> >

(1.1)(1.1)

(1.2)(1.2)

> >

TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEHUIXQUILUCAN

Sesión # 5Cálculo Diferencial

Dr. Ildebrando Pérez Reyes"Maple is a trademark of Waterloo Maple Inc.""The computations in this paper were performed by using Maple(TM)."

Con el software MAPLE se pueden resolver y analizar diversos problemas del cálculo de un límite. Esto se puede realizar directamente a través de un comando en MAPLE ó a través de un programa tutorial delmismo MAPLE.

Cálculo de un límite de manera directaEl comando para calcular un límite en el software MAPLE es "limit(función, valor)". Considere la siguiente función: Error, missing operator or `;`

f:=x^2-3*x+1;

usando el comando de limitelimit(f,x=0);

1Otro ejemplo es

> >

(1.6)(1.6)

> >

> >

> >

(2.1)(2.1)

(1.4)(1.4)

(1.7)(1.7)

(2.2)(2.2)

> >

(1.3)(1.3)

> >

(2.3)(2.3)

(2.4)(2.4)

(1.5)(1.5)

g:= 2*tan(1/x);

limit(g,x=Pi/4);

limit(g,x=Pi/4.);6.521854114

Consideremos otro ejemplog2:= (x^4+x^2+1)/(3*x^2+4);

limit(g2,x=0);limit(g2,x=infinity);

14

Cálculo de un límite usando la "Paleta de funciones"La "Paleta de funciones" puede usarse del menú a la "Expresión" a la izquierda. Como ejemplo calculemos el límite de la función cuando x->0

1

1Considere el siguiente ejemplo

0

0

> >

(3.1)(3.1)> >

> >

(1.3)(1.3)

x2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

Cálculo de un límite usando el programa tutorialMAPLE cuenta con una paquetería que permite visualizar las operaciones paso a paso del cálculo de límite de funciones entre otras operaciones.

Por ejemplo, para dar de alta esa paquetería es necesario escribir el siguiente comando "with(Student[Precalculus]);"

with(Student[Precalculus]);

LimitTutor(x^3+3*x^2+x-2,x=0);

> >

> >

(3.4)(3.4)

(3.2)(3.2)

(1.3)(1.3)

(3.3)(3.3)

> >

> >

x0 2 4

y10

20

Para cuestiones más elaboradas sobre el análisis de límites MAPLE tiene una paquetería más completa aún. Para ello debe darse de alta la paquetería como sigue

with(Student[Calculus1]);

LimitTutor(x^3+3*x^2+x-2,x=0);

LimitTutor((x^3+3*x^2+x-2)/(x^3+2*x),x=0);

> >

> >

> >

> >

(3.5)(3.5)

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(3.6)(3.6)

(4.1)(4.1)

> >

LimitTutor((t+2)/(t^2-4),t=2);

limit((t+2)/(t^2-4),t=2);undefined

plot((t+2)/(t^2-4),t=1..3);

t2 3

0

10

20

30

40

Derivadas a pie con diffCalcular derivadas es fácil con MAPLE usando el comando diff(expresión,variable). Por otro lado, para calcular derivadas de orden superior basta con agregar o repetir las variables separadas por comas.

Considérese el siguiente ejemplof2:= x^3;

(4.7)(4.7)

(4.6)(4.6)

> >

(4.5)(4.5)

(4.2)(4.2)

> >

(4.3)(4.3)

(4.4)(4.4)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

> >

diff(f2,x);#1ra derivadadiff(f2,x,x);#2da derivadadiff(f2,x,x,x);#3ra derivadadiff(f2,x,x,x,x);#4ta derivada

60

Considere ahora una función más complicadaf3:= (x+1)^3/x^(3/2);

diff(f3,x);#1ra derivadadiff(f3,x,x);#2da derivadadiff(f3,x,x,x);#3ra derivadadiff(f3,x,x,x,x);#4ta derivada

Un ejemplo aún más complicado esf4:= sqrt( x+sqrt(x+sqrt( x ) ) );

simplify( diff(f4,x) );#1ra derivada

simplify( diff(f4,x,x) );#2da derivada

simplify( diff(f4,x,x,x) );#3ra derivada

> >

(5.1)(5.1)> >

(4.2)(4.2)

(4.9)(4.9)

> >

> >

(4.10)(4.10)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(4.11)(4.11)

simplify( diff(f4,x,x,x,x) );#4ta derivada

Otro ejemplof5:= sin( cos(x) );

diff(f5,x);diff(f5,x,x);

Derivadas paso a pasoPara el cálculo de derivadas paso a paso se introduce ahora la paquetería DiffTutor. Esto se hace como sigue:

with(Student[Calculus1]);

Nótese la gran variedad de paquetes que se pueden usar. En este caso usaremos DiffTutor. Para ello usaremos la función definida anteriormente f2

(4.2)(4.2)

> >

> >

> > (6.1)(6.1)

(4.8)(4.8)

> >

(5.5)(5.5)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

(5.4)(5.4)

(5.2)(5.2)

(5.3)(5.3)

> >

f2;x3

DiffTutor(f2);

y ahora con f3

f3;

DiffTutor(f3);

Teorema del valor medioAntes de comenzar, un repaso del teorema del valor medio. Su significado es:

Sea una función tal que,

es continua en el intervalo cerrado ;es diferenciable en el intervalo abierto .

Entonces, existe un número en el intervalo abierto tal que

Para el cálculo del teorema del valor medio se usa la misma paquetería. Veamoswith(Student[Calculus1]);

> >

> >

> >

(4.2)(4.2)

> >

(6.3)(6.3)

> >

(6.4)(6.4)

(6.5)(6.5)

(4.8)(4.8)

(6.2)(6.2)

> >

> >

(3.4)(3.4)

> >

(1.3)(1.3)

> >

(5.2)(5.2)

> >

(6.6)(6.6)

(6.7)(6.7)

El comando a usar es MeanValueTheorem. Considérese ahora la función y que se va a calcular su valor medio. Entonces:

MeanValueTheorem(x^3 - x, x=0..2, output = points);

Lo cual debería ser fácilmente comprobable aplicando directamente a pie el teorema del valor medio

f6:= x^3-x;

df6_eval_c0:= (eval(f6,x=2) - eval(f6,x=0) )/(2-0);#Esta es la derivada de f6 evaluada en "c"

y además la derivada de f6 es

df6:= diff(f6,x);

Se realiza la sustitución x=c ya que se desea evaluar la derivada en ese punto y además el resultado es 3

df6_eval_c1:= subs(x=c, df6) = 3;

de lo cual resulta obvio que de la ecuacion se obtiene el valor de c. Veamos

solve( df6_eval_c1, c);

El resultado es correcto!!!!

Nótese el efecto que tuvo la opción output = points. Véase que pasa sin esta

MeanValueTheorem(x^3 - x, x=0..2);

> >

(6.8)(6.8)

(4.8)(4.8)

> >

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

> >

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> > (6.9)(6.9)

> >

f x

x1 2

0

1

2

3

4

5

6

On the interval 0, 2 , the Mean Value Theorem is illustrated for the function f x = x3 Kx.

Considérese otro ejemplo

MeanValueTheorem(sin(x), 1..5, output = points);

evalf( MeanValueTheorem(sin(x), 1..5, output = points) );

MeanValueTheorem(sin(x), 1..5);

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> >

> >

f x

x2 3 4 5

0

1

On the interval 1, 5 , the Mean Value Theorem is illustrated for the function f x = sin x .

Obviamente esto también se puede hacer usando un tutor. El comando es el siguiente

MeanValueTheoremTutor(f6,x=0..2);

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

x0 1 2

y

0

1

2

3

4

5

6

Teorema de Rolle

Antes de comenzar, un repaso del teorema de Rolle. Su significado es:

Sea una función tal que,

es continua en el intervalo cerrado ;es diferenciable en el intervalo abierto

y .

Entonces, existe un número en el intervalo abierto tal que

Para el cálculo del teorema de Rolle se usa la misma paquetería. Veamos

with(Student[Calculus1]);

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(7.2)(7.2)

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(7.3)(7.3)

(5.2)(5.2)

Entonces, si se considera la función del problema anterior en el intervalo 0 a 2 se tiene

f6;

RollesTheorem(f6,x=0..1, output = points);evalf( RollesTheorem(f6,x=0..1, output = points) );

RollesTheorem(f6,x=0..1);

> >

(7.4)(7.4)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(3.4)(3.4)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)

> >

> >

f x

x1

0

Illustration of Rolle's Theorem

For the function f x = x3 Kx on the interval 0, 1 , a graph showing f x , the line connecting 0, f 0 and 1, f 1 , tangents parallel to the line connecting 0, f 0 and 1, f 1 .

considérese ahora una función senoidal como sigue

RollesTheorem(sin(x), x=1..5*Pi-1, output = points);evalf( RollesTheorem(sin(x), 1..5*Pi-1, output = points) );

RollesTheorem(sin(x), 1..5*Pi-1);

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.1)(8.1)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

f x

x2 2 2 2 2

0

1

Illustration of Rolle's Theorem

For the function f x = sin x on the interval 1, 5 p K1 , a graph showing f x , the line connecting 1, f 1 and 5 p K1, f 5 p K1 ,

tangents parallel to the line connecting 1, f 1 and 5 p K1, f 5 p K1 .

Soluciones en la hoja de trabajoExiste en MAPLE un comando muy útil para mostrar las soluciones fuera del tutor. El comando esShowSolution y es parte de la paquetería de Calculus1

with(Student[Calculus1]);

f3;

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.3)(8.3)

> >

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

df3:= Diff(f3,x);

ShowSolution(df3);

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(4.2)(4.2)

(5.2)(5.2)> >

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

=x3

(8.5)(8.5)

(8.6)(8.6)

> >

(8.7)(8.7)

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

(8.4)(8.4)

> >

(9.1)(9.1)

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(9.2)(9.2)

> >

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

> >

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

> >

> >

(9.3)(9.3)

Otro caso:

f7:= x*sin(x);

df7:= Diff(f7,x);

ShowSolution(df7);

=

=

=

Máximos y mínimosCálculos de máximos y mínimos pueden complicarse. En este caso MAPLE provee un comando que calcula directamente los valores máximos y mínimos, si es que existen. El comando es el siguiente:ExtremePoints

with(Student[Calculus1]);

ExtremePoints( 3*x^2 - x );evalf(ExtremePoints( 3*x^2 - x ));

CriticalPoints( 3*x^2 - x );

plot( 3*x^2 - x , x=0..0.3, axes=boxed);

> >

(4.2)(4.2)

(9.4)(9.4)

> >

(8.4)(8.4)

> >

(9.5)(9.5)

(4.8)(4.8)

> >

> >

(9.6)(9.6)

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

> >

(5.2)(5.2)

> >

x0

0

Considérese otro caso

f8:= 2*x^3+5*x^2-3;

ExtremePoints( f8 );evalf(ExtremePoints( f8 ));

InflectionPoints( f8 );evalf( InflectionPoints( f8 ) );

plot( f8 , x=-2..0.3, axes=normal);

> >

(10.1)(10.1)

> >

(4.2)(4.2)

> >

> >

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(10.2)(10.2)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

x0

1

SeriesEl cálculo de series es bastante tedioso debido a la gran cantidad de pasos que se deben seguir. Sin embargo, MAPLE cuenta con un comando que resuelve este tipo de ejercicios sin importar el lugar alrededor donde se quiere hacer la serie.

El comando es simplemente series(expresión,variable). Posee varias opciones y entre ellas se cuenta con un tutor. considérese por ejemplo la funcion:

f7;

y que se desea hacer un desarrollo de esta función alrededor de x=0

series(f7,x=0);

series(f7,x=0, 9);

> >

> >

(4.2)(4.2)

(10.4)(10.4)

(10.5)(10.5)

> >

(8.4)(8.4)

> >

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

(10.6)(10.6)

with(Student[Calculus1]);

TaylorApproximation(f7,x=0);0

TaylorApproximation(f7,x=0, order=6);

TaylorApproximation(f7,x=0, output = plot, order=6);

(4.2)(4.2)

> >

(8.4)(8.4)

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

> >

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

f x Taylor polynomial

x0 1

Polinomio de Taylor

At x = 0, for the function f x = x sin x , a graph of f x and the approximating Taylor polynomial(s) of degree(s) 6.

Ahora con el tutor para realizar series se tiene

TaylorApproximationTutor(1-exp(x));

(4.2)(4.2)

> >

(8.4)(8.4)

> >

> >

(4.8)(4.8)

> >

(3.4)(3.4)

(8.2)(8.2)

(1.3)(1.3)

(7.1)(7.1)

(5.2)(5.2)

(10.3)(10.3)

x0 1 2 3 4

y

5