sviluppo piani ammortamento

Analisi Funzionale

Sviluppo Piani di Ammortamento

0 P I A N I D ' A M M O R T A M E N T O

Dati iniziali DATI PRESTITO

Ammontare del prestito: 20.000.000

Tasso di interesse annuale: 11,00% Durata in anni: 4 Pagamenti per anno: 6 Primo pagamento: 01/01/94

PAGAMENTO PERIODICO L. 1.037.563

Tabella Data del Bilancio Bilancio Interesse No. pagamento iniziale Interesse Capitale finale composto 1 01/01/94 20.000.000,00 366.666,67 670.896,43 19.329.103,57 366.666,67 2 01/03/94 19.329.103,57 354.366,90 683.196,19 18.645.907,38 721.033,57 3 01/05/94 18.645.907,38 341.841,64 695.721,46 17.950.185,92 1.062.875,20 4 01/07/94 17.950.185,92 329.086,74 708.476,35 17.241.709,57 1.391.961,94 5 01/09/94 17.241.709,57 316.098,01 721.465,08 16.520.244,49 1.708.059,95 6 01/11/94 16.520.244,49 302.871,15 734.691,94 15.785.552,54 2.010.931,10 7 01/01/95 15.785.552,54 289.401,80 748.161,30 15.037.391,25 2.300.332,90 8 01/03/95 15.037.391,25 275.685,51 761.877,59 14.275.513,66 2.576.018,40 9 01/05/95 14.275.513,66 261.717,75 775.845,34 13.499.668,32 2.837.736,15 10 01/07/95 13.499.668,32 247.493,92 790.069,17 12.709.599,14 3.085.230,07 11 01/09/95 12.709.599,14 233.009,32 804.553,78 11.905.045,37 3.318.239,39 12 01/11/95 11.905.045,37 218.259,17 819.303,93 11.085.741,44 3.536.498,56 13 01/01/96 11.085.741,44 203.238,59 834.324,50 10.251.416,94 3.739.737,15 14 01/03/96 10.251.416,94 187.942,64 849.620,45 9.401.796,49 3.927.679,79 15 01/05/96 9.401.796,49 172.366,27 865.196,82 8.536.599,67 4.100.046,06 16 01/07/96 8.536.599,67 156.504,33 881.058,77 7.655.540,90 4.256.550,39 17 01/09/96 7.655.540,90 140.351,58 897.211,51 6.758.329,39 4.396.901,97 18 01/11/96 6.758.329,39 123.902,71 913.660,39 5.844.669,00 4.520.804,68 19 01/01/97 5.844.669,00 107.152,27 930.410,83 4.914.258,18 4.627.956,94 20 01/03/97 4.914.258,18 90.094,73 947.468,36 3.966.789,82 4.718.051,68 21 01/05/97 3.966.789,82 72.724,48 964.838,61 3.001.951,20 4.790.776,16 22 01/07/97 3.001.951,20 55.035,77 982.527,32 2.019.423,88 4.845.811,93 23 01/09/97 2.019.423,88 37.022,77 1.000.540,32 1.018.883,56 4.882.834,70 24 01/11/97 1.018.883,56 18.679,53 1.018.883,56 0,00 4.901.514,23 -- Esempio di un piano di ammortamento alla francese con rata costante

0.1. IL RIMBORSO GRADUALE IN GENERALE

Si parla di ammortamento o rimborso graduale quando il debitore periodicamente restituisce al creditore, oltre al capitale, gli interessi del prestito. La rata di ammortamento ha come principali componenti: a) la quota interessi, che serve a pagare l'interesse (per quel periodo) sul debito; b) la quota capitale (quota di ammortamento), che serve a rimborsare una parte del debito. Pagando periodicamente una quota capitale, il debito si riduce gradualmente e dopo il pagamento di ciascuna quota capitale si può fare distinzione fra debito residuo, che è la parte di debito che deve ancora essere rimborsata, e debito estinto, che è la parte di debito già rimborsata. Per la determinazione di un piano di ammortamento sono necessarie delle informazioni iniziali quali • L' ammontare del prestito Costituisce l'importo complessivo del prestito, che il mutuatario (cliente debitore) richiede al mutuante (banca

creditrice). • Il tasso d'interesse lordo annuale Da esso si ricaveranno i tassi periodali in base alla periodicità; in alcuni casi sarà opportuno specificare il tipo di

tasso da applicare, nominale oppure equivalente (vedi descrizione tecnica dei piani d'ammortamento), per una corretta determinazione del tasso, quindi degli interessi, nel periodo di decorrenza della rata.

• La durata del prestito Espressa in anni, mesi, oppure giorni per piani non multipli di mesi. • La periodicità È il numero di pagamenti da effettuare in un anno. • La data scadenza della prima rata È la data da cui inizia lo sviluppo del piano d'ammortamento. Per la maggioranza dei tipi di ammortamento le suddette informazioni sono sufficienti. Nella presente esposizione saranno considerati diversi tipi di piani d'ammortamento e conseguentemente le relative informazioni per lo sviluppo.

0.1.1. Tipi di piani

�� FRANCESE Le rate, comprensive ciascuna di quota capitale e quota interesse, sono costanti. La quota interessi è decrescente,

mentre la quota capitale cresce. I seguenti piani d'ammortamento vengono sviluppati con piani alla francese, ma presentato modalità diverse di rimborso o di determinazione del numero di rate.

�� FRANCESE INTERESSI ANTICIPATI Le rate, comprensive ciascuna di quota capitale e quota interesse, sono decrescenti. La quota capitale e la quota interessi della prima rata sono determinate nello stesso modo del piano francese. La quota interessi della sola prima rata viene anticipata dal cliente al momento dell'erogazione.

�� PERSONALIZZATO

Il debitore è disposto a rimborsare un prestito con piano d'ammortamento alla francese, la cui rata sia pattuita con la banca. Tale rata dovrà essere sufficientemente grande per coprire gli interessi sul periodo.

�� AGEVOLATI

I piani agevolati sono tali poiché un ente istituzionale (Regione, Governo, Istituto, ecc.) è disposto a concedere un fondo perduto costituito da un determinato tasso d'interesse; la differenza tra il tasso del prestito deciso dalla banca (tasso di riferimento) e il tasso ente agevolatore è il tasso cliente. I tre piani d'ammortamento si sviluppano alla francese. Ulteriori specificazioni come i periodi di contribuzioni, i tassi d'attualizzazioni verranno affrontati nella sezione riguardante la descrizione tecnica dei piani d'ammortamento.

�� CAPITALE A RISCATTO L' importo erogato non viene ammortizzato completamente. Una parte, determinata da un tasso di riscatto, rimane come debito residuo a fine ammortamento, alla data di scadenza il prestatario potrà scegliere di estinguere il debito oppure di costituire un nuovo piano.

�� AMERICANO

Si ha ammortamento americano quando il debitore e creditore convengono il pagamento periodico dei soli interessi e il rimborso del capitale nell'ultima rata. Può accadere che il debitore provveda alla costituzione rateale del capitale stesso o con la stessa banca oppure con un piano di costituzione del capitale.

�� CAPITALE E INTERESSI COSTANTI In questo metodo di ammortamento si stabilisce che sia le quote capitali che le quote interessi siano costanti, la rata

è costante. �� CAPITALE COSTANTE In questo metodo di ammortamento si stabilisce che le sole quote capitali siano costanti e gli interessi decrescenti.

�� CAPITALE COSTANTE INTERESSI ANTICIPATI Simile al precedente. Stabilisce in più che la quota interessi della sola prima rata sia anticipata dal cliente, al

momento dell'erogazione.

�� CAPITALE COSTANTE INTERESSI TOTALMENTE ANTICIPATI In questo metodo di ammortamento si stabilisce che le sole quote capitali siano costanti e gli interessi, calcolati

sull'ammontare del prestito siano totalmente anticipati dal cliente al momento dell' erogazione.

�� CAPITALE COSTANTE INTERESSI ATTUALIZZATI TOTALMENTE ANTICIPATI In questo metodo di ammortamento si stabilisce che le sole quote capitali siano costanti e gli interessi, calcolati

sull'ammontare del prestito con interesse semplice, siano attualizzati con sconto commerciale, quindi anticipati totalmente dal cliente al momento dell' erogazione.

1 . C E N N I G E N E R A L I E F O R M U L A R I O

Questa sezione presenta una succinta descrizione delle grandezze fondamentali che vengono utilizzate per lo sviluppo dei vari piani d'ammortamento presentati precedentemente.

1.1. SCONTO E VALORE ATTUALE

V C S= − [1.1]

dove C = Importo del credito o valore nominale S = Sconto V = Somma scontata o valore attuale

1.1.1. SCONTO COMMERCIALE Lo sconto si dice commerciale quando è proporzionale al capitale (importo o valore nominale del credito) e al tempo (di anticipazione)

S Cdt=

dove d = tasso t = tempo Somma scontata con sconto commerciale:

V C S C Cdt C dt= − = − = −( )1 [1.2]

1.1.2. SCONTO RAZIONALE Lo sconto si dice razionale quando è calcolato come interesse semplice (a un dato tasso i) sulla somma scontata (che è quella effettivamente prestata)

C V it= +( )1

e quindi dalla 1.1

S V it V= + -( )1

dunque lo sconto razionale è dato da:

S Vit= [1.3]

1.1.3. SCONTO COMPOSTO

Lo sconto si dice composto, quando è calcolato come interesse composto (a un dato tasso i) sulla somma scontata V.

C V i t= +( )1

da cui:

VC

iC it

t=+

= + −

( )( )

11

Ponendo ν =+1

1 i si ha

V C i Ct t= + =−( )1 ν

Lo sconto è dato da:

S C t= −( )1 ν [1.4]

1.2. IL TRASFERIMENTO DEI CAPITALI NEL TEMPO

Richiamo:

M C i t= +( )1 [2.1]

dice che per calcolare il montante di un capitale dopo il tempo t, si moltiplica il capitale per il fattore di capitalizzazione

composta (1+i)t.

V C i t= + −( )1 [2.2]

dice che per calcolare il valore attuale di un capitale scadente al tempo t, si divide il capitale per il fattore (1+i)t.

Ponendo

u i= +1 vi

=+1

1

si ha sostituendo nelle 2.1 e 2.2 diventano rispettivamente

M Cut= [2.3]

V Cv t= [2.4]

Quindi per trasferire un capitale in avanti di t anni, lo si moltiplica per ut, per trasferirlo indietro di t anni lo si

moltiplica per vt

1.3. RENDITE

1.3.1. CARATTERE DI UNA RENDITA E TIPI DI RENDITE Una rendita si dice periodica quando le scadenze delle successive rate sono equidistanti. In base al periodo, cioè alla distanza temporale fra ciascuna scadenza, si fa distinzione fra: a) rendite annue o annualità se il periodo è l' anno; b) rendite frazionate se il periodo è inferiore all' anno (per esempio semestre, trimestre, ecc.) c) rendite poliennali se il periodo è multiplo dell' anno (per esempio periodo di due anni, di tre anni). In base alla data di decorrenza, che è la data di inizio del primo periodo, si fa distinzione fra: a) rendite anticipate se la prima scadenza coincide con la data di decorrenza: in questo caso la rata relativa a ciascun

periodo scade all' inizio del periodo. Per esempio, gli affitti corrispondono a rendite anticipate; b) rendite posticipate se la prima scadenza cade un periodo dopo la data di decorrenza: in questo caso la rata relativa a

ciascun periodo scade alla fine del periodo. Per esempio, gli stipendi corrispondono a rendite posticipate. Per quanto riguarda la determinazione del montante esso viene calcolato generalmente alla fine dell'ultimo periodo di rendita. a) Se la rendita è anticipata l' ultima rata scade all' inizio dell' ultimo periodo, ma il montante si calcola alla fine, cioè

un periodo dopo; b) se la rendita è posticipata l'ultima rata scade alla fine dell' ultimo periodo e quindi il montante si calcola in quel

momento. Dunque: montante di rendita posticipata significa montante calcolato all' atto dell' ultimo versamento; montante di rendita anticipata vuol dire montante calcolato un periodo dopo l'ultimo versamento. Si può anche dire che sono equivalenti le espressioni: "Montante di rendita posticipata" e " Montante calcolato all' atto dell'ultimo versamento". Come pure "Valore attuale di rendita posticipata" o " Valore un periodo prima del primo versamento". Per quanto riguarda la determinazione del valore attuale occorre distinguere fra: a) rendite immediate le quali iniziano a decorrere proprio da oggi, cioè dal giorno in cui si calcola il valore attuale. b) rendite differite che iniziano a decorrere più tardi. Per esempio, rendita differita di 5 anni è una rendita la cui data

di decorrenza cade fra 5 anni, cioè 5 anni dopo il giorno in cui si calcola il valore attuale. In particolare, tenendo conto della distinzione fra rendite anticipate e posticipate, si ha che: a) una rendita immediata posticipata decorre da oggi ma la sua prima rata scade fra un periodo; b) una rendita immediata anticipata decorre oggi e proprio oggi scade la sua prima rata; c) una rendita differita, per es. di 5 periodi, inizia a decorrere fra 5 periodi: se essa è anticipata, la prima rata

scade fra 5 periodi; se è posticipata, la prima rata scade fra 6 periodi.

1.3.2. RENDITE ANNUE A RATA COSTANTE SIMBOLI Una rendita annua a rata costante si dice unitaria se la rata è di una lira.

Per indicare il montante e il valore attuale di rendite annua unitarie si usano rispettivamente i simboli ed . Più

precisamente al tasso i di una rendita annua unitaria di n rate si indica con:

(ni) (che si legge s figurato n al tasso i), se è calcolato all'atto dell'ultimo versamento, cioè se la rendita è posticipata; e

con

:(ni) (che si legge s anticipato figurato n al tasso i), se è calcolato un periodo dopo l'ultimo versamento cioè se la

rendita è anticipata.

Il valore attuale al tasso i di una rendita annua unitaria di n rate si indica invece con:

(ni) (che si legge a figurato n al tasso i), se la rendita è immediata posticipata, cioè la prima rata scade fra 1 anno;

:(ni) (che si legge a anticipato figurato n al tasso i), se la rendita è immediata anticipata, cioè la prima rata scade oggi;

1.4. MONTANTE DELLA RENDITA UNITARIA

Montante di n annualità posticipate di una lira (interesse composto).

Valori di (ni) = ( )1 1+ −i

i

n

Tasso(x100) Anni(n)

2,75% 3% 3,25% 3,5% 3,75%

1 1 1 1 1 1

2 2,0275 2,03 2,0325 2,035 2,0375

3 3,08325625 3,0909 3,09855625 3,106225 3,11390625

4 4,168045797 4,183627 4,199259328 4,214942875 4,230677734

5 5,282667056 5,30913581 5,335735256 5,362465876 5,389328149

6 6,4279404 6,468409884 6,509146652 6,550152181 6,591 427955

7 7,604708761 7,662462181 7,720693918 7,779407508 7,838606503

8 8,813838252 8,892336046 8,971616471 9,05168677 9,132554247

9 10,0562188 10,15910613 10,26319401 10,36849581 10,4 7502503

10 11,33276482 11,46387931 11,59674781 11,73139316 11,86783847

11 12,64441585 12,80779569 12,97364212 13,14199192 13,31288241

12 13,99213729 14,19202956 14,39528548 14,60196164 14,8121155

13 15,37692107 15,61779045 15,86313226 16,1130303 16,36756983

14 16,79978639 17,08632416 17,37868406 17,67698636 17,9813537

15 18,26178052 18,59891389 18,94349129 19,29568088 19,65565447

16 19,76397948 20,1568813 20,55915476 20,97102971 21,39274151

17 21,30748892 21,76158774 22,22732729 22,70501575 23,19496932

18 22,89344487 23,41443537 23,94971543 24,4996913 25,06478067

19 24,5230146 25,11686844 25,72808118 26,3571805 27,00 470994

20 26,1973975 26,87037449 27,56424382 28,27968181 29,0 1738656

Cioè (20-0,03) è il montante al 3% di una rendita posticipata di 20 rate di una lira; si legge nelle tavole che è

(20-0,03) = 26,87037

Ciò significa che, versando annualmente e per 20 anni una lira, all'atto dell'ultimo versamento si trova un montante di 26,87 lire; si noti che si sono versate in tutto 20 Lit.; non si tratta però del montante di 20 Lit. che dopo 20 anni sarebbe: 20*1,0320 = 20*1,806111234 = 36,122224 perché le 20 lire non si versano tutte al tempo 0, ma annualmente durante i 20 anni.

1.5. VALORE ATTUALE DELLA RENDITA UNITARIA IMMEDIAT A

Valore attuale di n annualità posticipate di una lira (sconto composto)

Valori di (ni) = ( )

( )1 1

11+ −

+= −i

i i i

n

n

nν

Tasso(x100) Anni(n)

2,75 3 3,25 3,5 3,75

1 0,97323601 0,970873786 0,968523002 0,966183575 0,963855422 2 1,92042434 1,913469696 1,906559809 1,899694275 1,892872696 3 2,842262132 2,828611355 2,815070033 2,801636981 2,788311032 4 3,739427865 3,717098403 3,694983082 3,673079209 3,651384127 5 4,612581864 4,579707187 4,547199111 4,515052375 4,483261809 6 5,462366778 5,417191444 5,372589938 5,32855302 5,285071623 7 6,289408056 6,230282955 6,17199994 6,11454398 6,05790036 8 7,09431441 7,01969219 6,946246915 6,873955537 6,802795528 9 7,877678258 7,786108922 7,696122921 7,607686509 7,520766774 10 8,640076163 8,530202837 8,42239508 8,316605323 8,212787252 11 9,382069259 9,252624113 9,125806373 9,001551036 8,879794941 12 10,10420366 9,954003994 9,807076391 9,663334335 9,522693919 13 10,80701086 10,63495533 10,46690207 10,30273849 10,14235558 14 11,49100814 11,29607314 11,10595842 10,92052028 10,73961984 15 12,15669892 11,93793509 11,7248992 11,5174109 11,31529623 16 12,80457315 12,56110203 12,32435758 12,09411681 11,87016504 17 13,43510769 13,16611847 12,90494681 12,65132059 12,40497835 18 14,04876661 13,75351308 13,46726083 13,18968173 12,92046106 19 14,64600157 14,32379911 14,0118749 13,70983742 13,41731187 20 15,22725213 14,87747486 14,53934615 14,2124033 13,89620421 Analogamente:

(20-0,03) è il valore attuale al 3% di una rendita immediata posticipata di 20 rate di una lira; si legge nelle tavole che:

(20-0,03) = 14,87747486

Dunque, cedendo oggi il diritto a riscuotere 1 Lit. all'anno per 20 anni (cioè in totale Lit. 20), si riceve subito la somma di Lit. 14,88. Si noti che non è valore attuale di 20 Lit. scadenti fra 20 anni, che sarebbe: 20*v20= 20*0,553675 = 11,073515 perché qui le 20 Lit. sono distribuite fra le diverse scadenze sino a 20 anni.

1.6. RELAZIONI FRA VALORI ATTUALI E MONTANTI

(ni) si può ottenere scontando per n anni il montante (ni) e viceversa (ni) si può ottenere calcolando il montante

dopo n anni di (ni). si hanno le relazioni:

(ni)= (ni)*vn

e

(ni)= (ni)*un

1.7. COSTITUZIONE E AMMORTAMENTI

1.7.1. Costituzione a rate costanti Se le rate sono posticipate e costanti R, cioè si vuole costituire all' atto dell' ultimo versamento la somma S, si ha l'equazione:

S R ni= ⋅ ssss( )

Rata annua posticipata per la costituzione della somma S in n anni:

R S ni= σ( )

dove

σ = 1

ssss

Rata anticipata per la costituzione della somma S in n anni:

R S ni= σ:( )

σ:= 1

ssss::::

1.8. Ricerca del numero delle rate di costituzione

Data l'ammontare di una rata costante R si può determinare il numero di rate per estinguere S al tasso i:

nR R Si

i=

- -

+

log log( )

log( )1 (1.8.1.)

Procedimento di accomodamento del problema (dato che n in genere non è intero): In generale se si trova che la soluzione n è compresa fra gli interi n' e (n'+1) si può accomodare il problema in diversi modi: 1. aumentare la quota della rata in modo che bastino n' versamenti: 2. diminuire la quota della rata in modo che la costituzione avvenga esattamente con (n'+1) versamenti; 3. fare n' versamenti dell'importo prefissato R e un versamento complementare per terminare la costituzione. Tale

versamento potrà farsi insieme all' ultima rata, ovvero un periodo dopo, o anche in un epoca intermedia. In particolare si può utilizzare la soluzione frazionaria trovata, stabilendo di fare il versamento complementare proprio in corrispondenza a tale epoca.

1.9. RIMBORSO DI UN PRESTITO

1.9.1. Rimborso globale

M S i n= +( )1

dove M = montante da pagare da parte del mutuante; S = somma prestata dal mutuatario; i = interesse convenuto; n = durata (anni) del prestito.

1.9.2. Rimborso globale con pagamento periodico deg li interessi Per un prestito di Lit. S al tasso i, il debitore pagherà quindi annualmente l'interesse Si; alla scadenza convenuta (dopo n anni) rimborserà il capitale S, insieme all'ultimo interesse Si.

1.10. AMMORTAMENTO PROGRESSIVO O FRANCESE

Le rate, comprensive ciascuna di quota capitale e quota interesse, sono costanti. Per impostare il piano si pone la condizione che la somma dei valori attuali delle singole rate sia uguale al debito S. Si ha:

R R R R Snν ν ν ν+ + + + =2 3 ...

cioè:

R ni Saaaa( ) =

quindi:

RS

niS ni= =

aaaa( )( )a

1.10.1. Formule per gli elementi del piano a) composizione della prima rata; b) composizione di una rata qualunque; c) debito estinto; d) debito residuo. a. Nel 1° anno, la quota interessi è come già sappiamo: I S i1 = × Mentre la quota capitale: C S ni1 = ⋅ σ( ) b. Per gli anni successivi è comodo determinare prima le quote capitali:

C S ni iss= × × + -s( ) ( )1 1

Per trovare la quota interessi: I R Cs s= −

c. Il debito estinto all'anno s è la somma delle prime s quote capitali: E C si S ni nis = ⋅ = ⋅ ⋅1 ssss ssss( ) ( ) ( )σ d. Infine per quanto riguarda il debito residuo: D S E S S ni ni S ni nis s= − = − ⋅ ⋅ = − ⋅σ σ( ) ( ) ( ( ) ( ))ssss ssss1 con ulteriori calcoli si perviene a: D R n s is = −aaaa( , ) cioè nell'ammortamento progressivo il debito residuo è uguale al valore attuale delle future rate.

1.11. AMMORTAMENTO AMERICANO

Si ha ammortamento americano quando il debitore e creditore convengono il pagamento periodico dei soli interessi e il rimborso globale finale del capitale, ma il debitore provvede alla costituzione rateale del capitale stesso. Di conseguenza il debitore versa annualmente: a) l'interesse annuo al tasso i sull'intero debito, cioè Si; b) la rata Q di costituzione del capitale S in n anni (al tasso i' (generalmente inferiore al tasso i)), cioè:

Q S ni= ⋅ σ( ' )

L'esborso totale annuo per il debitore è quindi:

R Si S ni S i ni= + ⋅ = ⋅ +σ σ( ') ( ( '))

che si può chiamare rata d'ammortamento.

1.12. AMMORTAMENTO UNIFORME O A QUOTE CAPITALI COST ANTI

In questo metodo di ammortamento si stabilisce che le quote capitali siano costanti.

Cn

SSn

= ⋅ =1

1.12.1. Formule per gli elementi del piano Nell' ammortamento uniforme, le quote interessi (e cosi pure le rate) costituiscono una progressione aritmetica di ragione

CiSi

n=

Si trovano ora a) una qualunque quota interessi; b) una qualunque rata; c) il debito estinto; d) il debito residuo. a) La quota interessi è in generale:

I Si sSin

Sis

nSi

n sns = − − = − − = − +

( ) ( )1 11 1

b) La rata si ottiene sommando alla quota interessi la quota capitale:

R I C Sin s

nSn

Sn

i n ss s= + = − + + = − + +11 1( )

cioè:

RS i n s

ns =+ − +1 1( )

c) Il debito estinto è la somma delle quote capitali già versate, cioè di s quote di C:

E s C sSns = ⋅ = ⋅

d) Il debito residuo si ottiene per differenza:

D S E S sn s

ns s= − = − ⋅ −

1.13. Equivalenza fra capitalizzazione annua e fra zionaria

Si dice che due tassi (relativi a due diversi periodi di capitalizzazione) sono equivalenti, quando conducono ( a parità di capitale e di tempo) a uguali montanti. Montante di capitalizzazione di Lit. 100.000 al tasso annuo del 12% utilizzando tasso convertibile nominale e equivalente rispettivamente. Importo 100.000 Tasso annuo 12,00%

Montante dopo un anno = Lit. 112.000

Calcolo mensile. Calcolo semestrale. Nominale Equivalente Nominale Equivalente 1,00% 0,948879% 6,00% 5,830052%

Gennaio 101.000 100.949 Febbraio 102.010 101.907 Marzo 103.030 102.874 Aprile 104.060 103.850 Maggio 105.101 104.835 Giugno 106.152 105.830 106.000 105.830 Luglio 107.214 106.834 Agosto 108.286 107.848 Settembre 109.369 108.871 Ottobre 110.462 109.904 Novembre 111.567 110.947 Dicembre 112.683 112.000 112.360 112.000

2 . D E S C R I Z I O N E I M P L E M E N T A T I V A

La descrizione implementativa dei piani d' ammortamento non è attinente ad un determinato linguaggio di programmazione. Essa consiste nell' esporre una modularizzazione logica dei concetti precedentemente esposti, non necessariamente corrispondenti a moduli di codice.

2.1. Piano di ammortamento progressivo o francese

� DATI INPUT

1. Importo del prestito 2. Tasso annuo lordo 3. Periodicità 4. Durata del prestito 5. Data inizio di ammortamento Dati supplementari: 6. Tipo tasso: nominale, equivalente. 7. Spese anticipate 8. Giorno di scadenza rata

� DATI OUTPUT

1. Piano di rimborso i. Numero della rata ii. Quota della rata iii. Quota capitale iv. Quota interessi v. Debito residuo Dati supplementari vi. Debito Estinto vii. Interessi cumulati 2. T.A.E.G.

� ELABORAZIONE Molti delle seguenti argomentazioni valgono per la gran maggioranza dei tipi di piani, pertanto nelle successive

descrizioni verranno omesse e di volta in volta verranno descritte le peculiarità dei singoli piani. L' importo del prestito rappresenta l' effettiva somma richiesta, su di essa vengono calcolati gli interessi della

prima rata; quindi questi vengono ricalcolati sul debito residuo. Il debito residuo viene abbattuto dalle sole quote capitali che via via vengono calcolate.

Il tasso annuo lordo viene elaborato dalla periodicità. Se la tipologia del tasso non è fornita essa si intende quella nominale: pertanto il tasso viene diviso per la periodicità senza nessuna ulteriore elaborazione. Quindi per ottenere il tasso sul periodo corrispondente alla periodicità, e per un tasso nominale, è sufficiente dividere per i rispettivi fattori di divisioni:

Periodicità Fattore di divisione

Mensile 12 Bimestrale 6 Trimestrale 4 Quadrimestrale 3 Semestrale 2 Annuale 1 Anno commerciale 360 Anno civile 365

TASSO ANNUO NOMINALE CONVERTIBILE K VOLTE ALL'ANNO

ijkkk= dove j è il tasso annuo nominale

EQUIVALENZA FA CAPITALIZZAZIONE ANNUA E FRAZIONARIA Se invece si indica di voler sviluppare un piano a tasso equivalente, il nuovo tasso convertito è data dalle seguenti formule: Dato il tasso annuo, l'equivalente tasso per 1/k di anno è:

i ikk= + −( )1 11

Viceversa, dato il tasso relativo a 1/k di anno, l'equivalente tasso annuo è:

i ikk= + −( )1 1

I piani di rimborso vengono sviluppati dalla data inizio ammortamento, ciò non comporta che l' erogazione di un

prestito avvenga in corrispondenza di tale data: il tempo intercorrente la data erogazione e la data inizio piano d'ammortamento è definita come preammortamento. Anche per il preammortamento si può sviluppare un piano di sviluppo, che può presentare tassi e tempi di rimborsi diversi. Le scadenze delle rate verranno calcolate in base alla periodicità; bisogna tener presente inoltre il giorno di scadenza rata, in particolare se espresso come data posteriore al 27 del mese (escluso). Infatti se la data inizio ammortamento cade nel mese di febbraio di un anno bisestile, il 28 può essere interpretato come giorno consueto di scadenza per tutti gli altri mesi: 28 marzo, 28 aprile, ecc.; per un anno non bisestile il 28 può essere interpretato come ultimo del mese: 28 febbraio, 31 marzo, 30 aprile, ecc. Lo stesso problema di interpretazione può sorgere se viene indicata una scadenza relativa al penultimo giorno di un mese a 31 giorni: i. e. 30 gennaio.

La durata di un piano di rimborso espressa in anni, mesi o giorni, generalmente non supera i 20 anni; casi particolari possono essere mutui a 30 anni. Pertanto il numero massimo di rate sarà 20anni*12mesi. Comunque di volta in volta dovrà essere analizzata la struttura dati per lo sviluppo dei piani, relativamente al linguaggio di programmazione.

Le spese anticipate, se valorizzate servono di input per il calcolo del T.A.E.G. La descrizione del calcolo del TAEG è esposta nel paragrafo 2.12

NUMERO DELLA RATA Corrisponde alla successione cronologica delle rate da pagare. Range: 1..Durata in mesi*periodicità÷12. Ponendo periodicità÷12 = Num_mesi_X_periodicità (numero di mesi per periodicità) si ha:

Periodicità Fattore di divisione

Num. mesi X periodicità

Mensile 12 1 Bimestrale 6 2 Trimestrale 4 3 Quadrimestrale 3 4 Semestrale 2 6 Annuale 1 12

RANGE = Durata_in_mesi * Num_mesi_X_periodicità Il numero della rata viene calcolato comunque per ogni tipo di piano di ammortamento.

QUOTA RATA Nell' ammortamento alla francese le rate sono posticipate e costanti.

RS

niS ni= =

aaaa( )( )α (2.1.)

S è l'ammontare del debito, è su di esso che viene a svilupparsi il piano, nonostante la quota erogata sia inferiore per le spese anticipate.

Valori di αααα(ni) = i i

i

n

n

( )

( )

1

1 1

++ -

(2.2.)

n = numero di rate i = tasso periodale QUOTA CAPITALE La quota capitale della s-esima rata

C S ni iss= · · + -σ( ) ( )1 1

(2.3.)

dove

Valori di σσσσ(ni) = i

i n( )1 1+ - (2.4.)

QUOTA INTERESSI La quota interessi della s-esima rata è data dalla differenza tra Rata costante e la quota Capitale I R Cs s= − (2.5.) DEBITO RESIDUO Il debito residuo viene abbattuto dalle quote capitali. Naturalmente all' inizio il debito residuo è l'ammontare del prestito. Dr0 (iniziale) = Debito del prestito

Drs = Drs-1 - Cs (2.6.)

DEBITO ESTINTO Il debito estinto indica la quota del debito complessivo pagata. Esso cresce dalle somme delle quote capitali versati. Naturalmente il debito estinto + debito residuo = Debito del prestito

De0 (iniziale) = 0 (2.7.)

Des = Des-1 + Cs (2.8.)

INTERESSI CUMULATI È il cumulativo degli interessi versati fino a una determinata rata.

Is = Is-1 + R - Cs (2.9.)

Lo sviluppo dei piani può essere effettuato a cascata: una volta determinata la rata costante e gli interessi della prima rata con la formula

I = S*i (2.10.)

dove I = Quota interessi S = Debito del prestito i = Tasso periodiale la quota capitale è data dalla differenza tra Rata costante e quota Capitale. Quindi per operazioni di somma algebrica si determinano le ulteriori grandezze.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ PROCEDURA 1. INIZIALIZZAZIONE dbt_res = debito dbt_est = 0

2. rata_cost = debito * tas_ pdo* tas_ pdo

tas_ pdo

num _rate

num _rate

( )

( )

1

1 1

++ −

3. Ripeti per tutte le rate quota_int = dbt_res * tas_pdo quota_cpt = rata_cost - quota_int dbt_res = dbt_res - quota_cpt dbt_est = dbt_est + quota_cpt e.g. vedi § 0.

2.2. Francese interessi anticipati

� DATI INPUT


� DATI OUTPUT


� ELABORAZIONE L' elaborazione di un piano alla francese con interessi anticipati si può sviluppare a cascata come il precedente; La quota interessi della prima rata è fuori piano ed è anticipata in erogazione. 1. Interessi Anticipati • Interessi fuori piano = Debito_del_prestito * tasso_periodale 2. Costituzione della prima rata:

• Si può calcolare la quota capitale con la (3.) • Debito residuo = Debito_del_prestito - Quota_capitale • Quota interessi = Debito_residuo * tasso_periodale • Rata = Quota_interessi + Quota_capitale

Nel piano francese a interessi anticipati la quota della rata non è costante è decrescente.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ DATI OUTPUT rata double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */

PROCEDURA 1. INIZIALIZZAZIONE

dbt_res = debito dbt_est = 0

2.Interessi Anticipati

quota_int = debito * tas_pdo 3.Ripetere per tutte le rate

quota_cpt = debito * tas_ pdo

tas_ pdo num _rate( )1 1+ − * ( )1+ tas_ pdo s-esima rata - 1

dbt_res = debito - quota_cpt quota_int = dbt_res * tas_pdo rata = quota_int + quota_cpt

� Esempio Debito = 1.000.000 Anni = 10 Interesse = 12%

Interessi Anticipati 120.000

Anni Rata Quota Interesse

Quota Capitale

Debito Estinto

Debito Residuo

0 1.000.000 1 170.146 113.162 56.984 56.984 943.016 2 169.325 105.503 63.822 120.806 879.194 3 168.406 96.926 71.481 192.287 807.713 4 167.377 87.318 80.059 272.346 727.654 5 166.224 76.559 89.666 362.012 637.988 6 164.933 64.508 100.426 462.437 537.563 7 163.487 51.010 112.477 574.914 425.086 8 161.867 35.893 125.974 700.888 299.112 9 160.053 18.963 141.091 841.978 158.022 10 158.022 0 158.022 1.000.000 0

2.3. Personalizzato

� DATI INPUT

1. Importo del prestito 2. Tasso annuo lordo 3. Periodicità 4. Rata personalizzata 5. Data inizio di ammortamento Dati supplementari: 6. Tipo tasso: nominale, equivalente. 7. Spese anticipate 8. Calcolo con rata aumentata, diminuita o

complementare

� DATI OUTPUT


� ELABORAZIONE Lo sviluppo di un piano francese con rata personalizzata pone il problema che la rata che s'intende versare sia sufficientemente alta da coprire gli interessi periodali. Siccome il francese è un piano con quote interessi decrescenti, il problema si risolve nell'aver una rata maggiore della prima quota interessi del piano. Quindi l'unica incognita da risolvere per poi sviluppare normalmente il piano è il numero di rate necessarie per estinguere il prestito. Il numero di rate è dato dalla (1.8.1)

nR R Si

i=

- -+

log log ( )

log ( )1

Per le proprietà della funzione logaritmica l'equazione ammette soluzione se R>Si, cioè se la rata che il debitore è disposto a pagare supera l'interesse Si sul debito. Per R<Si il problema è impossibile in quanto la rata non basta a pagare la quota interesse. Se R=Si la durata del prestito è illimitata in quanto la rata serve appena a pagare la quota interesse Si e nessun pagamento di quote capitale ha luogo. In generale la soluzione dell'equazione è un valore non intero: n' < n < n' + 1 e precisamente : n = n' + f con f minore di 1 Quindi si possono ipotizzare tre tipi di soluzioni per determinare il numero di rate: a) modificare (aumentare) la rata in modo che bastino proprio n' rate; b) modificare (diminuire) la rata in modo che ne occorrano n' + 1 c) pagare n' rate di importo R, e una rata complementare per estinguere il debito. Scegliendo lo sviluppo del piano con metodo a cascata l'ultima rata complementare verrà automaticamente generata.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ rata_pers double /* Importo della rata personalizzata */ fl_rata char /* Indicatore di numero di rate per sviluppar e il piano */

/* A: rata costante A umentata: meno rate possibili con importo personalizzato maggiore */ /* D: rata costante D iminuita: una rata in più con un importo personalizzata minore */ /* C: rata C omplementare: meno rate possibili ma rate costanti con importo dato e ultima rata data inferi ore */

DATI OUTPUT rata double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ PROCEDURA 1. SE debito* tas_pdo >= rata_pers ALLORA riproporre una nuova rata personale 2. Calcolo del numero di rate necessarie

num_rate = log log

log

rata _ pers - (rata _ pers - debito * tas _ pdo )

( + tas _ pdo)1

SE fl_rata = 'D' ALLORA num_rate = intero non minore di num_rate SE fl_rata = 'A' OR 'C' ALLORA num_rate = intero non maggiore di num_rate Sviluppare il piano alla FRANCESE

2.4. Agevolati

� DATI INPUT

1. Importo del prestito 2. Tasso annuo lordo 3. Tasso ente 4. Tasso di attualizzazione 5. Periodicità 6. Periodo di contribuzione 7. Data inizio di ammortamento Dati supplementari: 6. Spese anticipate

� DATI OUTPUT

1. Piano di rimborso i. Numero della rata ii. Quota della rata iii. Quota capitale iv. Quota interessi v. Debito residuo vi. Quota contributo vii. Rata a carico del mutuatario Dati supplementari vi. Debito Estinto vii. Interessi cumulati 2. T.A.E.G. 3. Piano di rimborso dell'ente agevolatore i. Numero della rata ii. Quota della rata iii. Quota capitale

� ELABORAZIONE I piani agevolati sono costituiti generalmente da tre piani d'ammortamento. Il primo si riferisce al piano di rimborso a carico dell'ente agevolatore, il secondo quello a carico del cliente e finalmente quello di riferimento, inteso come la somma dei due precedenti. I tre piani sono sviluppati rispettivamente a tasso ente, tasso cliente e tasso di riferimento (tasso lordo annuo). Il periodo di contribuzione indica quante rate sono a carico totale o parziale dell'ente. Il tasso d'attualizzazione, utilizzato solo in determinate condizioni di agevolazioni, serve per calcolare il valore attuale della rata costante calcolata a tasso ente sul periodo di contribuzione, ottenendo il debito, quindi sviluppare il piano ente. Formula dell'attualizzazione per una lira:

Valori di (ni) = ( )

( )1 1

11+ −

+= −i

i i i

n

n

nν

Quindi sommariamente si ha che, per queste particolari forme di agevolazioni, la quota rata che contribuisce (diminuendola) per un numero di rate, alla rata del mutuatario viene calcolata dalla:

RS

niS ni= =

aaaa( )( )a

quindi il suo (del piano ente) ammortamento (francese) avviene sul capitale ottenuto dall'attualizzazione della rata costante.

� Si sviluppa qui un piano di ammortamento agevolato singolare, in cui si tiene conto di un periodo di contribuzione e di un tasso d'attualizzazione; i tassi sono tutti equivalenti. DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ tasso_agv double /* Tasso agevolatore */ tasso_atlz double /* Tasso di attualizzazione */ num_rate_cnb integer /* Numero di rate di contribuzione */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ rata_cnb double /* Rata di contributo*/ quota_cpt_ete double /* Quota capitale del piano ente */ quota_int_ete double /* Quota interessi del piano ente */ PROCEDURA 1) Si sviluppa un piano alla francese con i primi tre dati di input:

debito, tas_pdo, num_rate.

2) rata_carico_mutuatario = debito * tas _ agv * ( tas _ agv)

( tas _ agv)

num _ rate

num _ rate

1

1 1

++ −

rata_cnb = rata_cost - rata_carico_mutuatario Quindi per num_rate_cnb + 1* il mutuatario pagherà l'importo della rata_carico_mutuatario, per le successive rate (num_rate - num_rate_cnb - 1) pagherà l'importo della rata_cost. Per quanto riguarda il piano ente esso si svilupperà alla francese da un importo dato dall'attualizzazione su num_rate_cnb rate della rata_cnb.

3) Attualizzazione

im_ete = rata_cnb * ( tas _ atlz)

tas _ atlz * ( tas _ atlz)

num _ rate _ cnb

num _ rate _ cnb

1 1

1

+ −+

Si sviluppa un piano ente alla francese con i dati : im_ete , tas_atlz , num_rate_cnb .

* La scelta di una rata in più per la contribuzione è dovuta esclusivamente a questo tipo di piano agevolato: pertanto non è una regola generale.

� Esempio Debito = 75.000.000 Tipo Tasso = Equivalente Anni = 15 N. rate contribuzione = 17 TASSI Lordo Agevolato Attualizzazione Annuo 11.200% 6.000% 8.900% Sem.le equ. 5.451411% 2.956301% 4.355163% Gestione Mutuo

Rata Quota Rata

Quota Interesse

Quota Capitale

Debito Residuo

Contributo per 18 rate

Rata carico mutuatario

0 75.000.000 1 5.132.744 4.088.558 1.044.186 73.955.814 1.327.880 3.804.864 2 5.132.744 4.031.635 1.101.109 72.854.706 1.327.880 3.804.864 3 5.132.744 3.971.609 1.161.135 71.693.571 1.327.880 3.804.864 4 5.132.744 3.908.311 1.224.433 70.469.138 1.327.880 3.804.864 5 5.132.744 3.841.562 1.291.182 69.177.957 1.327.880 3.804.864 6 5.132.744 3.771.175 1.361.569 67.816.388 1.327.880 3.804.864 7 5.132.744 3.696.950 1.435.794 66.380.594 1.327.880 3.804.864 8 5.132.744 3.618.679 1.514.065 64.866.529 1.327.880 3.804.864 9 5.132.744 3.536.141 1.596.603 63.269.926 1.327.880 3.804.864 10 5.132.744 3.449.104 1.683.640 61.586.286 1.327.880 3.804.864 11 5.132.744 3.357.322 1.775.422 59.810.863 1.327.880 3.804.864 12 5.132.744 3.260.536 1.872.208 57.938.655 1.327.880 3.804.864 13 5.132.744 3.158.474 1.974.270 55.964.386 1.327.880 3.804.864 14 5.132.744 3.050.849 2.081.895 53.882.490 1.327.880 3.804.864 15 5.132.744 2.937.356 2.195.388 51.687.102 1.327.880 3.804.864 16 5.132.744 2.817.676 2.315.068 49.372.035 1.327.880 3.804.864 17 5.132.744 2.691.473 2.441.271 46.930.763 1.327.880 3.804.864 18 5.132.744 2.558.389 2.574.355 44.356.408 1.327.880 3.804.864 19 5.132.744 2.418.050 2.714.694 41.641.714 0 5.132.744 20 5.132.744 2.270.061 2.862.683 38.779.031 0 5.132.744 21 5.132.744 2.114.004 3.018.740 35.760.292 0 5.132.744 22 5.132.744 1.949.440 3.183.303 32.576.988 0 5.132.744 23 5.132.744 1.775.906 3.356.838 29.220.150 0 5.132.744 24 5.132.744 1.592.910 3.539.833 25.680.316 0 5.132.744 25 5.132.744 1.399.940 3.732.804 21.947.512 0 5.132.744 26 5.132.744 1.196.449 3.936.295 18.011.217 0 5.132.744 27 5.132.744 981.865 4.150.878 13.860.339 0 5.132.744 28 5.132.744 755.584 4.377.160 9.483.179 0 5.132.744 29 5.132.744 516.967 4.615.777 4.867.402 0 5.132.744 30 5.132.744 265.342 4.867.402 0 0 5.132.744

Contributo Ammortamento Attualizzato per 17 rate = 15.718.533 Rata costante = 1.327.880 Gestione Contributo

Rata Quota Interesse

Quota Capitale

Debito Residuo

0 15.718.533 1 684.568 643.312 15.075.221 2 656.550 671.330 14.403.891 3 627.313 700.567 13.703.324 4 596.802 731.078 12.972.246 5 564.962 762.918 12.209.328 6 531.736 796.144 11.413.184 7 497.063 830.817 10.582.367 8 460.879 867.001 9.715.366 9 423.120 904.760 8.810.606 10 383.716 944.164 7.866.442 11 342.596 985.284 6.881.158 12 299.686 1.028.194 5.852.964 13 254.906 1.072.974 4.779.990 14 208.176 1.119.704 3.660.286 15 159.411 1.168.469 2.491.817 16 108.523 1.219.357 1.272.460 17 55.420 1.272.460 0

2.5. Riscatto

� DATI INPUT

1. Importo del prestito 2. Tasso annuo lordo 3. Periodicità 4. Durata del prestito 5. Data inizio di ammortamento 6. Tasso di riscatto Dati supplementari: 6. Tipo tasso: nominale, equivalente. 7. Spese anticipate 8. Giorno di scadenza rata

� DATI OUTPUT


� ELABORAZIONE Lo sviluppo di un piano d'ammortamento con capitale a riscatto è un piano francese modificato. In pratica avviene che l'ammortamento è calcolato sul debito, decurtato da una percentuale di riscatto. Mentre gli interessi sono calcolati, nella prima rata dal debito intero, quindi sul debito residuo. La quota di riscatto rimane, a fine piano, come debito residuo. La rata rimane costante per tutto il piano.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ tasso_rsc double /* Tasso di riscatto */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ PROCEDURA 1. INITIALIZZAZIONE dbt_res = debito dbt_est = 0

2. quota_cpt = tas_rsc * debito *tas_ pdo

tas_ pdo num _rate( )1 1+ −* ( )1+ tas_ pdo s-esima rata - 1

3. Ripeti per tutte le rate quota_int = dbt_res * tas_pdo dbt_res = dbt_res - quota_cpt dbt_est = dbt_est + quota_cpt rata_cost = quota_cpt + quota_int

Esempio Debito = 10.000.000 Anni = 10 Tasso Riscatto = 4% Tasso = 1%

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 10000000 1 917.588 100.000 1.017.588 917.588 9.082.412 2 926.764 90.824 1.017.588 1.844.352 8.155.648 3 936.031 81.557 1.017.588 2.780.383 7.219.617 4 945.392 72.196 1.017.588 3.725.775 6.274.225 5 954.846 62.742 1.017.588 4.680.621 5.319.379 6 964.394 53.194 1.017.588 5.645.015 4.354.985 7 974.038 43.550 1.017.588 6.619.053 3.380.947 8 983.778 33.810 1.017.588 7.602.831 2.397.169 9 993.616 23.972 1.017.588 8.596.447 1.403.553

10 1.003.552 14.036 1.017.588 9.600.000 400.000 I valori sono stati arrotondati

2.6. Piano americano

� DATI INPUT


� DATI OUTPUT 1. Piano di rimborso i. Numero della rata ii. Quota della rata iii. Quota capitale iv. Quota interessi v. Debito residuo Dati supplementari vi. Debito Estinto vii. Interessi cumulati 2. T.A.E.G.

� ELABORAZIONE Il tipo piano all'americana prevede un rimborso di sole quote interessi sull'importo richiesto. Il rimborso della quota capitale invece viene rinviato all'ultima rata che consiste quindi in quota capitale (intero) e quota interessi periodali.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ PROCEDURA 1) Ripetere per num_rate - 1

quota_int = debito * tasso_pdo quota_cpt = 0 quota_rata = quota_cpt + quota_int dbt_res = debito dbt_est = 0

2) Ultima rata

quota_int = debito * tasso_pdo quota_cpt = debito quota_rata = quota_cpt + quota_int dbt_res = 0 dbt_est = debito

� Esempio Debito = 8.000.000 Anni = 12 Interesse = 11%

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 8.000.000 1 0 880000 880.000 0 8.000.000 2 0 880000 880.000 0 8.000.000 3 0 880000 880.000 0 8.000.000 4 0 880000 880.000 0 8.000.000 5 0 880000 880.000 0 8.000.000 6 0 880000 880.000 0 8.000.000 7 0 880000 880.000 0 8.000.000 8 0 880000 880.000 0 8.000.000 9 0 880000 880.000 0 8.000.000 10 8.000.000 880000 8.880.000 8.000.000 0

2.7. Piano a capitale e interessi costanti

� DATI INPUT



� ELABORAZIONE È un piano d'ammortamento uniforme sia sulle quote capitali che quelle interessi. La quota del prestito viene divisa per il numero di rate, formando le quote capitali. Le quote interessi sono calcolate con il seguente procedimento: 1. Si calcola la rata costante con la formula del piano alla francese

RS

niS ni= =

aaaa( )( )a

2. Si moltiplica R per il numero di rate 3. Si sottrae l'ammontare del prestito, ottenendo l'interesse totale del piano di rimborso 4. Si divide questo importo per il numero di rate Le ulteriori grandezze del piano possono essere calcolate a cascata.

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */

PROCEDURA

1) rata_cost = debito * tas_ pdo* tas_ pdo

tas_ pdo

num _rate

num _rate

( )

( )

1

1 1

++ −

2) Ripetere per num_rate

quota_cpt = debito / num_rate quota_int = rata_cost - quota_cpt quota_rata = quota_cpt + quota_int dbt_res = debito dbt_est = 0

� Esempio Debito = 10.000.000 Anni = 10 Tasso lordo = 12% Anni Quota

Capitale Quota

Interesse Rata Debito

Estinto Debito

Residuo

0 10000000 1 1.000.000 55820,766 1.055.821 1000000 9000000 2 1.000.000 55820,766 1.055.821 2000000 8000000 3 1.000.000 55820,766 1.055.821 3000000 7000000 4 1.000.000 55820,766 1.055.821 4000000 6000000 5 1.000.000 55820,766 1.055.821 5000000 5000000 6 1.000.000 55820,766 1.055.821 6000000 4000000 7 1.000.000 55820,766 1.055.821 7000000 3000000 8 1.000.000 55820,766 1.055.821 8000000 2000000 9 1.000.000 55820,766 1.055.821 9000000 1000000

10 1.000.000 55820,766 1.055.821 10000000 0

2.8. Capitale costante

� DATI INPUT



� ELABORAZIONE Le quote capitali di un piano d'ammortamento a capitale costante si ottengono dividendo il debito del prestito per il numero di rate. Mentre le quote interessi vengono calcolati sul debito residuo.

CS

n=

dove C = quota capitale S = ammontare del prestito n = numero di rate La suddetta formula basterebbe a sviluppare tutte le grandezze del piano. Per quanto riguardano le formule per gli elementi del piano che danno direttamente gli elementi di una riga qualunque si può tener presente che: Nell'ammortamento uniforme, le quote interessi (e così pure le rate) costituiscono una progressione geometrica di ragione:

CiSi

n= dove i = tasso

La quota interessi è data da:

I Si sSi

nSi

s

ns= - - = --

( ) ( )1 11

La quota della s-esima rata:

R I CS n s

ns s= + =+ - +1 1( )

Il debito estinto è la somma delle quote capitali già versate:

E sC sS

ns= =

Il debito residuo si ottiene per differenza:

D S E Sn s

ns s= - =-

� DATI INPUT debito double /* Ammontare del prestito */ tasso_pdo double /* Tasso periodale - già convertito, se ric hiesto */ num_rate integer /* Numero di rate */ DATI OUTPUT rata_cost double /* Quota della rata */ quota_cpt double /* Quota capitale */ quota_int double /* Quota interessi */ dbt_res double /* Debito residuo */ dbt_est double /* Debito estinto */ PROCEDURA 1) INITIALIZZAZIONE


2)Ripetere per tutte le rate

quota_cpt = debito / num_rate dbt_res = debito - quota_cpt quota_int = dbt_res * tas_pdo rata = quota_int + quota_cpt

Esempio: Debito= 10.000.000 Anni= 10 Interesse= 1%

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 10.000.000 1 1.000.000 100.000 1.100.000 1.000.000 9.000.000 2 1.000.000 90.000 1.090.000 2.000.000 8.000.000 3 1.000.000 80.000 1.080.000 3.000.000 7.000.000 4 1.000.000 70.000 1.070.000 4.000.000 6.000.000 5 1.000.000 60.000 1.060.000 5.000.000 5.000.000 6 1.000.000 50.000 1.050.000 6.000.000 4.000.000 7 1.000.000 40.000 1.040.000 7.000.000 3.000.000 8 1.000.000 30.000 1.030.000 8.000.000 2.000.000 9 1.000.000 20.000 1.020.000 9.000.000 1.000.000

10 1.000.000 10.000 1.010.000 10.000.000 0

2.9. Capitale costante interessi anticipati

� DATI INPUT



� ELABORAZIONE Il piano d'ammortamento a capitale costante e interessi anticipati si sviluppa come in un piano a capitale costante. La differenza sta nell'anticipare il pagamento della quota interessi della prima rata. In genere più che versare tale quota essa viene ritenuta in fase di erogazione del prestito.



2)Interessi Anticipati quota_int = debito * tas_pdo

3) Ripetere per tutte le rate

quota_cpt = debito / num_rate dbt_res = dbt_res - quota_cpt quota_int = dbt_res * tas_pdo rata_cost = quota_int + quota_cpt dbt_est = dbt_est + quo_cpt

� Esempio Debito= 10.000.000 Anni= 10 Interesse= 1%

Interessi Anticipati 100.000

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 10.000.000 1 1.000.000 90.000 1.090.000 1.000.000 9.000.000 2 1.000.000 80.000 1.080.000 2.000.000 8.000.000 3 1.000.000 70.000 1.070.000 3.000.000 7.000.000 4 1.000.000 60.000 1.060.000 4.000.000 6.000.000 5 1.000.000 50.000 1.050.000 5.000.000 5.000.000 6 1.000.000 40.000 1.040.000 6.000.000 4.000.000 7 1.000.000 30.000 1.030.000 7.000.000 3.000.000 8 1.000.000 20.000 1.020.000 8.000.000 2.000.000 9 1.000.000 10.000 1.010.000 9.000.000 1.000.000

10 1.000.000 0 1.000.000 10.000.000 0

2.10. Capitale costante interessi totalmente antici pati

� DATI INPUT



� ELABORAZIONE Il piano d'ammortamento a capitale costante e interessi totalmente anticipati si sviluppa come in un piano a capitale costante. La differenza sta nell'anticipare il pagamento degli interessi di tutto il piano. Tale quota si determina con la formula dell'interesse semplice:

I Cit=

dove I = Interesse semplice C = Debito del prestito i = tasso annuo unitario (se si considerano frazioni di anni, sarà il tasso periodale) t = tempo In genere più che versare tale quota essa viene ritenuta in fase di erogazione del prestito.



2)Interessi Anticipati quota_int = debito * tas_pdo * num_rate


quota_cpt = debito / num_rate quota_int = 0 rata_cost = quota_cpt dbt_res = dbt_res - quota_cpt dbt_est = dbt_est + quo_cpt

� Esempio Debito= 10.000.000 Anni= 10 Interesse= 1%

Interessi Anticipati 1.000.000

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 10.000.000 1 1.000.000 0 1.000.000 1.000.000 9.000.000 2 1.000.000 0 1.000.000 2.000.000 8.000.000 3 1.000.000 0 1.000.000 3.000.000 7.000.000 4 1.000.000 0 1.000.000 4.000.000 6.000.000 5 1.000.000 0 1.000.000 5.000.000 5.000.000 6 1.000.000 0 1.000.000 6.000.000 4.000.000 7 1.000.000 0 1.000.000 7.000.000 3.000.000 8 1.000.000 0 1.000.000 8.000.000 2.000.000 9 1.000.000 0 1.000.000 9.000.000 1.000.000

10 1.000.000 0 1.000.000 10.000.000 0

2.11. Capitale costante interessi attualizzati tota lmente anticipati

� DATI INPUT



� ELABORAZIONE Il piano d'ammortamento a capitale costante e interessi attualizzati e totalmente anticipati si sviluppa come in un piano a capitale costante. La quota interessi è data dal valore attuale (somma scontata con sconto commerciale) degli interessi semplici. Una volta ottenuto la quota interessi di tutto il piano con la formula dell'interesse semplice:

I Cit=

dove I = Interesse semplice C = Debito del prestito i = tasso annuo unitario (se si considerano frazioni di anni, sarà il tasso periodale) t = tempo la si attualizza con sconto commerciale:

V C S C Cit C it= - = - = -( )1

dove S = sconto commerciale In genere più che versare tale quota essa viene ritenuta in fase di erogazione del prestito.



2)Interessi Anticipati interessi = debito * tas_pdo * num_rate quota_int = interessi * (1 - tas_pdo * num_rate)


quota_cpt = debito / num_rate quota_int = 0 rata_cost = quota_cpt dbt_res = dbt_res - quota_cpt dbt_est = dbt_est + quo_cpt

� Esempio Debito = 10.000.000 Anni = 10 Tasso = 1% Interessi = Debito*Tasso*Anni = 10.000.000*0.01*100 = 1.000.000 Valore attuale = Interessi*(1-Tasso*Anni) = 1.000.000(1-0.01*10) = 900.000 Interessi Anticipati = 900.000

Anni Quota Capitale

Quota Interesse

Rata Debito Estinto

Debito Residuo

0 10.000.000 1 1.000.000 0 1.000.000 1.000.000 9.000.000 2 1.000.000 0 1.000.000 2.000.000 8.000.000 3 1.000.000 0 1.000.000 3.000.000 7.000.000 4 1.000.000 0 1.000.000 4.000.000 6.000.000 5 1.000.000 0 1.000.000 5.000.000 5.000.000 6 1.000.000 0 1.000.000 6.000.000 4.000.000 7 1.000.000 0 1.000.000 7.000.000 3.000.000 8 1.000.000 0 1.000.000 8.000.000 2.000.000 9 1.000.000 0 1.000.000 9.000.000 1.000.000

10 1.000.000 0 1.000.000 10.000.000 0

2.12. T.A.E.G.

Il Tasso Annuo Effettivo Globale rappresenta il reale tasso a cui viene ceduto un prestito bancario. Nel calcolo del TAEG si tengono in considerazione tutti i flussi finanziari, l'importo effettivamente erogato, in genere inferiore alla somma richiesta, in base alla quale viene sviluppato il piano. La relazione che permette il calcolo del TAEG è la seguente:

C F ijtj

j

n

= + −

=∑ ( )1

1

dove • C indica l'importo erogato; • Fj indica ciascun flusso finanziario che si verifica nel corso della durata del piano: in pratica rappresenta le rate del

piano d'ammortamento. Ciascun flusso viene attualizzato mediante il coefficiente (1+i)-tj; di tutti i flussi, dal primo (j=1) all'ennesimo (j=n), viene effettuata la somma algebrica (Σ);

• i rappresenta il TAEG, quindi l'incognita dell'analisi; Il termine t può essere considerato come unità temporale. Pertanto esso potrà valere 1/12 se la cadenza delle rate è mensile; 2/12 bimestrale; 6/12 semestrale; 1/360 giornaliera di un anno commerciale, ecc.. Possiamo dare una definizione non rigorosa del TAEG: Il TAEG, che esprime il rendimento effettivo dell'intera operazione di impiego del capitale, è quel tasso che rende uguali tra loro gli importi relativi: • al capitale impiegato all'inizio dell'operazione - erogazione di un finanziamento -. • alla somma del valore attuale di ciascun flusso finanziario successivo - valori attuali delle rate -. La determinazione del TAEG è possibile solo per approssimazione successive, in quanto esso non può essere isolato come incognita di un'equazione. Un metodo utilizzabile può essere quelle della risoluzione di un'equazione polinomiale mediante il metodo delle tangenti di Newton. Lo sviluppo polinomiale della relazione non comporta notevoli difficoltà dato che per sua natura tale polinomio si risolve con una sola soluzione.

� DATI INPUT netto_ero double /* Netto erogato - Indica il debito decurta to da spese, o interessi anticipati. */ periodicità double /* Serve per calcolare il parametro " t" nella formula */ num_rate integer /* Numero di rate */ flussi_arr array di double /* Struttura dati contenente tutti i flussi finanziari - rate - */ DATI OUTPUT taeg double /* TAEG */ PROCEDURA 1) INITIALIZZAZIONE

scarto = 0.00000001 innesco = 1.0

2)Come primo coefficiente si può indicare come il t ermine noto C coeff[0] = - netto_ero Ripetere per tutte le rate successive (i) e per tut ti i flussi: coeff[i] = flussi_arr [i-1]

3)Calcolo delle radici del polinomio utilizzando il metodo della tangente (Newton)

Ripetere a ritroso finché la divisione tra il polinomio e la derivata , nello stesso punto, non sia minore di un determinato scar to prefissato.

a) pol_x = coeff[ num_rate ] der_x = num_rate * coeff[ num_rate ] b) Calcolo del polinomio e della derivata nel punto innesco Per tutti i termini (da num_rate -1 a 1)

pol_x = coeff[indice] + innesco*pol_x der_x = indice * coeff[indice] + innesco*der_x

c) Aggiungere il termine noto pol_x coeff[0] + innesco * pol_x

d) innesco = innesco - pol _ x

der _ x

4. calcolo del taeg:

taeg = 100 * innesco-12

periodicità −1

/* ----------------------------------------------- * * * * Long Name : FNZ_PAM_TEAG_CAL * * Short Name : ASHYOM * * Date Created: 15/12/1996 * * Created by : Project FML C.G.I. Consulting * * * * ----------------------------------------------- */ /* ----------------------------------------------- * * Component per il calcolo del T.A.E.G. dalla * * formula: C = SOMMA( Fj(1+i)**(-tj) ) * * dove: C = indica il netto erogato * * Fj = j-esimo Flusso finanziario * * i = TAEG, l'incognita dell'analisi * * t = tempo * * range j: 1..num_rate * * ----------------------------------------------- */ /* ----------------------------------------------- * * Dati di Input: * * Numero di Rate * * Type: integer 15 * * Periodicità… * * Valori:1: mensile * * 2: bimestrale * * 3: trimestrale * * 4: quadrimestrale * * 6: semestrale * * 12: annuale * * Type: integer 15 * * Quota delle rate * * Struttura[240] * * Type: dec 31 * * fraction 2 * * Netto Erogato *

* Type: dec 31 * * fraction 0 * * * * Dati di Output: * * Esito * * Type: Integer 15 * * TAEG * * Type: dec 15 * * fraction 10 * * ----------------------------------------------- */ /* ----------------------------------------------- * * Codici dell'Esito * * (1) OK * * (22) netto erogato negativo * * ----------------------------------------------- */ #include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> #include "ASHYOM.hdr" #define SCARTO 0.00000001 #define INNESCO 1.0 /* -------------------------------*/ /* Codice Component */ /* -------------------------------*/ int ASHYOM(void *pThis) { /* Variabili Locali */ T_B i; double x = INNESCO; double pol_x, der_x ; float coeff[241]; double rata_max = 1.0; /* Variabili di Input */ char quota_rata_c[33]; char quota_erog_c[33]; char taeg_c[17]; double quota_rata[240]; double quota_erog; T_B periodicita; T_B num_rate; /* OUTPUT */ double taeg; INPUT_VIEW_NAME = get_input_view (pThis); OUTPUT_VIEW_NAME = get_output_view (pThis); /* ----------------------------------------------- ---- */ /* Inizializzazione variabili locali dai dati di i nput */ /* ----------------------------------------------- ---- */ num_rate = INPUT_VIEW_NAME -> V_NUMERO_RATE; periodicita = INPUT_VIEW_NAME -> V_FL_PERIODICITA_ INT; cnv_char_in (quota_erog_c, INPUT_VIEW_NAME -> V_AM MONTARE, 32);

/* ----------------------------------------------- ---- */ /* Conversione da char a double (Funzioni HPS) */ /* ----------------------------------------------- ---- */ cnv_dec_in (&quota_erog, quota_erog_c, 32, 0); if (quota_erog < 0) { OUTPUT_VIEW_NAME -> V_FL_ELB_ESI = 22; return(DONE_WITH_RULE); } /* ----------------------------------------------- ---- */ /* Caricamento delle quote rate (Flussi Finanziari ) */ /* ----------------------------------------------- ---- */ for (i=0; i<= num_rate - 1; i++) { cnv_char_in (quota_rata_c, INPUT_VIEW_NAME->V_FNZ_PAM_RATA_SL[i ].V_QUOTA_RATA, 32); cnv_dec_in (&quota_rata[i], quota_rata_c, 31, 2); } /* --------------------------------------------- * / /* Ricerca del massimo tra i flussi finanziari * / /* --------------------------------------------- * / /* for (i=0; i<= num_rate - 1; i++) rata_max = rata_max > quota_rata[i] ? rata_max : quota_rata[i]; */ rata_max = 1.0; /* -------------------------------------- */ /* Calcolo dei coefficienti del polinomio */ /* -------------------------------------- */ coeff[0] = (-1.0) * (quota_erog / rata_max); for (i=1; i<= num_rate; i++) coeff[i] = (double)(quota_rata[i-1] / rata_max); /* -------------------------------------- */ /* Calcolo delle radici del polinomio */ /* utilizzando il metodo della tangente */ /* (Newton) */ /* -------------------------------------- */ do { pol_x = coeff[num_rate]; der_x = num_rate * coeff[num_rate]; /* Valore del polinomio in x */ /* Valore della derivata in x */ for(i=num_rate - 1; i>=1; i--) { pol_x = coeff[i] + x*pol_x; der_x = i*coeff[i] + x*der_x; } /* Aggiungo il termine noto */ pol_x = coeff[0] + x*pol_x;

x = x - pol_x / der_x; }while (fabs (pol_x / der_x) >= SCARTO); /* Calcolo TAEG */ taeg = 100.0 * (pow(x, -12.0 / (double)periodicita ) - 1.0); /* ----------------------------------------------- ---- */ /* Conversione da double a char (Funzioni HPS) */ /* ----------------------------------------------- ---- */ cnv_dec_out( &taeg, taeg_c, 15, 10); /* ----------------------------------------------- ---- */ /* Conversione da char C a char HPS (Funzioni HPS) */ /* ----------------------------------------------- ---- */ cnv_char_out( taeg_c, OUTPUT_VIEW_NAME -> V_TAS_TA EG, 16); OUTPUT_VIEW_NAME -> V_FL_ELB_ESI = 1; return(DONE_WITH_RULE); } �

3 . R I F E R I M E N T I A T A B E L L E

Valori per l'input VARIABILE DESCRIZIONE CAMPO BATCH1 ON LINE /

SIMULAZIONE tipo_amr tipo

ammortamento CD_AMR_TIP CD_PAMR_TIP

TFML001

debito Importo richiesto

IM_REQ_FNZ TFML001

tasso_pdo 2 tasso periodale PC_STPL PC_TAS

TFML001 TFML053

periodicità Periodicità CD_PDO_AMR CD_PDO_PAMR

TFML001

num_rate Numero di rate NM_RAT_AMR NM_RAT_PAMR

TFML001

rata_pers Importo della rata costante personalizzata

IM_RATA_CSTN_PERS TFML001

tasso_agv 3 Tassi agevolatori

PC_TAS_CLI PC_TAS_ETE PC_TAS_LOR

TFML003

tasso_atl Tasso di attualizzazione

PC_TAS_ATL TFML003

num_rate_cnb N. rate contributive

NM_RAT_CBZ TFML003

tasso_rsc percentuale di capitale residuo prefissato

PC_CPT_RSD_PFS TFML001

netto_ero Netto erogato IM_NET_ERO TFML020

1Per lo sviluppo ex-novo di un piano si potranno utilizzare le stesse procedure che si usano per il batch. 2Il tasso periodale è un valore derivato dal tasso, periodicità e tipo tasso. Se il piano viene sviluppato per la prima volta e non un piano agevolato è equivalente al tasso di stipula, altrimenti del tasso lordo nella tabella delle agevolazioni; se si tratta di un tasso per il rifacimento di un piano si prende il tasso nella tabella delle variazione tasso. 3Se si vogliono sviluppare piano differenziati per cliente, ente e riferimento (cfr. §2.4)si prendono i rispettivi tassi.

Valori dell'ouput VARIABILE DESCRIZIONE CAMPO BATCH4 ON LINE /

SIMULAZIONE rata_cost Importo rata

totale IM_RT_TOT TFML030

quota_cpt Importo quota capitale

IM_QUO_CPT TFML030

quota_int Importo quota interessi

IM_QUO_INT_TOT TFML030

dbt_res Debito residuo IM_DBT_RSD_FNZ IM_DBT_RSD_DEC

TFML001 TFML030

dbt_est Debito estinto IM_DBT_EST_SCD TFML030

rata_cnb 5 Importo totale del contributo

IM_CNB_TOT TFML031

quota_cpt_ete Importo capitale a tasso ente

IM_CPT_TAS_ETE TFML031

quota_int_ete Importo interessi a tasso ente

IM_INT_TAS_ETE TFML031

taeg TAEG PC_TAEG TFML001

4Per lo sviluppo ex-novo di un piano si potranno utilizzare le stesse procedure che si usano per il batch. 5Nello sviluppo dei piani agevolati, ovviamente tutti i campi della tabella TFML031-RATA_AGV- vengono valorizzati come un normale piano di ammortamento.

sviluppo piani ammortamento

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