Curs 11. Diferente intre determinism si probabilism In statistica matem. baza teoretica o constituie teoria probabilitatii. Un fen. se num. determinist daca depinde de un nr. restrans de cauze cunoscute. Carac. principala a acestor fen. este legatura directa intre cauza si efect. O variabila este numita aleatoare cand este o marime care, ca rezultat al unui experiment poate lua o valoare oarecare din domeniul sau de definitie fara sa se poata preciza dinainte care este acea valoare. Aceasta realizare are caracter pur intamplator.Doctrina probabilista nu se opune si nu deranjeaza doctrina determinista, ci rafineaza aceasta doctrina aducand-o mai aproape de fenomenologia reala. Determinismul devine astfel un caz particular al probabilismului pt situatia in care variatia este mica/neglijabila.2. Cauze de variabilitate natura fundamental aleatore a fenomenului din Univers incertitudinea care este cunoasterea incompleta eroarea -> in precizia masuratorilor ignoranta (individuala/colectiva) influentele psiho-sociale3. Ce este variabilitatea ? Variablitatea este prp. obiectiva a marimilor care definesc starea unui sist. ca si a corelatiilor dintre ele si de a putea avea succesiv in timp si spatiu pe zone determinate val. variate imprevizibile dar posibil caracterizabile prin distributii probabiliste. g(t)=R-S.4. Exemple de variabilitate Debite naturale afluente se pot modifica drept urmare schimbarilor climatice ciclice sau remanente, a modificarii coeficientii de scurgere in bazinul hidrografic (defrisari, deforestari, schimbari ale folosintei terenului) Solicitari seismice-se pot schimba drept urmare a unor evolutii ciclice sau evolutive in miscare placilor tectonice, a aparitiei seismicitatii induse ori a unor activitati umane Calitatile fizico-mecanice ale materialelor de constructii sau/si fundatii se pot modifica prin deformatii dizolvari depuneri, solicitari mecanice ciclice, modificari structurale, imbatraniri, ca urmare a unor factori exteriori: radiatii, variatii de temperatura.5. Ce este un fenomen aleator ?Fenomenele/marimile care depind de o intamplare s.n. aleatoare. Cuvantul provine din latina alea=zaruri, aleatorius=intamplare.6. Ce este hazardul ?Hazardul este o intamplare cu cauza necunoscuta/ o intamplare neprevazuta. Cuvantul provine din limba franceza hasard, araba az-zahr=joc de zaruri. Hazardul reprezinta caracterul aleator al marimilor care caracterizeaza fenomenele naturale. 7. Ce este un fenomen stohastic?In limbajul stiintific procesele/fenomenele supuse legilor hazard s.n. stohastice. (in limba greaca stohastes=persoana care pretinde ca descopera lucruri ascunse/ prezice viitorul.8. Categorii de variabilitate hazard ignoranta incertitudine erori comportament psiho-social9. Exemple de hazardApe mari extraordinare, miscari seismice, variatii extreme de timp, viteza, directia vantului si periodicitatea10. Masura hazardului Masura hazardului este probabilitatea de depasire a unei valori date, a unei marimi intr-un interval de timp dat care se determina pe baza functiilor de distributie probabilista corespunzatoare.11. Definiti inceritudinea Caracteristica obiectiva a cunoasterii umane asupra proprietatii materiei si fen. naturii caracterizand de regula calitatea si cantitatea informatiilor. Relatiile dintre anumiti parametrii sunt obtinute pe cale experimentala sau prin observatii si masuratori in natura. 12. Exemple de incertitudine Proprietarile fizico-mecanice ale materialelor in mod obiectiv neomogene se determina prin teste punctuale in spatiu si timp, in conditii diferite de cele din natura. Relatiile dintre diferiti parametrii sunt obtinute pe cale experimentala sau masuratori in sens matematic abateri variabile de la medie.13. Masura incertitudiniiMasura incertitudinii este probabilitatea de nedepasire/ de depasire a unei valori/ probabilitatea de aparitii a acesteia intr-un interval de timp dat.14. Definiti gradul de incertitudineGradul de incertitudine depinde de numerosi factori ce pot fi grupati in 2 mari categorii : *factori care depind de ansamblul modelelor adoptate (real, fizic si matematic) *factori care depind de modelul matematic al distrib. statistice. In domeniul c-tiilor apar de obicei factori din prima categorie : -omogenitatea materialelor din care e alcatuita structura; -caliatetea si cantitatea informatiilor legate de caracteristicile fiziomecanice ale materialelor si stabilitatea lor in timp; -realiz. in executie a calitatilor preconizate in proiect; -inf. asupra variatiei in timp a caracteristicilor fizico mec. reala. In ceea ce priveste cea dea doua categorie principalii factori de influenta sunt : -verificarea riguroasa a ipotezelor statistice; -alegerea corecta a tipului functiei statistice.15. Cum se poate face micsorarea gradului de incertitudine?Micsorarea gradului de incertitudine se face pentru un grad mare de neomogenitate al str si /sau fundatiei.Se cerea o discretizare detaliata a zonelor considerate conventional omgene si un nr mare de lucrari, studii si determinari punctuale.Tipul determinariilor punctuale se alege in functie de metoda de calculDeterminarea unor paramentrii fizico-mecanici trebuie facuta in conditii similare celor din natura (cond de margine, drenare, consolidare) tinand semaa si de efectele modelelor matematice.Adoptarea modelelor matematice sofisticate este necesar in cazul unor producerii de stari eforturi-def complexe ce caracterizeaza constructia, si nu sunt necesare daca efectele ut sunt minore.Studiile si determinariile trebuie sa se concentreze numeric si calitativ asupra parametriilor care influenteaza sensibil rezultatele.

16. Definiti erorile umane- reprezinta un factor de variabilitate obiectiv ce poate fi redus pana la valori neglijabile in sistemul de control al calitatii.17. Definiti comportarile psihosocialeInfluentat de personalitatea proiectantilor, sabotaje sau forta majora si interventia unor factori de decizie incompetenti in probleme tehnice ex organe administrative sau politice.18. Definitia siguranteiConf DEX siguranta este sentiment de liniste si incredere de a se sti la adapost de pericole. In dom. ing este un sentiment izvorat din informatii, analize, calcule, judecari, sinteze, puternic marcat de sensibilitatea autorului.Pe cale intuitiva sig. nu poate fi absoluta, ea poate fi mai mica sau mai mare si deci ea nu trebuie confundata cu certitudinea. Din acest motiv tre sa vb de grad sau nivel de siguranta. In termeni ing. Sig. este speranta ca o c-tie sa se comporte conf. asteptarilor, respectv sa nu se prod. cedarea sub actiunea sol. posibile dar rational limitate intr-un interval de timp dat, durata de viata a c-tiei.CURS 219. Masura sigurantei Principala modalitate de a evalua cantitativ capacitatea unei constructii de a se comporta conform intentiilor si asteptarilor celor ce le realizeaza este calculul ingineresc.Simplificarile si ipotezele necesare alcatuirii modelului matematic al sistemului structura-fundatie, variabilitatea aleatoare a elementelor cu care opereaza acestea, precum si erorile nedepistate fac evidenta posibilitatea ca in cazuri extreme sa apara cedarea de regula prin suprapunera intamplatoare a unor factori primari cu valori nefavorabile.20. Valori caracteristice ale parametrilor semnificativi. ExempleOrice parametru semnificativ are doua valori caracteristice: Valoarea efectiva = solicitare/solicitare totala, notata cu S, fiind rezultatul sintetic al actiunilor exterioare si al conditiilor in care acestea se exercita Valoarea capabila = capabilitate/rezistenta totala, notata cu R, fiind rezultatul sintetic al rezistentei si capacitatii de preluare, redistribuire in spatiu si timp si transmitere spre mediul inconjurator al solicitarilor.Cateva exemple de perechi (S R) caracteristice pentru unele moduri de cedare: debit afluent debit capabil al evacuatorilor efort efectiv efort capabil deformatie efectiva deformatie admisibila deplasare efectiva deplasare capabila (sau admisibila functional) debit infiltrat de calcul debit infiltrat admisibil fisuri posibile calculate fisuri admise21. Ce este valoarea efectiva ale unei solicitari ?Valoarea efectiva = solicitare/solicitare totala, notata cu S, fiind rezultatul sintetic al actiunilor exterioare si al conditiilor in care acestea se exercita22. Ce este valoarea capabila ?Valoarea capabila = capabilitate/rezistenta totala, notata cu R, fiind rezultatul sintetic al rezistentei si capacitatii de preluare, redistribuire in spatiu si timp si transmitere spre mediul inconjurator al solicitarilor23. Exemple de valori efective,de valori capabileDe exemplu solicitarea sintetica moment incovoietor in seciuntea A-A a unei grinzi de beton armat este functie de greutatea proprie, sarcina utila, actiuni seismice, incarcari din vant si zapada, variatii de temperatura, precum si de alcatuirea structurii static nedeterminate din care face parte grinda.Rezistenta sintetica moment capabil in aceasi sectiune este functie de rezistentele betonului, rezistenta la intindere a otelului din armaturi, dimensiunile reale ale sectiunii transversale a grinzii, dispunerea reala a armaturilor.Valorile parametrilor primari mentionati sunt in mod evident afectati de variabilitate.In principiu, se admite ca cedarea intr-un mod oarecare nu se produce daca vloarea efectiva determinata prin calcul a solicitarii totale S ramane inferioara valorii determinate (sau calculate) a capabilitatii sau rezistentei totale R, respectiv daca este indeplinita conditia de siguranta:S < R24. Ce este siguranta globala a unei ctii ?Siguranta globala/totala a unei constructii este speranta ca pe o durata data sa nu se produca cedarea prin nici un mod de cedare cunoscut.25. Masura sigurantei globale a unei ctiiMasura sigurantei este probabilitatea ca intr-un interval dat sa fie permanent indeplinita conditia de siguranta definita mai sus. Teoretic ea variaza intre 0 (cedare sigura) si 1 (siguranta deplina si certa).26. Conceptul de siguranta definitiePrin teoria statistica sau statistica matematica se intelege disciplina care se ocupa cu formularea si interpretarea legilor de comportare, atat ale fenomenelor de masa (inaccesibile metodelor deterministe) cat si ale fenomenelor rare, avand o frecventa redusa de aparitie.27. Definiti variabila aleatoareO variabil este numita aleatoare cand este o marime care, carezultat al unui experiment, poate lua o valoare oarecare din domeniul sau de definitie, fara sa se poate preciza dinainte care va fi aceasa valoare. Aceasta realizare are un caracter pur intamplator.28. Tipui de variabile aleatoareDiscret - atunci cand iau o multime finita/cel mult numarabila de valori ( rezistenta la compresiune a betonului)Continuu - atunci cand multimea lor este nenumarabila (poate prelua orice valoare in intervalul ei de variatie)29. Exemple de variabile discreteRezistenta la compresiune a betonului.30. Exemple de variabile continueMultimea variabilelor poate fi numerabila.31. Exemple de variabile dependenteDependenteIndependente probabilitatea producerii uneia nu depinde de faptul daca celelalte s-au realizat32. Exemple de variabile independente33. Definitia populatiei statisticePopulatia statistica este multimea tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare.Elementele componente ale unei populatii poarta numele de unitatii de populatie.34. Definitia volumului populatieiNumarul N al unitatilor constituie volumul populatiei,In functie de volum se disting populatii finite si populatii infinite.Cum nu mereu se dispune de populatii statistice (ex: debitele unui rau), se recurge la studierea unor esantioane care trebuie sa reflecte cat mai corect caracteristicile populatiei. Pentru aceasta se pun urmatoarele conditii: populatia sa fie cat mai omogena volumul selectiei sa fie cat mai mare toate unitatiile care formeaza selectia sa fie extrase la intamplare foecare unitate sa aiba aceasi probabilitate de a face parte din selectie

35. Cum se realizeaza prelucrarea statistica a unui sir de date ?Date initiale: valori sau calitati ale caracteristicii studiate obtinute prin teste sau experimente sau prin sondaj.Fie o selectie n de volum si x1, x2, ... , xn valorile caracteristice masurate ale exantionului.Aceste valori se ordoneaza crescator si se obtin x11, x22, ... , xnn valori discrete consecutive.Numarl de aparitii n1, n2, ... , nk poarta numele de frecventa absoluta a fiecarei valori.Evident suma frectenelor aboslute este egala cu voluml selectiei

Raportand frecvtenele aboslute la volumul se obtin frecventele relative, definita astfel:

Repartitia unei variabile aleatoare este exprimarea probabilistica a legii ei (adica a probabilitatii cu care variabila poate lua valori in demoniul de variatie)Aceasta functie are urmatoarele propietati: are valori cuprinse intre 0 si 1 este nedescrascatoare, adica: este continua la stanga, adica: iar la dreapta are valoarea: daca variabila aleatoare poate lua valori doar in intervalul [a,b), probabilitatea de nedepasire este nula la stanga intervalului analizat si unitara in dreapta lui36. Exemple de probabilitati de depasireProbabilitatea de depasire este definita ca probabilitatea anuala de aparitie a unui eveniment superioara sau egala cu valoarea x:

Probabilitatea de depasire poate fi pentru un rau o masura a posibilitatii de valorificare a raului respectiv drept cale de navigatie. Dar pentru un dig de aparare contra inundatiilor, probabilitatea depasirii cote a coronamentului constituie o masura a riscului de inundare.37. Diferenta intre probabilitatea de depasire si asigurareIn practica se mai utilizeaza si denumirea de asigurare pentru probabilitatea de depasire. Aceasta denumire este deseori nejustificata.Notiunea de asigurarea a fost introdusa in demoniul gospodaririi apelor medii, domeniu in care se pune problema livrarii apei la benificiar, cu probabiltate ridicata (95%, 97%,etc).In acest caz, probabilitatea reprezinta intr-adevar gradul de asigurare.In pracitca inginereasca intereseaza in special probabilitatile de depasire foarte mici (5%, 1%, 0.1%, etc) in vederea dimensionarii la debite corespunzatoare a unor lucrari hidrotehnice.Daca consideram debitul maxim anual cu probabilitatea de depasire de 1%, aceasta reprezinta probabilitatea ca intr-un an oarecare (in orice an) sa se prodca un debit mai mare sau egal cu Q1%.Considerand ca s-au executat lucrari dimensionate la acest debit, gradul de siguranta al sistemului este de 99%, iar 1% reprezinta riscul anual de depasire a capacitatii sitemului, care evident nu poate fi interpretat ca asigurare.Prin urmare, probabilitatea de depasire are seminificatia unui risc anual de depasire a valorii Q1%.Dand aceasta interpretare notiunii de probabilitate de depasire, rezulta ca: p% reprezinta un risc anual, deci 1-p% reprezinta siguranta unui sistem in decurs de 1 an.Cum realizarea valorii debitului maxim intr-un an poate fi considerata independenta de valorile din ceilalti ani, gradul de siguranta dintr-un numar de n ani poate fi scris (1-p)n.Rezulta ca riscul asociat unei perioade de n ani are valoare complenterea a sigurantei sistemului pentru acelasi interval de ani:

Cu cat n este mai mare cu atat riscul tinde catre 1, deci cu cat perioada este mai mare cu atat riscul devin certitudine.Daca n=100 ani, p=1% risculR100 = 1-(1-0.01)100 = 1-0.375 = 0.635 = 63.5%Perioada de revenire (sau repetare) a valorii x, este definita ca intervalul de timp, in ani, intre fenomene a caror intensitate depaseste valoare x.Se poate defini prin inversul probabilitatii de depasire a sa intr-un an:

Ea trebuie inteleasa ca valoare medie, caracteristica unei perioade foarte luni de timp (mii sau zeci de mii de ani).Ea insa este foarte important sa se inteleaga ca alegerea aceste perioade, desi are unele fusticari naturale, este totusi pur conventionala.La fel de bine si de corect din punct de vedere matematic ar fi sa se aleaga orice alta perioada: o zi, o saptaman, 2 ani, 5 ani, un secol sau un mileniu. Aceasta modalitate conventionala de exprimare, astazi bine si probabil definitiva fixata in numeroase domenii tehnice si stiintifice.CURS 338. Caracterizarea variabilelor aleatoareVariabilele aleatoare sunt complet carac. prin densitatea de repartitie sau fct. de repartitie . In practica ing. este nec. o def. mai sumara a variabilelor. In acest scop se util anumite val. carac. grupate in parametrii ai tendintei centrale, parametrii ai variabilitatii, parametrii ai formei.39. Definiti media aritmeticaMedia aritmetica a variabilei X, mx, este abscisa centrului de greutate al ariei de sub histograma frecventelor relative:

fi frecventa relativa in intervalul curent ixi valoarea variabilei in mijlocul intervalului i, respectiv sub curba densitatii de repartitie fx(x)Media aritmetica este un indicator statistic al localizarii valorilor variabilei pe domeniul de definitie.Este o valoare centrala a variabilei si se masoara in acelasi unitati40. Proprietatile medieiMedia aritmetica are urmatoarele propietati: media unei constante C este egala cu constanta respectiva media unei sume variabile aleatoare este eala cu suma mediilor variabilelor respective media unui produs de variabile este egal cu produsul mediilor variab ilelor propietatea de oprator liniar:

41. Interpretarea geometrica a medieiInterpretarea geometrica a valorii medii a unei variabile aleatoare:

variabila discreta variabila continua42. Definiti medianaSe noteaza cu Me si reprezinta valoarea centrala a unei repartitii statistice (probabilitatea ca variabila aleatoare X sa ia valori mai mici decat Me este egala cu probabilitaea ca X sa ia valori mai mari ca Me)

43. Interpretarea gometrica a medianeiInterpretarea geometrica a valorii medii a unei variabile aleatoare:

variabila discreta variabila continua

44. ModulEste notat cu M0 si reprezinta acea valoare a variabilei care corespunde frecventei celei mai mariPentru o variabila aleatoare de tip discret, puntul xm se numeste mod daca este satisfacuta relatia:

45. Definiti amplitudineaAmplitudinea sau extinderea repartitie: reprezinta abaterea dintre cea mai mare valoare observata xmax si cea mai mica valoare xmin46. Definiti abaterea medieAbaterea medie: reprezinta media abaterilor in valoare absoluta dintre valorile curente si media aritmetica

47. Enumerati parametrii variabilitatiiS-au imaginate mai multi aprametrii pentru masurarea dispersiei, bazati in general pe notiunea de abatere:1. Amplitudinea sau extinderea repartitie: reprezinta abaterea dintre cea mai mare valoare observata xmax si cea mai mica valoare xmin2. Abaterea medie: reprezinta media abaterilor in valoare absoluta dintre valorile curente si media aritmetica

3. Dispersia (varianta) sau patratul abaterii standard al variabilei X, sigma, este momentul de inertie, in raport cu ordonata care trece prin media mX, al arieri de sub histograma normalizata a frecventelor relative

4. Abaterea standard sau abaterea mediei patratica in raport cu media variabile X se defineste si este un indicator statistic al imprastierii valorilor variabilei pe adomeniul de definite. Se masoara in acelasi unitati ca si variabila. Poate fi interpretata geometric ca fiind raza de giratie a ariei curpinse intre histograma normalizata a frecventelor relative, respectiv curba densitatii de repartitie, si axa absciselor, marimea ariei fiind prin definitie egala cu unu.5. Coeficientul de variatie al variabilei aleatoare, Vx este un indicator sintetic adimensional al imprastierii statistice a datelor definit si este exprimat uzual in procente. El permite comapratii intre variabilitatea statistica a variabilelor aleatoare de anturi fizice diferite

48. Definiti dispersiaDispersia (varianta) sau patratul abaterii standard al variabilei X, sigma, este momentul de inertie, in raport cu ordonata care trece prin media mX, al arieri de sub histograma normalizata a frecventelor relative

49. Proprietatile dispersieiDispersia are urmatoarele propietati: dispersia unei constante este 0 daca C este o constanta, iar X variabila aleatoare atunci dispersia unei sume de variabile aleatoare independente este egala cu suma dispersiilor

50. Definiti abaterea standardAbaterea standard sau abaterea mediei patratica in raport cu media variabile X se defineste si este un indicator statistic al imprastierii valorilor variabilei pe adomeniul de definite. Se masoara in acelasi unitati ca si variabila. Poate fi interpretata geometric ca fiind raza de giratie a ariei curpinse intre histograma normalizata a frecventelor relative, respectiv curba densitatii de repartitie, si axa absciselor, marimea ariei fiind prin definitie egala cu unu.51. Definiti coef de variatieCoeficientul de variatie al variabilei aleatoare, Vx este un indicator sintetic adimensional al imprastierii statistice a datelor definit si este exprimat uzual in procente. El permite comapratii intre variabilitatea statistica a variabilelor aleatoare de anturi fizice diferite

52. Definiti probabilitatii de cedarePentru o constructie oarecare sau pentru un element al acesteia, probabilitatea de cedare are semnificatia de probabilitate anuala de cedare, deoarece o buna parte din solicitarile importante dependente de hazard (debite maxima, temperaturi extreme, incarcari din zapada si vant) au periodicitate anuala. In consecinta, variabilitatea lor, determinata statistic, se bazeaza pe prelucrarea valorilor maxima anuale.Probabilitatea de cedare determinata de post-factum prin metode statistice trebuie exprimata in aceasi unitate de masura. Prin definitie, ea reprezinta raportul dintre numarul evenimentelor nefavorabile (cedari) si numarul total de evenimente.Numarul cedarilor Nc este asimilat cu numarul cazurilor in care s-au inregistrat incidente, accidente sau avarii, in ipoteza ca toate acestea (si nu numai) sunt urmarea a indeplinirii conditiei de cedare S > R.O populatie statistica analizata curpinde n constructii similare Ci(i=1,2,...,i...,n) fiecare dintre acestea fiind urmarita in exploatare un numar de ti ani. La randul sau, fiecare constructie Ci poate cuprinde Ni zone de cedare asimilare (de exemplu tronsoane de dig cu caracteristici locare specifice in umpluturi sau fundatie) sau elemente ideal identice (grinzi, stalpi, placi,etc) care pot ceda independent in acelasi mod

53. Modul de calcul sau de evaluare ale probabilitatilor de cedare (enumerare + o mica sinteza)S si R, sunt la randul lor variabile aleatoare (fiecare valori atribuindu-i-se o probabilitate de nedepasire), descrise de functiile de distibutie Fs(x) si FR(x), respectiv de functiile de densitate si de probabilitate fS(x) si fR(x).Conditia de cedare se realizeza in domeniul in care valorile minime extreme intamplatoare ale rezistentelor sunt mai mici decat valorile maxime extreme intamplatoare ale solicitarilor.Marimea acestui domeniu in campul densitatii de probabilitate reprezinta probabilitatea de cedare.

Valoarea sa se determina prin calculul integraleli de convolutie a celor doua distributii, care pentru un mod de cedare are expresia:

54. Functii de siguranta enumerare , definitie, utilizareSiguranta, prin exprimarea sa matematica (ca si complementul sau, probabilitatea de cedare) este in fond rezultatul unor anumite relatii intre solicitari si rezistente, care poate fi exprimata printr-o functie de siguranta de forma:

Intrucat si si rj sunt variabile aleatoare, E va fi de asemenea o variabila aleatoare, definiate atata de functia de distributie FE(x), cat si de functia de densitate de proabilitate fE(x)Sunt cunoscute mai multe forme pentru functia de siguranta, dintre care se mentioneaza: forma diferente E = S R = 0 numita forma diferente sau forma Rjanitin CornellUtilizarea uneia din forme este o problema de oportunitate si comoditate in calcule. In domeniul structurilor si abordarilor frecvente in constructiile civile si industriale, utilizarea specifica a celor trei forme, cu scopul obtinerii unor relatii finale simple privind cedarea si coeficientii de siguranta asociati, este bine dezvoltata si ofera realmente facilitati de dimensionare ori verificare a sigurantei elementelor structurii

CURS 455. Modele deterministe. DefinitieAcestea considera incertitudinile privind evaluarea unei variabile X ca fiind de natura nealeatoare. Prin urmare acestea sunt inlocuite printr-o singura valoare numerica. Reprezentarea deterministica a unei variabile se poate face sub una din denumirile: Valoarea x a variabilei Valoarea xmax a variabilei Valoarea xmin a variabileiCaracteristica principala a modelelor deterministice este aceea ca ele ignora in mod deliberat caracterul aleator al variabilelor care intervin in calcule.Cu toate acestea semnificatia probabilistica a unei valori definita deterministic nu trebuie evitata.Astfel in cazul 1 se accepta ca variabila are cu certitudine numai valoare x, deci probabilitatea de aparitie1

Acest mod este justificat atunci cand variabilitatea statistica este neglijabila si coeficientul de variatie este0Cazul 2 se interpreteaza in felul urmator: probabilitatea unei valori mai mari decat xmax este negljabila, deci variabila are cu certitudine valori mai mici decat xmax

Cazul 3 grupeaza valorile variabilei pentru care probabilitatea de a avea valori mai mici decat xmin este neglijabila

Toate aceste valori sunt bazate pe traditie, simt tehnic, etc.

56. Modele probabiliste. DefinitieAceste modele considera incertitudinile din evaluarea unei variabile ca fiind intergral de natura aleatoare, adica probabilistica. Deci familia valorilor variabilei este descrisa prin urmatoarele concepte: Densitatea de repartitie fx(x) sau functia de repartitie Fx(x) Media aritmetica mx Abaterea standard x sau coeficinetul de variatie Vx Modelarea probabilistica defineste variabilele aleatoare printr fractil al repartitiei statistice adica printr-o valoare numerica care are indicata explicit proabilittea de a exista valori mai mici sau mai mari decat ea. (definita fractilului)Astfel fractilul xp se defineste cu probabilitatea de a exista valori mai mici decat

Respectiv cu probabilitatea (1-p) de a exista valori mai mari

Valorile fractilui depinde de: probabilitatea p cu care se definesc Tipul repartitie statisticeIn general in normative, valorile fractililor se definesc in favoarea singurantei astfel: Pentru rezistente mecanice sau marimi de care depinde rezistentele materialor, sectinuilor si elementelor structurale cu probabiltiati mici de a exista valori reduse ale rezistentelorp = 0.001 0.20 Pentru incarcari sau pentru marimi ce caracterizeaza efectele actinilor mediului asupra constructiilor cu probabilitati mici de a aparea in decursul existentei constructiei valor mari ale incarcarilor:1 p = 0.01 .. 0.50

57. Modele semiprobabiliste. DefinitieAceste modele considera incertitudinile asociate evaluarii variabilelor ca fiind de natura mixta, partial aleatoare, partial mixtaAstfel valoare semiprobabilista a unei variabile, notata xp se defineste in functie de valoarea fractilului xp:Xsp = cdxpValorile fractoruui cd selectandu-se pe considerente deterministice de experienta, traditie, simt tehnic.Astfel in standarde se definesc pe baze probabilistice valorile fractililor ai rezistentelor avand probabilitatea 5% de a exista rezistente mai mici

Acesti fractili sunt denumiti rezistente caracteristice sau normate. Apoi se determina semiprobabilistic rezistentele de calcul prin inmultirea rezistentelor normate cu xp cu coeficienti subunitari stabiliti pe baze deterministice.Astfel se reomanda pentru beton: cd = 1/1.5Pentru rezistente de curgere a armaturii: cd = 1/1.15Similar in standardele de incarcari se pot definii pe baze probablistice valorile x0.95 ale incarcarilor adika fractilul cu probabilitatea 95% de a exista incarcari mai mici.Acestea sunt denumite incarcari caracterisrice sau normate.Coeficientii se determina pe baze deterministe, au valori supraunitare si au de regula valori cuprinse intre 1,1 si 1,5.

CURS 558. Repartitii des utilizate in ctii . Exemplu REPARTITIA NORMALA (GAUSS) Este cunoscuta si sub denumire sub legea lui Gauss.Este o lege limita catre care tind si alte distributii in conditii speciale.Pentru ca o variabila aleatoare sa aiba o distributie normala ,trebuie ca ea sa depinda de un mare nr de factori,cu o influenta individuala relativ redusa,efectul fiecarui factor sa fie aditiv si independent de al celorlalti factori cauzali. Distributia normala de parametrii m si este definita prin functia de densitate de probabilitate: functia de distributie: (formula)

Fractilul se calculeaza cu formula : Xp= mx + k *x Pentru anumite marimi hidrologice se constata ca logaritmii datelor masurate sunt normal distribuiti.Aceasta distributie se realizeaza atunci cand efectul factorilor cauzali este multiplicativ Repartitia Densitatea de repartitia a valorilor variabilei este :(formula)mn ,ln n- sunt media si abaterea medie patratica a logaritmilor valorilor pe care le are variabila x Are urmatoarele proprietati 1. are ca limita inferiaora valoarea zero,2. este unimodala(are un singur maxim)(formula)

REPARTITIILE GAMA In formula densitatii de repartitie intervine functie gamma a carei expresie este formula a) repartitie gamma1Repartitia este definita numai pt x 0 si are densitatea de repartitie(formula) pentru 0 alfa < 1 curba este asimptotica la amandoua axele parametrii distributiei sunt:m=alfa2. b) repartitiile gamma2se obtin din repartitia gamma1 ,inlocuind variabila independenta x prin x/(formula)Parametrii repartitiei sunt: (formula) Densitatea de repartitie gama 2 o forma echivalenta a fost obtinuta si de pirson studiind limitele reaprtii binominale asimetrice;in expresia densitatii de repartitie intervin 3 parametrii,dar numai doi independenti(formula)unde:a) f0-ordonata maxima corespunzatoare modului;b) d- distanta dintre medie si modc) a- diferenta dintre mod si xmin Repartitia gama 3Repartitia Gama cu trei parametii se obtin dca in repartitia se inlocuieste x prin (formula) Detereminarea distributiilor de tip special numite distributii ale extremelor maxime pentru incarcari si minime pentru rezistente se bazeaza numai pe ideea de a prelucra numai valorile extreme,mai mari sau mai kci dect o valoare data xp.Asemenea valori nu se pot obtine,prin teste,experimente . Functiile pentru extreme au fost intuite,sunt:a) Fisher Tipett tip 1..

Tip 1:REPARTITIA GUMBEL pentru maximeeste definita functia de repartitie: (formula) Deci repartiti este definita complet de medie si dispersie are asimetrie pozitiva iar cuantilele distributiei se obtin cu (formula)

59. Proprietatile repartitiei normaleAre proprietatile este continua pe interval are un singur maxim pe care il atinge in X=m este simetrica fata de verticala dusa de x=m, si tinde catre axa absciselor care este asimptota orizontala media ,mediana, si modul coincid; coeficientul de asimetrie este nul; are forma de clopot cu atat mai ascutit cu cat abaterea este mai mare si invers. domeniul (m-3 , m+) acopera marea majoritate a observatiilor (99,74%)-regula celor trei iar in domeniulCURS 660. Variabilitatea rezistentelor Variabilitatea rezistentelor poate fi clasificata in mai multe categorii: variabilitate datorata cauzleor naturale: neomogenitate, discontinuitatile din materiale, variatia in timp a valorilor parametrilor, datorate unor procese naturale inevitabile ca: indesarea, imbatranirea, oboseala, coroziunea. variabilitatea datorata preceselor de proiectare si de executie: toti parametrii semnificativi depinde de modelul fizic si de modelul matematic, adoptat. Executia implica neomogenitate si abateri inevitabile la respectarea dimensiunilor din proiect, a gradului de indesare, a dozajelor. variabilitate datorata gradului de cunoastere a realitatii cantitatea si calitatea informatiilor disponibile in proiectare, si apoi in cursul exploatarii constructiei. variabilittea datorata efectelor de scara spatio-temporala. Datele primare pentru determinarea rezistentelor se bazeaza pe experimente si teste realizate numai in conditii de spatiu dimensiuni ale epruvetelor si tim durata incercarilor.

61. Clasificarea rezistentelorDupa provenienta materialelorFunctie de alegerea materiei prime si de control al precesului tehnologic, rezistentele se clasifica in trei mari categorii: rezistente ale unor materiale produse de om in conditii controlate de tip industrial rezistente ale unor materiale realziate de om in conditii de santier rezistente ale unor materiale sau structuri naturale

Rezistente ale unor materiale produse de om in conditii controlate de tip industrialAcestea sunt conforme unor exigente proiectate si supuse controlului statistic al calitatii. In aceasta categorie se afla: betoanele turnate pe santier sau prefabricate, materiale metalice, confectii sau piese pentru echipamente hidromecanice, caramizi. Aceste materiale au de regula distributii statistice si probabilistice cunoscute, cu dispersii reduse, al caror oridin de marime este cunoscut si chiar normat.Rezistente ale unor materiale realziate de om in conditii de santierDin materiale locale disponibile. Acestea sunt limitate de calitatea materiei prime, iar calitatea se atesta prin sondaj. Aici se pot inscrie: umpluturile din pamant si anrocamente, betoane compactate cu ruloul compactor.Rezistente ale unor materiale sau structuri naturaleFie nemodificate, fie ameliorate prin interventii. Valorile si dispersiile caracteristicilor de rezistenta depind de structura geologica, prelevarea unor probe semnificative, preferabil in situ. In cazul materialelor cu structura orientata, distributiile trebuie sa se refere la rezistente orientate.Clasificarea dupa raportul cudatele initiale.Valorile obtinute prin teste sau experimente pe probe prelievate prin sondaj poarta numele de date initiale. In raport cu aceasta rezistentele se clasifica in: rezistente a caror distributie rezulta direct din prelucrarea statistica a datelor primare rezistente ale unor asocieri de elemente in structuri rezistente ale unor elemente care se determina prin calcul si care depind de valori ale rezistentelor primare prin relatii funcionale explicite cum sunt legea lui Hook, relatia lui Coulomb.

62. Beton - Definirea probabilistica (cele 2 elemente)Rezistneta la compresiune a betonului constituie un caz tipic de marime aleatoare si ca atare aplicarea metloder statistice la constrolul calitatii luicrarilor de betoane a fost unul dintre primele domenii ale ingineriei de cosntructii care a benificiat de avantajele intrebuintarii teoriei matematice a probabilitatii.Definirea probabilstica a rezistentei la compresiun a betonul presupune urmatoarele trei elemente: stabilirea tipuului reaprttiei statistice a rezistentelor evaluarea indicatilor de localizare si imprastierea datelor statistice definirea rezistentei la compresiune a betonului printr-un anumit fractil al repartiei sale statistice si calcul acestui fractil.

63. Beton tipurile repartitiei statistice Ruprerea betonului simplu la compresiune este de tip casant.In teoria statistica a rezistentei materialelor, rezistentele de rupere a materialelor cu comportare casanta respecta de regula, repartitii asimetrice. Deci in gerenal repartitia statistica a rezistentei betonului la compresiune va fi tot de tip asimetric.Intrebuintarea repartitiilor simetrice nu este justficata decat pde simplitatea calculelor statistice de gradul redus al asimetriei repartiei, in special la betoanele de rezistenta medie care au format mai frecvent obiectul analizalor statistice.Asimetria scazuta a reaprtiei rezistentelor la compresiune ale betonului este ilustrata de histrograme, reprezentand circa 28 000 rezultate prelucrate la INCERC pentru cuburi extrase dintr-un volum de lucrari de circa 800 000 m3 beton clasa C12/15 C20/25.

In litaratura consacrata statisticii rezistentelor lacompreiune le betonului s-au folosit urmatoarele tipuri de repartitii: repartitia normala sau Gauss repartitia Student lognormala Gram-Charlier Pearson tip III sau Gamma BetaDin punct de vedere practic utilizarea repartiei normale este satisfacatoare in majoriatea cazurilor. In cazul unei asimetrii mai accentuate se recomanda folosirea repartiei lognormale;64. Indicatori statistici pentru beton . exempleIndicatorii statistici: coeficientul de variatie si abaterea standard coeficienti de oblicitate sau excesEi depind in general de calitatea si controlul procesului de preparare, de marimea rezistentei la compresiune si de varsta betonului incercat

Efectul coeficientului de variatie asupra dispersiei rezistentelor este:

Marimea coeficientului de variatie scade cu cresterea gradului de control si a calitatii lucrarilor. In general el este mai mic la betoanele de clase superioare.

Coeficientrul de variatie depinde si de varsta betonului. Coeficientul scade cand varsta betonului creste.Coeficientul de variatie al rezistentei este afectate intr-o masura practic neglijabila de viteza de incercare si de forma epruvetei.Coeficientul de variatie al rezisntei la compresiune a betonului este el insusi o variabila aleatore daca se calculeaza separata pe fiacre din famililiile distincte de epruvete ce alcatuiesc ansmablul probelor analizate statistic.In acest caz, repartitica statistica a coeficientilor de variatie este intotdeauna pronuntat asimetrica avand o asimetri pozitiva (cocoasa densitatii de repartiei deplasta spre stanga) Coeficientul de variatie al coeficinului de variatie al rezistentei la compresiune are de obicei valori intre 0.35 si .50.Marimea abaterii standard pentru beotonul a carui rezistenta medie depasteste 2.5 N/mm2 depinde in general numai de calitatea betonului si este independenta de marimea rezisnteti.Pentru betonul cu rezistenta medie mai mica, abatarea standard este sensibil influentata si de marimea rezistentei.

CURS 765. Controlul calitatii betoanelor. Metode statisticeDoua metode de control:1) metoda privind estimarile initiale. Se ocupa de teste asupra populatiei respective.2) metoda de control de conformitate prin prelevari de probe. Controlul calitatii prin calculul indicat de variatie are in vedere interpretarea intr-o distributie normal a caracteristicilor masurate.66. Otelul In analiza sigurantei structurilor metalice un rol esential revine definirii rezistentei sau limitei de curgere.Limita de curgere a otelurilor depinde de numerosi factori, cum sunt: natura otelului (componenta chimica si tehnologie de fabricare); tipul laminatelor (profile platbande, otel-beton, etc.); grosimea laminatelor; tehnica de incercare; tipul solicitarii; temperatura; 67. Curba caracteristica

Se pot distinge urmatoarele rezistente de curgere semnificatia:limita superioara de curcere c superiorlimita inferioara de curgere c inferiorDiferente intre diagramele - la intindere si respectiv la compresiune fara flambaj consta in faptul ca punctele c superior si c inferior se obtin numai la intindere si lipsesc la compresiune.Diagrama efort-deformatie la solicitari monoaxiale se obtine deobicei in regim dinamic de incercare a epruvetelor. Rezistentele de curgere obtinute in regim dinamic sunt mai mari decat cele obtinute static si practic in medie c dinamic / c static = 1.06 1.12.Valorile mari ale raportului sunt valabile in general pentru rezisntete de curgere mici (