studii asupra tehnologiei de deformare plastică

8/16/2019 Studii asupra tehnologiei de deformare plastică

1/213

1

UNIVERSITATEA TEHNICĂ ”GH. ASACHI” IAŞI

CONTRACT NR. 20 DIN 3 OCTOMBRIE 2005

O NOUĂ TEHNOLOGIE PRIVIND CREŞTEREA PRODUCTIVITĂŢII ŞI CALITĂŢIIRULMENŢILOR – NTPR

ETAPA I : Studii privind necesitatea şi oportunitatea introducerii în fabricaţie atehnologiei noi

Activitatea I.2 : Studii asupra tehnologiei de deformare plastică

Colectiv:

- Universitatea Tehnică ”Gh. Asachi” Iaşi- Academia Tehnică Militar ă Bucureşti- Universitatea „Ştefan cel Mare” Suceava- Universitatea „Politehnica” Bucureşti

IAŞI – 20 decembrie 2005


2/213

2

CAPITOLUL I

STAREA DE TENSIUNE LA DEFORMAREA PLASTICĂ

1.1 Tensiune, tensiune normală şi tensiune tangenţială

Se consider ă un corp, (figura 1.1) dintr-un material continuu, omogen şi izotrop asupra

căruia acţionează un sistem de for ţe exterioare, alcătuit din sarcinile 4321 ,,, F F F F , din sarcinile

distribuite 1q şi 2q şi din momentele concentrate 1 M şi 2 M . Sistemul de încărcare menţine

corpul în echilibru. La echilibru, corpul opune sarcinilor o rezistenţă dată de for ţele saleinterioare care sunt dependente de condiţiile în care se află (starea structurală, compoziţiachimică, temperatura, etc.).

Fig. 1.1. Determinarea elementelor torsorului for ţelor de legătur ă într-o secţiune oarecare

Punerea în evidenta a sarcinilor într-o secţiune oarecare A-A se poate faceconsiderând că se înlătur ă o parte a corpului după această secţiune.

Pentru a r ămâne în echilibru o parte a corpului secţionat trebuie introduse for ţele delegătur ă care erau în masa corpului înainte de secţionare.


3/213

3

Fig. 1.2. Vectorul tensiune şi tensiunile ce apar într-o secţiune

Condiţia de echilibru static a păr ţii secţionate este ca elementele torsoruluisistemului de for ţe interioare faţă de un punct oarecare să fie egale şi de sens contrar cu

componentele torsorului for ţelor exterioare aplicate păr ţii izolate, faţă de acelaşi punct.Fie aria elementar ă ∆A conţinută în secţiunea A - A şi rezultanta for ţelor de

echilibru i F ∆ aplicată în punctul M al ariei ∆A.

Raportul dintre rezultanta for ţelor interioare i F ∆ şi aria ∆A se numeşte tensiune

medie nm P iar limita acestui raport când ∆A tinde către 0 defineşte tensiunea reală din

punctul M al secţiunii de normală n .

dA

i F d

A

i F

A

nm P

A

n P =

∆

∆

→∆

=

→∆

= lim

0

lim

0

(1.1)

Vectorul n P ∆ se numeşte vector tensiune în punctul M pentru un element de arie de

normalăn .

Vectorul tensiune poate fi descompus după direcţia n şi după o direcţie din planul

tangent la secţiunea A - A. Cele două componente se definesc ca tensiunea normală nσ şi

tensiune tangenţială nτ .

In afar ă de rezultanta i F ∆ , în punctul M mai poate apărea si un moment i M ∆ .

Micromomentul nm , caracterizat prin relaţia (1.2) poate fi descompus într-un momentnormal şi un moment tangenţial. In majoritatea cazurilor de prelucrare prin deformare

plastică, examinarea condiţiilor de echilibru se face cu neglijarea micromomentelor.

dAi M d

Ai M

Anm =

∆

∆

→∆= lim

0 (1.2)

Vectorul tensiune n P nu este funcţie numai de punctul M considerat, ci şi de

orientarea secţiunii reprezentată prin tensorul normalei n , adică n P = f(M, n ).


4/213

4

Pentru definirea tensorului tensiune într-un punct al unui corp, acesta se

raportează la un sistem de axe Oxyz. Din acesta se separ ă un paralelipiped elementar,orientat după axele de coordonate, de trei laturi infinit mici dx, dy, dz şi având unul din vârfuriîntr-un punct curent al corpului M (x, y, z).

dAi M d

Ai M

Anm =∆

∆

→∆= lim 0 (1.3)

Pe cele trei feţe reciproc perpendiculare ce trec prin punctul M apare câte un vector

tensiune care are o componentă normală iσ şi două componente tangenţiale ijτ .

Există deci următoarele nouă componente ale tensiunilor pe toate cele trei feţe ale paralelipipedului elementar, care trec prin punctul M (figura 1.3.):

- pe faţa perpendicular ă pe Ox: xσ , xyτ , xzτ ;

- pe faţa perpendicular ă pe Oy: yσ , yxτ , yzτ ;

- pe faţa perpendicular ă pe Oz: zσ , zxτ , zyτ ;

-

Prin convenţie se admite drept pozitivă tensiunea normală care exercită o acţiune de

întindere, iar negativă tensiunea normală ce produce o acţiune de compresiune.Tensiunea tangenţială se consider ă pozitivă când este orientată în sensul pozitiv al axei

de coordonate cu care este paralelă, cu condiţia ca tensiunea normală pe planul în careacţionează tensiunea tangenţială luată în studiu să fie pozitivă.

Când lungimile dx, dy şi dz ale paralelipipedului elementar tind spre zero, cele nouă componente menţionate mai sus caracterizează starea de tensiuni în punctul M, definind un

tensor σ T numit tensorul tensiune în acest punct.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= z yz xz

zy y xy

zx yx x

T σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

σ (1.4)

Fig.1.3 Tensiunile ce apar într-un punct material M.


5/213

5

Dacă se presupune că ariile feţelor cubului sunt suficient de mici, astfel încâtvariaţiile de tensiune pe aceste suprafeţe să fie neglijabile se poate scrie:

.;; yz zy xy yx xz zx τ τ τ τ τ τ === (1.5)

Această egalitate a tensiunilor tangenţiale se obţine din condiţia de echilibru static alfor ţelor date pe feţele cubului de aceste tensiuni. Prin urmare starea de tensiuni dintr-un punctal corpului supus deformării plastice este complet definită dacă se cunosc trei tensiuni

normale ( xσ , yσ , zσ ) şi trei tensiuni tangenţiale ( xyτ , yzτ , zxτ ).

Starea de tensiuni dintr-un punct al corpului supus deformării poate fi omogenă sauneomogenă.

Se consider ă că o stare de tensiune este omogenă atunci când toate punctelecorpului asupra căruia acţionează apar tensiuni identice. Dacă tensiunile nu sunt identice stareade tensiune se consider ă neomogenă.

Practic, datorită neuniformităţii distribuţiei for ţelor pe suprafaţa corpului supusdeformării, cât şi datorită neuniformităţii compoziţiei chimice, structurii şi temperaturiiacestuia, procesele de deformare sunt realizate prin stări de tensiune neomogene.

Cu toate acestea, pentru calcule practice, prin studiul deformării la nivelulvolumelor elementare, considerate infinit mici ş izotrope, starea de tensiune poate fi admisă omogenă.

1.2 Vectorul tensiune pe o suprafaţă înclinată. Tensiuni şi direcţii principale

Cele şase componente distincte ale tensorului tensiune, definite pe trei suprafeţe planereciproc perpendiculare ce trec prin punctul M(x, y, z), sunt suficiente pentru a determina

componentele vectorului tensiune pe orice secţiune plană ce trece prin acest punct. In acest scop se consider ă tetraedrul MABC, obţinut prin secţionarea

paralelipipedului elementar definit anterior cu un plan înclinat, cu normala exterioar ă,definită prin parametrii directori l, m, n (figura 1.4.).

Fig. 1.4 Vectorul tensiune şi tensiunile pe o suprafaţă înclinată


6/213

6

Pe feţele laterale ale tetraedrului elementar MABC, acţionează cele şasecomponente ale tensorului tensiune.

Atunci când distanţa de la punctul M la planul ABC tinde către zero, vectorul

tensiune υ P şi componentele sale υ σ şi υ τ reprezintă vectorul tensiune pe

secţiunea de normală υ , oarecare, şi care trece prin punctul M ( x,y,z ).Vectorul tensiune în funcţie de componentele sale P x ,Py şi P z pe axele decoordonate se poate scrie:

k P j P i P P z y x ++=υ . (1.6)

Valorile lui P x , P y şi P z pot fi exprimate în funcţie de tensiunile ce lucrează pe feţeletetraedrului elementar şi de cosinusurile directoare ale secţiunii în care acţionează vectorultensiune, scriind ecuaţiile de echilibru ale elementului de volum.

Ecuaţia de proiecţii pe axa x:

. MAB MAC MAC ABC P zx yx x x τ τ σ ++=

Exprimând ariile feţelor perpendiculare ale tetraedrului în funcţie de aria secţiunii ABCşi normala acesteia la care se mai adaugă şi ecuaţiile de proiecţii pe axa y şi z se obţine:

zx yx x x nml P τ τ σ ++=

zy y xy y nml P τ τ τ ++= (1.7)

z yz xz z nml P σ τ τ ++=

Se observă că aceste componente depind numai de componentele tensorului tensiune şi

parametrii directori ai secţiunii.Relaţia (1.7 ) mai poate fi scrisă:

{ } [ ]{ }nml

P P P

sauT P

z yz xz

zy y xy

zx yx x

z

y

x

⋅==σ τ σ

τ σ τ

τ τ σ

υ σ

Componenta normală υ σ a vectorului υ P este proiecţia acestui vector pe

direcţia υ şi are relaţia de calcul:

z y x nP mP lP ++=υ σ (1 .8)

Mărimea componentei tangenţiale este diferenţa geometrica dintre mărimea P şi

componenta υ σ .

( )222222 z y x z y x nP mP lP P P P P ++−++=−= σ τ υ (1.9)

S-a ar ătat astfel că vectorul tensiune pe orice suprafaţă plană ce trece prin punctulM(x, y, z) poate fi exprimat prin componentele tensorului tensiune definit pe trei secţiuni planereciproc perpendiculare, care trec prin acest punct.

Dacă planul ABC se consider ă că este un plan principal pe care vectorul tensiune,

υ P , este normal iar tensiunea tangenţială, υ τ , este nulă, vectorul tensiune poartă

denumirea de tensiune principală şi p P σ σ υ υ == .


7/213

7

In acest caz componentele tensiunii principale pσ pe cele trei axe de coordonate vor

fi:

p x l P σ =

p y m P σ = (1.10)

p z n P σ =

Înlocuind componentele P x , Py şi P z date de relaţia (1.7) se obţine:

0=++− zx yx p x nml τ τ σ σ

0=+−+ zy p y xy nml τ σ σ τ (1.11)

0=−++ nml p z yz xz σ σ τ τ

Considerând necunoscutele 1, m şi n, pentru ca sistemul de ecuaţii (1.11) să admită soluţii diferite de cea banală, este necesar ca determinantul său principal să fie nul.

( )( )

( )0=

−−

−=∆

p z yz xz

zy p y xy

zx yx p x

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

(1.12)

Condiţia ∆= 0 reprezintă o ecuaţie de gradul trei în pσ ca necunoscută, care se poate

scrie sub forma:

03213 =−+− I I I p p p σ σ σ (1.13)

unde coeficienţii 21 , I I şi 3 I au expresiile :

z y x I σ σ σ ++=1 222

2 zx yz xy x z z y y x I τ τ τ σ σ σ σ σ σ ++−++= (1.14)

z yz xz

zy y xy

zx yx x

I σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

=3

Cele trei r ădăcini ale ecuaţiei (1.10) reprezintă valorile tensiunilor normale

principale ale stării de tensiune şi se notează în ordine descrescătoare a mărimii prin

1σ (tensiunea principală maximă), 2σ (tensiunea principală intermediar ă) şi 3σ (tensiunea principală minimă). Aceste tensiuni depind numai de solicitarea corpului şi nu de sistemul decoordonate la care se raportează.

Rezultă că nici coeficienţii I1, I2 şi I3 din ecuaţia (1.10) nu depind de sistemul decoordonate ales şi ca urmare se numesc invarianţi ai stării de tensiune.

Înlocuind pe rând cele trei valori ale tensiunilor principale 321 σ σ σ >> în

sistemul (1.11) se obţin trei serii de câte două ecuaţii independente cu trei necunoscute (1, m,n).

Adăugând la fiecare serie de ecuaţii şi relaţia de legătura dintre parametrii directoril2 + m2 + n2 = 1, rezultă trei sisteme de câte trei ecuaţii având ca necunoscute parametriidirectori ai direcţiilor principale. .


8/213

8

Fiecare sistem corespunde câte unei tensiuni normale principale, aşa încât soluţia sareprezintă cosinusurile directoare ale direcţiei pe care apare aceasta tensiune.

Se obţin astfel soluţiile 11 ,ml şi 1n pentru direcţia lui 1σ , 22 ,ml şi 2n pentru direcţia

lui 2σ şi 33 ,ml şi 3n pentru direcţia lui 3σ .

Deoarece direcţiile principale sunt reciproc perpendiculare, sistemul de coordonate se poate alege cu axele paralele cu aceste direcţii; în acest caz tensiunile tangenţiale pe feţele paralelipipedului elementar sunt nule, iar tensorul stării de tensiune poate fi scris sub forma:

3

2

1

000000

σ

σ

σ

σ =T (1.15)

Invarianţii stării de tensiune capătă în acest sistem de coordonate expresiile:

3211 σ σ σ ++= I

1332212

σ σ σ σ σ σ ++= I

3

2

1

3

000000

σ

σ

σ

= I (1.16)

In mod similar, faţă de un sistem de axe principale se poate defini o suprafaţă de

normală υ ( 1, m, n ) în care componenta tangenţială a vectorului să aibă valoareamaximă.

Componenta normală a vectorului tensiune poate fi definită cu relaţia:

32`1 nP mP lP P ++== υ σ υ υ .în care 21 , P P şi P 3 sunt proiecţiile vectorului tensiune pe direcţiile principale.

Ţinând seama de relaţiile (1.4) şi de faptul că axele de coordonate sunt direcţii principale (tensiunile tangenţiale ce acţionează pe suprafeţele normale la aceste axe sunt nule)se poate scrie:

32

22

`12 σ σ σ σ υ nml ++= (1.17)

Folosind relaţia (1.6) în care se înlocuiesc componentele 21 , P P şi P 3 cu valorile

corespunzătoare date de relaţiile (1.4) se obţine:

( ) ( ) ( )213222

22222

2122

2 σ σ σ σ σ σ τ υ −+−+−= l nnmml ( 1.18 )

In particular secţiunea considerată poate fi paralelă cu una din direcţiile principale(axa 3) n = 0 (figura 1.5) şi relaţia (1. 15 ) devine:

( )22122

2 σ σ τ υ −= ml sau

α ω σ

τ τ 2sin221 −±= (1.19)


9/213

9

Fig. 1.5 Secţiunea cu un plan paralel cu axa principală 3

Pentru o stare de tensiune dată, caracterizată prin valori cunoscute ale tensiunilornormale principale 1σ şi 1σ tensiunea tangenţială υ τ variază cu unghiul α, atingându-şi

valoarea maximă pentru4

π α = şi

4

3π α = .

Aceasta rezultă din derivarea relaţiei (1.16) şi egalarea acesteia cu zero.

0=α

τ υ

d

d sau ( ) 02cos21 =− α σ σ din care rezultă că 4

π α = şi

4

3π α = .

Valoarea maxima a tensiunii tangenţiale este

221312 σ σ τ τ −±== (1.20)

Indicele utilizat pentru τ indică direcţia principală cu care este paralelă secţiuneaconsiderată (n = 0). Rezultă că pe o secţiune plană, paralelă cu una din direcţiile

principale, apar tensiuni tangenţiale maxime ca mărime atunci când planul de secţiune bisectează interior sau exterior unghiul diedru format de planele de coordonate care seintersectează după direcţia principală considerată, aceste tensiuni se numesc tensiunitangenţiale principale şi sunt egale cu semidiferenţa tensiunilor normale principale careacţionează pe planele principale bisectate.

;2

213

σ σ τ

−±= ;

231

2

σ σ τ

−±= ;

232

1

σ σ τ

−±=

Se observă că 0321 =++ τ τ τ .

Planele în care apar aceste tensiuni tangenţiale principale sunt puse în evidenţă pecuburile elementare, raportate la direcţiile principale, prezentate în figura 1.6.


10/213

10

Fig. 1.6 Schemele planelor pe care acţionează tensiunile tangenţiale principale

Dacă tensiunile normale principale îndeplinesc condiţia 321 σ σ σ >> , atunci

tensiunea tangenţială maximă cu valoarea cea mai mare dintre cele trei perechi va

231

2max

σ σ τ τ −

±==

Tensiunea tangenţială maximă 2τ prezintă importanţă pentru definirea condiţiilorde plasticitate.

1.3. Tensiuni octaedrice

In teoria deformaţiilor plastice o importanţă deosebită o prezintă componentelevectorului tensiune pe o secţiune egal înclinată faţă de direcţiile principale ale stării detensiune.

Reprezentând aceste secţiuni în cele opt cadrane ale sistemului principal decoordonate se obţine un octaedru, de unde şi numele componentelor menţionate mai sus detensiuni octaedrice.

Deoarece o faţă a octaedrului este egal înclinată faţă de axele de coordonate (figura1.7.), parametrii directori ai normalei ei sunt egali şi au valoarea:

3

1±=== nml (1.21)

Pe o suprafaţă înclinată, componenta normală a vectorului tensiune va avea relaţia de

calcul dată de expresia (1.5) z y x nP mP lP ++=υ σ

în care 11 σ l P P x == ; 22 σ m P P y == ; 33 σ n P P z == sau

32

22

12 σ σ σ σ υ nml ++= .

Pe suprafaţa unui octaedru


11/213

11

mh σ σ σ σ σ

σ ==++

=3

3210 (1.22)

Fig. 1.7 Octaedrul şi tensiunile de pe suprafaţa octaedrică

Tensiunea tangenţială pe o suprafaţă înclinată are relaţia de calcul dată de expresia(1.15):

Pe suprafaţa unui octaedru aceasta capătă forma:

( ) ( ) ( )2132

32

2

210 3

1σ σ σ σ σ σ τ −+−+−= (1.23)

Se constată că tensiunea normală octaedrică, 0σ este egală cu media aritmetică

a tensiunilor normale principale, adică reprezintă componenta hidrostatică a stării de

tensiune ( h I

σ σ ==31

0 ).

Tensiunea tangenţială octaedrică, ţinând seama de relaţia (1.17) mai poate fiscrisă sub forma:

23

22

210 3

2τ τ τ τ ++= (1.24)

Faţă de un sistem oarecare de coordonate, tensiunea normală octaedrică r ămâne

egală cu tensiunea hidrostatică (31

0

I =σ ) iar tensiunea tangenţială octaedrică ia forma:

( )2210 3231

I I −=τ

( ) ( ) ( ) ( )2222220 631

zx yz xy x z z y y x τ τ τ σ σ σ σ σ σ τ +++−+−+−= (1.25)

Se va demonstra ulterior că tensiunea tangenţială octaedrică este direct

propor ţională cu energia specifică modificatoare, înmagazinată în unitatea de volum.


12/213

12

1.4 Abaterea medie pătratică a unei stări de tensiune date, faţă de

starea de tensiune echiaxială cea mai apropiată

In teoria plasticităţii, la studierea condiţiilor de apariţie şi dezvoltare adeformaţiilor plastice ocupă un rol esenţial principiul imposibilităţii apariţiei lor în cazul unei

stări de tensiune echiaxiale uniforme σ σ σ σ === 321 de orice intensitate.

Acest principiu este justificat de faptul că în cazul stării echiaxiale nu există tensiuni tangenţiale pe nici o faţă a elementului de volum infinit de mic şi deformareamaterialului are loc f ăr ă forfecare. In această situaţie este evident că posibilitatea apariţieideformaţiilor plastice ale materialului trebuie să fie determinată de valoarea abaterii stării detensiune respective faţă de starea de tensiune echiaxială.

Această abatere poate fi caracterizată prin media pătratelor diferenţelor dintretensiunile principale ale celor două stări de tensiune considerate astfel:

( ) ( ) ( )[ ]231

32

2

2

1 σ σ σ σ σ σ −+−+−=∆ (1.26)

în care: 1σ , 2σ , 3σ sunt tensiunile principale ale unei stări de tensiune; σ este o tensiune

echiaxială oarecare.Să determinăm din relaţia 1.23 valoarea lui σ pentru care abaterea medie pătratică

este minimă.Valoarea corespunzătoare a lui σ reprezintă starea de tensiune echiaxială cea mai

apropiată de starea de tensiune dată.

Prin derivarea relaţiei (1.23) şi egalarea cu 0 a acesteia se obţine:

( )[ ] 033

2321 =++−=

∆σ σ σ σ

σ d

d (1.27)

( ) mσ σ σ σ σ σ ==++= 032131

(1.28)

Derivata a doua a expresiei (1.24) este pozitivă şi prin urmare 0σ σ = corespunde

unui minim al expresiei (1.23). Cu alte cuvinte, valoarea lui σ determină starea de tensiuneechiaxială cea mai apropiată.

Substituind această valoare a lui σ în relaţia (1.23) se obţine următoarea valoare aabaterii medii pătratice minime:

( ) ( ) ( )[ ]213232221min 91

σ σ σ σ σ σ −+−+−=∆ (1.29)

Această mărime poate fi folosită în teoria plasticităţii drept criteriu al apariţiei şidezvoltării stării plastice în punctul considerat al corpului deformat.

De asemenea valoarea minimă a abaterii medii aritmetice α ∆ a unei stări de

tensiune date, faţă de starea de tensiune triaxială egală cea mai apropiată este propor ţională cu valoarea tensiunii tangenţiale maxime în punctul considerat.

Dacă se notează α ∆ cu relaţia:


13/213

13

[ ]σ σ σ σ σ σ α −+−+−=∆ 32131

(1.30)

în care σ este tensiunea principală a unei stări de tensiune echiaxială

oarecare şi 123 σ σ σ ≤≤ o stare de tensiune dată.

Valoarea minimă a lui α

∆ se obţine pentru2

σ σ = . Să presupunem de exemplu că

12 σ σ σ ≤≤

( ) ;01 >−σ σ ( ) ;02


14/213

14

σ σ

σ

σ

000000

0 =T (1.34)

Tensorul sferic corespunde stării de tensiune prin care se poate realiza schimbareavolumului corpului supus deformării, f ăr ă schimbarea formei sale.

Un exemplu practic de deformare sub o stare de tensiune caracterizată printr-un tensorsferic este introducerea unui corp de formă sferică într-un lichid ce se află sub presiune. Intoate punctele de pe suprafaţa exterioar ă a corpului sferic vor acţiona for ţe care dau tensiuniegale cu presiunea la care se găseşte lichidul.

Dacă asupra corpului sferic aflat sub presiune hidrostatică se acţionează şi în sensulcomprimării sale între două suprafeţe paralele, corpul sferic se va transforma în elipsoid.

In felul acesta, starea de tensiune sub care se află corpul permite atât schimbareavolumului (prin presiune hidrostatică) cât şi schimbarea formei sale (prin tensiunile decomprimare suplimentare).

Această stare de tensiune prin care se poate schimba forma corpului se exprimă printr-un tensor ce poartă numele de deviator al tensiunii:

0σ σ σ T T −=∆ (1.35)

Altfel spus, o stare de tensiune definită prin trei tensiuni normale şi şase tensiuni

tangenţiale egale două câte două se poate descompune într-o componentă sferică 0σ T şi o

nouă stare de tensiune caracterizată de σ ∆ .

Tensorul ce acţionează în cazul stării de tensiuni sferice fiind tensiunea medie

aritmetică a tensiunilor normale (sau tensiune octaedrică) ce defineşte starea de tensiune:

3 z y x

m

σ σ σ σ

++= =

3321 σ σ σ ++ (1.36)

rezultă deci că o stare de tensiune în general, poate fi exprimată astfel:

m z yz xz

zym y xy

zx yxm x

m

m

m

z yz xz

zy y xy

zx yx x

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

σ

σ

σ

σ τ τ

τ σ τ

τ τ σ

−−

−+=

000000

(1.37)

Fig. 1.8 Reprezentarea grafică a deviatorului stării de tensiune

Tensorul nou obţinut prin scăderea din tensorul iniţial a tensorului sferic estetensorul deviator exprimat grafic în figura 1.8.


15/213

15

In mod similar cu invarianţii stării de tensiune ( 1 I , 2 I , 3 I ) definiţi prin relaţiile

(1.11) se definesc şi invarianţii deviatorului de tensiune:

( ) ( ) ( )m zm ym xd I σ σ σ σ σ σ −+−+−=1( )( ) ( )( ) ( )( ) 2222 zx yz xym xm zm zm ym ym xd I τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ++−−−+−−+−−=

Dacă axele la care se raportează corpul coincid cu axele principale relaţiile (1.35)capătă forma:

m z yz xz

zym y xy

zx yxm xd I

σ σ τ τ

τ σ σ τ

τ τ σ σ

−−

−=3

(1.38)

Dacă axele la care se raportează corpul coincid cu axele principale relaţiile (1.35)capătă forma:

( ) ( ) ( ) mmmmd I I σ σ σ σ σ σ σ 313211 −=−+−+−=

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2222 zx yz xym xm zm zm ym ym xd I τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ ++−−−+−−+−−=

= 3

21

2

I I −

(1.39)

In teoria matematică a plasticităţii se foloseşte mult cel de-al doilea invariant al

deviatoruluid I 2

Acesta poate fi considerat ca o generalizare matematică a caracteristicilor stării de

tensiune într-un punct al unui corp deoarece pătratul tensiunilor tangenţiale octaedrice

20τ

, pătratul valorii medii a tensiunilor tangenţiale din jurul unui punct şi abaterea medie pătratică

minimă, min∆ , sunt propor ţionale cu cel de-al doilea invariant al deviatorului tensiunilor.

Astfel, expresia luid I 2 din relaţiile ( 1.35 ) prin transformare, ţinând seama că:

30 z y x

m

σ σ σ σ σ

++==

devine:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]2222222 66

1 zx yz xy x z z y y x

d I τ τ τ σ σ σ σ σ σ +++−+−+−= (1.40)

Într-un sistem de coordonate având drept axe direcţiile principale, cel de-al doileainvariant are forma:

( ) ( ) ( ) ][6

1 213

232

2212 σ σ σ σ σ σ −+−+−=

d I (1.41)

Comparând relaţia (1.38) cu expresia lui 0τ , (relaţia 1.20 ), cum2τ şi min∆

(relaţia 1.26) toate acestea sunt propor ţionale cu:

d I 220

3

2=τ

;

d m I 22

5

2=τ

;

d I 2min3

2=∆


16/213

16

In teoria plasticităţii o importanţă deosebită o are mărimea denumită intensitatea

tensiunilor care se notează cu iσ , aceasta mărime este propor ţională cu r ădăcina pătrată din

cel de-al doilea invariant al deviatorului tensiunilor:

( ) ( ) ( ) ( )2222222 62

13 zx yz xy x z z y y x

d i I τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ +++−+−+−== (1.42)

Este evident că dacă luăm drept axe de coordonate direcţiile tensiunilor principale(relaţia 8.39) capătă forma:

( ) ( ) ( )2132

322

212

1σ σ σ σ σ σ σ −+−+−=i (1.43)

1.6 Starea plană de tensiune

O stare de tensiune caracterizată de lipsa tensiunilor paralele cu o axă decoordonate poartă denumirea de stare plană de tensiune. Dacă axa pe care nu apar

componente ale stării de tensiune este axa z, atunci tensiunile xσ , xyτ şi zyτ de pe faţa

paralelipipedului sunt nule.

Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale sunt nule şi tensiunile

xzτ şi zyτ . Starea de tensiune r ămâne caracterizată numai de tensiunile xσ , yσ şi xyτ

conţinute într-un plan perpendicular pe axa z (figura 1.9).

Fig. 1.9 Starea plană de tensiuneTensorul tensiune (1.3) se reduce în acest caz la un tensor de ordinul unu:

y xy

yx xT σ τ

τ σ σ = (1.44)

Componentele vectorului tensiune în acest caz se determină din particularizarearelaţiilor (1.4), astfel:

yx x x ml P τ σ +=

y xy y ml P σ τ +=

Tensiunea normală la secţiunea considerată σ v se obţine din proiecţia vectorului

tensiune v P pe direcţia v :

y xv mP lP +=σ


17/213

17

Mărimea tensiunii τ v se obţine mai simplu proiectând componentele P x şi Py pe planul secţiunii şi rezultă:

y xv lP mP −=τ

Exprimând parametrii directori 1 si m în funcţie de unghiul a, se obţin următoarelerelaţii:

α τ α σ sincos yx x x P +=

α σ α τ sincos y xy y P += (1.45)

α τ α σ σ σ σ

σ 2sin2cos22 xy

y x y xv +

−+

+=

α τ α σ σ

τ 2cos2sin2 xy

y xv +

−−= (1.46)

Procedând ca şi la starea spaţială de tensiune se obţin tensiunile normale principale şi

tensiunile tangenţiale principale:

( ) xy y x y x 22

2,1 42

1

2 τ σ σ

σ σ σ +−±

+= (1.47)

( ) xy y x 2221

max 42

1

2 τ σ σ

σ σ τ +−±=

−±=

Un caz particular al stării plane de tensiune este forfecarea pur ă sau tracţiunea -compresiunea biaxială.

Forfecarea pur ă este starea plană de tensiune la care sunt nule toate tensiunile

normale (figura 1.10).

Fig. 1.10 Starea plană de forfecare pur ă .

Tensorul tensiune are în acest caz următoarea forma:

0

0

xy

yxT τ

τ σ =

Valorile tensiunilor normale principale se determină cu relaţia (1.44) în care


18/213

18

0== y x σ σ şi se obţine:

xyτ τ ±=2,1 (1.48)

Starea de tensiune de forfecare pur ă este echivalentă cu o stare plană de tensiune în caretensiunile normale principale sunt egale ca mărime dar de semne opuse.

Componenta sferică a tensorului stării de tensiune este nulă şi deci tensorul sferic estenul, aşa încât prin această stare de tensiune nu apare o modificare a volumului corpului.

1.7 Ecuaţiile diferenţiale de echilibru

Se prezintă ecuaţiile diferenţiale de echilibru a elementului de volum, în coordonatecarteziene, cilindrice sau sferice, coordonate ce se aleg în funcţie de operaţia tehnologică dedeformare plastică.

In coordonate carteziene . Considerând în volum elementar de formă paralelipipedică de dimensiuni dx, dy, dz, tensiunile de pe suprafeţele paralelipipedului se vordeosebi între ele prin mărimi egale cu diferenţialele par ţiale ale componentelor lor (figura1.11.)

Considerând elementul în echilibru şi neglijând for ţele de iner ţie proprii, sumafor ţelor care acţionează pe fiecare direcţie este nulă:

dxdydz z

dxdydxdzdy y

dydzdydzdx x

zx zx xy

xy xy x

x x ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂++−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

∂

∂++−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂

∂+

τ τ τ

τ τ σ

σ σ -

0=dxdy zxτ Scriind în mod asemănător ecuaţiile de echilibru si pe direcţiile y si z, reducând

termenii asemenea si împăr ţind la dx, dy, dz se obţin ecuaţiile:

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z y x xz xy x τ τ σ

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z y x yz y yx τ σ τ (1.49)

0=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

z y x

z zy zx σ τ τ

Ecuaţiile (1.49) mai poartă denumirea de ecuaţiile Cauchy în coordonatecarteziene.


19/213

19

Fig. 1.11 Echilibrul unui element de volum în coordonate carteziene

Fig. 1.12 Echilibrul unui element de volum în coordonate cilindrice

In coordonate cilindrice.

Considerând un element de volum situat într-un corp cilindric, raportat la un sistem

de coordonate cilindrice ρ, θ şi z (fig.1.12), suma proiecţiilor for ţelor ce acţionează pedirecţia ρ va fi:


20/213

20

( ) −⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂++−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂+ ρ θ ρ

τ τ θ ρ σ θ ρ ρ ρ

ρ

σ σ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ d d zdzd dzd d d z z

02

2 =⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂++−−− dzd d dzd dzd

d z ρ

θ

τ τ θ ρ τ ρ τ ρ

θ σ

ρθ

ρθ ρ θρ θ

In această ecuaţie se consider ă pentru cazul elementului de volum studiat

22sin

θ θ d d ≈ .

După unele transformări se ajunge la forma ecuaţiei de echilibru pe axa ρ , la care seadaugă ecuaţiile pentru axele θ şi z, deduse în mod analog:

( ) 011 =−+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂θ ρ

ρ ρθ ρ σ σ

ρ

τ

θ

τ

ρ ρ

σ

z z

021

=+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂θρ

θ θ ρθ τ

ρ

τ

θ

σ

ρ ρ

τ

z

z (1.50)

011

=+∂

∂+

∂

∂+

∂

∂θρ

θ ρ τ ρ

τ

θ

σ

ρ ρ

τ

z z z z

Ecuaţiile de echilibru ale elementului de volum în coordonate cilindrice se potutiliza în studiul analitic al problemelor de plasticitate, îndeosebi la prelucrarea prin

deformare a pieselor care au forme de revoluţie în raport cu o axă. Astfel se poate obţine osimplificare a relaţiilor de calcul.

In cazul în care starea de solicitare este axial simetrică ( 0== ρθ θ τ τ z ) ecuaţiile (1.47

) se pot scrie sub o formă mai simplă şi anume:

( ) 01 =−+∂

∂+

∂

∂θ ρ

ρ ρ σ σ

ρ

τ

ρ

σ

z z

0=+∂

∂+

∂

∂

ρ

τ σ

ρ

τ ρ ρ z z z

z (1.51)

Pentru problemele de solicitare plană, sistemul de coordonate cilindrice setransformă într-un sistem de coordonate polare, în care ecuaţiile (1.47) se scriu sub forma:

( )0

11=−+

∂

∂+

∂

∂

θ ρ

ρθ ρ σ σ

ρ θ

τ

ρ ρ

σ

021

=+∂

∂+

∂

∂θρ

θ ρθ τ ρ θ

σ

ρ ρ

τ (1.52)

In cazul unei stări plane de tensiune, axial simetrice ( 0= ρθ τ ) relaţiile (1.49) se scriu

într-o singur ă ecuaţie astfel:

( ) 01 =−+∂

∂θ ρ

ρ σ σ

ρ ρ

σ (1.53)

ρ σ şi θ σ fiind în acest caz tensiuni principale. In coordonate sferice. In cazul unor probleme spaţiale simetrice, starea de tensiune se

poate studia cel mai comod în coordonate sferice.


21/213

21

In acest sistem de referinţă, poziţia unui punct oarecare, este dată de raza ρ şi decele doua unghiuri θ şi φ (figura 1.13.).

Fig. 1.13 Sistemul de coordonate sferice

Ca şi în cazul anterior, se scriu ecuaţiile de echilibru în coordonate sferice subforma:

0)2(1

sin

11=+−−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂θ τ σ σ σ

ρ ρ

τ

θ ρ θ

τ

ρ ρ

σ ρθ ϕ θ ρ

ρϕ ρθ ρ ctg

( )( ) 031sin

11=+−+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂ ρθ ϕ θ

θϕ θ ρθ τ θ σ σ ρ ρ

τ

θ ρ θ

σ

ρ ρ

τ ctg (1.54)

Pentru cazul solicitării axial simetrice (când = ρθ τ = ρϕ τ =θϕ τ 0) sistemul de ecuaţii

(1.51) se scrie:

0)(2

=−+∂

∂θ ρ

ρ σ σ

ρ ρ

σ

0=∂

∂=

∂

∂

ϕ

σ

θ

σ ϕ θ (1.55)

ρ σ şi θ σ fiind în acest caz tensiuni principale.

1.8. Schemele stărilor de tensiune

Prezentarea grafică prin tensiuni principale a unei stări de tensiune într-un punct, portă

numele de schemă a stării de tensiune.In general, în timpul procesului de deformare plastică are loc nu numai o schimbare a

valorilor tensiunilor aplicate în infinitatea punctelor materiale ale corpului ci şi semnul şi direcţia


22/213

22

acestor tensiuni. Insă în mai multe cazuri se poate admite ca schema tensiunilor principale esteaceeaşi pentru toate punctele materiale ale corpului şi caracterizează starea de tensiune aîntregului corp supus deformării prin presiune.

Când toate tensiunile principale sunt diferite de zero apare o stare de tensiune

spaţială, care poate fi de patru tipuri. Când una dintre tensiunile principale este nulă, iar celelalte

diferite de zero, apare o stare de tensiune plană, care poate fi de trei tipuri. De asemenea, cânddouă dintre tensiunile principale sunt nule, va apare o stare liniar ă, care la rândul ei poate fi dedouă tipuri. Deci se întâlnesc nouă tipuri de scheme ale stărilor de tensiune prezentate întabelul 1.1. si figura 1.14.

Tabelul 1.1 Caracterizarea schemelor stării de tensiune

1σ + -

σ 0 -

3σ 0 0Simbolul L2 PITipul Liniar ă Plană Spaţială

Fig. 1.14. Reprezentarea grafica a schemelor stării de tensiune

Din examinarea tabelului 1.1. se constată că schemele de tensiune se pot înpăr ţi şi înalte două grupe mari în funcţie de semnul pe care îl au tensiunile principale:

• scheme de tensiune cu tensiunile principale negative: L1, P1, S1;

• scheme de tensiune cu tensiunile principale pozitive: L2, P3, S4;

• scheme de tensiune cu semne diferite ale tensiunilor principale: P2, S2, S3;

Schemele de tensiune liniare se întâlnesc mai rar în cadrul proceselor de prelucrare

prin deformare plastică. Totuşi, în anumite condiţii, pot apare şi scheme liniare ale stării detensiune. Astfel, la deformarea prin întindere a unui corp cu lungime mult mai mare decât

dimensiunile secţiunii transversale (întinderea sârmelor de exemplu) apare schema detensiune L2. schema de tensiune L2 apare şi când se supune o probă încercării la tracţiune îndomeniul de tensiuni care nu produc apariţia gâtuirii probei.


23/213

23

De asemenea schema de tensiune L2 mai apare la îndepărtarea tablelor şi benzilor pemaşini cu role cât şi zonal la ambutisarea tablelor (figura 1.15. zona B).

În ceea ce priveşte schema de tensiune L1 (comprimarea uniaxială), aceasta poateapare în corpul supus deformării în două cazuri:

- la comprimarea unei epruvete în lipsa frecări pe suprafeţele de contact cu sculele

de deformare (caz teoretic);- la comprimarea unei epruvete cu ajutorul unor scule conice (figura 1.16.) la care

unghiul conurilor (α) este egal cu unghiul de frecare φ=arctg µ, în care µ este coeficientul defrecare pe suprafeţele de contact dintre epruvetă şi sculele de deformare.

Fig.1.15 Schemele de tensiune ce apar în diferite zone ale unui semifabricat ambutisat

Fig.1.16 Comprimarea unei epruvete prin schema de tensiune LI folosind scule conice

Fig.1.16 Comprimarea unei epruvete prin schema de tensiune LI folosind scule conice

In acest caz, egalitatea dintre α şi β conduce la anularea efectului frecării pesuprafeţele de contact.

Pentru starea de tensiune plană, se dau următoarele exemple practice - schema de


24/213

24

tensiune Pl (comprimare biaxială), apare în cazul comprimării unei epruvete paralelipipediceîntre două scule în formă de pană, la care de asemenea, unghiurile penelor α sunt egale cuunghiul de frecare φ.

In acest caz, deformarea trebuie să se efectueze într-un dispozitiv care să asiguresprijinirea laterală a epruvetei (figura 1.17).

În acest caz tensiunea pe direcţia z este dată de for ţa de deformare (F), tensiunea pedirecţia x este dată de reacţiunea dispozitivului la presiunea exercitată de corpul deformat pe

pereţii acestuia, iar pe direcţia y tensiunea va fi nulă ca urmare a anulării efectului frecării.Aceeaşi stare de tensiune P1 se poate realiza şi prin comprimarea probei paralelipipedice înlipsa dispozitivului de sprijinire laterală, dar în acest caz tensiunea pe direcţia x este mult maimică decât în cazul studiat anterior, deoarece aceasta se datoreşte numai for ţelor de frecarede pe suprafeţele de contact care se opun deformării pe direcţia x.

Schema plană de tracţiune biaxială P3 cu o oarecare aproximaţie se poate admite că

apare în pereţii recipienţilor aflaţi sub presiune ridicată. În acest caz, dacă se studiază o por ţiune oarecare din peretele recipientului, aceasta va fi solicitată la tracţiune pe întregconturul ei (figura 1.18), ceea ce dă naştere la tensiuni principale doar pe direcţiile x şi y.

Aproximaţia se datorează faptului că pe direcţia z presiunii din recipient i se opune presiunea atmosferică, apărând astfel şi pe această direcţie o tensiune. Diferenţa mare dintre presiunea din recipient şi presiunea atmosferică va da naştere unei tensiuni cu o valoareneglijabilă în comparaţie cu valorile tensiunilor ce apar în planul xOy.

Realizarea practică a schemei P2 ce cunoaşte numai pentru un singur caz teoretic.

Acesta constă în comprimarea unei probe de forma celei prezentate în figura 1.19. Tensiuneaσ din zona înclinată a probei (produsă de for ţa de deformare) se descompune in două

componente, din care zσ cu acţiune de comprimare, iar xσ cu acţiune de tracţiune a

punctului material.

Pentru schemele de tensiune spaţiale exemplele practice sunt foarte multe, având învedere că marea majoritate a proceselor de deformare plastică se realizează prin stări detensiune spaţiale.

Astfel, schema de tensiune cu comprimare triaxială (SI) se întâlneşte în procesele dedeformare plastică prin refulare, laminare şi extruziune.

Fig.1.17 Comprimarea unei epruvete prin schema de tensiune P1

Fig.1.18 Realizarea schemei detensiune P3 într-o zonă a pereteluiunui recipient aflat sub presiune


25/213

25

In cazul refulării (comprimare între două suprafeţe plane sau profilate) tensiunea principală 1σ este dat ă de for ţa de deformare, iar tensiunile 2σ şi 3σ în planultransversal al corpului deformat sunt date de către for ţele de frecare Ff de pe suprafeţele de

contact, for ţe ce se opun deformării (figura1.20).Acelaşi mod de apariţie a tensiunilor se întâlneşte şi în procesul de laminare, unde

deformarea poate fi asimilată cu o succesiune de comprimări din aproape în aproape pelungimea zonei de contact dintre laminat şi cilindri. Astfel, tensiunea principală 1σ

este dată de for ţa de laminare (F) iar tensiunile 2σ şi 3σ , sunt date de for ţele de frecare pedirecţia transversală (Ft) şi respectiv longitudinală (Fl), care se opun deformării (figura1.21).

Fig. 1.21 Realizarea schemei de tensiune S1 la procesul

de laminare

La procesul de deformare prin extruziune, comprimarea triaxială se realizează înzona de deformare (din interiorul orificiului calibrat) sub acţiunea for ţei de extrudare (F)

în direcţie axială, care dă naştere tensiunii principale 1σ şi a for ţelor de reacţiune datede pereţii orificiului calibrat în plan transversal, care produc tensiunile principale 2σ şi 3σ (f igura 1 .22).

In toate aceste exemple simbolizarea folosită pentru tensiuni, corespundeaccepţiunii generale conform căreia 321 σ σ σ >>

Fig.1.19 Realizarea schemei de tensiune P2 (caz teoretic)

Fig. 1.20 Realizarea schemei de tensiune S1 larefularea unui corp cilindric

Fig. 1.22 Realizarea schemei de tensiune S1 la procesul de extruziune

Fig. 1.23 Realizarea schemei de tensiune S2 la procesul


26/213

26

Schema de tensiune cu comprimare pe două direcţii a axelor de coordonate şi tracţiune pe cea de-a treia (S2) se întâlneşte la:

-trefilarea şi tragerea sârmelor şi barelor, la care tensiunea principală 1σ (de tracţiune)

este dată de for ţa de tragere (F), iar tensiunile 2σ şi 3σ (de comprimare), ca şi la

extruziune sunt date de către for ţele de reactiune ale orificiului calibrat la apăsarea pe care o primeşte din partea materialului supus deformării (figura 1.23).

-laminarea cu tracţiune în laminat, practicată în special la fabricarea tablelor şi benzilor

la rece, unde pe direcţia longitudinală aplicându-se o for ţă de tragere, tensiunea3

σ de la

laminarea convenţională îşi schimbă semnul devenind pozitivă în timp ce tensiunilecelelalte r ămân neschimbate (negative).

Schema de tensiune cu tracţiune pe două direcţii şi comprimare pe cea de-a treia direcţiea axelor de coordonate (S3) se întâlneşte zonal tot în procesul de ambutisare a tablelor (figura1.15, zona C).

Ultima schemă de tensiune spaţială (S4) cu tracţiune triaxială se întâlneşte în cazulepruvetelor supuse încercării de tracţiune după apariţia gâtuirii. In zona gâtuirii, for ţa ce

produce solicitarea la tracţiune a probei dă naştere la o tensiune înclinată faţă de direcţia for ţei,

care se descompune pe cele trei direcţii ale axelor de coordonate în tensiunile principale 1σ , 2σ şi 3σ ce acţionează în punctul material de concurenţă al axelor decoordonate.

In legătur ă cu existenţa celor nouă scheme ale stării de tensiune se subliniază că indiferent de tipul schemei de tensiune, caracterul acesteia nu se va schimba dacă seschimbă direcţia tensiunilor principale cu condiţia însă a se menţine numărul şi sensulacestora corespunzător unei anumite scheme de tensiuni. Pentru exemplificare în figura 1.24se prezintă schema de tensiune S2 în toate variantele ei posibile.

Fig. 1.24 Variantele posibile ale schemei de tensiune S2


27/213

27

CAPITOLUL II

STAREA DE DEFORMARE IN PROCESELE DE PRELUCRARE PRIN

DEFORMARE PLASTICA

2.1 Starea de deformare într-un punct al corpului supus deformării

Prin starea de deformare a unui corp supus acţiunii unor forte exterioare se exprimă fenomenele geometrice ale procesului, determinându-se criteriile care caracterizează schimbarea formei corpului în timpul deformării sale.

In procesele de deformare plastică, toate punctele unui corp metalic se deplasează,schimbându-şi astfel poziţiile lor reciproce.

Având în vedere neuniformitatea distribuţiei for ţelor pe suprafaţa corpului supusdeformării, cât şi neuniformitatea compoziţiei chimice, a structurii şi temperaturii sale,deformaţiile nu vor fi aceleaşi în toate punctele corpului.

Pentru a se asigura totuşi studierea proceselor de deformare în condiţii izotrope serecurge, ca şi în cazul stării de tensiune la studiul deformaţiilor volumelor elementareinfinit mici. Pentru ca deformarea să fie compatibilă din punct de vedere geometric, estenecesar să nu existe două particule care să ocupe acelaşi loc în spaţiu şi de asemenea să nu se producă spaţii goale în interiorul corpului. Pentru satisfacerea acestor cerinţe

componentele deplasărilor pe cele trei direcţii ale axelor decoordonate trebuie să varieze continuu de la un punct la altul al corpului.Se consider ă un corp solid raportat la un sistem triortogonal de axe Oxyz, un punct

curent al acestuia M, fiind determinat de vectorul de poziţie r (figura 2.1).Acestui corp i se aplică un sistem echilibrat de for ţe F1, F2, F3....Fn care nu modifică

cinematic poziţia corpului, acesta se deformează, punctele sale materiale ocupând alte poziţii.Punctul M, considerat mai sus, ocupă în starea deformată o nouă poziţie M', de vector

de poziţie1

r . Vectorul r r u −=1

se numeşte vectorul deplasare al punctului curent M.


28/213

28

k w jviuU ++=

unde u, v, w reprezintă componentele vectorului deplasare U=f ( x,y,z ).In acelaşi corp dacă se consider ă iniţial două puncte oarecare M si N, aflate la distanta l

unul de altul, după deformare, punctele considerate ocupă poziţiile M' si N', distanţa dintre elefiind notata cu 1'.

Diferenţa dintre distanţa 1' şi distanţa 1 se numeşte lungire sau scurtare, după cum ∆leste pozitivă sau negativă.

∆l = l'-1 (2. 1)Raportul dintre variaţia de lungime ∆l şi lungimea 1 poartă numele de lungire

sau scurtare specifica medie, mε , între punctele M şi N.

l

l m

∆=ε (2.2)

Limita acestui raport atunci când distanţă dintre puncte tinde la zero se numeşte lungiresau scurtare specifică în punctul M, pe direcţia MN.

Mărimea ε poate fi definită şi pe direcţiile axelor de referinţă, obţinându-se

deformaţiile xε , yε şi zε .

In procesul deformării corpul capătă nu numai deformaţii liniare cum sunt definitecele de mai sus, ci şi deformaţii unghiulare.

Pentru definirea lor se consider ă un unghi oarecare α f ăcut de două segmente MN şiML, care în urma deformării se modifică, devenind α'.

Diferenţa mα ∆ între valoarea iniţială şi cea finală a acestui unghi se numeşte lunecare

medie.

mα ∆ = α - α' (2.3)

Limita acestei diferenţe când punctele L şi N tind spre M poartă numele de lunecare:

)(lim0,0

lim,

'α α α α −→→

=∆→

=∆ MN LM M N L

(2 .4)

Se defineşte lunecarea specifică, notată de obicei prin γ, ca fiind lunecarea unui unghidrept. Conform relaţiei (2.4) ea este pozitivă atunci când prin deformare unghiul drept scade şinegativă în caz contrar.

Lunecarea specifică γ se identifică prin doi indici, ce reprezintă direcţiile iniţiale careformează unghiul drept. Conform relaţiei (2.4) ea este pozitivă atunci când prin deformareunghiul drept scade şi negativă în caz contrar.

Lunecarea specifica γ se identifică prin doi indici, ce reprezintă direcţiile iniţiale careformează unghi drept.

Astfel, lunecările specifice care apar într-un punct oarecare al corpului între trei

direcţii paralele cu axele sistemului de referinţă se notează cu xyγ , yzγ şi zxγ .

Dacă se consider ă în corpul deformat un paralelipiped elementar de laturi dx, dy şi dz,având unul din vârfuri în M(x, y, z), în urma deformării corpului punctul M se deplasează într-o


29/213

29

nouă poziţie M'(x+u, y+v, z+w) iar paralelipipedul se deformează, modificându-şi atât laturilecât şi unghiurile drepte.

Modificările dimensionale ale laturilor se apreciază prin lungirile specifice

xε , yε şi zε pe direcţiile de coordinate:

dx

dx x

∆=ε ; dy

dy y

∆=ε ; dz

dz z

∆=ε (2.5)

iar variaţiile unghiurilor drepte prin lunecările specifice xyγ , yzγ şi zxγ .

Relaţia dintre componentele deformaţiei şi componentele deplasării se poate obţinescriind legătura dintre deplasările punctelor N,P şi Q şi deplasarea punctului M şi dezvoltareaîn serie Taylor a expresiei deplasărilor U,V şi W în vecinătatea punctului M cu neglijareainfiniţilor mici astfel:

dz Z

U dy

Y

U dx

X

U z y xU dz zdy ydx xU

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+++ ),,(),,(

dz Z

V dy

Y

V dx

X

V z y xV dz zdy ydx xV

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+++ ),,(),,( (2.6)

dz Z

W dy

Y

W dx

X

W z y xW dz zdy ydx xW

∂∂

+∂∂

+∂∂

+=+++ ),,(),,(

ţinând seama de poziţiile particulare ale punctelor N,P şi Q faţă de M (pentru N,dx=dz=0, pentru P, dx=dz=0 şi pentru Q, dx=dy=0) din relaţiile (2.6) rezultă deplasările lor:

dx X

U U U N ∂

∂+= ; dy

Y

U U U P ∂

∂+= ; dz

Z

U U U Q ∂

∂+=

dx X

V V V N ∂

∂+= ; dy

Y

V V V P ∂

∂+= ; dz

Z

V V V Q ∂

∂+= (2.7)

dx X W W W N ∂∂+= ; dy

Y W W W P ∂∂+= ; dz

Z W W W Q ∂∂+=

Lungirile muchiilor MN = dx, MP = dy si MQ = dz pe direcţiile axelor x, y şi z se obţin

Fig.2.2 Reprezentarea deformării într-un punct în planul XOY


30/213

30

din relaţiile:

dx X

U U U U U dx N M N ∂

∂=−=−=∆

dyY

V V V V V dy P M P ∂

∂=−=−=∆

dz Z W W W W W dz Q M Q ∂∂=−=−=∆

Expresiile lungirilor specifice xε , yε şi zε rezultă înlocuind valorile lui ∆dx, ∆dy şi

∆dz în relaţia de definiţie a acestora (2.5):

x

u x ∂

∂=ε ;

y

v y ∂

∂=ε ;

z

w z ∂

∂=ε (2.8)

Pentru stabilirea legăturii dintre lunecările specifice şi componentele deplasării seconsider ă proiecţiile a câte două muchii ale paralelipipedului elementar, care trec prin

punctul M, pe planul de coordonate cu care ele sunt paralele iniţial.Astfel, dacă se notează cu α şi β unghiurile dintre proiecţiile A'B' şi A' C' şi

direcţiile axelor Ox şi Oy, lunecarea specifică xyγ , definită ca variaţie a unghiului drept

BAC este:

xyγ =α+β

In triunghiurile A'B"B' şi A'C'C se pot scrie relaţiile:

( ) x x M N

x

v

dx

vdx x

vv

dxdx

V V

B A

BB

tg ε ε α +∂

∂

=+

−∂∂

+

=∆+

−

== 11

1'''

'

( ) y y M P

y

u

dy

dy y

uU

dydy

U U

C A

C C tg

ε ε β

+∂∂

=+∂∂

+=

∆+

−==

1

1

1'''

'''

In ipoteza deformaţiilor mici, lungirile specifice xε şi yε sunt mult mai mici decât

unitatea, iar unghiurile α şi β sunt şi ele foarte mici încât tangenta poate fi aproximată prin unghi.

Astfel, relaţia (2.9) se poate scrie:

Y

U

X

V xy ∂

∂+

∂∂

=γ

Considerând în acelaşi mod şi proiecţiile muchiilor ce trec prin M pe celelalte plane decoordonate se obţin şi celelalte relaţii diferenţiale între deformaţiile specifice unghiulare şideplasări:

Y

U

X

V xy ∂

∂+

∂∂

=γ ; Z

V

Y

W yz ∂

∂+

∂∂

=γ ; X

W

Z

U zx ∂

∂+

∂∂

=γ (2.10)

Ecuaţiile (2.8) şi (2.10) poartă denumirea ecuaţiile lui Cauchy pentru deformaţii.Dacă se presupun cunoscute componentele deformaţiilor liniare şi unghiulare într-un

punct curent M(x, y, z) al unui corp, definite faţă de un sistem ortogonal oarecare OXyZ


31/213

31

se poate exprima lungirea specifică faţă de o direcţie oarecare υ (l,m,n) precum

şi lunecarea specifică dintre această direcţie şi o altă direcţie 1υ (/ 1 ,m 1 ,n 1 )

perpendicular ă pe ea în M.

Fig. 2.3 Deformarea distanţei dintre două puncte infinit apropiate ale unui corpdeformat plastic

In acest scop, se consider ă în solidul deformat două puncte infinit vecine, aflate

pe direcţia υ (l,m,n), M( x, y, z ) şi R ( x+dx, y+dy, z+dz ) (figura 2.3).In urma deformaţiei, punctul M trece în M' că pătând deplasările u,v şi w paralele

cu axele de coordonate, iar punctul R trece în R', deplasându-se pe axe cu RU , RV şi RW .

Mărimile acestor deplasări se obţin cu relaţiile (2.6). Lungirea specifică υ ε pe direcţia

MR se calculează cu relaţia:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

−≅

++−

=−

= 12

1

2)(

))((2

2'

2

22'

'

'''

ds

sd

ds

ds sd

ds sd ds

ds sd ds sd

ds

ds sd vε

Scriind mărimile lui d's şi ds în funcţie de proiecţiile lor pe axele decoordonate, ţinând seama de relaţiile (2.6), (2.8) si (2.10) se obţine:

zx yz xy z y xv nl mnlmnml γ γ γ ε ε ε ε +++++=222 (2.11)

Pentru determinarea lunecării specifice dintre direcţiile perpendiculare

υ şi 1υ , 1υυ γ se scrie condiţia de ortogonalitate dintre aceştia

01 =vv sau 0111 =++ nnmmll

In urma deformaţiei, elementele ds şi ds1 devin d's şi d's1 (figura 2.4) formând întreele un unghi dat de relaţia:

111sin

2cos)cos( '1

''1

''1

'1

''vvvvvvnnmml l s sd d γ γ γ

π ≈=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=++=


32/213

32

Fig. 2.4 Lungirea specifică şi lunecarea specifică de pe o direcţie în raport cu altă direcţie

Calculând parametrii directori'

1

'

, l l ,'

1

'

,mm ,'

1

'

,nn după unele transformări şi neglijândinfiniţii mici se obţine:

)ln()()()(2 1111111111 ++++++++= nl nmmnlmml nnmmll zx yz xy z y xvv γ γ γ ε ε ε γ (2.12)

2.2 Deformaţii specifice principale

Lungimea specifică V ε şi lunecarea specifică 1vvγ definite cu ajutorul unei corecţii

arbitrare 1v depind de parametrii directori 1, m, n, ai acestei direcţii şi variază atunci când

direcţia se roteşte în jurul acestui punct.Ca şi la starea de tensiune, există, pentru o stare dată de solicitare, anumite direcţii pe

care lungi rea specifică atinge valori extreme şi între care lunecarea specifică este nulă.Aceste direcţii poartă numele de direcţii principale de deformaţie iar lungirile specifice

corespunzătoare se numesc lungiri specifice principale.Pentru determinarea acestor direcţii principale se pleacă de la relaţia :

zx yz xy z y xv nl mnlmnml γ γ γ ε ε ε ε +++++=222 în care se consider ă că V ε este o

lungire specifică principală. zx yz xy z y x nl mnlmnml nml γ γ γ ε ε ε ε +++++=++

222222 )(

unde l,m şi n sunt prametrii necunoscuţi ai direcţiilor principale.Condiţia de extremum pentru ε este echivalentă cu determinarea soluţiei de

extremum liber pentru funcţia:

( ) ( ) ( ) zx yz xy z y x nl mnlmnml nml F γ γ γ ε ε ε ε ε ε +++−+−+−= 222),,(

Prin egalarea cu zero a derivatelor par ţiale ale lui F în raport cu 1, m şi n, se obţinesistemul:

( ) 02 =++− zx xy x nml γ γ ε ε


33/213

33

02 =+−+ zy y xy nml γ ε ε γ (2.13)

( ) 02 =−++ nml z yz xz ε ε γ γ

Pentru ca sistemul să admită soluţie diferită de soluţia banală este necesar cadeterminantul principal al sistemului să fie nul.

0

22

22

22

=

−

−

−

=∆

ε ε γ γ

γ ε ε

γ

γ γ ε ε

z yz xz

zy y

xy

xz xy x

(2.14)

Această condiţie reprezintă o ecuaţie de gradul trei în ε care poate fi pusă subforma:

0322

13 =−+− J J J ε ε ε (2.15)

unde 1 J , 2 J şi 3 J sunt daţi de relaţiile :

z y x J ε ε ε ++=1

( )2222 41

zx yz xy x z z y y x J γ γ γ ε ε ε ε ε ε +++++=

z yz xz

zy y

xy

xz xy x

J

ε γ γ

γ ε

γ

γ γ ε

22

22

22

3 = (2.16)

Ca şi în cazul stării de tensiune, direcţiile principale de deformaţie depind numai decorpul considerat şi de sarcinile la care este supus, nedepinzând de alegerea sistemului de

referinţă, deci coeficienţii 1 J , 2 J şi 3 J sunt invarianţi şi se numesc invarianţii stării de

deformare.

Ecuaţia (2.15) are trei r ădăcini reale care reprezintă lungirile specifice

pr incipale, nota te pr in 1ε , 2ε , 3ε şi 1ε ≥ 2ε ≥ 3ε .

Pentru determinarea direcţiilor principale de deformaţie se consider ă două din ecuaţiilesistemului (2.13) la care se ataşează relaţia de interdependenţă a parametrilor

directori, l2+m2+n2=l, obţinându-se un sistem neomogen de trei ecuaţii, în l,m şi nnecunoscute.

Înlocuind pe rând pe cu valorile sale ε1 , ε2 şi ε3 se obţin trei seturi de soluţii alesistemului l l ,m1 ,n1 ,l 2 ,m2 ,n2 şi I 3 ,m3 ,n3. Aceste soluţii reprezintă parametrii directori ai celor treidirecţii principale de deformaţie.

In raport cu direcţiile principale, deformaţiile specifice pe o direcţie oarecare date derelaţiile (2.11) şi (2.12) devin:

23

22

21 nml v ε ε ε ε ++=


34/213

34

( )13121121 nnmmll vv ε ε ε γ ++= (2.17)

Pentru direcţiile perpendiculare pe planele octaedrice (planele de egală

înclinare, faţă de axele principale) pentru care l=m=n= 3/1 se obţine

următoarea deformaţie specifică liniar ă:

z y xm J ε ε ε ε ε ε ε ε ++==++== 3)(

31 13210 (2.18)

Lunecările specifice din punctul curent M (x,y,z) au valori extreme pe planele ce bisectează diedrele principale şi sunt determinate de relaţiile:

( )321 ε ε γ −±= ; ( )312 ε ε γ −±= ; ( )213 ε ε γ −±= (2.19)

Pe direcţiile între care apar lunecările specifice principale apar următoarele lungirispecifice:

( )32'1

2

1ε ε ε += ; ( )31

'2

2

1ε ε ε += ; ( )21

'3

2

1ε ε ε += (2.20)

2.3 Tensorul deformaţie şi analogia cu tensorul tensiune

S-a ar ătat că vectorul deplasare U de componente u,v,w poate servi la

determinarea deformaţiilor liniare z y x ε ε ε ,, şi a celor unghiulare xyγ , yzγ , zxγ , yxγ , zyγ , xzγ

într-un punct al unui corp deformat.

Se observă că lunecările specifice se notează cu doi indici ca şi tensiunile tangenţiale.

Ordinea de scriere a indicilor este dată de direcţia de rotaţie produsă de deplasare:astfel dacă o muchie, paralelă in iţial cu axa x se roteşte spre axa y, alunecarea se

notează xyγ , iar dacă prin deformare, muchia paralelă iniţial cu axa y se roteşte spre axa x,

lunecarea specifică se notează yxγ . Dacă unghiul de rotire al elementului de rotire este

acelaşi, atunci deformaţiile xyγ şi yxγ şi prin urmare stările de tensiune rezultante sunt şi ele

egale în cele două cazuri menţionate, deoarece este uşor să se treacă de la un caz la altul printr-o rotaţie rigidă, care nu presupune deformaţie aşa cum se prezintă în figura 2.5.

Fig.2.5 Rotaţia rigidă a unui element de volum în planul xOy

In felul acesta fiecare lunecare specifică xyγ sau yxγ poate fi considerată


35/213

35

compusă din două componente egale 1 /2 xyγ , 1 /2 yxγ ( 1 /2 xyγ = 1/2 yxγ ).

Din cele prezentate rezultă că deformarea într-un punct al unui corp aflat într-o stare detensiune poate fi determinată prin nouă componente: trei deformaţii specifice liniare şi şasedeformaţii specifice unghiulare, egale două câte două.

Aceste nouă componente prezentate sub forma unei matrice, poartă numele de tensoruldeformaţiei:

z yz xz

zy y xy

zx yx x

T

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

ε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

= (2.21)

Starea de deformare într-un punct va fi deci pe deplin determinată dacă se cunoaşte

tensorul deformaţiei în punctul respectiv.Proprietăţile tensorului deformaţiei sunt analoage cu cele ale tensorului tensiune.Faţă de un sistem de axe principale de deformare, cărora le corespund

deformaţiile principale 1ε , 2ε , 3ε tensorul deformaţiei se prezintă astfel:

3

2

1

00

00

00

ε

ε

ε

ε =T (2.22)

Lipsa deformaţiilor unghiulare conduce în cazul deformării unui cub cu laturile pedirecţiile principale, la obţinerea unui paralelipiped.

Aplicând legea constanţei volumului la deformarea unui paralelipiped elementar cu

dimensiunile iniţiale dx,dy şi dz, şi dimensiunile finale dx+ xε dx, dy+ yε dy; dz+ zε dz rezultă:

dv-dv'=dxdydz- dx(l+ xε )dy(l+ yε )dz(l+ zε )=0

sau dxdydz=dx(l+ xε )dy(l+ yε )dz(1+ zε );

de unde:

(1+ xε )(1+ yε )(1+ zε )=1 (2.23)Rezovând ecuaţia (9.23 ) şi neglijând termenii infinit mici de ordinul doi şi trei, se

obţine:

xε + yε + zε =0

respectiv:

1ε + 2ε + 3ε =0 ( 2.25 )

Deci în cazul deformării plastice, cu menţinerea constantă a volumului deformat sumadeformaţiilor specifice liniare pe cele trei direcţii principale este egală cu zero.

Rezultă că deformaţia specifică liniar ă medie este egală cu zero, deci şi tensorul specifical deformaţiei va fi tot egal cu zero.


36/213

36

000

0000

0 ==

m

m

m

T ε

ε

ε

ε (2.26)

Cunoscându-se că ε T =0, va rezulta că valoarea deviatorului deformaţiei, care

caracterizează schimbarea formei corpului supus deformării, este egală cu valoareatensorului deformaţiei:

m

m

m

m

m

m

T T ε ε

ε ε

ε ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε

ε ε ε

−−

−=−=−=∆

3

2

1

3

2

10

000000

000000

000000

Deci ε ε T =∆ (2.27)

Prin analogia dintre tensorii tensiunilor şi ai deformaţiilor exprimaţi în raport cudirecţiile principale se poate scrie:

3321

0

σ σ σ

σ

++

= 3321

0

ε ε ε

ε

++

=

( ) ( ) ( )231222

32222

2122

0 σ σ σ σ σ σ τ −+−+−= l nnmml (2.28)

( ) ( ) ( )2312

322

210 3

2ε ε ε ε ε ε γ −+−+−=

221

3

σ σ τ

−±= ; 21312 ε ε γ γ −±==

231

2

σ σ τ

−±= ; ( )31213 ε ε γ γ −±== (2.29)

232

1

σ σ τ

−±= ; ( )32123 ε ε γ γ −±==

Dacă se notează: ( ) ( ) ( )2312

322

213

2ε ε ε ε ε ε ε −+−+−=i (2.30) mărime numită

intensitatea deformaţiilor, atunci deformarea specifică unghiular ă din planul octaedric, 0γ ,

mai poate fi exprimată şi prin relaţia: iε γ 20 = (2.31).

2.4 Schemele stării de deformare

Ţinând seama că la deformarea plastică a corpurilor se consider ă că în mod practicvolumul acestora nu se modifică, rezultă că nu pot exista stări de deformare caracterizate dedeformaţii specifice principale cu acelaşi semn, deoarece în acest caz suma acestora nu va maifi egală cu zero. Rezultă deci, că întotdeauna deformaţia specifică principală maximă va fiegală cu suma celorlalte deformaţii specifice principale.


37/213

37

In consecinţă, variantele posibile pentru schemele de deformare vor fi analoage celortrei scheme de tensiune caracterizate de tensiuni principale cu semne diferite (P2, S3 şi S2 ).

Fig. 2.6 Schemele stării de deformare

Astfel poate exista o schemă de deformare plană şi două scheme de deformarespaţială.

Aceste scheme pot fi caracterizate astfel (figura 2.6):

- schema I ∆ - (schema spaţială) este caracterizată de micşorarea dimensiunii

corpului pe o direcţie (deformaţie specifică negativă) şi creşterea corespunzătoare a

dimensiunilor pe celelalte două direcţii ale axelor de coordonate (deformaţii specifice pozitive);- schema II ∆ - (schema plană) este caracterizată de două deformaţii specifice

egale şi de semne contrare respectiv micşorarea dimensiunii corpului pe o direcţiecorespunzător cu creşterea dimensiunii pe a doua direcţie, în timp ce deformaţia specifică

pe cea de-a treia direcţie a axelor principale va fi nulă;

- schema III ∆ - (schema spaţială) este caracterizată de micşorarea

Dimensiunilor corpului pe două direcţii (deformaţii specifice negative) şi creştereacorespunzătoare a dimensiunii pe cea de-a treia direcţie a axelor principale (deformaţie

specifică pozitivă).La aceste scheme de deformare, prin săgeţi se indică direcţiile în care au locdeformările, respectiv direcţiile în care se deplasează particulele corpului în timpul deformăriisale.

Dintre procesele de deformare plastică prin care se pot realiza aceste trei scheme alestării de deformare se menţionează următoarele:

- pentru schema I ∆ : refularea, lăţirea, calibrarea în matriţă,umflarea, laminarea

benzilor şi profilelor înguste, etc.

- pentru schema II ∆ : matriţarea în matriţe cu lăţimea cavităţii egală cu lăţimeasemifabricatului, laminarea tablelor şi benzilor late, etc.

- pentru schema III ∆ : extruziunea, trefilarea şi tragerea, etc.

Schema III D


38/213

38

2.5 Viteza de deformaţie

Viteza de deformaţie reprezintă variaţia deformării specifice a unui corp supus unorfor ţe exterioare, în unitatea de timp, sau variaţia volumului specific al unui corp deformat, în

unitatea de timp:

(2.32)

Valorile absolute ale deformaţiilor specifice pe cele trei direcţii nu pot caracterizaviteza de deformaţie, deoarece acestea în diferite etape ale procesului de prelucrare pot fiegale, iar vitezele de deformaţie diferite ca urmare a diferenţei ce poate exista întredimensiunile de referinţă ale corpului deformat în etapele de deformare respective. Din

această cauză pentru caracterizarea vitezei de deformaţie se folosesc deformaţiile specifice, caredau valori relative şi pentru vitezele de deformaţie.

Plecând de la relaţia xu x ∂∂=ε şi înlocuind în expresia (2.32) se obţine:

dx

dv

t

u

dx

d

dt

X

U d

dt

d x x x =⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

==• ε ε (2.33)

în care: xdvt

u=

∂∂

, reprezintă variaţia în timp a componentei pe axa x a vectorului deplasare a

unui punct material al corpului deformat şi poartă denumirea de viteză de deformare. Aceastaîn unele procese de prelucrare prin deformare este egală cu viteza sculei (cum ar fi exemplude refulare).

Din relaţia (2.33) rezultă că viteza de deformaţie depinde direct propor ţional de vitezade deformare şi invers propor ţional de dimensiunea corpului pe direcţia deformaţiei.

In mod similar şi pentru celelalte direcţii ale sistemului de coordinate se obţin vitezede deformaţie :

dy

dv y y =ε şi

dy

dv y y =ε (2.34)

In cazul unei deformări uniforme relaţia (2.24) se poate scrie:

t

ε ε =•

(2.35)

iar relaţiile (2 .25) şi (2. 26) obţin forma:

0 x

v x x =•

ε ;0 y

v y y =•

ε ;0 z

v z z =•

ε (2.36)

Starea de deformare fiind caracterizată şi de deformaţii specifice unghiulare,

acestora din urmă le vor corespunde de asemenea şase componente ale vitezei dedeformaţie unghiulare egale două câte două:

vdt

dv

dt

d ==

ε ε

'


39/213

39

dt

d xy xy

γ γ =•

;dt

d yz yz

γ γ =•

;dt

d zx zx

γ γ =•

dt

d yx yx

γ γ =•

;dt

d zy zy

γ γ =•

;dt

d xz xz

γ γ =•

(2.37)

••

= yx xy γ γ ;

••

= zy yz γ γ ;

••

= xz zx γ γ In concordanţă cu relaţiile (2.10) rezultă că vitezele de deformaţie unghiular ă depind de

vitezele de deformare şi dimensiunile corpului supus deformării plastice:•••

+=+=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

== yx xy y x xy

xy dx

dv

dy

dv

x

v

y

u

dt

d

dt

d γ γ

γ γ

2

1

2

1

respectiv:

•••

+=+== zy yz z y yz

yz dy

dv

dz

dv

dt

d γ γ

γ γ

2

1

2

1

•••

+=+== xz zx x z zx

zx dz

dv

dx

dv

dt

d γ γ

γ γ

2

1

2

1 (2.38)

Rezultă că viteza de deformaţie într-un punct al unui corp supus deformării se poatedetermina tot prin nouă componente (trei liniare şi şase unghiulare, egale între ele două câtedouă) care de asemenea pot fi prezentate, prin analogie cu starea de deformare sau cu stareade tensiune, printr-o matrice care poartă numele de tensorul vitezei de deformaţie:

•••

•••

•••

=•

z yz xz

zy y xy

zx yx x

T

ε γ γ

γ ε γ

γ γ ε

ε

2

1

2

12

1

2

1 2

1

2

1

(2.39)

Tensorul vitezei de deformaţie este identic în acelaşi timp cu deviatorul vitezei dedeformaţie, având în vedere că deformarea are loc cu menţinerea volumului constant,căruia îi corespunde:

( ) 03

13210 =++== ε ε ε ε ε m

respectiv 00 =ε T .

Si pentru vitezele de deformaţie, prin analogie cu starea de tensiune şi starea dedeformare pot exista direcţii pentru care vitezele de deformaţie unghiulare corespunzătoaresunt nule. In acest caz vitezele de deformaţie liniare corespunzătoare vor fi viteze de

deformaţie principale ( )321 ,, ε ε ε , pentru care tensorul vitezei de deformaţie se prezintă

astfel:


40/213

40

•

•

•

=

3

2

1

00

00

00

ε

ε

ε

ε T (2.40)

De asemenea pot apare şi viteze de deformaţie unghiulare principale pe plane a cărornormală formează cu una din direcţiile axelor de coordonate un unghi de 90°, iar cu celelaltedouă direcţii unghiuri de 45°.

Intre aceste viteze de deformaţie unghiular ă şi vitezele de deformaţie liniar ă principală există relaţiile:

⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −±=

•••

2112 ε ε γ ; ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −±=

•••

3223 ε ε γ ; ⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −±=

•••

3113 ε ε γ (2.41)

Analogia între starea de deformare şi viteza de deformaţie, într-un punct al corpuluisupus deformării, se poate extinde şi pentru determinarea invarianţilor tensorului vitezei dedeformaţie octaedrică liniar ă şi unghiular ă, a intensităţii vitezei de deformaţie cât şi lareprezentarea grafică a schemelor vitezelor de deformaţie principale (figura 2.7).

Fig. 2.7 Schemele vitezelor de deformaţie principale

2.6 Ecuaţiile deformaţiilor de compatibilitate

In afar ă de ecuaţiile fundamentale de echilibru stabilite (1.46) stările de tensiune şideformaţie trebuie să satisfacă şi aşa numitele condiţii de compatibilitate sau de continuitate.

Conform acestora, deformaţiile specifice şi derivatele lor trebuie să fie funcţii continue(derivabile) în interiorul corpului pentru ca în timpul deformării să nu apar ă discontinuităţi dematerial în punctele acestuia.

In această idee dacă se scriu derivatele par ţiale de ordinul doi ale lunecărilorspecifice în raport cu direcţiile între care se produc ele se obţine:

2

2

2

22

x y y x y x xy

∂

∂+

∂∂

=∂∂

∂ ε ε γ 2

2

2

22

z y z y y z yz

∂∂+

∂∂=

∂∂∂ ε ε γ


41/213

41

2

2

2

22

z x z y x z zx

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂ ε ε γ (2.42)

Prin derivarea de două ori a lungirilor specifice în raport cu cele două direcţii perpendiculare pe direcţia lungirii şi prin gruparea convenabilă a termenilor se obţin relaţiile:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

x y z x z y yz zx xy x

γ γ γ ε 22

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

y z x y z x zx xy yz y γ γ γ ε

22 (2.43)

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂

∂∂

=∂∂

∂

z x y z y x xy yz zx z

γ γ γ ε 22

Ecuaţiile (2.42) şi (2.43) reprezintă ecuaţiile de compatibilitate ale deformaţiilor şise mai numesc şi ecuaţiile continuităţii ale lui Saint-Venant.Conform acestor ecuaţii un corp compact şi continuu înainte de deformare r ămâne

compact şi continuu şi după deformare. Primul grup de relaţii exprimă continuitateacurburilor fibrelor corpului deformat iar al doilea grup continuitatea unghiurilor relative

de r ăsucire .


42/213

42

CAPITOLUL 3

STAREA PLASTCA A MATERIALELOR

3.1 Teoria plasticităţii – istoric şi importanţă

Teoria, plasticităţii se ocupă cu studiul comportării materialelor în zona de

deformaţii specifice, situată dincolo de cea în care este valabilă legea lui Hooke.Descrierea matematică a deformării plastice a metalelor nu este atât de bine dezvoltata

precum este cea a deformaţiilor elastice cu ajutorul teoriei elasticităţii, deoarece

fenomenul deformării plastice este mult mai complicat decât cel al deformării elastice.

De exemplu, în zona deformaţilor plastice nu există o relaţie simplă între tensiune şi

deformaţia specifica, aşa cum există în cazul deformaţiilor elastice. Mai mult,

deformaţia elastică depinde numai de stările iniţială şi finală de tensiune, fiind

independentă de modul de variaţie a sarcinii, în timp ce în domeniul plastic deformaţiaspecifică plastică depinde nu numai de mărimea sarcinii finale, ci şi de modul cum ea m

variat pentru a atinge această valoare.

Teoria plasticităţii se ocupă de mai multe genuri de probleme. Din punctai de

vedere al proiectării, plasticitatea se ocupă de determinarea sarcinii maxime ce poate fi

aplicată asupra unui corp, f ăr ă a produce o deforma ţie plastică excesivă. Criteriul de

plasticitate, trebuie exprimat in funcţie de tensiuni, în aşa fel încât să fie aplicabil pentru

orice stare de tensiune. Proiectantul este de asemenea, interesat în posibilitatea de a

putea determ

studii asupra tehnologiei de deformare plastică

Documents