>>> 052 June-July 2010, Vol.37 No.211

logylogyTechnoM

anagem

ent

Ele

ctric

al

Energ

y

Com

pute

r & IT

Pro

duction

Know

ledge

Tra

vel

Book

บทความนี้จะกล่าวถึงการวิเคราะห์การลัดวงจรในระบบไฟฟ้าแบบไม่สมดุล ซึ่งความแตกต่างของการเกิดลัดวงจรแบบสมดุลและไม่สมดุล คือ การ

เกิดการลัดวงจรแบบสมดุล จะเป็นการลัดวงจรแบบสามเฟสพร้อมกัน ส่วนลัดวงจรแบบไม่สมดุลจะเป็นการลัดวงจรระหว่างสายสองเส้น สายสองเส้น

ลัดวงจรแล้วลงดิน หรือสายเส้นเดียวกับดิน เป็นต้น ในระบบไฟฟ้ากำลัง การลัดวงจรที่เกิดขึ้นส่วนใหญ่แล้ว จะเป็นแบบไม่สมดุล

เนื่องจากโอกาสที่จะเกิดการลัดวงจรพร้อมกันทีเดียวสามเฟสเป็นไปได้น้อย ซึ่งการลัดวงจรแบบไม่สมดุลอาจเกิดจากสายตัวนำหนึ่งหรือสองเส้นเกิดขาด โหลดไม่สมดุลก็ได้ สำหรับการลัดวงจรแบบไม่สมดุลแบ่งออกเป็น

ผศ. ธนวัฒน์ ฉลาดสกุล

มหาวิทยาลัยเทคโนโลยีราชมงคลอีสาน วิทยาเขตขอนแก่น

Symmetrical Component สำหรบัแกป้ญัหาไฟฟา้ลดัวงจรแบบไมส่มดลุ

June-July 2010, Vol.37 No.211 053 <<<

logylogyTechnoElectrical

▲ รูปที่ 1 วงจรสมมูลเมื่อเกิดลัดวงจรเฟสเดียวลงดิน

➲ สายเฟสลัดวงจรลงดิน (single line- to - ground faults)

➲ สายเฟส-สายเฟสลัดวงจร (line-to-line faults)

➲ สายเฟส-สายเฟสลัดวงจรลงดิน (double line-to-ground faults)

▲ รูปที่ 2 วงจรสมมูลเมื่อเกิดลัดวงจรระหว่างเฟส

▲ รูปที่ 3 วงจรสมมูลเมื่อเกิดลัดวงจรระหว่างสายเฟสลงดิน

นั่นคือเมื่อเกิดลัดวงจรแบบไม่สมดุล จะทำให้เกิดกระแสไม่สมดุลไหลเข้าระบบ การแก้ปัญหา จะไม่สามารถทำได้เหมือนกับแบบลัดวงจรสมดุล เนื่องจากเวลาเกิดลัดวงจรไม่สมดุลนี้ ค่าขนาดของกระแสแต่ละเฟสจะไม่เท่ากัน และมุมต่างเฟส จะไม่ต่างกัน 120 ํ การแก้ปัญหาทำได้ยากมาก จึงได้มีการใช้หลักการขององค์ประกอบสมมาตร (symmetrical component) ซึ่งคิดขึ้นโดย ซี.แอล.ฟอร์ทีสคู (C.L. Fortescue) เข้ามาช่วยในการแก้ปัญหา โดยการแก้ปัญหาการเกิดลัดวงจรแบบสามเฟส เราใช้วงจรสมมูล 1 เฟส (single phase equivalent circuit) แก้ปัญหาระบบไฟฟ้าได้เลย แต่การลัดวงจรแบบไม่สมดุล เราต้องแก้ปัญหาโดยทำให้แรงดันและกระแสสมดุลก่อน โดยใช้หลักการขององค์ประกอบสมมาตร แล้วค่อยแก้ปัญหาโดยใช้วงจรสมมูล 1 เฟส จึงค่อยแปลงจากองค์ประกอบสมมาตรกลับเป็นระบบเดิม ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ

ดังนั้นในการวิเคราะห์การลัดวงจรแบบไม่สมดุล เราจะต้องมาทำความเข้าใจเกี่ยวกับส่วนประกอบสมมาตรก่อนเป็นลำดับแรก

1. องค์ประกอบสมมาตร (symmetrical components) หลักการขององค์ประกอบสมมาตร คือ แก้ระบบ 3 เฟส ที่ไม่สมดุลให้อยู่ในส่วนประกอบย่อยที่สมดุลประกอบด้วย เน็ตเวิร์คบวก เน็ตเวิร์คลบ และเน็ตเวิร์คศูนย์ จากนั้นใช้วงจรสมมูล 1 เฟส เข้าแก้ปัญหา เมื่อได้คำตอบแล้ว ก็ทำการแปลงค่ากลับไปเป็นคำตอบของระบบที่ต้องการ

โดยเฟสเซอร์ขององค์ประกอบที่สมมาตร ประกอบด้วย

➲ ส่วนประกอบลำดับบวก (posi- tive-sequence components): เป็นส่วนประกอบ 3 เฟส ที่มีขนาดเท่ากันทั้ง 3 เฟส และมีมุมต่างเฟสเท่ากันเท่ากับ 120 ํ มีลำดับเฟส (phase sequence) เหมือนกับเฟสเซอร์เดิม (original phasor)

➲ ส่วนประกอบลำดับลบ (ne-gative - sequence components): เป็นส่วนประกอบ 3 เฟส ที่มีขนาดเท่ากันทั้ง 3 เฟส และมีมุมต่างเฟสเท่ากันเท่ากับ 120 ํ มีลำดับเฟส (phase sequence) ตรงข้ามกับเฟสเซอร์เดิม (original phasor)

▲ รูปที่ 4 แสดงเฟสเซอร์เดิมเทียบกับส่วนประกอบลำดับบวก

ข) ส่วนประกอบลำดับบวก

ก) เฟสเซอร์เดิม

เครื่องกำเนิดไฟฟ้า

เครื่องกำเนิดไฟฟ้า

เครื่องกำเนิดไฟฟ้า

หม้อแปลงไฟฟ้า

หม้อแปลงไฟฟ้า

หม้อแปลงไฟฟ้า

สายส่ง

สายส่ง

สายส่ง

โหลด

ฟอลท์

ฟอลท์

ฟอลท์

โหลด

โหลด

>>> 054 June-July 2010, Vol.37 No.211

logylogyTechno Electrical

▲ กราฟแสดงผลบวกของส่วนประกอบที่สมมาตรทั้งสามของเฟสเซอร์แรงดัน จะได้เฟสเซอร์ของระบบ 3 เฟสที่ไม่สมดุล

➲ ส่วนประกอบลำดับศูนย์ (zero

- sequence components) เป็นส่วนประกอบ 3 เฟส ที่มีขนาดเท่ากันทั้ง 3 เฟส มีมุมต่างเฟสเท่ากันเท่ากับศูนย์ (มีทิศทางไปทางเดียวกัน)

โดยที่แต่ละเฟสเซอร์เดิมที่ไม่สมดุล

จะเป็นผลบวกของส่วนประกอบของตัวมัน ซึ่งสามารถแสดงเฟสเซอร์เดิมในเทอมของส่วนประกอบสมมาตรดังนี้

Va = Va1 + Va2 + Va0

Vb = Vb1 + Vb2 + Vb0 (1) Vc = Vc1 + Vc2 + Vc0

▲ รูปที่ 5 แสดงส่วนประกอบลำดับลบ

▲ รูปที่ 6 แสดงส่วนประกอบลำดับศูนย์

▲ รูปที่ 8 เฟสเซอร์ไดอะแกรมของโอเปอเรเตอร์ a

หลักการขององค์ประกอบสมมาตรนำมาใช้ เป็นประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์ระบบไฟฟ้ากำลัง ในเรื่องการเกิดลัดวงจรแบบไม่สมมาตร

2. โอเปอเรเตอร์ (operator) : เนื่องจากความต่างเฟสของส่วนประกอบสมมาตรของแรงดันและกระแสในระบบไฟฟ้ากำลัง 3 เฟส เพื่อให้ง่ายในการบอกการหมุนของเฟสเซอร์ไปเป็นมุม 120 ํ การคำนวณที่เป็นคอมเพล็กนัมเบอร์ (complex number) ที่มีการบวก ลบ คูณ หาร จะต้องมีการกระทำทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้ง่ายในการคำนวณจึงได้กำหนดตัวโอเปอเรเตอร์ขึ้นมา โดยโอเปอ-เรเตอร์ที่เกี่ยวข้องจะมี 2 ค่า คือ โอเปอเรเตอร์ j และโอเปอเรเตอร์ a

➲ โอเปอเรเตอร์ j: เป็นยูนิตเวค-เตอร์ (unit vector) ที่มีขนาดเท่ากับ 1 มุม 90 ํ

j = 1∠90 ํ = -1 j2 = 1∠180 ํ = -1 j3 = 1∠270 ํ = -1 j4 = 1∠360 ํ = -1

➲ โอเปอเรเตอร์ a: โดยใช้สัญ-ลักษณ์ตัว a เป็นยูนิตเวคเตอร์ (unit vector) ที่มีขนาดเท่ากับ 1 มุม 120 ํ มีทิศทางทวนเข็มนาฬิก

a = 1∠120 ํ = lej2π/3 = -0.5 + j0.866 a2 = 1∠240 ํ = -0.5 – j0.866 a3 = 1∠360 ํ = 1∠0 ํ = 1 a4 = a

June-July 2010, Vol.37 No.211 055 <<<

logylogyTechnoElectrical

3. ส่วนประกอบสมมาตรของเฟสเซอร์ที่ไม่สมมาตร (the symmetrical com-ponents of unsymmetrical phasors) หัวข้อนี้จะอธิบายถึงการพิจารณาวิธีการแก้ปัญหาเฟสเซอร์ที่ ไม่สมมาตรทั้งสามโดยใช้ส่วนประกอบที่สมมาตร โดยเราสามารถลดตัวแปรลงได้ โดยใช้โอเปอเรเตอร์ a มาช่วย ซึ่งจะได้ความสัมพันธ์ของสมการดังนี้

➲ ส่วนประกอบลำดับบวก (posi- tive-sequence components) :

➲ ส่วนประกอบลำดับลบ (nega-

tive – sequence components ):

➲ ส่ วนประกอบลำดั บศู นย์ (zero – sequence components) :

แทนค่าสมการในรูปที่ 9, 10 และ 11

ลงในสมการ 1 จะได้ Va = Va1 + Va2 + Va0

Vb = a2Va1 + aVa2 + Va0 (2) Vc = aVa1 + a2Va2 + Va0

เขียนสมการใหม่ได้เป็น

Va = Va0 + Va1 + Va2

Vb = Va0 + a2Va1 + aVa2 (3) Vc = Va0 + aVa1 + a2Va2

เขียนอยู่ในรูปเมทริกจะได้ Va 1 1 1 Va0

Vb = 1 a2 a Va1 (4)

Vc 1 a a2 Va2

ในการคำนวณเกี่ยวกับระบบไฟฟ้า

กำลัง 3 เฟสที่ไม่สมดุล ปกติค่าที่รู้ค่า คือ Va,Vb, Vc (original phasors) ส่วนค่าที่ต้องคำนวณ คือ Va0, Va1, Va2 (symmetrical component) จากสมการ 4 กำหนดให้

Y = AX (5) สามารถหาเมทริก X (Va0, Va1, Va2)

โดยคูณสมการ 5 ด้วย A-1 จะได้ A-1Y = A-1AX สลับข้างสมการเป็น A-1AX = A-1Y (6) UX = A-1Y

X = A-1Y (7)จากสมการ 4 1 1 1 V = 1 a2 a (8)

1 a a2

▲ รูปที่ 10 เฟสเซอร์ลำดับลบ

▲ รูปที่ 11 เฟสเซอร์ลำดับศูนย์

▲ รูปที่ 9 เฟสเซอร์ลำดับบวก

Vc1 = aVa1 Vb1 = a2Va1

Vb0 = Va0 Vc0 = Va0

Vb2 = aVa2 VC2 = a2Va2

อินเวิร์สเมทริก A

1 1 1 1

V-1 = ⎯ 1 a2 a (9)

3

1 a a2 ดังนั้นจากสมการ 4 จะได้ค่าส่วน

ประกอบสมมาตร (symmetrical component) คือ

Va0 1

1 1 1 Va

Va1 = ⎯ 1 a a2 Vb (10)

Va2 3

1 a2 a Vc

จากสมการ 10 เขียนเป็นสมการ

ทั่วไปได้เป็น Va0 = ⎯ (Va + Vb + Vc) Va1 = ⎯ (Va + aVb + a2Vc) (11) Va2 = ⎯ (Va + a2Vb + aVc)

1 3 1

3 1 3

logylogyTechno Electrical

ทำนองเดียวกันค่าของกระแส จะมีค่าเท่ากับ Ia

1 1 1 Ia0

Ib = 1 a2 a Ia1 (12) Ic

1 a a2 Ia2

และ Ia0

1 1 1 1 Ia

Ia1 = ⎯ 1 a a2 Ib (13) Ia2

3 1 a2 a Ic

เขียนเป็นสมการทั่ว ๆ ไปได้เป็น Ia0 = ⎯ (Ia + Ib + Ic)

Ia1 = ⎯ (Ia + aIb + a2Ic) (14)

Ia2 = ⎯ (Ia + a2Ib + aIc) ในระบบไฟฟ้ากำลัง 3 เฟสนั้น ค่ากระแสในสายนิวทรัลจะมีค่าเท่ากับผลบวกของกระแส

ที่ไหลในสายเฟสทั้ง 3 เส้น IN = Ia + Ib + Ic (15) แทนค่าสมการ 15 ลงใน Ia0 ของสมการ 14 จะได้ IN = 3Ia0 (16) จากสมการที่ 16 สรุปได้ว่า ถ้าในระบบ 3 เฟส ที่ไม่มีกระแสไหลผ่านนิวทรัลลงดิน ค่า IN

จะมีค่าเป็นศูนย์ และในกระแสเฟส จะไม่มีค่าส่วนประกอบลำดับศูนย์ (zero-sequence component) ดังนั้นถ้าโหลดต่อเป็นแบบเดลต้า (∆ - connection) จะไม่มีกระแสของส่วนประกอบลำดับศูนย์ (Iao) ซึ่งเพิ่มความเข้าใจได้จากตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างที่ 1 จากรูปโหลด 3 เฟส ต่อแบบเดลต้า (∆ - connection) ถ้าสายตัวนำของเฟส C ขาด โดยมีกระแสในเฟส a และ b เท่ากับ 8 แอมป์ โดยให้กระแสในเฟส a เป็นกระแสอ้างอิง จงหาค่าส่วนประกอบลำดับศูนย์ของกระแส

วิธีทำ จาก Ia0

1 1 1 1 Ia

Ia1 = ⎯ 1 a a2 Ib Ia2

3 1 a2 a Ic

>>> 056 June-July 2010, Vol.37 No.211

1 3

1 3

1 3

▲ รูปที่ 12 วงจรโหลดเดลต้า 3 เฟส

logylogyTechnoElectrical

จะได้ Ia0 = ⎯ (Ia + Ib + Ic) = ⎯ (8∠0 ํ + 8∠180 ํ + 0) = 0 A Ia1 = ⎯ (Ia + aIb + a2Ic) = ⎯ (8∠0 ํ + 8∠180 ํ + 120 ํ) + 0) = 4 - j2.31 = 4.62∠-30 ํ A Ia2 = ⎯ (Ia + a2Ib + aIc) = ⎯ (8∠0 ํ + 8∠(180 ํ + 240 ํ) + 0) = 4 - j2.31 = 4.62∠30 ํ A

Ic1 = ala1 = 4.62∠(-30 ํ + 120 ํ) = 4.62∠90 ํ A Ic1 = a2la1 = 4.62∠(-30 ํ + 240 ํ) = 4.62∠210 ํ = 4.62∠150 ํ A Ib2 = ala2 = 4.62∠(30 ํ + 120 ํ) = 4.62∠150 ํ A Ic2 = a2la2 = 4.62∠(30 ํ + 240 ํ) = 4.62∠270 ํ = 4.62∠-90 ํ A Ib0 = Ia0 = Ic0 = 0 A จากตัวอย่างนี้จะเห็นว่า แม้ว่าสายเฟส C จะขาด แต่เราก็สามารถหาค่ากระแส Ic1, Ic2

ได้ แต่ผลรวมของ Ic1, Ic2, Ic0 จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งก็คือไม่มีกระแสไหลในเฟส C นั่นเอง สรุป จากที่กล่าวมา จะเป็นพื้นฐานเบื้องต้นในการคำนวณการลัดวงจรใน

ระบบไฟฟ้าแบบไม่สมดุล ซึ่งจำเป็นอย่างยิ่งที่ผู้ที่เกี่ยวข้องไม่ว่าผู้ที่กำลังศึกษาอยู่หรือวิศวกรที่เกี่ยวข้อง จะต้องทำความเข้าใจให้ถ่องแท้ เพื่อใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็ว ซึ่งถ้าจะสามารถทำการคำนวณการลัดวงจร ของระบบไฟฟ้าได้ คงต้องมีประมาณ 2-3 ตอนค่อยจบได้ แล้วค่อยพบกันในฉบับหน้านะครับ

เอกสารอ้างอิง

1. การวิเคราะห์ระบบไฟฟ้ากำลัง, ธนวัฒน์ ฉลาดสกุล

2. การวิเคราะห์ระบบไฟฟ้ากำลัง, ดร.ชำนาญ ห่อเกียรติ

3. William D. Stevenson,Jr. 1982. Elements of

Power System Analysis. McGraw-Hill Book Company,

Inc.,Singapore.

June-July 2010, Vol.37 No.211 057 <<<

1 3

1 3

1 3 1 3

1 3 1

3

▲ รูปที่ 13 เฟสเซอร์ของกระแสลำดับบวกและลบ

(ก) ส่วนประกอบลำดับบวกของกระแส (ข) ส่วนประกอบลำดับลบของกระแส