MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIEsuport de curs

I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ

I.1. Sisteme de ecuaţii liniare

Un sistem de m-ecuaţii liniare cu n-necunoscute nxxx ,...,, 21 se scrie sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+++

=+++=+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

M

(1.1.)

unde: ija şi ib cu m,...,1i = şi n,...,1j = sunt constante reale,

i

n

jjij bxa =∑

=1

, mi ,...,1= (1.2.)

sau sub formă matriceală: bAX = (1.3.)

unde:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nx

xx

XM2

1

,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mb

bb

bM2

1

Matricea A se numeşte matricea coeficienţilor, b se numeşte matricea termenilor liberi, iar X matricea necunoscutelor.

Studiul sistemelor se poate realiza şi prin metoda eliminării succesive (Metoda lui Gauss), pe lângă alte metode cunoscute din liceu.

1

Metoda lui Gauss constă în transformări elementare succesive ale sistemului într-un sistem echivalent, care va elimina pe rând câte o variabilă din toate ecuaţiile sistemului cu excepţia unei singure ecuaţii în care coeficientul variabilei va fi egal cu unitatea.

Se scriu coeficienţii tuturor necunoscutelor şi termenii liberi ai sistemului.

Calculul unui sistem echivalent se obţine astfel: linia întâi se împarte prin elementul 011 ≠a , 11a pivotul care se încadrează. Elementele coloanei întâi sunt zero. Celelalte elemente din celelalte linii se calculează formând un dreptunghi ce are ca diagonală segmentul ce uneşte locul elementului de calculat şi pivotul. Noul coeficient va fi egal cu diferenţa dintre produsul coeficienţilor de pe diagonala pivotului şi produsul coeficienţilor de pe cealaltă diagonală, diferenţa care se împarte la pivot.

Schematic obţinem:

11a 12a … na1 1b

21a 22a … na2 2b M M O M M

1ma 2ma … mna mb

1 12a′ … na1′ 1b′

0 22a′ … na2′ 2b′ M M O M M 0 2ma′ … mna′ mb′

unde:

11

11 a

aa j

j =′ , nj ,...,1=

11

1111

aaaaa

a ijijij

−=′ , mi ,...,2= , nj ,...,1=

2

11

1111

ababa

b iii

−=′ , mi ,...,2=

11

11 a

bb =′

În mod similar, în etapele următoare se obţin sisteme echivalente cu sistemul iniţial.

I.2. Sisteme de inecuaţii liniare

Un sistem de inecuaţii liniare cu n-necunoscute nxxx ,...,, 21 se scrie sub forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+++

++++++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

p

M

p

p

...

...

...

2211

22222121

11212111 (2.1.)

unde semnul „p ” reprezintă unul din semnele „≤ ” sau „≥ ”. Sistemul de inecuaţii care conţine atât inecuaţii cu semnul „≤ ” cât şi „≥ ” poate fi adus la un sistem care să conţină numai unul dintre aceste semne prin înmulţirea unor inecuaţii cu (-1). Se poate obţine aşadar una din situaţiile:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+++

≤+++≤+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

M

(2.2.)

sau

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+++

≥+++≥+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

M

(2.3.)

Studiul sistemelor de inecuaţii (2.2.) sau (2.3.) se reduce la studiul unui sistem de ecuaţii prin adunarea, respectiv scăderea, la fiecare ecuaţie a unei necunoscute auxiliare, pozitive cu rol de egalizare, şi anume:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++++

=++++=++++

mmnmnmm

nn

nn

byxaxaxa

byxaxaxabyxaxaxa

...

......

2211

222222121

111212111

M

(2.4.)

3

sau

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+++

=−+++=−+++

mmnmnmm

nn

nn

byxaxaxa

byxaxaxabyxaxaxa

...

......

2211

222222121

111212111

M

(2.5.)

unde 0≥iy , mi ,...,1= . Vom numi soluţie a sistemului de inecuaţii (2.2.), respectiv (2.3.), un

sistem de valori care verifică simultan toate inecuaţiile sistemului. Teoremă: Oricărei soluţii a sistemului de inecuaţii (2.1.) îi

corespunde o soluţie a sistemului de ecuaţii (2.4.) sau (2.5.) şi reciproc.

I.3. Spaţii vectoriale

Fie V o mulţime nevidă de elemente şi K un corp de scalări (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C) Pe mulţimea V se definesc două operaţii:

1. Operaţia de adunare „+” ca lege de compoziţie internă, care asociază fiecărei perechi de elemente ( ) VVyx ×∈, un element sumă

Vyx ∈+ . 2. Operaţia de înmulţire cu scalari „·” ca lege de comparaţie

externă, care asociază, fiecărei perechi de elemente ( ) VKx ×∈α, un element Vx∈⋅α .

Definiţie: Mulţimea nevidă V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă ( )+,V este grup abelian, adică verifică:

1.1. xyyx +=+ pentru ( ) Vyx ∈∀ , ; 1.2. )()( zyxzyx ++=++ pentru ( ) Vzyx ∈∀ ,, ; 1.3. ( ) VO∃ element neutru OV ∈ V astfel încât x+OV=OV+x=x,

( ) Vx∈∀ ; 1.4. ( ) Vx∈∀ , ( ) x−∃ element opus, Vx∈− , astfel încât

VOxxxx =+−=−+ )()( ; şi ( )⋅,V verifică: 2.1. ( ) xxx β+α=β+α pentru ( ) K∈βα∀ , , Vx∈ ; 2.2. ( ) yxyx α+α=+α pentru ( ) K∈α∀ , Vyx ∈, ;

4

2.3. ( ) ( )xx βα=β⋅α pentru ( ) K∈βα∀ , , Vx∈ ; 2.4. xxK =1 pentru KK ∈1 element neutru şi ( ) Vx∈∀ . Definiţie: Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un vector

Vv∈ se numeşte combinaţie liniară a vectorilor Vvvv m ∈,...,, 21

dacă există scalori Km ∈ααα ,...,, 21 , astfel încât:

mmvvvv α++α+α= ...2211 . Definiţie: Un sistem de vectori { }nvvv ,...,, 21 din V se numeşte

sistem de generatori ai spaţiului vectorial V dacă orice vector Vv∈ se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor nvvv ,...,, 21 .

Definiţie: Un sistem de vectori { }nvvv ,...,, 21 din V se numeşte sistem liniar independent dacă din 0...2211 =α++α+α nnvvv

rezultă nuli 0...21 =α==α=α n . Dacă există scalari nenuli, sistemul de numeşte sistem liniar

dependent. Propoziţie: Vectorii Vvvv n ∈,...,, 21 sunt liniar dependenţi

dacă şi numai dacă cel puţin un vector dintre ei este o combinaţie liniară de ceilalţi.

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori. VB ⊂ , { }mvvB ,...,1= se numeşte baza pe spaţiul vectorial V dacă este format dintr-un număr maxim de vectori liniar independenţi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaţiului.

Propoziţie: Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K şi { }nbbbB ,...,, 21= o bază a spaţiului V, atunci orice vector Vv∈ se

scrie în mod unic ca o combinaţie liniară a vectorilor bazei. Definiţie: Coeficienţii nααα ,...,, 21 ai reprezentării vectorului

Vv∈ în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B. Se poate scrie atunci ( )nv ααα= ,...,, 21 .

Spaţiul vectorial n-dimensional real este mulţimea:

5

1

2... ,ni

n

xx

x x x

x

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟= × × × = = ∈⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

M

pe care se definesc operaţiile:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

++

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+

nnnn yx

yxyx

y

yy

x

xx

yxMMM

22

11

2

1

2

1

şi

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α

αα

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

α=α

nn x

xx

x

xx

xMM

2

1

2

1

Propoziţie: Sistemul de vectori unitari:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

01

1M

b,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

10

2M

b, …,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

1

00

Mnb

formează o bază a spaţiului vectorial n numită baza canonică. Observaţie: În spaţiul n există o infinitate de baze. Propoziţie: Un sistem de vectori { } Vvvv n ⊂,...,, 21 sunt

vectori liniar independenţi dacă rangul matricei vectorilor este egal cu numărul vectorilor. Vectorii sunt liniar dependenţi dacă rangul matricei vectorilor este mai mic ca numărul vectorilor.

Consecinţă: În spaţiul vectorial n un sistem de n-vectori:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

na

av

1

11

1 M,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

na

av

2

21

2 M, …,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

n

n

a

av M

1

formează o bază a spaţiului dacă şi numai dacă determinantul matricei vectorilor este nenul.

Propoziţie. (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei) Fie nv∈ , { }naaaA ,...,, 21= şi { }nbbbB ,...,, 21=

două baze din n , unde:

6

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

2

1

v

vv M ,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

na

aa

1

11

1 M, …,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

n

n

a

aa M

1,

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nb

bb

1

11

1 M , …, ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

nn

n

n

b

bb M

1

şi, prin abuz de notaţie, notăm cu A şi B matricile asociate bazelor A şi B (matricile de trecere de la o bază oarecare la baza canonică).

Fie nαα ,...,1 coordonatele vectorului v în baza A, nββ ,...,1 coordonatele vectorului v în baza B, şi pentru fiecare i, ni ,...,1= ,

inii λλλ ,...,, 21 , coordonatele vectorului ia în baza B. Atunci:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

λα++λα=β

λα++λα=β

nnnnn

nn

...

...

11

11111

M

Scrisă matriceal, relaţia devine α=β M , unde

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

λλ

λλ=

nnn

n

M...

...

1

111

MOM

În plus avem relaţia ABM 1−= .

I.4. Spaţii euclidiene

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul de scalari K. O aplicaţie RVVf →×: , notată >=< yxyxf ,),( se numeşte produs scalar dacă satisface:

1. ( )yxyxyxx ,,, 2121 +=+ , ( ) Vyxx ∈∀ ,, 21 ;

2. >>=<< xyyx ,, , ( ) Vyx ∈∀ , ; 3. ><α>=α< yxyx ,, , ( ) Vyx ∈∀ , , ( ) K∈α∀ ; 4. 0, >≥< xx pentru ( ) Vx∈∀ . Definiţie: Un spaţiu vectorial E peste corpul K pe care s-a

definit un produs scalar se numeşte spaţiu euclidian. Definiţie: Într-un spaţiu euclidian real sau complex, doi vectori

Eyx ∈, se numesc vectori ortogonali dacă produsul loc scalar este nul, deci 0, >=< yx .

7

Definiţie: Fie E spaţiu euclidian. Un sistem Exxx n ∈,...,, 21 se numeşte sistem ortogonal de vectori dacă fiecare vector iv este

ortogonal pe toţi ceilalţi vectori. Deci 0, =ji xx pentru orice

ji ≠ , nji ,...,1, = . Propoziţie: În orice spaţiu euclidian n-dimensional peste

corpul K există cel puţin o bază ortogonală car e se poat e determina cu procedeul lui Gramm – Schmidt.

Se pleacă de la o bază oarecare a spaţiului E, { }nbbB ,...,1= şi se construiesc vectorii:

11 ba =

12121 aba λ−= M

11,2211 ... −−λ−−λ−λ−= nnnnnnn aaaba

Scalarii ijλ se vor determina punând condiţia ca oricare doi

vectori din { }naa ,...,1 să fie ortogonali, obţinând:

11

1221 ,

,aaab

=λ

şi prin recurenţă

jj

jiij aa

ab

,

,=λ

Procedeul descris mai sus poartă numele de procedeul lui Gramm – Schmidt.

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul K. O funcţie :f V +→ , notată xxf =)( se numeşte norma vectorului x,

Vx∈ dacă verifică: 1. 0≥x ;

2. xx ⋅α=α ;

3. yxyx +≤+ .

8

Norma unui vector pe un spaţiu euclidian se poate defini în mai multe feluri. Noi vom folosi norma definită cu ajutorul produsului scalar:

><= xxx , . Definiţie: Un spaţiu vectorial pe care s-a definit o normă se va

numi spaţiu vectorial normat. Propoziţie: În orice spaţiu vectorial normat există o bază

ortonormată adică o bază ortogonală în care norma fiecărui vector este egală cu unitatea.

I.5. Aplicaţii liniare

Definiţie: Fie V, V' două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaţie VVT ′→: se numeşte aplicaţie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiv şi omogen, deci verifică:

1. )()()( yTxTyxT +=+ , ( ) Vyx ∈∀ , ; 2. ( ) )(xTxT α=α , ( ) Vx∈∀ , ( ) K∈α∀ . Teoremă: O aplicaţie VVT ′→: este aplicaţie liniară dacă

şi numai dacă: ( ) )()( yTxTyxT β+α=β+α

Teoremă: Fie V, V' două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K; { }naaaB ,...,, 21= o bază a spaţiului Vectorial V şi

{ }nbbbB ,...,, 21=′ o bază a spaţiului vectorial V', atunci există o aplicaţie liniară VVT ′→: cu proprietatea: ( ) kk baT = pentru ( ) { }nk ,...,1∈∀ .

Fie aplicaţia liniară VVT ′→: , V,V' spaţii vectoriale peste un corp K, { }naaaB ,...,, 21= o bază a spaţiului vectorial V şi

{ }nbbbB ,...,, 21=′ o bază a spaţiului vectorial V'. Fie ia un vector oarecare din B atunci ( )iaT este un vector al spaţiului V' şi poate fi reprezentat în mod unic în funcţie de vectorii bazei B':

( ) niniii bbbaT α++α+α= ...2211

9

Matricea formată din coordonatele vectorilor ( ) ( ) ( )221 ,...,, aTaTaT în baza B' se va numi matrice asociată

aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze { }BB ′, .

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

ααα

αααααα

=′

nnnn

n

n

BB TM

...

...

...

)(

21

22212

12111

, MOMM

I.6. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi unei aplicaţii liniare

Definiţie: Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional peste corpul de scalari K şi VVT →: o aplicaţie liniară. Un scalar K∈λ se numeşte valoare proprie pentru aplicaţia liniară T dacă există cel puţin un vector nenul Vv∈ , astfel încât:

vvT λ=)( (6.1.) Vectorul nenul Vv∈ care verifică relaţia (6.1.) se numeşte

vector propriu pentru aplicaţia liniară T asociată valorii proprii λ . Prezentăm în continuare modul de determinare a valorilor şi

vectorilor proprii pentru o aplicaţie liniară. Fie VVT ′→: aplicaţie liniară cu matricea aplicaţiei TA

definită în baza { }naaB ,...,1= . Relaţia (6.1.) se mai scrie: 0)( =λ− vvT sau

( ) vnT OvEA =λ− (6.2.) Relaţia (6.2.) reprezintă scrierea matriceală a unui sistem

omogen. În consecinţă, coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluţiile sistemului omogen (6.2.). Soluţiile sistemului omogen (6.2.) nu sunt toate nule pentru că determinantul sistemului este nul.

Determinantul sistemului (6.2.): este:

( )

λ−

λ−λ−

=λ

nnnn

n

n

aaa

aaaaa

P

L

MMMM

L

L

21

22221

11211a

şi se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare T. Ecuaţia 0)( =λP se numeşte ecuaţie caracteristică a aplicaţiei T.

10

Se verifică teorema: Teoremă: Fie VVT →: . K∈λ este o valoare proprie a

aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

Observaţii: 1. Polinomul caracteristic şi deci ecuaţia caracteristică nu

depinde de baza aleasă. 2. Vectorii proprii asociaţi aplicaţiei liniare VVT →: pentru

valorile proprii determinate se obţin înlocuind valorile proprii în sistemul (6.2.) şi rezolvând sistemul. Soluţiile sistemului vor fi coordonatele vectorilor proprii asociaţi aplicaţiei T în raport cu baza B.

3. Fiecărei valori proprii λ îi corespund o infinitate de vectori proprii. Sistemul omogen (6.2.) este compatibil nedeterminat, căci P(λ)=0. Mulţimea soluţiilor formează un subspaţiu, numit subspaţiu propriu ataşat valorii proprii respective şi se notează

{ }vvTVvvE λ=∈=λ )(},0{\ .

4. Un vector propriu ν poate fi asociat ca vector propriu unei singure valori proprii a aplicaţiei liniare T.

Teoremă: Dacă pvv ,...,1 sunt vectori proprii ai aplicaţiei

liniare VVT →: asociaţi valorilor proprii distincte pλλ ,...,1 atunci sunt liniari independenţi.

Teoremă: Fie V spaţiu vectorial de dimensiune n, VVT →: o aplicaţie liniară şi nλλ ,...,1 , valori proprii distincte pentru T. Atunci există o bază B pentru V astfel încât matricea asociată aplicaţiei liniare T să aibă formă diagonală cu elementele diagonalei principale egale cu valorile proprii.

Teoremă: Fie V spaţiu vectorial de dimensiune n, VVT →: o aplicaţie liniară care are un polinom caracteristic: ( ) ( ) ( ) ( ) pm

pmmP λ−λλ−λλ−λ=λ ...2

21

1 cu nmmm =+++ 321 ... . Atunci există o bază B a spaţiului vectorial V, astfel încât matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze { },B B′ să aibă formă diagonală dacă şi numai dacă dimensiunea fiecărui

11

subspaţiu propriu i

Eλ corespunzător valorii proprii iλ este egală cu

im – ordinul de multiplicitate al valorii proprii respective

diagAT =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

4342143421pp m

pp

m

p λλλλ .....,.......,......1 .

Baza B este formată din vectori proprii aparţinând subspaţiilor proprii corespunzătoare.

I.7. Forme liniare. Forme pătratice

Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul real, de dimensiune n. O aplicaţie :f V → este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică:

1. )()()( yfxfyxf +=+ , Vyx ∈∀ , ; 2. )()( xfxf λ=λ , Vx∈∀ şi λ∀ ∈ . Definiţie: Fie V spaţiu vectorial peste corpul de dimensiune

n. O aplicaţie RVVf →×: este o formă biliniară dacă este liniară în raport cu ambele argumente, deci:

1. ( ) ( ) ( )yxbfyxafybxaxf ,,, 2121 +=+ , Vyxx ∈∀ ,, 21 şi ,a b∀ ∈ ;

2. ( ) ( ) ( )2121 ,,, yxbfyxafbyayxf +=+ , Vyyx ∈∀ 21 ,, şi ,a b∀ ∈ .

Pentru formele biliniare dăm o modalitate de scriere a acestora sub formă matriceală.

Observaţie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A.

Definiţie: O formă biliniară se numeşte forma biliniară simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa, T

ff AA = .

12

Definiţie: Fie un spaţiu vectorial V peste corpul real de dimensiunea n. O aplicaţie :g V → este o formă pătratică dacă există o aplicaţie biliniară simetrică :f V V× → , astfel încât

Axxxxfxg T== ),()( , ( ) Vx∈∀ .

Valorile 111 a=∆ ,

2221

12112 aa

aa=∆ , …,

nnn

n

n

aa

aa

...

...

1

111

MOM=∆ se numesc

minorii matricii A. Definiţie: Fie :g V → o formă pătratică. g este pozitiv

definită dacă toţi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari ( ,..., 31 ∆∆ ) sunt strict negativi, iar cei pari ( ,..., 42 ∆∆ ) sunt strict pozitivi; g este seminegativă definită dacă minorii impari sunt negativi sau zero şi minorii pari sunt pozitivi sau zero; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiţiile anterioare este o formă pătratică nedefinită.

Definiţie: Fie :g V → o formă pătratică. Într-o bază a spaţiului VB∈ forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală.

I.8. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică

Metoda Jacobi: Fie o formă pătratică :g V → , Axxxg T=)( , A – matrice simetrică. Dacă toţi minorii matricei A sunt nenuli, atunci există o bază B a spaţiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în forma canonică:

2122

2

121

1

.....1n

n

n yyyg(y)∆∆

++∆∆

+∆

= −

unde ( )nyy ,...,1 reprezintă coordonatele vectorului x în baza B. Metoda valorilor proprii: Această metodă determină valorile

proprii cu ajutorul ecuaţiei caracteristice ataşată matricei formei. Dacă această matrice poate fi transformată într-o matrice diagonală, atunci se poate determina o bază în care se poate scrie forma canonică.

Metoda Gauss: Această metodă formează pătrate perfecte când conţine cel puţin un 0≠iia .

13

II. PROGRAMARE LINIARĂ

II.1. Introducere În prezent, o serie de activităţi economice şi sociale complexe

conduc la rezolvarea unor probleme de optimizare. Astfel, probleme din domeniul planificării producţiei, de planificare a investiţiilor, probleme de transport, probleme de dietă etc. conduc la probleme de optimizare ale căror soluţii optime trebuie determinate. Modelarea lor matematică a permis utilizarea aparatului matematic furnizat de algebra liniară pentru determinarea soluţiilor optime. De exemplu, modelarea în unele probleme economice poate fi făcută astfel: notând cu ix ( ni ,...,1= ) nivelele la care trebuie să se desfăşoare n activităţi şi prin ( )nxxf ,...,1 funcţia obiectiv (de eficienţă) se cere să se determine valorile variabilelor ix , ( ni ,...,1= ) aşa încât funcţia obiectiv să ia valoarea maximă (minimă).

( ){ }nxxf ,...,min][max/ 1 (1.1.)

cu condiţiile ( ) 0,...,1 ≥nj xxf , mj ≤≤0 (1.2.)

numite şi restricţiile problemei. Dacă funcţiile f şi jf , ( mj ,...,1= ) sunt funcţionale liniare,

problema este de programare liniară.

II.2. Forma generală a problemei de programare liniară

Forma generală a unei probleme de programare liniară este:

j

n

iiij bxa ≤∑

=1

, kj ,...,1= (2.1.)

j

n

iiij bxa ≥∑

=1

, lkj ,...,1+= (2.2.)

j

n

iiij bxa =∑

=1

, mlj ,...,1+= (2.3.)

01≥ix , 0,...,0

2≥≥

pii xx ,

0,...,01

≤≤+ ripi xx , (2.4.)

14

celelalte variabile nu au semnul specificat

∑=

=n

iii xcf

1

min][max/ (2.5.)

O problemă de programare liniară poate fi formulată şi matriceal dacă toate inecuaţiile sistemului de restricţii au acelaşi sens (condiţie care poate fi uşor îndeplinită înmulţind cu –1 inecuaţiile (2.1.) sau (2.2.).

De exemplu, notând cu ( )nmijaA

×= , ( )tmbbb ,...,1= ,

( )nccC ,...,1= şi ( )tnxxX ,...,1= problema din exemplul 1. Se scrie:

CXfX

bAX

=≥≤

[min]0 (2.6.)

Forma standard a unei probleme de programare liniară este: bAX = (2.7.)

0≥X (2.8.) CXf =min][max/ (2.9.)

Orice problemă de programare liniară poate fi adusă la forma standard.

Toate inecuaţiile din sistemul de restricţii pot fi transformate în egalităţi adunând sau scăzând (după caz) o serie de variabile nenegative numite variabile ecart sau de compensare. În acest fel din matricea ( )ijaA = obţinem matricea 1A obţinută din A la care s-au adăugat l vectori coloană cu toate elementele nule cu excepţia elementului situat pe linia j care este +1 pentru inecuaţiile ≤ sau –1 pentru inecuaţiile ≥ , iar vectorul

( )tnxxX ,...,1= devine 1X obţinut din X prin adăugarea a l componente nenegative lnn xx ++ ,...,1 şi care reprezintă activităţi fictive. Analog C devine

( )0,...,0,,...,11 nccC = , adăugând la C, l componente nule. Variabilele nenegative

pii xx ,...,1

rămân aceleaşi, iar în locul

variabilelor negative ripi xx ,...,

1+ vom introduce noi variabile

nenegative prin substituţiile: kk xw −= ( rp iik ,...,1+= ).

15

Variabilele niri

xx ,...,1+

care nu au semnul specificat se pot înlocui

fictiv cu diferenţa a două variabile presupuse nenegative, şi anume:

kikikivux −= , 0≥

kiu , 0≥

kiv , ( nrk ,...,= ).

Aceste modificări conduc la forma extinsă a problemei de programare liniară:

11

1

11

min][max/0

XCfX

bXA

=≥=

care este forma standard.

II.3. Soluţiile problemei de programare liniară

În continuare vom considera problema standard (S) de programare liniară. Pentru compatibilitatea sistemului (2.7.) considerăm că

)(AbrangrangA = şi mrangA = ceea ce implică nm ≤ . Definiţia 3.1: Numim soluţia posibilă (sau realizabilă) a

problemei (S) un vector ( )tnxxX ,...,1= din spaţiul soluţiilor care satisface (2.7.) şi (2.8.).

Mulţimea soluţiilor posibile este o submulţime a spaţiului vectorial n-dimensional al soluţiilor, ea poate fi vidă, redusă la un punct, infinită dar mărginită, infinită şi nemărginită aşa cum rezultă din exemplele pe care le vom analiza.

Se demonstrează că mulţimea soluţiilor posibile este o mulţime convexă.

Definiţia 3.2: O soluţie posibilă (sau realizabilă) X se numeşte soluţie de bază (sau program de bază) dacă are cel mult m componente strict pozitive (

rii xx ,...,1

, mr ≤ ) şi dacă vectorii coloană

rii aa ,...,1

corespunzător coordonatelor nenule ri

x ( mr ≤ ), ale

vectorului X sunt liniar independenţi. Dacă soluţia de bază are exact m componente nenule ea este

nedegenerată, în caz contrar (dacă conţine mai puţin de m componente nenule) ea este degenerată.

Definiţia 3.3: Se numeşte soluţie optimă a problemei (S) o soluţie posibilă care satisface cerinţa de optim (2.9).

16

II.4. Metoda simplex de rezolvare a unui program liniar standard

Fie programul standard bAX = (4.1.)

0≥X (4.2.) (S) CXf =[max] (4.3.)

cu notaţiile din paragraful 1. Dacă vectorii coloană ai matricei A ,

miii aaa ,...,,21

formează o bază în mR , atunci miii xxx ,...,,

21 se numesc

coordonate bazice (variabile de bază). Matricea A poate fi descompusă în două submatrice B formată din vectorii

mii aa ,...,1

şi

E formată cu celelalte coloane, deci: EBA = (4.4.)

şi analog ( )EB CCC ,= , ( )tEB XXX ,= (4.5.)

iar forma standard se scrie: ( ) bXXEB t

EB =, (4.6.)

0≥BX , 0≥EX (4.7.)

( )( )tEBEB XXCCf ,,[max] = (4.8.) Făcând calculele, rezultă

bEXBX EB =+ (4.9.) 0≥BX , 0≥EX (4.10)

EEBB XCXCf +=[max] (4.11.) O soluţie a sistemului (4.9) este

EB EXBbBX 11 −− −= (4.12.)

Luând aici 0=EX obţinem o soluţie de bază pentru (4.9.), şi anume:

bBX B1−= (4.13.)

Dacă 0≥BX spunem că baza { }mii aaB ,...,

1= este primal

admisibilă. Dacă vectorul ( ) tjmijijij y,...,y,ya 21= ( nj ,...,1= ) are aceste

componente în raport cu baza B iar ( )miiiE cccC ,...,,

21= ,

17

∑∈

=Ii

ijij ycx , { }miiI ,...,1= , Jj∈ (4.14.)

cu { } InJ \,...,1= . Dispunând de o bază primal admisibilă se întocmeşte tabelul

simplex în care trecem: a) soluţia bBX B

1−= ; b) ( )

miiB ccC ,...,1

= ;

c) ∑∈

==Ii

iiBBB xcXCf ~ valoarea funcţiei obiectiv corespunzătoare

soluţiei de bază; d) ( ) t

jmijijij y,...,y,yaB 211 =− care reprezintă coordonatele

vectorilor ja , nji ≤≤ în baza B; dacă B este baza canonică ijy sunt coeficienţii din sistemul de restricţii dat;

e) se calculează ∑∈

=Ii

ijij ycf ;

f) se calculează diferenţele ⎪⎩

⎪⎨⎧

∈

∉−=−∑∈

Ij

Ijcycfc j

Iiiji

jj0

Un astfel de tabel simplex, considerând că { }mI ,...,1= , arată deci sub forma:

În continuare se aplică testul de optimalitate al soluţiei BX şi bazat

pe următoarele teoreme pe care le dăm fără demonstraţie, şi anume:

18

Teorema 4.1: Dacă 0≤− jj fc pentru toţi Jj∈ , problema de programare liniară are optim finit şi Bopt ff = .

Teorema 4.2: Dacă pentru un indice Jj∈ pentru care 0>− jj fc toate componentele 0≤jky , programul are optim infinit.

a. Dacă toţi 0≤− jj fc , Jj∈ atunci BX este soluţia optimă şi

Bopt ff = . b. Dacă există cel puţin o diferenţă 0>− jj fc atunci soluţia nu

este optimă. În acest caz există următoarele posibilităţi: a. Fie Jl∈ aşa încât 0>− ll fc şi dacă toţi 0≤ijy Ii∈ ,

problema nu are optim finit. b. Fie Jl∈ cu 0>− ll fc şi există cel puţin un 0>ijy , atunci

soluţia poate fi îmbunătăţită. Se trece la prima iteraţie prin care se determină vectorul care

intră în bază şi vectorul care iese din bază. Indicele k al vectorului care intră în bază ne este dat de:

{ }0max >−−=− jjjjkk fcfcfc (4.15.)

iar indicele h al vectorului care iese din bază este dat de:

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

>∈= 0,~

min~

ikik

i

kh

k yIiyx

yx (4.16.)

În acest mod vectorului ha din bază îi ia locul vectorul ka . Se stabileşte elementul pivot ykh ykh şi se recalculează toate

elementele tabloului simplex şi se obţine o nouă soluţie de bază. Dacă această soluţie nu este optimă se trece la iterata următoare.

II.5. Metoda bazei artificiale

În problemele studiate anterior, matricea sistemului de restricţii conţinea vectori unitari care alcătuiau o bază unitară, ceea ce uşura determinarea unei soluţii iniţiale de bază. Dacă această bază unitară nu există, recurgem la metoda bazei artificiale prin introducerea variabilelor 0≥a

kx pentru a avea o bază primal admisibilă şi se rezolvă problema de programare liniară.

19

bIXAX a =+ )( 0≥X , 0)( ≥aX

)([max] aXCXf λ−= cu λ un număr real arbitrar strict pozitiv (pentru f[min] se

adaugă )(aXλ+ ). Orice soluţie posibilă a problemei iniţiale este o soluţie posibilă

a programului extins pentru care valorile tuturor variabilelor artificiale sunt nule şi, reciproc, orice soluţie posibilă a programului extins în care toate variabilelor artificiale sunt nule este o soluţie a programului iniţial după înlăturarea acestora.

II.6. Cazul în care sistemul de restricţii conţine inegalităţi

Am văzut în paragraful 1 că orice program liniar poate fi adus la forma standard prin adăugarea (pentru inegalităţi de tipul ≤ ) sau scăderea (pentru inegalităţi de tipul ≥ ) a unor variabile ecart (de compensare) care pot fi interpretate economic ca reprezentând activităţi fictive pe care întreprinderea nu le efectuează şi cărora în funcţia de eficienţă le vor corespunde beneficii nule. Problema extinsă se rezolvă prin metoda simplex studiată anterior.

II.7. Dualitatea în programarea liniară

Problema dualităţii în programarea liniară prezintă un interes deosebit din punct de vedere matematic, cât şi economic. În paragra-fele anterioare am făcut ipoteza ca mrangA = până la metoda bazei artificiale, rămânând totuşi restricţia nm ≥ care nu va mai fi necesară în abordarea problemei duale.

Pentru formarea unui program dual trebuie să ţinem seama de următoarele reguli:

1) fiecărei variabile nenegative (nepozitive) din programul primal îi corespunde în programul dual o inecuaţie ≥ (≤ );

2) unei variabile fără semn specificat din programul primal îi corespunde în dual o ecuaţie;

3) coeficienţii funcţiei obiectiv din problema primală sunt opuşii termenilor liberi din sistemul de restricţii al problemei duale;

4) termenii liberi ai restricţiilor din problema primală sunt opuşii coeficienţilor funcţiei obiectiv din problema duală;

20

5) fiecărei restricţii de forma ≥ (≤ sau =) din programul primal îi corespunde în cel dual o variabilă nenegativă (nepozitivă sau oarecare);

6) matricea coeficienţilor din sistemul de restricţii din programul dual este transpusă matricii coeficienţilor din programul primal.

Utilizând notaţiile vectoriale avem următoarele forme de programe duale:

Dacă programul primal este: bAX ≤ (7.1.)

0≥X (7.2.) (P) CXf =[max] (7.3.)

atunci programul dual va fi: CYA ≥ (7.4.) 0≥Y (7.5.) (D)

Ybg =[min] (7.6.) În problema (P) putem da următoarele interpretări elementelor: ix

poate fi vectorul preţurilor unitare ale bunurilor rezultate din desfăşurarea activităţilor, vectorul jb – cererea de produse (sau disponibilul de materii prime), ic – costul fiecărei activităţi (sau beneficiul realizat din desfăşurarea activităţii), iar valoarea totală a bunurilor create să fie maximă. Putem interpreta problema duală (D) astfel: dacă ix să reprezinte nivelul la care se desfăşoară activităţile fenomenului economic respectiv; jb – cererea de produse (sau disponibilul de materii prime);

ic – costul fiecărei activităţi (sau beneficiul realizat din desfăşurarea activităţii respective), să se determine nivelul fiecărei activităţi ix aşa încât să fie îndeplinite sau depăşite cererile jb , iar costul total al activităţilor desfăşurate să fi minim.

Dacă programul primal (P) este dat sub forma standard: bAX = (7.7.)

0≥X (7.8.) (P) CXf =[max] (7.9.)

dualul va fi: CYA ≥ (7.10.)

Y oarecare (7.11.) (D) Ybg =[min] (7.12.)

21

De observat că dualul nu are forma standard. Între cuplurile de probleme duale există o strânsă interdependenţă

a soluţiilor lor. Vom da în continuare câteva rezultate fără demonstraţie. Lemă: Dacă X şi Y constituie soluţii posibile pentru cuplul de

programe (P) – (D), avem inegalitatea: YbCX ≤ .

Pentru un cuplu de programe liniare duale teorema de existenţă ne asigură de următoarele posibilităţi:

Teorema 7.1 (de existenţă): Pentru un cuplu de programe liniare duale avem alternativele următoare:

a) nici unul din programe nu admite soluţii posibile; b) un program are optim finite iar celălalt nu admite soluţii

posibile; c) ambele programe admit soluţii optime finite. Teorema 7.2 (fundamentală a dualităţii): Pentru un cuplu de

programe duale (2.7.) – (7.12.), condiţia necesară şi suficientă pentru ca soluţia realizabilă de bază X a programului primal (P) să fie optimă, este să existe o soluţie realizabilă de bază Y a programului dual (D) aşa încât să avem:

YbCX = (7.13.) Pe baza teoremei dualităţii se poate da şi următorul rezultat: Teorema 7.3: Pentru un cuplu de programe lianiare duale (P) – (D)

condiţia necesară şi suficientă ca soluţiile posibile X şi Y să fie optime este:

( )( ) 0

0=−=−

XYACAXbY (7.14.)

II.8. Probleme de transport

Problemele de transport sunt o formă particulară a problemelor de programare liniară pentru care metoda simplex poate fi adoptată, condiţiilor particulare, având ca rezultat un procedeu de rezolvare în principiu identic celui utilizat în cazul general. Primele rezultate au fost obţinute de Hitchcock, Kantorovici şi Koopmans şi, ulterior, de Dantzig. În practică, o asemenea problemă poate fi întâlnită, de exemplu, sub forma următoare: un anumit produs se află în cantităţile

22

maaa ,...,, 21 în punctele mAAA ,...,, 21 numite şi surse. El trebuie transportat în punctele nBBB ,...,, 21 numite destinaţii în cantităţile

nbbb ,...,, 21 , urmărind minimizarea cheltuielilor de transport şi cunoscând preţurile unitare de transport ijc de la sursa i către destinaţia j . Formularea matematică a problemei este:

i

n

jij ax ≤∑

=1

, mi ,...,1= (8.1.)

j

m

iij bx ≥∑

=1

, nj ,...,1= (8.2.)

0≥ijx (8.3.)

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcf

1 1[min] (8.4.)

0≥ia , 0≥jb , 0≥ijc , ∑∑==

≥n

jj

m

ii ba

11

(8.5.)

unde am notat prin ijx cantităţile transportate de la sursa i către destinaţia j .

Relaţiile (8.1) sunt impuse de faptul că totalul transportat de la fiecare sursă să nu depăşească cantitatea existentă, condiţiile (8.2) impun satisfacerea cererii, iar (8.5.) apar naturale în contextul concret al problemei.

Prin transformări elementare, acest tip de problemă poate fi adus la forma echilibrată:

∑=

=n

jiij ax

1

, mi ,...,1= (8.1'.)

j

m

iij bx =∑

=1

, nj ,...,1= (8.2'.)

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcf

1 1[min] (8.3'.)

0≥ia , 0≥jb , 0≥ijc , ∑∑==

=n

jj

m

ii ba

11

(8.4'.)

23

Pentru rezolvarea problemelor de transport, ca şi în cazul problemelor generale de programare liniară, algoritmul de rezolvare are două etape:

a) aflarea unei soluţii iniţiale realizabile de bază; b) îmbunătăţirea soluţiei iniţiale până la obţinerea soluţiei optim. Vom da în continuare două procedee de obţinere a unei soluţii

iniţiale realizabile de bază. 1. Metoda diagonalei (metoda colţului nord-vest) Cantităţile disponibile maa ,...,1 şi cererile corespunzătoare

nbb ,...,1 se dispun pe laturile unui tabel iar celulelele din interiorul tabelului se rezervă pentru necunoscutele ijx ( mi ,...,1= ; nj ,...,1= ) care trebuie determinate.

1a

M ia

M ma

1b … jb … nb s

Componentele bazice ijx ale soluţiei se determină pe rând

începând cu 11x , şi anume: Se alege { }1111 ,min bax = şi vor fi considerate nebazice (deci

vor fi egali cu zero) toate variabilele de pe aceiaşi linie (sau coloană) cu x11 conform următoarelor situaţii:

a) dacă 11 ba < atunci 111 ax = iar 01 =jx , nj ,...,2= ;

b) dacă 11 ba > atunci 111 bx = şi 01 =ix , mi ,...,2= ; c) dacă 11 ba = atunci 1111 bax == şi toate celelalte componente

de pe linia 1 şi coloana 1 fiind considerate nebazice, deci, nule. Concomitent se modifică şi valorile lui 1a şi 1b , înlocuindu-se

cu 1a cu 111 xa − şi 1b cu 111 xb − .

24

În pasul următor, procedeul se repetă pentru celulele rămase necompletate şi se termină după 1−+ nm paşi, în fiecare pas completând o linie (situaţia a) sau o coloană (situaţia b) sau o linie şi o coloană (situaţia c).

De regulă, componentele nebazice nu se trec în tabel, ci se haşurează căsuţa respectivă.

2. Metoda costurilor minime Pentru determinarea soluţiei de bază se iau în considerare costurile

care ne indică ordinea de alegere a componentelor în fiecare pas. În primul pas se determină componenta khx pentru care

{ }ijkh cc min= şi se ia { }hkkh bax ,min= cu cele trei alternative ca la metoda diagonalei. Se repetă procedeul, urmărind costurile minime pentru celulele necompletate.

Metoda costurile minime dă în general o soluţie iniţială de bază mai bună decât metoda diagonalei, realizând o valoare a cheltuielilor de transport mai mică. Acest lucru e util, deoarece numărul iteraţiilor necesare pentru atingerea optimului va fi mai mic.

Pentru determinarea soluţiei optime a unei probleme de transport se utilizează algoritmul bazat pe adoptarea metodei simplex la condiţiile particulare ale problemei de transport.

III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

III.1. Funcţii vectoriale

Se spune că f este o funcţie vectorială de variabilă vectorială dacă : mf E → , unde nE ⊆ şi f o funcţie oarecare.

Dată funcţia vectorială : mf E → se vor considera următoarele funcţii reale: :if E → , mi ,...,2,1= , unde ( ) ii yxf = ,

iar ( )1 2( ) . ,..., mmf x y y y= ∈ .

Se adoptă notaţia: ( )mffff ,...,, 21=

funcţiile mfff ,...,, 21 se numesc componentele reale ale lui f .

25

În mod canonic se introduc operaţiile cu funcţii vectoriale: ( )( ) ( ) ( )xgxfxgf +=+ , Ex ∈

( )( ) ( ) ( )xgxfxgf ⋅=⋅ Ex ∈ ( )( ) ( )xfxf λ=λ Ex ∈ , λ ∈

Mulţimea funcţiilor vectoriale : mf E → formează un spaţiu vectorial.

De asemenea, se introduce produsul scalar şi norma pentru aceste funcţii vectoriale:

( ) ( ) ( )xgxfxgf ,, = , Ex ∈ ;

( ) ( )xfxf = , Ex ∈ .

Dacă ( )mffff ,...,, 21= şi ( )mgggg ,...,, 21= , atunci:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑=

==m

iii xgxfxgxfxgf

1,,

adică ∑=

=m

iii gfgf

1, (produsul scalar).

De asemenea, ∑=

==m

iiffff

1

2, (norma).

Fie mulţimea nE ⊂ , mF ⊂ şi funcţiile FEf →: , : pg F → . Se consideră funcţia compusă:

: ph g f E= →o , ( ) ( )( )xfgxh = , Ex ∈ . Teorema 1: În condiţiile de mai sus, dacă ( )mffff ,...,, 21= ,

( )pgggg ,...,, 21= şi ( )phhhh ,...,, 21= , atunci: ( ) ( )( )xfgxh 11 = ,

( ) ( )( )xfgxh 22 = , …, ( ) ( )( )xfgxh pp = şi

( ) ( ) ( )( )nmnn xxxfxxxfgxxxh ,...,,,...,,...,,,...,, 2121121 = .

Definiţia 1: Funcţia : mf E → este mărginită dacă mulţimea ( )Ef este mărginită.

26

Teorema 2: Funcţia : mf E → este mărginită dacă şi numai dacă există un număr real 0>M , astfel încât ( ) Mxf < pentru orice Ex ∈ .

Teorema 3: Funcţia ( )mffff ,...,, 21= este mărginită dacă şi numai dacă 1f , 2f , …, mf sunt mărginite.

Definiţia limitei unei funcţii reale se extinde şi pentru funcţii vectoriale. Fie mulţimea nE ⊂ , 0x un punct de acumulare pentru E şi

funcţia vectorială : mf E → . Definiţia 2: Un vector ml ∈ este limita funcţiei f în punctul

0x , dacă pentru orice vecinătate U a lui l (în m ) există o

vecinătate V a lui 0x (în n ), astfel încât oricare ar fi EVx I∈ ,

0xx ≠ , atunci ( ) Uxf ∈ . Scriem: ( )xflxx 0

lim→

= (" ( ) lxf → când

0xx → ", sau ( ) lxf xx ⎯⎯ →⎯ → 0 ). Propoziţiile următoare dau definiţii echivalente ale limitei.

Demonstraţia lor se face la fel ca şi în cazul funcţiilor reale de o singură variabilă.

Propoziţia 1: ( ) lxfxx

=→ 0lim dacă şi numai dacă pentru orice şir

0xxk → , Exk ∈ , 0xxk ≠ , atunci ( ) lxf k → . Propoziţia 2: ( ) lxf

xx=

→ 0lim dacă şi numai dacă pentru orice

număr 0>ε , există un număr ( ) 0>εδ , astfel încât oricare ar fi

0xx ≠ din E, cu ( )εδ<− 0xx , atunci: ( ) ε<− lxf .

Propoziţia 3: ( ) lxfxx

=→ 0lim dacă şi numai dacă pentru orice

număr 0>ε există o vecinătate V a lui 0x (V depinde de ε ), astfel

încât condiţiile EVx I∈ şi 0xx ≠ implică ( ) ε<− lxf .

27

Propoziţia 4: ( ) lxfxx

=→ 0lim dacă şi numai dacă pentru orice

vecinătate U a lui l există un număr 0>δ (care depinde de U ), astfel încât condiţiile Ex ∈ , 0xx ≠ şi δ<− 0xx implică ( ) Uxf ∈ .

Dacă ( )npppp xxxx ,...,, 21= şi ( )naaaa ,...,, 21= condiţia

ax pp ⎯→⎯ este echivalentă cu 11 ax pp ⎯→⎯ , 22 ax pp ⎯→⎯ , …,

apnp ax ⎯→⎯ . De aceea, în loc de ( )xfax→

lim , limita se mai notează şi

astfel: ( )n

nanx

axxxf ,...,lim 1

11

→

→M

. Astfel, pentru o funcţie de două variabile

( )yxf , , limita sa în punctul ( )00 , yx se scrie ( )yxfyyxx

,lim00

→→

.

Se spune că aceasta este limita funcţiei f când x şi y tind independent (dar simultan) către 0x şi respectiv 0y . În acest caz, propoziţia 2 se poate transcrie astfel:

" ( ) lyxfyyxx

=→→

,lim00

dacă şi numai dacă pentru orice 0>ε există

un număr ( ) 0>εδ , astfel încât oricare ar fi ( ) ( )00 ,, yxyx ≠ din E cu

( )εδ<− 0xx şi ( )εδ<− 0yy , atunci ( ) ε<− lyxf , ".

Se defineşte limita funcţiei : n mf E ⊂ → relativ la o mulţime EA ⊂ , într-un punct de acumulare a lui A , la fel ca şi pentru funcţii reale de o singură variabilă.

Un vector ml ∈ este limita funcţiei f în punctul a relativ la submulţimea A dacă pentru orice şir axp → , Axp ∈ , axp ≠ ,

avem ( ) lxf p → . Se notează: ( )xflAxax

∈→

= lim .

28

Dacă ( )xfax→

lim există, atunci şi ( )xfAxax

∈→

lim există şi cele două

limite sunt egale. Dacă însă există ( )xfAxax

∈→

lim nu rezultă neapărat că

există ( )xfax→

lim .

În particular, dacă A este intersecţia mulţimii E cu o dreaptă d care trece prin a , atunci ( )xf

Axax

∈→

lim se numeşte limita funcţiei f după

direcţia d . Toate proprietăţile limitelor de funcţii reale, care nu implică

relaţia de ordine şi produsul, se păstrează şi pentru funcţiile vectoriale, iar demonstraţiile sunt aceleaşi.

1. Limita unei funcţii vectoriale într-un punct, dacă există, este unică.

2. Dacă ( ) lxfxx

=→ 0lim , atunci ( ) lxf

xx=

→ 0lim .

3. ( ) lxfxx

=→ 0lim dacă şi numai dacă ( )( ) 0lim

0=−

→lxf

xx, adică,

dacă şi numai dacă ( ) 0lim0

=−→

lxfxx

.

4. Dacă ( ) 0lim0

≠→

xfxx

, atunci există o vecinătate V a lui 0x ,

astfel încât ( ) 0≠xf oricare ar fi 0xx ≠ din EV I . 5. Funcţia f are limită în 0x dacă şi numai dacă pentru orice

număr 0>ε există o vecinătate V a lui 0x , astfel încât oricare ar fi

EVxx I∈′′′, , 0xx ≠′ , 0xx ≠′′ , atunci ( ) ( ) ε<′′−′ xfxf .

6. Criteriu. Fie : mf E → şi :h E → . Dacă ( ) 0lim

0=

→xh

xx şi dacă există un vector ml ∈ şi o vecinătate V a lui

0x , astfel încât ( ) ( )xhlxf ≤− pentru orice 0xx ≠ din EV I ,

atunci ( ) lxfxx

=→ 0lim .

29

7. Dacă , : mf g E → au limite în 0x , atunci funcţiile

, : mf g fg E+ → au limită în 0x şi ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )xgxf

xgxfxgf

xxxx

xxxx

0

limlim

limlim

0

00

→→

→→

+=

=+=+

( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

==

→→

→→

xgxf

xgxfxfg

xxxx

xxxx

00

00

limlim

limlim

8. Dacă : mf E → şi : Eϕ → au limită în 0x , atunci

funcţia : mf Eϕ → are limită în 0x şi ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ϕ=

=ϕ=ϕ

→→

→→

xfx

xfxxf

xxxx

xxxx

00

00

limlim

limlim

În particular, pentru ( ) α=ϕ x se deduce ( ) ( )xfxf

xxxx 00limlim→→

α=α .

Propoziţia 5: Fie funcţia : n mf E ⊂ → şi

1 2, ,..., :mf f f E → componentele sale reale, ( )mffff ,...,, 21= . Atunci: ( ) lxf

xx=

→ 0lim dacă şi numai dacă ( ) iixx

lxf =→ 0

lim ,

mi ,...,2,1= , unde ( )1 2, ,..., mml l l l= ∈ .

III.2. Limite iterate

Fie ( )nxxxf ,...,, 21 o funcţie vectorială de n variabile,

: n nf E ⊂ → . Din această funcţie se poate obţine funcţia vectorială de o singură variabilă şi anume, funcţiile sale parţiale:

30

( )nxxxfxf ,...,,: 2111 a

( )nxxxfxf ,...,,: 2122 a M ( )nnn xxxfxf ,...,,: 21a

Se pot considera atunci limitele acestor funcţii de o singură variabilă, ( ) ( )n

iaixiiiaix

xxxfxf ,...,,limlim 21→→= , ni ,...,2,1= , dacă ia

este punct de acumulare al mulţimii ( ){ }1 2, , ,...,i i i nE x x x x x E= ∈ ∈ .

Limita funcţiei if este un număr care depinde de celelalte 1−n variabile reale, diferite de ix .

Se pot considera apoi ( )niaixjajx

xxxf ,...,,limlim 21→→, ji ≠ . Această

limită este un număr care depinde de celelalte 2−n variabile diferite de ix şi jx . Se poate considera limita iterată a acestei funcţii în raport cu toate variabilele pe rând. Această limită este un număr care nu mai depinde de nici una din variabile. Aceasta se numeşte limita iterată a funcţiei f .

Pentru funcţiile de două variabile ( )yxf , se pot considera limite iterate: ( )yxf

yyxx,limlim

00 →→ şi ( )yxf

xxyy,limlim

00 →→. Se spune că

acestea sunt limitele funcţiei ),( yxf când x şi y tind succesiv respectiv către 0x şi 0y .

Legătura dintre limite şi limitele iterate este dată de: Propoziţia 1: Dacă există limita funcţiei într-un punct şi una

din limitele iterate în acest punct, atunci aceste limite sunt egale.

III.3. Continuitatea funcţiilor vectoriale

Definiţia continuităţii funcţiilor reale de o singură variabilă se extinde şi pentru funcţii vectoriale.

Definiţia 1: Fie funcţia : n mf E ⊂ → şi un punct Ex ∈0 .

Funcţia f este continuă în 0x dacă pentru orice vecinătate U a lui

31

( )0xf există o vecinătate V a lui 0x , astfel încât oricare ar fi EVx I∈ , atunci ( ) Uxf ∈ .

Următoarele propoziţii dau definiţii echivalente ale continuităţii: Propoziţia 1: Funcţia f este continuă în punctul 0x dacă şi

numai dacă pentru orice şir 0xx pp ⎯→⎯ , Exp ∈ , atunci

( ) ( )0xfxf pp ⎯→⎯ .

Propoziţia 2: Funcţia f este continuă în 0x dacă şi numai dacă pentru orice număr 0>ε există un număr ( ) 0>εδ , astfel încât oricare ar fi Ex ∈ cu ( )εδ<− 0xx , atunci ( ) ( ) ε<− 0xfxf .

Propoziţia 3: Funcţia f este continuă în 0x dacă şi numai dacă pentru orice număr 0>ε există o vecinătate V a lui 0x , (V depinde de ε ), astfel încât oricare ar fi VEx I∈ , atunci

( ) ( ) ε<− 0xfxf .

Propoziţia 4: Funcţia f este continuă în punctul 0x dacă şi numai dacă pentru orice vecinătate U a lui ( )0xf există un număr

0>δ (care depinde de U), astfel încât oricare ar fi Ex ∈ cu δ<− 0xx să avem ( ) Uxf ∈ .

Propoziţia 5: Funcţia f este continuă în punctul 0x dacă şi

numai dacă ( ) ( ) 0lim 00

=−→

xfxfxx

.

Se spune că funcţia f este continuă pe mulţimea E dacă este continuă în fiecare punct din E . Proprietăţile funcţiilor reale continue care nu implică relaţia de ordine, rămân variabile şi pentru funcţiile vectoriale continue.

Propoziţia 6: Facă funcţia f este continuă în punctul 0x (sau

pe E ) atunci funcţia ( )xf este continuă în 0x (respectiv pe E ).

32

Propoziţia 7: Funcţia vectorială : n mf E ⊂ → este continuă într-un punct Ex ∈0 dacă şi numai dacă fiecare din componentele sale reale 1 2, ,..., :mf f f E → este continuă în 0x .

III.4. Continuitatea parţială

Definiţia 1: Fie funcţia : n mf E ⊂ → şi ( )naaaa ,...,, 2`= un punct din E . Se consideră funcţia parţială ( de o singură variabilă: ( )niiiii aaxaafxf ,...,,,,...,: 111 +−a definită pe mulţimea:

( ){ }EaaxaaRxxE niiiiii ∈∈= +− ,...,,,,...,, 111 .

Dacă funcţia parţială f este continuă în punctul Eai ∈ , se spune că funcţia f este continuă (parţial) în raport cu vartiabila ix

în punctul ( )naaaa ,...,, 21= . A spune că funcţia ( )nxxxf ,...,, 21 este continuă parţial în

raport cu ix în punctul a , înseamnă că, pentru orice număr 0>ε există un număr ( ) 0>εδ , astfel încât oricare ar fi ii Ex ∈ cu

( )εδ<− ii ax să avem ( ) ( ) ε<− iiii afxf , adică:

( ) ( ) ε<− nini aaafaxaf ,...,,...,,...,,..., 11 .

Dacă funcţia f este continuă în punctul ( )naaaa ,...,, 21= se spune adesea că este continuă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor pentru a deosebi de continuitatea parţială în raport cu câte o variabilă.

Observaţie: Dacă funcţia f este continuă într-un punct în raport cu fiecare variabilă în parte, nu rezultă că ea este continuă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor.

III.5. Derivate parţiale

Fie ( )yxf , o funcţie reală de două variabile, definită pe o mulţime 2E ⊂ şi ( )00 , yx un punct interior lui E .

33

Definiţia 1: Funcţia f are în punctele ( )00 , yx derivată parţială în raport cu variabila x dacă există şi este finită

( ) ( )0

000

0

,,limxx

yxfyxfxx −

−→

. Limita se numeşte derivata parţială în

raport cu x a lui f în ( )00 , yx şi se notează

( ) ( ) ( )000000 ,,, yxfDyxxfyxf xx =

∂∂

=′ . Asemănător se defineşte

( )00 , yxyf

∂∂

.

Se spune că f are derivată parţială în raport cu x pe E dacă ea are derivată parţială în raport cu x în fiecare punct ( ) Eyx ∈, .

În acest caz funcţia :f Ex

∂→

∂ definită de ( ) ( )yx

xfyx ,,

∂∂

a

se numeşte derivata parţială a lui f pe E. Analog se defineşte

:f Ey

∂→

∂.

Notaţie: xffDf xx ∂

∂==′ .

Practic, derivata xf ′ se calculează considerând pe y constant şi derivând ca o funcţie de o singură variabilă x . Derivata parţială în raport cu y se obţine considerând pe x constant şi derivând ca pe o funcţie de y.

Propoziţia 1: Dacă derivata parţială xf ′ (respectiv yf ′ ) există în

( )00 , yx , atunci f este continuă în 0x în raport cu x (respectiv y ). Propoziţia 2: Fie ( )00 , yx un punct interior al lui E . Dacă

derivatele parţiale xf ′ şi yf ′ există pe o vecinătate V a lui ( )00 , yx ,

atunci pentru orice punct ( ) Vyx ∈, există un număr ξ cuprins între

0x şi x şi un număr η cuprins între 0y şi y , astfel încât

34

( ) ( ) ( )( ) ( )( )00000 ,,,, yyxfxxyfyxfyxf yx −η′−−ξ′=− . Observaţie: Această egalitate se numeşte formula lui Lagrange

pentru funcţii de două variabile. Propoziţia 3: Fie ( )00 , yx un punct interior al lui E . Dacă

funcţia f admite derivate parţiale mărginite într-o vecinătate V a lui ( )00 , yx , atunci ea este continuă în ( )00 , yx (în raport cu ansamblul variabilelor).

Corolar 1: Dacă xf ′ şi yf ′ există pe o vecinătate a lui ( )00 , yx şi

sunt continue în ( )00 , yx , atunci funcţia f este continuă în ( )00 , yx . Corolar 2: Dacă derivatele parţiale xf ′ şi yf ′ există pe E şi sunt

continue sau sunt mărginite, atunci funcţia f este continuă pe E.

III.6. Interpretarea economică a derivatelor parţiale

Derivata parţială în raport cu variabila ix indică variaţia funcţiei f la o variaţie (creştere sau descreştere) foarte mică ix∆ a variabilei

ix . În cazul funcţiilor de producţie ( )nxxxfy ,...,, 21= , unde

nxxx ,...,, 21 sunt factorii utilizaţi în procesul de producţie, derivatele parţiale

ixf ′ măsoară eficienţa utilizării unei unităţi suplimentare din

factorul ix când ceilalţi factori rămân neschimbaţi şi se numesc randamente marginale sau produse marginale.

Pentru modelarea matematică a proceselor de producţie se folosesc diferite expresii matematice a funcţiilor de producţie. Cele mai des folosite sunt următoarele funcţii de producţie:

− de tip Cobb-Douglas: βα= LAKy ;

− de tip Sato: 33

22

LKLAKyβ+α

= , 0>A , 0>α , 0>β ;

− de tip Allen: ( )21

222 LKKLAy β−α−δ= , 0>A , 0, >βα

şi αβ>δ2 ;

35

− de tip CES: ( ) ρ−ρ−ρ− β+α=

1

LKAy , unde K reprezintă volumul capitalului fix (mil. lei), L reprezintă volumul forţei de muncă (mii de persoane), A este un scalar care se determină experimental, iar y este volumul producţiei (mil. lei); α , β , δ , ρ se determină experimental.

III.7. Diferenţiabilitatea funcţiilor de mai multe variabile

Fie ( )yxf , o funcţie de două variabile definită pe o mulţime 2E ⊂ şi ( )ba, un punct interior al lui E.

Definiţia 1: Se spune că funcţia f este diferenţiabilă în punctul ( )ba, dacă există două numere reale λ şi µ şi o funcţie ω definită pe E , continuă în ( )ba, şi nulă în acest punct,

( ) ( ) 0,,lim =ω=ω→→

bayxbyax

, astfel încât în orice punct ( ) Eyx ∈,

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )22,

,,

byaxyx

byaxbafyxf

−+−ω+

+−µ+−λ=−.

Dacă E este o mulţime deschisă se spune că f este diferenţiabilă pe E dacă este diferenţiabilă în orice punct din E.

Se va nota ( ) ( ) ( )22 byax −+−== yx, ρ ρ , deci egalitatea de mai sus se scrie ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ρω+−µ+−λ=− yxbyaxbafyxf ,,, unde ( ) 0,lim =ω

→→

yxbyax

.

Lema 1: Dacă funcţia ( )yx,ω definită pe E , are limita 0 în ( )ba, , atunci există două funcţii 1ω şi 2ω definite pe E care au limita 0 în ( )ba, şi

( ) ( )( ) ( )( )byyxaxyxyx −ω+−ω=ρω ,,, 21 , ( ) Eyx ∈, .

36

Reciproc, dacă funcţiile 1ω şi 2ω definite pe E , au limita 0 în punctul ( )ba, atunci există o funcţie ( )yx,ω cu limita 0 în ( )ba, care să verifice egalitatea precedentă.

Folosind această lemă, rezultă imediat: Propoziţia 3: Funcţia f este diferenţiabilă în punctul ( )ba,

dacă şi numai dacă există două numere reale λ şi µ şi două funcţii

1ω şi 2ω definite pe E , continue în ( )ba, şi nule în acest punct, ( ) ( ) 0,,lim =ω=ω

→→

bayx ii

byax

, 2,1=i , astfel încât pentru orice

( ) Eyx ∈, ,( ) ( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )byyxaxyxbyaxbafyxf

−ω+−ω++−µ+−λ=−

,,,,

21

Această egalitate se mai scrie: ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( )byyxaxyxbafyxf −ω+µ+−ω+λ=− ,,,, 21 .

Propoziţia 4: Dacă funcţia f este diferenţiabilă în ( )ba, , atunci ea are derivate parţiale în ( )ba, şi ( ) λ=′ bafx , , ( ) µ=′ baf y , .

Egalitatea de definiţie a diferenţiabilităţii se scrie atunci astfel: ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ρ⋅ω+−′+−′=− yxbybafaxbafbafyxf yx ,,,,, .

Corolar: Dacă f este diferenţiabilă pe E , atunci ea are derivate parţiale xf ′ şi yf ′ pe E .

Propoziţia 5: Dacă f este diferenţiabilă în punctul ( )ba, , atunci ea este continuă în acest punct.

Corolar: Dacă f este diferenţiabilă pe E atunci ea este continuă pe E .

Ultimele două propoziţii arată că existenţa unei derivate parţiale şi continuitatea unei funcţii sunt condiţii necesare (dar nu suficiente) pentru diferenţiabilitatea sa. Propoziţia următoare dă condiţii sufi-ciente de diferenţiabilitate.

Propoziţia 6: Dacă f are derivate parţiale xf ′ şi yf ′ într-o

vecinătate V a lui ( )ba, şi dacă aceste derivate parţiale sunt continue în ( )ba, , atunci funcţia f este diferenţiabilă în ( )ba, .

37

Reciproca propoziţiei nu este adevărată. Fie ( )yxf , o funcţie reală definită pe 2E ⊂ şi diferenţiabilă

în ( ) Eba ∈, . Cum ω are limita 0 în ( )ba, avem aproximarea: ( ) ( ) ( )( ) ( )( )bybafaxbafbafyxf yx −′+−′≈− ,,,, .

Definiţia 2: Funcţia de două variabile: ( )( ) ( )( ) ( )( )bybafaxbafyxbadf yx −′+−′= ,,,,

se numeşte diferenţiala lui ( )yxf , în ( )ba, . Fie funcţiile : Eϕ → , : Eψ → date de ( ) xyx =ϕ , ,

( ) yyx =ψ , , atunci ( ) 1, ≡ϕ′ yxx , ( ) 0, ≡ψ′ yxx şi ( ) 0, ≡ϕ′ yxy ,

( ) 1, ≡ψ′ yxy , deci ( )( ) uvuyxd ≡ϕ ,, şi ( )( ) vvuyxd ≡ψ ,, .

Notând dxax =− şi dyby =− vom avea ( ) ( ) ( )dyyxfdxyxfyxdf yx ,,, ′+′=

sau

dyyfdx

xfdyfdxfdf yx ∂

∂+

∂∂

=′+′= .

Pentru o funcţie de n variabile ( )nxxxf ,...,, 21 diferenţiala este

∑= ∂

∂=

n

ii

i

dxxfdf

1

unde idx este diferenţiala funcţiei ( ) ini xxxx =ϕ ,...,, 21 .

III.8. Derivate parţiale de ordin superior

Fie ( )yxf , o funcţie reală definită pe 2E ⊂ . Se presupune că funcţiile xf ′ şi yf ′ sunt definite pe E şi că au derivate parţiale pe E. Atunci există următoarele derivate parţiale de ordinul II:

( ) 2

2

2 xf

xf

xff xxx ∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=′′=′′

( )xyf

xf

yff yxxy ∂∂

∂=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

∂∂

=′′=′′2

38

( )yxf

yf

xff xyyx ∂∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=′′=′′2

( ) 2

2

2 yf

yf

yff yyy ∂

∂=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

=′′=′′

Funcţiile xyf ′′ , yxf ′′ se numesc derivate mixte de ordinul II.

O funcţie de n variabile ( )nxxxf ,...,, 21 poate avea 2n

derivate parţiale de ordinul doi, jxixf ′′ , nji ,...,2,1, = .

Enunţăm următoarele teoreme: Teorema 1 (Criteriul lui Schwartz): Dacă funcţia ( )yxf ,

are derivate parţiale mixte de ordinul doi xyf ′′ şi yxf ′′ într-o vecinătate

V a unui punct ( ) Eba ∈, şi dacă xyf ′′ şi yxf ′′ sunt continue în ( )ba, ,

atunci ( ) ( )bafbaf yxxy ,, ′′=′′ .

Teorema 2 (Criteriul lui Young): Dacă funcţia f are derivate parţiale de ordinul întâi xf ′ şi yf ′ într-o vecinătate V a lui ( )ba, şi

dacă xf ′ şi yf ′ sunt diferenţiabile în ( )ba, , atunci derivatele parţiale

mixte de ordinul doi în ( )ba, există şi sunt egale în acest punct, ( ) ( )bafbaf yxxy ,, ′′=′′ .

Definiţia 1: Fie ( )yxf , o funcţie reală de două variabile definită pe o mulţime 2E ⊂ şi ( )ba, un punct interior lui E. Se spune că f este diferenţiabilă de n ori în punctul ( )ba, dacă toate derivatele de ordinul 1−n ale lui f există într-o vecinătate V a lui ( )ba, şi sunt diferenţiabile în ( )ba, .

Diferenţiala de ordinul n în punctul ( )ba, se defineşte prin egalitatea:

( )( ) ( )bafdyy

dxx

bayxfdn

n ,,, ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

= ,

39

unde exponentul n înseamnă că se dezvoltă suma din paranteză după regula binomului lui Newton şi apoi se înmulţeşte formal cu ( )baf . .

Diferenţiala de ordinul n pentru o funcţie de m variabile va fi:

( ) ( ) fdxx

dxfdxfxxfdnm

kk

k

nmmxxm

n⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=′++′= ∑=1

111 ...,... .

III.9. Formula lui Taylor

Fie 2:f E ⊂ → şi ( ) Eba ∈, . Să presupune că f admite derivate parţiale de ordinul n şi derivatele parţiale mixte nu depind de ordinea variabilelor în raport cu care se derivează.

Oricărui punct ( ) Eyx ∈, i se poate asocia polinomul:

( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( )( ) ( )( )( )[( )( ) ]

( ) ( )( ) ( )∑ ∑= =

−− −−=

=+−′′+

+−−′′+−′′+

+−′+−′+=

n

l

n

k

kkllkxklx

kl

y

xyx

yxn

byaxbafCl

bybaf

byaxbafaxbaf

bybafaxbafbafyxT

0 0

22

22

,!

1

...,

,2,!2

1

,,!1

1,,

Operatorul ( )yxTn , se scrie:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )bafbyy

axxn

bafbyy

axx

bafbyy

axx

bafyxT

n

n

,!

1

...,!2

1

,!1

1,,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

+

++′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

+

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

+=

Polinomul ( )yxTn , se numeşte polinomul lui Taylor de ordinul n asociat funcţiei ( )yxf , în punctul ( )ba, .

40

Pentru fiecare punct ( ) Eyx ∈, avem formula lui Taylor de ordinul n , ( ) ( ) ( )yxRyxTyxf nn ,,, += din care obţinem restul de ordinul n al dezvoltării în serie Taylor, ( ) ( ) ( )yxTyxfyxR nn ,,, −= .

Observaţie: Dacă funcţia f este diferenţiabilă de 1+n ori într-o vecinătate V a lui ( )ba, , pentru orice punct ( ) Vyx ∈, , există un punct ( ) V∈ηξ, situat pe segmentul care uneşte punctul ( )ba, cu punctul ( )yx, , astfel încât

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )ηξ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

∂∂

+−∂∂

+=

+

,!1

1,1

fbyy

axxn

yxRn

n .

Este clar că ( ) ( )

( ) 0,lim,,

=→

yxRnbayx.

III.10. Extremele funcţiilor de mai multe variabile

Definiţia 1: Un punct ( ) Eba ∈, se numeşte punct de maxim local (respectiv de minim local) al funcţiei 2:f E ⊂ → , dacă există o vecinătate V a lui ( )ba, , astfel încât pentru orice ( ) EVyx I∈, să avem ( ) ( )bafyxf ,, ≤ (respectiv

( ) ( )bafyxf ,, ≥ ). Aceste puncte se numesc puncte de extrem (local) ale funcţiei.

Valoarea ( )baf , a funcţiei într-un punct de maxim (minim) local se

numeşte maximul (minimul) local al funcţiei. Vom nota prin o

E , interiorul mulţimii E .

Propoziţia 1: Dacă funcţia f are derivate parţiale într-un

punct de extrem ( )o

Eba ∈, , atunci derivatele parţiale se anulează în acest punct, ( ) 0, =′ bafx , ( ) 0, =′ baf y .

Definiţia 2: Un punct ( ) Eba ∈, se numeşte punct staţionar al funcţiei ( )yxf , , dacă funcţia f este diferenţiabilă în ( )ba, şi dacă

41

diferenţiala sa este nulă în acest punct, ( ) ( ) ( ) 0,,. =′+′= dybafdxbafbadf yx .

Dar ( ) ( ) ( ) 0,,0, =′=′⇔= bafbafbadf yx .

Aşadar, ( )ba, este un punct staţionar (critic) al funcţiei ( )yxf , când funcţia este diferenţiabilă în punctul ba, şi are derivatele parţiale nule în acest punct.

Propoziţia 2: Orice punct de extrem local din interiorul mulţimii E în care funcţia ( )yxf , este diferenţiabilă este punct staţionar al funcţiei. Reciproca nu este adevărată.

Punctele staţionare ale funcţiei ( )yxf , , care nu sunt puncte de extrem ale sale, se numesc puncte şa ale lui ( )yxf , .

Interpretare geometrică: Graficul funcţiei ( )yxf , este o suprafaţă S a cărei ecuaţie este ( )yxfz ,= şi are în punctul său un plan tangent, a cărui ecuaţie este:

( ) ( )( ) ( )( )bybafaxbafbafz yx −′+−′=− ,,, .

Dacă ( )ba, este punct staţionar ( ( ) ( ) 0,, =′=′ bafbaf yx ), planul

tangent ( )bafz ,= este paralel cu planul xOy . În concluzie, dacă ( )yxf , este diferenţiabilă pe o mulţime deschisă E , punctele staţionare

ale lui f sunt toate soluţiile ( )yx, ale sistemului: ( )( )⎩

⎨⎧

=′=′

0,0,

yxfyxf

y

x

Cum orice punct de extrem local este punct staţionar, rezultă că punctele de extrem local se află printre soluţiile sistemului de mai sus (dar nu toate soluţiile sistemului sunt puncte de extrem).

Ca şi la funcţii de o singură variabilă, unde pentru a identifica un punct de extrem analizăm semnul derivatei a doua în acel punct, pentru a identifica printre punctele staţionare unele puncte de extrem (dar nu neapărat toate punctele de extrem) va trebui să recurgem la derivatele parţiale de ordinul doi.

42

Teoremă: Dacă ( )ba, este un punct staţionar al funcţiei ( )yxf , şi dacă f are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o

vecinătate V a lui ( )ba, , atunci:

1. Dacă ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, 222 >′′−′′′′ bafbafbaf xyyx

, atunci ( )ba, este

un punct de extrem local al funcţiei ( )yxf , , şi anume: − dacă ( ) 0,2 >′′ baf

x, ( )ba, este un punct de minim;

− dacă ( ) 0,2 <′′ bafx

, ( )ba, este un punct de maxim.

2. Dacă ( ) ( ) ( )[ ] 0,,, 222 <′′−′′′′ bafbafbaf xyyx

, atunci ( )ba, nu

este un punct de extrem al funcţiei ( )yxf , . Fie : nf E ⊂ → , ( )naaaa ,...,, 21= este un punct de

minim (maxim) local dacă ( ) ( ) 0>− afxf ( ( ) ( ) 0<− afxf ). Dacă Ea ∈ este un punct staţionar, atunci ( ) 0=′ af

ix , ni ,...,2,1= .

Punctul a este staţionar, dacă f este diferenţiabilă în a şi dacă ( ) 0=adf şi se obţine din rezolvarea sistemului derivatelor parţiale.

Teoremă: Fie a punct staţionar al lui ( )nxxxf ,...,, 21 . Să presupunem că funcţia f are derivate parţiale de ordinul doi continue într-o vecinătate V a lui a.

1. Dacă forma pătratică ∑=

αα′′=ϕn

jijijxixf

1, este definită, atunci

a este un punct de extrem, şi anume un punct de maxim sau de minim după cum 0<ϕ sau 0>ϕ φ > 0.

2. Dacă forma pătratică ϕ este nedefinită, atunci a nu este punct de extrem al funcţiei.

III.11. Funcţii implicite

Fie ecuaţia ( ) 0, =yxF cu 2:F E ⊂ → şi ( ) EyxcuRyxEA x ∈∈∃=⊂ ,, .

43

O funcţie ( ) :f x A → se numeşte soluţie (în raport cu y ) a

ecuaţiei ( ) 0, =yxF pe mulţimea A dacă ( )( ) 0, ≡xfxF pentru Ax ∈ . Ecuaţia ( ) 0, =yxF poate să nu aibă soluţii, ca în cazul cercului

imaginar, 0122 =++ yx , în raport cu nici o variabilă. Poate avea o singură soluţie ca în cazul primei bisectoare 0=− yx , şi anume

xy = sau poate avea mai multe soluţii pe mulţime A ca în cazul

ecuaţiei ( ) 0, 2 =−= yxyxF . Această ecuaţie, în raport cu y , are o infinitate de soluţii pe mulţimea [ )+∞,0 , de exemplu:

[ )[ )⎪⎩

⎪⎨⎧

+∞∈∈

−=

,,0

axpentruaxpentru

x

xy

,

unde a este arbitrar în [ )+∞,0 . Fie ( ) 0,,...,1 =yxxF n , unde

1: nF E +⊂ → , ( )1,..., : nny f x x A= ⊂ →

este o soluţie în raport cu y a acestei ecuaţii pe mulţimea A dacă ( )( ) 0,...,,,..., 211 ≡xxfxxF n pentru orice punct ( ) Axx n ∈,...,1 unde

( )nxxx ,...,1= este o variabilă reală sau vectorială.

Dacă există o singură funcţie ( ) : nf x A ⊂ → care să

verifice ecuaţia ( ) 0, =yxF , eventual, şi alte condiţii suplimentare, se spune că funcţia ( )xf este definită implicit de ecuaţia ( ) 0, =yxF . Rezolvând ecuaţia ( ) 0, =yxF în raport cu y (explicitând-o), se obţine funcţia explicită ( )xfy ≡ .

Funcţiile definite cu ajutorul ecuaţiilor se numesc funcţii definite implicit (funcţii implicite).

Teorema 1: Fie nA ⊂ , 1≥n ; B ⊂ , o

Ayx ∈00 , , şi funcţia reală ( )yxF , definită pe BA× . Dacă:

44

1) ( ) 0, 00 =yxF ; 2) ( )yxxxF n ,,...,, 21 are

1xF ′ , 2xF ′ , …,

nxF ′ , yF ′ continue pe o

vecinătate VE × a lui ( )00 , yx ; 3) ( ) 0, 00 =′ yxFy . Atunci: a) există o vecinătate 0U a lui 0x , o vecinătate 0V a lui 0y şi o

funcţie unică ( ) 00: VUxfy →= , astfel încât ( ) 00 yxf = şi ( )( ) 0, ≡xfxF pentru 0Ux ∈ ;

b) funcţia ( )nxxxf ,...,, 21 are derivate parţiale1xf ′ ,

2xf ′ , …, nxf ′

continue pe 0U şi pentru fiecare ni ,...,2,1= , atunci

( ) ( )( )( )( )xfxFxfxF

xfy

ix

ix ,,

′

′−=′ , 0Ux ∈ ;

c) dacă F are derivate parţiale de ordinul k continue pe VU × , atunci f are derivate parţiale de ordinul k continue pe 0U . Fie funcţia de două variabile ( ) 0, =yxF . Dacă se diferenţiază

formal, se obţine 0=′+′ dyFdxF yx . Împărţind prin dxFy′ şi notând

ydxdy ′= , se obţine 0=′+

′′

yFF

y

x , adică y

x

FFy

′′

−=′ .

III.12. Extreme condiţionate (legate)

Fie ( ) ( )nxxxfxf ,...,, 21= o funcţie reală definită pe o mulţime nE ⊂ şi EA ⊂ . Funcţia f are în Aa ∈ un extrem relativ la A

dacă restricţia lui f la A are în a un extrem obişnuit. În a este un maxim (minim) relativ la A dacă există o vecinătate V a lui a , astfel încât ( ) ( )afxf ≥ (respectiv ( ) ( )afxf ≤ ) pentru orice punct

AVx I∈ . Extremele funcţiei f relative la submulţime EA ⊂ se numesc extreme condiţionate (legate).

45

Fie ( ) ( ) ( )xFxFxF k,...,, 21 , nk < funcţii reale care definesc mulţimea A prin mulţimea soluţiilor sistemului restricţiilor:

( ) 0,..,, 21 =ni xxxF , ki ,...,2,1= . (1)

Aşadar ( ){ }kixFExA i ,...,2,1,0 ==∈= . În acest caz

extremele funcţiei ( )xf relative la A se numesc extreme condiţionate de sistemul (1).

Aceasta arată că cele n variabile nxxx ,...,, 21 sunt legate între ele prin cele (1) relaţii ale sistemului (1), de aceea le mai numim şi extreme legate.

Teoremă: Fie a o soluţie a sistemului (1). Să presupunem că funcţiile ( )xf , ( ) ( ) ( )xFxFxF k,...,, 21 au derivate parţiale, continue

într-o vecinătate V a lui a şi matricea funcţională jF ′ are în

punctul a rangul k . Dacă a este un punct de extrem al funcţiei ( )xf condiţionat de sistemul (1), atunci există k numere klll ,...,, 21

(multiplicatorii lui Lagrange), astfel încât:

( ) ( ) 01

=∂∂

+∂∂ ∑

=

k

i j

ii

j

axFla

xf

, nj ,...,2,1=

( ) ( ) ( ) 0...21 ==== aFaFaF k (2)

Orice soluţie ( )naaaa ,...,, 21= a sistemului (2) se numeşte punct staţionar al funcţiei ( )xf . Orice punct de extrem condiţionat este un punct staţionar condiţionat, reciproca nu este adevărată.

Etape de calcul ale extremelor legate: 1. Se formează funcţia auxiliară (ajutătoare):

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFlxFlxFlxflllxF kkk ++++= ...,...,,, 221121 cu coeficienţii klll ,...,, 21 nedeterminanţi. 2. Se formează sistemul celor kn + ecuaţii:

⎪⎩

⎪⎨⎧

====

=′==′=′

0...

0...

21

21

k

nxxx

FFF

FFF

46

cu kn + necunoscute nxxx ,...,, 21 , klll ,...,, 21 şi se caută soluţiile acestui sistem care sunt puncte critice (staţionare).

3. Dacă nxxx ,...,, 21 , klll ,...,, 21 este o soluţie a acestui sistem, atunci punctul ( )nxxx ,...,, 21 este punct staţionar condiţionat al funcţiei ( )xf .

Printre punctele staţionare condiţionate astfel obţinute se află şi punctele extrem condiţionat. Vom căuta condiţii suficiente care să permită să se identifice dintre punctele staţionare punctele de extrem condiţionat.

Fie punctul staţionar a , deci ( ) 0=aFi , ki ,...,2,1= şi k numere klll ,...,, 21 , astfel încât să fie satisfăcut sistemul (2). Pentru a vedea dacă a este sau nu punct de extrem condiţionat de sistemul (1), se va studia semnul diferenţei ( ) ( )nn aaafxxxf ,...,,,...,, 2121 − pentru punctele ( )nxxx ,...,, 21 care verifică sistemul (1), ( ( ) 01 =xF ⇒ ( ) ( )xfxF = , deci ( ) ( ) ( ) ( )aFxFafxf −=− ), se reduce la studiul semnului diferenţei ( ) ( )aFxF = .

Punctul a , verificând sistemul (2), este punct staţionar pentru ( )xF , deci derivatele sale parţiale de ordinul I se anulează în a . Pe de

altă parte, funcţia ( )xF are derivate parţiale continue într-o vecinătate a lui a , deci se poate scrie formula lui Taylor de ordinul doi:

( ) ( ) ( ) ( )

22

2

21

21

21

21

ωϕ+=

=ϕω+′′=− ∑

Fd

xdxdxaFaFxF jijxix

unde ( ) 0lim =→

xax

, ( )∑=

−=ϕn

iii ax

1

1 şi iii axdx −= , ni ,...,2,1= .

47

După cum forma patratică ( )∑=

′′n

jijijxix dxdxaF

1, păstrează în jurul

lui a acelaşi semn sau nu păstrează acelaşi semn, punctul este sau nu punct de extrem condiţionat.

III.13. Funcţii omogene de mai multe variabile

Funcţia ( )nxxxf ,...,, 21 se numeşte omogenă de gradul k în raport cu variabilele ix , ni ,...,2,1= dacă pentru un t oarecare este adevărată relaţia:

( ) ( )nk

n xxxfttxtxtxf ,...,,,...,, 2121 = (1) Teoremă (Euler): O funcţie omogenă satisface relaţia

( )nnxnxx xxxkffxfxfx ,...,,... 212211 =′++′+′ (2)

III.14. Funcţii omogene în economie

Fie ( )yxfz ,= o funcţie omogenă de gradul întâi, de două variabile.

1. Funcţia poate fi scrisă sub oricare din formele

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ψ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=

yxy

xyxz , unde ϕ şi ψ sunt funcţii de o singură variabilă.

2. Derivatele parţiale xz

∂∂

şi yz

∂∂

sunt funcţii de yx

.

3. Teorema lui Euler: ayzy

xzx =

∂∂

+∂∂

.

Este interesant cazul când funcţia de producţie a unei mărfi X este omogenă de grad întâi în raport cu factorii variabilei nAAA ,...,, 21 . Pornind de la definiţie şi de la proprietăţile 1) şi 2) de mai sus, acest caz este caracterizat de aceea că o creştere relativă dată tuturor factorilor duce la o aceeaşi creştere relativă a rezultatului, fără a modifica produsul mediu sau produsul marginal al oricărui factor.

48

Acesta este cazul „veniturilor constante la scară”, când numai cantităţile relative folosite de fiecare factor sunt importante, nu şi scara la care se face producţia.

Dacă există doi factori, A şi B şi venituri constante la scară, suprafaţa producţiei este riglată de drepte care trec prin origine şi orice secţiune prin Ox este o dreaptă. Curbele producţiei constante din planul aOb se obţin una din alta prin proiecţii radiale, iar dimensiunile lor variază în raportul producţiilor constante care le definesc. În particular, orice rază care trece prin O intersectează curbele în puncte în care tangentele sunt paralele.

III.15. Ecuaţii diferenţiale

Sunt multe probleme economice care se reduc la rezolvarea unor ecuaţii, numite ecuaţii diferenţiale ordinare sau, mai scurt, ecuaţii diferenţiale, care leagă între ele o variabilă independentă x , o funcţie necunoscută de x , pe care o notăm y şi primele ei n derivate

( )nyyy ,...,, ′′′ . Fie F o funcţie definită pe un domeniu D din 2n+ cu valori

reale, continuă în acest domeniu. Definiţia 1: O relaţie de forma:

( )( )0,...,,,, =′′′ nyyyyxF (1) se numeşte ecuaţie diferenţială de ordinul n . Fie ( ): ,a bϕ → o funcţie de n ori derivabilă în orice punct

al intervalului ( )ba. , unde a poate fi ∞− , iar b poate fi ∞+ . Se spune că funcţia ϕ este soluţie a ecuaţiei diferenţiale (1), dacă

înlocuind în ecuaţia diferenţială (1), funcţia y cu ( )xϕ , se obţine o identitate, oricare ar fi ( )bax ,∈ adică:

( ) ( ) ( )( )( ) 0,...,, ≡ϕϕ′ϕ xxxxF n . Dacă în sistemul de coordonate xOy se reprezintă grafic funcţia

ϕ se obţine o curbă de ecuaţie ( )xy ϕ= care se numeşte curbă integrală a ecuaţiei (1).

49

În unele cazuri, în locul soluţiilor ( )xy ϕ= se găsesc soluţii de forma ( ) 0, =yxG care definesc soluţiile ( )xy ϕ= ca funcţii de x . De obicei se spune şi despre aceste relaţii că sunt soluţii, iar curbele pe care le definesc se numesc curbe integrale.

Dacă funcţia F, ce intră în definiţia ecuaţiei diferenţiale (1), îndeplineşte condiţii suficiente pentru a putea scoate din ecuaţia

( )( )0,...,,,, =′′′ nyyyyxF pe ( )ny ca funcţie de celelalte variabile, adică:

( ) ( )( )1,...,,,, −′′′= nn yyyyxfy (2)

unde 1: nf D +⊆ → este o funcţie de 1+n variabile definită pe domeniu D cu valori reale şi continuă în acest domeniu. Ecuaţia se numeşte tot ecuaţie diferenţială de ordinul n , dar este de o formă particulară faţă de (1), fiindcă conţine pe ( )ny explicitat în raport cu

( )1,...,,,, −′′′ nyyyyx . Problema lui Cauchy, pentru ecuaţia diferenţială de ordinul n

de forma (2) constă în determinarea soluţiei ecuaţiei, care satisfac condiţiile iniţiale ( ) 00 yxy = , ( ) ( )1

00 yxy =′ , ( ) ( )200 yxy =′′ , …,

( )( ) ( )100

1 −− = nn yxy , unde ( ) ( ) ( )( )1 2 1 10 0 0 0 0, , , ,..., n nx y y y y D− +∈ ⊆ este

un punct constant. Se poate demonstra că atunci când funcţia f satisface anumite

condiţii, pentru orice punct ( ) ( ) ( )( ) Dyyyyx n ∈−10

20

1000 ,...,,,, , există o

unică soluţie a ecuaţiei diferenţiale (2), care satisface condiţiile lui Cauchy în acel punct.

Definiţia 2: Prin soluţie generală a ecuaţiei diferenţiale (2) se înţelege o soluţie ( )nccxy ,...,, 1ϕ= a ei, ce depinde şi de n constante nccc ,...,, 21 considerate ca parametri reali şi cu ajutorul căreia se poate rezolva o problemă a lui Cauchy pentru orice punct din domeniul D .

50

III.16. Ecuaţii diferenţiale care nu conţin variabile independente

Acest tip de ecuaţii, care nu conţin variabila independentă şi sunt de ordinul întâi, au următoarea formă generală:

( )yfy =′ sau ( )yfdxdy

= (3)

cu f continuă şi diferită de zero pe intervalul ( )ba, , unde a poate fi ∞− , iar b poate fi ∞+ . În locul acestei ecuaţii se rezolvă ecuaţia

echivalentă ( )yfdydx 1

= , pentru ( ) 0≠yf a cărei soluţie generală este

( )∫+=y

y yfdyxx

0

0 .

În această relaţie, 0xx − este o funcţie continuă şi strict monotonă de y. Deci există funcţia inversă ( )0xxy −ϕ= care este soluţia generală a ecuaţiei considerate.

Trebuie observat că ecuaţia ( )yfy =′ are sens şi pentru ( ) 0=yf . Funcţiile 0yy = cu ( ) 00 =yf sunt evident, soluţii care nu

se obţin prin metoda de mai sus. Ele sunt numite soluţii singulare.

III.17. Ecuaţii cu variabile separabile

Aceste ecuaţii sunt de forma: ( )( )ygxfy =′ . (4)

Funcţia f o presupunem şi continuă pe un interval ( )ba, şi y definită, continuă şi diferită de zero pe un interval dc, .

Ecuaţia (4) se mai poate scrie ( ) ( ) 0=− dyygdxxf . Dacă ( )xF este o primitivă a funcţiei ( )xf şi ( )yG o primitivă a funcţiei ( )yg , soluţia generală a ecuaţiei (5), este dată sub forma implicită de

relaţia ( ) ( ) CyGxF =− , unde C este o constantă arbitrară.

51

III.18. Ecuaţii omogene

Sunt ecuaţii de forma:

( )yxfdxdy ,= (5)

unde ( )yxf , este o funcţie omogenă de gradul zero, adică satisface condiţia ( ) ( )yxftytxf ,, = oricare ar fi t , astfel încât ( )tytc, să fie în domeniul de definiţie al funcţiei f .

Punând x

t 1= , se obţine ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

xy

xyfyxf ,1, de unde

rezultă că ecuaţia diferenţială (5) este de forma:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ϕ=

xy

dxdy

(6)

Prin schimbarea de funcţie xyu = sau uxy = , derivând se

obţine dxduxu

dxdy

+= şi deci ecuaţia (6) se transformă în

( )udxduxu ϕ=+ ecuaţia cu variabile separabile.

Presupunând funcţia ϕ continuă şi ( ) 0≠−ϕ uu , notând cu

( ) ( ) uuduuF

−ϕ= , soluţia generală a ecuaţiei (6) este

cxxyF lnln +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ , obţinută prin integrarea membru cu membru. În

membrul al doilea, constanta reală care trebuie adăugată la xln pentru

a se obţine primitivele funcţiei x1

s-a considerat cln , unde 0>c .

52

III.19. Ecuaţii reductibile la ecuaţii omogene

Se vor considera ecuaţii de forma

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′+′+′

++=

cybxacbyaxf

dxdy

, (7)

unde , , , , ,a b c a b c′ ′ ′∈ sunt constante.

Dacă 0=′′ ba

ba ecuaţia se reduce la o ecuaţie cu variabile

separate. Într-adevăr, atunci α

=′

=′

1bb

aa

, de unde rezultă α=′ aa ,

α=′ bb , deci ( )byaxybxa +α=′+′ şi făcând schimbarea de funcţie byaxu += , de unde bdyadxdu += , se obţine ecuaţia:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′+α+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

cucuf

dxadxdu

b1

,

ba

cucuf

dxdu

b+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+α+

=⋅1

sau ( )udxdu

ϕ= .

Dacă 0≠′′ ba

ba, sistemul de ecuaţii

⎩⎨⎧

=′+′+′=++

00

cybxacbyax

are o

soluţie unică 00 , yx . Făcând schimbarea de variabilă şi de funcţie txx += 0 şi uyy += 0 , de unde dtdx = şi dudy = , ecuaţia (7)

devine: ( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛′++′++′

++++=

cuybtxacuybtxaf

dtdu

00

00 ,

însă 000 =++ cbyax şi 000 =′+′+′ cybxa , deci ea devine

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

′+′+

=ubta

buatfdtdu

,

adică o ecuaţie omogenă pentru că funcţia f este omogenă de gradul zero în variabilele ei t şi u .

53

III.20. Ecuaţii liniare de ordinul întâi

Forma generală a acestor ecuaţii este: ( ) ( ) ( ) 0=++′ xCyxByxA (8)

Presupunând că funcţiile A , B , C sunt definite şi continue pe un interval ( )ba, şi că ( ) 0≠xA în orice punct al acestui interval, se împarte prin ( )xA şi ecuaţia (8) devine:

( ) ( )xQyxPy =+′ , (9)

unde ( ) ( )( )xAxBxP = , iar ( ) ( )

( )xAxCxQ −= .

Ecuaţia: ( ) 0=+′ yxPy (10)

se numeşte ecuaţie liniară fără membrul al doilea, sau ecuaţia liniară omogenă.

Observaţie: Mai sus este vorba de omogenă în alt sens decât cel întâlnit la paragraful III.18.

Ecuaţia (10) este o ecuaţie cu variabile separate deci se poate rezolva

( )yxPdxdy

−= sau ( )dxxPy

dy−= . Integrând fiecare membru rezultă

( )∫−=+ dxxPcy 1lnln sau ( )∫−= dxxPyc1ln . Notând cc

=±1

1

soluţia generală este: ( )∫=

− dxxPcey (11)

Pentru ecuaţia (9) se caută o soluţie de forma (11), unde c este considerat o funcţie de x . Această metodă este cunoscută sub numele de metoda variaţiei constantei.

Derivând în (11), se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫′+∫−=′ −− dxxPdxxPexcexPxcy

şi înlocuind în (10), rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xQexcxcexPxcdxxPdxxP

=∫′+∫−−−

,

54

de unde ( ) ( )∫=dxxP

exQdxdc şi apoi ( ) ( ) ( )

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫= 1cdxexQxc

dxxP , iar

soluţia generală a ecuaţiei (9) este: ( ) ( ) ( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∫+∫= ∫ dxexQcey

dxxPdxxP1

Se observă că soluţia generală a ecuaţiei neomogene este egală cu soluţia generală a ecuaţiei omogene, la care se adaugă o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Această soluţie se obţine din relaţia generală pentru 01 =c .

Soluţia particulară a ecuaţiei neomogene poate fi înlocuită cu oricare alta. Într-adevăr, să presupunem cunoscută o soluţie particulară

1y a ecuaţiei (9). Făcând schimbarea de funcţie zyy += 1 , ecuaţia

neomogenă (9) devine QPzPydxdz

dxdy

=+++ 11 , însă ţinând seama

că QPydxdy

=+ , ne rămâne 0=+ Pzdxdz

, deci z este soluţia generală

a ecuaţiei omogene.

III.21. Unele aplicaţii în economie a ecuaţiilor diferenţiale

Funcţia cererii unui produs pe piaţă Considerăm cazul când cantitatea x , dintr-un anumit produs X ,

depinde de preţul curent al acestui produs şi de venitul consumatorilor. În realitate, pe lângă aceşti doi factori fundamentali mai există factori cu influenţe mai reduse sau indirecte, ca de exemplu: preţurile celorlalte mărfuri pe care le cumpără consumatorul, oferta produselor, factori social-economici şi demografici, sistemul de vânzări cu plata în rate etc.

Această formulare a condiţiilor pieţei poate fi tradusă în simboluri matematice. Fie p preţul pentru produsul X în unităţi date, V venitul mediu al unui consumator, şi x cantitatea de produs X , cerută pe piaţă în unităţi date. Atunci X este o funcţie univocă de p şi v , care poate fi scrisă în felul următor:

( )vpfx ,=

55

Variabilele independente p, v şi variabila independentă x le

considerăm că iau numai valori pozitive. Pentru un preţ constant 0p ,

sau un venit constant 0v , cererea x , poate fi considerată ca o funcţie

1f sau 2f , depinzând numai de v , sau numai de p, adică ( ) ( )vfvpfx 10 , == sau ( ) ( )pfvpfx 20, == .

Funcţia cheltuielilor de producţie, pentru un anumit produs X , într-o primă aproximaţie o putem considera ca depinzând numai de cantitatea x , realizată din acest produs, şi anume:

( )xfcp = Pentru această funcţie şi pentru altele care descriu fenomene

economice, au semnificaţie şi importanţă economică noţiunile de: valoare medie, valoare marginală, viteză relativă de rotaţie şi viteza variaţiei relative a funcţiei în raport cu variaţia relativă a variabilei, care se numeşte elasticitatea funcţiei.

Fie f o asemenea funcţie de variabilă x . Valoarea medie este ( )xxf

. Valoarea marginală a funcţiei f în punctul x este ( )xf , adică

valoarea derivatei funcţiei în punctul x . Viteza variaţiei relative a

funcţiei în punctul x este ( ) ( )xdxdf

xf⋅

1, iar elasticitatea în punctul x

este ( ) ( )x

dxdf

xfx

⋅ şi se notează ( )xExEf

sau ( )( )xfEx , deci

( ) ( ) ( )xdxdf

xfxx

ExEf

⋅= .

56

IV. DOBANDA SIMPLĂ

Noţiunea de bază a matematicilor financiare este dobânda. Dobân-da este suma de bani care se plăteşte de către debitor creditorului pentru un împrumut bănesc.

Dobânda unitară este suma dată de o unitate monetară pe timp de un an, este notată i. Dobânda dată de 100 de unităţi monetare pe timp de un an se numeşte procent, notat p. Deci p=100i p=100i.

Pentru S unităţi monetare (u.m.) pe timp de un an se obţine dobânda:

100SpSiD == D = Si = Sp/100 (1.1.)

Pentru S u.m. pe timp de t-ani dobânda, numită dobânda simplă este:

100tpStiSD ⋅⋅

=⋅⋅= (1.2.)

Observaţie: În finanţe, anul comercial are 360 zile şi fiecare lună are 30 de zile.

Dacă 0s – este suma depusă iniţial pe perioada t cu dobândă unitară i atunci suma finală sau valoarea finală este:

( )itSitSSDSSt +=+=+= 10000 (1.3.)

Scadenţă comună sau scadenţă medie

Fie sumele nSS ,...,1 plasate cu acelaşi procent p pe duratele

ntt ,...,1 . Suma dobânzilor aduse de cele n sume pe cele n durate o vom înlocui cu dobânda adusă de o sumă S pe o perioadă t, atunci durata t va fi:

StStStS

t nn+++=

...2211 (1.4.)

şi se va numi scadenţă comună. Dacă nSSSS +++= ...21 , atunci durata t va fi:

n

nn

SStStS

t++++

=......

1

11 (1.5.)

şi se va numi scadenţă medie.

57

Exemplu: Să se determine scadenţa unei sume de 25.000 u.m. care produce o dobândă egală cu suma dobânzilor produse de 3.500 u.m. pe timp de 72 zile; 4.500 u.m. pe timp de 105 zile; 6.000 u.m. pe timp de 124 zile şi 5.000 lei pe timp de 150 zile.

Observăm că 25.000 ≠ 3.500 + 4.500 + 6.000 + 5000 = 19.000, atunci scadenţa comună este:

4,88725000

150500012460001054500723500=

⋅+⋅+⋅+⋅=t zile.

V. DOBÂNDA COMPUSĂ O sumă de bani este plasată cu dobândă compusă (capita-

lizată) dacă, la sfârşitul primei perioade, dobânda simplă a acestei perioade este adăugată la sumă pentru a produce la rândul ei dobândă în perioada următoare: Fie 0S – sumă iniţială; p – procentul;

i = 100

p dobânda unitară; t – durata de plasament a sumei 0S (număr

întreg) şi tS – suma finală după t perioade, atunci:

Anii Suma plasată la începutul anului

Dobânda produsă în timpul anului

Suma obţinută la sfârşitul anului

1 0S iS0 ( )iSS += 101

2 ( )iSS += 101 ( )iiSiS += 101 ( )202 1 iSS +=

M M M M t ( ) 1

01 1 −− += t

t tSS ( ) iiSiS tt

101 1 −

− += ( )tt iSS += 10

Dacă ui =+1 va fi un factor de fructificare găsit în tabele financiare pentru ,...3,2,1=t pentru diferite procente atunci suma finală va fi:

( ) ttt uSiSS 00 1 =+= (2.1.)

Dobânda compusă va fi pentru t- întreg: ( )[ ] ( )111 00 −=−+= tt uSiSD (2.2.)

Suma iniţială depusă va fi:

( )t

ttt vSi

SS =+

=1

10 (2.3.)

58

unde vi=

+11 factor de actualizare.

Timpul se poate obţine din (2.3.) prin interpolare. Exemple:

1. Ce sumă trebuie să depunem azi ca să încasăm, peste 3 ani, suma de 10.000 lei, ştiind că dobânda unitară este de 2,5%?

Răspuns: ( )

9,9285025,1110000

11

30 ==+

= tt iSS lei.

2. Cu ce procent suma de 3450 lei depusă timp de 8 ani devine 5324,45 lei ?

Răspuns: ( ) 543318,13450

45,532410

===+SS

i tt . În tabele financiare

găsim că această valoare corespunde aproximativ procentului 4,43 % . Dacă durata de plasament a sumei 0S S0 (-t) nu este, în general,

un număr întreg, ci este de forma khnt += . Avem două soluţii pentru

abordarea problemei: a. Soluţia raţională porneşte de la forma (2.1.) pentru partea întreagă

de n ani, valoarea finală obţinută pentru plasarea sumei iniţială 0S

va fi: ( )nn iSS += 10 . Această sumă, nS , în timpul fracţiunii

kh a

anului, cu dobândă unitară i, va aduce o abordare simplă, khiSn .

Astfel, se obţine:

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++==

+ khiiSSS n

khnt 110 (2.4.)

reprezentând soluţia raţională de calcul a sumei finale când se plasează

o sumă 0S pe o durată khnt += în regim de dobândă compusă.

b. Soluţia comercială pentru suma 0S plasată pe o perioadă khnt +=

este ( ) ( ) khnt

t iSiSS ++=+= 11 00 .

59

Exemplu: Să se calculeze valoarea finală a sumei de 10.000 unităţi monetare plasate timp de 8 ani şi 5 luni cu procent anual 5%. Deci p=5% i=0,05.

Răspuns: Soluţia raţională ( )81258 12

505,0105,0110000S =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

+

805,110000 ⋅ 35,15082020833,1 =⋅ u.m.

Soluţia comercială 97,1507705,110000 1258

1258

=⋅=+

+S u.m.

Observaţii: 1. Cele două soluţii nu sunt identice. 2. Soluţia comercială este mai des utilizată, deoarece factorul

fructificare ui =+1 este în tabele financiare atât pentru puteri întregi, cât şi fracţionare.

3. Valorile finale ale unei sume 0S depusă în regim de dobândă simplă sau în regim de dobândă compusă diferă în funcţie de durată t.

VI. ÎMPRUMUTURI Se numeşte împrumut o operaţie financiară prin care un partener

1P (individual sau grupat, numit creditor) plasează o sumă de bani, pe o perioadă de timp, în anumite condiţii, unui alt partener 2P (individual sau grupat, numit debitor).

Operaţiunea prin care 2P restituie lui 1P suma de care a beneficiat se numeşte rambursare sau amortizare a împrumutului. Un împrumut care nu se mai înapoiază se numeşte împrumutul nerambursabil. Sumele rambursate anual care au rolul de a amortiza treptat suma împrumutată se numesc amortismente.

VI.1. Amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate

Fie: 0V – suma împrumutată la momentul iniţial, nTT ,...,1 – anuităţile (rate) succesive, (prima anuitate fiind plătită la sfârşitul primului an), n – durata în ani a rambursării, naa ,...,1 – amortismentele

60

succesive conţinute în prima, a doua, şi a n-anuitate, i – dobânda unitară a împrumutului.

Cu aceste date se poate întocmi tabelul:

Momente Amortizări Dobânda Anuităţi Suma rămasă de plată

0 --- --- --- 0V

1 1Q iVd 01 = 111 dQT += 101 QVV −= M M M M M p pQ iVd pp 1−= ppp dQT += ppp QVV −= −1

M M M M M n nQ iVd nn 1−= nnn dQT += 01 =−= − nnn QVV

Observaţii: 1. Tabelul este valabil pentru orice lege a anuităţilor pentru care nu s-a

formulat încă nici o ipoteză. 2. Din condiţia ca după n ani să se ramburseze suma împrumutată

reiese că suma împrumutată este egală cu suma amortismentelor: nQQQV +++= ...210 (3.1.)

De asemenea, relaţia între anuităţi şi amortismente (adecvată pentru orice lege a anuităţilor) este:

( ) pppp QiQTT +−=− ++ 111 (3.2.) 3. Anuităţile trebuie să fie constante

VI.2. Împrumuturi cu anuităţi (rate) constante, plătibile

la sfârşitul anului (posticipat)

Considerăm TTi = , orice ni ,...,1= . Atunci din (3.2.) avem ( ) pp QiQ +=+ 11 şi obţinem:

iiQV

n 1)1(10

−+= (3.3.)

Exemplu: Un împrumut de 10.000 $ urmează a fi rambursat în 4 ani prin rate (anuităţi) constante participate cu 5%. Care este tabloul de amortizare? Răspuns: 50005,01000001 =⋅== iVd

61

Primul amortisment ( )

12,23201101 =

−+= ni

iVQ

sau 12,232011 =−= dTQ Amortismente ( 1)1( −+= pp QiQ ): 13,24362 =Q ; 92,25573 =Q ;

83,26854 =Q Realizând celelalte calcule se obţine tabelul de amortizare:

Ani Amortismente Dobânzi Anuităţi Suma rămasă de plată la sfârşitul anului

1 2320,12 500 2820,12 7679,88 2 2436,13 383,99 2820,12 5243,75 3 2557,92 262,20 2820,12 2685,83 4 2685,87 134,29 2820,12 0

VI.3. Împrumuturi cu anuităţi (rate) constante cu dobândă plătită la începutul anului (anticipat)

La semnarea contractului se plăteşte dobânda pentru primul an şi, deci, suma reală plătită nu este 0V ci iVV 00 − .

Pentru fiecare din anii următori, dobânda se calculează asupra sumei rămase de plătit şi se plăteşte o dată cu amortismentul.

Tabelul pentru împrumuturi cu anuităţi plătite la începutul anului este: Anii Amortismentele Dobânzi Anuităţi Suma rămasă de plată

la sfârşitul anului 0 – iVd 00 = – iVV 00 −

1 1Q iVd 11 = iVQT 111 += 101 QVV −=

2 2Q iVd 22 = iVQT 222 += 212 QVV −= M

p pQ iVd pp = iVQT ppP += ppp QVV −= −1

M n nQ iVd nn = iVQT nnn += 01 =−= − nnn QVV

Dacă 0=nV atunci nn QT = . Diferenţa a două anuităţi succesive este pppp QiQTT −−=− ++ )1(11 .

62

Dacă anuităţile sunt constante, adică TTi = , ni ,...,1= atunci

0)1(1 =−−+ pp QiQ şi astfel pp i

QQ

)1(1

1 −=+

, rezultând ])1(1)[1(

)1(01 n

n

iiiiVQ−−−

−= .

Exemplu: Un împrumut de 40.000 u.m. este rambursabil cu cinci ani prin anuităţi constante cu dobândă plătibilă la începutul anului cu procent de 5%. Care este tabloul de amortizare? Răspuns: Se calculează =

−

⋅=

−−−

−=

]95,01[95,095,005,0000.40

])i1(1)[i1()i1(iVQ 5

5

n

4

01

72012262192,095,0

77378,005,0000.40 =⋅⋅ şi apoi celelalte elemente, conform

relaţiilor de mai sus şi se obţine tabloul de amortizare:

Anii Amortisment Dobânzi Anuităţi Suma rămasă de plată la sfârşitul anului

0 – 2000 – 38.000 1 7201 1640 8841 32.799 2 7580 1261 8841 25219 3 7979 862 8841 17240 4 8399 442 8841 8841 5 8841 – 8841 0

VI.4. Împrumuturi cu amortismente egale

Dacă QQi = , ni ,...,1= din (3.1.) rezultă n

VQ 0= . Folosind

acest lucru în (3.2.) obţinem: ip0

p1p QTin

V-TT −==+ .

Tabloul de amortizare a unui împrumut cu amortismente egale este similar celui pentru amortizarea unui împrumut prin anuităţi constante posticipate.

Aplicaţie: O persoană a împrumutat suma de 25.000$ pe care urmează să o ramburseze în 4 ani cu procentul de 5% prin anuităţi participate cu amortismente egale. Care este tabloul de amortizare?

Răspuns: Din 250000 =V şi n=4 rezultă 62504000.250 ===

nV

Q .

Realizând calculele conform relaţiilor de mai sus, obţinem următorul tabloul de amortizare:

63

Anii Amortizare Dobânda Anuitatea Suma rămasă de plată la sfârşitul anului

1 6250 1250 7500 18750 2 6250 875 7125 12500 3 6250 625 6768,7 6250 4 6250 425 6430,3 0

PROBLEME PROPUSE

1. Un capital de 900.000 u.m. este plasat într-un cont cu rata anuală de 8%. Care este capitalul disponibil peste 4 zile? Dar peste 3 luni? Dar peste 1 semestru?

Răspuns: S = 908.000 u.m.; S = 918.000 u.m.; S = 936.000 u.m.

2. Ce sumă va ridica o persoană peste 5 ani cu dobândă compusă dacă astăzi depune 500.000 u.m. cu 4%? Care este dobânda obţinută?

Răspuns: S5 = 608326,4 u.m. D = 108326,4 u.m.

3. O persoană plasează 150.000 u.m. la fiecare 1 ianuarie începând cu 1 ianuarie 1994, cu rata 5%. De ce sumă dispune la 1 ianuarie 2000, data ultimului vărsământ?

Răspuns: S7 = 1653960 u.m.

4. Ce sumă va trebui să achite astăzi o persoană pentru a putea scăpa de plata a 10 anuităţi anticipate a 5000 u.m. fiecare cu 3%?

Răspuns: A10 = 43929,53 u.m.

5. Să considerăm următoarele 3 operaţiuni pe care partenerul P1 le poate face cu partenerul P2:

– 6.000 u.m. pe 30 zile cu procentul 7%; – 1000 u.m. pe 60 zile cu procentul 12%; – 15000 u.m. pe 90 zile cu procentul 8%;

Presupunem că partenerul 1P ar dori ca: a) cele 3 plasamente să se facă la scadenţele menţionate, dar cu

acelaşi procent mediu înlocuitor; b) sumele menţionate să fie plasate cu procentele cuvenite, dar

până la o aceeaşi dată, sau scadenţă t; c) dobânda fiecărei operaţiuni şi dobânda totală; d) scadenţa sumei de 10.000 u.m. ce produce o dobândă egală cu

suma dobânzilor produse de cele 3 operaţiuni;

64

e) care este suma pe care 1P ar avea-o de plătit dar ar plăti în fiecare an partenerului 2P 10.000 cu un procent anual de 5%, timp de 15 ani, dar dacă ar avea de plătit această datorie acum, cât ar fi ea?

Răspuns: a) p = 8, 16 %; b) t = 72, 27 zile; c) 351 =D u.m.; 202 =D u.m.; 3003 =D u.m.; 60351 =S u.m.; 10202 =S u.m.;

153003 =S u.m.; 22355=tS u.m.; d) t = 159 zile; e) 6,21578515 =S u.m.; 6,10379615 =A u.m.

6. Care este valoarea finală a sumei de 100.000 u.m. plasată cu dobândă compusă timp de 4 ani şi 5 luni cu rata anuală de 5%?

Răspuns: Soluţia comercială 124045,42 u.m.; Soluţia raţională 124081,88 u.m.

7. Un împrumut în valoare de 1.000.000 u.m. trebuie rambursat în 5 ani prin anuităţi participate, cu procentul anual de 5%. Să se întocmească tabelul de amortizare în catul în care amortismentele sunt egale.

Răspuns: Ani

i Suma de la

începutul anului Dobânda Amortisment Anuitatea Suma rămasă

de plată 1 1.000.000 50.000 200.000 250.000 800.000 2 800.000 40.000 200.000 240.000 600.000 3 600.000 30.000 200.000 230.000 400.000 4 400.000 20.000 200.000 220.000 200.000 5 200.000 10.000 200.000 210.000 0

8. Să se întocmească tabelul de amortizare în cazul împrumutului din problema anterioară dacă rambursarea se face prin anuităţi egale.

Răspuns: Anii Suma de la

începutul anului Dobânda Amortisment Anuitatea Suma rămasă

de plată 1 1.000.000 50.000 180.975 230.975 819.025 2 819.025 40.951 190.024 230.975 629.002 3 629.002 31.450 199.525 230.975 429.477 4 429.477 21.474 209.501 230.975 219.976 5 219.976 10.999 219.976 230.975 0

65

9. O persoană a împrumutat suma de 2.000.000 u.m. pe care urmează să o ramburseze în 6 ani cu procentul de 7% prin anuităţi participate comportând amortismente egale. Să se întocmească tabelul de amortizare corespunzător.

Răspuns: Anii Suma de la

începutul anului Dobânda Amortisment Anuitatea Suma rămasă

de plată 1 2.000.000 140.000 333.333 473.333 1.666.667 2 1.666.667 116.667 333.333 450.000 1.333.333 3 1.333.333 93.333 333.333 426.667 1.000.000 4 1.000.000 70.000 333.333 403.333 666.667 5 666.667 46.667 333.333 380.000 333.333 6 333.333 23.333 333.333 356.667 0

10. Un împrumut de 2.300.000 este rambursabil în 4 ani prin anuităţi constante cu dobânzile plătibile la începutul anului, procentul fiind de 7%. Să se întocmească tabelul de amortizare corespunzător.

Răspuns: Anii Suma de la

începutul anului Dobânda Amortisment Anuitatea Suma rămasă

de plată 0 2.300.000 0 161.000 0 0 1 2.300.000 514.001 125.020 639.021 1.785.999 2 1.785.999 552.689 86.332 639.021 1.233.310 3 1.233.310 594.289 31.951 639.021 639.021 4 639.021 639.021 0 639.021 0

66