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Suites géométriques – Exercices corrigés
© SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)
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Sont abordés dans cette fiche :
Exercice 1 : reconnaissance d’une suite géométrique, raison et premier terme
Exercice 2 : calcul d’une raison et calcul des termes d’une suite géométrique
Exercice 3 : somme de termes d’une suite géométrique
Exercice 4 : calcul d’une somme et résolution d’une équation polynômiale
Exercice 5 : résolution de problème
Déterminer si les suites suivantes sont géométriques et préciser la raison et le premier terme de chaque suite
géométrique.
1) 3) ( )
( ) 2) ( )
4) ( )
Rappel : Définition d’une suite géométrique
Une suite ( ) est une suite géométrique lorsqu’on passe de chaque terme au suivant en multipliant toujours
par le même nombre non nul , appelé raison de la suite. On a : .
Point méthode : Comment montrer qu’une suite est géométrique ?
Pour prouver qu’une suite est géométrique, plusieurs méthodes sont envisageables :
s’assurer que n’est jamais nul et montrer que, pour tout entier naturel tel que où
désigne le rang à partir duquel la suite est définie :
Cette réelle (indépendante de ) est appelée la raison de la suite et on la note souvent .
utiliser la définition en montrant qu’il existe un réel non nul tel que , pour tout entier
naturel tel que
Remarque : Cette 2ème
méthode est à préférer car elle permet de s’affranchir de la vérification .
montrer qu’il existe deux nombres réels et tels que pour tout entier naturel : où
désigne la raison de la suite
Suites géométriques
Exercices corrigés
Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile
Correction de l’exercice 1
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1) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par :
Méthode 1 :
Pour tout entier naturel , . En effet, est nul si et seulement si ou .
Or, , et
Pour tout entier naturel , on a donc :
( ) ( )
Le rapport
est constant donc ( ) est une suite géométrique de raison et de 1
er terme .
Méthode 2 :
Pour tout entier naturel ,
( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme .
Méthode 3 :
Pour tout entier naturel ,
( )
( ) est clairement de la forme avec {
.
( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme
.
Remarque : Pour la suite de cet exercice, il sera fait le choix d’une méthode parmi les trois.
2) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( )
Pour tout entier naturel ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme ( ) .
Remarque : - , et , et .
Ne pas confondre ( )
et ( )
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3) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( ) ( )
Pour tout entier ,
( ) ( ) ( ( ))( ) ( )
Dès lors, soit on reconnait l’écriture d’une suite arithmétique de raison et de premier terme ,
soit on utilise l’une des méthodes vues précédemment.
Remarque : ( ) n’est pas géométrique puisque pour tout entier naturel (
), le rapport de deux termes consécutifs de la suite n’est pas constant :
4) Soit la suite ( ) définie pour tout entier par : ( )
Pour tout entier ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme ( ) .
Soit une suite géométrique ( ) de raison telle que et . Déterminer .
Rappel : Terme d’une suite géométrique
Soit ( ) une suite géométrique de raison définie pour tout entier naturel où désigne le rang à
partir duquel la suite est définie.
Alors, pour tout entier naturel tel que , on a :
Commençons par déterminer la raison de la suite.
Exercice 2 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 2
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( ) est une suite géométrique de raison telle que et . Donc :
Or, ou
Remarque : On peut également résoudre l’équation en utilisant la touche √
de la calculatrice. En
fait, il convient de saisir √
et UNE BONNE CALCULATRICE affiche et . Ces résultats signifient que
et sont les racines sixièmes. Malheureusement, la plupart des calculatrices limitent l’affichage à un seul
résultat : !
Autre remarque - Vérification des raisons trouvées :
et ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
La suite ( ) est donc une suite géométrique de raison ou de raison .
Déterminons désormais le terme .
( )
Remarque : Un tel résultat montre encore une fois clairement les limites d’une calculatrice, incapable d’écrire
la valeur exacte de !
Déterminer l’entier naturel tel que : .
On donne : .
Or, on reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( ) de raison et de
premier terme . En effet :
avec
{
On a alors pour tout entier naturel : .
Autrement dit, le terme général de ( ) est : .
Exercice 3 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 3
( )
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Rappel : Somme des termes d’une suite géométrique
Soit ( ) une suite géométrique de raison . Alors la somme des termes consécutifs de cette suite est
donnée par la formule :
Autrement dit, avec où désigne le rang à partir duquel la suite ( ) est définie :
Remarque : si , ( )
Ainsi,
( )
Donc, pour tout entier naturel :
( )
L’entier naturel satisfait l’équation donc pour .
Résoudre dans * + l’équation .
Méthode 1 : Résolution à l’aide des résultats sur les suites géométriques
Soit l’expression .
On reconnaît ici l’écriture de la somme de termes d’une suite géométrique ( ) de raison et de premier
terme .
En effet, avec (pour tout entier naturel
non nul). On a bien : ; ( ) ; ; etc.
Dès lors, on déduit de l’écriture d’une somme de termes consécutifs d’une suite géométrique de premier terme
et de raison que, pour tout * + :
Exercice 4 (1 question) Niveau : facile
Correction de l’exercice 4
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( )
( )
( ( ) )
( )( )
( ( ) )( )
( )( )( )
( )( )( )( )
( )( )( )
Ainsi,
* +, ( )( )( ) {
{
car, pout tout réel, et .
L’équation admet donc deux solutions réelles : et .
Méthode 2 : Résolution par regroupement et factorisations successives
* +,
( ) ( ) ( )( )
(car , , et ) ( ) ou
L’équation admet donc deux solutions réelles : et .
Remarque : Cette 2ème
méthode est à préférer, certes car elle est plus rapide, mais surtout car elle permet de
résoudre dans et pas uniquement dans * +.
Un forgeron frappe, sans discontinuer, toutes les secondes, un fer à cheval d’épaisseur 1 cm, de sorte à le rendre
deux fois moins épais. A chaque coup, l’épaisseur du métal diminue de 1 %. Quel est le temps minimal
nécessaire au forgeron pour qu’il mène à bien son projet ?
Soit l’épaisseur de la pièce métallique après coups, exprimée en cm.
Avant que le forgeron ne frappe le fer à cheval, c’est-à-dire avant le premier coup, on a : .
Après le premier coup, l’épaisseur de la pièce est telle que a diminué de 1 %.
Autrement dit,
Exercice 5 (1 question) Niveau : moyen
Correction de l’exercice 5
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De même,
Et, de manière générale, en désignant l’épaisseur, en cm, de la pièce après coups :
Comme , ( ) est une suite géométrique de raison et de premier terme .
Ainsi, pour tout entier naturel , .
Le forgeron cherche à diminuer au moins de moitié l’épaisseur initiale de la pièce. En d’autres termes, il
souhaite que son épaisseur soit inférieure ou égale à 0,5 cm.
Il convient par conséquent de résoudre l’équation (ou bien ).
Procédons par encadrements successifs (arrondis à près) pour trouver la valeur de ( ) minimale
qui satisfait l’inéquation.
Il faut par conséquent au minimum 69 secondes au forgeron pour diminuer de moitié l’épaisseur du fer à
cheval.