel?

35. Observa el llançament de la bola d’un jugador de petanca. A quina distància de la bitlla ha deixat la seva bola?

36. Observa el croquis. Es vol construir una nova carretera que uneixien línia recta Mieres amb Santa Pau i que sigui perpendicular a laque ara uneix el Sallent amb Santa Pau. Quants quilòmetres s’estal-viaran amb la nova carretera els veïns d’ambdós pobles per anard’un poble a l’altre?

12 m

12,1 m

90°

Mieres

El Sallent

Santa Pau

L corda = 0,82 + 2,52 = 6,89 = 2,62 m

a = 452 + 202 = 49,24 cm

b = 49,242 + 352 = 60,41 cm

Per tant, sí que hi cap.

Altura = 202 – 82 = 18,33 m

Distància = 12,12 – 122 = 1,55 m

c = 12,52 – 7,52 = 10 km

12,5 + 7,5 – 10 = 10 km que s’estalviaran.

ba

Fes un repàs51

Semblança4➔ Semblança de figures planes

• Dues figures són semblants si tenen els costats corresponents propor-cionals i els angles corresponents iguals.

Observa que en les figures F i F ’ de l’esquerra es compleix:

= = = = k

a = a ’^b =

^b ’ c = c ’

^d =

^d ’

• Tingues present que, si dues figures són semblants, tenen la mateixaforma però distinta dimensió.

• Els elements que es corresponen en una semblança (punts, costats,angles) s’anomenen elements homòlegs.

• La raó de semblança k és la constant de proporcionalitat entre els cos-tats. La mesura de tots els costats d’una de les figures semblants ésigual a la dels seus homòlegs multiplicats per k.

➔ Teorema de Tales

• Si dues rectes secants són tallades per un conjunt de rectes paral·leles,els segments determinats per les paral·leles en una de les secants sónproporcionals als segments determinats en l’altra secant. Observa en lafigura de l’esquerra que es compleix:

=

• També es compleix que:

= =

➔ Aplicació del teorema de Tales

• Dividir un segment AB– ––

en n parts iguals

—–AA’—–BB’

—–OA’—–OB’

—–OA—–OB

—AB—–A’B’

—–OA—–OA’

—–DA—–D’A’

—–CD—–C’D’

—–BC—–B’C’

—AB—–A’B’

Com dividir un segment de 4 cm en 3 parts iguals

Es dibuixa el segment AB– ––

de 4 cmi una semirecta amb origen en A.

Es marquen en la semirecta 3 seg-ments iguals i consecutius.

S’uneix B amb l’extrem de l’últimextrem i es tracen les paral·leles.

F i F’ són semblants

= =

a = a ’^b =

^b ’ c = c ’

^d =

^d ’

F i F’’ no són semblants

0,81,6

12

1,53

=

i també:

= = 0,82,4

1,54,5

13

23

11,5

A’

A’B’

BA

B

A

O

A’’ B’’

C’’D’’

A B

CD

B’

C’D’

1,5

0,8

3,2

1,5

32

10,8

2,4

3

4,5

1,5

1

3

2

1,6

F

F’

F’’

↔ F i F’ són semblants

52

• Obtenir mesures

El teorema de Tales es pot aplicar al càlcul d’una mesura a partir d’al-tres mesures conegudes.

➔ Triangles en posició de TalesUna conseqüència del teorema de Tales és que tota recta paral·lela aun costat d’un triangle que talla els altres dos costats determina untriangle semblant al primer triangle.

Diem que ambdós triangles es troben en posició de Tales (tenen unvèrtex comú i els costats oposats a aquest vèrtex són paral·lels).

➔ Criteris de semblança de trianglesPer esbrinar si dos triangles són semblants, no és necessari comprovarque tots els costats corresponents siguin proporcionals i tots els anglesiguals. N’hi ha prou d’aplicar un d’aquests criteris:

Quina és la mesura del segment A’B’?

=

= 9A’B’�

2015

AB�A’B’�

OA�OA’�

Quina és l’alçària de l’arbre?

= MN�ON�

AA’�OA�

A’B’––––

= = 6,75 m9 · 15

20 Alçària de l’arbre: = MN–––

= = = 6’4 m8 · 22,5

ON� · AA’�OA–––

Tenen dos angles igualsTenen un angle igual i els costats

que el formen proporcionalsTenen els tres costats

proporcionals

a = a ’^b =

^b ’ c = c ’ = = CB�

C’B’�AC�A’C’� = = CA�

C’A’�BC�

B’C�’AB�A’B’�

ABC i A’B’C són semblants, ja quetenen els tres angles iguals i elscostats homòlegs proporcionals.

= = AC�A’C�

BC�B’C�

AB�A’B’�

AB

B’

M

N

B

A’A

A A A

C

CC

B

BB

A’

C’

A’ A’

C’C’B’ B’ B’

C

B’

A’

AO

A’O

Fes un repàs53

➔ Polígons semblants

• Mètode de Tales per a la construcció de polígons semblants

• Relació entre els perímetres i les àrees de polígons semblants

Si F i F’ són figures semblants de raó r, la raó del perímetre també és r.

Si F i F’ són figures semblants de raó r, la raó de les àrees és r2.

➔ Escales

L’escala d’un dibuix indica la raó de semblança entre les mesures deldibuix i les reals.

• Escala numèrica: l’escala s’expressa mitjançant el quocient indicat 1: b.Significa que 1 unitat en el mapa equival a b unitats a la realitat.

• Escala gràfica: l’escala s’expressa amb un segment, tot indicant a quinamesura real equival la seva longitud.

El centre de semblança és un puntinterior al polígon

El centre de semblança és un delsvèrtexs del polígon

El centre de semblança és un puntexterior al polígon

Una escala 1:10000 significa quecada unitat del plànol correspon a10000 unitats a la realitat. Perexemple:

1 cm del plànol ➔ 10000 cm = = 100 m a la realitat.

Significa que 1 cm són 250 m.

F F’

Perímetre 6 cm 12 cm

Àrea 2,6 cm2 10,4 cm2

1 cm 2 cm

FF’

F i F’ són semblants.

La raó de la semblança és r = 2

Perímetre de F’ = 2 · perímetre de F

Àrea de F’ = 4 · àrea de F

A’’

F’’

A’

F’

B’

D’C’E’

BA

F

D

D D’

A’ B’

C’E’

A

CE

B

C

E C’’ D’’E’’

B’’

54

1.

2.

3.

Indica quins dels dibuixos següents poden ser ampliacions o reduccions del dibuix del requadre.

Mesura diversos segments i diversos angles de la figura F i els seus corresponents de les figures F’ i F’’. Anotales mesures obtingudes i contesta:

• Són semblants les figures F i F’?

• Són semblants les figures F i F’’?

Aquestes dues figures són semblants. Calcula la mida dels costats que falten en cada una d’aquestes figures.

No

Sí

r = 1,5

3,8 cm

2,1 cm

1,6 cm

1,05 cm

2,8

cm

1,4

cm

2,1

cm

90º

137º113º

113º

1,9 cm

90º

137º

90º

137º

2,8 cm

4,2 cm

1,5 cm

1 cm

1,2 cm

Semblança • Figures semblants. Raó de semblança55

4.

5.

Dibuixa uns altres dos polígons semblants a cada un dels que ja hi ha dibuixats. L’un amb raó de semblança3 i l’altre amb raó de semblança 0,5.

Acoloreix del mateix color els rectangles que són semblants i indica’n la raó de semblança.

A B C

E D

HF G

rAG = 2rBF = 2

rCH = 3

rED = 3

7,5 cm

4,5 cm

1,5 cm

1,15 cm0,75 cm

4,5 cm 3 cm

2,5 cm

1,5 cm

1,5 cm 1 cm0,5 cm 2,3 cm

1,5 cm

56

6.

7.

8.

En una botiga d’emmarcar han construït 7 marcs rectangulars. Les dimensions d’un d’aquests marcs són de 12 cm de llarg i 8 cm d’alt. Quin dels següents marcs construïts són semblants a aquest? Indica la raó de sem-blança en els casos afirmatius.

a) 14 cm i 10 cm b) 6 cm i 4 cm c) 21 cm i 18 cm

d) 9,6 cm i 6,4 m e) 43,2 cm i 28,8 cm d) 100 cm i 75 cm

Els costats d’un triangle fan 3 cm, 4 cm i 6 cm. Quant faran els costats d’un altre triangle semblant a aquest, sila raó de semblança és 1,5? Dibuixa ambdós triangles.

Dibuixa un rombe semblant al de la figura, amb raó de semblança 2,5.

b) r = 2 d) r = 1,25 e) r = 3,6

D = 3 cmd = 2 cm

D = 7,5 cmd = 5 cm

6 cm

1,8 cm4,5 cm

9 cm

4 cm 3 cm

6 cm 4,5 cm

Semblança • Teorema de Tales57

9.

10.

x

x

Si ratlles les lletres corresponents a les afirmacions falses, en llegir de dalt a baix les lletres que queden senseratllar llegiràs el nom de la ciutat on va néixer Tales.

M Tots els triangles equilàters són semblants.

E Per tal que un polígon sigui semblant a un altre n’hi ha prou a com-provar que els angles dels dos polígons mesuren el mateix.

I Tots els quadrats són semblants.

S Tots els rectangles són semblants.

L Si dupliquem el costat d’un quadrat, també es duplica la seva diagonal.

E Quan ampliem o reduïm una figura varien les seves dimensions peròno els seus angles.

N Entre dos triangles rectangles sempre hi ha una raó de semblança.

T Entre un segment que mesura 3 cm i un altre que mesura 6 cm hi ha lamateixa raó de semblança que entre un que fa 1 cm i un altre quemesura 2 cm.

A Quan ampliem al doble una fotografia, un angle de 60º passa a fer120º.

Calcula la longitud del segment x de cada figura. Les mesures indicades són en centímetres.

a) b)

c) d)

x

x

Ciutat: _______ _______ _______ _______ _______M I L E T

x = 8 cmx = 11,25 cm

x = 15 cm

x = 16 cm

58

11.

12.

13.

Calcula la longitud dels segments x i y de les figures següents. Les mesures indicades són en metres. Quan cal-gui, arrodoneix els teus resultats a centímetres.

a) b) c)

Una recta r és tallada per 4 rectes paral·leles no perpendiculars a r, tot determinant-hi 3 segments de 5 cm, 8 cm i 12 cm. Si la distància entre les dues rectes paral·leles és de 2 cm, calcula la distància entre les altres rec-tes paral·leles.

Divideix un segment de 7 cm en 4 parts iguals. 14. Divideix un segment de 5 cm en 3 parts iguals.

6

x x

x

y

yy

= =

= = = ➔ x = 2,34 m = =

= ➔ x = 3,2 m = ➔ y = 1,75 m = ➔ x = 12,6 m

= ➔ y = 4 m = ➔ y = 13,8 m

= =

x = 3,2 cm ; y = 4,8 cm

y12

x8

25

27,6 + y27,6

1812

y3

64,5

25,2 + x25,2

1812

88 – y

6,45

x2,4

64,5

BCB’C

ACA’C

ABA’B’

6,45

3x

BCB’C’

ABA’B’

OAOA’

ACA’C

BCB’C

ABA’B’

O

r2 cm

5 cm8 cm12 cm

x

y

AA

A’

A’

BB

B’

B’C

C

C’

Semblança • Semblança de triangles59

15.

16.

17.

Utilitza el regle i el compàs per representar a cada recta els nombres indicats.

a) b)

c) i

Indica quines de les proporcions següents són certes i quines no ho són, sent paral·leles les rectes r i s.

= =

= =

= =

Justifica en cada cas si els dos triangles descrits són semblants o no.

a) Els costats d’un dels triangles fan 6 cm, 8 cm i 12 cm, i els de l’altre 3 cm, 4 cm i7 cm.

b) Els angles d’un dels triangles fan 30º, 50º i 100º, i l’altre triangle té un angle de 60º.

c) Els dos triangles són isòsceles i el seu angle desigual mesura 40º.

d) Els dos triangles són rectangles isòsceles.

e) Dos costats d’un dels triangles fan 4 cm i 6 cm, i l’angle comprès és de 60º. En l’altre triangle, els costats mesuren 8 cm i 12 cm, i l’angle comprès és de 60º.

f ) Un dels triangles té un angle de 40º i un altre de 60º. L’altre triangle té un angle de60º i un altre de 80º.

OC�CD�

OA�AB�

AB�BD�

OA�OC�

OB�OA�

OC�OD�

OD�BD�

OC�AC�

AB�BD�

OA�AC�

AC�BD�

OA�OB�

163

165

94

23

0

3 4 5 6

1 0 1 2

AB

O

CD

r s

V F

F F

F F

No

No

Sí

Sí

Sí

Sí

60

18.

19.

20.

21.

Indica quines d’aquestes parelles de triangles són semblants i quines no ho són.

Calcula les mesures indicades en cada apartat, tenint present que en tots dos casos es tracta de dos trianglessemblants.

=

Calcula la longitud dels costats del triangle AB’C’ a partir de les dades següents:

AB� = 60 cm

AC� = 88 cm

BC� = 52 cm

CC� ’ = 44 cm

Observa en el dibuix els triangles ABC i MBN, i contesta.

a) Són semblants, els dos triangles?

b) Completa la proporció:

=

c) Què pots dir sobre les altures de dos triangles semblants?

BO�?

BM�BA�

BC�A’B’�

a) b) c) d)

^b = a’ =c = b ’ =

B

CA

A C

B

B’

C’

CPA

M

B

NO

A’ C’

B’ B

CA A’ C’

B’

a) b)

Sí Sí No Sí

53º 27º100º 53º

Sí

=

Que són proporcionals als respectius costats oposats.

BOBP

BMBA

1,53,2

y = 78 cm

x = 30 cm

44 cm88 cm

60 cm 52 cm

=

= ➔ x = 30 cm

=

= ➔ y = 78 cm60 + 30y

6052

AB’B’C

ABBC

60 + x88 + 44

6088

AB’AC’

ABAC

Semblança • Semblança de polígons61

22.

23.

24.

25.

Un dels costats d’un triangle fa 8 cm i l’altura corresponent a aquest costat, 12 cm. Quina deu ser l’àrea d’un trian-gle semblant a l’anterior en els casos següents? Resol cada apartat de dues maneres diferents.

a) La raó de semblança amb el primer és 2,5. b) La raó de semblança amb el primer és 0,25.

El perímetre d’un rectangle és de 15 cm i els costats d’un altre rectangle semblant a aquest mesuren 4 cm i 8 cm respectivament. Esbrina les longituds dels costats del primer rectangle i la seva àrea.

Dos costats homòlegs de dos polígons semblants fan 18 cm i 12 cm respectivament.L’àrea del segon és 150 cm2. Calcula l’àrea del primer.

Amplia el dibuix d’aquest pentàgon tot dibuixant-ne un altre de semblant a aquest amb raó de semblança 2.Utilitza com a centre de semblança el punt A. Empra el regle i el compàs.

A

1) h = 30 cm 1) h = 3 cm

c = 20 cm A = = 300 cm2 c = 2 cm A = = 3 cm2

2) A = = 48 cm2 ; 48 • 2,52 = 300 cm2 2) 48 • 0,252 = 3 cm2

P = (8 + 4) • 2 = 24 cm

a = 4 : 1,6 = 2,5 cm

b = 8 : 1,6 = 5 cm A = 2,5 • 5 = 12,5 cm2

r = = 1,5 Àrea 1r = 1,52 • 150 = 337,5 cm21812

12 • 82

3 • 22

30 • 202

r = = 1,62415

62

26.

27.

28.

Amplia cada polígon tot dibuixant-ne un altre de semblant amb la raó de semblança indicada. Fes servir elpunt A com a centre de semblança.

a) Raó de semblança 2. b) Raó de semblança 3.

Redueix cada polígon dibuixant-ne un altre de semblant amb la raó de semblança indicada. Fes servir el puntA com a centre de semblança.

a) Raó de semblança 0,25. b) Raó de semblança .

Fem un plànol a escala 1:150 d’una habita-ció rectangular de 6 m de llarg per 4,5 md’ample. Quines dimensions tindrà aquestahabitació al plànol?

12

29. En un plànol escala 1:50 una paret fa 4,2 cmde llarg. Quants metres de llarg fa aquestaparet a la realitat?

A

A

A

A

1 cm plànol = 50 cm realsEscala 1 : 150 ➔ 1 cm plànol = 1,50 m reals 4,2 • 50 = 210 cm6 : 1,5 = 4 cm ; 4,5 : 1,5 = 3 210 cm = 2,1 m4 cm x 3 cmEscala 1 : 50 ➔ 1 mm = 0,5 m 40 cm x 30 cm

Semblança • Construcció de polígons. Escales63

30.

31.

32.

Quants quilòmetres de distància hi ha entre dos pobles que en un plànol d’escala 1:50 000 són a les dis-tàncies següents:

a) 8,5 cm b) 25,7 cm c) 50 cm

Observa l’escala del plànol i contesta:

a) Quina longitud fa el carrer de la Llum?

b) En el plànol, hi ha marcats amb una X la casa onviu en Joan i el col·legi on estudia. Quina distànciaha de recórrer en Joan per anar del col·legi a casaseva?

c) Quants metres quadrats ocupen els solars A i B,ombrejats al plànol?

La distància en línia recta entre les capitals de dos països és de 1 200 km. En un mapa, la distància entre aques-tes capitals és de 4 cm. A quina escala s’ha fet el mapa?

Col·legi

c/ Saturn

c/ MartCasad’enJoan

Poliesportiu

A

B

Hospital

c/ Urà

c/ Urà

c/ G

alile

u

c/ N

eptú

c/ L

a Ll

um

c/ La

Llun

a

4,25 km 12,85 km 25 km

Escala 1 : 10 0005,6 cm = 560 m

4,3 cm = 430 m

A = = 60 000 cm2

B = 200 • 250 = 50 000 m2

1 : 300 000

300 • 4002

64

33.

34.

35.

En un mapa apareix l’escala gràfica del requadre.

a) Quants quilòmetres reals representen 14 cmen un mapa que té aquesta escala.

b) Amb quants centímetres es representa, enaquest mapa, una distància real de 200 km?

c) Expressa numèricament l’escala d’aquestmapa.

En un fullet de publicitat de venda de pisos hi surt el següent plànol d’un habitatge. No apareix enlloc l’esca-la, però els llits de matrimoni acostumen a fer 150 cm d’ample.

a) Mesura en el plànol l’ample del llit de matrimoni, i calcula tot seguita quina escala pot estar fet el plànol.

b) Calcula la superfície dels tres dormitoris, sense armaris.

c) De quina mida són les taules dibuixades en els dormitoris?

Calcula l’alçària d’un arbre que projecta unaombra de 4,5 m si un pal d’1,5 m projectauna ombra de 80 cm.

36. Calcula l’altura de l’edifici.

Escala:0 20 km

Dormitori

Dormitori

W.C.

Dormitori

20 cm25 cm1,2 m

15 m

a) 70 km

b) 40 cm

c) 1 : 500 000

1,2 cm plànol = 150 cm

1 : 125

SA = 2,75 • 2,75 = 7,56 m2

SB = 2,75 • 3,37 = 9,27 m2

SC = 2,75 • 2,12 = 5,83 m2

1 m x 0,5 m

= = ; x = 12 m

x = 8,44 m altura = 12 + 1,2 = 13,2 m

x15

0,20,25

x4,5

1,50,8

OA 0,8 m

A’

4,5 m

8,44 m

1,5 m

1 cm = 5 km

1r pis

A

1,7 cm

2,2 cm

2,2 cm

2,7 cm

2,2 cm

BC

x