suites arithmétiques et géométriques

1Séquence 8 – MA11

Séquence 8

Suites arithmétiqueset géométriques

Sommaire

Pré-requis

Suites arithmétiques

Suites géométriques

Synthèse du cours

Exercices d’approfondissement

© Cned - Académie en ligne


1 Pré-requisSuites

Suite définie explicitement

Soit ( un ) la suite définie pour tout entier naturel n par u nn = −2 7 .

� Calculer u0 ; u1 .

� Compléter le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4 5

un

� Représenter les points de coordonnées (n ; un ) associés aux cinq premiers termes de la suite ( un ) dans un repère.

� Conjecturer le sens de variation de cette suite. Prouver cette conjecture.

� u

u

02

12

0 7 7

1 7 6

= − = −

= − = −�

n 0 1 2 3 4 5

un -7 -6 -3 2 9 18

A

� Exemple 1

� Solution


4 Séquence 8 – MA11

�

� Conjecture : la suite ( un ) est une suite croissante.

Calculons u un n+ −1 :

u nn+ = + −121 7( ) donc

u u n n

n n n

n n+ − = + −

− −

= + + − − +

12 2

2 2

1 7 7

2 1 7

( )

77

2 1 0= + >n

Ainsi, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et la suite ( un ) est bien une suite croissante.

Suite définie par récurrence

Soit ( un ) la suite définie par u

u u pour nn n

0

1

5

2 8 0

== − ≥

+ .

� Calculer u1 ; u2 .

� En utilisant un tableur, déterminer la valeur des 13 premiers termes de la suite ( un ) puis en donner une représentation graphique.

–7–6

–5

–4

–3

–2

–1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1314

1516

1718

19

� Exemple 2



� La suite ( un ) est définie par une relation de récurrence.

u u1 02 8

2 5 8

2

= −= × −=

et

u u2 12 8

2 2 8

4

= −= × −= −

� Dans la cellule B3, rentrons la formule : =2*B2–8

Puissances

Simplifier le plus possible

a) 3 2 3 25 3 2× × ×− c) 5

55

4

2×

� Solution

B

Propriété

Soient a et b deux réels non nuls, n et p deux entiers naturels.

a0 1=

a a1 =

a a an

n fois

= × ×...�� pour n ≥ 2

aa a a

nn

nfois

− = =× ×

1 1...��

a a an p n p× = +

a

aa

n

pn p= −

( )ab a bn n n=

ab

a

b

n n

n

=

� Exemple 3



b) ( )82 7 d) ( )3 5

3 5

7

2×

×

a) 3 2 3 2 3 2

3 2

5 3 2 5 2 3 1

3 4

× × × = ×

= ×

− − + c) 5 54 2 1 3− + =

b) ( )8 8

8

2 7 2 7

14

=

=

× d) ( )3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

3 5

7

2

7 7

2

7 1 7 2

6 5

×

×= ×

×= ×

= ×

− −

Soient a un réel non nul et n un entier naturel

Ecrire sous la forme d’une puissance de a :

a) a an × 3 c) a

aa

n

3×

b) ( )a n2

a) a a an n× = +3 3 c)

b) ( )a an n2 2=

a

aa a a

a

a

nn

n

n

33 1

3 1

2

× = ×

=

=

−

− +

−

� Solution

� Exemple 4

� Solution



2 Suites arithmétiquesActivités

La dune

� Etude d’un exemple

Une dune mesurait 100 mètres de large en 2010. Une équipe de scientifique constate que chaque année la largeur de cette dune diminue de 1,5 m sous l’effet de l’érosion (due au vent, aux vagues et à l’homme).

On note ( un ) la largeur de la dune en (2010+n). Ainsi, u0 représente la largeur de la dune en 2010 et vaut 100.

� a) Que représente u1 ? Calculer la valeur de u1 .

b) Que représente u2 ? Calculer la valeur de u2 .

� Que représente u15 ? Déterminer u15 .

� La dune joue un rôle important : elle protège les polders des risques d’inonda-tion et intervient dans la gestion de la qualité des eaux.

Les scientifiques estiment qu’en dessous de 30 m de large, la dune ne peut plus assurer ce rôle en cas de phénomènes exceptionnels (tempête notam-ment). Les autorités prévoient de ralentir l’érosion par des plantations d’oyats (plantes) et la mise en place de (barrières) dès que la dune atteindra 45 m de large.

En quelle année, au plus tard, devra-t-on intervenir ?

� Généralisation

La suite définie précédemment est une suite arithmétique. Nous allons dégager quelques propriétés de ce type de suite.

� a) Compléter le schéma ci-dessous :

,

( ) ( ) ( )

,100 98 51 5

0 1

− … … → → … → ……u u ( )…

b) Compléter :

u u

u u

u u

1 0

2 1

3 2

= += += +

......

......

......

A

Activité 1



c) Compléter :

u u01 5

1− … … → → … → …,

u u un n n−

… …+ → →1 1

Généralisation : u un n+ = +1 ......

ce nombre est appelé la raison de la suite ( un )


u u u u01 5

1 2 3− … … → → →,

…

b) Compléter :

u u3 0= + ......

c) Compléter :

u u u u01 5

1 2 3− … … → → →,

u un n−

… →1

Généralisation : u un = +0 ......

Représentation graphique et sens de variation

Soient les suites ( un ) et (vn ) définies par récurrence par :

u

u un n

0

1

2

3

= −= +

+ et

v

v vn n

0

1

2

0 5

= −= −

+ ,

� Compléter le tableau suivant :

n 0 1 2 3 4 5

un

vn

� Effectuer les calculs suivants :

u u

u u

u u

u u

1 0

2 1

3 2

4 3

− =− =− =− =

......

......

......

.......

......

......

u u

u un n

5 4

1

− =− =+

v v

v v

v v

v v

1 0

2 1

3 2

4 3

− =− =− =− =

......

......

......

.......

......

......

v v

v vn n

5 4

1

− =− =+

Activité 2

...



Que constatez-vous ?

On dit que la variation absolue entre deux termes consécutifs de la suite est constante.

� Dans un repère, représenter graphiquement les points M de coordonnées (n ; un ) associés à la suite u et les points P de coordonnées (n ; vn ) associés à la suite v .


Cours

� Définition

� Définition

Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u rn n+ = +1 où r est la raison de la suite.

Schéma

u u u u u ur rn

rn

rn0 1 2 1 1

+ +−

+ ++ → → … → →

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 5= et telle que u un n+ = −1 2

� Calculer u1et u2 .

� Quelle est la raison de cette suite ?

� D’après la formule de récurrence,

u u1 0 2

5 2

3

= −= −=

et

u u2 1 2

3 2

1

= −= −=

� Comme u un n+ − =1 2 , cette suite arithmétique a pour raison –2.

B

Une suite arithmétique est définie par une formule de récurrence.La variation absolue entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est constante égale à r : u u rn n+ − =1

Remarque

� Exemple 5

� Solution



� Formule explicite

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 5= et de raison 2,5.

Calculer u20 .

Comme u est une suite arithmétique, on a u u n rn = + ×0 avec u0 5= et r = 2,5.

Donc :

u20 5 20 2 5

5 50

55

= + ×= +=

,

� Représentation graphique et sens de variation

Démonstration

Soit u une suite arithmétique de raison r. Pour tout entier naturel n, on a u u rn n+ − =1 .

Propriété 1

Soit u une suite arithmétique de raison r.

Pour tous entiers naturels n et p, u u n p rn p= + − ×( )

En particulier, u u n rn = + ×0 et u u n rn = + − ×1 1( )

� Exemple 6

� Solution

Propriété 2


Dans un repère du plan, les points de coordonnées ( n un; ) associés à cette suite sont alignés.

Pour une suite arithmétique, on parle alors d’évolution linéaire.

Remarque

Propriété 3

Soit une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, la suite arithmétique est strictement croissante.

Si r < 0, la suite arithmétique est strictement décroissante.

Si r = 0, la suite arithmétique est constante.



1er cas : r > 0u u rn n+ − = >1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et ainsi la suite u

est une suite strictement croissante.

2ème cas : r < 0u u rn n+ − = <1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ <1 et ainsi la suite u

est une suite strictement décroissante.

3ème cas : r = 0u u rn n+ − = =1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 et ainsi la suite u

est une suite constante.

� Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 5= et r = –2.

a) Calculer u1 ; u2 ; u3 et u4 .

b) Représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite dans un repère.

c) Quel est le sens de variation de cette suite ?

� Mêmes questions avec la suite arithmétique v de premier terme v0 5= et r = 0,5.

� a) Comme u est une suite arithmétique de premier terme u0 5= et r = – 2, on a :

u u r1 0

5 2

3

= += −=

. De même, u2 3 2

1

= −=

; u3 1 2

1

= −= −

et u4 1 2

3

= − −= −

.

b)

1

1

00

–1

–2

–3

2

3

4

(0,5)

(2,1)

(3,–1)

(4,–3)

(1,3)

5

6

2 3 4 5

c) Comme r = –2, la suite u est une suite strictement décroissante.

� Exemple 7

� Solution



� a) Comme v est une suite arithmétique de premier terme v0 5= et r = 0,5, on a :

v v r1 0

5 0 5

5 5

= += +=

,

,

.

b) De même, v2 5 5 0 5

6

= +=

, , ;

v3 6 0 5

6 5

= +=

,

,et

v4 6 5 0 5

7

= +=

, ,.

c)

d) Comme r = 0,5, la suite v est une suite strictement croissante.

Tice

� Tableur

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 23= et r = - 3.

� Recopier la page de calculs suivante :

� Dans la cellule B3, rentrer une formule de récurrence qui permet d’obtenir les termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne B. « Copier-glis-ser » cette formule jusqu’à la cellule B32.

� Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet d’obtenir les termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne C. « Copier-glis-ser » cette formule jusqu’à la cellule C32.

1

1

00

2

3

4

(0,5)(1,55)

(2,6)(3,65)

(4,7)

5

6

7

2 3 4 5

C

� Exemple 8



� Représenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et B).

� Comme u u rn n+ = +1 , on rentre : B3=B2+E$2

� Comme u u n rn = + ×0 , on rentre : C3=C$2+A3*E$2

�

� CalculatricePour obtenir les termes d’une suite arithmétique à l’aide de la calculatrice, on peut utiliser la formule explicite d’une suite arithmétique et la table de valeurs de la calculatrice.

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 17= − et de raison r = 0,75.

Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.

� La suite u est définie explicitement par u nn = − + ×17 0 75, .

� Solution

� Exemple 9

� Solution

On obtient bien sûr les mêmes résultats dans les colonnes B et C.

Remarque



Texas Instrument Casio

Renseigner « f(x) = » Renseigner « Table – Func »

Renseigner DefTable Renseigner « Table – Tabl » et afficher la Table (la faire défiler)

Afficher la Table



Exercices d’apprentissage

Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.

� u0 2= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = −1 5 .

� Pour tout entier naturel n, u nn = +3 10 .

� Pour tout entier naturel n, unn = +1

8 .

� u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = −1 2 3 .

Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites arithmétiques. Pour les suites arithmétiques, préciser la raison.

� u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = − +1 6 .

� Pour tout entier naturel n, u nn = −13 5 .

� Pour tout entier naturel n, u nn = +2 82 .


Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 10= et de raison –7.

� Exprimer un en fonction de n.

� Calculer u100 .

Soit u une suite arithmétique de premier terme u6 7= et de raison 2,5.


� Calculer u50 .

u est une suite arithmétique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer u20 :

� u0 12= − et r = 1,5.

� u7 3 5= , et r = 2.

D

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 5



� u1 151= et r = -13.

� u36 72= et r = 1,2.

u est une suite arithmétique de raison r. Dans chacun des cas suivants, calculer r :

� u3 25= et u5 21= .

� u12 28= et u37 103=

� u7 21 5= , et u60 31 5= − ,

� u36 15= et u98 15= .

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 15= et de raison –3.


� Quel est le sens de variation de cette suite ?

� Dans un repère, représenter les points associés aux huit premiers termes de cette suite.

� Par le calcul, déterminer le rang n à partir duquel un < −21 .

Dans chacun des cas suivants, u désigne une suite arithmétique. Déterminer le sens de variation de ces suites.

� u0 2= − et, pour tout entier naturel n, u un n+ = +1 8 .

� Pour tout entier naturel n, u nn = −7 6 .

� u0 7= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 .

Intérêts simples

Un capital de 5 000 € est placé au taux annuel de 4 % à intérêts simples. Cela signifie que, chaque année, les intérêts sont fixes égaux à 4 % du capital initial.

On note C0 le capital initial et Cn celui disponible au bout de n années.

� Calculer C1 et C2 .

� a) Quelle est la nature de la suite (Cn ) ?

b) Exprimer Cn en fonction de n.

� A partir de quelle année le capital disponible aura-t-il doublé ?

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9



Parmi les graphique suivants, indiquer ceux qui représentent les points associés aux premiers termes d’une suite arithmétique. Dans le cas d’une suite arithmé-tique, indiquer le premier terme et la raison de la suite.

�

–5

–4

–3

–2

–1 0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

�

–3

–2

–10

0

1

1

2 3 4 5 6

�

1

1

2 3 4

0

0

2

3

4

5

6

7

8

Un particulier effectue un devis auprès d’une entreprise de forage. Le coût du forage d’un puits est calculé de la manière suivante :

– le premier mètre coûte 200 €

– chaque mètre supplémentaire coûte 70 € de plus que le précédent.

On note un le prix du nième mètre foré. Ainsi u1 200= .

� Calculer u2 et u3 .

� Quelle est la nature de la suite ( un ) ? Donner l’expression de un en fonction de n.

� Déterminer le prix à payer pour forer un puits de 9 mètres de profondeur.

Exercice 10

Exercice 11



3 Suites géométriques

Activités

Placement à intérêts composés

� Etude d’un exemple

Un capital de 2 000 € est placé au taux annuel de 5 % à intérêts composés. Cela signifie que, chaque année, les intérêts sont calculés sur le capital acquis.

On note C0 le capital initial et Cn disponible au bout de n années.

� Quel est le coefficient multiplicateur associé à une augmentation de 5 % ?

� a) Que représente C1 ? Calculer la valeur de C1 .

b) Que représente C2 ? Calculer la valeur de C2 .

c) Que représente C10 ? Déterminer C10 .

� Généralisation

La suite définie précédemment est une suite géométrique. Nous allons dégager quelques propriétés de ce type de suite.


2000 21001 05

0

× … … → → … → …,

( ) u ( ) ( ) ( )u1 … …

b) Compléter : C C

C C

C C

1 0

2 1

3 2

= ×= ×= ×

......

......

......

c) Compléter :

u u01 05

1× … … → → … → …, u u un n n−

… …+ → →1 1

Généralisation : u un n+ = ×1 ......

ce nombre est appelé la raison de la suite ( un )


u u u u01 05

1 2 3× … … → → →,

…

A

Activité 3



b) Compléter :

C C3 0= × ......

c) Compléter :

u u u u01 05

1 2 3× … … → → →,

…

u un n−… →1

Généralisation : C Cn = ×0 ......

Représentation graphique et sens de variation

� En utilisant un tableur, représenter les sept premiers points associés aux suites ( un ) ; (vn ) et (wn ) définies par récurrence par :

u

u un n

0

1

5

1 2

== ×

+ , ;

v

v vn n

0

1

5

0 9

== ×

+ , et

w

w wn n

0

1

5==

+

� Conjecturer le sens de variation de chacune des suites précédentes.

� Effectuer les calculs suivants :uu

uu

u

u

uun

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......

vv

vv

v

v

vvn

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......

vv

vv

v

v

vvn

n

1

0

2

1

3

2

1

=

=

=

=+

......

......

......

......


On dit que la variation relative entre deux termes consécutifs de la suite est constante.

Cours

� Définition

� Définition

Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u qn n+ = ×1 où q est la raison de la suite.

Activité 4

B



Schéma

u u u u u un n n09

19

2 19 9

1× × × ×

+ → → … → → –

Soit u une suite géométrique de premier terme u0 1 5= , et telle que u un n+ = ×1 2 .

� Calculer u1 et u2 .

� Quelle est la raison de cette suite ?

� D’après la formule de récurrence,

u u1 0 2

1 5 2

3

= ×= ×=

, et

u u2 1 2

3 2

6

= ×= ×=

� Comme u un n+ = ×1 2 , cette suite géométrique a pour raison 2.

� Formule explicite

Soit u une suite géométrique de premier terme u0 5= et de raison 3.

Calculer u10 .

Comme u est une suite géométrique, on a u u qnn= ×0 avec u0 5= et q = 3.

Donc :

u10105 3

295245

= ×=

� Exemple 10

� Solution

Propriété 1

Soit u une suite géométrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p, u u qn pn p= × − .

En particulier, u u qnn= ×0 et u u qn

n= × −1

1.

� Exemple 11

� Solution

Une suite géométrique est définie par une for-mule de récurrence.La variation relative entre deux termes consé-cutifs d’une suite géométrique est constante

égale à q : u

uqn

n

+ =1

Remarque



� Représentation graphique et sens de variation

Démonstration

Soit la suite géométrique définie pour tout n ∈� par u qnn= avec q > 0.

Alors, u u q q q qn nn n n

++− = − = −1

1 1( ) .

Comme q > 0, le signe de u un n+ −1 dépend du signe de (q-1)

1er cas : 0 < q < 1

(q – 1) < 0 donc u un n+ − <1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ <1 et ainsi la suite u est une suite strictement décroissante.

2ème cas : q = 1

(q – 1) = 0 donc u un n+ − =1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 et ainsi la suite u est une suite constante.

3ème cas : 1 < q

(q – 1) > 0 donc u un n+ − >1 0 donc, pour tout entier naturel n, u un n+ >1 et ainsi la suite u est une suite strictement croissante.

� Soit u une suite géométrique de premier terme u0 5= et q= 0,3.

a) Quel est le sens de variation de cette suite ?

b) Représenter graphiquement les 5 premiers termes de cette suite dans un repère.

� Mêmes questions avec la suite géométrique v de premier terme v0 2= − et q = 1,2.

� a) Comme u est une suite géométrique de premier terme u0 5= et q = 0,3, on a :u u qn

n

n

= ×

= ×0

5 0 3,.

Comme 0 < 0,3 < 1, la suite définie par ann= 0 3, est une suite strictement

décroissante. Comme u an n= ×5 et 5 > 0, la suite u a les mêmes variations que la suite a : u est une suite strictement croissante.

� Exemple 12

� Solution

Propriété 2

Soit q un réel strictement positif. Soit la suite géométrique définie pour tout n ∈� par u qn

n= .

Si 0 < q < 1, la suite géométrique u qnn=

est strictement décroissante.

Si q = 1, la suite géométrique u qnn=

est constante égale à 1.

Si 1 < q, la suite géométrique u qnn=

est strictement croissante.



b)

n 0 1 2 3 4

un 5 1,5 0,45 0,135 0,0405

� a) Comme v est une suite géométrique de premier terme v0 2= − et q = 1,2, on a :v v qn

n

n

= ×

= − ×0

2 1 2,.

Comme 1,2 > 1, la suite définie par bnn= 1 2, est une suite strictement crois-

sante. Comme v bn n= − ×2 et –2 < 0, la suite v a un sens de variation contraire

à celui de la suite b : u est une suite strictement décroissante.

b)

n 0 1 2 3 4

vn – 2 – 2,4 – 2,88 – 3,456 – 4,1472

Tice

� Tableur

Soit u une suite arithmétique de premier terme u0 0 5= , et q = 1,1.

1

432100

2

3

4

5

–4

432100

–3

–2

–1

C

� Exemple 13

Pour une suite géométrique, on parle d’évolution exponentielle.

Remarque



� Recopier la page de calculs suivante :

� Dans la cellule B3, rentrer une formule de récurrence qui permet d’obtenir les termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne B. « Copier-glis-ser » cette formule jusqu’à la cellule B42.

� Dans la cellule C3, rentrer une formule explicite qui permet d’obtenir les termes de la suite u par un « copier-glisser » dans la colonne C. « Copier-glis-ser » cette formule jusqu’à la cellule C42.

� Représenter graphiquement les termes de la suite. (Utiliser les colonnes A et B).

� Comme u u qn n+ = ×1 , on rentre : B3=B2*E$2

� Comme u u qnn= ×0 , on rentre : C3=C$2*E$2^A2

�

� Calculatrice

Pour obtenir les termes d’une suite géométrique à l’aide de la calculatrice, on peut utiliser la formule explicite d’une suite géométrique et la table de valeurs de la calculatrice.

� Solution

On obtient bien sûr les mêmes résultats dans les colonnes B et C.

Remarque



Soit u une suite géométrique de premier terme u0 2048= et de raison q = 0,5.

Afficher sur une calculatrice les vingt premiers termes de cette suite.

La suite u est définie explicitement par unn= ×2048 0 5, .

Texas Instrument Casio

Renseigner « f(x) = » Renseigner « Table – Func »

Renseigner DefTable Renseigner « Table – Tabl » et afficher la Table (la faire défiler)

Afficher la Table

� Exemple 12

� Solution



Exercices d’apprentissage

Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques. Pour les suites géométriques, préciser la raison.


� Pour tout entier naturel n, u nn = 3 .

� Pour tout entier naturel n, unn= ×0 1 2, .

� u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un nn

+ =1 .

Parmi les suites suivantes, reconnaître celles qui sont des suites géométriques. Pour les suites géométriques, préciser la raison.

� u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ = +1 6 .

� Pour tout entier naturel n, u nn = 2 .

� Pour tout entier naturel n, un

n= ×

823

.

� u0 5= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 3 .

Soit u une suite géométrique de premier terme u0 120000= et de raison 0,3.


� Calculer u10 . (Arrondir à 0,01 près).

Soit u une suite géométrique de premier terme u7 2= et de raison 3.


� Calculer u17 .

u est une suite géométrique de raison q. Dans chacun des cas suivants, calculer u20 . (Arrondir à 10 2− près si nécessaire).

� u0 12= − et q = 1,5.

� u7 3 5= , et q = 2.

� u1 1510000= et q = 0,4.

� u36 16384= et q = 2.

u est une suite géométrique de raison q > 0. Dans chacun des cas suivants, cal-culer q :

� u3 9= et u5 81= .

D

Exercice 12

Exercice 13

Exercice 14

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17



� u12 0 001= , et u18 1000=

� u7 21= et u60 21=

Soit u une suite géométrique de premier terme u0 4= et de raison 1,25.


� Quel est le sens de variation de cette suite ?

� Dans un repère, représenter les points associés aux huit premiers termes de cette suite.

� A l’aide de la calculatrice ou du tableur, déterminer le rang n à partir duquel un >10000 .

Dans chacun des cas suivants, u désigne une suite géométrique. Déterminer le sens de variation de ces suites.

� Pour tout entier naturel n, unn= 0 32, .

� Pour tout entier naturel n, unn= 5 .

� Pour tout entier naturel n, unn= 1 .

� Pour tout entier naturel n, unn= − ×2 6 .

� Pour tout entier naturel n, un

n= ×

754

.

� Pour tout entier naturel n, unn= ×21 0 6, .

Pour tout entier naturel n, un

n= − ×

0 113

, .

Dans chacun des cas suivant, u désigne une suite géométrique. Déterminer le sens de variation de ces suites.

� u0 2= − et, pour tout entier naturel n, u un n+ = ×1 0 5, .

� u0 3 1= − , et, pour tout entier naturel n, u un n+ = ×1 5 .

� u0 7= et, pour tout entier naturel n, u un n+ =1 .

� u0 6 5= , et, pour tout entier naturel n, u un n+ =132

.

� u0 0 4= , et, pour tout entier naturel n, u un n+ = ×1 11, .

Intérêts composés

Un capital de 5 000 € est placé au taux annuel de 3,5 % à intérêts composés. On note C0 le capital initial et Cn celui disponible au bout de n années.

� Calculer C1 et C2 .

Exercice 18

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21



� a) Quelle est la nature de la suite (Cn )?

b) Exprimer Cn en fonction de n.

� A l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, déterminer à partir de quelle année le capital disponible aura doublé ?

Augmentation

Un patron propose à ses employés deux modes d’augmentation de leur salaire mensuel.

� Option A : une augmentation fixe du salaire mensuel de 50 € au premier jan-vier de chaque année.

Marie est embauchée dans l’entreprise avec un salaire de 1 500 € par mois. Elle choisit d’être augmentée suivant l’option A. On note Mn son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a M0 1500= .

a) Calculer M1 et M2 .

b) Exprimer Mn+1 en fonction de Mn . En déduire la nature de la suite (Mn ).

c) Exprimer Mn en fonction de n.

d) Calculer M20 .

e) A partir de combien d’années son salaire mensuel sera-t-il d’au moins 1 800 € ?

� Option B : une augmentation de 3 % du salaire mensuel de l’année précé-dente au premier janvier de chaque année.

Jean est embauché la même année que Marie avec un salaire de 1 500 € par mois. Il choisit d’être augmenté suivant l’option B. On note Jn son salaire après n années passées dans l’entreprise. On a J0 1500= .

a) Calculer J1 et J2 .

b) Exprimer Jn+1 en fonction de Jn . En déduire la nature de la suite ( Jn ).

c) Exprimer Jn en fonction de n.

d) Calculer J20 . (Arrondir au centime près).

e) A l’aide de la calculatrice, déterminer à partir de combien d’années son salaire mensuel sera d’au moins 1 800 € ?

� A partir de combien d’années passées dans l’entreprise, le salaire mensuel de Jean sera-t-il supérieur à celui de Marie ?

Exercice 22



4 Synthèse du cours� Suite arithmétique

� Définition

Une suite est arithmétique si l’on passe d’un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r, appelé raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u rn n+ = +1 où r est la raison de la suite.

La variation absolue entre deux termes consécutifs d’une suite arithmétique est constante égale à r : u u rn n+ − =1

Propriété 1 (Formule explicite)


Pour tous entiers naturels n et p, u u n p rn p= + − ×( ) .

En particulier, u u n rn = + ×0 et u u n rn = + − ×1 1( ) .

Propriété 2 (Représentation graphique)


Dans un repère du plan, les points de coordonnées (n un; ) associés à cette suite sont alignés.

Pour une suite arithmétique, on parle alors d’évolu-tion linéaire.

Propriété 3 (Sens de variation)

Soit une suite arithmétique de raison r.

Si r > 0, la suite arithmétique est strictement croissante.

Si r < 0, la suite arithmétique est strictement décroissante.

Si r = 0, la suite arithmétique est constante.



� Suite géométrique

� Définition

Une suite est géométrique si l’on passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison de la suite :

pour tout entier naturel n, u u qn n+ = ×1 où q est la raison de la suite.

La variation relative entre deux termes consécutifs d’une suite géométrique

est constante égale à q : uu

qn

n

+ =1

Propriété 1 (Formule explicite)

Soit u une suite géométrique de raison q.

Pour tous entiers naturels n et p, u u qn pn p= × −

En particulier, u u qn

n= ×0 et u u qn

n= × −1

1 .

Propriété 2 (Sens de variation)

Soit q un réel strictement positif. Soit la suite géométrique définie pour tout n ∈� par u qn

n= .

Si 0 < q < 1, la suite géométrique u qnn= est strictement décroissante.

Si q = 1, la suite géométrique u qnn= est constante égale à 1.

Si 1 < q, la suite géométrique u qnn= est strictement croissante.



5 Exercices d’approfondissement

L’hypothèse de MALTHUS (1766 – 1834)

L’économiste britannique Thomas Robert MALTHUS est connu pour ses travaux sur le rapport entre l’accroissement de la population et celui de la nourriture.

En 1798, il publie Essai sur le principe de population d’où sont extraites les phrases suivantes :

« Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croit de période en période selon une progression géométrique. […]Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favo-rables à l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique. »

En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants.

Faisons les hypothèses suivantes :

H1 : La population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmen-tation de 2,8 % par an.

H2 : En 1800, l’agriculture anglaise permet de nourrir 10 millions d’habitants et son amélioration permet de nourrir 400 000 habitants supplémentaires par an, suivant une progression arithmétique.

Notons ( pn ) la population de l’Angleterre en (1800 + n). Ainsi, p0 8000000=

Notons ( qn ) la population qui peut être nourrie par l’agriculture anglaise en (1800 + n). Ainsi, q0 10000000= .

� Vérifier que l’hypothèse H1 est en accord avec l’affirmation de Malthus « elle va doublant tous les vingt-cinq ans ».

� a) Calculer p1 et p2 .

b) Exprimer pn+1 en fonction de pn .

c) En déduire la nature de la suite ( pn ).

d) Exprimer pn en fonction de n.

� a) Calculer q1 et q2 .

b) Exprimer qn+1 en fonction de qn .

c) En déduire la nature de la suite ( qn ).

d) Exprimer qn en fonction de n.

� Calculer p25 et q25 .

Exercice I



� Déterminer, selon l’hypothèse de Malthus, l’année à partir de laquelle l’agri-culture anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise.

Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite ( un ) où un désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010+ n). En 2010, la forêt possède 50 000 arbres. Afin d’entretenir cette forêt vieillis-sante, un organisme régional d’entretien des forêts décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres.

� a) Montrer que la situation peut être modélisée par : u0 50= et pour tout entier naturel n par la relation : u un n+ = × +1 0 95 3,

b) La suite ( un ) est-elle arithmétique ? géométrique ?

� On considère la suite ( vn ) définie pour tout entier naturel n par v un n= −60 .

a) Montrer que la suite ( vn ) est une suite géométrique de raison 0,95.

b) Calculer v0 . Déterminer l’expression de vn en fonction de n.

c) Démontrer que pour tout entier naturel n, unn= − ×60 10 0 95( , ) ·

� Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

� a) Vérifier que pour tout entier naturel n, on a l’égalité : u un nn

+ − = ×1 0 5 0 95, ,

b) En déduire la monotonie de la suite.

� En utilisant un tableur ou une calculatrice, déterminer l’année à partir de laquelle le nombre d’arbres de la forêt aura dépassé de 10 % le nombre d’arbres de la forêt en 2010.

� En utilisant un tableur ou une calculatrice, conjecturer vers quel nombre d’arbres va tendre la forêt si la politique d’entretien reste la même.

(D’après Baccalauréat, Centres étrangers, juin 2010)

Modèle de Harrod (1900 – 1978)

L’économiste britannique Roy Forbes Harrod est connu pour ses travaux sur la croissance économique.

Pour l’année (2010 + n), on note Sn l’épargne, Yn le revenu et In l’investisse-ment.

Supposons que Y0 soit égal à 500 (milliards d’euros).

� Chaque année, l’épargne est égale à 20 % du revenu. Déterminer une relation liant Sn et Yn .

� On admet que, pour tout entier naturel n, I Y Yn n n= − −2 2 1, ( ) .

L’équilibre est réalisé lorsque l’épargne est égale à l’investissement.

Déterminer une égalité liant Yn et Yn−1 à l’équilibre.

� Quelle est la nature de la suite (Yn ) ? En déduire l’expression de Yn en fonc-tion de n.

Exercice II

Exercice III



� On suppose ce modèle encore valable en 2020. Quel sera alors le revenu en 2020 ?

Dans une zone de marais, on s’intéresse à la population des libellules. On note p0 la population initiale et pn la population au bout de n années.

Des études ont permis de modéliser l’évolution de pn par la relation :

(R) pour tout entier naturel n, on a : p p p pn n n n+ + +− = −2 1 112

( ) .

On suppose que p0 40000= et p1 60000= .

On définit l’accroissement de la population pendant la nième année par la diffé-

rence p pn n− −1.

� Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deu-xième année, la troisième année, puis en déduire p2 et p3 .

� On considère les suites ( un ) et ( vn ) définies pour tout entier naturel n par :

u p pn n n= −+1 et v p pn n n= −+112

a) Prouver que la suite ( un ) est géométrique. Préciser sa raison et son pre-mier terme.

Exprimer un en fonction de n.

b) En utilisant la relation (R), calculer v vn n+ −1 .

En déduire que, pour tout n, on a : v p pn = −1 012

.Calculer vn .

c) Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a p v un n n= −2( )

En déduire une expression de pn en fonction de n.

d) A l’aide du tableur ou de la calculatrice, conjecturer l’évolution de cette population au bout d’un nombre d’années suffisamment grand ?

(D’après Baccalauréat, Antilles-Guyane, juin 2005)

Julie joue avec des allumettes. Elle construit une figure de la façon suivante :

Elle voudrait réaliser une « pyramide » de 20 étages. Combien doit-elle prévoir d’allumettes ? ■

Exercice IV

Exercice V

Première étape Deuxième étape Troisième étape


suites arithmétiques et géométriques

Documents