suites arithmétiques et géométriques...
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Suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1
Soit la suite arithmétique définie par et . Calculer et .
Exercice 2
Soit la suite arithmétique définie par et
. Calculer et .
Exercice 3
Soit la suite arithmétique définie par et . Calculer et .
Exercice 4
Soit la suite arithmétique définie par et . Calculer et .
Exercice 5
Calculer la somme suivante : S = 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯+ 102.
Exercice 6
Calculer la somme suivante :
⋯
Exercice 7
( ) est une suite arithmétique de raison telle que .
1) Calculer puis .
2) Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite ( ).
Exercice 8
( ) est une suite arithmétique telle que et .
1) Déterminer la raison et le premier terme de cette suite.
2) Donner le sens de variation de la suite. Justifier votre réponse.
3) Donner son terme général.
4) Calculer ⋯ .
Exercice 9
Une usine d’objets en résine fabrique des boîtiers de portable. La machine fonctionne 7 jours sur 7 durant le mois de
juin. La production est de 2 500 boîtiers le 31 mai. A partir du 1er juin, la production augmente de 50 boitiers par jour.
Pour un client, on stocke la production du 11 juin au 24 juin inclus.
On nomme la production le jour du mois de juin.
1) Etablir la formule donnant en fonction de et calculer la production du 24 juin.
2) Calculer le nombre de boîtiers stockés pour le client.
3) On vend chaque boîtier 1,40 € pièce, prix TTC. Calculer le montant de la facture TTC pour le client.
Exercice 10
Un individu loue 300 € par mois un studio à partir du 1er janvier 2010, en s’engageant à l’occuper pendant 9 années
consécutives. Deux formules de bail lui sont proposées :
- Le contrat A précise une augmentation annuelle chaque 1er janvier de 5% du loyer de l’année précédente.
- Le contrat B mentionne une augmentation semestrielle forfaitaire de 105 €.
Quel contrat avantage le locataire ?
Fiche(1)
Suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1
( ) est une suite géométrique de raison .
1) On sait que et . Calculer , , .
2) On sait que
et . Calculer , , .
3) On sait que et . Calculer , , .
Exercice 2
( ) est une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 3.
1) Donner la relation de récurrence.
2) Exprimer en fonction de .
3) Donner le sens de variation de la suite. Justifier votre réponse.
4) Calculer ⋯ .
Exercice 3
Soit la suite ( ) géométrique de raison 3 et de premier terme 5.
1) Calculer et .
2) Déterminer le terme général de la suite ( ).
3) Calculer .
4) Calculer la somme ⋯ .
Exercice 4
Monsieur Raymond achète une grosse cylindrée à 30 000 €. Madame Viviane achète une berline à 20 000 €.
Chaque semestre, ces véhicules perdent de leur valeur : 15% pour la grosse cylindrée ; 10% pour la berline.
Au bout de combien de semestres la berline de madame Viviane aura-t-elle plus de valeur que la grosse cylindrée de
monsieur Raymond ? Justifier votre réponse.
Exercice 5
On appelle rémunération d’un capital les intérêts produits par le capital une fois placé. Le montant de cette
rémunération dépend de la durée du placement, du montant du capital ainsi que de la catégorie des intérêts. Ceux-ci
sont dits « simples » lorsqu’ils sont proportionnels à la durée du placement. Ils sont dits « composés » lorsqu’à la fin
de chaque période (année, semestre, mois...) les intérêts produits sont ajoutés au capital. Ils produisent alors eux-
mêmes des intérêts au cours des périodes suivantes.
1) Intérêts simples
Antoine dispose de 3500€ qu’il place à intérêts simples au taux annuel de 6%. On note C0 le capital de départ et Cn la
somme dont disposera Antoine au bout de n années de placement.
a. Calculer C1 et C2.
b. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn. Quelle est la nature de la suite (Cn) ?
c. En déduire l’expression de Cn en fonction de n.
d. De quelle somme disposera-t-il s’il laisse son argent placé pendant 10 ans ?
2) Intérêts composés
Armand dispose de 3500€ qu’il place à intérêts composés au taux annuel de 5%. On note K0 le capital de départ et Kn
la somme dont disposera Armand au bout de n années de placement.
a. Calculer K1 et K2.
b. Exprimer Kn+1 en fonction de Kn. Quelle est la nature de la suite (Kn) ?
c. En déduire l’expression de Kn en fonction de n.
d. De quelle somme disposera-t-il s’il laisse son argent placé pendant 10 ans ?
3) Comparer les deux placements.
Fiche(2)
Suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1 SESSION JUIN 2005 France METROPOLITAINE
Au 1er janvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants
Un bureau d’étude fait l’hypothèse qu’à partir du 1er janvier 2005 :
le nombre d’habitants de la ville augmente chaque année de 5% du fait des naissances et des décès.
du fait des mouvements migratoires, 4 000 personnes supplémentaires viennent s’installer chaque année dans cette
ville.
Partie A : étude théorique
Pour tout entier naturel , on note nu le nombre d’habitants de cette ville au 1
er janvier de l’année 2005+n.
Ainsi, .
1. Calculer et .
2. Justifier que, pour tout entier naturel , .
3. Pour tout entier naturel , on pose .
(a) Calculer .
(b) Montrer que est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
(c) Exprimer en fonction de . En déduire que .
(d) Calculer la limite de la suite .
Partie B Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié
à la partie A.
1. Quel sera le nombre d’habitants de la ville au 1er janvier 2020 ?
2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200000 habitants ?
Fiche(3)
Suites arithmétiques et géométriques
Exercice 1
En 1990, un pays avait une population de 50 millions d’habitants.
Par accroissement naturel, sa population augmente de 1,5 % par an. Par ailleurs, on constate une augmentation
supplémentaire de 450 000 habitants par an, due à l’immigration. L’unité est le million d’habitants.
On note le nombre d’habitants en 1990 (exprimé en millions d’habitants), et le nombre d’habitants en
( ).
1) a) Calculer et .
b) Exprimer en fonction de .
2) On se propose de prévoir directement la population en 2010 si le modèle d’évolution se poursuit de la même façon.
Pour cela, on considère la suite ( ), définie sur , par .
a) Calculer , et .
b) Démontrer que la suite ( ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison.
c) Exprimer puis en fonction de n. En déduire alors la population de ce pays en 2010. On donnera le résultat
arrondi au million d’habitants.
3) Au bout de combien d’année la population aura-t-elle doublée ?
Exercice n°2
Un couple dépose au 1er janvier de l’an 2000, une somme de 5000 euros sur un compte rémunéré au taux annuel de
6%. Par la suite ce couple possède une capacité d’épargne de 3000 euros, épargne versée tous les 1er janvier sur le
compte précédent.
Les intérêts sont capitalisés au 31 décembre de chaque année.
On note la somme dont le couple dispose au 1er janvier de l’année ( ).
1) Calculer les valeurs de , et .
2) Montrer que l’expression de en fonction de est donnée par la relation : +3000.
3) On pose .
a) Montrer que ( ) est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison.
b) Exprimer puis en fonction de .
4) En quel année, le capital aura-t-il dépassé les 100 000 euros pour la première fois ?
Exercice n°3
Monsieur X a placé 3 000 € le 31 décembre 2004 sur un livret bancaire, à intérêts composés annuel de 4,5 % (ce qui
signifie que, chaque année, les intérêts sont ajoutés au capital et produisent à leur tour des intérêts). A partir de l’année
suivante, il prévoit de placer, chaque 31 décembre, 900 € supplémentaires sur ce livret.
On désigne par le capital, exprimé en euros, disponible le 1er
janvier de l’année ( ), où est un entier
naturel. Ainsi, on a : .
1) a) Calculer le capital disponible le 1er janvier 2006.
b) Justifier l’égalité .
2) Pour tout entier , on pose : .
a) Démontrer que ( ) est une suite géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
b) Exprimer en fonction de .
c) En déduire que pour tout entier naturel n, on a : – .
d) Calculer le capital disponible le 1er janvier 2010 (on arrondira le résultat à l’euro près).
3) En quelle année, le capital de Monsieur X dépassera-t-il 10 000 € ?
Fiche(4)
Suites arithmétiques et géométriques Double récurrence
Exercice 1
On considère la suite définie par {
On pose
1. Montrer que ( ) est une suite géométrique.
2. Exprimer en fonction de .
3. Démontrer que pour tout entier , ⋯
4. En déduire une expression de en fonction de .
Antilles−Guyane − juin 2005Exercice 2
Dans une zone de marais on s’intéresse à la population des libellules.
On note la population initiale et la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l’évolution de par la relation :
(R) Pour tout entier naturel on a :
.
On suppose que et .
On définit l’accroissement de la population pendant la nième année par la différence .
1. Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la troisième année, puis en
déduire et .
2. On considère les suites ( ) et ( ) définies pour tout entier naturel n par : et
.
a. Prouver que la suite ( ) est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Exprimer en fonction de .
b. En utilisant la relation (R), calculer .
En déduire que, pour tout , on a :
.
Calculer .
c. Démontrer que, pour tout entier naturel n, on a . En déduire une expression de en fonction de .
d. Montrer que la suite ( ) converge et calculer sa limite.
Que peut-on en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette population au bout d’un nombre d’années
suffisamment grand ?
Fiche(5)
Suites arithmétiques et géométriques Sujet de bac
Antilles-Guyane – juin 2007 (5 points) Exercice 1Dans un pays, un organisme étudie l’évolution de la population. Compte tenu des naissances et des décès, on a
constaté que la population a un taux d’accroissement naturel et annuel de 14 pour mille.
De plus, chaque année, 12 000 personnes arrivent dans ce pays et 5 000 personnes le quittent.
En 2005, la population de ce pays était de 75 millions d’habitants. On suppose que l’évolution ultérieure obéit au
modèle ci-dessus.
On note Pn la population de l’année 2005+n exprimée en milliers d’habitants.
1. Déterminer P0, P1 et P2. La suite de terme général Pn est-elle arithmétique ? géométrique ? Justifier la réponse.
2. Expliquer pourquoi on obtient, pour tout entier naturel n, Pn+1 = 1,014Pn +7.
3. Démontrer que la suite (Un) définie par Un = Pn +500 pour tout entier naturel n est une suite géométrique.
Déterminer sa raison et son premier terme.
4. Exprimer Un puis Pn en fonction de n.
5. a. Combien d’habitants peut-on prévoir en 2010 ?
b. Au bout de combien d’années la population aura-t-elle doublé par rapport à l’année 2005 ?
Centres étrangers – juin 2008 (5 points) Exercice 2Dans un village, l’association de gymnastique volontaire possédait 50 adhérents en 2000.
Depuis cette date, la trésorière a remarqué que chaque année elle reçoit 18 nouvelles adhésions et que 85 % des
anciens inscrits renouvellent leur adhésion.
On note an le nombre d’adhérents pour l’année 2000+n ; on a donc a0 = 50 et an+1 = 0,85an +18 pour tout entier naturel
n.
1. Soit la suite (un) définie par un = an −120 pour tout n ≥ 0.
a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel n, an = 120−70×0,85n.
c. Déterminer la limite de la suite (an) quand n tend vers l’infini. Interpréter ce résultat.
2. Chaque semaine, 60 % des adhérents s’inscrivent pour une heure de gymnastique et 40 % pour deux heures de
gymnastique.
a. Exprimer en fonction de n le nombre d’heures de gymnastique à prévoir par semaine pour l’an 2000+n.
b. Une séance de gymnastique dure une heure et est limitée à 20 personnes.
On veut déterminer à partir de quelle année l’association devra prévoir plus de 8 séances par semaine. Démontrer
qu’alors n doit vérifier l’inéquation 98×0,85n < 8.
Résoudre cette inéquation et conclure.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même non fructueuse sera prise en
compte dans l’évaluation.
Amérique du sud – novembre 2009 (5 points) Exercice 3
Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n par
.
1. Calculer u1, u2 et u3.
2. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O, ⃗, ⃗) (unités graphiques : 2 cm).
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
.
a. Tracer la représentation graphique d de la fonction f ainsi que la droite d’équation y = x.
b. En utilisant d et , construire u1, u2 et u3.
c. Conjecturer lim un à l’aide de la construction, que l’on peut imaginer, d’un grand nombre de termes de la suite (un).
3. On considère la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = un −4.
a. Montrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
b. Exprimer vn en fonction de n et en déduire que (
)
.
c. Quelle est la limite de la suite (un) ?
Fiche(6)
Suites arithmétiques et géométriques Exercices différents
Exercice 1
Une entreprise dispose d'un capital initial de 36 000 euros qu'elle place à intérêts composés en début d'année, le 2
janvier 2003, au taux annuel de 3,5%. Elle envisage, dans le même temps, un emprunt pour réaliser un investissement
en matériel ; cet emprunt sera remboursable par des annuités payables d'avance en augmentant chaque année de 5%
à partir de l'année suivante, au 2 janvier 2004. La première annuité est de 3 000 euros ; elle est prise dans le capital
disponible le 2 janvier 2003. Soit le capital disponible le 2 janvier , après paiement de l'annuité de l'année
à venir.
1. Calculer et
2. a) Exprimer en fonction de
et
b) Exprimer en fonction de et .
c) En déduire la relation de récurrence R :
3. a) Résoudre l'équation du second degré : . Soit et les solutions.
b) On admet que les suites qui vérifient la relation de récurrence R sont de la forme
.
Déterminer les réels x et y pour que la suite ( ) vérifie les conditions initiales et .
c) En déduire la forme explicite de la suite ( ).
4. À l'aide de la calculatrice, prévoir la durée maximale de l'emprunt afin qu'il reste couvert par le capital placé.
Exercice 2
Une usine Alec désire diminuer sa production de matières polluantes. Cette production augmente tous les mois de
30%, mais le système mis en place permet une diminution équivalente à 40% des polluants émis deux mois avant.
On note la masse de matières polluantes n mois après le début de la mise en place du système.
Au départ, les matières polluantes sont de 300kg, puis de 180kg le mois suivant. Soit et .
1) a) Calculer , et . La production de polluant diminue-t-elle ?
b) Etablir la relation de récurrence pour tout entier naturel n.
2) On se propose de trouver la formule explicite de la suite ( ).
Soit les suites géométriques ( ) et ( ) définies par et ..
a) Montrer que ces deux suites vérifient la relation de récurrence. Vérifient-elles les conditions initiales ?
b) Déterminer les réels x et y tels que la suite ( ) définie par vérifient les conditions initiales.
c) Montre que la suite ( ) vérifie la relation de récurrence.
On admet que cette suite ainsi trouvée est la seule formule explicite possible de la suite ( ).
3) Déterminer la limite des suites ( ) et ( ). En déduire la limite de la suite ( ) et donc de ( ).
Le système mis en place va-t-il permettre à long terme de diminuer la production de polluant ?
En utilisant la calculatrice, trouver au bout de combien de mois après la mise en place du système la masse
polluante devient inférieure à 10kg.
Pour aller plus loin
Dans une autre usine Bola, la production augmente de 10% par mois, mais le système permet une diminution
équivalente à 30% de la production de polluant deux mois avant.
Avant l’installation du système, la production de polluant est kg et, le mois suivant, après un mois de
traitement, kg.
a) Calculer et . Etablir la relation de récurrence R entre trois termes consécutifs.
b) Si une suite géométrique définie par vérifie la relation de récurrence, montrer que sa raison q est solution
de l’équation du second degré .
c) Résoudre cette équation ; soit et les deux solutions.
d) On admet que les suites solutions de la relation de récurrence R sont toutes de la forme :
Déterminer les réels x et y afin que la suite solution ( ) vérifie les conditions initiales : et
e) Donner alors la masse de polluant au bout de 5 mois d’utilisation du système.
f) Etudier la convergence de cette suite.
Fiche(7)
Lien avec le calcul matriciel
On revient à l’usine Alec.
On considère la suite ( ) définie par et .
a) Etablir que la relation de récurrence peut s’écrire sous forme matricielle :
(
) (
) (
)
b) Soit (
). Montrer que (
) (
).
Calculer alors à la calculatrice la production de polluant au bout de 10 mois d’utilisation.