swiss part2
DESCRIPTION
ยTRANSCRIPT
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Actuarial Science with2. life insurance & mortality tables
Arthur Charpentier
joint work with Christophe Dutang & Vincent Gouletand Rob Hyndmanโs demography package
Meielisalp 2012 Conference, June
6th R/Rmetrics Meielisalp Workshop & Summer Schoolon Computational Finance and Financial Engineering
1
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Some (standard) references
Pitacco, E., Denuit, M., Haberman, S.
& Olivieri, A. (2008) Modeling Longevity
Dynamics for Pensions and Annuity Business
Oxford University Press
Schoen, R. (2007)
Dynamic Population Models
Springer Verlag
2
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
A possible motivation ?
3
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Lexis diagram, age and time
From Lexis (1880), idea of visualizing lifetime, age x, time t and year of birth y
4
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Lexis diagram, age and time
Idea : Life tables Lx should depend on time, Lx,t.
Let Dx,t denote the number of deaths of people aged x, during year t, data frameDEATH and let Ex,t denote the exposure, of age x, during year t, data frameEXPOSURE, from http://www.mortality.org/
5
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Lexis diagram, age and time
Remark : be carefull of age 110+
> DEATH$Age=as.numeric(as.character(DEATH$Age))> DEATH$Age[is.na(DEATH$Age)]=110> EXPOSURE$Age=as.numeric(as.character(EXPOSURE$Age))> EXPOSURE$Age[is.na(EXPOSURE$Age)]=110
Consider force of mortality function
ยตx,t =Dx,t
Ex,t
> MU=DEATH[,3:5]/EXPOSURE[,3:5]> MUT=matrix(MU[,3],length(AGE),length(ANNEE))> persp(AGE[1:100],ANNEE,log(MUT[1:100,]),+ theta=-30,col="light green",shade=TRUE)
6
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
7
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Tables, per year t and Survival lifetimes
Let us study deaths occurred in year=1900 or 2000, x 7โ logยตx,t when t = 1900 or2000.
> D=DEATH[DEATH$Year==year,]; E=EXPOSURE[EXPOSURE$Year==year,]> MU = D[,3:5]/E[,3:5]> plot(0:110,log(MU[,1]),type="l",col="red"); lines(0:110,log(MU[,2]),col="blue")
Evolution of x 7โ Lx,t = exp
(โโซ x
0
ยตh,tdh
)when t = 1900 or 2000,
> PH=PF=matrix(NA,111,111)> for(x in 0:110){+ PH[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,2]))+ PF[x+1,1:(111-x)]=exp(-cumsum(MU[(x+1):111,1]))}> x=0; plot(1:111,PH[x+1,],ylim=c(0,1),type="l",col="blue")> lines(1:111,PF[x+1,],col="red")
8
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Tables, per year t and Survival lifetimes
0 20 40 60 80 100
โ10
โ8
โ6
โ4
โ2
0Mortality rate 1900
Age
Dea
th r
ate
(log)
FemaleMale
0 20 40 60 80 100
โ10
โ8
โ6
โ4
โ2
0
Mortality rate 2000
Age
Dea
th r
ate
(log)
FemaleMale
9
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Tables, per year t and Survival lifetimes
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Survival probability in 1900
Age
Sur
viva
l pro
babi
lity
at a
ge 0
in 1
900
FemaleMale
0 20 40 60 80 100
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Survival probability in 2000
Age
Sur
viva
l pro
babi
lity
at a
ge 0
in 2
000
FemaleMale
10
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Survival lifetimes and rectangularizationโ
0 20 40 60 80 100 120
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Male Mortality
Age
Sur
viva
l pro
babi
lity
at b
irth
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
0 20 40 60 80 100 120
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Female Mortality
Age
Sur
viva
l pro
babi
lity
at b
irth
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
11
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Life table and transversality> XV<-unique(Deces$Age); YV<-unique(Deces$Year)> DTF<-t(matrix(Deces[,3],length(XV),length(YV)))> ownames(DTF)=YV;colnames(DTF)=XV> t(DTF)[1:13,1:10]
1899 1900 1901 1902 1903 1904 1905 1906 1907 19080 64039 61635 56421 53321 52573 54947 50720 53734 47255 469971 12119 11293 10293 10616 10251 10514 9340 10262 10104 95172 6983 6091 5853 5734 5673 5494 5028 5232 4477 40943 4329 3953 3748 3654 3382 3283 3294 3262 2912 27214 3220 3063 2936 2710 2500 2360 2381 2505 2213 20785 2284 2149 2172 2020 1932 1770 1788 1782 1789 17516 1834 1836 1761 1651 1664 1433 1448 1517 1428 13287 1475 1534 1493 1420 1353 1228 1259 1250 1204 11088 1353 1358 1255 1229 1251 1169 1132 1134 1083 9619 1175 1225 1154 1008 1089 981 1027 1025 957 88510 1174 1114 1063 984 977 882 955 937 942 81211 1162 1055 1038 1020 945 954 931 936 880 85112 1100 1254 1076 1034 1023 1009 1041 1026 954 90813 1251 1283 1190 1126 1108 1093 1111 1054 1103 940
12
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Life table and transversality
It might be interesting to follow a cohort, per year of birth xโ t,
> Nannee <- max(DEATH$Year)> naissance <- 1950> taille <- Nannee - naissance> Vage <- seq(0,length=taille+1)> Vnaissance <- seq(naissance,length=taille+1)> Cagreg <- DEATH$Year*1000+DEATH$Age> Vagreg <- Vnaissance*1000+Vage> indice <- Cagreg%in%Vagreg> DEATH[indice,]
Year Age Female Male Total5662 1950 0 18943.05 25912.38 44855.435774 1951 1 2078.41 2500.70 4579.115886 1952 2 693.20 810.32 1503.525998 1953 3 375.08 467.12 842.206110 1954 4 287.04 329.09 616.136222 1955 5 205.03 246.07 451.106334 1956 6 170.00 244.00 414.00
13
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Life table and transversality
0 20 40 60 80 100
โ10
โ8
โ6
โ4
โ2
0Mortality rate 1900
Age
Dea
th r
ate
(log)
FemaleMale
FemaleMale
Transversal
Longitudinal
0 20 40 60 80 100
โ10
โ8
โ6
โ4
โ2
0
Mortality rate 1950
Age
Dea
th r
ate
(log)
FemaleMale
FemaleMale
Transversal
Longitudinal
14
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Lee & Carter (1992) model
Assume here (as in the original model)
logยตx,t = ฮฑx + ฮฒx ยท ฮบt + ฮตx,t,
with some i.i.d. noise ฮตx,t. Identification assumptions are usually
xMโx=xm
ฮฒx = 1 andtMโ
t=tm
ฮบt = 0.
Then sets of parameters ฮฑ = (ฮฑx), ฮฒ = (ฮฒx) and ฮบ = (ฮบt), are obtained solving(ฮฑฬx, ฮฒฬx, ฮบt
)= arg min
โx,t
(lnยตxt โ ฮฑx โ ฮฒx ยท kt)2 .
15
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Using demography package
Package demography can be used to fit a Lee-Carter model
> library(forecast)> library(demography)> YEAR=unique(DEATH$Year);nC=length(YEAR)> AGE =unique(DEATH$Age);nL=length(AGE)> MUF =matrix(DEATH$Female/EXPOSURE$Female,nL,nC)> MUH =matrix(DEATH$Male/EXPOSURE$Male,nL,nC)> POPF=matrix(EXPOSURE$Female,nL,nC)> POPH=matrix(EXPOSURE$Male,nL,nC)
Then wo use the demogdata format
> BASEH <- demogdata(data=MUH, pop=POPH, ages=AGE, years=YEAR, type="mortality",+ label="France", name="Hommes", lambda=1)> BASEF <- demogdata(data=MUF, pop=POPF,ages=AGE, years=YEAR, type="mortality",+ label="France", name="Femmes", lambda=1)
16
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Estimation of ฮฑ = (ฮฑx) and ฮฒ = (ฮฒx)
The code is simply LCH <- lca(BASEH)
> plot(LCH$age,LCH$ax,col="blue"); plot(LCH$age,LCH$bx,col="blue")
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
0 20 40 60 80 100
โ7
โ6
โ5
โ4
โ3
โ2
โ1
LCH$age
LCH
$ax
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
0 20 40 60 80 100
0.00
50.
010
0.01
50.
020
0.02
5
LCH$age
LCH
$bx
17
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Estimation and projection of ฮบ = (ฮบt)โs
Use library(forcast) to predict future ฮบtโs, e.g. using exponential smoothing
> library(forecast)> Y <- LCH$kt> (ETS <- ets(Y))ETS(A,N,N)
Call:ets(y = Y)
Smoothing parameters:alpha = 0.8923
Initial states:l = 71.5007
sigma: 12.3592
AIC AICc BIC
18
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
1042.074 1042.190 1047.420
> plot(forecast(ETS,h=100))
But as in Lee & Carter original model, it is possible to fit an ARMA(1,1) model,on the differentiate series (โฮบt)
โฮบt = ฯโฮบtโ1 + ฮด + ut โ ฮธutโ1
It is also possible to consider a linear tendency
ฮบt = ฮฑ+ ฮฒt+ ฯฮบtโ1 + ut โ ฮธutโ1.
> (ARIMA <- auto.arima(Y,allowdrift=TRUE))Series: YARIMA(0,1,0) with drift
Call: auto.arima(x = Y, allowdrift = TRUE)
Coefficients:
19
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
drift-1.9346
s.e. 1.1972
sigma^2 estimated as 151.9: log likelihood = -416.64AIC = 837.29 AICc = 837.41 BIC = 842.62
> plot(forecast(ARIMA,h=100))
20
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Projection of ฮบฬtโs
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
Forecasts from ETS(A,N,N)
1900 1950 2000 2050 2100
โ50
0โ
400
โ30
0โ
200
โ10
00
100
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
Forecasts from ARIMA(0,1,0) with drift
1900 1950 2000 2050 2100
โ50
0โ
400
โ30
0โ
200
โ10
00
100
21
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Shouldnโt we start modeling after 1945 ?
Starting in 1948, LCH0 <- lca(BASEH,years=1948:2005)
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
0 20 40 60 80 100
โ8
โ6
โ4
โ2
LCH$age
LCH
$ax
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
0 20 40 60 80 100
0.00
50.
010
0.01
50.
020
0.02
5
LCH$age
LCH
$bx
22
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Projection of ฮบฬtโs
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
Forecasts from ARIMA(0,1,0) with drift
1900 1950 2000 2050 2100
โ50
0โ
400
โ30
0โ
200
โ10
00
100
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
Forecasts from ARIMA(1,1,0) with drift
1900 1950 2000 2050 2100
โ50
0โ
400
โ30
0โ
200
โ10
00
100
23
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Projection of life expectancy, born in 2005
> LCHT=lifetable(LCHf); plot(0:100,LCHT$ex[,5],type="l",col="red")> LCHTu=lifetable(LCHf,"upper"); lines(0:100,LCHTu$ex[,5],lty=2)> LCHTl=lifetable(LCHf,"lower"); lines(0:100,LCHTl$ex[,5],lty=2)
0 20 40 60 80 100
020
4060
80
Life expectancy in 2005
Age
Res
idua
l exp
ecte
d lif
time
24
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Residuals in Lee & Carter model
Recall thatlogยตx,t = ฮฑx + ฮฒx ยท ฮบt + ฮตx,t
Let ฮตฬx,t denote pseudo-residuals, obtained from estimation
ฮตฬx,t = logยตx,t โ(ฮฑฬx + ฮฒฬx ยท ฮบฬt
).
> RES=residuals(LCH,"pearson")> colr=function(k) rainbow(110)[k*100]> couleur=Vectorize(colr)(seq(.01,1,by=.01))> plot(rep(RES$y,length(RES$x)),(RES$z),col=couleur[rep(RES$x,+ each=length(RES$y))-RES$x[1]+1])> plot(rep(RES$x,each=length(RES$y)),t(RES$z),col=couleur[rep(RES$y,length(RES$x))+1])
25
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Residuals in Lee & Carter model
โโ
โโ
โ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโโโโ
โ
โโ
โโโโโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโโโโโโโ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโ
โโโโโโโ
โ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโโโ
โ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโโโโโ
โโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโโ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโ
โ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโ
โโโโ
โ
โโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโโโ
โโ
โโโโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโ
โ
โโโ
โโ
โโ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโ
โโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โ
0 20 40 60 80 100 120
โ1.
5โ
1.0
โ0.
50.
00.
51.
01.
5
Age
Res
idua
ls (
Pea
rson
)
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
26
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Residuals in Lee & Carter model
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โโโโโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโโ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโ
โโ
โ
โโโโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโ
โโ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โโโโโโโโโ
โโโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโ
โโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโโ
โ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโโ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโโโ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โโโ
โ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โโโโโโโโ
โโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโ
โโโ
โโโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโ
โโโโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโ
โโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโโโ
โโโโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โ
โโโโ
โ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โ
โโโ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โโ
โโโ
โโโโโโโโ
โโโ
โโโโโ
โโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โ
โโ
โ
โโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโโ
โโโโโโโโ
โ
โ
โโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโโโโ
1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020
โ1.
5โ
1.0
โ0.
50.
00.
51.
01.
5
Year
Res
idua
ls (
Pea
rson
)
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
27
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
LifeMetrics Functions
LifeMetrics is based on R functions that can be downloaded from JPMorganโswebsite, that can be uploaded using source("fitModels.r").
Standard functions are based on two matrices etx (for the exposure) and dtx fordeath counts, respectively at dates t and ages x.
Recall that, with discrete notation,
m(x, t) =# deaths during calendar year t aged x last birthday
average population during calendar year t aged x last birthday
Note that not only the Lee-Carter model is implemented, but several models,Lee & Carter (1992), logm(x, t) = ฮฒ
(1)x + ฮฒ
(2)x ฮบ
(2)t ,
Renshaw & Haberman (2006), logm(x, t) = ฮฒ(1)x + ฮฒ
(2)x ฮบ
(2)t + ฮฒ
(3)x ฮณ
(3)tโx,
Currie (2006), logm(x, t) = ฮฒ(1)x + ฮบ
(2)t + ฮณ
(3)tโx,
Cairns, Blake & Dowd (2006), logit(1โ eโm(x,t)) = ฮบ(1)t + (xโ ฮฑ)ฮบ
(2)t ,
Cairns et al. (2007), logit(1โ eโm(x,t)) = ฮบ(1)t + (xโ ฮฑ)ฮบ
(2)t + ฮณ
(3)tโx.
28
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
LifeMetrics Functions
For Lee & Carter model,
> res <- fit701(x, y, etx, dtx, wa)
where wa is a (possible) weight function. Here, assume that wa=1.
Remark : we have to remove very old ages,
> DEATH <- DEATH[DEATH$Age<90,]> EXPOSURE <- EXPOSURE[EXPOSURE$Age<90,]> XV <- unique(DEATH$Age)> YV <- unique(DEATH$Year)> ETF <- t(matrix(EXPOSURE[,3],length(XV),length(YV)))> DTF <- t(matrix(DEATH[,3],length(XV),length(YV)))> ETH <- t(matrix(EXPOSURE[,4],length(XV),length(YV)))> DTH <- t(matrix(DEATH[,4],length(XV),length(YV)))> WA <- matrix(1,length(YV),length(XV))> LCF <- fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETF,dtx=DTF,wa=WA)> LCH <- fit701(xv=XV,yv=YV,etx=ETH,dtx=DTH,wa=WA)
29
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
LifeMetrics Functions
The output is the following, LC$kappa1, LC$beta1, ... LC$ll for the maximumlog-likelihood estimators of different parameters, LC$mtx is an array with crudedeath rates, and LC$mhat with fitted death rates. LC$cy is the vector of cohortyears of birth (corresponding to LC$gamma3).
It it then possible to plot one of the cofficients against either LC$x or LC$y.
> plot(LCF$x,LCF$beta1,type="l",col="red")> lines(LCH$x,LCH$beta1,col="blue",lty=2)> plot(LCF$x,LCF$beta2,type="l",col="red")> lines(LCH$x,LCH$beta2,col="blue",lty=2)
30
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
0 20 40 60 80
โ7
โ6
โ5
โ4
โ3
โ2
Age
LCF
$bet
a1
FemaleMale
0 20 40 60 80
0.00
50.
010
0.01
50.
020
Age
LCF
$bet
a2
FemaleMale
31
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
> plot(LCF$y,LCF$kappa2,type="l",col="red")> lines(LCH$y,LCH$kappa2,col="blue")
1900 1920 1940 1960 1980 2000
โ15
0โ
100
โ50
050
100
Year
LCF
$kap
pa2
32
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Using the gnm package(Much) more generally, it is possible to use the gnm package, to run a regression.Assume here that
Dx,t โผ P(ฮปx,t) where ฮปx,t = Ex,t exp (ฮฑx + ฮฒx ยท ฮบt)
which is a generalized nonlinear regression model.
> library(gnm)> Y=DEATH$Male> E=EXPOSURE$Male> Age= DEATH$Age> Year=DEATH$Year> I=(DEATH$Age<100)> base=data.frame(Y=Y[I],E=E[I],Age=Age[I],Year=Year[I])> REG=gnm(Y~factor(Age)+Mult((factor(Age)),factor(Year)),
data=base,offset=log(E),family=quasipoisson)InitialisingRunning start-up iterations..Running main iterations.......................Done
33
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Using the gnm package
> names(REG$coefficients[c(1:5,85:90)])[1] "(Intercept)" "factor(Age)1" "factor(Age)2" "factor(Age)3"[5] "factor(Age)4" "factor(Age)84" "factor(Age)85" "factor(Age)86"[9] "factor(Age)87" "factor(Age)88" "factor(Age)89"
> names(REG$coefficients[c(91:94,178:180)])[1] "Mult(., factor(Year)).factor(Age)0" "Mult(., factor(Year)).factor(Age)1"[3] "Mult(., factor(Year)).factor(Age)2" "Mult(., factor(Year)).factor(Age)3"[5] "Mult(., factor(Year)).factor(Age)87" "Mult(., factor(Year)).factor(Age)88"[7] "Mult(., factor(Year)).factor(Age)89"> nomvar <- names(REG$coefficients)> nb3 <- substr(nomvar,nchar(nomvar)-3,nchar(nomvar))> nb2 <- substr(nomvar,nchar(nomvar)-1,nchar(nomvar))> nb1 <- substr(nomvar,nchar(nomvar),nchar(nomvar))> nb <- nb3> nb[substr(nb,1,1)=="g"]<- nb1[substr(nb,1,1)=="g"]> nb[substr(nb,1,1)=="e"]<- nb2[substr(nb,1,1)=="e"]> nb <- as.numeric(nb)> I <- which(abs(diff(nb))>1)
34
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
โ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
0 20 40 60 80 100
โ4
โ3
โ2
โ1
01
2
Age
RE
G$c
oeffi
cien
ts[2
:I[1]
]
โ
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโ
โโโโ
โ
โ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโ
โโโโ
โโโ
โโ
โ
0 20 40 60 80 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Age
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[1] +
1):
(I[2
])]
35
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
1900 1920 1940 1960 1980 2000
โ4
โ2
02
46
Annรฉe
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[2] +
1):
leng
th(n
b)]
36
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Using Lee & Carter projections
Using estimators of ฮฑxโs, ฮฒxโs, as well as projection of ฮบtโs, it is possible to obtainprojection of any actuarial quantities, based on projections of ยตx,tโs. E.g.
> A <- LCH$ax; B <- LCH$bx> K1 <- LCH$kt; K2 <- LCH$kt[99]+LCHf$kt.f$mean; K <- c(K1,K2)> MU <- matrix(NA,length(A),length(K))> for(i in 1:length(A)){ for(j in 1:length(K)){+ MU[i,j] <- exp(A[i]+B[i]*K[j]) }}
37
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
It is then possible to extrapolate k 7โ kpxโs
> t=2000> x=40> s=seq(0,99-x-1)
38
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
> MUd=MU[x+1+s,t+s-1898]> (Pxt=cumprod(exp(-diag(MUd))))[1] 0.99838440 0.99663098 0.99469369 0.99248602 0.99030804 0.98782725[7] 0.98417947 0.98017722 0.97575106 0.97098896 0.96576107 0.96006617
[13] 0.95402111 0.94749333 0.94045500 0.93291535 0.92484762 0.91622709[19] 0.90707101 0.89726011 0.88690981 0.87577047 0.86405282 0.85159220[25] 0.83850049 0.82472277 0.81011757 0.79478797 0.77847592 0.76144457[31] 0.74364218 0.72457570 0.70474824 0.68387491 0.66193090 0.63903821[37] 0.61469237 0.58924560 0.56257772 0.53478172 0.50577349 0.47480005[43] 0.44324965 0.41055038 0.37750446 0.34390607 0.30973747 0.27613617[49] 0.24253289 0.21038508 0.17960626 0.14970800 0.12276231 0.09902686[55] 0.07742879 0.05959964 0.04495042 0.03281240 0.02366992
and then we can derive projections of several actuarial (or demography)quantities. E.g. remaining lifetimes
> x=40> E=rep(NA,150)> for(t in 1900:2040){+ s=seq(0,90-x-1)+ MUd=MU[x+1+s,t+s-1898]
39
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
+ Pxt=cumprod(exp(-diag(MUd)))+ ext=sum(Pxt)+ E[t-1899]=ext}> plot(1900:2049,E)
or expected present value of deferred whole life annuities, purchased at age 40,deferred of 30 years
> r=.035: m=70> VV=rep(NA,141)> for(t in 1900:2040){+ s=seq(0,90-x-1)+ MUd=MU[x+1+s,t+s-1898]+ Pxt=cumprod(exp(-diag(MUd)))+ h=seq(0,30)+ V=1/(1+r)^(m-x+h)*Pxt[m-x+h]+ VV[t-1899]=sum(V,na.rm=TRUE)}> plot(1900:2040,VV)
40
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
1900 1950 2000 2050
3035
40
Residual life expectancy
Year
Res
idua
l life
exp
ecta
ncy,
at a
ge 4
0
1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
Whole life insurance annuity
Year
41
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Mortality rates as functional time series
It is possible to consider functional time series using rainbow package
> library(rainbow)> rownames(MUH)=AGE> colnames(MUH)=YEAR> rownames(MUF)=AGE> colnames(MUF)=YEAR> MUH=MUH[1:90,]> MUF=MUF[1:90,]> MUHF=fts(x = AGE[1:90], y = log(MUH), xname = "Age",yname = "Log Mortality Rate")> MUFF=fts(x = AGE[1:90], y = log(MUF), xname = "Age",yname = "Log Mortality Rate")> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "functional", type = "bag")
Using principal components, it is possible to detect outliers
> fboxplot(data = MUHF, plot.type = "bivariate", type = "bag")
42
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
0 20 40 60 80
โ8
โ6
โ4
โ2
Age
Log
Mor
talit
y R
ate
19141915191619171918
19191940194319441945
โ5 0 5 10 15
01
23
4PC score 1
PC
sco
re 2
โโ
โ
โโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโโ โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โโโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โโ
โโ
โโโโ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโ
โโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
19141915
1916
1917
1918
1919
1940
1943
1944
1945
43
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
Cohort effect and Lee & Carter model
A natural idea is to include (on top of the age x and the year t) a cohort factor,based on the year of birth, tโ x
logยตx,t = ฮฑx + ฮฒx ยท ฮบt + ฮณx ยท ฮดtโx + ฮทx,t,
as in Renshaw & Haberman (2006).
Using gnm function, it is possible to estimate that model, assuming again that alog-Poisson model for death counts is valid,
> D=as.vector(BASEB)> E=as.vector(BASEC)> A=rep(AGE,each=length(ANNEE))> Y=rep(ANNEE,length(AGE))> C=Y-A> base=data.frame(D,E,A,Y,C,a=as.factor(A),+ y=as.factor(Y),c=as.factor(C))> LCC=gnm(D~a+Mult(a,y)+Mult(a,c),offset=log(E), family=poisson,data=base)
44
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
โ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โโโโโโ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโโ
โโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโ
โ
โ
0 20 40 60 80 100
โ1.
0โ
0.8
โ0.
6โ
0.4
โ0.
20.
0
Age
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[1] +
1):
(I[2
])]
โโโโ
โโโโโโโ
โโโโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โโโโโโโ
โโโโโ
โโโโ
โโโโ
โ
โโ
โ
โ
โ
โโโโ
โโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโโโโ
โโโโ
โโโโ
โโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโโ
โโ
โโ
1900 1920 1940 1960 1980 2000
โ4
โ2
02
Year
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[2] +
1):
(I[3
])]
45
Arthur CHARPENTIER, Life insurance, and actuarial models, with R
โ
โโ
โ
โ
โ
โโ
โโโโโโ
โโ
โ
โ
โ
โโโโโโโโ
โโโ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
โ
โโ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโ
โโโโโ
โโโโโโโ
โ
โโ
โ
โโ
โโ
โ
โ
โ
โ
โ
0 20 40 60 80 100
โ1.
0โ
0.5
0.0
0.5
Age
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[3] +
1):
(I[4
])]
โโ
โ
โ
โโโโโโ
โโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโ
โโโโโ
โ
โโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโ
โโโโโโโโโโโโโโโโ
โโโ
โโโโโโโโโโโ
1800 1850 1900 1950 2000
โ4
โ2
02
Year (cohort)
RE
G$c
oeffi
cien
ts[(
I[4] +
1):
leng
th(n
b)]
46